利用函数的单调性求参数的取值范围课件

巧
可，不必再与端点的函数值比较．
4．要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性，
以及列表的操作步骤与算法思想，能利用导数研究
函数的极值与最值．
基础知识
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思想方法
练出高分
思想方法·感悟提高
1．函数 f(x)在某个区间内单调递增，则 f′ (x)≥ 0 而不
失
是 f′ (x)>0 ( f′ (x)＝0 在有限个点处取到 )．
2
a
?
(3 2
x )max
,
x
?
(0,2),
a?3
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思想方法
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分离参数法： 分离参数 构造函数g(x) 求g(x) 的最值 求得参数范围
基础知识
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思想方法
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例2： 已知函数f ( x) ? x3 ? 3ax 2 ? 2a 2 x ? 1在[0,2]上是单调递增函数
误
与
防 2．导数为 0 的点不一定是极值点，极大值未必大于极 范
小值．
基础知识
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思想方法
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基础知识
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思想方法
练出高分
练出高分
A组 专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3．已知函数 f(x)＝x2＋mx＋ln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是
A．m>－2 2
解析
B．m≥－ 2 2
即3x2 ? 2ax ? 3 ? 0, 恒成立x ? [2,4]
方法：（分离参数） 2ax ? 3x2 ? 3恒成立
a ? 3x2 ? 3, 2x
a
?
3x2 ? (
2x
3 )min
令 g( x ) ? 3 x 2 ? 3 , x ? [2,4]
2x
基础知识
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练习1： 已知函数f ( x) ? x3 ? ax ? 3x ? 1在[0,?? )上是单调递增函数
o
②x
? ?? ? ? ??
a 3
f
? '(
0 a
) 3
?
0
a? 6 2
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思想方法
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分类讨论法：
在利用函数的单调性求参数的取值范围时， 当导函数可化为二次函数形式时，应注意
从对称轴，区间端点函数值方面考虑
基础知识
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小结：
1、函数在某个区间单调递增或递减，可转化为函数 的导数在这个区间上大于或等于 0恒成立的问题
பைடு நூலகம்
基础知识
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f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 2a 2 ? 0, x ? [0,2]
即(3x 2 ? 6ax ? 2a 2 )min ? 0, x ? [0,2]
y
o
x 2
X=a
基础知识
X=a X=a
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思想方法
练出高分
练习：设a为实数，函数f (x) ? x3 ? ax2 ? (a 2 ? 1)x在
2、解题方法：分离参数法、 分类讨论法
3：数学思想：分类讨论、数形结合、化归
基础知识
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思想方法
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测试题：
（2011 江西高考）已知函数 f(x)＝x2(x－a)． 若 f(x)在(2,3)上单调递减，求实数 a 的取值范围
基础知识
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练出高分
练出高分
A组 专项基础训练
1
2
求参数a的取值范围.
解： f ' ( x) ? 3x2 ? a ? 3, x ? [0,?? ) 则f ' ( x) ? 0在[0,?? )上恒成立 即3x 2 ? a ? 3 ? 0, 恒成立 x ? [0,?? )
方法：（分离参数）
a ? 3x2 ? 3恒成立
a ? (3x2 ? 3)min ? a?3
[0，? ? ）上是增函数,求a的取值范围.
解: f '(x) ? 3x2 ? 2ax ? (a 2 ? 1) ? 0, x ? [0,?? )
[3x2 ? 2ax ? (a 2 ? 1)]min ? 0, x ? [0,?? )
y
① ?? a ? 0 ?3
?? f ' ( 0 ) ? 0
a ? ?1
求参数a的取值范围.
解： f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 2a 2 , x ? [0,2] 则f ' ( x) ? 0在[0,2]上恒成立 即3 x 2 ? 6ax ? 2a 2 ? 0恒成立， x ? [ 0,2] 即f ' ( x )min ? 0, x ? [0,2] 而f '(x)为二次函数，开口向上 ， 对称轴为x ? a
C．m<2 2
() D．m≤ 2 2
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
练出高分
A组 专项基础训练
1
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3．已知函数 f(x)＝x2＋mx＋ln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是
(B )
A．m>－2 2 B．m≥－ 2 2 C．m<2 2 D．m≤ 2 2
解析
依题意知，x>0，f′ (x)＝2x2＋xmx＋1， 令 g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞ )， 当－m4 ≤ 0 时，g(0)＝1>0 恒成立， ∴m≥ 0 成立， 当－m4 >0 时，则 Δ＝m2－8≤ 0，∴－2 2≤ m<0， 综上，m 的取值范围是 m≥ －2 2.
基础知识
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思想方法
练出高分
练习2： 若函数f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 1在（0,2）内单调递减, 求实数a的取值范围.
解析：
f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax , x ? (0,2)
则f ' ( x) ? 0在（0,2）上恒成立
即 2 ax ? 3 x 2
a ? 3 x , x ? (0,2)
数学 R A（理）
利用函数单调性求参数的 取值范围
学习目标：
1、熟练掌握原函数的单调性与导函数的关系； 2、利用分离参数法求参数的取值范围； 3、利用分类讨论的方法求参数的取值范围。
基础知识
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思想方法
练出高分
请思考：
问题：在区间(a, b)内f ?(x) ? 0
f (x)单调递增
f (x)在(a,b)上单调递增 f ?(x) ? 0在(a,b)上恒成立
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基础知识
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思想方法
练出高分
思想方法·感悟提高
1．理解极值与最值的区别， 极值是局部概念， 最值是
整体概念．
2．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化
方
为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合
法
思想的应用．
与 3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，
技
那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即
f ?( x) ? 0是 f ( x)单调递增 的 充分不必要 条件
基础知识
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思想方法
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例1：
已知函数f (x) ? x3 ? ax 2 ? 3x ? 1在[2,4] 求参数a的取值范围.
上是单调递增函数，
解：
f ' (x) ? 3x2 ? 2ax ? 3, x? [2,4]
则f '(x) ? 0在[2,4]上恒成立