安徽建筑大学高等数学(下)试卷参考解答

共 4 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 高等数学A 期末考试学期 08-09-3得分适用专业 选修高数A 的各专业 考试形式闭卷考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e 4xz x x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是 ；2. 设u =(1,2,0)u=grad ；3. 设幂级数nn n a x ∞=∑的收敛半径是2，则幂级数0(1)1n nn a x n ∞=++∑的收敛区间是 ；4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰ 的值是 ；5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是 ；6. 将函数1,01()2,1x f x x x π-≤<⎧=⎨≤<⎩在[0,]π上展开为余弦级数，其和函数()S x 在点21x π=-处的函数值(21)S π-= ；7. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则积分1d (1i)(3)C z z z ---⎰ 的值是 ；8. 留数21Res sin,0z z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 9.取n a = ，可使得级数2nn a∞=∑收敛，且级数2ln nn an ∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)共 4 页 第 2 页10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z z x x y∂∂∂∂∂.11．（本小题满分7分）判别级数1e 1nn n∞=-∑的敛散性，并说明理由．12．（本小题满分8分）判别级数11(1)2ln nn n n∞=--∑是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，还是条件收敛？并说明理由.共 4 页 第 3 页13. （本小题满分8分） 将函数()1(1)f x x x =-≤展开为以2为周期的Fourier 级数.三（14）．（本题满分7分）求幂级数21nn nx∞=∑的收敛域与和函数.四（15）。

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'； 5、180π； 6、Cx xy=sin； 7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂； 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u -++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。

所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0xf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即)0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232l i m t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C (二)》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------考场登记表序号_______题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设，1224311A t−⎛⎞⎜⎟=⎜3⎜⎟−⎝⎠⎟B 为三阶非零矩阵，若0AB =，则__________． t =2、若A 为三阶矩阵，行列式 2A =，2B A =，B ∗为B 的伴随矩阵，则 B ∗=__________．3、若行列式 33 ij D a ×=满足111a =，122a =，130a =，且余子式，31 8M =−32M x =，，则3319M =x =__________．4、已知向量组，，，，若1(1, 0, 2)T α=2(1, 1, 3)T α=3(1,1, 2)T k α=−+(1, 2, 5)T β=β不．能．由12,,3ααα线性表示，则k =__________．5、若阶矩阵n A 的秩为，且1n −A 的各行元素之和均为，则齐次线性方程组00AX =的通解是__________．二、选择题（每小题3分，共15分）得分6、已知A ，B ，C 均为阶矩阵，则下列结论正确的是 （ ）n A ． 22()2A B A AB B +=++2m B ．，其中为正整数 ()m m AB A B =m C ．若AB AC =且，则0A ≠B C =D ．若，则ABCE =BCA E =，其中E 为n 阶单位矩阵7、设1α，2α均为维向量，向量n 1β，2β，3β均可以由1α，2α线性表示，则下列结论正确的是 （ ） A ．1β，2β，3β必线性无关 B ．1β，2β，3β必线性相关C ．仅当1α，2α线性无关时，1β，2β，3β线性无关D ．仅当1α，2α线性相关时，1β，2β，3β线性相关8、设A 为矩阵，则下列结论正确的是 （ ） m n × A ．若，则方程组m n <AX b =必有无穷多解B ．若，则方程组m n <0AX =必有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量 n m −C ．若A 有阶子式不为零，则方程组n 0AX =仅有零解D ．若A 有n 阶子式不为零，则方程组AX b =有唯一解9、下列选项中，哪个不是．．“()ij n n A a ×=为正交矩阵”的充分条件 （ ） A ．A 的行向量组与列向量组均为正交向量组 B ．1A =，且对任意i j ,1,2,,n "，有ij ij a A = =C ．为正交矩阵 T A D ．1T A A −=10、若三阶矩阵A 有特征值122λλ==，E 为三阶单位矩阵，且|，则||A E −=0|A 为 （ ）A ．−B ．C ．224−D ．4三、计算题（每小题9分，共54分）得分11、计算n 阶行列式1211111111n n a a D a ++=+"""""""1，其中．120n a a a ≠"答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------12、若三维向量123(,,)a a a α=，123(,,)b b b β=，且211211211T A αβ⎛⎞⎜⎟==−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求:（1）T βα；（2）． 2A13、已知矩阵，判断021332121A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A 是否可逆．如果可逆，求；如果不可逆，请说明理由． 1A −14、求向量组，，，的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示． 1(1,0,2,0)T α=2(0,1,1,2)T α=−3(1,2,4,4)T α=−4(2,1,4,2)T α=−15、已知，，若20000101A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠20003402B b ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟−⎝⎠⎟⎟A 与B 相似，求a ，b 的值．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16、已知方程组有无穷多个解，求123123123112x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=−⎩λ的值及方程组的通解．四、分析计算题（每小题10分，共10分）得分17、设二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++−−−,（1）判断二次型是否正定；（2）利用正交变换X QY =化二次型为标准形，并求出相应的正交矩阵． Q得分五、证明题（每小题6分，共6分）18、已知n 阶矩阵A 满足 32A E =，其中E 为阶单位矩阵，若n 2B A A =+，证明B 可逆，并求B 的逆矩阵．安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、；2、256；3、；4、3−4−1−；5、，其中为任意常数(1,1,,1)T k "k二、选择题（每小题3分，共15分）6、D ；7、B ；8、C ；9、A ； 10、D三、计算题（每小题9分，共54分）11、解：从第二行起，每行减去第一行，再从第二列起，第i 列的1ia a 倍加到第一列上，得(2,3,,i n =")111221311111110011111100n nna a a a a D a a a a ++−+==−+−""""""""""""""""10a ．．．．．．（4分） 112212131111001(1)000000ni in n i ina a a a a a a a a a ==++==∑+∑""""""""""．．．．．．．（9分） 12、解：（1）因为，()111121321232122233313233211211211T a a b a b a b a b b b a b a b a b a a b a ba b αβ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠−−+=所以． ()1123211223332(1)12T a b b b a a b a b a b a βα⎛⎞⎜⎟==++=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠．．．．．．（5分）（2）2422()22422422T T T A A αβαβαβ⎛⎞⎜⎟====−−−⎜⎜⎟⎝⎠⎟． ．．．．．．（9分）13、解：利用初等变换法可以直接判断A 是否可逆，并求出1A −：()021100,332010121001A E ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠121001021100332010⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10010102022613001322⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠100101010113001326−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，．．．．．．（7分）故A 可逆，且1101113326A −−⎛⎞⎜=−−⎜⎜⎟⎟⎟−⎝⎠． ．．．．．．（9分）（注：若先由02133210121A ==≠判断出A 可逆，则给3分；之后正确求出1A −，则给9分．）14、解：依题意，将向量组按列排成矩阵并作初等行变换()123410120121,, , 21440242αααα⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012101200242⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012100010000⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟−⎜⎟⎝⎠1010012000010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠， ．．．．．．（5分）故，()1234, , , 3r αααα=124,,ααα为向量组的一个极大无关组，且3122ααα=+． ．．．．．．（9分）15、解：由相似矩阵的性质，一方面A B =，即381b +=−，得．3b =− ．．．．．．（5分）另一方面，相似矩阵有相同的特征值，故()()tr A tr B =， 即2，得．5a +=+b 0a =．．．．．．（9分）16、解：依题意，对方程组的增广矩阵作初等行变换111112111111112111A λλλλλλ−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠2112011301112λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−−+⎝⎠ 112011300(1)(2)2(2)λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−++⎝⎠， 故当2λ=−时，()()2r A r A ==，方程组有无穷多个解． ．．．．．．（4分）此时对应的同解方程组为1232322333x x x x x +−=−⎧⎨−+=⎩，令自由未知量，得该方程组的一个特解．30x =(1,1,0)T η=−−其对应齐次方程组1232320330x x x x x +−=⎧⎨−+=⎩的基础解系为，(1,1,1)T ξ=因此原方程组的通解为，其中为任意常数． ．．．．．．（9分）(1,1,1)(1,1,0)T x k k ξη=+=+−−T k四、分析计算题（每小题10分，共10分）17、解：（1）因为二次型的矩阵为124242421A −−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，2124242(5)(4)421E A λλλλλλ−−=−=−+=−0，所以A 的特征值为125λλ==，34λ=−．由于A 有一个特征值为负数，故A 不正定，该二次型不正定．．．．．．．（4分）（2）对于方程组(5，)0E A x −=解得基础解系为11(,1,0)2T ξ=−，．2(1,0,1)T ξ=−先正交化，得111(,1,0)2T ηξ==−，2122111(,)42(,,1)(,)55T ξηηξηηη=−=−−，再单位化，得111(T )ηγη==，222(Tηγη==． 对于方程组(4，解得基础解系， )0E A x −−=3(2,1,2)T ξ=单位化得333212(,,333T ξγξ==． ．．．．．．（6分） 故所求正交矩阵()123,,0Q γγγ⎛⎜⎜⎜==⎜⎜⎜⎜⎝， f 的标准形为221255423f y y y =+−． ．．．．．．（10分）五、证明题（每小题6分，共6分）18、证明：一方面，由32A E =知，A 可逆且1212A A −=． 另一方面，由32A E =得，33A E E +=，即2()()3A E A A E E +−+=，所以A E +可逆，且121()(3)A E A A −E +=−+． ．．．．．．（4分）由A ，A E +均可逆知，2()B A A A A E =+=+也可逆，且11(())()11B A A E A E A −−=+=+−−2243111()(3262)A A E A A A A =−+=−+． ．．．．．．（6分）。

习题1.1(A)组1. 求以下函数的定义域 (1) 232+-=x x xy (2) 241x y -= (3) 112--=x x y2. 求下述函数的反函数(1) 11-+=x x y (2) 12-=x y 3. 请回答以下问题(1) 如果函数)(x f y =满足：存在常数N M ,，使得M x f N ≤≤)(，问函数)(x f y =是否有界？(2) 有界函数的图像具有什么特征？(3) 奇函数的图像具有什么特性？偶函数的图像具有什么特性？(4) 周期函数的图像具有什么特性？(5) 单调增、单调减函数的图像分别具有什么特性？4. 给定函数的图像如下：试问，(1) 它们对应函数的零点分别是多少？ (2) 函数在y 轴上的截距大约是多少？5. 给定分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=010001)sgn(x x x x 试问，这一函数的定义域是什么？试画出这一函数的图像。

解答：1. (1) 2320x x -+>，从而2x >或1x <，即 ),2()1,(+∞-∞Y(2) 240x -> 解得 )2,2(-(3) 210x -≠，从而，定义域为：),1()1,1()1,(+∞---∞Y Y2. (1) 由11-+=x x y 解出x 可得11y x y +=-，因此反函数为：11-+=x x y (2) 函数值域为：[1,)-+∞，对于每一个大于1的函数值，都有两个x 与之对应，因此，无反函数3. (1)有界 (2) 有界函数的图像夹在两条平行于x 轴的平行直线之间(3) 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称(4) 周期函数的图像在横轴上以一个周期长度为单位重复出现(5) 单调增函数的图像随自变量取值的增大而上升，单调减函数的图像随自变量取值的增大而下降4. (1) 对应函数的零点分别为：3 ,1 ,2-=x (2) 函数在y 轴上的截距大约是65. 定义域为),(+∞-∞，图像略。

成人高考成考高等数学(二)(专升本)自测试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))在区间[-2, 2] 上的最大值为：A、2B、4C、6D、82、已知函数(f(x)=e x lnx)，则该函数的定义域是：A.((0,+∞))B.((−∞,0))C.((0,1))D.((1,+∞))3、设函数f(x)=x3−3x2+2在区间[−1,3]上的最大值为M，最小值为m。

则M−m 的值是：A. 4B. 6C. 8D. 10)，则该函数的间断点是：4、设函数(f(x)=11+x2A.(x=0)B.(x=1)C.(x=−1)D.(x)无间断点5、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则该函数在区间 [-2, 2] 上的最大值为：A、4B、3C、2D、16、设函数f(x)=x3−6x2+9x+1，则该函数的极值点为：A.x=1B.x=2C.x=3D.x=47、若函数(f(x)=ln(x2+1))，则(f(x))在(x=1)处的导数(f′(1))是：)A、(12B、1C、2)D、(238、设函数(f(x)=x3−6x2+9x+1)，则函数的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 39、设函数(f(x)=3x2−4x+5)，则该函数的对称轴为：A.(x=1))B.(x=−13)C.(x=23D.(x=2)10、在下列函数中，连续函数为：（）)（x∈R）A.(f(x)=1x3)（x∈R）B.(f(x)=√xC.$( f(x) =)$D.(f(x)=|x|)（x∈R）)，则(f′(0))的值为：11、已知函数(f(x)=1x2+1A. 0B. 1C. -1D. 不存在)，求(f′(x))。

12、设函数(f(x)=2x+3x−1)A.(2(x−1)2B.(2x2−1)C.(2(x+1)(x−1))D.(1x−1)二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数(f(x)=e ax+b)，其中(a,b)为常数，若(f(x))的单调递减区间为((−∞,1a))，则(a)的取值范围为______ 。

2017年安徽建筑大学专升本《高等数学》试卷一、选择题（4题，每小题5分，共20分）1.设函数)(x f 在0x x =处可导，则下列四个极限中等于)(0x f '的是（）A、00)()(lim 0x x x f x f x x --→B、t )t ()t (lim000t --+→x f x f C、t)()t -(lim000t x f x f -→D、t)t ()(lim000t --→x f x f 2.设11-≤≤x ，则=+x x arccos arcsin （）A、0B、πC、2πD、-2π3.二元函数),(y x f 在点),(00y x f 处存在偏导数是这个二元函数在该点可微分的（）条件A、必要而不充分B、充分而不必要C、必要且充分D、既不充分也不必要4.设D 为圆周222R y x =+所围成的区域，则⎰⎰=+Ddxdy y x 22（）A、⎰⎰=DRRdxdy 3πB、3022032R d d Rπρρϕπ=⎰⎰C、220R d d Rπρρϕπ=⎰⎰D、32202R d R d Rπρϕπ=⎰⎰二、填空题（4题，每小题5分，共20分）1.=-++∞→x x x 32lim 。

2.=+-⎰dx x x 1222。

3.设二元函数)2ln(3y x z +=则全微分=dz 。

4设区域D 是由直线x y x y ===、及、31围成的三角形区域，则⎰⎰=Dxyd σ。

三、解答题（6题，每小题10分，共60分）1、若5222lim =-++→x bax x x ，求a、b 的值。

2、设函数)1ln()(2x x e e x f ++=，求)(x f '3、求函数)693()(23+--=x x x x f 在区间[]44、-上的最大值和最小值4、求不定积分dx x x ⎰3cos 2sin5、求定积分dx x x ⎰++401236、求微分方程x x y y 2sin tan =+'的通解。

安徽建筑大学高等数学（下）试卷参考解答2013-2014学年第二学期一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设12=+z xe z y ，则()0,1dz=2edx dy --.2．空间曲面1532:222=++∑z y x 在点(1,1,2)-处的法线方程为1122412x y z -+-==-.二、选择题（每小题3分，满分15分） 1．考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质： ①),(y x f 在点00(,)x y 处连续，②),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续， ③),(y x f 在点00(,)x y 处可微，④),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“Q p ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ， 则有（ .A ）.A ②⇒③⇒① .B ③⇒②⇒① .C ③⇒④⇒① .D ③⇒①⇒④2．设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的两个偏导数存在，则),(00y x f x '=0，),(00y x f y '=0是),(y x f 在点00(,)x y 处取得极值的（.B ）.A 充分但非必要条件 .B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件4．0)(22='''+''y x y 是（.C ）微分方程.A 一阶 .B 二阶 .C 三阶 .D 四阶5．微分方程xe x y y y 2)13(6--=-'-''的特解形式为（ .B ）.A x e b ax y 2)(*-+= .B x e b ax x y 2)(*-+=.C xe b ax x y 22)(*-+=.D x x e C e C y 3221*+=-三、（8分）设),(22yx y x f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解：1212z xf f x y∂''=+∂， 2111222122222112[2()][2()]z x xx yf f f f y f x y y y y y∂'''''''''=+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 21112222232214(2)x x xyf f f f y y y'''''''=+---. 七、（10分）求微分方程0)(22='+''y x y 满足初始条件(0)0,(0)1y y '==-的特解. 解：令y p '=，原方程化为220p xp '+=，即212dp xdx p -=，积分得：21x C p =+， 21p x C=+.又(0)1y '=-，得1C =-. 211y x '=-，12111ln 211x y dx C x x -==++-⎰ ， 将(0)0y =代入得10C =，所以特解为11ln21x y x -=+.八（10分）求函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面2225x y z ++=(0,0,0)x y z >>>上的最大值.解： 令222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z λ=+++++-.由2220,0,0, 5.x y z F F F x y z '=⎧'=⎪⎨'=⎪++=⎩得222120,120,320,5.x x y y z z x y z λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪++=⎩， 解得1,1,3.x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩由于问题的解是唯一存在的.所以此驻点就是所求的最大值点(1,1,3).此时最大值为3ln 32.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2002-2003学年第 二 学期一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设函数ln(32)xy z x y e =-+，则(1,0)dz =3144dx dy -.5．微分方程0='+''y y x 的通解为12ln y C x C =+.二、选择题（每小题3分，共15分）1．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,,),(222222,y x y x yx xy y x f 则（ .C ）.A ),(lim 0y x f y x →→存在 .B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f ''都存在.D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线⎩⎨⎧=-+=+-632,922222z y x z e x y 在点(3,0,2)处的切线方程为（.B ）.A 32x y z -==- .B 326yx z -==-.C 32214x y z --==- .D {3(2)0x z y -=--=5．设xx x x xe e y e x y xe y +=+==2321,)1(,为某二阶线性非齐次微分方程的三个特解，则该方程的通解为（ .D ），其中321,,C C C 为任意常数..A 332211y C y C y C ++.B 11223C y C y y ++.C x x x xe e e C eC -++2221.D x x xxe e C eC ++221三、设),)((2xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y ∂∂∂.（本题10分）解：122()zx y f yf x∂''=-+∂， 212(2())z x y f yf x y y∂∂''=-+∂∂∂ 1111222()[2()]f x y x y f xf '''''=-+---+22122[2()]f y y x f xf '''''++-+ 221111222224()2()f x y f x y f xyf f ''''''''=---+-++ .四（10分）、求函数)1(),(-=y x y x f 在由上半圆周)0(322≥=+y y x 与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.解：在闭区域D 内，由100x y f y f x ⎧'⎪=-=⎨'==⎪⎩得驻点(0,1)，(0,1)0f =. 在D 的边界)0(322≥=+y y x 上， 令22(,,)(1)(3)F x y x y x y λλ=-++-，由22120,20,3.xy F y x F x y x y λλ⎧'=-+=⎪'=+=⎨⎪+=⎩得{2,1,x y ==(2,1)0f =. 在D 的边界x 轴上，()3,0，()3,0-，()3,03f=-，()3,03f -=，比较以上各函数值，知最大值为()3,03f -=，最小值为()3,03f =-.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2003-2004学年第 二 学期一、填空题 （每小题3分，满分15分）1．微分方程02)(3=-+xdy dx x y 满足56|1==x y 的特解为315y x x =+.5．曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面方程是245x y z +-=.二、选择题（每小题3分，满分15分） 1．函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ .D ）.A 充分但非必要条件.B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件2．微分方程xe x y y y 2323-=+'-"的特解形式为（ .D ）.A ()x ax b e + .B ()x ax b xe +.C ()xax b ce++ .D ()x ax b cxe ++4．．若),(y x f 函数在),(00y x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且满足2000000[(,)](,)(,)0xy xx yy f x y f x y f x y ->，则),(00y x (.A ).A 必不为),(y x f 的极值点.B 必为),(y x f 的极大值点.C 必为),(y x f 的极小值点.D 可能不是),(y x f 的极值点。

成人高考成考高等数学(二)(专升本)复习试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=2x−3x)，则函数的零点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 02、设函数(f(x)=e x sinx)，则该函数的导数(f′(x))为：A.(e x(sinx+cosx))B.(e x(sinx−cosx))C.(e x cosx)D.(e x sinx)3、设函数f(x)=x3-6x2+9x，若函数在x=1处取得极值，则该极值是：A. 4B. 0C. -4D. 84、下列函数中，定义域为实数集的有（）A、f(x) = √(x^2 - 1)B、g(x) = 1/xC、h(x) = |x| + 1D、k(x) = √(-x)5、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))的极值点为：A.(x=−1)和(x=1)B.(x=−1)和(x=2)C.(x=0)和(x=1)D.(x=0)和(x=2)6、设函数(f(x)=3x2−4x+1)，则该函数的图像开口方向是：A. 向上B. 向下C. 水平D. 垂直)，其定义域为((−∞,0)∪(0,+∞))，则函数(f(x))在(x=0)处7、设函数(f(x)=1x的极限值为：A. -∞B. +∞C. 0D. 不存在8、若函数(f(x)=x3−3x2+4x+1)在点(x=1)处可导，且其导数的反函数为(g(x))，则(g′(1))等于：B. -1C. 0D. 29、若函数(f(x)=11+x2)的定义域为(D f)，则(D f)为：A.((−∞,+∞))B.((−∞,−1)∪(−1,+∞))C.((−∞,−1]∪[−1,+∞))D.((−1,1]∪[1,+∞))10、设函数f(x)=1xlnx，则f(x)的导数f′(x)为：A.−1x2lnx+1x2B.1x2lnx−1x2C.1x lnx−1x2D.−1x lnx+1x211、设函数(f(x)=11+x2)，则(f′(0))的值为：A.(−1)B.(0)C.(12)D.(11+02)12、设函数f(x)=x 3−3xx2−1，则f′(1)的值为：A. 1C. 0D. 无定义二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数f(x) = x² - 3x + 2，若f(x)在x=1处的导数为0，则f(x)的极值点为______ 。

2006—2007学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ； （B ）必有→→→→===0c b a ； （C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ； （D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ； （B ）22； （C ）22； （D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ； （B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ； （D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ； （B ）632=-+z y x ； （C ）632=++z y x ； （D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛； （B ）发散；（C ）绝对收敛； （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面； （B ）平行于z 轴，但不通过z 轴； （C ）垂直于z 轴 ； （D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1， 当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛， 故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解 由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-， 最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解 令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。

7、方程04)4(=-y y的通解为 。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。