4.4 幂函数课件下载

2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
2
不合题意,舍去.所以m=2
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
(3)
-2 -2 2.5 5 与 2.7 5
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
y=x 定义域 值域 奇偶性 R R y=x2 R y=x3 y=x
1 2
y=x-1
R ［0,+∞） R ［0,+∞）
{x|x≠0}
{y|y≠0}
［0,+∞）
奇
偶
奇
非奇 非偶
奇
在R 在（-∞，0]上减, 在R上 单调性 上增 在［0，+∞）上增， 增
在［0， 在（-∞，0)上减， +∞）上增， 在(0，+∞)上减
yx 以上问题中的函数具有什么共同特征 ?
a
一般地，函数
yx
a
叫做幂函数(power function) ，

解：(1)因为 y＝x0.5 在[0，＋∞)上是增函数且23＞35， 所以230.5＞350.5.
(2)因为 y＝x3 是 R 上的增函数，且 3.14＜π， 所以 3.143＜π3，所以－3.143＞－π3. (3)因为 y＝12x是减函数， 所以1234＜1212.y＝x12是[0，＋∞)上的增函数，所以3412＞1212. 所以3412＞1234.
A．y＝Байду номын сангаас13
B．y＝x－21
C．y＝x35
D．y＝x23
【解析】y＝x23＝3 x2，其定义域为 R，值域为[0，＋∞)， 故定义域与值域不同． 【答案】D
3．设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为
奇函数的所有 α 值为( )
A．1，3
B．－1，1
C．－1，3
D．－1，1，3
α＝21，所以
f(4)＝
4
1 2
＝2.
【答案】2
讲练互动 探究点 1 幂函数的概念
例 1 函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，且当 x∈ (0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
解：根据幂函数定义得， m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1， 当 m＝2 时，f(x)＝x3 在(0，＋∞)上是增函数， 当 m＝－1 时，f(x)＝x－3 在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． 所以 f(x)的解析式为 f(x)＝x3.
∪(0，＋∞)
函数 性质
奇偶性
单调性
公共点
y＝x
1
y＝x2
y＝x2
奇
非奇非偶 _偶___
(－∞，0)
R 上_增____

图象都过点__(1_,_1_)_．
(2)a>0时，幂函数的图象通过原点，并且在 区间[0，+∞)上是__增__函__数___．
(3)a<0时，幂函数的图象在区间(0，+∞)上 是_减__函__数_．在第一象限内，当x从右边趋向于 原点时，图象在y轴右方无限地逼近_y_轴____， 当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近__x_轴___． (4)当a为奇数时，幂函数为_奇__函__数___，当a为
(0,0)，(1,1)
在第一
象限单 调递_增_
在第一 象限单 调递_减_
(1,1)
基础达标
1. (教材改编题)在函数y=
1 x2
，y=2x2，y=x2+x，
y=1中，幂函数的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
B 解析：
依据幂函数的定义，y=2x2的系数不是1，
y=x2+x是两个函数的和的形式，y=1也不
D 解析： 当y=x-1时，不过(0,0)点，①错； 当n=0时，y=x0是去掉(0,1)的一条直线， ③错；y=x2在(-∞，0)上是减函数，④错， ②③正确，故选D.
4. 已知点
3 ,3 3
3
在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是_____奇___函数 (填“奇”或“偶”)．
解析： 设f(x)=xa，则
到身体的一定部位 A 直接进入腺体内的毛细血管，随血液循 环 B 由导管排出 C 进入淋巴，随淋巴循环 D 在神经纤维中传导
我一定行
2、下列选项中，不属于甲状腺激素作用
的是（ D ）
A 促进动物的生长发育 B 促进新陈代谢 C 提高神经系统的兴奋性 D 降低血糖的浓度

1 x1
1， x2
1
可得 y x 2 在 (0, ) 上为减函数.
(4)图像：从上面的讨论我们已经知道了该函数的基本性质，可是具有该种基本性质的函数，其实很多，那么该函数图象的具体形式从性 质是无法直接画出的，所以我们还需要结合描点法给出函数图象的具体形式.初中时我们已经知道函数图像的画法为：列表、描点、连线.
x
O1
x
O1
x
O1
x
人教版高中数学幂函数课件下载1【PP T教研 课件】
人教版高中数学幂函数课件下载1【PP T教研 课件】
小结：
1、幂函数的定义 2、对于具体的幂函数，能够从函数性质出发画出函数图像 3、从幂函数的图像出发，总结归纳出幂函数的性质
人教版高中数学幂函数课件下载1【PP T教研 课件】
（3）单调性：设 x1, x2 是定义域[0, ) 上的任意两个实数，并且 x1 x2 ，则由不等式的性质可以知道：x12 x22 ，(x2 ) ，所以函数 f (x) x 3 在区间[0, ) 上是增函数.
2
2
（4）最值：由于 f (0) 0 ， f (x) x 3 在区间[, 0]上是减函数， f (x) x 3 在区间[0, ) 上是增函数.可得 x 0, ymin 0 .
（5）图像：列表
x
0
1
2
4
6
8
f (x)
0
1.0
1.6
2.5
3.3
4.0
描点、连线可得：
人教版高中数学幂函数课件下载1【PP T教研 课件】
人教版高中数学幂函数课件下载1【PP T教研 课件】 人教版高中数学幂函数课件下载1【PP T教研 课件】
幂函数的图象与性质

3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
x -3 -2 -1 1 2 3
-2
y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-3
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - -
- - 6 - 4 2 2 4 6
\ \0 … -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 …
4
3
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=x2 9 4 1 0 1 4 9 3
y=x
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27

m2 m 1 1
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,

举例
(2x)^3 = 2^3 × x^3 = 8x^3；(3a^2b)^4 = 3^4 × a^(2×4) × b^4 = 81a^8b^4
17
复杂表达式化简技巧
利用幂的性质进行化简
如a^(m+n) = a^m × a^n，a^(m-n) = a^m ÷ a^n等
注意运算顺序
先进行乘除运算，再进行加减运算；有括号 时，先算括号里面的
2024/3/24
5
幂函数图像与性质
幂函数性质
当a>0时，幂函数在其定义域内是增函数；
2024/3/24
当a<0时，幂函数在其定义域内是减函数；
6
幂函数图像与性质
当a=0时，幂函数为常数函数； 幂函数的值域为[0，+∞)，即所有非负实数。
2024/3/24
7
幂函数与指数函数关系
联系
幂函数和指数函数都是常见的 初等函数，它们在数学和实际 应用中都有广泛的应用。
2024/3/24
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
28
易错难点剖析及注意事项
01
指数取值范围
在幂函数中，指数a可以取Hale Waihona Puke 意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
2024/3/24
图像
一个抛物线
性质
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。对称轴为 x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
2024/3/24
11
三次幂函数

第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
பைடு நூலகம்
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)

《幂函数及其图象》PPT 课件
欢迎来到《幂函数及其图象》PPT课件！本课程将深入探讨幂函数的定义、 图象特点和应用，并提供丰富的例题练习。让我们一起探索这个有趣而强大 的数学概念吧！
什么是幂函数？
幂函数是一类特殊的函数，其定义为f(x) = x^a，其中a为实数常数。幂函数的 通式可以表示为f(x) = kx^a，其中k为比例常数。
根据幂函数的特征值，包括定义域、值域等，求解给定幂函数的相关数值。
3 求解幂函数的方程
通过解方程的方法，求出满足特定条件的幂函数的自变量或因变量的值。
总结
幂函数及其图象的基本概念 幂函数的特点及应用
学习了幂函数的定义和通式，以 及幂函数的图象特点和变化规律。
了解了幂函数在不同领域的实际 应用，如通信、工程和光学等。
幂函数的图象特点
基本性质
幂函数的定义域为实数集，且在定义域上是连 续和可导的。
变化规律
当a>1时，幂函数图象向上开口；当0
图象特点
幂函数的图象随着a的值的不同而呈现出不同的 曲线形状。
对称性
当a为整数时，幂函数图象存在关于y轴和原点 的对称性。
幂函数的应用
幅度调制中的幂函数
幂函数在无线电通信中的幅度 调制中起着重要作用，用于调 整信号的幅度以传输信息。
幂函数在实际生活中的应 用案例
发现了幂函数在日常生活中的实 际应用案例，增加了对数学的实 用性的认识。
压缩机和发电机的特 性曲线
幂函数被广泛用于描述压缩机 和发电机的特性曲线，帮助工 程师优化其性能。
激光功率与时间之间 的关系
幂函数用于描述激光器输出功 率随时间变化的关系，用于控 制激光器的稳定性。
练习题
1 画出幂函数图象

27，1 3
，则幂
函数 f(x)具有的性质是( )
A.在其定义域上为增函数 B.在(0，＋∞)上为减函数
C.奇函数
D.定义域为 R
【解析
】
设幂函数
f(x)＝xα(α为常数)，因为幂函数图像过点
27，1 3
，所以
f(x)＝x－1， 3
所以由 f(x)的性质知，f(x)是奇函数，定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，在(－∞，0)，
尽相同,但也有一些共同的特征:
(1)所有的幂函数在区间 通过点 .
上都有定义,因此在第一象限内都有图像,并且图像都
（2）如果 ,则幂函数的图像通过原点, 并且在区间
上是增函数.
（3）如果 ,则幂函数在区间
上是减函数,且在第一象限内:当 从右边趋
向于原点时,图像在 轴右方且无限地逼近 轴;当 无限增大时,图像在 轴上方且无
(0，＋∞)上是单调递减函数.故选 BC.
课堂练习 【训练 2】(多选)定义域和值域相等的函数为“等域函数”， 下列幂函数为“等域函数”的是( ) A.y＝x3 B.y＝x－13 C.y＝x12 D.y＝x2
【解析】y＝x3 的定义域和值域都为 R，A 正确； y＝x－13的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)，B 正确；
向于原点时,图像在 轴右方且无限地逼近 轴;当 无限增大时,图像在 轴上方且无
限地逼近 轴.
作业布置
教材课后练习
【解析】对于 A，函数 y＝xe 在(0，＋∞)上单调递增，所以πe>3e，故 A 正确.
对于 B，3e－2π<3πe－2，两边同时除以 3π可得 3e－3<πe－3，由函数 y＝xe－3 在(0，
＋∞)上单调递减，可得 B 错误.对于 C，由 logπe>log3e 可得ln1π>ln13，所以 ln π<ln 3，而函数 y＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故 C 错误.对于 D，由πlog3e>3logπe 可得lnπ3>ln3π，所以πln π>3ln 3，所以ππ>33，故 D 正确.故选 AD.

小结：
1.学习了幂函数的概念； 2.利用“还原根式”求幂函数定义
域的方法； 3.利用幂函数在第一象限内的图象 特征，并会根据奇偶性完成整个 函数的图象。 4.利用函数的单调性比较几个“同 指数不同底数”的幂的大小.
课后再探究
整数m, n的奇偶性与幂函数 y x (m, n Z , 且m, n互质)的定 义域以及奇偶性有什么 关系？
一 幂函数的定义：
我们把形如：
yx

的函数称为幂函数，其中 是实常数。 ------为了研究方便，我们只对 是 有理数的情况进行一些讨论
研究几个具体的幂函数
例1 求下列函数的定义域，判断 它们的奇偶性：
(1) y x （3） yx
1 2
(2) y x
2
3 5
例２ 判定函数y=x0.5在定义域上 的单调性.
2 1 0 0 1 2
知识理解、运用
图象性质应用（奇偶性和单调性）
例3、试解下列各题 1
1.画出幂函数 y x 3的图象，并指出它
的单调性
2.比较下列各组数的大小.
(1) 1.5 ,1.7 ,1 (2) ( 2) ,( 3) ,( 5)
3 7 3 7 3 7
1 3
1 3
课堂探究
（1）若(a+1)-2>(3-2a)-2，求实数a 的取值范围。 2-2m-3 m （2）已知幂函数y=x （m∈N) 的图像与x轴、y轴都没有公共点， 且关于y轴对称，求m的值。
重点研究 幂函数在第一象限的图象
• 因为函数的奇偶性能够帮助我们 完成左半平面内的图象，所以只需 要研究它们在第一象限内的图象
二 幂函数在第一象限的图象
利用Excel作出下列幂函数在第一象限的图

(3)当α=0时，幂函数的图像是一条直线.
)
)
(
)
提示：(1)×.幂函数的图像不能出现在第四象限.
(2)×.当α=-1时，函数y=
1
在(-∞，0)，(0，+∞)上是减函数，

在R上不是减函数.
(3)×.函数y=x0的定义域为{x|x≠0}，图像是去除了一个点
的直线.
2.下列函数为幂函数的是 (
A.y=x2
9
1
α
则3 = ，解得α=-2.
9
【答案】A
关键能力·素养形成
类型一
幂函数的概念
1
1
α
典例1.已知幂函数f(x)=x 的图像过点( ， )，
4
则式子4α的值为 (
A.1
B.2
2
)
C.
1
2
D.
1
4
1
2m-5
2.已知函数f(x)=(3-m)x 是幂函数，则f( )
2
=________.
1.
1
1
α
【解析】因为幂函数f(x)=x 的图像过点( ， )，
4.4
幂函数
必备知识·素养奠基
1.幂函数的概念
形如y=xα的函数称为幂函数，其中α是常数.
思考
(1)幂函数的解析式有什么特征?
提示：①系数为1；
②底数为x自变量；
③指数为常数.
(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么？
提示：①自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数
函数的自变量为指数.
②底数不同，幂函数的底数是自变量,指数函数的底数
4
3
1
3
2
5

A．(－1,3)
B．23，32
C．－1，32
D．－∞，－1∪23，32
答案 B
解析 ∵幂函数 f(x)＝xm－2 的图像关于原点对称，且在(0，＋∞)上是减函数， 所以 m－2<0，解得 m<2， 因为 m∈N，所以 m＝0 或 m＝1， ∴当 m＝0 时，0－2＝－2，图像关于 y 轴对称，不满足题意； 当 m＝1 时，1－2＝－1，图像关于原点对称，满足题意， ∴不等式(a＋1)－m2 <(3－2a)－m2 化为，(a＋1)－12<(3－2a)－12， 因为函数 y＝x－12在(0，＋∞)上递减，
探究四 幂函数的性质的应用
【例 4】比较下列各组数的大小：
5
5
(1)3－2 和 3.1－2 ；
7
(2)－8－8
和－1978
；
(3)－23
2 －3
和－π6－23
；
2
2
3
(4)4.15 ，3.8－3 和(－1.9) －5 .
5
解 (1)函数 y＝x－2 在(0，＋∞)上为减函数，
5
5
又 3＜3.1，所以 3－2 ＞3.1－2 .
2
2
2
2
(4)4.15 ＞15 ＝1；0＜3.8－3 ＜1－3 ＝1；
3
(－1.9) －5 ＜0，
3
2
2
所以(－1.9) －5 ＜3.8－3 ＜4.15 .
[变式探究] 已知幂函数 f(x)＝xm－2(m∈N)的图像关于原点对称，且在(0，
＋∞)上是减函数，若(a＋1)－m2<(3－2a) －m2，则实数 a 的取值范围是( )
所以a3＋－12>a>00

[学透用活]
[典例 2] 比较下列各组数中两个数的大小．
(1)250.5 与130.5；
(2)－23－1 与－35－1；
3 (3)2
3 4
与34
3 2
.
[解] (1)∵幂函数 y＝x0.5 在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴520.5>130.5. (2)∵幂函数 y＝x－1 在(－∞，0)上是单调递减的， 又－32<－35，∴－23－1>－35－1.
[对点练清] 1．[变结论]本例条件不变，试判断 f(x)的奇偶性．
解：由典例 3 知，f(x)＝x－2， 则 f(－x)＝(－x)－2＝f(x)，所以 f(x)为偶函数．
2．[变条件]本例中点 P 变为8，21， (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)判断函数 f(x)的单调性．
解：∵f(x)的图像过点 P8，12， ∴8α＝21，即 23α＝2－1， ∴3α＝－1，即 α＝－31，
C
中
y＝x
3 5
＝5
x3，D
中
y＝x
4 3
＝3
x4，定义域均为
R.
答案：B
2．给出下列说法：
①幂函数图像均过点(1,1)；
②幂函数的图像均在两个象限内出现；
③幂函数在第四象限内可以有图像；
④任意两个幂函数的图像最多有两个交点．
其中说法正确的有
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
()
解析：根据幂函数的图像特征可知①正确，②③④错误． 答案：A
本课结束
[解] 因为 f(x)＝xα 的图像过点 P2，14， 所以 f(2)＝14，即 2α＝14，得 α＝－2， 即 f(x)＝x－2，f(x)的图像如图所示，定义域为(－∞，0) ∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)， 单调增区间为(－∞，0)．