人教版高中数学课件3.3幂函数

【变式】幂函数 y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq 的图象如图，则将 m、n、p、
n<q<m<p
q 的大小关系用“<”连接起来结果是________.
[解析] 过原点的指数α>0，不过原点的α<0，
∴n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，
∴p>1,0<m<1,0<q<1；
即幂函数 = 是增函数.
【变式】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性.
(1)y＝x
2
.(2)y＝x3
－2
.
1
[解析] (1)y＝x－2＝x2，定义域是{x|x≠0}，是偶函数．
2
(2)y＝x3
3
＝ x2，定义域是 R，是偶函数．
题型五：幂函数性质的综合应用
例5.已知函数() =
（2）幂函数的图象都不过第二、四象限. （ × ）


（3）当幂指数取1,3， 时，幂函数 = 是增函数.（ √ ）
（4）若幂函数 = 的图象关于原点对称，则 = 在定义域内随的增大
而增大.（ ×）
4.若四个幂函数图象 = , = , = , = 在同一坐标系中的图象如图所示，
1
2 +
( ∈ ∗ ).
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在定义域上的单调性；
解：(1)∵2 + = ( + 1), ∈ ∗ ,
∴与 + 1中有一个必为偶数，
∴该函数的定义域为[0, +∞),
由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增.
例5.已知函数() =

()
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限．
()
(3)当幂指数 α 取 1,3，12时，幂函数 y＝xα 是增函数．
()
(4)若幂函数 y＝xα 的图象关于原点对称，则 y＝xα 在定义域内 y 随 x 的增大
而增大．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为
(1)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图 象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的 指数由大变小．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至 于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时 出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[典例 2] 若点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点－2，14在幂函数 g(x)的 图象上，问：当 x 为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)?
[解] 设 f(x)＝xα，因为点( 2，2)在幂函数 f(x)的图 象上，所以将点( 2，2)代入 f(x)＝xα 中，得 2＝( 2)α， 解得 α＝2，则 f(x)＝x2.同理可求得 g(x)＝x－2.
解得 1≤a<32.
故 m 的值为 1，满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围为1，32.
[方法技巧] 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇 偶性等．
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函 数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远 离x轴(简记为指大图高)．

解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.

第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
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1.幂函数的概念 一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单 调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从 上到下，相应的幂指数由大变小.
已知 n 取±2，±12四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－12，－2
C.－12，－2，2，12
D.2，12，－2，－12
解析 根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，n 越大，y＝xn
递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝12；当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所
奇偶性 _奇___
_偶___
_奇___ __非__奇__非__偶__
__奇__
x∈[0，＋∞)， 单调性 _增___ __增__
x∈(－∞，0]， __减__
_增___
__增__
x∈(0，＋∞)，_减___ x∈(－∞，0)，_减___
公共点
都经过点（__1_，__1_）___
教材拓展补遗
[微判断] 1.函数y＝－x2是幂函数.( × )
【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________. 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案 16
题型二 幂函数的图象及其应用 关键取决于α>0，α<0

3.3 幂函数
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
A.－1＜n＜0＜m＜1 B.n＜－1,0＜m＜1 C.－1＜n＜0，m＞1 D.n＜－1，m＞1
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例4 如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，
则解析式中的指数α依次可以取( C )
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
C
Hale Waihona Puke 03 题型2－ 幂函数的图象与性质
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型3－ 利用幂函数的性质比较大小
答案：>，<，>，<，<，<.
03 题型4－幂函数性质求参问题
例8 若(a+2)-0.5<(8-2a)-0.5，求实数a的取值范围？
03 题型4－幂函数性质求参问题

在_(－_∞__，_0_) __上递 减，在_(0_，_＋_∞__) __ 上递增
在R上递 增
在[_0，__＋_∞_)__ 上递增
在(－∞， 0)和(0，＋ ∞)上递减
函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝1x
图象
过定点
__________(0_，_0_)，__(1_，_1_) ______________
解析：(1)因为f(x)＝(2m2＋m－2)x2m＋1是幂函数，所以2m2＋m－2＝1，解得m＝－32或m＝1， 又f(x)是增函数，2m＋1>0即m>－12，∴m＝1，则f(x)＝x3. (2)因为f(x)为增函数，所以由f(2－a)<f(a2－4)可得2－a<a2－4，解得a>2或a<－3， ∴a的取值范围是{a|a>2或a<－3}．
3.3 幂函数
预学案
共学案
预学案
一、幂函数❶ 一 般 地 ， 函 数 __y_＝_x_α ___ 叫 做 幂 函 数 ， 其 中 ____x____ 是 自 变 量 ， ____α____是常数．
微点拨❶
幂函数的特征： (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有同时满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y ＝xα＋6的函数都不是幂函数．
提示：这些活动的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
例1 已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函 数．
解析：因为函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则m2－m－1＝1， 解得m＝－1或m＝2.

1
1
0.5
0.125
0
0
知识点二 五个幂函数的图象
定义域
值域
奇偶性
单调性
R
R
奇
增
知识点二 五个幂函数的图象
在同一平面直角坐标系内画出以上五个函数图象.
- 9 -
知识点三 一般幂函数的性质
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?
- 10 -
知识点三 一般幂函数的性质
不管指数是多少,图象都经过哪个定点?
知识点三 一般幂函数的性质
- 14 -
百“炼”成钢，熟能生巧
幂函数性质的应用
比较幂值大小关键是看指数相同还是底数相同，若指数相同利用幂函数的单调性；若底数相同，利用“指大图高”判断；若底数，指数都不相同，构造中间量。
规律总结
- 15 -
课堂练习
-1
-16 -
- 17 -
了解幂函数的概念会画常见幂函数的图象结合图像了解幂函数图象的变化情况和简单性质会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同课老师：
时间：2024年9月15日
- -
幂函数
01/
幂函数的概念
目录
02/ 幂函数的图象与性质
03/ 综合应用
-0 -
情景导入
写出下列y关于x的函数关系式：(1)购买每千克1元的蔬菜x千克，需要支付的钱数y；(2)正方形的边长为x，正方形的面积y；(3)正方体的边长为x，正方体的体积y；(4)正方形的面积为x，正方形的边长y；(5)某人x s内骑车进行了1 km，她骑车的平均速度y；
- 5 -
知识点二 五个幂函数的图象
函数
定义域
R
R
值域

α


∴f(2)=,∴2 =,解得 α=-2,
∴f(x)=x-2.
f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递
增区间为(-∞,0).
反思感悟
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第


(2)y= 的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图




象是上升的,函数 y= -1 的图象可看作由 y= 的图象向下平


移 1 个单位长度得到(如选项 A 中的图象所示),将 y= -1 的图
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:(1)B (2)B
探究二 幂函数的性质及其应用




对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1) <(3-a) 的实
数 a 的取值范围.
解:∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得 m<3.
又 m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1,Leabharlann -


-
-
∴有(2a-1) <(3-a) .∵y= 在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减,
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;
(2)4.8-3,4.9-3;
(3) -
-

, -
-

.
解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,

v是t的函数； 【以上各个函数有什么共同的特征？】
可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，
幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如
的函数.
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
第四页，共二十九页。
1 幂函数的概念
【1】在函数①
⑤
⑥
②
③
题④
第二十五页，共二十九页。
题⑤
第二十六页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十七页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十八页，共二十九页。
第二十九页，共二十九页。
新教材人教版高中数学必修第一册 3.3 幂函数 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
第3章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
第一页，共二十九页。
01 幂函数的概念 02 幂函数的特征 03 幂函数的图像
04 幂函数的性质
05
幂函数奇偶性的判断方法
06 幂函数增减性的证明
比较大小用作差法.由的大小，比较自变量的大小.
第十六页，共二十九页。
5
第十七页，共二十九页。
5
奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 非奇非偶函数
第十八页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
第十九页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
【例题】证明幂函数
，
，又
两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以
为正奇数，所以函数的定义域为R.

2，

则 k＋α＝
()
A．12
B．1
C．32
D．2
解析：∵幂函数 f(x)＝kxα(k∈R ，α∈R )的图象过点12，

2，

∴k＝1，f 12＝12α＝ 2，即 α＝－12，∴k＋α＝12. 答案：A
3．若 y＝ax a2＋12 是幂函数，则该函数的值域是________． 解析：由已知 y＝ax a2＋12 是幂函数，得 a＝1，所以
A．y＝x＋2
B．y＝x2
C．y＝ x
D．y＝x3
解析：设幂函数的解析式为 y＝xα，当 x＝2 时，y＝4，
故 2α＝4，即 α＝2.
答案：B
知识点二 五个幂函数的图象与性质 (一)教材梳理填空
解析式 y＝x
y＝x2 y＝x3
1
y＝x 2
图象
y＝1x
定义域 _R__
_R__
__R_ _[0_，___＋__∞__) {_x_|_x_≠__0_}
[精准训练]
1．下列不等式在 a＜b＜0 的条件下不能成立的是 ( )
A．a－1＞b－1
1
1
B．a 3 ＜b 3
C．b2＜a2
-2
-2
D．a 3 ＞b 3
解析：分别构造函数
y＝x－1，y＝x
1 3
，y＝x2，y＝x -
2 3
，其
中函数 y＝x－1，y＝x2 在(－∞，0)上为减函数，故 A、C
成立．而
2．已知函数 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，则 a＝(
)
A．－1 或 2
B．－2 或 1
C．－1
D．1
解析：因为 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，所以 a2－a －1＝1，所以 a＝2 或－1.又 a－2≠0，所以 a＝－1. 答案：C

[教材提炼]
预习教材，思考问题
函数 f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝1x，以前叫什么函数，它们有什么共同特征？
知识梳理 (1)一般地，函数__y_＝__x_α__叫做幂函数(power function)，其中 x 是自变量， α 是常数． (2)幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数； ②底数是自变量，自变量的系数为 1； ③幂 xα 的系数为 1； ④只有 1 项．
若函数 f(x)＝(2m＋3)xm2－3 是幂函数，则 m 的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：幂函数是形如 f(x)＝xα 的函数，所以 2m＋3＝1，∴m＝－1.
答案：A
探究二 幂函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的图象
[例 2] 幂函数 y＝x2，y＝x－1，y＝ 内的图象依次是图中的曲线( ) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
由题意得(a＋
.
∵y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， ∴a＋1＞3－2a＞0 或 0＞a＋1＞3－2a 或 a＋1＜0＜3－2a， 解得23＜a＜32或 a＜－1.
利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与 幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
[解析] y＝ ＝3 x2≥0，故只有 D 中的图象适合． [答案] D
3．如果一个函数 f(x)在其定义域内对任意 x，y 都满足 fx＋2 y≤12[f(x)＋f(y)]，则称这 个函数为下凸函数．下列函数：

性质，培养逻辑推
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 理的数学素养.
自主预习 探新知
1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12， y＝x－1的图象如图所示：
谢谢~
数．( )
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上
是减函数．( )
2．幂函数的图象过点(2， 2)， 则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1 B．y＝x12 C．y＝x2 D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝ 2， ∴α＝12，∴f(x)＝x12. 选B.]
3．函数 y＝x54的图象是( )
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象
多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f12＝
12log23＝13.]
幂函数的图象及应用 【例2】 点( 2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)的图象 上，问当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
m2＋2m－2＝1，
[解] 由题意得m2－1≠0， 2n－3＝0，
m＝－3， 解得n＝32，
所以m＝－3，n＝32.
判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的 形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2 底数为自变量；3系数为1.

证明:任取 x1, x2 [0,), 且x1 x2,则
f (x1) f (x2 )
x1
( x2
x1
x2 )( x1 x1 x2
x2 )
x1 x2 , x1 x2 0, x1 x2 0, f(x1) f(x2).
x1 x2
方法技巧:分子有理化
所以幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
内的图象，已知 k分别取 1,1, 2, 1 四个值，
则相应图象依次为:_C_4__C_2_C_1_ C3
2
1
解后反思：幂函数图象在直线x=1的右侧时:图象越高, 指数越大;图象越低，指数越小。在Y轴与直线x =1之 间正好相反。
归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况
1 0
0 1
0 1
0
1
在上 (1,) 任取一点
理论
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y
1 0
指数大于1,在第一象限为
a>1
抛物线型（凹）；
a=1
指数等于1,在第一象限为
0<a<1 上升的射线；
指数大于0小于1,在第一象
a<0
限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为
1
x 水平的射线；
指数小于0,在第一象限为
双曲线型；
变式1.若a3 (3 2a)3,求实数a的取值范围.
（1）都是以自变量x为底数； （2）指数为常数； （3）自变量x前的系数为1; （4）只有一项。
y=x-1
一般地，我们把形如 y x 的函数叫做幂函数，
其中x为自变量， 为常数。
⑥
幂函数
（1） 底数为自变量 ； （2） 指数为常数； （3） 幂的系数为1 .

证明：函数f()的定义域是[0,+∞）.
∀1 , 2 ∈ [0,+∞），且1 < 2 ，有
f(1 )− f(2 )= 1 − 2
=
=
( 1 − 2 )( 1 + 2 )
1 + 2
1 −2
1 + 2
因为1 − 2 < 0， 1 + 2 > 0
所以f(1 )< f(2 )，即幂函数f()= 是增函数
增函数
增函数
(-∞,0)单调递减
(-∞,0]单调递减
过定点
y=x-1
(1,1)
讲授新课
3.一般幂函数的图象及性质
α ＞1
α =1
4
0＜ α ＜1
3
2
1
6
4
2
1
α ＜0
(1,1)
(0,0)
2
4
6
2
3
4
（1）所有幂函数在(0,+∞)上都有意义，图象都过点(1,1)，且一定会出现在第一
象限，不会出现在第四象限；
类型三 幂函数性质的应用
角度 1：比较大小
【例 2】 比较下列各题中两个值的大小．
[ 解]
(1)因为 y＝
(2)因为 y＝
所以
(3)因为 y＝
为[0，＋∞)上的增函数，且 2.3<2.4，所以
为(0，＋∞)上的减函数，且 2< 3，
.
为 R 上的偶函数，
所以
又函数 y＝
所以
为[0，＋∞)上的增函数，且 0.31<0.35，
② xα的指数为常数，
③ xα的底数为单个的自变量x.
自主练习