2021届海南省海口市华侨中学高三上学期第一次月考数学试题

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海南华侨中学2021届
高三第一次月考（数学）参考答案
17. 【答案】解：因为的最小正周期为，所以，解得． 选：因为，所以，解得． 因为，所以又因为， 所以，即，所以所以．
选：因为，都有， 所以时，取得最大值，即， 所以，所以 因为，所以又因为， 所以，即，所以所以． 因为，所以， 所以，
当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为； 所以取得最小值为，最大值为．
18.(1){}n a 的通项公式为2n
n a =.
(2)
2
1o 32
n n a b g =，代入2n
n a =化简得5n b n =- {}n b ∴是等差数列， ∴其前n 项和()
452
n n n T -+-=
=
292
n n
-. 19.证明：连结BD ，交AC 于O ，连结FO
底面ABCD 为菱形，O 为BD 中点，F 为PD 中点，则PB ∥FO ，又PB ⊄平面AFC ，FO ⊂平面AFC ， 则PB ∥平面AFC
底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，E 为BC 的中点，则AE ⊥BC ，则AE ⊥AD .。

海南华侨中学2021届高三第一次月考（数学）注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第I 卷（选择题）一、单选题(共40分)1．设全集U R =,(){}{}30,1M x x x N x x =-<=<-，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）. A ．{|1}x x ≥- B ．{|30}x x -<< C ．{|3}x x ≤- D ．{|10}x x -≤< 2．若复数2(12iz i i-+=+为虚数单位)，则2(z += ) A ．2B ．5C ．3D ．53.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，则“sinA >sinB ”是“a >b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在a =log 30.1，tan4b π=，c =2−12，d =sin2中，最大的数为( )A. aB. bC. cD. d5．若πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα=( ) A ．25 B ．355 C ．52- D ．5 6．若函数()1cos 1x f x a x e ⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数，则常数a 的值等于（ ） A ．1- B ．1 C ．12- D ．127．若3sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-C ．32D ．3-8.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()2f x f x -=，若()21f =，则()()()()2132020f f f f +++=（ ）A ．2020B ．2020-C ．0D ．2二、多选题(共20分)9．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，||2||AB CD =，AD 与BC 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ） A ．12AD AC AB -=B ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ C ．|2|0OA OD += D ．2133OA DC DB =+ 10．设函数()4sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象为C ，则下列结论中正确的是（ ） A ．图象C 关于直线512x π=-对称 B ．图象C 关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数 D ．把函数()4sin 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C11．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c =B ．AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆12．已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)82e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）三、填空题(共20分)13.()()1tan171tan 28+︒+︒=． 14.函数()22() log log 2f x x =的最小值为 .15．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++>⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣，则实数ω的取值范围是_____________.16．在角1θ、2θ、3θ、...、30θ的终边上分别有一点1P 、2P 、3P 、 (30)，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k ︒-︒︒+︒，130k ≤≤，k ∈N ，则12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______．四、解答题(共70分)17．(本题10分)已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为 4π．(1)从①f(−π3)=0；②f(−2π3)=−1；③∀x ∈R ，都有f(x)≤f(2π3)这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数f (x )的解析式； (2)求(1)中所求得的函数f (x )在区间[−2π3,π3]上的最大值和最小值．18．(本题12分)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且122316a a +=，23264a a a =⋅.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令21o 32nn a b g =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．(本题12分)如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB PA ==，E ，F 分别为BC ，PD 的中点.（1）求证：PB ∥平面AFC ；（2）求平面PAE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.20．(本题12分)已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos a c B b C -=． （1）求B 的大小；（2）如图，AB AC =，在直线AC 的右侧取点D ，使得24AD CD ==．当角D 为何值时，四边形ABCD 面积最大．21．(本题12分)支付宝作为常见的第三方支付工具，对提现转账均收费，有鉴于此，部分对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系，某调查机构对此进行调查，并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取200人，把这200人分为3类：认为使用支付宝方便，仍使用支付宝提现转账的用户称为“A 类用户”；根据提现转账的多少确定是否使用支付宝的用户称为“B 类用户”；提前将支付宝账户内的资金全部提现，以后转账全部通过银行的用户称为“C 类用户”，各类用户的人数如图所示：同时把这200人按年龄分为青年人组与中老年人组，制成如图所示的22⨯列联表：A 类用户 非A 类用户合计A 类用户120名B 类用户60名 —C 类用 户20名ABCD（Ⅰ）完成22⨯列联表并判断是否有99.9%的把握认为“A 类用户与年龄有关”；（Ⅱ）从这200人中按A 类用户、B 类用户、C 类用户进行分层抽样，从中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求在这4人中A 类用户、B 类用户、C 类用户均存在的概率；（Ⅲ）把频率作为概率，从支付宝的全球所有用户中随机抽取3人，用X 表示所选3人中A 类用户的人数，求X 的分布列与期望. 附：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）22. (本题12分)已知函数()()ln f x e x ax a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20xxf x e ex -+≤海南华侨中学2021届高三第一次月考（数学）参考答案17. 【答案】解：(1)因为f (x )的最小正周期为4π，所以2πω=4π，解得ω=12． 选①②：因为f (−π3)=0，所以sin(−π6+φ)=0，解得φ=π6+kπ,k ∈Z ． 因为|φ|<π2，所以φ=π6.又因为f(−2π3)=−1，所以Asin(−π3+π6)=−1，即Asin(−π6)=−1，所以A =2.所以f(x)=2sin(12x +π6)． 选②③：因为∀x ∈R ，都有f(x)≤f(2π3)， 所以x =2π3时，f (x )取得最大值，即sin(π3+φ)=1， 所以π3+φ=π2+2kπ,k ∈Z ，所以φ=π6+2kπ,k ∈Z. 因为|φ|<π2，所以φ=π6.又因为f(−2π3)=−1，所以Asin(−π3+π6)=−1，即Asin(−π6)=−1，所以A =2.所以f(x)=2sin(12x +π6)． (2)因为x ∈[−2π3,π3]，所以12x +π6∈[−π6,π3]，所以sin(x2+π6)∈[−12,√32]，当x =−2π3时，f (x )取得最小值为−1；当x =π3时，f (x )取得最大值为√3； 所以f (x )取得最小值为−1，最大值为√3．18.(1){}n a 的通项公式为2nn a =.(2)21o 32n n a b g =，代入2nn a =化简得5n b n =- {}n b ∴是等差数列， ∴其前n 项和()452n n n T -+-==292n n-. 19.证明：连结BD ，交AC 于O ，连结FO底面ABCD 为菱形，O 为BD 中点，F 为PD 中点，则PB ∥FO ，又PB ⊄平面AFC ，FO ⊂平面AFC ，则PB ∥平面AFC底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，E 为BC 的中点，则AE ⊥BC ，则AE ⊥AD .以A 为原点，AE ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系.则A （0，0，0），P （0，0，2），E （3，0，0），C （3，1，0），D （0，2，0）()3,0,0AE =，()0,0,2AP =，()3,1,0DC =-，()0,2,2DP =-因为AD ⊥平面PAE ，所以平面PAE 的法向量()0,1,0m =设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，则由00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30220x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩则()1,3,3n =21cos ,7m n m n m n⋅==，设平面PAE 与平面PCD 所成锐二面角的平面角为θ，则21cos θ= 20.（1）（法一）：在ABC ∆中，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=2sin cos sin cos sin cos sin()A B B C C B B C ∴=+=+2sin cos sin A B A ∴= sin 0A ≠ 1cos 2B ∴=0B π<<，故3B π=．（法二）在ABC ∆中，由余弦定理得222222(2)22a c b a b c a c b ac ab+-+--⨯=⨯2222221cos =022a cb ac b ac B B ac π+-∴+-=∴=<<,,故3B π=．（2）由（1）知，3B π=且AB AC =，ABC ∆为等边三角形，设D α∠=，则在ABC ∆中，由余弦定理得216416cos 2016cos AC αα=+-=-，211sin 5343cos ,42sin 4sin 232ABC ACD S AC S πααα∆∆∴=⨯⨯=-=⨯⨯=∴四边形ABCD 的面积5343cos 4sin 538sin()3S πααα=-+=+-20,333πππαπα<<∴-<-<∴当32ππα-=即56πα=时，max 853S =+所以当56D π∠=时，四边形ABCD的面积取得最大值8+． 21.（Ⅰ）22⨯列联表补充如下：()222008060402010010012080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 33.33310.828≈>.所以有99.9%的把握认为“A 类用户与年龄有关”.（Ⅱ）从这200人中按A 类用户、B 类用户、C 类用户进行分层抽样，从中抽取10人，则A 类用户6人、B 类用户3人、C 类用户1人，设A 类用户、B 类用户、C 类用户均存在的事件为事件D ，()211121631631410C C C C C C P D C += 4518321010+=， 所以在这4人中A 类用户、B 类用户、C 类用户均存在的概率为310. （Ⅲ）把频率作为概率，从支付宝所有用户中抽取3人，可近似看作3次独立重复试验，所以X 的取值依次为0，1，2，3，且3~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()3033015P X C ⎛⎫==- ⎪⎝⎭8125=，()13315P X C ==⋅ 233615125⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ()223325P X C ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭ 35415125⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()333335P X C ⎛⎫== ⎪⎝⎭27125=. 所以()f x 的分布列为39355EX =⨯=.22. 解：（1）()()'0ef x a x x=->, ①若0a ≤，则()'0f x >，()f x 在()0,+∞上单调递增； ②若0a >，则当0e x a <<时，()'0f x >，当ex a>时，()'0f x <， 故()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，,ea⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）证明：法一：因为0x >，所以只需证()2xe f x e x≤-，当a e =时，由（1）知，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 1f x f e ==-.记()()20xe g x e x x =->，则()()21'x x e g x x-=，所以当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减； 当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以()()min 1g x g e ==-.综上，当0x >时，()()f x g x ≤，即()2x e f x e x≤-，即()20xxf x e ex -+≤法二：要证()20xxf x e ex -+≤即证2ln 20x ex x ex e ex --+≤，从而等价于ln 2xe x x ex-+≤设函数()g ln 2x x x =-+则()1g'1x x =-所以当()0,1x ∈，()g'0x >当()1,x ∈+∞，()g'0x < 故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 从而()g x 在()0,+∞上的最大值为()11g =设函数()xe h x ex =，则()()21'x e x h x ex-=，所以当()0,1x ∈，()'0h x <，当()1,x ∈+∞，()'0h x >， 故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，从而()h x 在()0,+∞上的最小值为()11h =，综上，当0x >时，()()g x h x ≤，即()20xxf x e ex -+≤6。

2021届海南省海口市华侨中学高三第一次月考数学试题一、单选题1．设全集U =R ，(){}{}30,1M x x x N x x =+<=<-，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥-B ．{|30}-<<x xC ．{|3}x x ≤-D ．{|10}x x -≤<【答案】D【解析】先化简集合M ，判断Venn 图表示集合()UN M ⋂，再利用集合运算即得结果.【详解】由题意可知，(){}{}3030M x x x x x =+<=-<<，阴影部分用集合表示为()UN M ⋂， 而{}1N x x =<-，故{}1UN x x =≥-，(){|10}U N M x x ∴=-≤<.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，考查了Venn 图，属于基础题. 2．若复数2(12iz i i-+=+为虚数单位)，则2(z += ) A 2 B 5C ．3D ．5【答案】B【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案． 【详解】()()()()212251212125i i i i z i i i i -+--+====++-，则222125z i +=+=+=B ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得sin sin 22a bA B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C. 4．在3log 0.1a =，tan 4b π=，122sin2c d -==，中，最大的数为（ ） A ．a B ．bC ．cD ．d【答案】B【解析】逐一判断各数的范围，即找到最大的数. 【详解】因为33log 0.1g 1lo a =<，所以0a <；tan 14b π==；1212c -=<；sin21d =<. 故1b =最大. 故选：B. 【点睛】本题考查了根据实数范围比较实数大小，属于基础题. 5．若πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα=（ ）A ．25 B C ．25-D 【答案】A【解析】先利用两角和的正切公式求得tan α值，再根据齐次式化弦为切求sin cos αα即可. 【详解】因为πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，所以tan 2α=， 则222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5αααααααα===++. 故选：A. 【点睛】本题考查了两角和的正切公式和利用齐次式进行弦化切的应用，属于基础题. 6．若函数()1cos 1x f x a x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则常数a 的值等于（ ） A ．1- B ．1C ．12-D ．12【答案】D【解析】根据奇函数的定义，由题中条件，得到()11cos cos 11x xa x a x e e -⎛⎫⎛⎫+-=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简整理，即可的出结果. 【详解】因为函数()1cos 1xf x a x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数， 所以()()f x f x -=-，即()11cos cos 11x xa x a x e e -⎛⎫⎛⎫+-=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 则11cos 011x xa a x e e -⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12011x x xe a e e ++=--，则210a -=，所以12a =. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，属于基础题型.7．若sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12-C ．2D ． 【答案】A【解析】先根据已知条件利用二倍角公式求cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭，再利用诱导公式求2sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭即可. 【详解】sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭221cos 2cos 212sin 12612122πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=--=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1cos 262πα⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，故2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭21cos 2cos 23262πππαα⎛⎫⎛⎫--+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.8．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足()()2f x f x -=，若()12f =，则()()()()2132020f f f f +++=（ ）A ．2020B ．2020-C ．0D ．2【答案】C【解析】由奇函数和()()2f x f x -=得出函数为周期函数，周期为4，然后计算出(3),(2),(4)f f f 后可得结论．【详解】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且(0)0f =， 又由()()2f x f x -=，得(2)()()f x f x f x +=-=-， 可得(4)()f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(2)(0)0f f ==,(4)(0)0f f ==， 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以(1)(2)(3)(2020)505[(1)(2)(3)(4)]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=.故选：C . 【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性，周期性，解题关键是由奇函数的性质和对称性得出函数为周期函数，属于中档题．二、多选题9．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，||2||AB CD =，AD 与BC 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．12AD AC AB -=B ．0AB BC CD DA +++= C ．|2|0OA OD += D ．2133OA DC DB =+ 【答案】ABC【解析】由条件可知，OCD OAB ，所以12CD OD AB OA ==，再根据向量加减法的法则，分别计算每个选项. 【详解】A.12AD AC CD AB -==，所以A 正确； B. 0AB BC CD DA +++=正确，所以B 正确； C.OCDOAB ，所以12CD OD AB OA ==，即12OD OA =-，所以200OA OD OA OA +=-==，所以C 正确；D.()()22224233333OA DA DB BA DB DC DB DC ==+=+=+，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】本题考查向量加，减法，以及平面向量基本定理的应用，属于基础题型，本题后两个选项的判断，需根据条件OCD OAB ，所以12CD OD AB OA ==，确定向量关系. 10．设函数()4sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象为C ，则下列结论中正确的是（ ） A ．图象C 关于直线512x π=-对称 B ．图象C 关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数 D ．把函数()4sin 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C 【答案】AC【解析】运用三角函数图象和性质来判断四个选项中函数图象的对称性、单调性及图象平移是否正确. 【详解】对于A ,函数()4sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称轴方程为2()32x k k Z πππ+=+∈,解得()122k x k Z ππ=+∈,当1k =-时可得512x π=-,所以图象C 关于直线512x π=-对称正确.对于B ,函数()4sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心为2()3x k k Z ππ+=∈,解得(k Z)62k x ππ=-+∈,当0k =时可得6x π=-,所以图象C 关于点,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,而不是关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,故B 选项不正确.对于C ,函数()4sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的单调增区间为222()232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,解得 5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈当0k =时51212x ππ-≤≤,所以函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数正确. 对于D ,把函数()4sin 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到函数()4sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象,不是图象C ,故D 选项不正确. 综上AC 正确 故选AC【点睛】本题考查了三角函数图象与性质,求解三角函数图象的轴对称性和中心对称问题以及三角函数的单调性,需要熟练掌握基础知识并运算正确,依据图象的平移能够得到平移后的图象解析式.本题较为综合.11．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( )A ．::7:5:3a b c =B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆面积是4【答案】ABD【解析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误； 若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1sin 2ABC S bc A ∆==，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题12．已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．1(0,1)x ∃∈，2(1,3)x ∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222,,82e e e ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【解析】根据零点的概念，可判断A 错；根据导数的方法判定()f x 单调，求出(0,1)x ∈，以及(1,3)x ∈时的值域，即可判断B 正确；根据B 中函数单调性，即可判断出C 正确；根据题中条件，得到函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，用导数的方法判定函数()g x 单调性，求出极值，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】对于选项A ，零点不是一个点，所以A 错误；对于选项B ，当1x <时，()xf x xe =，则()(1)xf x x e '=+， 由()0f x '>得11x -<<；由()0f x '<得1x <-；所以()xf x xe =在()1,1-上单调递增；在(),1-∞-上单调递减；所以(0,1)x ∈时，()f x 单调递增，则0()<<f x e ；当1x >时，3()x e f x x =，则4(3)()x e x f x x-'=， 由()0f x '>得3x >；由()0f x '<得13x <<；所以3()xe f x x =在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增；所以(1,3)x ∈时，(3)()(1)f f x f <<，即3()27e f x e <<；所以1(0,1)x ∃∈，2(1,3)x ∈，使12()()f x f x >，即B 正确；对于选项C ，由选项B 中判断的函数的单调性，可得(1)f -和(3)f 为两个极小值；且31(1)(3)27f f e e -=-<=；所以min 1()(1)f x f e =-=-，则()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣，选项C 正确.对于选项D ，221()1x x x e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，若()0g x =，则0x =；则关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根 ⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，当1x <时，2()(2)xg x e x x '=+，当x 变化时，()'g x ，()g x 的变化情况如下：极大值2(2)g e-=，极小值(0)0g =； 当1≥x 时，3(2)()xe x g x x-'= 当x 变化时，()'g x ，()g x 的变化情况如下：极小值2(2)4e g =，画出函数221()1xxx e xg x exx⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，大致图像如下，由图像可得，只需22424<<eae或2a e>，即a的取值范围是222,,82e ee⎛⎫⎛⎫⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查由导数的方法研究函数单调性、最值，以及方程有实根的问题，属于常考题型.三、填空题13．（1+tan17°）（1+tan28°）=______．【答案】2【解析】试题分析：由于原式=1+tan17°+tan28°+tan17°•tan28°，再由tan（17°+28°）==tan45°=1，可得tan17°+tan28°=1﹣tan17°•tan28°，代入原式可得结果．解：原式=1+tan17°+tan28°+tan17°•tan28°，又tan（17°+28°）==tan45°=1，∴tan17°+tan28°=1﹣tan17°•tan28°，故（1+tan17°）（1+tan28°）=2，故答案为2．14．函数2()log )f x x =的最小值为__________．【答案】14-【解析】试题分析：()()()2222222111log 2log 1log log log 224f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=⋅+=+=+- ⎪⎣⎦⎝⎭所以，当21log 2x =-，即2x =时，()f x 取得最小值14-. 所以答案应填：14-. 【考点】1、对数的运算；2、二次函数的最值.15．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣，则实数ω的取值范围是_____________. 【答案】11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先利用两角和的正弦公式化简整理()f x ，再结合题中x 范围与()f x 值域得到3πωπ+范围，即得结果.【详解】函数()3sin cos cos 6223f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在[]0,x π∈上，,333x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又f x 在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣，sin 3x πω⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2233πππωπ∴≤+≤ 1163ω∴≤≤.故答案为：11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了两角和的正弦公式与正弦型函数值域的应用，属于中档题.16．在角1θ、2θ、3θ、…、30θ的终边上分别有一点1P 、2P 、3P 、…、30P ，如果点kP 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k ︒-︒︒+︒，130k ≤≤，k ∈N ，则12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______．【答案】4【解析】利用诱导公式将点k P 的坐标变为()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒-，然后根据三角函数定义可得()cos sin 15k k θ=︒-，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果. 【详解】k P ()()()15,75sin k sin k ︒-︒︒+︒，即()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒︒-︒由三角函数定义知()cos sin 15k k θ=︒-︒12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=()()sin14sin13sin 14sin 15︒+︒++-︒+-︒sin14sin13sin14sin15=︒+︒+-︒-︒sin15=-︒ ()sin 4530=-︒-︒cos45sin30sin 45cos30=︒︒-︒︒=【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.四、解答题17．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，（0A >，0>ω，2πϕ<）的最小正周期为4π.（1）从①03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2 13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；③x R ∀∈，都有()23f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数()f x 的解析式； （2）求（1）中所求得的函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）最小值为-1【解析】（1）先根据周期得ω，①或③都能确定ϕ，所以选①②或②③，再根据②确定A ；（2）先根据自变量范围得126x π+范围，再根据正弦函数性质求最值. 【详解】（1）因为()f x 的最小正周期为4π， 所以24ππω=，解得12ω=. 选①②： 因为03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 解得6k πϕπ=+，k ∈Z .因为2πϕ<，所以6π=ϕ. 又因为213f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以sin 136A ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即sin 16A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2A =.所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选②③：因为x ∀∈R ，都有()23f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以23x π=时，()f x 取得最大值，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以232k ππϕπ+=+，k Z ∈，所以2πϕ<，所以6π=ϕ. 又因为213f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以sin 136A ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即sin 16A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以2A =. 所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）因为2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1,2663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦， 当23x π=-时，()f x 取得最小值为-1； 当3x π=时，()f x所以()f x 取得最小值为-1【点睛】本题考查根据三角函数性质求函数解析式、根据正弦函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.18．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且122316a a +=，23264a a a =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令21o 32nn a b g =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2nn a =；（2）292n n nT -=. 【解析】（1）先设公比q ，再根据已知条件计算求基本量，即得结果； （2）先化简n b ，再利用等差数列前n 项和公式计算即可. 【详解】解：（1）设正项等比数列{}n a 公比为q ，则122316a a +=，23264a a a =⋅即转化为1124511123164a a q a q a q a q +=⎧⎨=⋅⎩，解得12a q ==，∴ {}n a 的通项公式为2n n a =；（2）21o 32n n a b g =，代入2nn a =化简得5n b n =- 则2n ≥时11n n b b --=是常值，{}n b ∴是等差数列，首项为-4，公差为1，{}n b ∴的前n 项和()452n n n T -+-==292n n-. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法和等差数列前n 项和的计算，属于基础题. 19．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB PA ==，E ，F 分别为BC ，PD 的中点.（1）求证：PB ∥平面AFC ；（2）求平面PAE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】（1）先用中位线证明PB 平行平面AFC 内的一条直线，再利用线面平行判定定理即证；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值即可. 【详解】解：（1）连结BD ，交AC 于O ，连结FO底面ABCD 为菱形，O 为BD 中点，F 为PD 中点，则PB ∥FO ，又PB ⊄平面AFC ，FO ⊂平面AFC ，则PB ∥平面AFC（2）底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，E 为BC 的中点，则AE ⊥BC ，则AE ⊥AD . 以A 为原点，AE ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系.则A (0，0，0)，P (0，0，2)，E (3，0，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)()3,0,0AE =，()0,0,2AP =，()3,1,0DC =-，()0,2,2DP =-因为AD ⊥平面P AE ，所以可取平面P AE 的法向量是()010,,m = 设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，则由00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30220x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩则取()1,3,3n =，21cos ,7m n m n m n⋅==， 设平面P AE 与平面PCD 所成锐二面角的平面角为θ，则21cos 7θ=. 故平面P AE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值是21. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定和二面角的求法，属于中档题.20．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos a c B b C -=．（1）求B 的大小；（2）如图，AB AC =，在直线AC 的右侧取点D ，使得24AD CD ==．当角D 为何值时，四边形ABCD 面积最大． 【答案】（1）3B π=（2）56D π∠=【解析】（1）（法一）根据正弦定理利用“边化角”的方法将原式化为(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，利用两角和的正弦公式进行化简，结合三角形的性质即可求得B 的大小；（法二）根据余弦定理利用“角化边”的方法将原式化为222222(2)22a c b a b c a c b ac ac+-+--⨯=⨯，化简得出cos B 的值，即可得出B 的大小. （2）根据题意，设D α∠=，根据余弦定理表达出AC ，再根据三角形的面积公式，分别表达出ABC S ∆与ACD S ∆，从而得到四边形ABCD 面积的函数，利用三角函数的性质即可求出面积的最大值. 【详解】（1）（法一）：在ABC ∆中，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=2sin cos sin cos sin cos sin()A B B C C B B C ∴=+=+2sin cos sin A B A ∴= sin 0A ≠ 1cos 2B ∴=0B π<<，故3B π=．（法二）在ABC ∆中，由余弦定理得222222(2)22a c b a b c a c b ac ab+-+--⨯=⨯2222221cos =022a cb ac b ac B B ac π+-∴+-=∴=<<,,故3B π=． （2）由（1）知，3B π=且AB AC =，ABC ∆为等边三角形，设D α∠=，则在ABC ∆中，由余弦定理得216416cos 2016cos AC αα=+-=-，211sin ,42sin 4sin 232ABC ACD S AC S πααα∆∆∴=⨯⨯==⨯⨯=∴四边形ABCD 的面积4sin 8sin()3S πααα=-+=-20,333πππαπα<<∴-<-<∴当32ππα-=即56πα=时，max 8S =+所以当56D π∠=时，四边形ABCD 的面积取得最大值8+． 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式以及根据三角函数的性质求最值.21．支付宝作为常见的第三方支付工具，对提现转账均收费，有鉴于此，部分对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系，某调查机构对此进行调查，并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取200人，把这200人分为3类：认为使用支付宝方便，仍使用支付宝提现转账的用户称为“A类用户”；根据提现转账的多少确定是否使用支付宝的用户称为“B类用户”；提前将支付宝账户内的资金全部提现，以后转账全部通过银行的用户称为“C类用户”，各类用户的人数如图所示：同时把这200人按年龄分为青年人组与中老年人组，制成如图所示的22⨯列联表：A类用户非A类用户合计青年20中老年40合计200（1）完成22⨯列联表并判断是否有99.9%的把握认为“A类用户与年龄有关”；（2）从这200人中按A类用户､B类用户､C类用户进行分层抽样，从中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求在这4人中A类用户､B类用户､C类用户均存在的概率；（3）把频率作为概率，从支付宝的全球所有用户中随机抽取3人，用X表示所选3人中A类用户的人数，求X的分布列与期望.附：()2P K k≥0.010.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)【答案】（1）列联表答案见解析，有99.9%的把握认为“A类用户与年龄有关”；（2）310；（3）分布列答案见解析，数学期望95. 【解析】（1）根据题意，填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论； （2）按分层抽样方法抽取10人，则A 类用户6人､B 类用户3人､C 类用户1人，利用组合数计算基本事件数，求出对应的概率值即可；（3）把频率作为概率，从支付宝所有用户（人数很多）中抽取3人，可近似看作3次独立重复试验，所以X 的取值依次为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【详解】（1）22⨯列联表补充如下：()222008060402010010012080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯33.33310.828≈>. 所以有99.9%的把握认为“A 类用户与年龄有关”.（2）从这200人中按A 类用户､B 类用户､C 类用户进行分层抽样，从中抽取10人，则A 类用户6人､B 类用户3人､C 类用户1人，设A 类用户､B 类用户､C 类用户均存在的事件为事件D ，()211121631631410C C C C C C P D C +=4518321010+=， 所以在这4人中A 类用户､B 类用户､C 类用户均存在的概率为310. （3）把频率作为概率，从支付宝所有用户中抽取3人，可近似看作3次独立重复试验，所以X 的取值依次为0，1，2，3，且3~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()3033015P X C ⎛⎫==- ⎪⎝⎭8125=，()13315P X C ==⋅233615125⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ()223325P X C ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭35415125⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()333335P X C ⎛⎫== ⎪⎝⎭27125=. 所以()f x 的分布列为355EX =⨯=.【点睛】本题考查了独立性检验的案例分析、分层抽样及古典概型的概率计算，考查了二项分布和期望，属于中档题.22．已知函数()()ln f x e x ax a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20xxf x e ex -+≤.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对a 分00a a ≤>、两种情况讨论，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2））因为0x >，所以原不等式等价于()2x e f x e x ≤-，结合（1）可得()()max 1f x f e ==-，利用导数研究函数()()20xe g x e x x=->的单调性，可得以()()min 1g x g e ==-，所以()()f x g x ≤，即()2x e f x e x≤-，即()20xxf x e ex -+≤.试题解析：（1）()()0ef x a x x-'=>， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为増函数； ②若0a >，则当e x a <时，()0f x '>；当ex a>时，()0f x '<. 故在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 为増函数；在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 为减函数. （2）因为0x >，所以只需证()2xe f x e x≤-，由（1）知，当a e =时，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以()()max 1f x f e ==-.第 1 页 共 6 页 记()()20x e g x e x x =->，则()()21xx e g x x -'=， 所以，当01x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()()min 1g x g e ==-.所以当0x >时，()()f x g x ≤，即()2x e f x e x≤-，即()20x xf x e ex -+≤.。

海南省海口市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．20201i i=-（ ）A ．2B ．C ．1D ．14【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方和除法法则将复数20201i i-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【详解】()5052020450511i i===，()()20201111111122i i i i i i i +===+---+，因此，202012i i ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.2．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】 【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=，∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ， ∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 3．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

2023年海南省海口市琼山区华侨中学高考数学一模试卷1. 已知集合，则等于( )A. B. C. D.2. 设a，b为实数，若复数，则( )A. B. ， C. D. ，3.点关于直线的对称点是( )A. B. C. D.4. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.5. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为( )A. 5B. 4C. 3D. 26. 已知是边长为1的正三角形，，，则( )A. B. C. D. 17. 若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则m的取值范围是( )A. B. C. D.8. 已知，，为自然对数的底数，则( )A. B. C. D.9. 已知直线：，：，则( )A. 直线过定点B. 当时，C. 当时，D. 当时，两直线，之间的距离为110. 已知正实数a，b满足，下列说法正确的是( )A. ab的最大值为2B. 的最小值为4C. 的最小值为D. 的最小值为11. 已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为______ .12. 求和：______.13. 如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边BC、CD上的点，当的周长是2，则的大小为______ .14. 已知函数及其导函数的定义域均为R，若和均为奇函数，则……______ .15. 已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，，，且求A；设D为BC边上一点，且，求的面积．16. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》也称“强基计划”，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率匀为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次，，m，其中若，求该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率；“强基计划”规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为决策依据，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围.17. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，M 是侧面PBC上一点．过点M作一个截面，使得PA与BC都与平行．作出与四棱锥表面的交线，并写出作法；设，其中若PB与平面MCD所成角的正弦值为，求的值．18.已知为等差数列，前n项和为，若，求；对，将中落入区间内项的个数记为，求的和. 19. 如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于A，B和C，其中A，C在x轴的上方，AD交x轴于点求证：点C、点D的纵坐标乘积为定值；分别记和的面积为和，当时，求直线AD的方程.20.已知函数，证明：存在唯一零点；设，若存在，，使得，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：由A中，，得到，即，由B中，，得到，即，则，故选：求出A与B中y的范围确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：由可得，所以，解得，，故选先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．3.【答案】B【解析】解：设点关于直线的对称点是，则有，解得，，故点关于直线的对称点是故选：利用待定系数法设出对称点的坐标，然后利用中点在直线上以及两点的连线与直线垂直，列出方程组，求解即可．本题考查了点关于直线的对称点的求解，考查了中点坐标公式的应用，两点间斜率公式的运用，垂直的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设上底面圆心为，下底面圆心为O，连接，OC，OB，以O为原点，分别以OC，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，又异面直线所成角的范围为故异面直线与所成角的余弦值为故选：建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值．本题考查了异面直线夹角的向量求法，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：设等比数列的公比为q，由题意可得，，，，，又，，故选：根据等比数列的通项公式，等差数列的性质，方程思想即可求解．本题考查等比数列的通项公式，等差数列的性质，方程思想，属基础题．6.【答案】A【解析】解：由，可知E为BC中点，所以，，如图所示：因为，所以，所以故选：根据题意画出图像，即可得出，，再得出，代入计算即可得出答案．本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．求出函数的导函数，可得导数的范围，进一步求得，再求出的导函数的范围，然后由函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，转化为集合间的关系求解．【解答】解：由，得，所以，由，得，当时，，当时，，当时，不符合题意．当时，由题意可得，解得；当时，由题意可得，无解．即m的取值范围为故选：8.【答案】A【解析】解：因为，所以，又，，所以，设，则，由，可得，函数单调递增，由，可得，函数函数单调递减，所以，，所以，即，所以故选：根据三角函数的性质可得，进而可得，然后构造函数，根据导数可得，进而可得，即得．本题考查利用函数的单调性比较大小，导数的利用，属中档题．9.【答案】CD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，直线：即，它经过直线和直线的交点，故A错误；对于B，当时，直线即，而直线：，它们的斜率之积不等于，故两直线不垂直，故B错误；对于C，当时，直线即，而直线：，它们的斜率相等且它们不重合，故它们平行，故C正确；对于D，当时，由于直线的经过定点，故两直线，之间的距离，即点到直线的距离，为，D正确；故选：根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查直线的方程，涉及直线平行、垂直的判断，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：选项A，因为，且a，b为正实数，所以，即，所以，即ab的最大值为4，当且仅当时取等号，故A错误；选项B，因为，且a，b为正实数，所以，解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为4，即B正确；选项C，因为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，即C正确；选项D，由，知，所以，当且仅当，即时，等号成立，即D正确．故选：选项A，由，解不等式，即可；选项B，由，解不等式，即可；选项C，分解因式可得，再配凑，然后结合基本不等式，得解；选项D，易知，再将所求式子换成关于b的式子，利用基本不等式，得解．本题考查基本不等式的应用，熟练掌握配凑法，基本不等式“一正二定三相等”的使用条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：根据题意，，，则，则，，故点到直线l的距离，故答案为：根据题意，求出向量的坐标，由空间点到直线的距离公式计算可得答案．本题考查空间向量的应用，涉及点到直线的距离计算，属于基础题．12.【答案】【解析】解：令，则…故答案为由，知…，再用裂项求和法能够得到这个数列的和．本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13.【答案】【解析】解：设，，则，，则，，，，又因为，所以，即，，，故答案为：设，，然后借助于正方形的性质得到，可得，再利用两角和的正切公式可得，即求．本题主要考查解三角形，属于中档题．14.【答案】【解析】解：因为为奇函数，则关于点中心对称，所以关于直线对称，所以，令，则，，所以，所以关于直线对称，又因为为奇函数，所以，所以，所以关于点中心对称，令，则，所以，由，所以，所以，所以，所以周期为，当时，，当时，，所以，所以…由原函数的奇偶性，对称性推导函数的周期性，构造新函数求解即可．本题主要考查了抽象函数的性质，考查了函数的对称性、周期性和奇偶性，属于中档题．15.【答案】解：因为，由正弦定理可得：，所以，在中，，所以，即，而A为三角形的内角，所以；在中由余弦定理可得：，因为，，所以，解得：或舍，所以，再由余弦定理可得，可得，在中，，所以可得，，所以的面积为【解析】本题考查了三角形正余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．由正弦定理可将等式化简，再由三角形中的角的范围求出A的值；由可求出c边，进而由余弦定理可得的值，再由三角形可求出D为CB的中点，可得三角形ABD的面积为三角形ABC的一半，即可求出三角形ABD的面积．16.【答案】解：该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率为：；甲通过的考试科目数，，设乙通过的考试科目数为Y，则，，，，该考生更希望通过乙大学的笔试，，，又，，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，故m的取值范围是【解析】由已知，根据题意，由该考生报考乙大学，每门科目通过的概率可分情况直接求解恰好通过两门科目的概率；由已知，报考甲大学，每门科目通过满足二项分布，可直接计算其期望，然后再根据已知条件，计算通过乙大学的数学期望，然后令通过乙大学的数学期望大于通过甲大学的数学期望，即可完成参数的求解．本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．17.【答案】解：过点M作BC的平行线，分别交PB，PC于点E，F，过点E作PA的平行线，交AB于点M，过M作BC的平行线，交DC于点N，连接FN，，平面EFNM就是截面，如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设，则，，，，解得，，，，，，设平面MCD的法向量，，取，得，设PB与平面MCD所成角为，与平面MCD所成角的正弦值为，，整理得，解得舍，【解析】利用作平行线得到截面；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出M点坐标，再利用向量法求出解．本题考查截面的作法，考查线面角的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：设等差数列的公差为d，，，，即，，即，解得，，；由题意得，即，，，，，，故数列的和为【解析】利用等差数列的通项公式，列方程组求解即可得出答案；由题意得及可得，则，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式，求解即可得出答案．本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：设直线的方程为，的方程为，所以联立，得，所以，所以点C、点D的纵坐标乘积为定值由可知，联立，得，所以，即，因为，所以，又因为，所以∽，所以，过点A，D分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，所以，，所以∽，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，①所以，又因为，所以，，所以，设直线AD的方程为，联立，得，所以，②联立①②，解得，，所以，将代入得，所以直线AD的方程为【解析】设直线的方程为，的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理可得答案．由可知，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理可得，由，推出∽，即，过点A，D分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，推出∽，即，进而可得，由，推出①，即，由，可得G点坐标，设直线AD的方程为，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得②，解得A点坐标，代入，解得，进而可得答案．本题考查抛物线与直线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20.【答案】证明：由题意可得，记，则，因为时，恒成立，所以在上单调递增，因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以有唯一零点由可得，若是方程的根，则是方程的根，因为，都单调递增，所以，，设，，所以的解为，的解为，所以在上递减，在上递增，所以的最小值为，即的最小值为故原不等式成立．【解析】利用导函数求单调性，结合即可求解．由题意可得，若是方程的根，则是方程的根，所以，，再利用导函数求的最小值即可．本题考查导数的综合运用，考查函数零点以及不等式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．。

数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分）1.已知集合U={0,1，2，3，4}，集合A={1,2}，B={2,3}，则A∪(∁U B)=()A. {1}B. {0,2，4}C. {1,2，3}D. {0,1，2，4}2.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)()A. 在(−∞,0)上为减函数B. 在x=0处取极小值C. 在(1,2)上为减函数D. 在x=2处取极大值3.已知i是虚数单位，复数z满足z(1−i)=2i，则复平面内表示z的共轭复数的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设函数f(x)={x 2−2x,x≤0f(x−3),x>0，则f(9)的值为()A. −7B. −1C. 0D. 125.已知集合M={x|x2≤4}，N={−a,a}，若M∩N=N，则a的取值范围是()A. [2,+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [−2,0)∪(0,2]D. [−2,2]6.若直线2ax−by+2=0(a>0,b>0)过圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心，则9a +1b的最小值是()A. 16B. 10C. 12D. 147.若不等式的解集是(−2,3)，则不等式的解集是()A.(−3,2)B. (−2,3)C. (−∞,−2)∪(3,+∞)D. (−∞,−3)∪(2,+∞)8.已知奇函数f(x)在R上是单调函数，函数f′(x)是其导函数，当x>0时，f′(x)lnx<−1xf(x)，则使f(x)>0成立的x的取值范围是()A. (−∞,0)B. (−1,0)C. (0,1)D. (0,+∞)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）9.下列结论正确的是()．A. 若a>b，c>d，则a−c>b−dB. 若a>b>0，则1a2<1b2C. 若√a2>√b2，则a>bD. 若a>b>0，c≠0，则ac2>bc210.下列四种说法中正确的有()A. 命题“∀x ∈R ，3x >x 2+1”的否定是“∃x ∈R ，3x <x 2+1”；B. 若不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|−1<x <3}，则不等式3ax 2+6bx +5<0的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)；C. 复数z 满足21z i -=，z 在复平面对应的点为（x,y ）,则22(2)1x y +-=D. 已知p ：12≤x ≤3,q ：x 2−(a +1a )x +1⩽0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是(0,13]∪[3,+∞)．11. 下列说法不正确是( )A. 不等式(2x −1)(1−x )<0的解集为{ x |12<x <1}B. 已知p ：1<x <2，q ：log 2(x +1)≥1，则p 是q 的充分不必要条件C. 若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+√x 2+4的最小值为2D. 当x ∈R 时，不等式kx 2−kx +1>0恒成立，则k 的取值范围是(0,4)12. 若存在m ，使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m 为函数f(x)的一个下界；若存在M ，使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立，则函数f(x)在D 上有上界，其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是( )A.2是函数f(x)=x +1x (x >0)的一个下界B. 函数f(x)=xlnx 有下界，无上界 C. 函数f(x)=e xx 2有上界，无下界D. 函数f(x)=sinxx 2+1有界三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13. 已知i 是虚数单位，则复数z =(1+i)(2−i)的实部是__________．14. 已知x >32，则2x +42x−3的最小值为_____________15. 已知函数f(x)=e x x−mx(e 为自然对数的底数)，若f(x)<0在(0,+∞)上有解，则实数m 的取值范围是______． 16. 设函数f(x)=e x x −t(lnx +x +2x )恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是_____．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. （本题满分10分）在ΔABC 中，A 是锐角，且√3b =2asinB ．(1)求角A 的大小；(2)若a =7，ΔABC 的面积为10√3，求b 2+c 2的值．18. （本题满分12分）等差数列{a n }中，a 1=−1，公差d ≠0且a 2，a 3，a 6成等比数列，前n 项的和为S n ． (1)求a n 及S n ；(2)设b n =1an a n+1，T n =b 1+b 2+⋯+b n ，求T n ．19.（本题满分12分）为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/ℎ的有40人，不超过100km/ℎ的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/ℎ的有20人，不超过100km/ℎ的有25人．(1)完成下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过100km/ℎ与性别有关”？附：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/ℎ的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/ℎ且为男性驾驶员的车辆数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．20.（本题满分12分）如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA=PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且EC=3BE，设AC∩BD=O．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)若60∠=，PA⊥PE，求二面角A−PE−C的余弦值．BAD21.（本题满分12分）已知函数f(x)=ax−ln(1+x2)．(Ⅰ)当a =45时，求函数f (x )在(0,+∞)上的极值； (Ⅱ)证明：当x >0时，ln(1+x 2)<x ． 22.（本题满分12分） 已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和圆C 2：x 2+y 2=r 2(r >0)，F 1，F 2为椭圆C 1的左、右焦点，点B(0,√3)在椭圆C 1上，当直线BF 1与圆C 2相切时，r =√32．(Ⅰ)求C 1的方程；(Ⅱ)直线k ：y =kx +m(k >0,m >0)与椭圆C 1和圆C 2都相切，切点分别为M ，N ，求△OMN 面积的最大值．答案1【答案】D 解：∵U ={0,1，2，3，4}，集合A ={1,2}，B ={2,3}，∴∁U B ={0,1，4}，∴A ∪(∁U B)={0,1，2，4}2.【答案】C 解：x ∈(−∞,0)时，f′(x)>0，f(x)递增，x ∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)递减，x ∈(2,4)时，f′(x)>0，f(x)递增， x ∈(4,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减，故x =0，x =4处取极大值，x =2处取极小值，3.【答案】C 解：复数z 满足z(1−i)=2i ，∴z =2i 1−i =2i (1+i )(1−i )(1+i )=−1+i ，∴z =−1−i ，4.【答案】B 解：∵函数f(x)={x 2−2x ,x ≤0f(x −3),x >0，∴f(9)=f(0)=02−20=−15.【答案】C 解：∵M ={x|−2≤x ≤2}，N ={−a,a}，且M ∩N =N ，∴a ∈M ，−a ∈M ，∴−2≤a ≤2，因为a ≠0∴a 的取值范围是[−2,0)∪(0,2]． 6.【答案】A 解：由题意可得圆x 2+y 2+2x −4y +1=0的圆心(−1,2)， 故−2a −2b +2=0即a +b =1，(a >0,b >0)， 则9a +1b =(9a +1b)(a +b)=10+9b a+a b ≥10+2√9b a ⋅ab =16，当且仅当9ba =ab 且a +b =1，即b =14，a =34时取等号． 7.【答案】D 解：不等式ax 2−bx +c >0的解集是(−2,3)， 所以方程ax 2−bx +c =0的解是−2和3，且a <0； 即{−2+3=ba −2×3=c a {−2+3=−−b a−2×3=ca,解得b =a ，c =−6a ；所以不等式bx 2+ax +c <0化为ax 2+ax −6a <0，即x 2+x −6>0， 解得x <−3或x >2，所以所求不等式的解集是(−∞,−3)∪(2,+∞)． 8.【答案】A 解：当时，，即；令，则，由题意可知，即在时单调递减，且，所以当时，，由于此时，则不合题意；当时，，由于此时，则不合题意；由以上可知时，而f(x)是上的奇函数，则当时，恒成立，所以使成立的的取值范围为9.【答案】BD 解：对于A 选项，若a =2，b =1，c =3，d =2，则a −c =−1，b −d =−1，故A 错误;对于B 选项，若a >b >0，则a 2>b 2>0，所以1a 2<1b 2，故B 正确． 对于C 选项，√a 2>√b 2等价于|a|>|b|，故C 错误;对于D 选项，因为c ≠0，所以c 2>0，又a >b >0，则ac 2>bc 2，故D 正确．10.【答案】BCD 解：选项A ：命题“，3x >x 2+1”的否定应该是“，3x 0⩽x 02+1”.故选项A 错误；选项B ：因为不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|−1<x <3}， 所以方程ax 2+bx +1=0的两个根为−1和3，且a <0．由{−ba =21a =−3解出{a =−13b =23．所以不等式3ax 2+6bx +5<0可化为：−x 2+4x +5<0，即x 2−4x −5>0，解得x <−1或x >5．所以不等式3ax 2+6bx +5<0的解集为故选项B 正确；选项C ：故选项C 正确；由x 2−(a +1a )x +1⩽0(a >0)得到：(x −a)(x −1a )⩽0． 当a ⩾1时，a >1a ，所以有q:1a ⩽x ⩽a.由题意可得：{1a ⩽12a ⩾3，解得a ⩾3；当0<a <1时，a <1a ，所以有q:a ⩽x ⩽1a .由题意可得：{a ⩽121a⩾3，解得310≤<a ． 因此，实数a 的取值范围是故选项D 正确．11．【答案】ACD 解：对A:由(2x −1)(1−x )<0可得(2x −1)(x −1)>0，所以x <12或x >1，所以A错误．对B ：由log 2(x +1)≥1可得x +1≥2，所以x ≥1，所以p ：1<x <2是q ：log 2(x +1)≥1的充分不必要条件，所以B 正确． 对C:由y =√x 2+4+√x 2+4≥2，当且仅当x 2+4=1时取等号， 但是x 2+4≥4，所以y =√x 2+4√x 2+4≥4+14=174，所以C 错误．对D ：若当x ∈R 时，不等式kx 2−kx +1>0恒成立， ①当k =0时，不等式为1>0恒成立，满足题意； ②当k ≠0时，只要{k >0Δ=k 2−4k <0，解得0<k <4； 所以不等式kx 2−kx +1>0的解集为R ，则实数k 的取值范围为[0,4)，所以D 错误． 12.【答案】ABD 解：A .x >0则x +1x ≥2，故函数f(x)的下界为2，选项A 正确; B .f(x)=xlnx ，则f′(x)=lnx +1，则当0<x <1e 时，f′(x)<0;当x >1e 时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1e )内单调选减，在(1e ,+∞)内单调递增，所以f(x)有最小值m ，使得f(x)≥m 在(0,+∞)内成立，故该函数有下界，当x →+∞时，f(x)→+∞，故该函数无上界，选项B 正确;C .f(x)=e x x 2，则f′(x)=(x−2)e xx 3，则当x <0时，f′(x)>0，当0<x <2时，f′(x)<0 ，当x >2时，f′(x)> 0，故f(x)在(−∞,0)内单调递增，在(0,2)内单调递减，在(2+∞)内单澜送增，又函数fx)在x =0处无意义，且x 一→0时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→+∞当x →−∞时，f(x)→0，f(2)=e 24>0综上，该函数无上界，也无下界，选项C .错误;D .sin x 为周期函数，且−1≤sinx ≤1，当x →∞时，f(x)→0． 该函数为振荡函数，函数f(x)有界，选项D 正确．13.【答案】3解：z =(1+i)(2−i)=3+i ，则实部为3．14.【答案】7解：因为x >32，所以2x −3>0， 则2x +42x−3=(2x −3)+42x−3+3⩾2√(2x −3)·42x−3+3=7 当且仅当2x −3=42x−3即x =52时取等号，15.【答案】(e 24,+∞)【解析】解：∵f(x)<0在(0,+∞)上有解，∴存在x ∈(0,+∞)，使得e x x−mx <0，即m >e x x 2，设g(x)=e xx 2，x ∈(0,+∞)，问题转化为求g(x)在(0,+∞)上的最小值，而g′(x)=e x (x−2)x 3，∴当0<x <2时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x >2时，g′(x)>0，g(x)单调递增． ∴g(x)min =g(2)=e 24，∴m >e 24．16.【答案】(12,e3)∪(e3,+∞) 【解析】解：函数f(x)=e x x −t(lnx +x +2x)，x ∈(0,+∞)，∴f′(x)=e x x−e xx 2−t(1x+1−2x 2)=e x (x−1)−t(x−1)(x+2)x 2=(x−1)[e x −t(x+2)]x 2，∵函数f(x)=e x x−t(lnx +x +2x )恰有两个极值点，∴方程f′(x)=0恰有两个正根，显然x =1时方程f′(x)=0的一个正根， ∴方程e x −t(x +2)=0 有唯一正根，即方程e x x+2=t 有唯一正根，等价于函数g(x)=e xx+2与函数y =t 在(0,+∞)上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，∵g′(x)=e x (x+2)−e x(x+2)2=e x (x+1)(x+2)2>0，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又∵g(0)=12，g(1)=e3，函数g(x)的图象如图所示：，∴t >12且t ≠e3，17.【答案】解：(1)已知等式√3b =2asinB ，利用正弦定理化简得：√3sinB =2sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴sinA =√32，∵A 为锐角，∴A =60°；(2)∵sinA =√32，△ABC 面积为10√3，∴12bcsinA =10√3，即bc =40，∵a =7，cosA =12，∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即49=b 2+c 2−bc =b 2+c 2−40， 整理得：b 2+c 2=89．18.【答案】解：(1)由题意可得a 2⋅a 6=a 32，又∵a 1=−1，∴(−1+d)⋅(−1+5d)=(−1+2d)2，解得：d =2． ∴a n =−1+2(n −1)=2n −3．S n =−n +n(n−1)×22=n 2−2n ；(2)b n =1an a n+1=1(2n−3)(2n−1)=12(12n−3−12n−1)，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =12[(1−1−11)+(11−13)+⋯+(12n −3−12n −1)]=12(−1−12n−1)=−n2n−1．19.【答案】解：(1)完成的2×2列联表如下：K 2=100×(40×25−15×20)255×45×60×40≈8.249>7.879，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“平均车速超过100 km/ℎ与性别有关”．(2)平均车速不超过100 km/ℎ的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 402，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 151C 251，所以所求的概率P(A)=C 151C 251C 402=15×2520×39=2552．(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/ℎ且为男性驾驶员的概率为40100=25，故X ～B (3,25)． 所以P(X =0)=C 30(25)0(35)3=27125；P(X =1)=C 31(25)(35)2=54125； P(X =2)=C 32(25)2(35)=36125；P(X =3)=C 33(25)3(35)0=8125．所以X 的分布列为E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65(或E(X)=3×25=65)． 20【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点，，，PA ∩AC =A ，PA,AC ⊂平面PAC ，平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ， ，∵PA =PC ，O 是AC 的中点，，∵AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AC ∩BD =O ，平面ABCD ；(2)由(1)知平面ABCD ，，∴OA ，OB ，OP 两两互相垂直，∴以O 为原点，以OA ，OB ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示：设PO =a ，∵四边形ABCD 是菱形，，∴△ABD 和△BCD 都是等边三角形，∴OA =OC =2√3，∴P(0,0,a)，A(2√3,0,0)，C(−2√3,0,0)，E(−√32,32,0)，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,−a)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,−a)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32,−32,0)，，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,−a)⋅(−√32,32,−a)=0，∴−3+a 2=0，即a =√3， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,−√3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,−√3)， 设平面PAE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =(2√3,0,−√3)⋅(x 1,y 1,z 1)=2√3x 1−√3z 1=0PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =(−√32,32,−√3)⋅(x 1,y 1,z 1)=−√32x 1+32y 1−√3z 1=0, 令z 1=2，得x 1=1，y 1=5√33，∴m ⃗⃗⃗ =(1,5√33,2)， 设平面PEC 的法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−3√32x 2−32y 2=0PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√32x 2+32y 2−√3z 2=0, 令x 2=−1，得y 2=√3，z 2=2， ∴n ⃗ =(−1,√3,2)，设二面角A −PE −C 的平面角为θ，结合图象可知， cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=−|(1,5√33,2)⋅(−1,√3,2)√12+(5√33)2+22⋅√(−1)2+(√3)2+22|=−√155，∴二面角A −PE −C 的余弦值为−√155．21.【答案】(Ⅰ)解：当a =45时，，f′(x )=45−2x1+x 2=4x 2−10x+45(1+x 2)， 令f′(x )>0，得0<x <12或x >2；令f′(x )<0，得12<x <2；∴f (x )在(0,12)上单调递增，在(12,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故当x =12时，f (x )取得极大值为；当x =2时，f (x )取得极小值为．(Ⅱ)证明：令，g′(x )=1−2x 1+x2=(x−1)21+x 2≥0，∴g (x )在(0,+∞)上是增函数，∴g (x )>g (0)=0，，即当x >0时，．【答案】解：(Ⅰ)由题可知b =√3. ① 设F 1(c,0)，则由BF 1与圆相切时r =√32得bc a=√32，即c =a2. ②将① ②代入a 2=b 2+c 2解得a =2.所以C 1的方程为x 24+y 23=1.(Ⅱ)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)， 将y =kx +m 代入x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0．由直线l 与椭圆C 1相切得Δ=0即m 2=4k 2+3，且{x 1=−4km 4k 2+3,y 1=3m4k 2+3.由直线l 与圆C 2相切，设ON:y =−1k x ，与y =kx +m 联立得{x 2=−kmk 2+1,y 2=m k 2+1.设直线l:y =kx +m (k >0,m >0)与x 轴交于点Q ，则Q (−mk ,0)．所以△OMN 的面积=12×1k+1k，因为k +1k ≥2(当且仅当k =1时等号成立)， 所以△OMN 的面积S ΔOMN =121k+1k≤14，即△OMN 面积的最大值为14.。

风采华侨中学2021—2021学年度第一学期第一次月考高三年级文科数学试题本套试卷分第I 卷〔选择题〕、第II 卷〔非选择题〕两局部。

一共150分，考试时间是是120分钟。

第I 卷〔选择题一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，满分是50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕{}{}1,2,3,4,5,2,4M N ==,那么MN =( )A. ∅B. {}1,3,5C.{}2,4D. {}1,2,3,4,5(,2),(4,10),a b a b λ==-⊥且,那么实数λ的值是( )A. 45B. 45－3. cos330o= ( )A.12 B. 12- D. 1,z i i =+•为虚数单位，则（1+z ）z=( )A. 13i +B. 33i +C. 3i -D. 35.200a a a >+≥“”是“”的 ( )条件6．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是( ) A. (),1-∞- B. ()1,+∞ C. ()()1,11,-+∞ D. (),-∞+∞()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，那么(7.5)f =〔 〕 A.12 B. 12- C. 72 D. 1428．假设函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，且 (2)1,()f f x ==则 ( )A. 2log xB.12x C. 12log x D. 22x - 9．假设1140,0,,2a b a b y a b>>+==+且则的最小值是 ( ) A.6 B.9210．函数32()39f x x ax x =++-，()3f x x =-在时获得极值，那么a ＝〔 〕 A. 2 B.3 C. 4 D. 5第II 卷〔非选择题一共100分〕二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕2,10x R x x ∃∈+<“-2?的否认是 . ()2ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为 .()(3)x f x x e =-的单调递增区间是 .,x y 满足约束条件中02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩，那么目的函数z y =+的最大值为 .13x x+≤风采华侨中学2021—2021学年度第一学期第一次月考高三年级文科数学答题卡一、选择题〔每一小题5分，一共50分〕第II 卷〔非选择题一共100分〕二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕2,10x R x x ∃∈+<“-2?的否认是 . ()2ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为 .()(3)x f x x e =-的单调递增区间是 .,x y 满足约束条件中02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩，那么目的函数z y =+的最大值为 .三、解答题〔要写出详细的解答过程.一共6小题，合计80分.〕 15. 〔本小题12分〕(2)解不等式：2220x x -++> (1)解不等式：16．〔本小题12分〕求曲线2()23f x x =+在点P(1,5)处的切线方程。

数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分）1.已知集合U={0,1，2，3，4}，集合A={1,2}，B={2,3}，则A∪(∁U B)=()A. {1}B. {0,2，4}C. {1,2，3}D. {0,1，2，4}2.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)()A. 在(−∞,0)上为减函数B. 在x=0处取极小值C. 在(1,2)上为减函数D. 在x=2处取极大值3.已知i是虚数单位，复数z满足z(1−i)=2i，则复平面内表示z的共轭复数的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设函数f(x)={x 2−2x,x≤0f(x−3),x>0，则f(9)的值为()A. −7B. −1C. 0D. 125.已知集合M={x|x2≤4}，N={−a,a}，若M∩N=N，则a的取值范围是()A. [2,+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [−2,0)∪(0,2]D. [−2,2]6.若直线2ax−by+2=0(a>0,b>0)过圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心，则9a +1b的最小值是()A. 16B. 10C. 12D. 147.若不等式的解集是(−2,3)，则不等式的解集是()A.(−3,2)B. (−2,3)C. (−∞,−2)∪(3,+∞)D. (−∞,−3)∪(2,+∞)8.已知奇函数f(x)在R上是单调函数，函数f′(x)是其导函数，当x>0时，f′(x)lnx<−1xf(x)，则使f(x)>0成立的x的取值范围是()A. (−∞,0)B. (−1,0)C. (0,1)D. (0,+∞)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）9. 下列结论正确的是( )．A. 若a >b ，c >d ，则a −c >b −dB. 若a >b >0，则1a 2<1b 2C. 若√a 2>√b 2，则a >bD. 若a >b >0，c ≠0，则ac 2>bc 2 10. 下列四种说法中正确的有( )A. 命题“∀x ∈R ，3x >x 2+1”的否定是“∃x ∈R ，3x <x 2+1”；B. 若不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|−1<x <3}，则不等式3ax 2+6bx +5<0的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)；C. 复数z 满足21z i -=，z 在复平面对应的点为（x,y ）,则22(2)1x y +-=D. 已知p ：12≤x ≤3,q ：x 2−(a +1a )x +1⩽0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是(0,13]∪[3,+∞)．11. 下列说法不正确是( )A. 不等式(2x −1)(1−x )<0的解集为{ x |12<x <1}B. 已知p ：1<x <2，q ：log 2(x +1)≥1，则p 是q 的充分不必要条件C. 若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+√x 2+4的最小值为2D. 当x ∈R 时，不等式kx 2−kx +1>0恒成立，则k 的取值范围是(0,4)12. 若存在m ，使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m 为函数f(x)的一个下界；若存在M ，使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立，则函数f(x)在D 上有上界，其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是( )A.2是函数f(x)=x +1x (x >0)的一个下界 B. 函数f(x)=xlnx 有下界，无上界 C. 函数f(x)=e xx 2有上界，无下界 D. 函数f(x)=sinxx 2+1有界三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13. 已知i 是虚数单位，则复数z =(1+i)(2−i)的实部是__________．14. 已知x >32，则2x +42x−3的最小值为_____________15. 已知函数f(x)=e x x−mx(e 为自然对数的底数)，若f(x)<0在(0,+∞)上有解，则实数m 的取值范围是______． 16. 设函数f(x)=e x x −t(lnx +x +2x )恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是_____．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题满分10分）在ΔABC中，A是锐角，且√3b=2asinB．(1)求角A的大小；(2)若a=7，ΔABC的面积为10√3，求b2+c2的值．18.（本题满分12分）等差数列{a n}中，a1=−1，公差d≠0且a2，a3，a6成等比数列，前n项的和为S n．(1)求a n及S n；(2)设b n=1，T n=b1+b2+⋯+b n，求T n．a n a n+119.（本题满分12分）为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/ℎ的有40人，不超过100km/ℎ的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/ℎ的有20人，不超过100km/ℎ的有25人．(1)完成下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过100km/ℎ与性别有关”？，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/ℎ的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/ℎ且为男性驾驶员的车辆数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．20.（本题满分12分）如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA=PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且EC=3BE，设AC∩BD=O．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)若60BAD∠=，PA⊥PE，求二面角A−PE−C的余弦值．21.（本题满分12分）已知函数f(x)=ax−ln(1+x2)．(Ⅰ)当a=45时，求函数f(x)在(0,+∞)上的极值；(Ⅱ)证明：当x>0时，ln(1+x2)<x．22.（本题满分12分）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆C2：x2+y2=r2(r>0)，F1，F2为椭圆C1的左、右焦点，点B(0,√3)在椭圆C1上，当直线BF1与圆C2相切时，r=√32．(Ⅰ)求C1的方程；(Ⅱ)直线k：y=kx+m(k>0,m>0)与椭圆C1和圆C2都相切，切点分别为M，N，求△OMN面积的最大值．答案1【答案】D 解：∵U ={0,1，2，3，4}，集合A ={1,2}，B ={2,3}， ∴∁U B ={0,1，4}，∴A ∪(∁U B)={0,1，2，4}2.【答案】C 解：x ∈(−∞,0)时，f′(x)>0，f(x)递增，x ∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)递减，x ∈(2,4)时，f′(x)>0，f(x)递增， x ∈(4,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减，故x =0，x =4处取极大值，x =2处取极小值，3. 【答案】C 解：复数z 满足z(1−i)=2i ，∴z =2i 1−i =2i (1+i )(1−i )(1+i )=−1+i ，∴z =−1−i ，4. 【答案】B 解：∵函数f(x)={x 2−2x ,x ≤0f(x −3),x >0，∴f(9)=f(0)=02−20=−15. 【答案】C 解：∵M ={x|−2≤x ≤2}，N ={−a,a}，且M ∩N =N ，∴a ∈M ，−a ∈M ，∴−2≤a ≤2，因为a ≠0∴a 的取值范围是[−2,0)∪(0,2]． 6. 【答案】A 解：由题意可得圆x 2+y 2+2x −4y +1=0的圆心(−1,2)， 故−2a −2b +2=0即a +b =1，(a >0,b >0)， 则9a +1b =(9a +1b)(a +b)=10+9b a+a b ≥10+2√9b a ⋅ab =16，当且仅当9ba =ab 且a +b =1，即b =14，a =34时取等号． 7. 【答案】D 解：不等式ax 2−bx +c >0的解集是(−2,3)， 所以方程ax 2−bx +c =0的解是−2和3，且a <0； 即{−2+3=ba −2×3=c a {−2+3=−−b a−2×3=ca,解得b =a ，c =−6a ；所以不等式bx 2+ax +c <0化为ax 2+ax −6a <0，即x 2+x −6>0， 解得x <−3或x >2，所以所求不等式的解集是(−∞,−3)∪(2,+∞)． 8.【答案】A 解：当时，，即；令，则，由题意可知，即在时单调递减，且，所以当时，，由于此时，则不合题意；当时，，由于此时，则不合题意；由以上可知时，而f(x)是上的奇函数，则当时，恒成立，所以使成立的的取值范围为9. 【答案】BD 解：对于A 选项，若a =2，b =1，c =3，d =2，则a −c =−1，b −d =−1，故A 错误;对于B 选项，若a >b >0，则a 2>b 2>0，所以1a 2<1b 2，故B 正确． 对于C 选项，√a 2>√b 2等价于|a|>|b|，故C 错误;对于D 选项，因为c ≠0，所以c 2>0，又a >b >0，则ac 2>bc 2，故D 正确． 10.【答案】BCD 解：选项A ：命题“，3x >x 2+1”的否定应该是“，3x 0⩽x 02+1”.故选项A 错误；选项B ：因为不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|−1<x <3}， 所以方程ax 2+bx +1=0的两个根为−1和3，且a <0．由{−ba =21a =−3解出{a =−13b =23．所以不等式3ax 2+6bx +5<0可化为：−x 2+4x +5<0，即x 2−4x −5>0，解得x <−1或x >5．所以不等式3ax 2+6bx +5<0的解集为故选项B 正确；选项C ：故选项C 正确；由x 2−(a +1a )x +1⩽0(a >0)得到：(x −a)(x −1a )⩽0． 当a ⩾1时，a >1a ，所以有q:1a ⩽x ⩽a.由题意可得：{1a ⩽12a ⩾3，解得a ⩾3；当0<a <1时，a <1a ，所以有q:a ⩽x ⩽1a.由题意可得：{a ⩽121a⩾3，解得 310≤<a ． 因此，实数a 的取值范围是故选项D 正确．11．【答案】ACD 解：对A:由(2x −1)(1−x )<0可得(2x −1)(x −1)>0，所以x <12或x >1，所以A错误．对B ：由log 2(x +1)≥1可得x +1≥2，所以x ≥1，所以p ：1<x <2是q ：log 2(x +1)≥1的充分不必要条件，所以B 正确． 对C:由y =√x 2+4+√x 2+4≥2，当且仅当x 2+4=1时取等号， 但是x 2+4≥4，所以y =√x 2+4√x 2+4≥4+14=174，所以C 错误．对D ：若当x ∈R 时，不等式kx 2−kx +1>0恒成立，①当k =0时，不等式为1>0恒成立，满足题意； ②当k ≠0时，只要{k >0Δ=k 2−4k <0，解得0<k <4； 所以不等式kx 2−kx +1>0的解集为R ，则实数k 的取值范围为[0,4)，所以D 错误． 12.【答案】ABD 解：A .x >0则x +1x ≥2，故函数f(x)的下界为2，选项A 正确; B .f(x)=xlnx ，则f′(x)=lnx +1，则当0<x <1e 时，f′(x)<0;当x >1e时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1e )内单调选减，在(1e ,+∞)内单调递增，所以f(x)有最小值m ，使得f(x)≥m 在(0,+∞)内成立，故该函数有下界，当x →+∞时，f(x)→+∞，故该函数无上界，选项B 正确;C .f(x)=e x x2，则f′(x)=(x−2)e xx 3，则当x <0时，f′(x)>0，当0<x <2时，f′(x)<0 ，当x >2时，f′(x)> 0，故f(x)在(−∞,0)内单调递增，在(0,2)内单调递减，在(2+∞)内单澜送增，又函数fx)在x =0处无意义，且x 一→0时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→+∞当x →−∞时，f(x)→0，f(2)=e 24>0综上，该函数无上界，也无下界，选项C .错误;D .sin x 为周期函数，且−1≤sinx ≤1，当x →∞时，f(x)→0． 该函数为振荡函数，函数f(x)有界，选项D 正确．13. 【答案】3 解：z =(1+i)(2−i)=3+i ，则实部为3．14.【答案】7解：因为x >32，所以2x −3>0， 则2x +42x−3=(2x −3)+42x−3+3⩾2√(2x −3)·42x−3+3=7 当且仅当2x −3=42x−3即x =52时取等号，15. 【答案】(e 24,+∞)【解析】解：∵f(x)<0在(0,+∞)上有解，∴存在x ∈(0,+∞)，使得e x x−mx <0，即m >e x x 2，设g(x)=e x x 2，x ∈(0,+∞)，问题转化为求g(x)在(0,+∞)上的最小值，而g′(x)=e x (x−2)x 3，∴当0<x <2时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x >2时，g′(x)>0，g(x)单调递增． ∴g(x)min =g(2)=e 24，∴m >e 24．16. 【答案】(12,e3)∪(e3,+∞)【解析】解：函数f(x)=e x x−t(lnx +x +2x)，x ∈(0,+∞)，∴f′(x)=e x x−e xx 2−t(1x +1−2x 2)=e x (x−1)−t(x−1)(x+2)x 2=(x−1)[e x −t(x+2)]x 2，∵函数f(x)=e x x−t(lnx +x +2x)恰有两个极值点，∴方程f′(x)=0恰有两个正根，显然x =1时方程f′(x)=0的一个正根， ∴方程e x−t(x +2)=0 有唯一正根，即方程e x x+2=t 有唯一正根，等价于函数g(x)=e xx+2与函数y =t 在(0,+∞)上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，∵g′(x)=e x (x+2)−e x(x+2)2=e x (x+1)(x+2)2>0，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又∵g(0)=12，g(1)=e3，函数g(x)的图象如图所示：，∴t >12且t ≠e3，17. 【答案】解：(1)已知等式√3b =2asinB ，利用正弦定理化简得：√3sinB =2sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴sinA =√32，∵A 为锐角，∴A =60°；(2)∵sinA =√32，△ABC 面积为10√3，∴12bcsinA =10√3，即bc =40，∵a =7，cosA =12，∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即49=b 2+c 2−bc =b 2+c 2−40， 整理得：b 2+c 2=89．18.【答案】解：(1)由题意可得a 2⋅a 6=a 32，又∵a 1=−1，∴(−1+d)⋅(−1+5d)=(−1+2d)2，解得：d =2． ∴a n =−1+2(n −1)=2n −3． S n =−n +n(n−1)×22=n 2−2n ；(2)b n =1an a n+1=1(2n−3)(2n−1)=12(12n−3−12n−1)，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =12[(1−1−11)+(11−13)+⋯+(12n −3−12n −1)]=12(−1−12n−1)=−n2n−1．19. 【答案】解：(1)完成的2×2列联表如下：K 2=100×(40×25−15×20)255×45×60×40≈8.249>7.879，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“平均车速超过100 km/ℎ与性别有关”．(2)平均车速不超过100 km/ℎ的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 402，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 151C 251，所以所求的概率P(A)=C 151C 251C 402=15×2520×39=2552．(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/ℎ且为男性驾驶员的概率为40100=25，故X ～B (3,25)． 所以P(X =0)=C 30(25)0(35)3=27125；P(X =1)=C 31(25)(35)2=54125；P(X =2)=C 32(25)2(35)=36125；P(X =3)=C 33(25)3(35)0=8125． 所以X 的分布列为E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65(或E(X)=3×25=65)． 20【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点，，，PA ∩AC =A ，PA,AC ⊂平面PAC ，平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ， ，∵PA =PC ，O 是AC 的中点，，∵AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AC ∩BD =O ，平面ABCD ；(2)由(1)知平面ABCD ，，∴OA ，OB ，OP 两两互相垂直，∴以O 为原点，以OA ，OB ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示：设PO =a ，∵四边形ABCD 是菱形，，∴△ABD 和△BCD 都是等边三角形，∴OA =OC =2√3，∴P(0,0,a)，A(2√3,0,0)，C(−2√3,0,0)，E(−√32,32,0)，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,−a)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,−a)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32,−32,0)，，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,−a)⋅(−√32,32,−a)=0，∴−3+a 2=0，即a =√3， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,−√3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,−√3)， 设平面PAE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =(2√3,0,−√3)⋅(x 1,y 1,z 1)=2√3x 1−√3z 1=0PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =(−√32,32,−√3)⋅(x 1,y 1,z 1)=−√32x 1+32y 1−√3z 1=0, 令z 1=2，得x 1=1，y 1=5√33，∴m ⃗⃗⃗ =(1,5√33,2)， 设平面PEC 的法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−3√32x 2−32y 2=0PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√32x 2+32y 2−√3z 2=0, 令x 2=−1，得y 2=√3，z 2=2， ∴n ⃗ =(−1,√3,2)，设二面角A −PE −C 的平面角为θ，结合图象可知， cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=−|(1,5√33,2)⋅(−1,√3,2)√12+(5√33)2+22⋅√(−1)2+(√3)2+22|=−√155，∴二面角A −PE −C 的余弦值为−√155．21. 【答案】(Ⅰ)解：当a =45时，，f′(x )=45−2x1+x 2=4x 2−10x+45(1+x 2)， 令f′(x )>0，得0<x <12或x >2；令f′(x )<0，得12<x <2；∴f (x )在(0,12)上单调递增，在(12,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故当x =12时，f (x )取得极大值为；当x =2时，f (x )取得极小值为．(Ⅱ)证明：令，g′(x )=1−2x1+x 2=(x−1)21+x 2≥0，∴g (x )在(0,+∞)上是增函数，∴g (x )>g (0)=0，，即当x >0时，． 【答案】解：(Ⅰ)由题可知b =√3. ①设F 1(c,0)，则由BF 1与圆相切时r =√32得bc a =√32，即c =a 2. ② 将① ②代入a 2=b 2+c 2解得a =2.所以C 1的方程为x 24+y 23=1.(Ⅱ)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，将y =kx +m 代入x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0．由直线l 与椭圆C 1相切得Δ=0即m 2=4k 2+3，且{x 1=−4km4k 2+3,y 1=3m 4k 2+3.由直线l 与圆C 2相切，设ON:y =−1k x ，与y =kx +m 联立得{x 2=−km k 2+1,y 2=mk 2+1.设直线l:y =kx +m (k >0,m >0)与x 轴交于点Q ，则Q (−m k ,0)． 所以△OMN 的面积=12×1k+1k ，因为k +1k ≥2(当且仅当k =1时等号成立)，所以△OMN 的面积S ΔOMN =121k+1k ≤14， 即△OMN 面积的最大值为14.。

海口市高三上学期数学9月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）若x1 ， x2 ， x3 ，…，x2013的方差为3，则3（x1﹣2），3（x2﹣2），3（x3﹣2），…，3（x2013﹣2）的方差为（）A . 3B . 9C . 18D . 272. （2分）已知log25=a,log27=b,则=（）A . a3-bB . 3a-bC .D .3. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·长春期中) 函数与函数的图象关于（）A . 直线对称B . 点对称C . 原点对称D . 轴对称二、填空题 (共11题；共11分)5. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 已知集合，，则 ________.6. （1分） (2018高二下·大庆月考) 复数满足 ________7. （1分） (2019高二上·德惠期中) 给出下列命题：①命题“若，则”的否命题为“若，则”；②“ ”是“ ”的必要不充分条件；③ 命题“，使得”的否定是：“ ，均有”；④命题“若，则”的逆否命题为真命题其中所有正确命题的序号是________.8. （1分）已知tan（α+）=2，则tanα=________9. （1分）已知点M（x，y）满足，当a＞0，b＞0时，若ax+by的最大值为12，则+的最小值是________10. （1分） (2018高二下·重庆期中) 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率为________11. （1分）如图所示，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1 ，α2 ，α3 ，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1 ， S2 ， S3 ，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．12. （1分）已知椭圆C： + =1，直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，则直线l的方程为________．13. （1分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：b2012是数列{an}中的第________项．14. （1分）(2017·潮州模拟) 在梯形ABCD中，AD∥BC，• =0，| |=2，| |=4，AC与BD 相交于点E，⊥ ，则• =________15. （1分）(2020·内江模拟) 已知函数是定义域为的奇函数满足.若，则 ________.三、解答题 (共6题；共61分)16. （1分）(2016·大连模拟) 在（a+b）n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________（结果用数字作答）．17. （10分） (2016高二下·无为期中) 如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BD⊥平面CDE．18. （10分） (2016高一上·石家庄期中) 已知函数f（x）=4x+a•2x+3，a∈R（1）当a=﹣4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；（2）若f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．19. （15分）函数f（x）=k•ax（k，a为常数，a＞0且a≠1的图象经过点A（0，1）和B（3，8），g（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）试判断g（x）的奇偶性；（Ⅲ）记a=g（ln2）、b=g（ln（ln2））、c=g（ln），d=g（ln22），试比较a，b，c，d的大小，并将a，b，c，d从大到小顺序排列．20. （10分） (2020高二上·青铜峡期末) 设 , 分别是椭圆E： + =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。

2020-2021海南中学高三数学上期中一模试卷含答案一、选择题1．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--2．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20474．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+5．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +7．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <11．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．15．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．16．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？17．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 19．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 22．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.23．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．24．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．25．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．26．数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2n n a a a +=+=. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若13na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n b 的通项公式及前n 项和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.2．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果.因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。