二阶系统的微分方程

二阶常系数线性微分方程

一、二阶常系数线形微分方程的概念

形如 )(xfqyypy (1)

的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p、q均为实数,)(xf为已知的连续函数.

如果0)(xf,则方程式 (1)变成

0qyypy (2)

我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.

二、二阶常系数齐次线性微分方程

1．解的叠加性

定理1 如果函数1y与2y是式(2)的两个解, 则2211yCyCy也是式(2)的解,其中21,CC是任意常数.

证明 因为1y与2y是方程(2)的解,所以有

0111qyypy

0222qyypy

将2211yCyCy代入方程(2)的左边,得

)()()(221122112211yCyCqyCyCpyCyC

=0)()(22221111qyypyCqyypyC

所以2211yCyCy是方程(2)的解.

定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.

叠加起来的解从形式看含有21,CC两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.

2.线性相关、线性无关的概念

设,,,,21nyyy为定义在区间I内的n个函数,若存在不全为零的常数,,,,21nkkk使得当在该区间内有02211nnykykyk, 则称这n个函数在区间I内线性相关,否则称线性无关.

例如 xx22sin,cos,1在实数范围内是线性相关的,因为

0sincos122xx

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程

ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解

我们看看 能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程

ypyqy0

得

(r 2prq)erx 0

由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解

特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式

2422,1qppr

求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数xrey11、xrey22是方程的两个线性无关的解

这是因为

函数xrey11、xrey22是方程的解 又xrrxrxreeeyy)(212121不是常数

因此方程的通解为

xrxreCeCy2121

(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数xrey11、xrxey12是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解

这是因为 xrey11是方程的解 又

xrxrxrxrxrxrqxeexrpexrrxeqxepxe111111)1()2()()()(1211

1 习题6.2

1. 求下列微分方程的解：

(1) 02

yyx

； (2) sec d(1)d0xyxxy

； (3) 2d

(1)

dy

xxy

x

； (4) 2

3

e0yx

yy

；

(5) 2

d1

dexxtt

tx



.

2. 求下列齐次微分方程的解: (1) d

sec

dyy

xyx

xx

； (2) ()d()d0xyxyxy

；

(3) /

e0yx

xyyx

； (4) 0sinsinx

xy

y

xy

yx

.

3. 求下列微分方程的解： (1) 2

2

y

xy







； (2) yxyxysin)2sin(cos)2cos(

； (3)

12342





yxyx

y

； (4)

)4)(14(1

yxyxy



； (5) d1

d5yyx

xyx



； (6) d21

d23yyy

xx



.

4. 求解下列初值问题： (1) 2d

1

dy

y

x

, 0)1(y

； (2)

2d3

d1yxyx

xx



, 2|

2

xy

； (3) 1)0(,11



y

yxy

； （4）

xyxyy

23

2



，(0)4y

； (5)

xy

yx

y

, 2)1(y

； (6) 22

(3)d3d0yxyxyx

, 1)0(y

.

5. 求下列线性微分方程的解：

(1) 3ex

yy

； (2) xyy4

；

(3) xxyy2

； (4) sind

cose

dxy

yx

x



； (5) ππ

cossinsin2, ,

22yxyxxx





； (6) 2d

costan0

dy

tyt

t

； (7) 2

d()d0xxyy

； (8)

xyyyy

y



ln2.

6. 求解下列初值问题：

(1) ex

yyx

, 0)0(y

； (2) 2

3xyyx

, 0)1( ,0yx

； 2 (3) d

sin

dx

txt

t

, (π)1x

科技信息　ｏ　ｍＴｉＪ￣稿０　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２００８年第３Ｏ期　二阶偏微分方程的可约性　程小静　Ｉ陕西理工学院数学系　陕西汉中７２３００１）　【摘要】本文利用ＫＡＩＶＩ迭代法证明了该方程（１．１）是可约的。　【关键词】拟周期；解析；有界；稳定性　Ｒｅｄｕｅｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｅｃｏｎｄ　Ｏｒｄｅｒ　Ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＣＨＥＮＧ　Ｘｉａｏ－ｊｉｎｇ　ｆＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｓｈａｎｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｎｚｈｏｎｇ，７２３００１）　【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｂｙ　ＫＡＭ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ（１．１）ｉＳ　ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ．　【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］ｑｕａｓｉ—ｐｅｒｉｏｄｉｃ；ａｎａｌｙｔｉｃ；ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　１．引言　对于偏微分方程，在多数情况下，难于研究它的各种性质，因而对　其进行定性研究，在力学及动力学中得到广泛的应用。本文研究了带　有拟周期系数的二阶偏微分方程：　ｆ　一‰＋ｃ（ｆ）　＿。。　ｆ１．１１　【ｕ（ｆ，ｏ）＝“（￡，２仃）＝Ｏ　、　其中ｃ（ｔ）＝ａ＋ｅｃ。（ｆ），０为常数，ｃ－（ｆ）是充分光滑的以∞为频率的拟周　期函数。假设频率　＝　，…　０满足Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ条件：　Ｉ　￣ｏｔ＋ｋ　叶　ｒ　Ｏ）ｒ　Ｉ卉　其中Ｃ和ｒ＞ｙ＋ｌ是两常数．令　ｕ：　ｇ　）中　）。　其中中　是　｛ｙ，　一　、　（１．１）　【　Ｏ）＝ｙ（２丌）：Ｏ　的对应Ａ　的特征函数。　本文旨在利用ＫＡＭ迭代法以直接的方法去寻求偏微分方程转化　为常微分方程，从而使原本复杂的问题变得简化。　预备知识　引理１【ｌ】对于特殊的ｓ—Ｌ问题Ｉ通常称为施拉姆一刘维尔边值问题　简称Ｓ－Ｌ问题）（１．１）　，其特征值Ａ　＝笔　＝Ｉ，２，…），对应的特征函数　∽＝Ｂ，ｓｉｎ—　ｎ　ｎ＝１，２，…），其中曰ｎ是无穷多个相互独立的任意常数。　引理２ｔ　对于边值问题（１．１），利用变换ｕ＝　），可将边值问题　（１．１）化成常微分方程的问题；　）＋【ｃ（￡）＋ＡＪｚ『（ｆ）＝Ｏ，ｔ∈Ｒ　其中Ｔｅ　＝　），　＝｛　（　ｏ））：　，Ｊ∈互＿ｌ　ｌ２：∑　ｆ　【，＝１　把ｆ１．２１化成如下的等价形式：　今Ａ＝一　叶　ｌ　１　叶入２　ｌ　・ｌ，Ｙ（ｔ）＝－ｃ—Ｏ）　叶　１　｝　＝　）：　ｇ　０）　ｇ２（　）　！　●　ｇ　）　；　其中Ａ和】，均是由无穷维对角分块阵组成，则（１．２）变为　＝　＋　ｙ（　）　（１．３）　易见系统（１．３）因　的不同而包含了无穷多个相互独立的方程，这　里以　＝孚（ｎ＝１，２，…）为例进行讨论，其它类似。　定理１　设紧集ｒ　ｃ　且ｍｅａｓＤ．ｏ＞０，ｃ　）是以　∈ｆ　为频率的　拟周的线性右界算子，且在带形区域６ｏ＞Ｏ内解析，则对足够小的常数　（　≥ｏ），了Ｑ，Ｑｃｎｏ且，　∞（　＝（　（１一Ｏ（　，而且对足够小的　常数ｓ’＝　１。＞Ｏ，使得对Ｖ　（０，　），系统（１．３）是可约的。即存在一拟　周期变换　＝尸　）　，使（１＿３）变为　＝ＢＶ　（１．４）　＇　其中Ｂ是常值矩阵Ｅｌｌａ—ＢＩＩ＝Ｏ＠）。　２．定理１的证明　定理１的证明是根据牛顿迭代的方法消去扰动项ｅＹ（ｔ）。在介绍　迭代引理前，先引进一些记号。　在下面的叙述中用Ｃ，Ｃ。，Ｃ２，…表示估计中出现的正数，用Ｑ表示　拟周期函数ｌ，（ｆ）的壳，Ｑ表示Ｑ在ｒ－环面上的平均。对于矩阵值函数Ｙ　），定义　ＩＩＹＩＩ。：＝ｓｕｐ　ＩＩＹ（ｔ）ｌｌ　∈Ｄ　用ｍ表示迭代的步骤，设　（１）ｓ　表示第１ｎ步迭代前扰动大小序列且　‘　伽　例如：ｐ＝ｌ／，。　（２）　表示第ｍ步后度量解析区域大小序　—　１＋…＋ｍ－￣）１２　Ｊ＝１　ｊ－＝（ｍ＞Ｉ１）。　（３）　ｍ＝　㈤＝｛　Ｅ（Ｃ／２￣ｒＺ）Ｓ：ｌｌｍＯＩ＜￣６　。　（４）Ｃ（ｍ）表示具有Ｃ　ｍ　形式的常数。　设ｎ　Ⅱ。）Ⅱ　Ｄ…　Ⅱ　是　中闭集，令Ⅱ　Ｃｎ一是由第三部分　得出的。设０　是Ⅱ　的ｑ　复邻域，１＝０，１，２，…，ｍ．假设经过ｍ一１步牛顿一　迭代，得到一拟周期的线性微分方程：　：　＋　，∞）　（２．１）　满足下面的条件：　１）ｍ＇Ａ　ｌ＝Ａ＋　Ｑ１（　＋…＋∞　ｌＱ（　ｍ≥２，Ａ庐Ａ［ｓ　ｓ　】　～　～　（１＋÷　‘　其中　）在０　内有界、解析且ｌｌ　ｌｌ≤１，／＝１　，ｍ一１。　：ｙ　）的壳Ｑ在区域Ｕｒｎ－　ｘＯｍ－。有界解析且｝ｆＱ　（ｐ　）ｌ１　。－＜１　设Ａ　册．。＋ｓ　，　则（２．１）变为：　：似　）　其中　）＝ｙ　一　。　据【１］欲寻求一序列变换：Ｘ＝（Ｅ＋　单）ｙ，Ｅ是单位阵，使（２．１）变　为：　ｘ＝（Ａ　Ｏ　¨）　满足条件　）　和　２）　。。　引理２．１（迭代引理）假设满足条件　）　和　，则存在一拟周期　的Ｌ—Ｐ变换　＝　＋ｓ　）　，其中　（ｆ）是以　为频率拟周期的线性　有界的且壳Ｐ在区域ＵｍＸＯ￣内有界、解析，Ｎ／／￣（２．１）式为：　＝　，　。ｌ，肼－　））　（２．２）　其中』４　和ｙ　。满足条件　。）　和　－。　证明将（２．１）式改写成：　＝　（ｆ）　（２．３）　其中Ｗ　）＝ｌ，　）一Ｑ　，Ａｍ＝Ａ　ｍ．　＋　，把Ｗ　写成傅氏级数的形式：　：（　。　。审　，ｍ）ｅ　（２．４）　其中Ｏ　）是Ｑ二（　；　关于０的傅氏系数，设　＝（　／　）ｌｌｎ８　ｌ，其　中６　册．。