系统的高阶微分方程描述

2-12 试分析几种简单系统（对象）的数学模型，以说明它们之间的相似性。

⑴水力系统； ⑵电系统；

⑶机械系统； ⑷传热系统；

⑸气动阻容组件； ⑹溶液制备系统。

解 ⑴图2-9表示一个水槽，假定水槽的截面积为A ，输出阀的线性阻力系数为R ，则根据物料平衡有：

式中V 表示水槽内水的蓄存量， 。另外，经过线性化后 与h 成线性关系，即

，将 v与 代入原始方程并整理后有：

令T=RA,K=R，则有：

其相应的传递函数为：

图2-9 水槽 图2-10 RC电路 图2-11 弹簧阻尼器系统

⑵图2-10是一 电路，根据基本电路定律有：

两式联立，可得：

令T=RC ，则上式可写为： 其相应的传递函数为：

⑶图2-11所示这一弹簧阻尼器系统。在弹簧的上端有一位多 ，其下端就会有一位移 。

由于弹簧所受的力与变形成正比，故有：F=k(x-y)

式中F为力， 为弹簧的刚度。

对于阻尼器来说，假设其产生的摩擦力与运动速度成正比，有：

式中 为阻尼器的粘性摩擦系数。

由于作用在阻尼器上的力与作用在弹簧上的力是相等的，所以有：

可写成：

其相应的传递函数为

如果令，则：

⑷图2-12所示为一水银温度计。为了建立温度计的测量值与被测温度之间的数学模型，我们忽略温度计玻璃本身的热容，只考虑温度计内水银的热容。水银具有的热量Q为：Q=McT

式中 M——水银的重量；

c——水银的比热容。

单位时间由周围环境（温度为 ）传给水银温度计的热量应该等水银内蓄存热量的变化率，因此可写成下列式子：

式中 a——水银温度计的等效导热系数；

企肥学统学辛艮（自然科学版）　０ｌ２年８月第２２卷第３期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｆｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ａｕｇ．２０１２　Ｖｏ１．２２　Ｎｏ．３　

＿＿＿Ｊ　Ｃ　同　阶微分方程解的延拓性　

刘　松　

（安徽大学数学科学学院，合肥２３０６０１）　

摘要：通过讨论高阶微分方程解的存在性和延拓性，把一阶微分方程的相关结果推广到高阶微分方程上，得　到了方程解的存在性和可延拓的几个充分条件，并给出了方程饱和解存在的一个充分必要条件，最后举例说明　主要结果的有效性．　关键词：高阶微分方程；解的存在性；Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件；延拓　中图分类号：０１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—１６２Ｘ（２０１２）０３—０００１－０５　

Ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＬＩＵ　Ｓｏｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ　２３０６０１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｈｉｇｈｅｒ—ｏｒｄｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｅｘｔｅｎｄ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｖｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｓｕｃｈ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｓｏｍｅ　

ＳＨｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ．ａｎｄ　ａ　ｓｕｍｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓａｔｕｒａｔｅｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｅｖｅｒａｌ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ａｒｅ　

可降阶的高阶微分方程

一、 定义：

表示二阶和二阶以上的微分方程，即所谓的高阶微分

方程。

二、 求解方法：通过代换，转化称较低阶的微分方程，然

后用前几节的求解微分方程的方法来求解。

三、 具体应用：

① ()()nyfx=型

对方程两边依次求积分，求一次阶数少一阶，最后得到

一阶微分方程。 ② (,)yfxy′′′=型

设dpypdx′′′==，即yp′=，变成一阶微分方程，然

后根据变量分离法，求得结果。 ③ (,)yfyy′′′=型

设dpdpdydpypdxdydxdy′′==⋅=⋅，即yp′=，

然后根据一阶微分方程求法求解。

第 12 次课 2 学时

课程安排：第二学期，周学时 4， 共 64学时.

主要内容：特殊高阶微分方程：高阶线性微分方程的概念、二阶常系数齐次线性微分方程。

本次课题（或教材章节题目）： 特殊高阶微分方程

教学要求： 1．理解高阶线性微分方程的概念；

2．掌握线性微分方程的解的结构

重 点： 1．线性微分方程的概念；

2．线性微分方程的解的结构。

难 点： 线性微分方程的解的结构。

教学手段及教具：以讲授为主，讲、练结合，使用电子教案

讲授内容及时间分配：

1．二阶线性微分方程举例 （30分钟）

2．线性微分方程的解的结构 （70分钟）

课后作业 1．二阶线性微分方程举例 （30分钟）

2．线性微分方程的解的结构 （70分钟）

参考资料

第12讲 特殊高阶微分方程

复习旧知：二阶线性微分方程的引入

【例1】设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为的物体。当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等，方向相反。这个位置就是物体的平衡位置。如图，取轴铅直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点。

如果使物体具有一个初始速度，那未物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近作上下振动。在振动过程中，物体的位置随时间变化，即是的函数

试确定物体的振动规律。

力学知识告诉我们：弹簧使物体回到平衡位置的弹性恢复力和物体离开平衡位置的位移成正比，即

其中为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力方向和物体位移方向相反。

另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油等)的阻力作用，使得振动逐渐趋向于停止。由实验知道，阻力总与运动方向相反，当振动不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为，则有