二阶微分方程解

第七节 二阶常系数线性微分方程的解法

在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。

§7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为

22dxyd＋pdxdy＋qy＝0 (7.1) 其中p、q是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。

我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dxyd，dxdy，y各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，其22dxyd，dxdy，y之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数erx，符合上述要求，于是我们令

y＝erx

(其中r为待定常数)来试解

将y＝erx，dxdy＝rerx，22dxyd＝r2erx代入方程(7.1)

得 r2erx＋prerx＋qerx＝0

或 erx（r2＋pr＋q）＝0

因为erx≠0，故得

r2＋pr＋q＝0

由此可见，若r是二次方程

r2＋pr＋q＝0 (7.2)

的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。

特征方程(7.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r１，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。

(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r１，r2，此时er１x，er2x是方程(7.1)的两个特解。 因为

第８卷第１２期２００８年６月　１６７１－１８１９（２００８）１２－３２６６—０２　科学技术与工程　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏｔ．８　Ｎｏ．１２　Ｊｕｎｅ　２００８　＠２００８　Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．　二阶微分方程在　空间的解　朱凤路慧芹　（山东师范大学数学科学学院，济南２５００１４）　摘要构造一个有界凸闭集，利用Ｍｏｎｃｈ不动点定理，得到二阶边值的在　空间的解。　关键词二阶边值的问题　不动点的定理　正解　中图法分类号０１７５．８；　文献标志码Ａ　１　引言及预备知识　对于二阶边值问题在连续空问中的解的研究　比较多，但是对于微分方程在　空问的解的研究却　是相对少的，本文受文献［１］对于Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ型积　分方程的研究方法的启发，利用Ｍｏｎｃｈ不动点定　理，得到了二阶微分方程在　空间的解。同时，得　到的这个解也是连续的，因此，本文也是得到二阶　微分方程连续解的另一个方法。　定理１（ｍｏｎｔｈ）　令Ｄ是Ｅ的有界凸集，‰∈Ｄ假设连续算子Ａ，　Ｄ—Ｄ，有下列性质，Ｃ　ｃ　Ｄ可数，且Ｃ　ｃ　‰ｕ　Ａ（ｃ）），则Ａ在Ｄ中有不动点。　２　微分方程边值问题　ｔ—ｘ　＝　ｔ，。ｃ　，　Ｉ　ａｘ（Ｏ）一ｂｘ　（０）＝　０，　ａ．ｅ　ｔ∈（０，１）；（１）　Ｌ　ｃｘ（１）＋　（１）＝９Ｃｏ　（１）式　中的解是指：Ｅ是ｂａｎａｃｈ空问，　∈Ｌｐ［．，，　Ｅ］，戈　绝对连续，且戈　满足微分方程（１）式，此时，　微分方程（１）式几乎处处等价于积分方程：　戈（ｔ）＝　［（Ｃ（１一ｔ）＋ｄ）　０＋（ａｔ＋ｄ）　］＋　２００８年３月５日收到　国家自然科学基金项目（１０４７１０５７）资助　』０　Ｇ（ｆ，ｓ　ｓ，　（ｓ））　。　其中，　＝ａｃ＋ａｄｂｃ≠０。　Ｇ（ｆ，　）：｛＿６－，１（口　＋６）（ｃ（　一ｓ）＋ｄ）　≤ｓ，　【　（ａｔ　４－６）（ｃ（１一ｆ）＋ｄ）ｔ　ｓ　可见０≤Ｇ（ｔ，ｓ）≤卵，　ｆ　（４口ｃ）～，　口ｃ≠０；　Ｇ＝｛　一　（ｂｃ＋ｂｄ），　口＝０；　【　一　（口ｄ＋６ｄ），　ｃ＝０。　３　主要结果　考察积分算子Ａ在　［．，，Ｅ］中有不动点，其中　Ａｘ（ｔ）＝　［（Ｃ（１一ｔ）＋ｄ）　０＋（ａｔ＋ｄ）　］＋　上Ｇ（　），（　（ｓ））ｄｓ。　（ｔ）＝６一　［（ｃ（１一ｔ）＋ｄ）ｘ。＋（ａｔ＋ｄ）　］，贝０显然　（ｔ）∈　［．，，Ｅ］，当　。，　∈　［．，，Ｅ］时，且存在Ⅳ，　使ｌＪ　ｌＪ≤Ｎ贝０（Ａ　）（ｆ）＝　（ｆ）＋Ｊｏ　ｃ（ｔ，ｓ），（ｓ，　（ｓ））ｄｓ。　以下给出条件：　（Ｈ　）ｐ，ｑ是实数，ｐ，ｑ＞１　ｑ　＝　ｍ＝ｍａｘ｛ｐ，　ｑ｝，１＜｜ｌ｝ｓ　ａ。，　１＋　１＋　１＝１。　（Ｈ　）（ｆ，　）一，（ｆ，　）是从Ｊ×Ｅ—Ｅ的映射　关于ｔ强可测，关于　连续，且ｌＩ　ｔ，　）ｌＪ　ｓ　Ｃ（ｔ）＋　ｂ　ｌＪ　ｑ，Ｖｔ∈［０，１］，　∈Ｅ，其中，ｃ∈Ｌｐ［Ｊ，Ｒ　］，

●　ｔｔ　８４　１　●　＿一　●　解题技巧与方法　…一　蜘　卿　卿　ｍ…　一　…　●　・ｌ！！！！　雅游　线僬徽分客　榆涟　◎金检华　李春泉　（西南石油大学理学院，四川成都６１０５００）　【摘要】本文给出二阶线性微分方程解的几种构造方　法．特别地，若已知二阶非齐次线性微分方程的若干个特　解，则由此可构造对应二阶齐次线性微分方程的解．　【关键词】二阶线性微分方程；解；构造方法；特解．　西南石油大学青年教师“过学术关”资助；西南石油大　学校级青年教师教改项目资助（２０１４ＪＸＹＪ一３９）．　微分方程的解析解不仅在理论上很关键，而且在工程　技术上尤其显示其重要性．二阶线性微分方程是研究者常　常碰到的一类方程，对于其解法，《高等数学》给出了二阶线　性微分方程解的结构定理．然而，对于由二阶非齐次线性微　分方程的解如何构造对应二阶齐次线性微分方程的解，学　生们往往不易给出结论．因此，本文详细介绍二阶线性微分　方程解的几种构造方法，并且阐明二阶非齐次线性微分方　程与对应齐次线性微分方程的解的关系及构造法．　本文中，记二阶线性微分方程为　Ｙ　＋Ｐ（　）Ｙ　＋ｇ（　）Ｙ＝＿厂（　）　（１）　其中，Ｐ（　），ｑ（　）和＿厂（　）都是关于　的一元鬲数．若　（１）中＿厂（　）≠０，则称方程（１）为二阶非齐次线性微分方　程；否则，称方程（１）为二阶齐次线性微分方程．　定理１　设函数Ｙ　＝Ｙ　（ｚ）是Ｙ”　Ｐ（　）Ｙ　ｑ（　）Ｙ＝　（　）的解，函数ｙ　＝ｙ　（　）是Ｙ”＋Ｐ（　）Ｙ　ｑ（　）ｙ＝　（　）的解，则函数Ｙ＝　Ｙ　＋　ｙ　是　ｙ　＋Ｐ（　）Ｙ　＋ｑ（　）ｙ＝　（　）＋　（　）　的解，其中　，　，∈Ｒ．　由定理１，本文给出如下结论．　推论１　设函数Ｙ　＝Ｙ　（　）是ｙ　Ｐ（　）ｙ　ｑ（　）Ｙ＝　／＝（　）的解，ｉ＝１，…，ｆ．则函数Ｙ＝∑ｋｉＹ　ｘ）是方程Ｙ　＋　ｉ＝１　ｆ　（　）ｙ　＋ｑ（　）ｙ＝∑　（　）的解，其中ｋ　一，　∈Ｒ．　ｉ＝Ｉ　证明　由题设知，对任意ｉ∈｛１，…，ｆ｝，有　（ｙ　）　Ｐ（　）（Ｙ　）　＋ｑ（　）ｙ　＝＿，　（　）．　于是，　』　ｆ　（∑ｋｉＹ　）”＋ｐ（　）（∑ｋｗ　）　＋ｑ（　）∑　ｙ　＝　ｉ＝ｌ　ｉ＝ｌ　Ｉ＝Ｉ　ｆ　ｆ　∑ｋｉ（（ｙ　）　＋ｐ（　）（ｙ　）　＋ｑ（ｚ）ｙ　）＝∑　（　）．　南微分方程解的定义知，Ｙ＝∑ｋｉＹ　（　）是ｙ　＋ｐ（　）ｙ　＋　ｆ　ｇ（　）ｙ＝∑ｋＺ（　）的解．　推论２　设函数ｙ　＝Ｙ　（　）是方程（１）的解，ｉ＝ｌ，　ｆ　ｆ　…，ｆ，且∑　＝１，则函数Ｙ＝∑　ｙ　ｘ）也是方程（１）的　解，其中　一，　∈Ｒ．　推论３　设函数Ｙ　＝ｙ　（　）是方程（１）的解，ｉ：１，　ｆ　…，２，且∑ｋ　＝０，则函数Ｙ＝∑ｋｉｙ　（　）是方程Ｙ　＋　Ｐ（　）Ｙ　ｇ（　）Ｙ＝０的解，其中　，‘＿‘，ｋ　Ｅ　Ｒ．　推论２指出，由微分方程（１）的有限个解可构造方程　（１）的新解；推论３指出，由微分方程（１）的有限个解可构　造与（１）对应齐次线性微分方程的解．特别地，函数Ｙ＝　，１　—ｙ　是方程Ｙ”　Ｐ（　）Ｙ　＋ｑ（　）Ｙ＝０的解．　定理２　设Ｙ：Ｙ．（　）与Ｙ：Ｙ２（　）是方程Ｙ　Ｐ（　）ｌｙ　ｑ（　）Ｙ＝０的解，Ｙ　（　）与Ｙ　（　）线性无关，则ｙ＝　。ｙ　（　）　＋Ｃ２　（　）是Ｙ”　Ｐ（　）Ｙ　＋ｑ（　）ｙ＝０的通解，其中Ｃｌ，ｃ２∈　Ｒ．　定理３　设，　＝ｙ　（　）是方程ｙ　Ｐ（　）ｙ　＋ｑ（　）Ｙ＝０　的通解，ｙ＝Ｙ　（　）是方程（１）的特解，则Ｙ＝Ｙ　（　）＋　Ｙ　（　）是方程（１）的通解．　例１　设函数Ｙ＝ｅ　、Ｙ＝ｓｉｎｘ与Ｙ＝ＣＯＳＸ是Ｙ　＋　Ｐ（　）Ｙ　ｑ（　）Ｙ：／（　）的解，试给出方程Ｙ”　ｐ（ｘ）Ｙ　ｑ（　）Ｙ＝　０的通解，并且给出Ｙ　Ｐ（　）Ｙ　ｑ（　）Ｙ＝　）的通解．　解　由推论３知，函数Ｙ＝ｅ　一ｓｉｎｘ、Ｙ＝ｅ　一ｃ０ｓ　都是　Ｙ　Ｐ（　）Ｙ　ｑ（　）Ｙ＝０的解．由定理２知，ｙ：Ｃ　（ｅ　一ｓｉｎｘ）　＋ｃ　（ｅ　一（　）是方程Ｙ　＋Ｐ（　）ｙ　ｑ（　）Ｙ＝０的通解．｝｝１　定理３及推论２知，ｙ＝ｃ１（ｅ　一ｓｉｎｘ）＋ｃ２（ｅ　一ＣＯＳＸ）＋　１　ｉｎ　＋÷ｃ。ｓ　是ｙ　＋ｐ（　）ｙ，＋ｇ（　）　：ｌ厂（　）的通解．　【参考文献】　［１］周义仓，靳祯，秦军林．常微分方程及其应用．科学　出版社，２Ｏｌ０（２）．　［２］同济大学数学系．高等数学（第六版上册）．高等教　育出版社，２００７（４）．　数学学习与研究

第３Ｏ卷第３期　２０１０年６月　惠州学院学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＵＩＺＨ０Ｕ　ＵＮＩＶＥＲＳｎＹ　Ｖｏ１．３０．Ｎｏ．３　ＪｕＩＬ　２０１０　

一类二阶变系数微分方程的解　

曹友娣，刘玉彬　

（惠州学院数学系，广东惠州５１６００７）　

摘要：本文主要讨论了一类二阶变系数线性微分方程的求解问题，通过变量代换方法将二阶变系数微分方程　

化为Ｒｉｃｃａｔｉ方程，利用Ｒｉｃｃａｔｉ方程的解的已有结果，得出二阶变系数微分方程的通解表达式。　关键词：变系数微分方程；变量代换；Ｒｉｃｃａｔｉ方程；解　

中图分类号：０１７５．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—５９３４（２０１０）０３—００１９—０７　

１　引言　

二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是在应用上都占有重要位置。对常系数的线性微分方程　

的通解结构，在一般的著作文　中有十分完美的讨论。　

目前讨论比较多的是二阶变系数线性微分方程解的问题，但是对此类方程却无通用的求解方法。因此二阶　

变系数微分方程的求解问题一直是人们感兴趣的研究课题，有不少的数学工作者总结了多种二阶变系数微分方　

程的求解方法（见文　），其中刘琼在文　中讨论了方程　

Ｙ　＋Ｐ（　）Ｙ　＋ｑ（　）Ｙ＝　），　（１．１）　

得到当系数满足ｇ（　）：￣－Ｅｐ（　）　（　）＋２ｐ　（　）］时，则方程（１．１）的通解为　

ｙ（ｘ）＝（ｃ－＋ｃ：　）ｅ～上』口　也＋ｆ　ＪＩｅ　）一　ｅ上『ｄｌ（　）　Ｉｅ一上『４　，（ｃ。，ｃ：（为常数）。　

冯录祥，马骊娟在文　中得出了，对方程（１．１），若　

）＝０且ｉｎ（１＋ｐ（　）＋ｑ（　））＝Ｊｑ（　）ｄｘ，　

则方程（１．１）有通解：　

Ｙ＝ｅ－　‘　＂山（ｃｌ＋ｃ２　Ｉｅ］　‘　’　’　ｄ　），　（ｃｌ，ｃ２为常数）。　

法国数学家刘维尔（Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ）在１８４１年证明了著名的黎卡提（Ｒｉｃｃａｔｉ）方程　

Ｙ　＝Ｐ（　）　＋Ｑ（ｘ）ｙ＋尺（　）　（１．２）