数学期望与方差的公式

期望-方差公式期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为ip （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。

[]1定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。

（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。

（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

三、 方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E -为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

数学方差的公式
数学方差的公式为：方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数。

具体来说，方差是用来衡量一组数据相对于其平均值的离散程度。

方差的计算公式为：
方差= (1/N) Σ[(xi - μ)²]
其中，N是数据的个数，xi是每个数据点，μ是数据的平均值。

这个公式表示的是每个数据点与平均值的差的平方的平均值。

此外，方差也可以表示为：
方差 = E[(xi - μ)²]
其中，E表示数学期望。

这个公式表示的是随机变量与数学期望的偏离程度的平方的期望值。

在离散型随机变量的情况下，方差的计算公式还可以表示为：
方差= Σ(p(xi) (xi - μ)²)
其中，p(xi)是每个数据点的概率。

这个公式表示的是每个数据点出现的概率与其与平均值的偏离程度的平方的乘积之和。

二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。

数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。

首先，我们来定义二项分布。

设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。

则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。

1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。

对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。

二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。

根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。

对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。

二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。

根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。

另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。

3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。

-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。

性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。

-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。

成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。

随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)),(-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。

概率论方差的计算公式
方差是衡量随机变量离其数学期望的平均距离的统计量，它可以帮助我们了解数据的离散程度。

方差的计算公式如下：
设随机变量X的数学期望为μ，则X的方差Var(X)的计算公式为：
Var(X) = E[(X μ)^2]
其中，E表示随机变量的期望值，X表示随机变量的取值，μ表示随机变量的数学期望。

另一种常用的方差计算公式是：
Var(X) = E(X^2) [E(X)]^2。

这个公式也可以用来计算方差，其中E(X^2)表示随机变量X^2的期望值。

在实际计算中，我们可以根据具体的数据和问题选择合适的公
式进行计算。

无论使用哪种公式，计算方差都需要先计算出随机变量的数学期望，然后根据相应的公式进行计算。

需要注意的是，方差的计算公式是概率论中非常基础和重要的内容，对于不同类型的随机变量（如离散型随机变量和连续型随机变量），其计算方式可能会有所不同。

因此在具体计算时需要结合具体问题和随机变量的特点来选择合适的计算方法。

总之，方差的计算公式是概率论中的重要内容，通过合适的计算公式可以帮助我们更好地理解和分析随机变量的离散程度。

超几何分布的数学期望和方差的算法
超几何分布期望值的简单公式法，E(X)=(n*M)/N，［其中x是指定样品数，n为样品容量，M为指定样品总数，N为总体中的个体总数］，可以直接求出均值。

方差有两种算法：V(X)=(X1-a)^2*P1+(x2-a)^2*P2+...+(Xn-a)*Pn。

另一种是V(X)=X1^2*P1+X2^2*P2+...Xn^2*Pn-a^2。

超几何分布简介：
超几何分布是统计学上一种离散概率分布。

它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。

称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N)。

概率论中的期望与方差计算技巧概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的规律性。

在概率论中，期望和方差是两个重要的概念，它们能够帮助我们描述和分析随机变量的特征和变异程度。

本文将介绍一些计算期望和方差的技巧，帮助读者更好地理解和应用概率论。

首先，我们来了解一下期望的概念。

在概率论中，期望是随机变量的平均值，它是对随机变量取值的加权平均。

对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，X表示随机变量，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。

这个公式的意义是，将每个取值乘以其对应的概率，然后将所有结果相加，即可得到期望。

对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)表示随机变量的概率密度函数。

这个公式的意义是，将每个取值乘以其对应的概率密度，然后对所有结果进行积分，即可得到期望。

接下来，我们来讨论一下方差的计算技巧。

方差是用来衡量随机变量的离散程度的指标，它表示随机变量与其期望之间的差异。

方差的计算公式为：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，E(X)表示随机变量的期望。

这个公式的意义是，将随机变量与其期望的差值平方，然后对所有结果进行加权平均，即可得到方差。

在实际计算中，计算期望和方差可能会遇到一些复杂的情况。

下面，我们将介绍一些常见的计算技巧，帮助读者更好地应用概率论。

首先，对于独立随机变量的期望和方差计算，可以利用期望和方差的性质进行简化。

如果X和Y是独立随机变量，那么它们的期望和方差的计算可以分别简化为：E(X+Y) = E(X) + E(Y)Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)这个性质在实际计算中非常有用，可以简化复杂问题的求解过程。

其次，对于二项分布和泊松分布的期望和方差计算，可以利用分布的特性进行简化。

对于二项分布，期望和方差的计算公式为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。

本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。

一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。

1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。

超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。

2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。

高一数学中的期望值与方差如何计算在高一数学的学习中，期望值和方差是两个非常重要的概念，它们在统计学和概率论中有着广泛的应用。

理解和掌握这两个概念的计算方法，对于我们解决实际问题和深入理解数学知识都具有重要的意义。

首先，让我们来了解一下什么是期望值。

期望值，简单来说，就是随机变量的平均取值。

如果我们把随机变量想象成一个“会变的数”，那么期望值就是它“平均会变成多少”。

假设我们有一个离散型随机变量X，它可能取值为x₁，x₂，x₃，，xₙ，对应的概率分别为 p₁，p₂，p₃，，pₙ。

那么这个随机变量 X的期望值 E(X)就可以通过以下公式计算：E(X) ＝ x₁p₁＋ x₂p₂＋ x₃p₃＋＋ xₙpₙ举个简单的例子，假设有一个掷骰子的游戏。

骰子有六个面，分别标有 1 到 6 的数字。

我们设随机变量 X 表示掷骰子得到的点数。

那么X 可能取值为 1、2、3、4、5、6，且每个点数出现的概率都是 1/6。

那么期望值 E(X)就等于：E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋6×（1/6) ＝ 35这意味着，如果我们多次掷骰子，平均得到的点数大约是 35。

接下来，我们再看看方差。

方差反映的是随机变量取值相对于期望值的分散程度。

如果方差较小，说明随机变量的取值比较集中在期望值附近；如果方差较大，则说明随机变量的取值比较分散。

离散型随机变量 X 的方差 Var(X)的计算公式为：Var(X) ＝ E(（X E(X)）²)但为了计算方便，我们通常使用以下公式：Var(X) ＝ E(X²) E(X)²同样以上面掷骰子的例子来说明。

我们先计算 E(X²)：E(X²) ＝ 1²×（1/6) ＋ 2²×（1/6) ＋ 3²×（1/6) ＋ 4²×（1/6) ＋ 5²×（1/6) ＋ 6²×（1/6) ＝ 91/6然后，已知 E(X) ＝ 35，所以方差 Var(X)为：Var(X) ＝ 91/6 35²＝35/12 ≈ 292这表明掷骰子得到的点数相对期望值的分散程度。

期望收益率、方差、协方差、相关系数的计算公式1、期望收益率计算公式HPR=（期末价格 -期初价格+现金股息）/期初价格例：A股票过去三年的收益率为3%、5%、4%，B股票在下一年有30%的概率收益率为10%，40%的概率收益率为5%，另30%的概率收益率为8%。

计算A、B两只股票下一年的预期收益率。

解:A股票的预期收益率＝（3%＋5%＋4%）/3 ＝ 4%B股票的预期收益率＝10%×30%＋5%×40%＋8%×30% ＝7.4%2、方差计算公式例：求43,45,44,42,41,43的方差。

解：平均数=（43+45+44+42+41+43）/6=43S2=【(43-43)2+(45-43)2+(44-43)2+(42-43)2+(41-43)2+(43-43)^2】/6=（0+4+1+1+4+0）/6=10/63、协方差计算公式例：Xi 1.1 1.9 3，Yi 5.0 10.4 14.6解：E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2E(Y) =(5.0+10.4+14.6)/3=10E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6) /3=23.02Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.024、相关系数计算公式解：由上面的解题可求X、Y的相关系数为r(X,Y)=Cov(X,Y)/(σxσy)=3.02/(0.77×3.93) = 0.9979表明这组数据X,Y之间相关性很好！扩展资料：1、期望收益率，又称为持有期收益率（HPR）指投资者持有一种理财产品或投资组合期望在下一个时期所能获得的收益率。

期望收益率是投资者在投资时期望获得的报酬率，收益率就是未来现金流折算成现值的折现率，换句话说，期望收益率是投资者将预期能获得的未来现金流折现成一个现在能获得的金额的折现率。

2.方差是概率论和统计方差度量随机变量或一组数据时，对离散程度的度量。