中考数学一轮复习(提高篇)：应用题专项

2022-2023学年人教版中考数学一轮复习《数与式》解答题专题提升训练（附答案）1．计算：（1）（）÷；（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）．2．计算：（1）﹣1[3+（﹣3）2]÷（﹣1）；（2）（﹣+）÷（﹣）；（3）（）÷（﹣）﹣；（4）﹣12022﹣（1﹣0.5）×[2﹣（﹣3）2]．3．计算：（1）；（2）．4．计算：﹣32+（﹣1）2021+（﹣π）0﹣﹣（﹣）2．5．（1）已知a＝2﹣4444，b＝3﹣3333，c＝5﹣2222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．（2）请探索使得等式（2x+3）x+2021＝1成立的x的值．6．已知A＝x+，B＝．①当x为何值时，A、B互为相反数？②当x为何值时，2A﹣B＝1？7．计算：（1）﹣12022+﹣|1﹣|+﹣；（2）20222﹣2021×2023；（3）﹣a6•a5÷a3﹣（a2）3•（﹣3a）2；（4）[（x﹣3y）2﹣7（x+y）（y﹣x）+（2x﹣y）（2y+x）]÷（﹣x）．8．已知A＝3b2﹣2a2+5ab，B＝4ab+2b2﹣a2．（1）化简：2A﹣3B；（2）当a＝﹣1，b＝4时，求2A﹣3B的值．9．先化简，再求值：﹣（3a2﹣4ab）+[a2﹣2（2a+2ab）]，其中a＝﹣2，b＝2022．10．已知A＝2ax3﹣3bx+6，当x＝﹣1时，A的值为10．（1）当a＝2时，求b的值．（2）当x＝﹣2时，A的值为12b﹣20a+k，求k的值．（3）设，当x＝1时，比较A与B的大小．11．阅读材料：求1+2+22+23+24+ (2100)首先设S＝1+2+22+23+24+…+2100①，则2S＝2+22+23+24+25+…+2101②，②﹣①得S＝2101﹣1，即1+2+22+23+24+…+2100＝2101﹣1．以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”．请你根据上面的材料，解决下列问题：（1）1+2+22+23+24+ (22000)（2）1++（）2+（）3+（）4+…+（）2000；（3）求1+3+32+33+34+…+32022的值．12．下面是某同学对多项式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4因式分解的过程．解：设9x2﹣6x＝y，则原式＝（y+3）（y﹣﹣1）+4…第一步＝y2+2y+1…第二步＝（y+1）2…第三步＝（9x2﹣6x+1）2…第四步解答下列问题：（1）该同学从第二步到第三步运用了因式分解的方法是；A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）老师说该同学因式分解的结果不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果；（3）请你尝试用以上方法对多项式n（n2+3n+2）（n+3）+1进行因式分解．13．已知下面一系列等式：①1×＝1﹣；②＝﹣；③×＝﹣；④×＝﹣…（1）请你根据这些等式的结构特征，写出第n（n为正整数）个等式：．（2）验证一下你写出的等式是否成立．（3）利用等式计算：++…+．14．乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）：方法1：；方法2：．（2）观察图2，请你写出代数式（a十b）2，a2+b2，ab之间的等量关系式．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知a+b＝6，a2+b2＝26，求ab的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，求（x﹣2022）2的值．15．请同学观察、计算、思考完成下列问题：计算：（1）（a﹣b）（a+b）＝；（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；（3）（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；猜想并验证：（4）（a﹣b）（a n+a n﹣1b+a n﹣2b2+…+a2b n﹣2+ab n﹣1+b n）＝；思考：（5）求22022+22021+22020+…+23+22+21的值．16．观察下列各式：①；②；③．（1）按规律第⑩为；（2）用规律计算：．17．甲、乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店的价格为每千克6元，在乙批发店，当一次购买数量不超过50kg时，价格为每千克7元：当一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格为每千克7元，超过50kg部分的价格为每千克5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x（kg）（x＞0）．（1）如表中，a＝，b＝，c＝；一次购买苹果的数量（单位：kg）2050100…甲批发店花费（单位：元）120a600…乙批发店花费（单位：元）b350c…（2）分别用含x的代数式表示：①甲批发店所花费的钱数为；②当一次购买数量不超过50kg时，乙批发店所花费的钱数为；③当一次购买数量超过50kg时，乙批发店所花费的钱数为；（3）如果小王在同一个批发店一次性购买120kg的苹果，通过计算说明他在甲、乙两个批发店哪个更实惠．18．观察下列等式：第一个等式：a1＝＝×（1﹣）第二个等式：a2＝＝×（﹣）第三个等式：a3＝＝×（﹣）第四个等式：a4＝＝×（﹣）…回答下列问题：①按以上规律列出第五个等式：a5＝＝；②用含n的代数式表示第n个等式：a n＝（n为正整数）③求a1+a2+a3+a4+…+a2022的值．19．请利用绝对值的性质，解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当a＞0时，则＝；当b＜0时，则＝．（2）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．（3）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值．20．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，（1）写出数轴上点B表示的数；（2）|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：①：若|x﹣8|＝3，则x＝．②：|x+14|+|x﹣8|的最小值为．（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4．参考答案1．解：（1）（）÷＝（+﹣）×24＝×24+×24﹣×24＝6+9﹣14＝1；（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）＝（﹣1）×+×（﹣3）＝﹣+（﹣）＝﹣3．2．解：（1）﹣1[3+（﹣3）2]÷（﹣1）＝﹣1﹣×（3+9）×（﹣）＝﹣1﹣×12×（﹣）＝﹣1+＝；（2）（﹣+）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣18）＝（﹣）×（﹣18）+×（﹣18）﹣×（﹣18）＝9﹣12+15＝﹣3+15＝12；（3）（）÷（﹣）﹣＝（）×（﹣）﹣＝（﹣）﹣+﹣2﹣＝﹣4+﹣﹣2＝﹣4﹣1﹣2＝﹣7；（4）﹣12022﹣（1﹣0.5）×[2﹣（﹣3）2]＝﹣1﹣××（2﹣9）＝﹣1﹣××（﹣7）＝﹣1+＝．3．解：（1）原式＝＝1﹣3＝﹣2；（2）原式＝＝．4．解：原式＝﹣9﹣1+1﹣4﹣＝﹣13．5．解：（1）∵a＝2﹣4444＝（）1111，b＝3﹣3333＝（）1111，c＝5﹣2222＝（）1111，又∵，∴（）1111＞（）1111＞（）1111，∴a＞c＞b；（2）∵（2x+3）x+2021＝1，∴2x+3＝1或2x+3＝﹣1且x+2021为偶数或2x+3＝0且x+2021≠0，解得：x＝﹣1或x﹣1.5．6．解：①∵A、B互为相反数，A＝x+，B＝，∴A+B＝0，∴x++＝0，4x+10+5（2x+1）＝0，x＝﹣；②∵2A﹣B＝1，A＝x+，B＝，∴2（x+）﹣＝1，x+1﹣＝1，x＝，8x＝10x+5，﹣2x＝5，x＝﹣．7．解：（1）﹣12002+﹣|1﹣|+﹣＝﹣1+5﹣（﹣1）﹣2﹣3＝﹣1+5﹣+1﹣2﹣3＝﹣；（2）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1；（3）﹣a6•a5÷a3﹣（a2）3•（﹣3a）2＝﹣a6•a5÷a3﹣a6×9a2＝﹣a8﹣9a8＝﹣10a8；（4）[（x﹣3y）2﹣7（x+y）（y﹣x）+（2x﹣y）（2y+x）]÷（﹣x）＝[x2﹣6xy+9y2﹣7（y2﹣x2）+4xy+2x2﹣2y2﹣xy]÷（﹣）＝（x2﹣6xy+9y2﹣7y2+7x2+4xy+2x2﹣2y2﹣xy）÷（﹣x）＝（10x2﹣3xy）÷（﹣x）＝﹣20x+6y．8．解：（1）2A﹣3B＝2（3b2﹣2a2+5ab）﹣3（4ab+2b2﹣a2）＝6b2﹣4a2+10ab﹣12ab﹣6b2+3a2＝﹣a2﹣2ab．（2）当a＝﹣1，b＝4时，2A﹣3B＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）×4＝﹣1+8＝7．9．解：﹣（3a2﹣4ab）+[a2﹣2（2a+2ab）]＝﹣3a2+4ab+（a2﹣4a﹣4ab）＝﹣3a2+4ab+a2﹣4a﹣4ab＝﹣2a2﹣4a．当a＝﹣2，b＝2022时，原式＝﹣2×（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝﹣2×4+8＝﹣8+8＝0．10．解：（1）把x＝﹣1，a＝2，A＝10代入A＝2ax3﹣3bx+6，得：10＝2×2×（﹣1）3﹣3b×（﹣1）+6，整理，得：10＝﹣4+3b+6，解得：；（2）解：把x＝﹣2，A＝12b﹣20a+k代入A＝2ax3﹣3bx+6，得：12b﹣20a+k＝2a×（﹣2）3﹣3b×（12）+6，∴12b﹣20a+k＝﹣16a+6b+6，∴k＝﹣16a+6b+6﹣12b+20a＝4a﹣6b+6，∵当x＝﹣1时，A的值为10，∴10＝﹣2a+3b+6，即：2a﹣3b＝﹣4，∴k＝4a﹣6b+6＝2（2a﹣3b）+6＝2×（﹣4）+6＝﹣2；（3）当x＝1时，A＝2ax3﹣3bx+6＝2a﹣3b+6＝﹣4+6＝2，，∵n2+2≥2，∴B≥A．11．解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+22000①，则2S＝2+22+23+24+…+22000+22001②，②﹣①得：S＝22001﹣1；（2）设S＝1++（）2+（）3+（）4+…+（）2000①，则S＝+（）2+（）3+（）4+…+（）2001②，①﹣②得：S＝1﹣（）2001，所以S＝2﹣2×（）2001＝2﹣（）2000．即1++（）2+（）3+（）4+…+（）2000＝2﹣（）2000；（3）设S＝1+3+32+33+34+…+32022①，则3S＝3+32+33+34+35+…+32023②，②﹣①得：2S＝32023﹣1，所以S＝，即1+3+32+33+34+…+32022＝．12．解：（1）该同学从第二步到第三步运用了因式分解的方法是：两个数和的完全平方公式，故选：C；（2）（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4＝（3x﹣1）4；（3）设n2+3n＝m，则原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（n2+3n+1）2．13．解：（1）第n（n为正整数）个等式为：×＝﹣，故答案为：×＝﹣；（2）∵左边＝，右边＝﹣＝，∴×＝﹣；（3）++…+＝﹣+﹣+……+﹣＝﹣＝．14．解：（1）方法1：大正方形的边长为（a+b），∴S＝（a+b）2；方法2：大正方形＝各个部分相加之和，∴S＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2．（2）由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①∵a+b＝6，∴（a+b）2＝36，∵a2+b2＝26，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝36﹣26＝10，∴ab＝5．②令a＝x﹣2022，∴x﹣2021＝[x﹣（2022﹣1）]＝x﹣2022+1＝a+1，x﹣2023＝[x﹣（2022+1）]＝x﹣2022﹣1＝a﹣1，∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝48，解得a2＝23．∴（x﹣2022）2＝23．15．解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3，故答案为：a3﹣b3；（3）（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4，故答案为：a4﹣b4；（4）（a﹣b）（a n+a n﹣1b+a n﹣2b2+…+a2b n﹣2+ab n﹣1+b n）＝a n+1+a n b+a n﹣1b2+…+a3b n﹣2+a2b n﹣1+ab n﹣a n b﹣a n﹣1b2﹣…﹣a3b n﹣2﹣a2b n﹣1﹣ab n﹣b n+1＝a n+1﹣b n+1，故答案为：a n+1﹣b n+1；（5）22022+22021+22020+…+23+22+21＝（2﹣1）（22022+22021+22020+…+23+22+21+1）﹣（2﹣1）×1＝22023﹣1﹣1×1＝22023﹣1﹣1＝22023﹣2．16．解：（1）①；②；③．按规律第⑩为：﹣×＝﹣+，故答案为：﹣×＝﹣+；（2）原式＝﹣1+﹣++……﹣+＝﹣1+＝﹣．17．解：（1）①根据题意有，a＝50×6＝300，b＝20×7＝140，c＝50×7+50×5＝600，故答案为：300；140；600；（2）根据题意有，①6x；②7x；③50×7+（x﹣50）×5＝350+5x﹣250＝5x+100，故答案为：6x；7x；5x+100；（3）当x＝120 时，6x＝6×120＝720 （元）；5x+100＝5×120+100＝700 （元）；∵720＞700，∴乙批发店史实惠．18．解：（1）由所给式子，可得a5＝＝×（﹣），故答案为：，×（﹣）；（2）a n＝＝×（﹣），故答案为：＝×（﹣）；（3）a1+a2+a3+a4+…+a2022＝+++…+＝×（1﹣+﹣+﹣+…+）＝×（1﹣）＝×＝．19．解：（1）∵a＞0，|a|＝a，∴＝1；∵b＜0，∴|b|＝﹣b，∴＝＝﹣1．故答案为：1，﹣1；（2）∵a+b+c＝0，abc＜0，∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a＞0，b＞0，c＜0∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b），∴原式＝++＝﹣1﹣1+1＝﹣1；（3）①三个数同时大于0时，原式＝1+1+1＝3；②三个数同时小于0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；③一个数大于0，两个数小于0时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；④两个数大于0，一个数小于0时，原式＝1+1﹣1＝1．综上所述，代数式的值为：3或﹣3或1或﹣1．20．解：（1）点B表示的数8﹣22＝﹣14．故答案为：﹣14；（2）①|x﹣8|＝3，x﹣8＝±3，则x＝5或11．故答案为：5或11；②|x+14|+|x﹣8|的最小值为8﹣（﹣14）＝22．故答案为：22；（3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2．此时P点表示的数是5t，则|8﹣2t|＝2，解得t＝3或t＝5．故当t为3或5秒时，A，P两点之间的距离为2；（4）设经过t秒时，P，Q之间的距离为4．此时P点表示的数是2t，Q点表示的数﹣14+4t，则|﹣14+4t﹣2t|＝4解得t＝9或t＝5．故当t为9或5秒时，P，Q之间的距离为4．。

人教版2024中考数学第一轮复习练习题—应用题分类复习类型一、一元一次方程的应用1、某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺桩和螺母刚好配套，应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？2、甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：超过20千克购苹果数不超过10千克超过10千克但不超过20千克每千克价格10元9元8元甲班分两次共购买苹果30千克（第二次多于第一次），共付出256元；而乙班则一次购买苹果30千克．（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）设甲班第一次购买苹果x千克．①则第二次购买的苹果为千克；②甲班第一次、第二次分别购买多少千克？3、有一批核桃要加工成罐头，甲工人每天能加工32公斤，乙工人每天能加工48公斤，且甲单独加工这批核桃要比乙多用10天．(1)这批核桃共多少公斤？(2)为了尽快加工完成，先由甲、乙两工人按原速度合作一段时间后，甲工人停工，而乙工人每天的生产速度提高25%，乙工人单独完成剩余部分，且乙工人的全部工作时间是甲工人工作时间的3倍还多1天，求乙工人共加工多少天？类型二、二元一次方程组的应用1、某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球，第一批购买了这两种品牌篮球各40个，共花费了7200元．全部销售完后，商家打算再购进一批这两种品牌的篮球，最终第二批购进50个A品牌篮球和30个B 品牌篮球共花费了7400元．两次购进A、B两种篮球进价保持不变．(1)求A、B两种品牌篮球进价各为多少元一个；(2)第二批次篮球在销售过程中，A品牌篮球每个原售价为140元，售出40个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出．已知第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，求A品牌篮球打几折出售2、“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中各有几只鸡和兔？3、根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高_____________cm，放入一个大球水面升高_____________cm；（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？类型三、分式方程的应用1、某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？2、为了响应“保护环境，低碳生活”的号召，张老师决定将上班的交通方式由开汽车改为骑自行车．张老师家距学校6千米，由于汽车的平均速度是自行车平均速度的4倍，所以张老师每天比原来提前30分钟出发，才能按原来的时间到校，求张老师骑自行车的平均速度是每小是多少千米．3、甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品,甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件.(1)求这种商品的单价;(2)甲、乙两人第二次再去采购该商品时,单价比上次少了20元/件,甲购买商品的总价与上次相同,乙购买商品的数量与上次相同,则甲两次购买这种商品的平均单价是元/件,乙两次购买这种商品的平均单价是元/件.(3)生活中,无论油价如何变化,有人总按相同金额加油,有人总按相同油量加油,结合(2)的计算结果,建议按相同加油更合算(填“金额”或“油量”).类型四、一元一次不等式（组）的应用1、某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？2、某商店购进A，B两种教学仪器，已知A仪器价格是B仪器价格的1.5倍，用450元购买A仪器的数量比用240元购买B仪器数量多2台．(1)求A，B两种仪器单价分别是多少元？(2)该商店购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的14，那么A型仪器最少需要购买多少台，求A型仪器执行最少购买量时购买两种仪器的总费用．3、某地区为筹备一项庆典，计划搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉30盆；搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉60盆，且搭配一个A种造型的花卉成本是270元，搭配一个B种造型的花卉成本是360元．（1）试求甲、乙两种花卉每盆各多少元？（2）若利用现有的2295盆甲种花卉和2190盆乙种花卉进行搭配，则有哪几种搭配方案？（3）在（2）的搭配方案中花卉成本最低的方案是哪一种？最低成本是多少元？类型五、一元二次方程的应用1、如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？2、某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元.该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.(1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是吨；(2)该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？3、周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A 地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A 地到达B 地后，小明以跑步形式继续前进到C 地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A 地到C 地锻炼共用多少分钟．类型六、一次函数的应用1、在创建全国文明城市过程中，官渡区决定购买A 、B 两种树苗对某路段道路进行绿化改造.已知购买A 种树苗5棵，B 种树苗3棵，需要840元；购买A 种树苗3棵，B 种树苗5棵，需要760元.（1）求购买A 、B 两种树苗每棵各需多少元?（2）现需购进这两种树苗共100棵，考虑到绿化效果和资金周转，购进A 种树苗不能少于30棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过10000元，怎样购买所需资金最少?2、临沂到海口货运路线总长2400千米．交通法规定：货车在这条路线上行驶速度范围是：60≤x ≤100（单位：km/h ，x 表示货车的行驶速度，假设货车保持匀速行驶），该货车每小时耗油（x 32400−x 220+85x ）升，柴油价格是10元/升．（1）求该货车在这条路线上行驶时全程的耗油量Q （升）关于车速x 之间的函数关系式．（2）求车速为何值时，该车全程油费最低，并求出最低油费．（3）刘师傅欲将一车香蕉由海南运往临沂，公司要求在32小时之内（包含32小时）到达．否则刘师傅将支付2000元的超时高额罚款．请计算刘师傅的最佳车速．3、某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋4个共花费88元.（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元.①求w关于x的函数关系式；②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值.类型七、二次函数的应用1、某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg．(1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润．(2)商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．2、小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，当售价为30元时销量为200件，每涨1元少卖10件，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？3、某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA，0.5OA 米，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上．已知在与池中心O点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米．(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；(2)身高为1.67m的小颖站在距离喷水管4m的地方，她会被水喷到吗？(3)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？。

中考数学总复习《分配方案问题（一次函数的综合实际应用）》专项提升训练（附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．2023年12月甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元．(1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式；(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？2．为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：A型B型价格（万元/辆）a b年载客量（万人/年）60 100若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．(1)求a，b的值；(2)计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案?(3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元?3．为美化校园环境，石室联中计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，每次购进的单价相同．(1)求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？(2)若计划购买杜鹃花、四季海棠共500盆，根据实际摆放，要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求方案所需费用．4．已知甲种玩具的售价为每个16元，乙种玩具的售价为每个13元．若超市购进甲种玩具10个和乙种玩具4个需要110元，购进甲种玩具7个和乙种玩具8个需要103元．(1)求甲、乙两种玩具的进价；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种玩具共100个，且投入资金不少于660元又不多于688元，设购买甲种玩具m个，求有几种购买方案？哪种方案下超市获得的利润最大？最大利润为多少？5．我校举办艺术节活动，对表现优秀的同学进行表彰奖励，计划购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知3本甲型笔记本和5本乙型笔记本共需50元，2本甲型笔记本和3本乙型笔记本共需31元．(1)求1本甲型笔记本和1本乙型笔记本的售价各是多少元？(2)学校准备购买这两种类型的笔记本共200本，要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出花费最低的钱数．6．随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式，某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：方案一：买一件运动外套送一件卫衣；方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣x 件（100x ≥）．(1)方案一需付款：______元，方案二需付款：______元；(2)当150x =时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；(3)当300x =时，如果两种方案可以组合使用，你能帮助俱乐部设计一种最省钱的方案吗？请直接写出你的方案．7．某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费15元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．设小明计划今年夏季游泳次数为x 次（x 为正整数）．(1)根据题意，将表格填写完整．游泳次数 10 15 20… 采用方式一付费（元） 250 325__ … 采用方式二付费（元） 200 __ 400 …(2)设方式一的总费用为1y 元，方式二的总费用为2y 元，分别用x 表示1y 和2y ；(3)通过计算说明，当19x =和21x =时，分别应选择哪种付费方式较合算？8．某校组织八年级师生共420人参观纪念馆，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A ，B 两种座位数不同的车型，如果租用A 种车3辆，B 种车5辆，则空余15个座位：如果租用A 种车5辆，B 种车3辆，则有15个人没座位．(1)求该公司A ，B 两种车型各有多少个座位？(2)若A 种车型的日租金为260元/辆，B 种车型的日租金为350元/辆，有多少种租车方案？怎样租车能使得座位恰好坐满且租金最少？最少租金是多少？9．某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A ，B 两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单(1)1k=；购买“云VIP”需元；(2)两种方案的函数图象交于点A，请求出点A的坐标并解释点A的实际意义；(3)若王先生准备“云健身”25次，选择方案（选填“一”或“二” )所需费用较少；若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案（选填“一”或“二” )可以获得更多的次数．13．2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．(1)求篮球和排球的价格分别为多少元？(2)学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．14．4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的优惠．设小明当天购书标价总额为x(50)x>元，方案一应付1y元，方案二应付2y元．x=时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；(1)当150(2)直接写出12,y y与x的函数关系式；(3)小明如何选择购书方案才更划算？15．A城有某种农机30台，B城有该农机50台，现将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司，已知C乡需要农机36台，D乡需要农机44台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为220元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为180元/台和240元/台．(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(2)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（200a ）作为优惠，其它费用不变，如何调运，才能使总费用最少？16．“南阳，一个值得三顾的地方”，南阳是中国月季之乡，南阳世界月季大观园是世界月季的中国舞台，也是中国月季的世界展示，月季花被称为花中皇后，又称“月月红”，树状月季，原产南阳，层次分明，高贵典雅，适应性强，观赏上佳，为加快省域副中心城市建设，南阳市政公司计划改造一片绿化地，种植A、B两种月季树，已知4棵A种月季树和3棵B种月季树的种植费用需要380元，3棵A种月季树和4棵B种月季树的种植费用需要320元．(1)A和B两种月季树每棵的种植费用各为多少元？(2)市政公司今年计划种植A和B两种月季树共300棵，如果A品种的数量不少于B品种数量的一半，应如何安排这两种月季树的种植数量，才能使今年的种植费用最低？答案： 1．(1)()20290000100y x x =-+≤≤(2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A 镇水泥100吨，则从甲县调往B 镇水泥100吨，从乙县调往A 镇水泥0吨，从乙县调往B 镇水泥300吨．，最低运费是27000元．2．(1)a 的值为100，b 的值为150；(2)有4购买方案(3)购车总费用最少的方案是购买A 型公交车9辆，购买B 型公交车1辆，购车总费用为1050万元3．(1)杜鹃花每盆的价格是15元，四季海棠每盆的价格是10元(2)购买杜鹃花334盆，四季海棠166盆，费用最省，最省费用为6670元4．(1)甲种玩具进价为每个9元，乙种玩具进价为每个5元(2)有8种方案，当甲40个，乙60个时，利润最大，最大利润为720元5．(1)1本甲型笔记本的售价是5元，1本乙型笔记本的售价是7元(2)当购买甲型笔记本150本，乙型笔记本50本时最省钱，最低费用为1100元6．(1)10020000x + 8024000x +(2)方案一：35000元，方案二：36000元，方案一更划算．(3)方案一∶购买100件运动外套，方案二购买200件卫衣7．(1)400；300(2)110015y x =+ 220y x =(3)当19x =时，选择方式二，当21x =时，选择方式一8．(1)该公司A ，B 两种车型各由45个和60个座位(2)租车方案有3种；A 型租8辆，B 型车租1辆时座位恰好坐满且租金最少；最少租金是2430元同，均为200元(3)二；一13．(1)篮球的价格为100元，排球的价格为80元(2)10m =14．答案：（1）解：当150x =时方案一：1500.8120⨯=（元）方案二：501500.80.755090140+⨯⨯=+=（元）∵120140<∴小明用方案一购书更划算；（2）解：由题意得：方案一：10.8y x =；方案二：2500.80.750.650y x x =+⨯=+；∴1y 与x 的函数关系式为10.8y x =；2y 与x 的函数关系式为20.650y x =+；（3）解：当12y y >时，即0.80.650x x >+解得250x >；当12y y <时，即0.80.650x x <+解得250x <；当12y y =时，即0.80.650x x =+解得250x =．∴当250x <时，方案一更划算，当250x >时，方案二更划算，当250x =时，方案一和方案二一样划算．15．(1)()8015840030W x x =+≤≤(2)①当080a <<时，此时，从A 城调往C 城0台，调往D 城30台，从B 城调往C 城36台，调往D 城14台；②当80a =时，此时各种方案费用一样多，③当80200a <≤时，此时从A 城调往C 城30台，调往D 城0台，从B 城调往C 城6台，调往D 城44台．16．(1)8020x y =⎧⎨=⎩(2)安排A 种月季树种100棵，则B 种月季树种200棵。

中考数学总复习《方程(组)及其应用》专项提升练习题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________命题点1一次方程(组)的解法及解的应用 1(2022百色)方程3x=2x+7的解是( )A.x=4B.x=-4C.x=7D.x=-72(2022株洲)对于二元一次方程组{y =x -1,①x +2y =7,②将①式代入②式,消去y 可以得到( )A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7C.x+x-1=7D.x+2x+2=73(2022随州)已知二元一次方程组{x +2y =4,2x +y =5,则x-y 的值为 .4(2022呼和浩特)解方程组{4x +y =5,x -12+y 3=2.5(2022荆州)已知方程组{x +y =3,①x -y =1②的解满足2kx-3y<5,求k 的取值范围.命题点2解分式方程6(2022北京)方程2x+5=1x 的解为 .7(2022成都)分式方程3−xx -4+14−x =1的解是 . 8(2022常德)方程 2x +1x (x -2)=52x的解为 .9(2022苏州)解方程:xx+1+3x =1.10(2022青海)解方程:x x -2-1=4x 2-4x+4.命题点3分式方程的解的应用 11(2022德阳)如果关于x 的方程2x+m x -1=1的解是正数,那么m 的取值范围是 ( )A.m>-1B.m>-1且m ≠0C.m<-1D.m<-1且m ≠-2 12(2021达州)若分式方程2x -ax -1-4=-2x+a x+1的解为整数,则整数a= .命题点4一元二次方程的解法及解的应用 13(2022天津)方程x 2+4x+3=0的两个根为 ( ) A.x 1=1,x 2=3 B.x 1=-1,x 2=3 C.x 1=1,x 2=-3 D.x 1=-1,x 2=-314(2022临沂)方程x 2-2x-24=0的根是( )A.x 1=6,x 2=4B.x 1=6,x 2=-4C.x 1=-6,x 2=4D.x 1=-6,x 2=-415(2022宜宾)已知m ,n 是一元二次方程x 2+2x-5=0的两个根,则m 2+mn+2m 的值为( )A.0B.-10C.3D.1016(2022广东)若x=1是方程x 2-2x+a=0的根,则a= .17(2022黄冈)若一元二次方程x 2-4x+3=0的两个根是x 1,x 2,则x 1·x 2的值是 .18(2022鄂州)若实数a ,b 分别满足a 2-4a+3=0, b 2-4b+3=0,且a ≠b ,则1a +1b 的值为 .19(2022无锡)解方程:x 2-2x-5=0.20(2022齐齐哈尔)解方程:(2x+3)2=(3x+2)2.命题点5一元二次方程根的判别式21(2022北京)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m 的值为()A.-4B.-14C.14D.422(2022抚顺)下列一元二次方程无实数根的是() A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=023(2022滨州)一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为()A.无实数根B.有两个不等的实数根C.有两个相等的实数根D.不能判定24(2022随州)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若x1x2=5,求k的值.25(2022南充)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.命题点6方程的实际应用角度1变化率问题26(2022重庆A卷)小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是() A.200(1+x)2=242 B.200(1-x)2=242C.200(1+2x)=242D.200(1-2x)=24227(2022哈尔滨)某种商品原来每件售价为150元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为96元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,所列方程正确的是() A.150(1-x2)=96 B.150(1-x)=96C.150(1-x)2=96D.150(1-2x)=96角度2购买、销售问题28(2022牡丹江)某商品的进价为每件10元,若按标价打八折售出后,每件可获利2元,则该商品的标价为每件元.29(2022重庆A卷)为进一步改善生态环境,村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算,这三座山各需两种树木数量和之比为5∶6∶7,需香樟数量之比为4∶3∶9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3.在实际购买时,香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高25%,香樟购买数量减少了6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等,则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为.30(2022广东)《九章算术》是我国古代的数学专著,几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元,则多了3元;若每人出7元,则少了4元.问学生人数和该书单价分别是多少.角度3分配问题31(2021北京)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A生产线的原材料的质量与分配到B生产线的原材料的质量的比为.第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A 生产线分配了m 吨原材料,给B 生产线分配了n 吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则mn 的值为 . 角度4生产、工程问题32(2022云南)某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同.设实际每天植树x 棵,则下列方程正确的是 ( )A .400x -50=300x B .300x -50=400xC .400x+50=300xD .300x+50=400x33(2022宜昌)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨. (1)求4月份再生纸的产量.(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元,5月份再生纸产量比上月增加m%,5月份每吨再生纸的利润比上月增加m2%,则5月份再生纸项目月利润达到66万元,求m 的值.(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.角度5行程问题34(2022济宁)一辆汽车开往距出发地420 km 的目的地,若这辆汽车比原计划每小时多行10 km,则提前1 h 到达目的地.设这辆汽车原计划的速度是x km/h,根据题意所列方程是 ( )A.420x =420x -10+1B.420x +1=420x+10 C.420x=420x+10+1 D.420x+1=420x -1035(2022重庆A 卷)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A 地30千米的B 地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A 地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A 地出发,则甲、乙恰好同时到达B 地,求甲骑行的速度.角度6几何问题36(2022泰州)如图,在长为50 m 、宽为38 m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m 2,道路的宽应为多少?角度7其他问题37(2022宜昌)五一小长假,小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 ( )A.30B.26C.24D.2238(2022安徽)某地区2020年进出口总额为520亿元,2021年进出口总额比2020年有所增加,其中进口额增加了25%,出口额增加了30%.注:进出口总额=进口额+出口额.(1)设2020年进口额为x亿元,出口额为y亿元,请用含x,y的代数式填表:年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020 x y5202021 1.25x1.3y(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元,求2021年进口额和出口额分别是多少亿元.分类训练4方程(组)及其应用1.C2.B【解析】将①代入②,得x+2(x-1)=7,去括号,得x+2x-2=7.3.1【解析】{x+2y=4,①2x+y=5,②②-①,得x-y=5-4=1.4.【参考答案】{4x+y=5,①x-12+y3=2,②由②,得3x+2y=15,③①×2-③,得5x=-5解得x=-1.把x=-1代入①,得y=9故方程组的解为{x=−1, y=9.5.【参考答案】①+②,得2x=4,∴x=2.①-②,得2y=2,∴y=1.将x=2,y=1代入2kx-3y<5,得4k-3<5解得k<2.6.x=5 【解析】 方程两边同时乘x (x+5),得2x=x+5,解得x=5.检验:当x=5时,x (x+5)≠0.故x=5是原分式方程的解.7.x=3 【解析】 去分母,得3-x-1=x-4,移项、合并同类项,得-2x=-6,系数化为1,得x=3.经检验,x=3是分式方程的解.8.x=4 【解析】 方程两边同乘2x (x-2),得2×2(x-2)+2=5(x-2),解得x=4.检验:当x=4时,2x (x-2)=16≠0,∴x=4是原方程的解.9.【参考答案】 方程两边同乘以x (x+1),得x 2+3(x+1)=x (x+1). 解方程,得x=-32.经检验,x=-32是原方程的解. 10.【参考答案】 x x -2-1=4(x -2)2x (x-2)-(x-2)2=4 解得x=4检验:当x=4时,(x-2)2≠0 故x=4是原方程的解.11.D 【解析】 方程两边同时乘(x-1),得2x+m=x-1,解得x=-1-m.∵方程的解是正数,∴x>0,且x ≠1,∴-1-m>0,且-1-m ≠1,∴m<-1且m ≠-2. 12.±1 【解析】2x -a x -1-4=-2x+a x+1可变形为2x -2+2-a x -1-4=-2x -2+2+a x+1,即2+2−a x -1-4=-2+2+a x+1,∴2−a x -1=2+ax+1,∴(2-a )(x+1)=(2+a )(x-1),∴x=2a .又∵x 为整数,且x ≠±1,∴整数a=±1. 13.D 【解析】 方法一:∵x 2+4x+3=0,∴x 2+4x=-3,∴x 2+4x+4=-3+4,∴(x+2)2=1,∴x+2=±1,∴x 1=-1,x 2=-3.方法二:x 2+4x+3=0可化为(x+1)(x+3)=0,∴x 1=-1,x 2=-3. 14.B 【解析】 移项,得x 2-2x=24,配方,得x 2-2x+1=25,即(x-1)2=25,∴x-1=±5,∴x 1=6,x 2=-4.15.A 【解析】 ∵m ,n 是一元二次方程x 2+2x-5=0的两个根,∴m 2+2m-5=0,mn=-5,∴m 2+2m=5,∴m 2+mn+2m=m 2+2m+mn=5-5=0.故选A . 16.1 【解析】 将x=1代入x 2-2x+a=0,得1-2+a=0,∴a=1.17.3 【解析】 ∵x 1,x 2是一元二次方程x 2-4x+3=0的两个根,∴x 1·x 2=c a =31=3. 18.43 【解析】 由题意得a ,b 是方程x 2-4x+3=0的两个不相等的实数根,∴a+b=4,ab=3,∴1a +1b =a+b ab =43. 19.【参考答案】 移项,得x 2-2x=5 配方,得x 2-2x+1=5+1,即(x-1)2=6开方,得x-1=±√6解得x1=1+√6,x2=1-√6.20.【参考答案】等号两边同时开方,得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2 解得x=1或x=-1.21.C【解析】由题意可知Δ=1-4m=0,解得m=14.22.C【解析】逐项分析如下:选项分析是否符合题意A Δ=1+8=9>0,方程有两个不相等的实数根.否B Δ=4>0,方程有两个不相等的实数根.否C Δ=1-20=-19<0,方程没有实数根.是D Δ=4-4=0,方程有两个相等的实数根.否23.A【解析】∵Δ=(-5)2-4×2×6=25-48=-23<0,∴一元二次方程2x2-5x+6=0无实数根.24.【参考答案】(1)依题意可得Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0化简,得4k-3>0解得k>34.(2)依题意得x1x2=k2+1=5解得k1=2,k2=-2.由(1)知k>34,故k=2.25.【参考答案】(1)∵一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根,∴Δ≥0即32-4(k-2)=-4k+17≥0解得k≤174.(2)∵方程的两个实数根分别为x1,x2∴x1+x2=-3,x1x2=k-2.∵(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1 ∴k-2-3+1=-1,解得k=3.26.A 【解析】 根据题意,得第二天揽件200(1+x )件,第三天揽件200(1+x )(1+x )=200(1+x )2(件),故200(1+x )2=242,故选A .27.C 【解析】 第一次降价后,该种商品每件售价为150(1-x )元,第二次降价后,该种商品每件售价为150(1-x )2元,故150(1-x )2=96.28.15 【解析】 设该商品的标价为每件x 元,由题意得80%x-10=2,解得x=15. 29.3∶5 【解析】 根据题意设未知数,列表如表(1)所示.由“甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3”,可列方程5a -4b 6a -3b =23,∴a=2b ,可得表(2).设香樟原价为每棵m 元,红枫原价为每棵n 元,则16b (1-6.25%)·m (1-20%)+20b ·n (1+25%)=16bm+20bn ,∴12bm+25bn=16bm+20bn ,∴m=54n ,∴12bm 25bn =12×54n 25n =15n 25n =35.表(1) 甲 乙 丙 香樟 4b 3b 9b 红枫 5a-4b 6a-3b合计5a6a7a表(2)甲 乙 丙 合计 香樟 4b 3b 9b 16b 红枫6b9b 5b 20b 合计 10b12b 14b30.【参考答案】 设学生人数为x 根据题意,得8x-3=7x+4 解得x=7∴7x+4=53.答:学生人数为7,该书单价为53元.31.2∶3 12 【解析】 设第一天分配到A,B 两条生产线的原材料分别为x 吨、y 吨,根据题意,得{x +y =5,4x +1=2y +3,解得{x =2,y =3,故分配到A 生产线的原材料的质量与分配到B 生产线的原材料的质量的比为2∶3.由题意得4(2+m )+1=2(3+n )+3,整理,得2m=n ,故m n =12.32.B 【解析】 由实际每天植树x 棵,可知原计划每天植树(x-50)棵,根据“实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同”,可列方程为400x =300x -50.33.【参考答案】 (1)设3月份再生纸产量为x 吨,则4月份再生纸产量为(2x-100)吨.由题意,得x+(2x-100)=800解得x=300∴2x-100=500.答:4月份再生纸的产量为500吨.(2)由题意,得500(1+m%)·1 000(1+m 2%)=660 000解得m 1=20,m 2=-320(不合题意,舍去) ∴m=20.(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y , 5月份再生纸的产量为a 吨,根据题意得1 200(1+y )2·a (1+y )=(1+25%)×1 200(1+y )·a∴1 200(1+y )2=1 500.答:6月份每吨再生纸的利润是1 500元.34.C 【解析】 这辆汽车原计划的速度是 x km/h,则实际的速度是(x+10)km/h,原计划用时420x h,实际用时420x+10 h.由实际比原计划提前1 h 到达目的地,可列方程为420x =420x+10+1.35.【参考答案】 (1)设乙骑行的速度是x 千米/时,则甲骑行的速度是1.2x 千米/时由题意,得12×1.2x=12x+2 解得x=20则1.2x=24.答:甲骑行的速度是24千米/时.(2)设乙骑行的速度是y 千米/时,则甲骑行的速度是1.2y 千米/时.由题意,得301.2y +2060=30y解得y=15.经检验,y=15是原方程的解,且符合题意.则1.2y=18.答:甲骑行的速度为18千米/时. 名师点拨由实际问题抽象出一次方程(组)的主要步骤:(1)弄清题意;(2)找准题中的等量关系;(3)设未知数;(4)根据找到的等量关系列出方程(组).36.【参考答案】 设道路的宽应为x 米由题意,得(50-2x )(38-2x )=1 260解得x 1=4,x 2=40(舍去).答:道路的宽应为4米.37.B 【解析】 设1艘大船可满载x 人,1艘小船可满载y 人,根据题意,得{x +2y =32①,2x +y =46②,由①+②,得3x+3y=78,∴x+y=26,即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26.38.【参考答案】 (1)1.25x+1.3y(2)由题意得{x +y =520,1.25x +1.3y =520+140,解得{x =320,y =200,∴1.25x=400,1.3y=260.答:2021年进口额为400亿元,出口额为260亿元.。

备考中考一轮复习点对点必考题型题型26 应用题考点解析1．一元二次方程的应用（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．（2）列一元二次方程解应用题中常见问题：①数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．②增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．③形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．④运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”a．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．b．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．c．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．d．解：准确求出方程的解．e．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．f．答：写出答案．2．分式方程的应用（1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．（2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．3．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．4．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．5．一次函数的应用（1）分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．（3）概括整合①简单的一次函数问题：a建立函数模型的方法；b分段函数思想的应用．②理清题意是采用分段函数解决问题的关键．6．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．五年中考1．（2019•成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p x来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？2．（2018•成都）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？3．（2017•成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站A B C D Ex（千米）8 9 10 11.5 13y1（分钟）18 20 22 25 28（1）求y1关于x的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．4．（2016•成都）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？5．（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？一年模拟6．（2019•成华区模拟）随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种型号的净水器，每台甲型净水器比每台乙型净水器进价多200元，已知用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等．（1）求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？（2）该商场计划花费不超过9.8万元购进两种型号的净水器共50台进行销售，甲型净水器每台销售2500元，乙型净水器每台售价2200元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台a元（70＜a＜80）捐献给贫困地区作为饮水改造扶贫资金．设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值．7．（2019•邛崃市模拟）某健身馆普通票价为40元/张，6﹣9月为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价1200元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价300元/张，每次凭卡另收10元．普通票正常出售，两种优惠卡仅限6﹣9月使用，不限次数．设健身x次时，所需总费用为y元．（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．8．（2019•武侯区模拟）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．9．（2019•锦江区模拟）十三五”以来，党中央，国务院不断加大脱贫攻坚的支持决策力度，并出台配套文件，国家机关各部门也出台多项政策文件或实施方案．某单位认真分析被帮扶人各种情况后，建议被帮扶人大力推进特色产业，大量栽种甜橙；同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品橙．丰收后，将一批甜橙采取现场销售和网络销售相结合进行试销，统计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利800元，网络销售则可获利1000元，网络销售比现场销售每件多获利5元（1）现场销售和网络销售每件分别多少元？（2）根据甜橙试销情况分析，现场销售量a（件）和网络销售量b（件）满足如下关系式：b a2+12a ﹣200．求a为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？10．（2019•武侯区模拟）成都市某商场购进甲、乙两种商品，甲商品的购进总价y（元）与购进数量x（件）之间的函数关系如图l1所示，乙商品的购进总价y（元）与购进数量x（件）之间的函数关系如图l2所示．（1）请分别求出直线l1，l2的函数表达式，并直接写出甲、乙两种商品的购进单价各是多少元？（2）现该商场购进甲、乙两种商品各100件，甲、乙商品的销售单价均为70元，销售一段时间后，商场对甲商品搞促销活动，打八折继续销售剩余甲商品，乙商品的销售单价始终保持不变．若商场规定甲商品打折前的销售数量不得多于甲商品打折后的销售数量的，那么甲商品应接原销售单价销售多少件，才能使得甲、乙两种商品全部销售完后商场获得最大利润？最大利润为多少元？11．（2019•双流区模拟）某文具店出售一种文具，每个进价为2元，根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为3元时，每天能卖出500个，如果售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．物价局规定售价不能超过进价的240%．（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润，每个文具的售价应是多少？（2）该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？12．（2016•荆州）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．13．（2019•郫都区模拟）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱x台（33≤x≤40），那么该商店要获得最大利润应如何进货？14．（2019•郫都区模拟）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）求果园增种橙子树x（棵）与果园橙子总产量y（个）的函数关系式；（2）多种多少棵橙子，可以使橙子的总产量在60420个以上？15．（2019•成都模拟）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．（1）求销售量y件与销售单价x（x＞10）元之间的关系式；（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？精准预测1．天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．八（1）班为了配合学校体育文化月活动的开展，同学们从捐助的班费中拿出一部分钱来购买羽毛球拍和跳绳．已知购买一副羽毛球拍比购买一根跳绳多20元．若用200元购买羽毛球拍和用80元购买跳绳，则购买羽毛球拍的副数是购买跳绳根数的一半．（1）求购买一副羽毛球拍、一根跳绳各需多少元？（2）双11期间，商店老板给予优惠，购买一副羽毛球拍赠送一根跳绳，如果八（1）班需要的跳绳根数比羽毛球拍的副数的2倍还多10，且该班购买羽毛球拍和跳绳的总费用不超过350元，那么八（1）班最多可购买多少副羽毛球拍？3．已知A、B两地相距2.4km，甲骑车匀速从A地前往B地，如图表示甲骑车过程中离A地的路程y（km）与他行驶所用的时间x（min）之间的关系．根据图象解答下列问题：（1）甲骑车的速度是km/min；（2）若在甲出发时，乙在甲前方0.6km处，两人均沿同一路线同时出发匀速前往B地，在第3分钟甲追上了乙，两人到达B地后停止．请在下面同一平面直角坐标系中画出乙离A地的距离y乙（km）与所用时间x（min）的关系的大致图象；（3）乙在第几分钟到达B地？（4）两人在整个行驶过程中，何时相距0.2km？4．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下到问题：（1）货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为；（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；（3）在两车行驶过程中，当辆车与货年相距20千米时，求x的值．5．某水果店经销一种高档水果，售价为每千克60元（1）连续两次降价后售价为每千克48.6元，若每次下降的百分率相同．求平均下降的百分率；（2）已知这种水果的进价为每千克48元，每天可售出80千克，经市场调查发现，若售价每涨价1元，日销售量将减少4千克，设每千克涨价t元，每天获得的利润为w元．①当售价为多少元时，每天获得的利润为最大？最大为多少元？②水果店老板为保证每天的利润不低于988元，请直接写出t的取值范围是．6．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？7．我国为了实现到达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，据统计当售价定为30元/个时，每月销售40万个，当售价定为35元/个时，每月销售30万个．（1）请求出k、b的值．（2）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式．（3）该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在25≤x≤36元之间，求该小型企业每月获得利润w （万元）的范围．8．合肥享有“中国淡水龙虾之都”的美称，甲、乙两家小龙虾美食店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾．“龙虾节”期间，甲、乙两家店都让利酬宾，在人数不超过20人的前提下，付款金额y甲、y乙（单位：元）与人数之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；（2）小王公司想在“龙虾节”期间组织团建，在甲、乙两家店就餐，如何选择甲、乙两家美食店吃小龙虾更省钱？9．某公司生产的一种商品其售价是成本的1.5倍，当售价降低5元时商品的利润率为25%．若不进行任何推广年销售量为1万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做推广，根据经验，每年投入的推广费x万元时销售量y（万件）是x的二次函数：当x为1万元时，y是1.5（万件）．当x为2万元时，y是1.8（万件）．（1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？（2）求出年利润与年推广费x的函数关系式；（3）如果投入的年推广告费为1万到3万元（包括1万和3万元），问推广费在什么范同内，公司获得的年利润随推广费的增大而增大？10．永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x吨化工产品．（1）用x的代数式表示该厂购进化工原料吨；（2）当x＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y，求y关于x的函数关系式；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？11．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）12．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？13．潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元．（1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？14．某运动品商场欲购进篮球和足球共100个，两种球进价和售价如下表所示，设购进篮球x个（x为正整数），且所购进的两种球能全部卖出，获得的总利润为w元．（1）求总利润W关于x的函数关系式．（2）如果购进两种球的总费用不低于5800元且不超过6000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．（3）在（2）的条件下，若每个篮球的售价降低a元，请分析如何进货才能获得最大利润．篮球足球进价（元/个）62 54售价（元/个）76 6015．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A型车每辆售价多少元？（列方程解答）（2）该车行计划今年新进一批A型车和B型车共60辆，A型车的进货价为每辆1100元，销售价与（1）相同；B型车的进货价为每辆1400元，销售价为每辆2000元，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？备考中考一轮复习点对点必考题型题型26 应用题考点解析1．一元二次方程的应用（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．（2）列一元二次方程解应用题中常见问题：①数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．②增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．③形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．④运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”a．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．b．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．c．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．d．解：准确求出方程的解．e．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．f．答：写出答案．2．分式方程的应用（1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．（2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作。

2023年中考第一轮复习应用题专项训练一、解答题1．为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵20元，4套队服与5个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是；若购买队服超过90套，则购买足球打八折．(1)求每套队服和每个足球的价格分别是多少？(2)若计划一共购买100套队服和m（m大于10）个足球，请用含m的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；(3)在（2）的条件下，若需要购买40个足球，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？请说明理由．2．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？3．为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．(1)绳子和实心球的单价各是多少元？(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？根据译文，解决下列问题：(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为；(2)求兽、鸟各有多少．5．某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？6．端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B 品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？7．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？8．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？9．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？10．某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？11．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？12．阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？13．为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．(1)原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？(2)在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？14．今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？。

中考数学一轮复习提高题专题复习平行四边形练习题附解析一、解答题1．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？ 探究问题：（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系： ； （2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况： 情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时； 情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由； 拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系： ． 2．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上． （1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EMFN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CFBF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．3．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+4．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．5．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．6．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．①求证：点M是CD的中点；②求x的值．（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．7．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ： ①M 点的坐标为 ．②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）． 8．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.9．如图，ABC∆是边长为3的等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），ADE∆是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线AC于点F，连接BE．（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；（2）当DE AB⊥时，求四边形BCFE的周长；（3）四边形BCFE能否是菱形？若可为菱形，请求出BD的长，若不可能为菱形，请说明理由．10．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，E，F分别在AB，BC上．（1）若n＝1，AF⊥DE．①如图1，求证：AE＝BF；②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG ＝AG；（2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF．则CFBF的值是_____________（结果用含n的式子表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）DE2CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝2DF或|AF－CF|2【分析】（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出2CB，即可得出结果；（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，2CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直角三角形，得DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得CF=HA ，即可得出；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，证明△BFN 是等腰直角三角形，得BF=NF ，由SSS 证得△CNF ≌△CBF ，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH 是等腰直角三角形，得，DF=DH ，由SAS证得△ADF ≌△CDH ，得出CH=AF ，即可得出DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直角三角形，得出DF ，DH=DF ，由SAS 证得△ADC ≌△HDF ，得出AH=CF ，即可得出；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，证明△BFE 是等腰直角三角形，得EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF 是等腰直角三角形，得DH=DF ，，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得出AF=CF ，即可得出DF ． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD=CB ，∠BCD=90°， ∴△BCD 是等腰直角三角形，∴CB ，当点E 、F 与点B 重合时，则CF ，故答案为：CF ；（2）在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE ，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°， 过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°， ∴∠DCG=∠BCF ， 设BC 交DF 于P ， ∵BF ⊥DE ， ∴∠BFD=∠BCD=90°， ∵∠DPC=∠FPB ， ∴∠CDP=∠FBP ， 在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ）， ∴DG=FB ，CG=CF ， ∴△GCF 是等腰直角三角形， ∴2， 连接BE ，设∠CDG=α，则∠C BF=α，∠ADE=90°-α， ∵AD=AE ，∴∠DEA=∠ADE=90°-α， ∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α， ∴∠EAB=90°-2α， ∵AB=AE ， ∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α， ∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°， ∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形， ∴EF=BF ， ∴EF=DG ，∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ， ∴DE=2CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°， ∴∠DCG=∠BCF ， ∵∠FPD=∠BPC ， ∴∠FDP=∠PBC ， 在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ）， ∴DG=FB ，CG=CF ， ∴△GCF 是等腰直角三角形， ∴2，设∠CDG=α，则∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α， ∴∠EAB=90°+2α， ∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°， ∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形， ∴EF=BF ， ∴EF=DG ， ∴DE=FG ， ∴2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ， 在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形， ∴2，DH=DF ， ∵∠HDF=∠ADC=90°， ∴∠HDA=∠FDC ， 在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△HDA ≌△FDC （SAS ）， ∴CF=HA ，2，即2DF ；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α， ∴∠DCN=2α， ∴∠NCB=90°-2α， ∵CN=CD=CB ， ∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α， ∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°， ∴△BFN 是等腰直角三角形， ∴BF=NF ， 在△CNF 和△CBF 中，CN CBCF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CNF ≌△CBF （SSS ）， ∴∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形， ∴2，DF=DH ， ∵∠ADC=∠HDE=90°， ∴∠ADF=∠CDH ， 在△ADF 和△CDH 中，AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADF ≌△CDH （SAS ）， ∴CH=AF ， ∴FH=CH+CF=AF+CF ，∴AF+CF=2DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠ADC=∠HDF=90°，∴∠ADH=∠CDF ，在△ADC 和△HDF 中，AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△HDF （SAS ），∴AH=CF ，∴HF=AF-AH=AF-CF ，∴2DF ；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：∵AB=AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA ，∴∠ABP=∠FDP ，∴∠FEA=∠FBA ，∵AB=AE ，∴∠AEB=∠ABE ，∴∠FEB=∠FBE ，∴△BFE 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴∠DFH=∠EFA=45°，∴△HDF 是等腰直角三角形，∴DH=DF ，2DF ，∵∠HDF=∠CDA=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴AF=CF ，∴AH-AF=CF-AF=HF ，∴CF-AF=2DF ， 综上所述，线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：AF+CF=2DF 或|AF-CF|=2DF ， 故答案为：AF+CF=2DF 或|AF-CF|=2DF ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．2．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，n=1，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF ⊥DE ，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF ，∴△ADE ≌△BAF （ASA ），∴AE=BF ；②结论：AG=BF+AE ．理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，由（1）可知AE=BK ，∵AH=AD ，AK ⊥HD ，∴∠HAK=∠DAK ，∵AD ∥BC ，∴∠DAK=∠AKG ，∴∠HAK=∠AKG ，∴AG=GK ，∵GK=GB+BK=BF+AE ，∴AG=BF+AE ；（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值21a n +⋅21n +， 21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2， ∴2142n x k n+=⋅， ∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-， 故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．3．（1）证明见解析；（2）62BE =3）证明见解析．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等； （2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12AEDG CG CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AD//BC ，∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ，∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，∵//EH AC ，AB//CD ，∴四边形ACGE 是平行四边形，∴AE=CG ，∴△AEF ≌△CGH （AAS ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ，∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∴△AEF ≌△DGF （AAS ）；由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）；∴△DGF ≌△CGH, ∴12AE DG CG CD , ∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =，∴242AB CD AD ,∴22AE =，∴62BE AB BE =+=；（3）如下图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ，∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==，且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=,∴22222()AC BD AB BC +=+【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键．4．（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．【分析】（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论； （2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ．∵AF ∥BC ，∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．在△AFE 和△DBE 中，FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．∴AF=BD ．∵AF=DC ，∴BD=DC ．即：D 是BC 的中点．（2）解：四边形ADCF 是矩形；证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF 是矩形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．5．（1）证明见解析；（2）平行四边形，理由见解析；（3）45°【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF；（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠AOF＝90°，∴∠BAC＝∠AOF，∴AB∥EF，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形；（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC∴AC＝2，∴OA＝1＝AB，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BF＝DF，∴△BFD是等腰三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高），∴∠BOF＝90°，∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．6．（1）32；323-；（2）①见详解；②x=1；（3）△CDP 为等腰三角形时x 的值为：633-或3或633+．【分析】（1）BP+DP 为点B 到D 两段折线的和．由两点间线段最短可知，连接DB ，若P 点落在BD 上，此时和最短，且为32．考虑动点运动，这种情形是存在的，由AQ=x ，则QD=3-x ，PQ=x ．又PDQ=45°，所以QD ＝2PQ ，即3-x=2x ．求解可得答案；（2）由已知条件对称分析，AB=BP=BC ，则∠BCP=∠BPC ，由∠BPM=∠BCM=90°，可得∠MPC=∠MCP ．那么若有MP=MD ，则结论可证．再分析新条件∠CPD=90°，易得①结论．②求x 的值，通常都是考虑勾股定理，选择直角三角形QDM ，发现QM ，DM ，QD 都可用x 来表示，进而易得方程，求解即可．（3）若△CDP 为等腰三角形，则边CD 比为改等腰三角形的一腰或者底边．又P 点为A 点关于QB 的对称点，则AB=PB ，以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，则P 点只能在弧AB 上．若CD 为腰，以点C 为圆心，以CD 的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDP 为等腰三角形（CD 为腰）的P 点．若CD 为底边，则作CD 的垂直平分线，其与弧AC 的交点即为使得△CDP 为等腰三角形（CD 为底）的P 点．则如图所示共有三个P 点，那么也共有3个Q 点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可．【详解】解：（1）连接DB ，若P 点落在BD 上，此时BP+DP 最短，如图：由题意，∵正方形ABCD 的边长为3，∴223332BD =+=∴BP ＋DP 的最小值是32由折叠的性质，PQ AQ x ==，则3QD x =-，∵∠PDQ=45°，∠QPD=90°，∴△QPD 是等腰直角三角形，∴22QD QP x ==，∴32x x -=，解得：323x =；故答案为：32323；（2）如图所示：①证明：在正方形ABCD中，有AB=BC，∠A=∠BCD=90°．∵P点为A点关于BQ的对称点，∴AB=PB，∠A=∠QPB=90°，∴PB=BC，∠BPM=∠BCM，∴∠BPC=∠BCP，∴∠MPC=∠MPB-∠CPB=∠MCB-∠PCB=∠MCP，∴MP=MC．在Rt△PDC中，∵∠PDM=90°-∠PCM，∠DPM=90°-∠MPC，∴∠PDM=∠DPM，∴MP=MD，∴CM=MP=MD，即M为CD的中点．②解：∵AQ=x，AD=3，∴QD=3-x，PQ=x，CD=3．在Rt△DPC中，∵M为CD的中点，∴DM=QM=CM=32，∴QM=PQ+PM=x+32，∴(x+32)2＝(3−x)2+(32)2，解得：x=1．（3）如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于P1，P3．此时△CDP1，△CDP3都为以CD为腰的等腰三角形．作CD的垂直平分线交弧AC于点P2，此时△CDP2以CD为底的等腰三角形．；①讨论P1，如图作辅助线，连接BP1、CP1，作QP1⊥BP1交AD于Q，过点P1，作EF⊥AD 于E，交BC于F．∵△BCP1为等边三角形，正方形ABCD边长为3，∴P1F＝332，P1E＝333．在四边形ABP1Q中，∵∠ABP1=30°，∴∠AQP1=150°，∴△QEP1为含30°的直角三角形，∴31＝9 332．∵AE=32，∴x=AQ=AE-QE=39(33)633 22-=-②讨论P2，如图作辅助线，连接BP2，AP2，过点P2作QG⊥BP2，交AD于Q，连接BQ，过点P2作EF⊥CD于E，交AB于F．∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AP2=BP2．∵AB=BP2，∴△ABP2为等边三角形．在四边形ABP2Q中，∵∠BAD=∠BP2Q=90°，∠ABP2=60°，∴∠AQG=120°∴∠EP2G=∠DQG=180°-120°=60°，∴P2E＝33 3∴EG=9 332，∴DG=DE+GE=3933333 22+=，∴QD=33，∴3③对P3，如图作辅助线，连接BP1，CP1，BP3，CP3，过点P3作BP3⊥QP3，交AD的延长线于Q，连接BQ，过点P1，作EF⊥AD于E，此时P3在EF上，不妨记P3与F重合．∵△BCP 1为等边三角形，△BCP 3为等边三角形，BC=3，∴P 1P 3＝33P 1E ＝3332-， ∴EF ＝333+． 在四边形ABP 3Q 中∵∠ABF=∠ABC+∠CBP 3=150°，∴∠EQF=30°，∴39332． ∵AE=32， ∴x=AQ=AE+QE=32+9333362=． 综合上述，△CDP 为等腰三角形时x 的值为：633-3633+．【点睛】本题第一问非常基础，难度较低．第二问因为动点的原因，思路不易找到，这里就需要做题时充分分析已知条件，尤其是新给出的条件．其中求边长是勾股定理的重要应用，是很重要的考点．第三问是一个难度非常高的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点P 找全．另外求解各个Q 点也是考察三角函数及勾股定理的综合应用，有着极高的难度．7．（1）见解析；（2）7PA =4217BH 3）①(423,23)M +2635【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA ，推出∠AEO=60°，进一步得出BC ∥AE ，CO ∥AB ，可得结论；（2）先计算出OA=43PB=23AP=7，再利用面积法计算BH 即可；（3）①求出直线PM的解析式为y=2x-3，再利用两点间的距离公式计算即可；②易得直线BC的解析式为y=，联立直线BC和直线PM的解析式成方程组，求得点G的坐标，再利用三角形面积公式计算．【详解】（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，∴AD=12OB，OD=BD=12OB，∴DO=DA，∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，∴∠AEO=60°，又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO=60°，∴BC∥AE，∵∠BAO=∠COA=90°，∴CO∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：在Rt△AOB中，∠AOB=30°，OB=8，∴AB=4，∴OA=∵四边形ABCE是平行四边形，∴PB=PE，PC=PA，∴PB=∴PC PA===∴1122ABCS AC BH AB BE∆=⋅⋅=⋅⋅，即114 22BH⨯=⨯⨯∴BH（3）①∵C（0，4），设直线AC的解析式为y=kx+4，∵P（0），∴0=，解得，k=3-，∴y=x+4， ∵∠APM=90°， ∴直线PM 的解析式为， ∵P（0），∴， 解得，m=-3， ∴直线PM 的解析式为y=2x-3， 设M （x）， ∵AP=∴（x-2+）2=（2， 化简得，x 2x-4=0，解得，x 1=4，x 2=4（不合题意舍去），当x=4时，（4）-3= ∴M（4，故答案为：（4，②∵(0,4),C B∴直线BC的解析式为：4y x =+，联立34y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得65x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴6)5G ，161=4252PBG PBA S S S ∆∆∴+=⨯+⨯=阴 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，两点间的距离，正方形的性质，矩形的性质，一次函数的图象和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．8．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.【详解】解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APE=45°②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；故答案为：45°，不变化.(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；故答案为：成立；(3)证明一：如图所示.过点作于点，于点.∵点在的垂直平分线上，∴. ∵四边形为正方形， ∴平分. ∴. ∴. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴.证明二：如图所示.过点作于点，延长交于点，连接. ∵点在的垂直平分线上， ∴. ∵四边形为正方形， ∴， ∴. ∴，. ∴. 又∵， ∴. 又∵， ∴. ∴.【点睛】 本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点9．（1）平行四边形，理由见解析；（2）9；（3）可为菱形，BD=6或0【分析】（1）先证明()EAB DAC SAS ∆≅∆，得60ABE C ∠=∠=︒，可得//AC BE ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BCFE 是平行四边形；（2）如图2，证明90AEB =︒∠，根据直角三角形30度角所对的直角边为斜边的一半可得BE 的长，根据平行四边形的周长计算方法可得结论；（3）分两种情况：①当D 在边BC 的延长线上；②当D 在边BC 上时；分别画图可得BD 的长．【详解】解：（1）如图1，四边形BCFE 是平行四边形，理由是：ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，AB AC ∴=，AD AE =，60EAD BAC ∠=∠=︒，EAB DAC ∴∠=∠，()EAB DAC SAS ∴∆≅∆，60ABE C ∴∠=∠=︒，60BAC ∠=︒，BAC ABE ∴∠=∠，//AC BE ∴，//EF BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形；（2）如图2，ADE ∆是等边三角形，且DE AB ⊥，30EAB DAB ∴∠=∠=︒，由（1）知：60ABE ∠=︒，90AEB ∴∠=︒，1322BE AB ∴==， ∴四边形BCFE 的周长32()2(3)92BE BC =+=⨯+=；（3）分2种情况：①如图3，当四边形BCFE 是菱形时，BE BC =，由（1）知：3BE CD ==，336BD ∴=+=；②如图4，当四边形BCFE 是菱形时，B 和D 重合，A 和F 重合，此时0BD =；综上，BD 的长为6或0．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质，菱形的性质，平行四边形的判定，正确画图和分类讨论思想的运用是解本题的关键．10．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）241n -．【分析】（1）①先根据1n =可得AD AB =，再根据矩形的性质可得90DAE ABF ∠=∠=︒，然后根据直角三角形的性质、垂直的定义可得DEA AFB ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；②如图（见解析），先根据（1）的结论可得AE BF =，再根据等腰三角形的三线合一可得HAF DAF ∠=∠，然后根据矩形的性质、平行线的性质可得AFG DAF ∠=∠，从而可得HAF AFG ∠=∠，最后根据等腰三角形的定义可得AG GF =，由此即可得证； （2）如图（见解析），先根据线段中点的定义可得AE BE =，再根据角平分线的性质可得,AE EM DM AD nAB ===，从而可得BE EM =，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得BF MF =，设BF MF x ==，最后在Rt CDF 中，利用勾股定理求出x 的值，从而可得BF 、CF 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）①当1n =时，AD AB =四边形ABCD 是矩形90DAE ABF ∴∠=∠=︒90BAF AFB ∴∠+∠=︒AF DE ⊥90BAF DEA ∴∠+∠=︒DEA AFB ∴∠=∠在ADE 和BAF △中，90DAE ABF DEA AFB AD BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAF AAS ∴≅AE BF ∴=；②如图，过点A 作AF DH ⊥，交BC 于点F 由（1）可知，AE BF =,AH AD AF DH =⊥HAF DAF ∴∠=∠（等腰三角形的三线合一） 四边形ABCD 是矩形//AD BC ∴AFG DAF ∴∠=∠HAF AFG ∴∠=∠AG GF ∴=又GF BF BG AE BG =+=+AE BG AG ∴+=；（2）如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，连接EF 四边形ABCD 是矩形,,90AD BC nAB AB CD A B C ∴===∠=∠=∠=︒ 点E 是AB 的中点12AE BE AB ∴== ,,ADE EDF EA AD EM DF ∠=∠⊥⊥,AE EM DM AD nAB ∴===BE EM ∴=在Rt BEF △和Rt MEF 中，BE ME EF EF =⎧⎨=⎩()Rt BEF Rt MEF HL ∴≅∴=BF MF设BF MF x ==，则CF BC BF nAB x =-=-，DF DM MF nAB x =+=+ 在Rt CDF 中，222+=CD CF DF ，即222()()AB nAB x nAB x +-=+ 解得14x AB n =14BF AB n ∴=，214144n CF nAB AB AB n n-=-= 则224144114n AB CF n n BF AB n-==- 故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．。

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1、整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？2、由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？3、为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工数学中考复习突出“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“课题学习”四个领域的内容。

2022-2023学年人教版中考数学一轮复习《数与式》解答题能力提升专题训练（附答案）1．计算：（1）﹣12+（﹣1）3÷﹣|0.25﹣|；（2）[﹣3×（﹣）2+（﹣1）3]÷（﹣）．2．先化简，再求值：（1），其中a＝﹣1；（2），其中x＝﹣2，y＝3．3．先化简，再求值：，其中a．b满足．4．观察下面三行数：第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…；第二行：5，﹣1，11，﹣13，35，﹣61，…；第三行：﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32…．（1）第一行的第7个数是；（2）第二、三行数与第一行数分别有什么关系？（3）取每行数的第8个数，计算这三个数的和．5．先化简，再求值：，其中|x﹣2|+＝0．6．化简计算（1）先化简，再求值：，其中．（2）解关于x的方程：．（3）（）×；（4）7．（1）计算：①﹣1+|1﹣|﹣2﹣；②（3a﹣1）2﹣（3a﹣1）（3a+1）；（2）因式分解：①a3b﹣2a2b2+ab3；②4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2；（3）先化简，再求值：[（3x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷2x，其中x＝3．y＝﹣1．8．已知，，，求的值．9．阅读材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙地运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行因式分解，还能结合非负数的意义来解决一些问题．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．（1）请你仿照以上方法，完成因式分解：a2+4ab﹣5b2．（2）若m2+2n2+6m﹣4n+11＝0，求m+n的值．10．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数，A：，B：；（2）在数轴上与点A的距离为2的点所表示的数是；（3）若经过折叠，点A与表示数﹣3的点重合，则点B与表示数的点重合；（4）若数轴上M，N两点之间的距离为2022（点M在点N的左侧），且点M，N经过（3）中的折叠方式折叠后重合，求M，N两点表示的数．11．已知W＝（+）÷．（1）化简W；（2）若a，2，4恰好是等腰△ABC的三边长，求W的值．（3）若的解为正数，求k的取值范围．12．（1）如图1，将边长为（a+b）的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是（填序号）．①（a+b）2＝a2+2ab+b2 ②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2③（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ④a（a+b）＝a2+ab（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；②如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝23，求阴影部分的面积．13．如图，某物业公司将一块长为13.5米，宽为x米的大长方形地块分割为8小块，其中阴影A、B用为绿地，进行种花种草，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形用为小型车辆的停车位，每个停车位较短的边为a米．（1）若a＝2.5米，①每个停车位的面积为平方米；②请用含x的代数式表示两块绿地A、B的面积和．（2）若两块绿地A、B的周长和为40米，求x的值．14．已知b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足，请回答下列问题：（1）请直接写出a、b、c的值：a＝，b＝，c＝；（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），其对应的数为m，化简；（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A、点C都以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离为AB，点B与点C之间的距离为BC，请问：AB﹣BC的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB﹣BC的值．15．将n个0或排列在一起组成一个数组，记为A＝（t1，t2，…，t n），其中t1，t2，…，t n取0或，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．例如：（0，），（，）都是2元完美数组，（，0，0，0），（，0，0，）都是4元完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|，新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝（x1，x2，…，x n）和N＝（y1，y2，…，y n），M⊕N＝（x1*y1+x2*y2+…+x n*y n）．例如：对于3元完美数组M＝（，，）和N＝（0，0，），有M⊕N＝×（0+0+2）＝．（1）①在（，），（，0），（，，0）中是2元完美数组的有；②设A＝（，0，），B＝（，0，0），则A⊕B＝；（2）已知完美数组M＝（，，，0），求出所有4元完美数组N，使得M⊕N ＝2；（3）现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足C⊕D＝0，则m的最大可能值是．16．阅读下列材料：我们知道，假分数可以写成带分数的形式，在这个计算过程中，先计算分子中含有几个分母，求出整数部分，再把剩余部分写成一个真分数．例如：．对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．类似地，我们可以把一个“假分式”写成整式和一个“真分式”的和的形式．例如：；．请根据上述材料解决下列问题：（1）请写出一个假分式：；（2）请将分式化为整式与真分式的和的形式；（3）设，则当0＜x＜2时，M的取值范围是．17．综合与实践在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，﹣这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：＝＝2．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：＝＝﹣＝x﹣1+．（1）分式是分式．（填“真”或“假”）（2）参考上面的方法，将分式化为带分式．（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．18．小王驾车在东西走向的道路上行驶，上午九点从道路上的A地出发，先向东行驶7千米，再向西行驶4千米，又向西行驶10千米，然后向东行驶3千米，再向东行驶6千米后停止行驶，规定向东为正，向西为负．（1）停止行驶时，车子停在什么位置？（2）停止行驶时，小王接到小李电话，小李位于A地西面8千米处，小王继续驾车前往小李处与其见面．问：从九点A地出发到与小李见面时，车子一共耗油多少升？（车子的耗油量为0.1升千米）19．观察等式：＝1﹣；＝﹣；＝﹣．将以上三个等式两边分别相加得：++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝．（1）猜想并写出：＝．（2）计算：+++…+．（3）探究并计算：+++…+．20．综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，，独立思考：（1）解答王老师提出的问题：第5个式子为，第n个式子为；实践探究；（2）在（1）中找出规律，并利用规律计算：．问题拓展（3）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为2，该小组提出下面的问题，请你解答：求；问题解决：（4）求的值．参考答案1．解：（1）﹣12+（﹣1）3÷﹣|0.25﹣|＝﹣1+（﹣）×﹣||＝﹣1+（﹣）﹣＝﹣；（2）[﹣3×（﹣）2+（﹣1）3]÷（﹣）＝[﹣3×+（﹣1）]×（﹣）＝（﹣﹣1）×（﹣）＝﹣×（﹣）＝2．2．解：（1）原式＝（）a2+（﹣8+6）a+（）＝﹣2a﹣，当a＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）﹣＝2﹣＝1；（2）原式＝2x2﹣3xy+4y2﹣3x2+3xy﹣5y2＝（2﹣3）x2+（﹣3+3）xy+（4﹣5）y2＝﹣x2﹣y2，当x＝﹣2，y＝3时，原式＝﹣（﹣2）2﹣32＝﹣4﹣9＝﹣13．3．解：＝[﹣]•＝（）•＝•＝，∵．∴a﹣＝0，b+1＝0，解得a＝，b＝﹣1，当a＝，b＝﹣1时，原式＝＝﹣．4．解：（1）根据第一行数可知，后一个数是前一个数的﹣2倍，21，﹣22，23，﹣24，25，﹣26，∴第一行的第7个数是26×（﹣2）＝128，故答案为：128；（2）对比第一、二两行中位置对应的数，可以发现：第二行数是第一行数相应的数加3，即2+3，﹣4+3，8+3，﹣16+3，…；对比第一、三两行中位置对应的数，可以发现：第三行数是第一行数相应的数的﹣，即2×，﹣16×…；（3）每行数中的第8个数的和是﹣256+（﹣256+3）+（﹣256）×＝﹣256﹣253+128＝﹣381．5．解：＝3x2y﹣[2xy2﹣4xy+3x2y]﹣3xy+3xy2＝3x2y﹣2xy2+4xy﹣3x2y﹣3xy+3xy2＝（3x2y﹣3x2y）+（3xy2﹣2xy2）+（4xy﹣3xy）＝xy2+xy．∵∴x＝2，∴原式＝．6．解：（1）＝•＝，当时，原式＝＝1+；（2），两边都乘以（x﹣1）得：3﹣（2x+4）＝x﹣1，解这个整式方程得：x＝0，检验：当x＝0时，x﹣1≠0，∴x＝0是原分式方程的解；（3）（）×＝﹣12+10﹣15＝﹣27+10；（4）＝25﹣12﹣（29+4）＝13﹣29﹣4＝﹣16﹣4．7．解：（1）①﹣1+|1﹣|﹣2﹣＝﹣1+﹣1﹣2﹣2＝﹣6+；②（3a﹣1）2﹣（3a﹣1）（3a+1）＝9a2﹣6a+1﹣（9a2﹣1）＝9a2﹣6a+1﹣9a2+1＝﹣6a+2；（2）①a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2；②4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝4（m﹣n）a2﹣（m﹣n）b2＝（m﹣n）（4a2﹣b2）＝（m﹣n）（2a+b）（2a﹣b）；（3）[（3x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷2x＝（9x2﹣6xy+y2﹣x2+y2﹣2y2）÷2x＝（8x2﹣6xy）÷2x＝4x﹣3y，当x＝3．y＝﹣1时，原式＝4×3﹣3×（﹣1）＝12+3＝15．8．解：∵，∴x+y＝xy，除以xy得：+＝1①，∵，∴2y+2z＝yz，除以yz得：+＝1，∴+＝②，∵，∴3z+3x＝xz，∴+＝1，∴+＝，∴①+②+③得：2（）＝1++＝，∴++＝．9．解：（1）a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣9b2＝（a+2b）2﹣（3b）2＝（a+2b+3b）（a+2b﹣3b）＝（a+5b）（a﹣b）；（2）∵m2+2n2+6m﹣4n+11＝0，∴m2+6m+9+2n2﹣4n+2＝0，∴（m+3）2+2（n﹣1）2＝0，∵（m+3）2≥0，（n﹣1）2≥0，∴m+3＝0，n﹣1＝0，∴m＝﹣3，n＝1，∴m+n＝﹣3+1＝﹣2．10．解：（1）数轴上可以看出A：1，B：﹣4，故答案为：1，﹣4；（2）利用与点A的距离为2的点有两个，即一个向左，一个向右，∴这些点表示的数为：1﹣2＝﹣1，1+2＝3，故答案为：﹣1或3；（3）∵经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，∴两点的对称中心是﹣1，∴B点与数2重合，故答案为：2；（4）因为折叠后，点A与表示数﹣3的点重合，且点A表示的数为1，所以．所以1﹣2＝﹣1，即折叠点表示的数为﹣1．因为，，点M在点N的左侧，所以点M表示的数是﹣1012，点N表示的数为1010．11．解：（1）W＝（+）÷＝•＝＝；（2）∵a，2，4恰好是等腰△ABC的三边长，∴a＝4，当a＝4时，W＝＝；（3）∵的解为正数，∴的解为正数，解得a＝k+3，∴k+3＞0且k+3≠2，解得k＞﹣3且k≠﹣1．12．解：（1）图1组整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图1中4个部分面积的和为a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：①；（2）①∵a+b＝5，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；②设AC＝a、BC＝b，则AB＝a+b＝7，S1+S2＝a2+b2＝23，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝49﹣23＝26，∴S阴影部分＝ab＝．13．解：（1）①停车位的面积为：2.5×（13.5﹣3×2.5）＝15（平方米）；故答案为：15；②两块绿地A、B的面积和：13.5x﹣6×15＝（13.5﹣90）平方米；（2）绿地A的周长：2（13.5﹣3a+x﹣3a）＝2×（13.5﹣6a+x）；绿地B的周长：2[3a+x﹣（13.5﹣3a）]＝2（6a+x﹣13.5），两块绿地A、B的周长和：2×（13.5﹣6a+x）+2（6a+x﹣13.5）＝4x米；∴4x＝40，x＝10，∴x的值为10．14．解：（1）∵b是立方根等于本身的负整数，∴b＝﹣1．∵（a+2b）2+|c+|＝0，（a+2b）2，≥0，|c+|≥0，∴a+2b＝0，c+＝0，∵b＝﹣1，∴a＝2，c＝，故答案为：2，﹣1，；（2）∵点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），∴﹣1＜m＜﹣，∴|m+|﹣|m﹣2|+|m+1|＝﹣m﹣+m﹣2+m+1＝m﹣；（3）依题意得：A所表示的数为：2+2t，B所表示的数：﹣1﹣t，C所表示的数为：+2t，∴AB＝3t+3，BC＝3t+，∴AB﹣BC＝3t+3﹣（3t+）＝，故AB﹣BC的值不随着t的变化而改变，且值为．15．解：（1）①∵（，0）都是由0或组成的，并且是含有2个数，∴（，0）是2元完美数组，故答案为：（，0）；②∵A＝（，0，），B＝（，0，0），∴A⊕B＝（*+0*0+*0）＝（2+0+0）＝，故答案为：；（2）∵x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|，∴当x＝y时，x*y＝2x，当x≠y时，x*y＝0，当x*y＝2x时，x*y＝2或0，∵M⊕N＝2，M＝（，，，0），∴x1*y1+x2*y2+x3*y3+x4*y4＝4，∴N＝（，，0，）或（，0，，）或（0，，，）或（，，0，0）或（，0，，0）或（0，，，0）；（3）∵C⊕D＝0，∴C、D中对应的元都不相等或C、D中对应的元都相等且为0，∵C、D是不同的两个完美数组，∴C、D中对应的元都不相等，∴m的最大值为2023．故答案为：2023．16．解：（1）是假分式（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）；（2）＝＝x+；（3）＝＝3+，∵0＜x＜2，∴1＜x+1＜3，∴＜＜1，∴3+＜3+＜3+1，∴＜M＜4，故答案为：＜M＜4．17．解：（1）分式是真分式，故答案为：真；（2）＝＝x﹣1+；（3）＝＝2x+2+，由题意得：x﹣1为5的因数，∴x﹣1的值为±1，±5，∴x的整数值为：0或2或﹣4或6．18．解：（1）∵规定向东为正，向西为负，∴小王行驶情况为：+7，﹣4，﹣10，+3，+6，（单位为千米），∵7﹣4﹣10+3+6＝2（千米），∴停止行驶时，车子停在A地的东方2千米处；（2）（7+4+10+3+6+10）×0.1＝40×0.1＝4（升），答：从九点A地出发到与小李见面时，车子一共耗油4升．19．解：（1）∵＝1﹣，＝﹣，＝﹣，∴＝﹣，故答案为：﹣；（2）原式＝1﹣﹣﹣+…+﹣＝1﹣＝；（3）+++…+＝×（1﹣+﹣+﹣+⋯+﹣）＝（1﹣）＝＝．20．解：（1）由题意得：5个式子为：，第n个式子为：，故答案为：，；（2）＝1﹣++…+＝1﹣＝；（3）＝×（1﹣+…+）＝＝＝；（4）＝++⋯+＝+…+＝2×（+…+）＝2×（+⋯+）＝2×（）＝2×＝．。

中考数学复习考点知识与题型专题讲义 04 用分式方程解决问题（提高篇）1．从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1800km ，高铁开通后，高铁列车的行程约为900km ，运行时间比特快列车所用的时间减少了16h ．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度．【分析】设特快列车平均速度为xkm /h ，则高铁列车平均速度为2.5xkm /h ，根据高铁列车运行900km 比特快列车运行1800km 的时间减少了16h ，列方程求解．【解答】解：设特快列车的平均速度为x km /h ，根据题意可列出方程为1800x =9002.5x +16，解得x ＝90．检验：当x ＝90时，2.5x ≠0．所以x ＝90是方程的解．答：特快列车的平均速度为90km /h ．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．2．受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？【分析】（1）设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x 元/瓶，根据所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元，列出方程即可解决问题．（2）根据题意分别求出两次的利润即可解决问题．【解答】解：（1）设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x 元/瓶，依题意得：2×8000x=17600x+1． 解得，x ＝10．经检验，x ＝10是原方程的根．所以该商场购进的第一批消毒液的单价为10元/瓶；（2）共获利：（800010+1760010+1−200）×13+200×13×0.9﹣（8000+17600）＝5340（元）．在这两笔生意中商场共获得5340元．【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系，注意解分式方程必须检验．3．母亲节前夕，某花店购进康乃馨和百合两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比百合销量大，店主决定将百合每枝降价2元促销，降价后100元可购买百合的数量是原来可购买百合数量的54倍． （1）试问：降价后每枝百合的售价是多少元？（2）根掂销售情况，店主用不多于1000元的资金再次购进两种鲜花共180枝，康乃馨进价为6元/枝，百合的进价是5元/枝．试问至少需要购进多少枝百合？【分析】（1）可设降价后每枝百合的售价是x 元，根据等量关系：降价后100元可购买百合的数量是原来可购买百合数量的54倍，列出方程求解即可； （2）可设购进百合y 枝，根据不等量关系：购进康乃馨的钱数+购进百合的钱数≤1000元，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设降价后每枝百合的售价是x元，依题意有100 x =100x+2×54，解得：x＝8．经检验，x＝8是原方程的解．答：降价后每枝百合的售价是8元．（2）设购进百合y枝，依题意有6（180﹣y）+5y≤1000，解得：y≥80．答：至少购进百合80枝．【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．4．在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用2000元购进医用口罩若干个，第二次又用2000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？（2）药店第一次购进口罩后，先以每个3元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个3.5元继续销售卖出了b个后，两次共收入4800元．因当地医院医疗物资紧缺，药店决定将剩余的口罩全部捐赠给医院．请问药店捐赠口罩至少有多少个？【分析】（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，根据题意给出的等量关系即可求出答案．（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：3a+3.5b＝4800，所以a＝1600−76b，根据条件可求出b 的最小值，从而可求出药店捐赠的口罩至少有多少个．【解答】解：（1）设第一次购进医用口罩的数量为x 个，∴第二次购进医用口罩的数量为（x ﹣200）个，∴由题意可知：2000x−200=1.25×2000x ，解得：x ＝1000，经检验，x ＝1000是原方程的解，且符合题意，∴x ﹣200＝800，答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个．（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：3a +3.5b ＝4800，∴a ＝1600−76b ，∴1800﹣a ﹣b ＝1800﹣（1600−76b ）﹣b ＝200+b 6，∵a ≤1000，∴1600−76b ≤1000，∴b ≥51427， ∵a ，b 是整数，∴b 是6的倍数，∴b 的最小值是516，∴1800﹣a ﹣b ≥286，答：药店捐赠口罩至少有286个．【点评】本题考查分式方程，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于中等题型．5．甲、乙两地相距360千米，一辆贩毒车从甲地往乙地接头取货，警方截取情报后，立即组织干警从甲地出发，前往乙地缉拿这伙犯罪分子，结果警车与贩毒车同时到达，将犯罪分子一网打尽．已知贩毒车比警车早出发1小时15分，警车与贩毒车的速度比为4：3，求贩毒车和警车的速度．【分析】设警车的速度为4xkm /h ，则贩毒车的速度为3xkm /h ，根据警车与贩毒车之间的时间关系建立方程求出其解，即可得出结果．【解答】解：设警车的速度为4xkm /h ，则贩毒车的速度为3xkm /h ，根据题意得：3603x −3604x =1.25，解得：x ＝24，经检验，x ＝24是原方程的根，∴原方程的根为x ＝24．∴警车的速度为：4×24＝96（km /h ），贩毒车的速度为：3×＝72（km /h ）．答：警车的速度为96km /h ，贩毒车的速度为72km /h ．【点评】本题是一道行程问题的运用题，考查了列分式方程解实际问题的运用、分式方程的解法；根据题意列出方程是解决问题的关键，注意检验．6．某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2倍，用1200元单独购买甲图书比用1200元单独购买乙图书要少25本．（1）甲、乙两种图书每本价格分别是多少元？（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍少5本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1800元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？【分析】（1）利用用1200元单独购买甲图书比用1200元单独购买乙图书要少25本得出等式求出答案；（2）根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设乙图书每本价格为x 元，则甲图书每本价格是2x 元，根据题意可得：1200x −12002x =25，解得：x ＝24，经检验得：x ＝24是原方程的根，则2x ＝48，答：乙图书每本价格为24元，则甲图书每本价格是48元；（2）设购买甲图书本数为a 本，则购买乙图书的本数为：2a ﹣5，故48a +24（2a ﹣5）≤1800，解得：a ≤20，故2a ﹣5≤35，答：该图书馆最多可以购买35本乙图书．【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．7．某工厂准备今年春季开工前美化厂区，计划对面积为2000m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为480m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2？（2）若工厂每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.5万元，要使这次的绿化总费用不超过10万元，至少应安排甲队工作多少天？【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm 2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm 2，根据“在独立完成面积为480m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天”，即可得出关于x 的分式方程，解之并检验后，即可得出结论；（2）设安排甲工程队工作y 天，则乙工程队工作2000−80y 40=（50﹣2y ）天，根据总费用＝需付给甲队总费用+需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过10万元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之即可得出y 的取值范围，取其内的最小正整数即可．【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm 2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm 2，根据题意得：480x −4802x =6，解得：x ＝40．经检验，x ＝40是原方程的解，∴2x ＝80．答：甲工程队每天能完成绿化的面积为80m 2，乙工程队每天能完成绿化的面积为40m 2．（2）设安排甲工程队工作y 天，则乙工程队工作2000−80y 40=（50﹣2y ）天，根据题意得：0.4y +0.5（50﹣2y ）≤10，解得：y ≥25．答：至少应安排甲队工作25天．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x 的分式方程；（2）根据总费用＝需付给甲队总费用+需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过10万元，列出关于y 的一元一次不等式．8．某企业在甲地一工厂（简称甲厂）生产某产品，2017年的年产量过百万，2018年甲厂经过技术改造，日均生产的该产品数是该厂2017年的2倍还多2件．（1）若甲厂2018年生产200件该产品所需的时间与2017年生产98件该产品所需的时间相同，则2017年甲厂日均生产该产品多少件？（2）由于该产品深受顾客喜欢，2019年该企业在乙地建立新厂（简称乙厂）生产该产品，乙厂的日均生产的该产品数是甲厂2017年的3倍还要多5件，同年该企业要求甲、乙两厂分别生产m ，n 件产品（甲厂的日均产量与2018年相同），m ：n ＝12：17，若甲、乙两厂同时开始生产，谁先完成任务？请说明理由．【分析】（1）设2017年甲厂日均生产该产品x 件，根据题意列出方程即可求出答案．（2）设甲厂完成m 件产品需要的时间为p ，乙厂完成n 件产品需要的时间为q ，由题意可知 m n =100p 152q ，求出p 与q 的比值即可求出答案．【解答】解：（1）设2017年甲厂日均生产该产品x 件，则改造后日均生产该产品（2x +2）件，∵2002x+2=98x ，解得：x ＝49，经检验，x ＝49是原分式方程的解，答：2017年甲厂日均生产该产品49件；（2）由题意可知：2019年乙厂日均生产是152件，2018年甲厂日均生产100件，设甲厂完成m 件产品需要的时间为p ，乙厂完成n 件产品需要的时间为q ，∴m n=100p 152q =1217， ∴p q =456425，故乙厂先完成．【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．9．为了帮助湖北省武汉市防控新冠肺炎，某爱心组织筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物资共2000件送往灾区，已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵10元，用350元购买甲种物资的件数恰好与用300元购买乙种物资的件数相同．（1）求甲、乙两种救灾物资每件的价格各是多少元？（2）经调查，灾区对甲种物资的需求量不少于乙种物资的1.5倍，该爱心组织总共需要购买2000件物资，请问该爱心组织如何购买这2000件物资，才能使得购买资金最少？【分析】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同列出方程，求解即可；（2）设甲种物品件数为m件，根据“灾区对甲种物资的需求量不少于乙种物资的1.5倍”列出不等式．【解答】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据题意得，350x+10=300x，解得：x＝60．经检验，x＝60是原方程的解，x+10＝60+10＝70．答：甲每件70元，乙每件60元；（2）设甲种物品件数为m件，根据题意得：m≥1.5（2000﹣m）．解得：m≥1200．故m最小值为1200，2000﹣m＝800．此时：70×1200+60×800＝132000（元）．答：甲购入1200件，乙购入800件，最少需要132000元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．10．某修理厂需要购进甲、乙两种配件，经调查，每个甲种配件的价格比每个乙种配件的价格少0.4万元，且用16万元购买的甲种配件的数量与用24万元购买的乙种配件的数量相同．（1）分别求出每个甲种配件、每个乙种配件的价格为多少万元？（2）现投入资金40万元，假设投入资金全部用完，根据维修需要预测，甲种配件要比乙种配件至少多25件，乙种配件最多可购买多少件？【分析】（1）设每个乙种配件的价格为x万元，则每个甲种配件的价格为（x﹣0.4）万元，根据数量＝总价÷单价结合用16万元购买的甲种配件的数量与用24万元购买的乙种配件的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买甲种配件m件，购买乙种配件n件，根据总价＝单价×购买数量，即可得出m＝50﹣1.5n，再结合甲种配件要比乙种配件至少要多11件，即可得出关于n的一元一次不等式，解之结合m，n均为非负整数可得出n的最大值．【解答】解：（1）设每个乙种配件的价格为x万元，则每个甲种配件的价格为（x﹣0.4）万元，根据题意得：16x−0.4=24x，解得：x＝1.2，经检验，x＝1.2是原分式方程的解，∴x﹣0.4＝1.2﹣0.4＝0.8．答：每个甲种配件的价格为0.8万元、每个乙种配件的价格为1.2万元．（2）设购买甲种配件m件，购买乙种配件n件，根据题意得：0.8m +1.2n ＝40，∴m ＝50﹣1.5n ．∵m ﹣n ≥25，∴50﹣1.5n ﹣n ≥25，∴n ≤10，∵m ，n 均为非负整数，∴n 的最大值为10．答：乙种配件最多可购买10件．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．11．某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x 平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x 平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排甲队工作m 天，则需安排乙队工作1200−60m 40天，根据总费用＝700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x 平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x 平方米，依题意，得：360x −3601.5x =3，解得：x ＝40，经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意，∴1.5x ＝60．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．（2）设安排甲队工作m 天，则需安排乙队工作1200−60m 40天，依题意，得：700m +500×1200−60m 40≤14500， 解得：m ≥10．所以m 最小值是10．答：至少应安排甲队工作10天．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．12．列方程解应用题：港珠澳大桥是中国中央政府支持香港、澳门和珠三角地区城市快速发展的一项重大举措，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门，止于珠海洪湾，总长55千米，是粤港澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程．某天，甲乙两辆巴士均从香港口岸人工岛出发沿港珠澳大桥开往珠海洪湾，甲巴士平均每小时比乙巴士多行驶10千米，其行驶时间是乙巴士行驶时间的56．求乘坐甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要多长时间．【分析】设甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾的行驶时间需要x 小时，则乙巴士的行驶时间需要65x 小时，根据“甲巴士平均每小时比乙巴士多行驶10千米”列出方程并解答．【解答】解：设甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾的行驶时间需要x 小时， 则乙巴士的行驶时间需要65x 小时， 根据题意得：55x =5565x +10 解得：x =1112经检验，x =1112是原分式方程的解且符合题意 答：甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要1112小时．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．13．某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A 款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A 款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A 款汽车每辆进价为7.5万元，B 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B 款汽车每辆售价为8万元，为打开B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆B 款汽车，返还顾客现金a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量．（2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：90 m =100m+1，解得：m＝9．经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）设购进A款汽车x辆．则：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a．当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利．【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．14．某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？（2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量＝2000元购买的数量×3．（2）根据盈利＝总售价﹣总进价，进而求出即可．【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价为x 元．依题意，得2000x ×3=6300x+4，整理，得20（x +4）＝21x ，解得x ＝80．检验：当 x ＝80时，x （x +4）≠0，∴x ＝80是原分式方程的解．答：第一批购进书包的单价为80元，（2）200080×(80−68)+630084×(84−70)=300+1050＝1350答：商店共盈利1350元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系．15．“阅读陪伴成长，书香润泽人生．”某校为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同．（1）求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？（2）根据学校实际情况，需从书店一次性购买A、B两类图书共300册，购买时得知：一次性购买A、B两类图书超过100册时，A类图书九折优惠（B类图书按原价销售），若该校此次用于购买A、B两类图书的总费用不超过5100元，那么最多可以购买多少本A类图书？【分析】（1）设每本A类图书的价格是x元，则每本B类图书的价格是（x﹣5）元．依据“用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同”列出方程并解答；（2）设该校A类图书y本，则根据题中的已知条件“该校此次用于购买A、B两类图书的总费用不超过5100元”列出不等式，并解答．【解答】解：（1）设每本A类图书的价格是x元，则每本B类图书的价格是（x﹣5）元，根据题意可得：1200 x =900x−5，解得：x＝20，经检验x＝20是方程的解，所以x﹣5＝20﹣5＝15，答：每本A类图书的价格是20元，每本B类图书的价格是15元；（2）设该校A类图书y本，则B类图书（300﹣y），根据题意可得：20×90%y+15×（300﹣y）≤5100，解得：y≤200，答：最多可以购买200本A类图书．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．16．为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，则甲队的工效为13x ，乙队的工效为1x，由已知得：甲队工作了30天，乙队工作了10天完成，列方程得：303x +10x=1，解出即可，要检验；（2）根据（1）中所求得出甲、乙合作需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，依题意得：303x +10x=1，解得x＝20，检验，当x＝20时，3x≠0，所以原方程的解为x＝20．所以3x＝3×20＝60（天）．答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有y（120+160）＝1，解得y＝15．需要施工的费用：15×（15.6+18.4）＝510（万元）．∵510＞500，∴工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元．【点评】本题考查了分式方程的应用，属于工程问题，明确三个量：工作总量、工作效率、工作时间，一般情况下，根据已知设出工作时间，根据题意表示出工效，找等量关系列分式方程，本题表示等量关系的语言叙述为：“甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成”．17．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．【分析】方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，求出费用即可判断，方案（2）显然不符合要求．【解答】解：设规定日期为x天．由题意得3 x +xx+6=1，3（x+6）+x2＝x（x+6），3x＝18，解之得：x＝6．经检验：x＝6是原方程的根．方案（1）：1.2×6＝7.2（万元）；方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；方案（3）：1.2×3+0.5×6＝6.6（万元）．∵7.2＞6.6，∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．18．某校为美化校园，计划对某一区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？【分析】设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得400 x −4002x=4解得：x＝50经检验：x＝50是原方程的解所以甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2）。