浅谈函数单调的抽象性分析及教学优化论文

浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用1. 引言1.1 介绍函数单调性的概念函数单调性是高中数学中一个非常重要的概念，它在分析函数性质、求解极值和解不等式等问题中具有重要作用。

所谓函数单调性，指的是函数的增减性质，也就是函数在定义域内是单调递增还是单调递减。

具体来说，如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a小于b时，有f(a)小于等于f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调递增的；如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a小于b时，有f(a)大于等于f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调递减的。

函数单调性的概念非常直观和易懂，通过观察函数的图像我们也可以很容易地判断函数的单调性。

在学习函数单调性的过程中，我们需要掌握函数单调性的定义与分类、判断函数的单调性的方法，以及函数单调性在求极值和解不等式中的应用。

函数单调性不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以在解决数学问题时提供重要的线索。

深入学习函数单调性是我们在高中数学学习中不可或缺的一部分。

1.2 为什么函数单调性在高中数学中重要函数单调性是研究函数变化规律的基本性质之一。

通过分析函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的增减性质，从而更深入地理解函数在数学中的应用。

在解决实际问题时，函数的单调性也是确定函数取值范围和变化趋势的重要依据。

函数单调性是高中数学中求解极值和解不等式的重要工具。

根据函数的单调性，我们可以快速判断函数的最大值和最小值，进而求解极值问题。

通过函数的单调性可以帮助我们求解各类不等式，从而更好地解决数学中的实际问题。

函数单调性也与函数的图像密切相关。

通过研究函数的单调性，我们可以更好地理解函数的图像特征，包括函数的上升和下降区间，极值点位置等，从而更好地描绘函数的图像。

函数单调性在高中数学中的学习与运用具有重要的意义，可以帮助我们更深入地理解函数的特性，解决实际问题，并为学习其他数学内容打下扎实的基础。

掌握函数单调性不仅可以提高数学学习的效果，也可以在以后的学习和工作中发挥重要的作用。

浅谈函数单调的抽象性分析及教学优化论文浅谈函数单调的抽象性分析及教学优化论文函数单调性概念的抽象性就是函数单调性中的纯粹代数性，具体是指建立在代数表达式基础值上的脱离直观图像描述而对函数单调性的描述和理解。

我们学校的数学课程是侯风波《高等数学》，函数的单调性不仅出现第一章(函数)，更是第四章(微积分的应用)中的一个重要的内容。

函数单调性概念的抽象性是函数课程学习中十分重要并且难度较大的内容之一，因此我们有必要对高校中复变函数的单调性特征进行分析，并提出相关教学策略。

1.简述函数单调性概念的抽象性函数单调性，也称为函数增减性，其概念为:在定义区间内，函数值随着自变量的增大而增大，随自变量的减小而减小。

函数值随着自变量的增大而增大，则为增函数;函数值随自变量的减小而减小，则为减函数。

无论是在实际生活数学中，还是数学更进一步的理论研究及探索中，函数单调性概念都是一个极其重要的概念。

而函数单调性中的抽象性概念就是函数单调性中体现的纯粹代数性，具体是指建立在代数表达式基础值上，脱离直观图像描述而对函数单调性的描述和理解，是学习函数单调性的最高要求。

但由于不同学生在理解能力上存在着差异，因此对其概念的理解也有所差异。

2.在高校优化函数教学的策略探究《高等数学》是高职院校的基础必修课，也是综合类大学的必修课，学生对这门课程学习的好坏直接关系到后续专业课程的学习，因此具有十分重要的作用。

在实际教学中，部分高校教师与学生普遍反映函数单调性概念的抽象性较难理解，因此我们必须要针对其特性，优化日常函数教学的策略，以提高课堂教学的效率。

2.1整合教材内容，结合难易程度调整教学模式。

作为高校教师，需要从整体上把握教材，根据函数单调性中的不同内容进行课时的合理分配，并且要采用多样灵活的教学方式。

并且要让学生了解到学习函数课程的重要性，了解到函数单调性在函数课程中的重要地位，从而激发学生的学习主动性。

同时，教师要精讲、细讲、慢讲函数单调性的重难点问题，反复强调，循循善诱，采用以讲授为主的教学模式。

论文抽象函数的全面探析论文有关抽象函数的全面探析抽象函数是一种重要的数学概念。

我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。

由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。

这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。

解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。

所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。

但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。

下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。

一、抽象函数的定义域例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的.定义域。

解析：由由a＞0知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。

点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。

二、抽象函数的值域解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。

例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域。

解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。

三、抽象函数的奇偶性四、抽象函数的对称性例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+g(-x)的值为（）A、2B、0C、1D、不能确定解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=，∵y=f(2x+1)是奇函数，∴y=也是奇函数，∴。

函数单调性的教学设计论文摘要：本文针对如何在高中数学课堂上进行函数单调性的教学设计进行探讨。

首先，简要介绍了函数单调性的基本概念和相关性质。

然后，针对学生在理解和掌握函数单调性概念过程中可能存在的困惑和难点，设计了一系列的教学活动和教学方法。

最后，通过实际教学案例的运用，验证了所设计的教学方法的有效性和可行性。

关键词：函数单调性；高中数学；教学设计；教学方法一、引言函数是高中数学的重要内容之一，而函数的单调性作为函数概念的延伸和深化，是提高学生对函数理解和应用能力的关键。

然而，函数单调性的教学在实践中往往面临一些问题，例如，学生对函数单调性的定义和理解不准确，对函数单调性的判别方法掌握不全面，甚至对函数单调性的应用较为困难。

因此，在教学过程中，如何设计适合学生学习的教学方法，培养学生对函数单调性的理解和应用能力，是一个值得探讨的问题。

二、函数单调性的基本概念和相关性质函数的单调性是指函数图像上点的排列顺序和x轴上点的排列顺序之间的规律关系。

具体来说，函数在某个区间上是递增的，即函数值随着自变量的增大而增大，或者在某个区间上是递减的，即函数值随着自变量的增大而减小。

函数单调性的相关性质包括它与函数的导数以及函数的二阶导数的关系等。

三、教学设计针对函数单调性的教学设计，可以采用如下的教学活动和教学方法：1. 激发学生的学习兴趣在教学开始之前，可以呈现一些实际问题，引发学生对函数单调性的思考。

例如，通过问题引入，让学生探讨某个现象背后是否存在函数单调性的规律。

2. 清晰阐述函数单调性的定义在引入函数单调性的概念时，需要对函数单调性的定义进行清晰的阐述。

可以通过具体实例的解释和图像的展示，帮助学生理解函数单调性的含义。

同时，可以与函数增减性的概念作对比，强调二者的区别和联系。

3. 判定函数的单调性在学生对函数单调性的定义有一定理解基础之后，可以介绍函数单调性的判定方法。

可以结合实例，引导学生掌握判定函数单调性的关键思路，例如找出关键点、利用导数等方法。

高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的研究〔摘要〕文章以高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的重要性为分析点，依次对高中数学抽象函数的单调性与奇偶性学习中存在的问题和高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的研究进行了详细的阐述。

〔关键词〕抽象函数单调性奇偶性1 前言高中数学课程中抽象函数的单调性与奇偶性是非常重要的章节，数学学习中对函数的单调性与奇偶性掌握的要求也越来越高。

因此，在学习过程中我们要不断进行抽象函数的单调性与奇偶性的研究，才能对单调性与奇偶性的掌握更加娴熟。

2 高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的重要性函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。

这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。

单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自然就是教学中的难点。

高中数学函数部分是高中数学的重要内容，它贯穿整个高中数学的始终。

其中函数的性质尤其重要，是历年高考的热点和重点内容。

判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但要保证定义域不变，再利用定义判定；用图象判定也是常用的方法。

单调性是函数学习中非常重要的内容，由于新教材增加了“导数”的内容，因此应用十分广泛。

解决具体函数的单调性问题，一般用求导的方法解决，对于选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增（减）函数的和函数仍为增（减）函数。

而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。

3 高中数学抽象函数的单调性与奇偶性学习中存在的问题3.1 学生没有掌握数形结合的学习方法。

数形结合是一种非常重要的数学学习方法，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

浅谈“函数的单调性”的教学设计与反思作者：李小丽来源：《数学教学通讯·中等教育》2013年第03期摘要：“函数的单调性”是高中苏教版的实验教科书《数学》必修（1）第2·1·3节“函数的简单性质”的第一课时，在学习了函数的概念和图象、函数的表示方法，体会了两个变量之间的依赖关系的基础上，需进一步系统地研究两个变量之间的变化关系.关键词：函数的单调性；数学思想；层次性；高效课堂基本情况一、授课对象授课对象是四星级高中普通班学生，他们的数学基础较好，数学思维能力较活跃. 在初中，学生已经历了函数学习的第一阶段，接受了初步的函数知识，对函数的单调性有“形”的直观的认识，了解“y随x增大而增大（减小）”来描述图象的上升（下降）走势，但还没有对函数的单调性进行系统的定义，还不能形式化、符号化的表示函数的单调性，因此，他们非常迫切地想从“数”的角度知道如何理论地定义函数的单调性.二、教材分析1. 教材的地位和作用“函数的单调性”是高中苏教版的实验教科书《数学》必修（1）第2·1·3节“函数的简单性质”的第一课时，在学习了函数的概念和图象、函数的表示方法，体会了两个变量之间的依赖关系的基础上，需进一步系统地研究两个变量之间的变化关系，故将学习函数性质提上了日程.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，可以帮助解决许多实际问题. 作为数学模型，它需要从概念、表示、性质等多角度建构完善自己的数学体系，函数的单调性正是这诸多方面中一个重要的性质，它决定了函数的变化、函数图象的形状，是函数诸多性质中最核心的内容，是研究函数时经常要关注和使用的一个性质，是高考的重点、热点，它在判断或证明函数的单调性、比较大小、求函数的单调区间、利用单调性求参数的取值范围、利用单调性解不等式、对函数作定性分析、求函数的极值，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用. 同时，本小节又是后继学习指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数性质的基础，是高中数学的核心知识之一，故本节内容在函数教学中起到承前启后的枢纽作用.2. 教学内容和教学目标教学内容：函数的单调性根据教学大纲的要求及本人所教班级学生的实际情况，笔者把教学目标确定如下：（1）知识目标：使学生理解函数单调性的概念，理解函数单调性的几何特征，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明简单函数在给定区间上的单调性；（2）能力目标：通过函数单调性概念的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察归纳、抽象、类比的能力和语言表达能力，通过对简单函数单调性的证明，提高学生推理论证的能力；（3）情感目标：通过对新知识的探索，培养学生仔细观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，让学生体验数学的符号功能和工具功能及不断探求新知识的精神.3. 教材的重点与难点重点：函数单调性的概念及证明简单函数的单调性.难点：函数单调性概念的生成及利用定义判断函数的单调性.这是因为，对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出定义，只是从直观上接触过这一性质，学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味，容易疲劳，因此，授课时需重视概念的生成，让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，感受数学知识的螺旋上升，从理论层面上二次认识函数的单调性，其中甚至包含着辩证法的原理.另外，对概念的分析是在引入一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点，因此在课堂上突出对概念的分析不仅是为了分析函数的单调性的定义，而是想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用. 所以笔者把教学重点定为“函数单调性的概念”.还有，学生首次接触“使用定义证明单调性”的代数论证方法，给出步骤，体现了算法思想，有利于学生理解概念，对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助，这也是不等式证明方法中比较法的基本思路，现在提出要求，为今后的教学作一定的铺垫.教学过程一、设计情境、引入新课教师：图1是我市一天24小时内的气温变化图，我们已经知道它是气温θ关于时间t的函数，观察这张气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的.学生1：在0时到4时气温逐渐下降，在4时到14时气温逐渐上升，从14时到24时，气温又逐渐下降.教师：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征呢？为解决这个问题，首先需要建立函数单调性的严格定义. （引入课题）2. 归纳探索，形成概念问题1 观察下列4个函数的图象，当自变量x逐渐增大时，研究图象的变化趋势.教师：对一次函数来说，图象一直上升或下降，但是对二次函数y=x2来说，图象先下降后上升，这说明了什么？学生4：说明在研究二次函数的图象时需要分情况讨论. 当x≤0时，图象下降；当x≥0时，图象上升.问题2 你能说出“图象呈上升趋势或呈下降趋势”的意思吗？学生5：图象呈上升趋势？圳y随x的增大而增大；图象呈下降趋势？圳y随x的增大而减小.教师：当函数图象在某区间上上升时，则称函数为该区间上的单调增函数；当图象下降时，则称函数为该区间上的单调减函数. 这是我们对单调性的“形”的认识，根据“形”的定义，你能说出气温变化图这个函数的单调性吗？学生6：函数在区间[0，4]上是减函数，在区间[4，14]上为增函数，在区间[14，24]上减函数.教学设想：通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形结合语言转换能力.问题3 利用函数y=x2的图象，试比较下列各数的大小：22，32，42，（4.1）2，（5.2）2，（6.4）2学生7：从函数y=x2图象上看，因为当x≥0时，图象上升，y随x的增大而增大，故22问题4 对函数f（x），如果-2学生8：不能，比如函数y=x2，图象在（-2，3）上先下降后上升，函数应该先减后增.问题5 若函数f（x）对于区间（0，+∞）上无数多个自变量x1，x2，x3，…，当0学生9：不能，如图6所示.问题6 在函数y=x2的图象位于y轴右侧部分随便（任意）取两点，横坐标分别为x1，x2即0学生：是. （齐声）问题7 在函数在函数y=x2的图象上任意取两点，横坐标分别为x1，x2，当x1学生10：不是. 当点都取在y轴左侧部分上时，x1y2. 当点一个取在y轴左边，一个取在y 轴右边时，x1y2，主要看哪个点高.问题8 能不能试着用数学符号说说什么是单调增函数？并且画出示意图吗？学生11：设函数y=f（x）的定义域为D，区间I？哿D.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1问题9 对于定义中的关键词“区间内”、“任意”、“当x1学生12：不能，否则要出现问题4、5、7中的情况.问题10 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？学生13：如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f（x2），那么就说y=f（x）在区间I上是单调减函数，I称为y=f（x）的单调减区间.教师：这样我们得到了单调增函数、单调减函数的定义，并且如果函数y=f（x）在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I上具有单调性. 单调增区间和单调减区间统称为单调区间.教学设想：通过问题串，铺设形成概念的阶梯，不断创设疑问，引导学生积极思考、讨论，让学生一步步体会出概念，把握住概念中的关键词“区间内”、“任意”、“当x13. 数学应用，掌握方法例1 画出下列函数图象，并写出单调区间：练习1 课本37页练习？摇？摇 1、2、6、7教学设想：1. 利用图象判断函数的单调性，从“形”的方面体会函数的单调性，理解单调性的几何意义，体会函数的单调性是函数的局部性质.2. 进一步体会单调性定义中的“任意”这一词；理解区间I？哿A.教师：对于给定的图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判断函数的单调性，也能找到单调区间，而对于一般的函数，我们怎样判断函数的单调性呢？我们需要学习“数”的方法研究函数的单调性.教学设想：（1）应用定义给出形式化的证明，从“数”的方面理解单调性.（2）为了学生能很快形成证明思路，掌握证明方法，指出函数单调性证明的要点.方法：作差比较法.步骤：①设变量：设区间上的任意两个值x1，x2，且x1②作差：f（x1）-f（x2）；③变形：主要使用通分、因式分解、配方等手段使之成为几个因式乘积形式；④断号；⑤定论.其中作差是依据，变形是手段，判断正负是目的.4. 回顾小结，提高能力本节课主要内容：1. 函数单调性及生成的过程，感受了数学研究问题从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程；2. 判断函数单调性的方法：图形法、变量值法、定义法；3. 利用定义证明函数单调性的步骤，感受代数推理的严谨性；4. 本节课涉及的数学思想方法：数形结合思想、等价转化思想、类比思想.教学设想：学生概括，教师补充共同完成，体现师生互动.5. 作业布置，巩固成效习题2.1（3） 1、7 （2）（4）思考：已知函数y=f（x）在定义域R上是单调减函数，且f（a+1）>f（2a），求a的取值范围.教学设想：课后及时复习可以温故知新；作业分层对学有余力的学生能起到开阔思维的作用.教学反思1. 依据的理论美国数学教育学家杜宾斯基（Dubinsky）认为，学习数学概念必须遵循APOS的建构主义学习理论，这个理论认为，学生学习数学概念的心理建构过程要经历四个阶段：（1）活动阶段：数学教学是数学活动的教学，在本课设计中，让学生像科学家一样，经历函数单调性概念的生成过程，通过实际经验来获得新知；（2）过程阶段：通过不断重复函数自变量x的改变对函数值y的影响这样的过程，让学生从中不断反思，在大脑中进行了一种心理建构，使得概念的呈现表现出自动化的形式，呼之欲出，不需要外部的不断刺激；（3）对象阶段：当学生意识到可以把前面经历的过程看做是一个整体，并且意识到可以对这个整体进行转变和操作的时候，其实已经把这个过程作为一个一般的数学对象，形成一个“实体”，也就是函数的单调性概念形成的最佳时机，从而很自然地就得到了函数的单调性概念；（4）图式阶段：通过图示可以把学生在头脑中具体函数的单调性的图象升级为一般性函数单调性的图形，对概念的理解上升到更高的层次.2. 突出的数学思想本节课以问题串的形式引导学生从“形”到“数”认识单调性，利用二次函数图象让学生感受函数的单调性是函数的局部性质，从具体到一般，从有限到无限一步步引导学生感受概念中自变量x1，x2的任意性，帮助学生从直观到抽象、从感性到理性建立起正确的函数单调性的概念，将“数形结合”、“类比推理”、“等价转化”“特殊与一般”等数学思想渗透于教学过程中，依附于具体的数学知识上，优化了知识结构，提高了学生的能力，潜移默化地影响学生数学思维，为学生今后的发展提供了有力的保障.3. 体现了层次性本节课是函数性质的起始课，重点是函数单调性的概念，它是函数学习过程中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数的其他性质提供了方法依据. 学生在学习的过程中面临两个问题：1. 如何用准确的数学符号语言描述函数函数图象的上升与下降；2. 证明函数的单调性是学生在学习生涯中第一次遇到的代数论证方法，他们在这个方面的能力还比较薄弱. 为解决第一个问题，在本节课中以问题串的形式引导学生从“形”到“数”认识单调性，利用二次函数图象让学生感受函数的单调性是函数的局部性质，从具体到一般，从有限到无限一步步引导学生感受概念中自变量x1，x2的任意性，帮助学生从直观到抽象、从感性到理性建立起正确的函数单调性的概念；为解决第二个问题，从算法角度和学生一起归纳出利用定义证明函数单调性的步骤：设元——作差——变形——断号——定论，让学生有章可循，熟练掌握证明单调性的方法，又为后续学习函数的其他性质提供了方法模式.在教学设计中，编排的例题与变式体现了层次性，例1从“形”上进一步加深对函数单调性认识，把握概念中的关键词“区间内”；例2从代数论证的角度把握函数的单调性概念中的关键词“任意”和“当x1f（x2））”，从“数”的角度从更高的层次上理解了概念；课后的思考题要使用概念的外延来解决，对能力有一定的要求，在整个应用过程对概念的应用层次分明，步步递进.4. 实现高效课堂记得有位诗人说过：教育不是注满一桶水，而是点燃一把火. 反思“函数的单调性”的教学效果，笔者认为类似这样的数学概念的教学，教学设计要重视“过程性”，教学过程要重视学生的“参与性”，让学生“参与”到学习的过程中，才能培养学生学习的主动性、创造性，将学生学习的燎原之火点燃，才能较好地激发其主动学习，确立其主体地位.高效课堂注重的是基础知识、基本技能、基本方法的教学，而不是让学生在大量的题海中“悟”数学思想、解题方法和规律，数学概念、定理、公式的形成或推到过程本身就蕴涵了众多的数学思想和方法，只有充分地暴露思维过程，才能挖掘其内在规律，帮助学生掌握科学的方法，达到培养和提高学生能力的目标. 本节课笔者围绕函数单调性的概念形成的过程，立足于学生的“最进发展区”，设计了若干具体问题，以问题为中心，学生为主体，让他们从具体问题中体会概念，然后归纳概念，符合学生认知规律，体现了本课设计的基本理念：过程性、问题性和主体性.。

抽象函数解法例说石光华侨联合中学 邱尚程函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。

此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。

因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。

由于抽象函数具有一定的抽象性，其性质隐而不露，因而学生对抽象函数问题比较害怕。

其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路。

本文从这一认识出发，浅谈高一阶段几种比较常见的类型的抽象函数及其解法。

1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

基本类型：f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ） 典型函数：f(x)=kx比较常用的一些数据：f （0）＝f （0＋0）＝f （0）＋f （0） ∴ f （0）=0f （0）=f （x －x ）＝f （x ）＋f （-x ） ∴ f （-x ）= -f （-x ）例1、 已知：f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），f （4）＝16，求f （-2）解：f （4）＝f （2＋2）＝f （2）+ f （2）=16∴ f （2）=8 ∴f （-2）= -f （2）= -8例2、已知：是f(x)在R 上的增函数，f(2)=1, f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）解不等式: f （x ）+f （x - 2）< 3分析：由题设可猜测：f （x ）是y ＝21x 的抽象函数，且f （x ）为单调增函数 解：3 = 3 f(2) = f(2)+ f(2)+ f(2) = f(6)∴f （x ）+f （x - 2）< 3 = f(6) ∴x + (x – 2) < 6∴x < 4例3、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

目录摘要 (III)ABSTRACT (IV)引言 (VI)第一章正确理解单调函数的定义 (1)1.1 函数单调性定义的通俗解释 (1)1.2 函数单调性实现了函数值与自变量大小之间的相互转化 (1)1.3 抓住函数单调性定义中的关键词 (1)第二章单调函数的一般判定方法 (3)2.1 定义法 (3)2.2 图像法 (3)2.3 运算法 (3)2.4 复合函数法 (4)第三章单调函数的其他判定方法 (5)3.1 作差法 (5)3.2 作商法 (6)3.3 利用反函数的单调性 (6)3.4 利用和、倍、积、倒函数的单调性 (7)3.5 利用复合函数的单调性 (7)3.6 换元法 (8)3.7 导数法 (8)3.8 综合法 (9)第四章函数单调性在解题当中的应用 (10)4.1 比较两个数的大小 (10)4.2 证明与正整数有关的命题 (10)4.3 解方程 (10)4.4 证明不等式 (11)4.5 求参数的取值范围 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (18)单调函数及其应用学生 XXX 指导教师 XXX摘要函数单调性是一条重要的数学概念，我们不能忽略对其定义的理解，本文第一章从函数定义的根本上对函数定义及定义的难点进行阐述。

抓住函数单调性定义中的关键词，例如：二次函数，在轴左侧是减函数，而在右侧是增函数，所以不能笼统的是增函数或减函数。

还要注意：不是任何一个函数都有单调区间的。

例如它无单调区间。

本文第二、三章对函数单调性的判定方法进行了系统性的归纳。

其中最基本，最实用的当为定义法，根据函数单调性的定义，在定义区间取两个不相同的值，然后通过作差，变形，定号，然后得出结论。

单调性是函数的一个基本性质，该性质有广泛的应用，本文第四章分别从五个方面对函数单调性的应用进行简要的举例说明。

关键词：函数单调性;高中数学;数学概念MONOTONE FUNCTION AND ITSAPPLICATIONStudent: Zhu Supervisor: ChenABSTRACT Function Monotonic function is an important mathematical concepts, we can’t ignore the understanding of its definition, this chapter from the function definition of a fundamental definition of the function definition and the difficulty to elaborate. Grasp the definition of monotonic function of key words, such as: a quadratic function，Is a decreasing function of the left in the Y shaft, while the right side is an increasing function. Also note: there is not a function of any monotone interval.Such as:It is not monotone interval. In the second, chapters on the determination method of monotone functions were systematically summarized. Of which the most basic and useful when the definition of law, according to the definition of monotonic function, the definition of taking two different range values, and then for worse, deformation, set number, and then draw conclusions. Monotonic function of a fundamental nature is the nature of a wide range of application, this chapter were from the fiveaspects of the application of Function Monotonicity brief.Key words:Monotonic function；High School Math；Mathematical concepts引言函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到高中数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是一种重要的数学思想。

安阳师范学院人文管理学院本科毕业论文（设计）学号：函数单调性的应用系别专业班级姓名指导教师2013年5月8日摘要函数单调性是函数的重要性质之一，同时也是解决实际问题求最值的重要方法。

本课题从函数单调性的概念与定义入手，主要介绍函数单调性的若干性质和判别方法，然后深入探讨和总结单调性在数学领域的相关应用，继而联系实际，分析单调性在解决实际问题中的重要作用，从而总结出函数单调性所适用的条件，应用的围等。

所以，无论是从研究教学来讲，还是实际应用来讲，研究函数的单调性都具有重要理论意义和现实意义。

关键词：函数单调性，判别，导数，应用AbstractMonotonic function not only is one of the important natures of the function , but also is an important method for the practical problems. This project plan to start with the concept and definition of the function monotonicity, mainly introduces some properties of monotone functions and discriminant methods, and then further discussed and summarized monotonic related applications in the field of mathematics, and then contact with practice, analysis what’s the important role of monotonic in solving practical problems, thus summed the conditions applied, the application scope and so on. So, whether it is from research and teaching, or from its practical application, monotonicity also has important theoretical and practical significance.Keywords：Monotonic function,Distinguish,Derivative,Application目录1、前言 (1)2、函数单调性的基础理论 (1)2.1 函数单调性的基本概念 (1)2.2 函数单调性的常用定理与性质 (3)3、函数单调性的判别 (7)3.1 初等数学中函数单调性的判别 (7)3.2 高等数学中利用导数判别函数单调性 (8)4、函数单调性的解题应用 (8)4.1 单调性在求极值、最值中的应用 (8)4.2 单调性在不等式中的应用 (14)4.3 单调性在求方程解问题中的应用 (15)4.4 单调性在化简求值方面的应用 (16)4.5 单调性在比较大小方面的应用 (17)5、函数单调性在实际生活中的应用 (17)5.1 单调性在材料合理利用中的应用 (17)5.2 单调性在生产利润中的应用 (18)5.3 单调性在结构工程中的应用 (20)5.4 单调性在优化路径中的应用 (21)6、结论 (22)致 (23)参考文献 (24)1、前 言单调性是近代数学的重要基础，是联系初等数学与高等数学的重要纽带。

浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用在高中数学中，函数单调性是一个非常重要的概念，它与函数的增减性密切相关。

函数的单调性描述了函数图像上函数值的增减趋势，可以帮助我们更好地理解和分析函数的行为。

学习和掌握函数的单调性有助于我们解决与函数增减性相关的问题，并在实际问题中灵活运用。

学习函数单调性可以帮助我们理解函数的图像特征。

函数的单调性可以分为单调递增和单调递减两种情况。

具体来说，当函数的自变量增加时，如果函数值也随之增加，则称函数为单调递增函数；如果函数的自变量增加时，函数值随之减少，则称函数为单调递减函数。

通过学习单调性，我们可以直观地理解函数图像在坐标系中的走势，找到函数的最大值、最小值等重要的特征点。

函数单调性的学习有助于我们解决函数的增减性问题。

在高中数学中，常常会遇到需要判断函数的增减性的问题，例如求函数的极值、解方程等。

通过学习函数的单调性，我们可以根据函数图像的走势推断函数的增减特性，并运用相关知识解决问题。

若函数在某一区间上是单调递增的，则可以得出该区间上的函数值是逐渐增加的；若函数在某一区间上是单调递减的，则可以得出该区间上的函数值是逐渐减少的。

这样，我们就可以利用函数单调性的性质，更加迅速地找到函数的极值点，或是求解方程的根等。

函数单调性的运用也有助于我们解决实际问题。

现实生活中的许多问题可以转化为函数的增减性问题，通过研究函数的单调性，我们可以更好地解决这些实际问题。

在经济学中，我们常常需要研究某个商品的需求量与价格的关系。

如果能够确定此关系为单调递减的，那么我们就可以判断价格上涨时需求量下降，价格下跌时需求量增加，从而为生产和销售提供指导；又如在物理学中，我们常常需要研究某个物体的位移与时间的关系，以求得物体的速度、加速度等信息。

如果能够确定此关系为单调递增的或单调递减的，那么我们就可以根据物体的位移的增减特性，推断出物体的运动状态。