基本初等函数初等函数

所有基本初等函数基本初等函数是数学中的重要概念，它包括了常见的数学函数，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数在数学中具有广泛的应用，在科学、工程、经济等领域中发挥着重要作用。

下面将逐个介绍这些基本初等函数。

1. 线性函数：线性函数是一种最简单的函数形式，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。

线性函数在代数学、经济学等领域中有广泛的应用，可以用来描述两个变量之间的简单关系。

2. 幂函数：幂函数是一种形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。

当a为正数时，幂函数的图像是一个递增的曲线；当a为负数时，幂函数的图像是一个递减的曲线。

幂函数在几何学、物理学等领域中有广泛的应用，可以用来描述面积、体积、速度等随着变量的变化而变化的关系。

3. 指数函数：指数函数是一种形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。

指数函数的图像是一个递增或递减的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。

指数函数在金融学、生物学等领域中有广泛的应用，可以用来描述复利增长、生物种群的增长等现象。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它可以表示为f(x) = loga(x)，其中a是常数。

对数函数的图像是一条递增的曲线，具有对数增长的特点。

对数函数在计算机科学、信息论等领域中有广泛的应用，可以用来描述算法复杂度、信息压缩等问题。

5. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标为基础定义的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

三角函数的图像是周期性的波形，具有周期性和振荡的特点。

三角函数在物理学、信号处理等领域中有广泛的应用，可以用来描述波动、振动等现象。

6. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

反三角函数可以用来求解三角方程或描述角度关系。

反三角函数在几何学、三角测量等领域中有广泛的应用，可以用来计算角度、求解三角形等问题。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；3y1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1(1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；.当10<<a 时，a 值越大，xa y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==xf x xxx g ⎪⎫⎛=1)((4)()n n n b a ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

基本初等函数一.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则二.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性三.函数的图像：1、幂函数（a为实数）定义域：指代一切实数（-∞，+∞），就是R值域：对于一切指数函数y=a^x来讲。

他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0。

所以值域为（0,+∞)。

a=1是也可以，此时值域恒为1。

有界性：单调性：若a>0,函数在内单调增加；若a<0,函数在内单调减少。

奇偶性：（自己观察）每种函数的图像.2. 指数函数定义域：值域：有界性：单调性：若a>1 函数单调增加；若0<a<1 函数单调减少奇偶性：周期性：注意：图形过（0，1）点a^0=1直线y=0为函数图形的水平渐近线用的较多此函数的图形，性质很重要3.对数函数1、定义域：2、值域：有界性：单调性：a>1时，函数单调增加；0<a<1时，函数单调减少奇偶性：周期性：主要性质：与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，直线x=0为函数图形的铅直渐近线e=2.7182……，无理数经常用到以e为底的对数4.三角函数（图像很重要）①正弦函数：定义域：值域：[-1,1]有界性：[-1,1] 有界函数单调性：（-T/2,T/2）单调递增奇偶性：奇函数周期性：以为周期的周期函数；②余弦函数：定义域：值域：[-1,1]有界性：[-1,1] 有界函数单调性：奇偶性：偶函数周期性：③正切函数：定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：④余切函数：，定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：，5.反三角函数①反正弦函数：定义域：[-1,1]值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：②反余弦函数：定义域：[-1,1]值域：有界性：单调性：单调减少奇偶性：周期性：③反正切函数：---定义域定义域：值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：反余切函数---定义域定义域：值域：有界性：单调性：单调减少；奇偶性：周期性：以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。

百度文库基本初等函数1常数函数：c y =；1y =；y e = 2幂 函 数：y x α=；2x y =；x y =；1y x -=；/m n n m y x x == 3指数函数：x a y =；x e y = 4对数函数：x y a log =；x y ln =；x y 2log =；lg y x = 5三角函数：x y sin =；x y cos =三角函数是有界函数，sin x 奇函数；cos x 偶函数6奇函数：()()f x f x -=- 图形关于坐标原点对称；偶函数：()()f x f x -= 图形关于y 轴对称；含有x x a a -+因子的是偶函数；含有x x a a --因子的是奇函数，两个重要极限 1 e 和1sin lim 0=→x x x e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 无穷小量×有界量＝无穷小量当x →∞时，1sin n xπ是无穷小量1sin lim 0=→x x x ()e x xx =+→101lim极限运算法则：g f g f lim lim )lim(±=±sin lim0x xx→∞=lim sin 0x x x →=f k kf lim )lim(=；lim lim lim fg f g =⋅微分公式 dx y dy '=kdx dkx =dx ax dx x dx a a a 1)(-='= adx a dx a da x x x ln )(='=dx dx x x d 2)2(2='= 221log (log )ln 2d x x dx dx x '== xdx dx x x d cos )(sin sin ='= dxe dx e de x x x ='=)(dx xdx x x d 1)(ln ln ='= xdx dx x x d sin )(cos cos -='=导数公式0)(='c 1)(='x a x x a ln 1)(log =' x x cos )(sin =' 0)0(='2()2x x '=x x 1)(ln ='x x sin )(cos -=' ()01='211x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛ a a a x x ln )(=')()()('±'='±g f g f)()()('+'='g f g f fg )()('='f k kf1)(-='a a ax xxx 21)(='x x e e =')(2)()(g g f g f g f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛复合函数求导基本方法()()x x x x 2cos 222cos 2sin ='='()()22222x x x xex ee ='='()()22212ln x x x x ''==[](())(())()y f x f x x φφφ''''==不定积分公式0 dx c =⎰ 2dx x c x= ln xxa a dx c a =+⎰不定积分运算法则： 加减法，数乘1 dx x c =+⎰ 322 3x dx x c =+x x e dx e c =+⎰⎰⎰⎰±=±gdx dx f dx g f )(21 2x dx x c =+⎰ 11 1aa x dx x c a +=++⎰ sin cos x dx x c =-+⎰ dx f k kfdx ⎰⎰= 211 dx c x x=-+⎰ 1ln ||dx x c x =+⎰cos sin x dx x c =+⎰分部积分法计算法则 运算公式：fg dx f dg fg g df '==-⎰⎰⎰对幂指三x ln xx esin x 、cos x两两组合，位置排在前面的选f ，排列在后面的选g '凑微分公式dx c dx =+x d dx xln 1= x d dx x21= 原函数()F x 与被积函数()f x之间的关系kdx c dkx =+ x x de dx e = x d xdx cos sin -= ⎰+=c x F dx x f )()(221dx xdx =x d dx x112-= x d xdx sin cos =)()(x f x F ='定积分公式() ()|()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰() bb baaaf g dx f dx g dx ±=±⎰⎰⎰bbaakf dx k f dx =⎰⎰（为常数）| bbb a aafg dx fg f g dx ''=-⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰-aaa为偶函数时x 即当f x f x f dx x f 为奇函数时x 即当f x f x f dx x f 0)()()(,)(2)()()(,0)( 逆矩阵求法用初等行变换求逆矩阵的方法：()()1||P I I P −−−−→初等行变换－齐次方程0m n A X ⨯=有非零解和零解条件当()r A n =时齐次方程0AX =只有零解。

五大基本初等函数五大基本初等函数是数学中的重要概念，用于阐明计算机科学中的方程和数学关系。

熟悉了五大基本初等函数，可以更好地理解和分析复杂的数学概念，如几何形状的性质，三角函数的解析和复数的运算和表示等。

以下是五大基本初等函数：1. 指数函数指数函数是指其函数图像呈指数状，是数学上最简单也是最常用的函数，在很多领域都有广泛应用，比如利息计算，复利计算，对数函数中出现概述等。

指数函数是由一个有意义的变量间的关系而构成的，通常用数学表示为y=a^x（其中a为任意正值），其函数图形曲线具有经典的指数曲线特点，曲线的斜率随自变量x的取值变大而变大，变化趋势是上升的。

2. 对数函数对数函数是建立在指数函数基础上的一种反函数，通常用数学表示为y=logaX（a为任意正值），它和指数函数正好相反，而且它是一种以底数为任意正数的单调变换，它的函数图像是一条函数线段，随变量x 的取值变大，函数的值也在增大，但是斜率却有在、趋向-∞的趋势，因此从该函数的性质可以看出它又是一种指数函数的相反函数。

3. 线性函数线性函数是数学中的重要函数，通常用数学表示为y=kax+b（其中a，k为任意实数），比较常见的有一元一次函数和一元二次函数，线性函数的函数图像是一条直线段，它体现了因变量和自变量之间线性的变化特征，线性函数的斜率和截距也是它的重要特征，它可以直观地表示出变量之间的函数关系，但是有些非线性的问题却无法通过线性函数来完美地描述。

4. 幂函数幂函数是类似指数函数的一种特殊函数，通常用数学表示为y= aX^k （其中a，k为任意实数），它具有指数函数强调的指数状特征，但是有所不同，它不仅包括k=1时的指数函数，还包含k>1和k<1时的函数，而函数非线性曲线一般为鹰眼状，斜率具有变大或变小的特点，它有良好的平稳特征，可以用于描述不同数量的衰减或增长的函数关系。

5. 双曲函数双曲函数是一类特殊的曲线函数，具有指数函数和对数函数的结合。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。