2020届高三11月阶段性检测数学(理)试题(解析版)

2020届江西名校高三11月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|40}A x x x =->，2{|40}B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．[2,0]- B ．(,0)-∞ C ．[2,0)- D ．[4,4]-【答案】C【解析】对集合A 和集合B 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】由题得2{|40}{|0A x x x x x =->=<或4}x >，2{|40}{|22}B x x x x =-≤=-≤≤， 则{|20}A B x x =-≤<I ， 故选：C ． 【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题. 2．已知角α终边上一点M 的坐标为3)，则sin 2α=（ ） A ．12-B ．12C ．3D 3【答案】D【解析】根据题意，结合α所在象限，得到sin α和cos α的值，再根据公式，求得答案. 【详解】由角α终边上一点M 的坐标为(3，得3sin 2α=，1cos 2α=，故3sin 22sin cos ααα== 故选D. 【点睛】本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题. 3．已知1(,),sin(2)22ααπ∈-0π-=-，则sin cos αα-=（ ）A ．5B ．52-C ．62D ．62-【答案】D【解析】由诱导公式得到1sin 22α=-，再根据二倍角公式展开，结合同角三角函数关系，得到()2sin cos αα-的值，结合α的范围得到答案. 【详解】因为1sin(2)2απ-=-，所以1sin 22α=-，即12sin cos 2αα=-，所以2(sin cos )1αα-=-132sin cos 122αα=+=， 又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以sin cos αα<，所以得到sin cos αα-=6-. 故选D ． 【点睛】本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数关系，属于简单题. 4．函数2()(1)sin 21x f x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断出()f x 是偶函数，排除C 、D ，再由()1f 的正负排除B ，从而得到答案. 【详解】因为()()21sin 21xf x x -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭2221sin 1sin ()1221x xx x x f x ⎛⎫⋅⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当1x =时，1(1)sin103f =-<，排除B ，故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.5．已知x ，y 满足约束条件1400y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-8B ．-6C ．-3D ．3【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点B 时，直线的截距最小，从而得到答案. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得(1,1),(2,2),(5,1)A B C ---， 2z x y =+，则1122y x z =-+， 当直线1122y x z =-+过点(2,2)B --时，z 取到最小值， 所以2z x y =+的最小值是22(2)6-+⨯-=-， 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题.6．已知函数22ln ,1()1,1x x f x x ax a x ≥⎧=⎨-+-+<⎩在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞【答案】D【解析】由()f x 为增函数，得到其在每段上都为增函数，得到1x <时，二次函数对称轴大于等于1，且当1x =时，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值，才能保证()f x 单调递增，从而得到答案.【详解】若函数()f x 在R 上为增函数， 则在两段上都应为单调递增函数， 当1x <时，()221f x x ax a =-+-+，对称轴为2a x =，所以12a≥， 且在1x =处，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值， 即20a a ≤-所以得到2120a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩，解得201a a a ≥⎧⎨≤≥⎩或所以2a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的性质，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.7．已知非零向量a r 与b r 的夹角为θ，tan 2θ=(2)()a b a b -⊥+r r r r ，则||||b a =rr （ ）A ．13B ．3C 3D 3【答案】D【解析】计算3cos θ，根据(2)()a b a b -⊥+r r r r 得到231203b b a a ⎛⎫⎪-= ⎪⎝⎭r rr r，解得答案.tan 2θ=[]0,θπ∈，故3cos θ=. (2)()a b a b -⊥+r r r r ，故22223(2)()2203a b a b a a b b a b b -⋅+=-⋅-=⋅-=r r r r r r r r r r r ，即231203b b aa ⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭r r r r ，解得||3||b a =r r ||3||b a =r r （舍去）. 故选：D . 【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.8．设0>ω，将函数sin()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后与函数cos()3y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意得到平移后的解析式sin()63y x ωωππ=++，再将函数cos()3y x πω=+化为5sin()6y x ωπ=+，从而得到52636k ωπππ+=+π，得到ω的表达式，根据ω的范围，得到答案. 【详解】将函数sin()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数sin()63y x ωωππ=++的图象， 又5cos()sin()36y x x ωωππ=+=+，所以52,636k ωπππ+=+π 整理得123()k k ω=+∈Z ， 又0>ω，所以ω的最小值为3 ， 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦型函数的平移，正弦型函数的图像与性质，属于简单题.9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 4.1)a g =，0.2(2)b g =-，()c g =π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解析】先判断出()g x 的单调性和奇偶性，再判断出2log 4.1，0.22，π的大小，利用()g x 的奇偶性和单调性判断出a ，b ，c 的大小关系，得到答案. 【详解】因为奇函数()f x 在R 上是增函数， 所以当0x >时，()0f x >. 对任意的12(0+)x x ∈∞，，且12x x <， 有120()()f x f x <<，故12()()<g x g x ，所以()g x 在(0+)∞，上也是增函数， 因为()()()g x xf x xf x -=--=，所以()g x 为偶函数. 又2log 4.1(2,3)∈，0.22(1,2)∈， 所以0.2212log 4.1<<<π， 而0.20.2(2)(2)b g g =-=， 所以b a c <<， 故选:C ． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，根据函数的性质比较大小，属于中档题. 10．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，3a ，2a 成等差数列，2mS ，3S ，4S 成等比数列，则m =（ ）A ．78B ．85C ．1D ．95【答案】D【解析】根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得到q 的值，再表示出2S ，3S ，4S ，再由2mS ，3S ，4S 成等比数列，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】设{}n a 的公比为(0q q ≠且1)q ≠， 根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得3122a a a =+，即21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以2210q q --=， 即(1)(21)0q q -+=. 因为1q ≠，所以12q =-， 则2112(1)3141a q a S q q -==⋅--，3113(1)9181a q a S q q -==⋅--，414(1)1a q S q -==-115161a q ⋅-. 因为2mS ，3S ，4S 成等比数列， 所以2324S mS S =⋅，即211193158141161a a am q q q ⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪---⎝⎭，211193151118416111222a a a m ⎛⎫⎪ ⎪⋅=⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得95m =. 故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列通项和求和的基本量计算，等差中项、等比中项的应用，属于中档题. 11．若0,1x y >>-且满足21x y +=，则22211x y x y +++的最小值是（ ） A ．3 B ．322+ C ．22D ．122+【答案】B【解析】对所求的22211x y x y +++进行化简，得到22211111x y x y x y ++=+++，根据212x y ++=，由基本不等式1的妙用，得到最小值，并研究等号成立条件，得到答案.【详解】2221111121111x y x y x y x y x y ++=+++-=++++， 因为212x y ++=，所以111(21)()21x y x y ++++1121(3)(322)212y x x y +=++≥++， 当且仅当12=1y xx y ++，21x y +=时取等号， 即22,223x y ==时取得最小值322+. 故选：B. 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，1的妙用求最值，属于中档题.12．已知函数321,()3,x x x mf x x m x m⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩，若存在实数a ，使得函数()()g x f x a =-恰好有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(2,)+∞ C ．(0,3) D ．(3,)+∞【答案】B【解析】问题等价于直线y a =与函数()f x 图象的交点个数，利用导数得到3213y x x =-+的单调性、极值、最值，从而根据不同的m 的范围，画出()f x 的图像，再根据图像，得到直线y a =与函数()f x 图象有4个交点时，对应的m 的范围，得到答案. 【详解】()()g x f x a =-的零点个数等价于直线y a =与函数()f x 图象的交点个数.令3213y x x =-+，22y'x x =-+，当0x <或2x >时，'0y <， 当02x <<时，'0y >， 当2x >时，'0y <，所以函数3213y x x =-+在(,0)-∞，(2,)+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，画出函数()f x 的大致图象如图所示，由图可知当2m >时，存在直线y a =与函数()f x 图象的交点为4个； 当02m <≤时，直线y a =与函数()f x 图象的交点至多为3个； 当0m ≤时，直线y a =与函数()f x 图象的交点至多为2个； 所以m 的取值范围为(2,)+∞. 故选B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，画函数图像，函数与方程，根据零点个数求参数的范围，属于中档题.二、填空题13．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________．【答案】12【解析】根据题意可知4x >时，函数()f x 有周期性，判断25log 6+的范围，然后利用周期性，得到()()225log 61log 6f f +=+，代入4x ≤时的解析式，得到答案. 【详解】由题意4x >时，函数()()1f x f x =-， 所以()f x 在()4,+∞时，周期为1，因为22log 63<<，所以()25log 67,10+∈，()21log 63,4+∈， 所以()()225log 61log 6f f +=+ 21log 622612+==⨯=.故答案为：12. 【点睛】本题考查函数的周期性，求分段函数的值，属于简单题.14．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若253924,a a S S +==，则n S 的最大值为________． 【答案】72【解析】根据39S S =，得到670a a +=，结合25240a a +=>，得到数列{}n a 的前6项为正，从而得到6n =时，n S 的最大值，得到答案. 【详解】由39S S =，得4567890,a a a a a a +++++= 根据等差数列下标公式可得670,a a += 又25240a a +=>，所以数列{}n a 的前6项为正， 所以当6n =时，n S 有最大值，且616253()3()72S a a a a =+=+=.故答案为：72. 【点睛】本题考查等差数列的下标公式，前n 项和的最值，属于简单题.15．已知ABC V 中，2,3,60,2,2AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u v u u u v________．【答案】43【解析】根据条件中的几何关系，将AD u u u r 和BE u u u r 用BC uuu r 和BA u u u r 来表示，然后将AD BE ⋅u u u r u u u r利用数量积的运算律进行计算，得到结果. 【详解】因为2BD DC =，2AE EC =，所以23AD BD BA BC BA =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2133BE BC BA =+u u u r u u u r u u u r所以221333AD BE BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22414939BC BA BC BA =--⋅u u ur u u u r u u u r u u u r 4149432cos60939=⨯-⨯-⨯⨯⨯︒ 4444333=--=.故答案为：43.【点睛】本题考查向量的平面基本定理，向量数量积的运算律，属于中档题. 16．函数1()sin sin 22f x x x =+的最大值为________． 33【解析】对()f x 求导，利用导数，判断出()f x 的单调性，从而求出()f x 的最大值 【详解】因为1()sin sin 22f x x x =+求导得2()cos cos22cos cos 1f x x x x x '=+=+- (2cos 1)(cos 1)x x =-+，因为cos 10x +≥， 所以当1cos 2x >时，()0f x '>，当11cos 2x -<<时，()0f x '<，即当22,33ππππ-≤≤+∈k x k k Z 时，()f x 单调递增，当52+2,33k x k k πππ<<π+∈Z 时，()f x 单调递减， 故()f x 在23x k k π=π+∈Z ，处取得极大值即最大值，所以max 131333()sin sin(2)3232f x ππ=+⨯=. 33. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最大值，属于简单题.三、解答题17．已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2πα∈，求sin2α．【答案】（1）2a =，π；（2322+【解析】（1）由π()13f =得到a 的值，再对()f x 进行整理化简，得到()π2sin(2)16f x x =--，从而得到()f x 的最小正周期；（2）由1()3f α=-得到π1sin(2)63α-=，判断出26πα-的范围，得到π22cos(2)6α-=sin 2α转化为ππsin 266α⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用公式展开，从而得到答案. 【详解】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.所以31()4cos (cos )2f x x x x =-223cos 2cos x x x =- 3sin 2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（2）1()3f α=-，π12sin(2)163α--=-，π1sin(2)63α-=，因为(0,)2πα∈，所以π52(,)666αππ-∈-， 又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.所以2ππ22cos(2)1sin (2)66αα-=--则ππsin 2=sin[(2)]66αα-+ππππsin(2)cos cos(2)sin 6666αα=-+-1322132232+==【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简求正弦型函数解析式，求正弦型函数的周期性，三角函数给值求值题型，利用两角和的正弦公式求值，属于简单题. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,n S n n =+数列{}n b 满足122212121n n n b b ba =++++++L ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若,4n nn a b c n =-求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）2()n a n n *=∈N ，122()n n b n +*=+∈N ；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】（1）根据2n ≥时，1n n n a S S -=-，验证1n =，从而得到n a 的通项，然后由122212121n n n b b b a =++++++L ，得到1122122212121n n b b bn --+++=-+++L ，通过作差得到nb 的通项公式；（2）根据（1）得到nc 的通项，利用错位相减法得到n c 的前n 项的和n T . 【详解】（1）因为2n S n n =+，所以当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时221,(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=， 又12a =也满足上式，所以2()n a n n *=∈N . 又1222212121n n n b b ba n +++==+++L ， 所以1122122(2,)212121n n b b bn n n *--+++=-≥∈+++N L ， 两式作差得，221nnb =+，所以122(2,)n n b n n +*=+≥∈N ， 当1n =时11,2,63b b ==，又16b =满足上式，所以122()n n b n +*=+∈N . （2）因为2,4n n nn a b c n n =-=⋅ 所以231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⋅L ，两式相减，得23122222n n n T n +-=++++-⋅L ，即11222n n n T n ++-=--⋅，所以1(1)22n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查根据n S 求n a 的通项，错位相减法求数列的前n 项的和，属于中档题. 19．如图，在ABC V 中，,BAC ∠,B C ∠∠的对边分别是,,a b c ，60BAC ∠=︒，AD 为BAC∠的平分线，3AD=.（1）若2DC BD=，求c；（2）求ABCV面积的最小值.【答案】（1）32c=；（23【解析】（1）根据已知条件，结合12ABDADCS BDS DC==△△，利用三角形面积公式，表示出面积，从而得到2AC AB=，在ABD△、ACDV中，利用余弦定理表示出cos BAD∠和cos CAD∠，然后代入已知条件，解得c的值；（2）设BD x=，所以bDC xc=，在,ABD ACD△△中，22223()32323bxbcc b+-=得到关于,,x b c的方程，消去x得到关于,b c的方程，得到()()0b c bc b c---=，分类讨论，分别研究ABCV面积，从而得到其最小值.【详解】（1）因为2DC BD=，BAD CAD∠=∠，所以12ABDADCS BDS DC==△△，所以1sin1212sin2AB AD BAD ABACAC AD CAD⋅⋅∠==⋅⋅∠所以2AC AB=.在ABD△、ACDV中，由余弦定理，得2223cos2AB AD BDBADAB AD+-∠==⋅2223cos2AC AD CDCADAC AD+-∠==⋅即223cos3023c︒==，223cos3043c︒=解得32c=.（2）设BD x=，则由（1）可知BD ABDC AC=，所以bDC xc=，在,ABD ACD △△22223()32323bx b c cb+-== 所以2233x c c =+-，222233b x b b c=+-，消去x ，得2222(33)(33)b c c c b b +-=+-， 化简，得()()0b c bc b c ---=.当b c =时，ABC V 为等边三角形，此时2,3ABC b c S ===△ 当bc b c =+时，由基本不等式可得2bc b c bc =+≥2bc ≥，即4bc ≥当2b c ==时取等号，此时13sin 6032ABC S bc =︒=≥△综上可得，ABC V 3【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理解三角形，利用基本不等式求和的最小值，涉及分类讨论的思想，属于中档题.20．已知函数()(0,x f x a b a =+>且1)a ≠，满足(1)3f =，且(1)4()+3f n f n +=，其中n *∈N .（1）求函数()f x 的解析式； （2）求证：11114(1)(2)(3)()9f f f f n ++++<L . 【答案】（1）()=41x f x -；（2）见解析【解析】（1）由(1)3f =，且(1)4()+3f n f n +=，得到()215f =，代入函数，得到关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，从而得到()f x 解析式；（2）由1()4134n n f n -=-≥⨯得到111()34n f n -≤⨯，从而得到1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++L 211111(1)3444n -≤⨯++++L ，再利用等比数列求和公式，得到前n 项的和，从而得到证明. 【详解】（1）由(1)4()+3()f n f n n *+=∈N 得 (2)4(1)315f f =+=，即2315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得41a b =⎧⎨=-⎩或36a b =-⎧⎨=⎩(舍去)， 所以()=41x f x -.（2）由（1）得()41().n f n n *=-∈N由于141n -≥，即1144341n n --⨯-⨯≥，所以14134n n --≥⨯， 即1()4134n n f n -=-≥⨯，111()34n f n -≤⨯， 所以1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++L 211111(1)3444n -≤⨯++++L 111()1()11441333144n n --=⨯=⨯- 414(1)949n =⨯-<． 【点睛】本题考查求函数的解析式，等比数列求和，放缩法证明不等式，属于中档题. 21．已知函数ln +()x af x x x=+()a R ∈． （1）当0a =时，求曲线()f x 在=1x 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）210x y --=；（2）(2,)+∞【解析】（1）代入0a =，对()f x 求导，代入1x =得到斜率，再由点斜式写出直线方程；（2）对()f x 求导，令2()ln 1F x x x a =--+，然后再求导得到()F x '，可得(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，再根据(1)2F a =-，按2a ≤和2a >进行分类讨论，得到函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，从而得到若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >． 【详解】（1）当0a =时，ln ()x f x x x =+，21ln ()1xf x x -'=+， 则(1)1f =，(1)2f '=，故曲线()f x 在1x =处的切线方程为：12(1)y x -=-，即210x y --=.（2）ln ()(1)x a f x x x x +=+>，22221ln ln 1()1x a x x a f 'x x x x ---+=+-=， 令2()ln 1F x x x a =--+，则2121()2x F'x x x x-=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增， 又(1)2F a =-，故①当2a ≤时，()0F x >，()0f 'x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增，无极值； ②当2a >时，(1)0F <，2()ln 1F a a a a =--+，令2()ln 1G x x x x =--+，则2121()21x x G'x x x x--=--=，当2x >时，()0G'x >，函数()G x 在(2,)+∞上单调递增，(2)3ln 20G =->， 所以在(2,)+∞上，()0G x >恒成立， 所以2()ln 10F a a a a =--+>，所以函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，所以()f x 在0(1,)x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时函数()f x 存在极小值． 综上，若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞. 【点睛】本题考查利用导数求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，涉及分类讨论的思想，属于中档题. 22．已知函数21()ln 2(0).2f x x x mx m =+-> （1）判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极大值点x t =，求证：2ln 1t t mt >-. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）对()f x 求导，得到()f x '，然后判断()0f x '=的根的情况，得到()f x '的正负，然后得到()f x 的单调性；（2）由（1）可得1m >，且221(0,1)1t m m m m =--=+-，由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=，所以只需证32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈，令3()2ln 2h x x x x x =--+，0x >，利用导数研究出()h x 的单调性和最值，结合(1)0h =，得到(0,1)x ∈时，()0h x >，从而得以证明.【详解】（1）由题意，知221()(0)x mx f 'x x x-+=>，对于方程221=0x mx -+，24(1)m ∆=-， ①当01m <≤时，24(1)0m ∆=-≤，()0f 'x ≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增. ②当1m >时，令()0f 'x =，则211x m m =--，221x m m =+- 当201x m m <<-()0f 'x >，函数()f x 单调递增；当2211m m x m m --<<+-()0f 'x <，函数()f x 单调递减， 当21x m m >+-()0f 'x >，函数()f x 单调递增. 综上所述，当01m <≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1m >时，()f x 在2(0,1)m m -，2(1,)m m +-+∞上单调递增，在22(1,1)m m m m -+-上单调递减.（2）由（1）可知当1m >时，在21x m m =-处时，函数()f x 取得极大值，所以函数()f x 的极大值点为21x m m =-221(0,1)1t m m m m =-+-．由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=， 要证2ln 1t t mt >-， 只需证2ln 10t t mt -+>，只需证221ln 102t t t t t+-⋅+>， 即32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈， 令3()2ln 2h x x x x x =--+，0x >， 则2()2ln 31h'x x x =-+， 令2()2ln 31x x x ϕ=-+，0x >，则2226()6x 'x x x xϕ-=-=，当303x <<时，'()0x ϕ>，)'(h x 单调递增； 当33x >时，'()0x ϕ<，)'(h x 单调递减，max 33()(0h'x h'==<， 所以'()0h x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0h =， 故(0,1)x ∈时，32ln 20x x x x --+>， 又(0,1)t ∈，则32ln 20t t t t --+>， 从而可证明2ln 1t t mt >-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用导数证明不等式，涉及分类讨论的思想，属于难题.。

2020届高三11月联考数学（理）试题一、单选题1．复数312112ii i +++-的模为（ ）A ．1BCD ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案.【详解】 根据题意，31211211212i i i i i i +++++=+-+(12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以|2|i +==故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或C ．{|23}x x ≤≤D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð.故选：B.【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r 能否得到1λ=，从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =r，所以5a ==r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r ，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r ，所以||||5a λ= ||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题. 4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ） A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案.【详解】 根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<.即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图A ．43-B ．23-C ．32-D ．34- 【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上，所以DE ⊥平面ACD ，所以113E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 11)3=1=，所以几何体的体积为2. 故选：C.【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.【详解】 由题意，22()(1)f x x '=--， 221(3)(31)2f '∴=-=--， 所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12548= 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1n a +的通项和前n 项和n S ，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+， 所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列，所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 12111n n T S S S =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2.故选：C.【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞UC ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围.【详解】 根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点，所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-.故选：D.【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．1 D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m --=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】 因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m --=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=， 当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A.【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10．已知sin()1223πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710- B ．710 C ．79- D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DH DA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GH k DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EH k DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =，所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GH k DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =，所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EH k DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-，在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围.【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-，令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=， 2(4)240m ∆=++>， 由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根.又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立， 又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小， 由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角），因为AE =OA =OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知222cos 22EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16．已知函数()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x ωωω=+-sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和nT.【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比2q =，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题. 18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+，因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =-- 代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x '+-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩解得1b <，而1215>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =.（1）求角C 的大小； （2）若3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案. 【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C =所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 即2357sin 3ABπ=，所以19AB =. 所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 252222ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =，且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ， 所以平面EFQ ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，所以11242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,,222A ⎛-- ⎝⎭，所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭， 设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21．已知函数1()1ln1mxf x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭， 当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94≥= 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数， 又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。

2020届安徽省江淮十校高三第二次联考（11月）数学（理）试题一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{|14}x x <„ B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】化简集合A ，再由交并补的定义，即可求解. 【详解】{|44}{3,2,1,0,1,2,3}A x x =∈-<<=---Z ， {|1}U B x x =>ð，(){2,3}U A B =I ð.故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C ．若命题p 、q ⌝均为假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D ．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件 【答案】B【解析】选项A ：按照四个命题的关系，判断为正确；选项B ：转化为指数幂比较大小，不等式成立，故判断错误；选项C ：根据或且非的真假关系，判断为正确；选项D ：根据充分必要条件判断方法，为正确. 【详解】选项A: 命题“若2430x x -+=，则3x =”的 逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，故正确；选项B: (0,)x ∀∈+∞， 022()()13233x x x <==，而0,323x x x >∴<，命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <” 为真，判断错误；选项C: 若命题p 、q ⌝均为假命题， 则命题p ⌝、q 均为真命题， 故命题p q ⌝∧为真命题，判断正确； 选项D: ()f x 是定义在R 上的函数， 若“()f x 是奇函数”则“(0)0f =”正确； 而“(0)0f =”，()f x 不一定是奇函数， 如2()f x x =，选项D 判断正确. 故选:B 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到四种命题的关系，全称命题的真假判定，或且非复合命题的真假关系，以及充分必要条件的判断，属于基础题.3．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【解析】先比较,,a b c 的大小关系，再根据()xx f x e e -=-单调性，比较函数值的大小，即可求解. 【详解】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D . 【点睛】本题考查了指数幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，则n =（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】根据等差数列的性质，求出1n a a +，再由前n 项和公式，即可求解. 【详解】∵123422a a a a +++=，4123154n n n n n n S S a a a a -----=+++= ∴14()176n a a +=，∴144n a a += ∴由1()2n n n a a S +=得443302n ⨯=，∴15n =. 故选:B . 【点睛】本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 5．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ，故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。

AB =C ．{C ．第三象限cB ．a c b <<C ．c a b <<．已知非零向量,a b 满足：2||7||2||a b a b ==−,则a 与b 的夹角为2π C ．3π7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +−=，则ABC 的面积为 A ．1B ．3C ．2D ．238．函数2cos ()x xx xf x e e −=−的图象大致是A ．B ．C ．D ．9．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()23()()g x f x f x '=+在,[]0x π∈内的单调递增区间是 A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知在锐角ABC 中，3A π=，||2CA CB −=,则CA CB ⋅的取值范围是A ．1,4⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,04⎡⎫−⎪⎢⎣⎭C ．(0,)+∞D ．(0,12)11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()||f x f x =，()()2f x f x =+，且当1[]0,x ∈时，()2xf x =，则函数()()()2log 1g x f x x =−+的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．412．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112n n S a =−，设12n n T a a a =，1n n nb T =，则33n n a b +的最小值为 A ．23B ．92C ．3322+D ．316二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 2f x x x =−在点()()11f ,处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________.Sn++的最大值及取最大值时n位于C，B两点之间，且时，求APC的面积的面积的最大值．21．已知函数()2ln 4f x x ax x =+−存在两个极值点12,x x ，且12x x <，（1）求实数a 的取值范围；（2）若21x >，求1()f x 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为323x ty t⎧=+⎪⎨=−−⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程： （2）若射线(0)3πθαα=<<与直线l 交于点A ，与曲线C 交于O ，B 两点，求OA OB ⋅的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()221f x x x =−++． （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x R ∈，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求a b +的最小值．2020年普通高等学校招生全国统一考试11月调研测试卷 理科数学参考答案一、选择题1～6BCDBDA………7～12BACDBC 第7题：1sin cos sin sin sin sin()2A CBC B A C +===+ 1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴++=+，解得1cos 2A =，即3A π=，2BA c ==又锐角ABC 中，cos CA CB ab ⋅=由14b <<可得题：由()(f x f x =+()(f x f =当,1[1x ∈−即得()f x 一个周期内的图像，()g x 的零点个数即为(6πα∈−sin(4α∴+sin 4sin α=12n S n ++=时取到最大值．4π，AC ∴APCS=）由题知COP ∠12AOCPOB POCSSSr ++=131sin cos sin 222θθ⎛++ ⎝1680a a =−⎧⎨>⎩2121x x x −−，………………29≤解得2x ≤时，49x +≤解得9≤解得3−≤综上，不等式解集为[33]−,；………………5时()04f =。

湖北省咸宁市2020届高三上学期重点高中11月联考数学试卷（理科）1. 设集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】本题选择A选项.2. 若复数满足，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.3. 等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，本题选择C选项.4. 已知：“函数在上是增函数”，：“”，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B..................反之，能得到函数在上是增函数.即是的必要不充分条件.本题选择B选项.5. 在中，角，，所对的边长分别为，，，若，，，则=（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】由余弦定理可得：.即.解得：.故选C.6. 若函数，，则（）A. 曲线向右平移个单位长度后得到曲线B. 曲线向左平移个单位长度后得到曲线C. 曲线向右平移个单位长度后得到曲线D. 曲线向左平移个单位长度后得到曲线【答案】B【解析】，即，曲线向左平移个单位长度后的解析式为：本题选择B选项.7. 已知函数则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，得，当时，，由上知，.本题选择A选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．8. 如图，在中，点为的中点，点在上，，点在上，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】D9. 已知，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题选择C选项.10. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，且时，，，则=（）A. 1B. -1C.D.【答案】D【解析】，由奇函数知则.本题选择D选项.点睛：关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．11. 若存在两个正实数，，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则正实数的最小值为（）A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】，设，则，令，当时，当时，最小值为当时，本题选择D选项.12. 在锐角中，角，，对应的边分别是、、，向量，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为△ABC是锐角三角形，所以由正弦定理，可得：本题选择B选项.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．13. 若，则=__________．【答案】-1【解析】，据此可得：.14. 已知两个单位向量，的夹角为，，，则=__________．【答案】【解析】15. 已知定义在上的可导函数满足，不等式的解集为，则=__________．【答案】3【解析】令，故函数在R上单调递减，不等式可化为16. 已知数列的前项和为，且，，则满足的最小的值为__________．【答案】9【解析】，由对成立，知是递增的，显然的最小值是9.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．17. 计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】⑴解：原式=………………………………2分==………………………………6分（2）解：原式=………………………………9分=………………………………13分18. 在中，，，是角，，所对的边，.（1）求角；（2）若，且的面积是，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，可得展开可得；（2），得，由余弦定理得，则，可得试题解析：(1)在中，，那么由，可得，∴，∴，∴在中，．(2)由(1)知，且，得，由余弦定理得，那么，，则，可得．19. 已知数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由递推公式可得：是公差为2的等差数列，据此有：.（2）结合通项公式裂项有：，据此可得.试题解析：（1）由可得，又由，∴是公差为2的等差数列，又，∴，∴.（2），.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．20. 已知的最小正周期为.（1）若，求；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式有：，则，结合三角函数的性质可得，，则.(2)由题意可得，则，据此可得.试题解析：（1），由得，所以，当时，有，所以，所以，解得.（2）因为，所以，所以，，所以.21. 设函数（且）是定义域为的奇函数.（1）求的值；（2）若，不等式对恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）；（2）2.【解析】试题分析：(1)利用奇函数的性质解方程可得；(2)结合(1)的结论可得，则函数是上的减函数，脱去f符号求解不等式可得实数的最小值是2.试题解析：（1）∵是定义在上的奇函数，∴，解得.（2）由（1）知，因为，所以，解得或（舍去），故，则易知函数是上的减函数，∵，∴，，即在上恒成立，则，即实数的最小值是2.22. 已知函数.（1）当时，①求曲线在点处的切线方程；②求函数在区间上的值域.（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）①②；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意可得函数的解析式，①利用导数研究切线方程可得曲线在点处的切线方程为.②利用导函数研究函数的单调性可得在区间上的值域为.(2)原问题等价于.构造函数，分类讨论可得实数的取值范围是.试题解析：（1）当时，，①，由，，则曲线在点处的切线方程为，整理为：.②令，有，当时，，当时，得，解得：，故当时，，可得，函数在区间上单调递减，，，故函数在区间上的值域为.（2）由，有，故可化为.整理得：.即函数在区间为增函数，，，故当时，，即，①当时，；②当时，整理为：，令，有，当，，，有，当时，函数单调递减，故，故有：，可得.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

2020届广东省百校高三11月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}31A x x =-<≤，集合{B x y ==，则A B =I （ ）A ．()2,1-B ．(]3,2--C ．[]2,1-D ．(]3,1-【答案】C【解析】由题意得集合{}2B x x =≥-，计算即可得解. 【详解】由题意得集合{}31A x x =-<≤，集合{}2B x x =≥-，∴{}[]212,1A B x x ⋂=-≤≤=-.故选：C. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题. 2．在复平面内，复数234ii i+-（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】转化条件得4532342525i i i i +=-+-，根据复数的几何意义即可得解. 【详解】由题意()()()3443453222343434252525i i i i i i i i i i i +-++=+=+=-+--+， 其在复平面内对应点的坐标为453,2525⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算与复数的几何意义，属于基础题.3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3726a a +=，770S =，则15a =（ ） A ．46 B ．43C ．40D ．37【答案】B【解析】根据等差数列的性质与前n 项和公式，结合题意可得513a =、410a =，求出公差后即可得解. 【详解】根据等差数列的性质537226a a a =+=，∴513a =，Q ()177477702a a S a +===，∴410a =， ∴543d a a =-=，∴1551043a a d =+=.故选:B. 【点睛】本题考查了等差数列的性质与前n 项和公式的应用，属于基础题. 4．已知x 是第二象限角，3sin 85x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则11cos 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】根据平方关系得4cos 85x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令11cos cos 2483x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可得解. 【详解】Q x 是第二象限角，3sin 085x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，∴8x π+是第二象限角，∴4cos 85x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭， ∴11cos cos 2483x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4134cos cos sin sin 8383525210x x ππππ+⎛⎫⎛⎫=+-+=-⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查了平方关系以及两角和余弦公式的应用，属于基础题.5．函数()ln f x a x x =+的图象在点()1,1处的切线与直线y x =-平行，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D【解析】由题意得()11f '=-，求出导函数后代入即可得解. 【详解】由()ln f x a x x =+得()1af x x'=+， 由题意得()11f '=-，即11a +=-，所以2a =-. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，属于基础题.6．在古代典籍《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“——”表示阴爻，有放回地取出阳爻和阴爻六次合成一卦，恰好出现四个阳爻和两个阴爻的概率是（ ） A ．164B ．516C ．1564D ．332【答案】C【解析】由题意，计算出共有64种情况，再计算出符合要求的情况有4262C C 种，计算即可得解. 【详解】有放回地取阳爻和阴爻六次，有6264=种情况，恰好出现四个阳爻和两个阴爻有426215C C =种情况，所以恰好出现四个阳爻和两个阴爻的概率1564P =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算和组合数的应用，属于基础题. 7．函数()21f x x x=+的大致图象是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】通过函数()f x 的奇偶性、单调性以及当x →+∞时()f x 的值，逐个排除错误选项即可得解. 【详解】Q ()21f x x x-=-+，∴()f x 是非奇非偶函数，故排除选项D ； Q ()10f -=，()7204f -=-<，故排除选项A ；又易知当x →+∞时，()f x →+∞，故排除选项C. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，属于基础题. 8．若函数()cos()0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12得到函数()g x 的图象，则()g x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．12-C 3D ．3 【答案】A【解析】由图像可得()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再求出()2cos 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用整体法即可得解. 【详解】 由图象知2A =，2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， ∴2T ππω==，得2ω=，∴()()2cos 2f x x ϕ=+，又 图象过点,212π⎛⎫⎪⎝⎭，∴2cos 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭即2212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，∴6πϕ=-，∴()2cos 26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴()2cos 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得24,633x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴()12g x -≤≤.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数cos()y A x ωϕ=+表达式的确定、图像变换以及值域的求解，属于中档题.9．设直线l 经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个上顶点A 和右焦点2F ，且与椭圆交于另一点B ，若O 为坐标原点，AOB V的面积为7，且22AF =，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．2214x y +=B ．22148413x y += C ．2213x y +=D ．2214x y +=或22148413x y += 【答案】D【解析】由22AF =可得2a =；用直线l 的方程1x yc b+=与椭圆方程联立，可得点B 横坐标为2222a c a c +，利用AOB V面积可得2447bc c =+，结合222b c a +=即可得解. 【详解】由22AF =2，即2a =. 易知直线l 的方程为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=.联立222201bx cy bc x ya b +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得222220a c x x a c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解得0x =或2222a c x a c =+.则点B 横坐标为2222a ca c+. 则222212443247AOBa c bc Sb ac c =⋅==++V ①， 又 2224b c a +==②，结合①②，解得2213b c ⎧=⎨=⎩，或224813413b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以椭圆的标准方程是2214x y +=或22148413x y +=.故选：D. 【点睛】本题考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力和方程思想，属于中档题.10．蹴鞠起源于春秋战国，是现代足球的前身.到了唐代，制作的蹴鞠已接近于现代足球，做法是：用八片鞣制好的尖皮缝制成“圆形”的球壳，在球壳内放一个动物膀胱，“嘘气闭而吹之”，成为充气的球.如图所示，将八个全等的正三角形缝制成一个空间几何体，在几何体内放一个气球，往气球内充气使几何体膨胀，当几何体膨胀成球体（顶点位置不变）且恰好是原几何体外接球时，测得球的体积是6π，则正三角形的边长为（ ）A 3B 2C 3D ．22【答案】A【解析】由题意可知缝制成的空间几何体是正八面体，设边长为a ，求得外接球的半径2a，列出方程即可得解.【详解】图中的八个全等的正三角形缝制成的空间几何体是正八面体，如图：设正三角形的边长为a ，正八面体的外接球的半径为PO ，易知2222a PO PC OC =-=. 依题意342632a ππ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得333a =，所以3a =故选：A. 【点睛】本题考查了立体图形外接球半径的求解以及球的体积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.11．已知函数()223,0log ,0x x a x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，若函数()()()265g x f x f x =-+恰有三个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．[)1,5- B ．(]1,5C ．[)5,1--D ．()1,+∞【答案】B【解析】画出()f x 的图像，转化条件得方程()1f x =有一个解，()5f x =有两个解,数形结合即可得解. 【详解】作出()f x 的图象如图：若函数()()()265g x fx f x =-+恰有三个零点，等价为方程()1f x =有一个解，()5f x =有两个解, 故15a <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数零点问题，考查了数形结合和转化化归思想，属于中档题.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 是双曲线C 上的两点，且114BF F A=u u u r u u u r ，29cos 10ABF ∠=，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．2153y x =±B ．153y x =±C ．2155y x =±D ．15 5y x =±【答案】C【解析】设1AF x =，14BF x =，根据双曲线的性质结合题意可得32ax =，再在12F BF V 中使用余弦定理即可得22175a c =，即可求出ba，即可得解.【详解】设1AF x =，14BF x =，则5AB x =，22AF a x =+，224BF a x =+， 在2ABF V 中，由余弦定理得：()()()()22292524252410a x x a x x a x +=++-⨯+⨯， 解得32ax =，∴16BF a =，28BF a =， 在12F BF V 中，()()()222968268210a a a a c +-⨯⨯⨯=，得22175a c =， ∴222215b c a a a -==2155y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和余弦定理的应用，属于中档题.二、填空题13．已知向量()2,m y =u r ，()2,1n =-r，()2m n n +⊥u r r r ，则m =u r ________.【答案】52【解析】先表示出2m n +u r r，由题意得()20m n n +⋅=u r r r ，求出y 后即可得解.【详解】由题知()22,21m n y +=+u r r，Q ()2m n n +⊥u r r r ，∴()()2222110m n n y +⋅=-⨯++⨯=u r r r ，解得32y =，∴52m ==. 故答案为：52. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示、数量积的应用以及模的计算，属于基础题.14．若x ，y 满足约束条件32110207210x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.【答案】9【解析】根据题意画出可行域，化目标函数为斜截式，数形结合即可求得最优解的点，求出点的坐标即可得解. 【详解】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0:20l x y +=，平移直线0l ，由图可知，当直线:2l z x y =+过A 时，z 取最大值，由321107210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得()1,4A ，所以max 1249z =+⨯=.故答案为：9. 【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的思想，属于基础题.15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱11A D ，11A B ，CD 的中点，则平面MNP 与正方形11BCC B 相交形成的线段的长度为________.2【解析】由面面平行的性质结合题意，作出平面MNP 与正方形11BCC B 的交线，求出长度即可得解. 【详解】如图，取BC 得中点Q ，1BB 的中点H ，易知//PQ MN ，//QH NP ， 所以点Q ∈面MNP ，点H ∈面MNP ，故平面MNP 与正方形11BCC B 的交线是QH ，而22112QH =+=2【点睛】本题考查了面面平行性质的应用和面面相交的性质，属于基础题.16．在各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，2211230n n n n a a a a ++--=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若对*n N ∈，不等式()227n n a S λ-≤恒成立，则实数λ的取值范围为________. 【答案】(],17-∞【解析】转化条件得13-=n n a 、3122n n S =-、127313nn λ-≤+-对*n N ∈恒成立，利用基本不等式求出12733nn -+的最小值后即可得解. 【详解】Q 2211230n n n n a a a a ++--=，∴()()1130n n n n a a a a +++-=， Q 0n a >，∴13n n a a +=，又 11a =，∴数列{}n a 是首项为1公比为3的等比数列，∴13-=n n a ，13311322n nn S -==--， ∴不等式()227n n a S λ-≤即127272313n n n n S a λ-≤+=+-对*n N ∈恒成立， Q 112727331833n nn n --+≥⨯=，当且仅当12733n n -=，即2n =时，1min 273183n n -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴17λ≤，∴实λ的取值范围为(],17-∞.故答案为：(],17-∞. 【点睛】本题考查了等比数列通项和前n 项和的求解、基本不等式的应用以及恒成立问题的解决，考查了转化化归思想，属于中档题.三、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B 为锐角且满足cos cos sin b A a B C +=.（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）4B π=；（21.【解析】（1）题目条件可转化为()sin sin A B B C +=，可得sin B ，即可得解.（2）利用余弦定理可得22222a cb ac +-=，计算即可求出c ，利用面积公式即可得解. 【详解】（1）由cos cos sin b A a B C +=，结合正弦定理得：sin cos cos sin sin B A B A B C +=，即()sin sin A B B C +=，又在ABC V 中，()sin sin 0A B C +=≠，∴sin B = 而B 为锐角，∴4B π=.（2）Q 2a =，b =，4B π=，∴222246cos 24a c b c B ac c +-+-===即220c --=，解得2c =.故ABC V 的面积为)11sin 221222ac B =⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，22AD BC AB ==，O 是AD 的中点.（1）在线段PA 上找一点E ，使得//BE 平面PCD ，并证明；（2）在（1）的条件下，若2PA PD AD ===，求平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）E 是线段P A 的中点，证明详见解析；（2）217. 【解析】（1）E 是线段PA 的中点；连接BE ，OE ，OB ，证明平面//OBE 平面PCD 后即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出O 、B 、P 、C 、E 的坐标后，分别求出平面OBE的一个法向量m u r 与平面POC 的一个法向量n r，利用cos cos ,m n θ=u r r 即可得解.【详解】（1）E 是线段PA 的中点， 证明：连接BE ，OE ，OB ，Q O 是AD 的中点，∴//OE PD ，又OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴//OE 平面PCD ，又Q 底面ABCD 是直角梯形，22AD BC AB ==，∴//OB CD ， 又OB ⊂/平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴//OB 平面PCD ，Q OE ⊂平面OBE ，OB ⊂平面OBE ，OE OB O =I ，∴平面//OBE 平面PCD ，又BE ⊂平面OBE ，∴//BE 平面PCD .（2）Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，∴PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，且1OC AB ==，3PO =以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -，得()0,0,0O ，()1,1,0B -，(3P ，()1,0,0C ，130,2E ⎛- ⎝⎭，得130,,22OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()1,1,0OB =-u u ur ，设(),,m x y z =u r是平面OBE 的一个法向量，则m OE m OB ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，得300y z x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取3x =得)3,3,1m =u r，又易知()0,1,0n =r是平面POC 的一个法向量，设平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角为θ，则321cos cos ,771m n m n m nθ⋅====⋅⋅u r r u r r u r r ，即平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角的余弦值为217. 【点睛】本题考查了线面平行的判定和空间向量的应用，考查了计算能力，属于中档题. 19．某超市新上一种瓶装洗发液，为了打响知名度，举行为期六天的低价促销活动，随着活动的有效开展，第六天该超市对前五天中销售的洗发液进行统计，y 表示第x 天销售洗发液的瓶数，得到统计表格如下： x 1 2 3 4 5 y 46101520（1）若y 与x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，并预测第六天销售该洗发液的瓶数（按四舍五入取到整数）；（2）超市打算第六天加大活动力度，购买洗发液可参加抽奖，中奖者可领取奖金20元，中奖概率为15，已知甲、乙两名顾客抽奖中奖与否相互独立，求甲、乙所获得奖金之和X 的分布列及数学期望.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）ˆ 4.1 1.3y x =-；23；（2）详见解析.【解析】（1）把数据代入公式分别求得ˆ 4.1b=，ˆ 1.3a =-即可求得线性回归方程；把6x =代入线性回归方程即可预测第六天销售该洗发液的瓶数；（2）易知X 的可能取值为0、20、40，根据每个金额对应的中奖情况分别求出对应的概率后列出分布列，进而求出期望. 【详解】 （1）依题意：()11234535x =++++=， ()146101520115y =++++=， 所以()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑=()()()()()()()()()()()()22221341123611431511532011 4.113234353--+--+--+--=-+-+-+-，ˆ11 4.13 1.3a=-⨯=-， 故所求线性回归方程为ˆ 4.1 1.3yx =-. 将6x =代入ˆ 4.1 1.3yx =-中，得ˆ 4.16 1.323.323y =⨯-=≈， 故预测第六天销售该洗发液的瓶数为23. （2）X 的可能取值为0，20，40.()441605525P X ==⨯=；()1482025525P X ==⨯⨯=；()111405525P X ==⨯=.分布列为所以X 的数学期望()1681020*********E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了离散型随机变量的分布列及其期望，属于中档题.20．已知点C 是平面直角坐标系中的一个动点，过点C 且与y 轴垂直的直线与直线4x =-交于点M ，若向量OC u u u r 与向量OM u u u u r垂直，其中O 为坐标原点.（1）求点C 的轨迹方程E ；（2）过曲线E 的焦点作互相垂直的两条直线分别交曲线E 于A ，B ，P ，Q 四点，求四边形APBQ 的面积的最小值. 【答案】（1）24y x =；（2）32.【解析】（1）设点(),C x y ，转化条件得240OC OM y x ⋅=-=u u u r u u u u r ，即可得解；（2）设直线():10AB x my m =+≠，直线1:1PQ x y m=-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，联立方程组可得244AB m =+，244PQ m=+，则()22144442APBQ S m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭四边形，求出最小值即可得解. 【详解】（1）设点(),C x y .由题意，点()4,M y -，则(),OC x y =u u u r ，()4,OM y =-u u u u r. 因为向量OC u u u r 与向量OM u u u u r垂直，所以240OC OM y x ⋅=-=u u u r u u u u r.即24y x =.故点C 的轨迹方程是24y x =.（2）由（1）知，抛物线E 的焦点是()1,0， 设直线():10AB x my m =+≠，则直线1:1PQ x y m=-+. 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-. 所以2121222244AB x x my my m =++=+++=+. 设点()33,P x y ，()44,Q x y ，同理可得244PQ m=+. 所以()2211444422APBQ S AB PQ m m ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭四边形2281681632m m =++≥+=，当且仅当2288m m =，即1m =±时等号成立.即四边形APBQ 的面积的最小值为32. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求解、直线和抛物线的位置关系以及基本不等式的应用，属于中档题.21．已知函数()()()121e12x f x x a x a a R -=-+-+∈. （1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）当函数()f x 有两个极值点1x ，2x 时，求证：()()123f x f x +>. 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）对()f x 求导得()f x '，令()()g x f x '=，再对()g x 求导，根据a 的取值范围确定()min g x 的正负，即可得解；（2）不妨设121x x <<，由题意()221122222x x g x e e x ---=-+-，对函数()()11221x x h x e e x x --=-+->求导后可得()0h x <即()()212g x g x -<，由()g x 、()f x 单调性可得()()122f x f x >-，再令()()112231x x k x e e x x x --=+-+->，求导后可得()0k x >，即可得证.【详解】 （1）Q ()()12112x f x e x a x a -=-+-+，∴()11x f x e x a -'=-+-. 设()11x g x ex a -=-+-，则()11x g x e -'=-.令()110x g x e -'=-=，解得1x =.∴当(),1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>. ∴()()min 11g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点； 当1a >时，()110g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞.当1a >时，()()11x g x f x e x a -'==-+-有两个零点，即函数()f x 有两个极值点. 综上，当1a ≤时，函数()f x 的极值点的个数为0；当1a >时，函数()f x 的极值点的个数为2.（2）由（1）知，1x 、2x 为()0g x =的两个实数根，不妨设121x x <<，()g x 在(),1-∞上单调递减.下面先证1221x x <-<，只需证()()2120g x g x -<=.Q ()2122e 10x g x x a -=-+-=，得2121x a ex -=-+，∴()2221112222122x x x g x e x a e e x ----=+--=-+-.设()1122xx h x ee x --=-+-，1x >，则()11120x x h x e e--'=--+<，∴()h x 在()1,+∞上单调递减， ∴()()10h x h <=，∴()()2220h x g x =-<，∴1221x x <-<. Q 函数()f x 在()1,1x 上也单调递减，∴()()122f x f x >-.∴要证()()123f x f x +>，只需证()()2223f x f x -+>，即证2211222230x x ee x x --+-+->.设函数()11223x x k x ee x x --=+-+-，()1,x ∈+∞，则()1122x x k x e e x --'=--+.设()()1122x x x k x e e x ϕ--'==--+，则()1120x x x e e ϕ--'=+->.∴()x ϕ在()1,+∞上单调递增，∴()()10x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10k x k >=.∴当()1,x ∈+∞时，2211222230x x e e x x --+-+->，∴()()2223f x f x -+>，∴()()123f x f x +>.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了转化划归思想和计算能力，属于难题.22．已知直线l的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是22cos 20ρρθ--=. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若点()2,0M ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.求MA MB AB ⋅⋅的值. 【答案】（1）直线l的普通方程为20x -=；曲线C 的直角坐标方程为()2213x y -+=；（2）. 【解析】（1）消去参数方程中的t 即可得出直线l 的普通方程；利用222x y ρ=+，cos x ρθ=即可得出曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程得12t t +=122t t =-，再把MA MB AB ⋅⋅转化为1212t t t t ⋅-即可得解.【详解】（1）消去212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩中的t ，得直线l的普通方程为20x -=；将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入曲线C 的极坐标方程，得曲线C 的直角坐标方程为()2213x y -+=.（2）将212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()2213x y -+=，得220t +-=，设1t ，2t是上述方程的两根，则12t t +=122t t =-，1212MA MB AB t t t t ⋅⋅=⋅-==【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查了直线参数方程参数的几何意义，属于中档题.23．已知函数()1f x x =+，()()()2g x f x f x =++. （1）求不等式()23f x x ≤-的解集；（2）已知0a >，记函数()g x 的最小值为M ，求证：286Ma a +≥. 【答案】（1）1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）详见解析.【解析】（1）转化条件得32123230x x xx -≤+≤-⎧⎨-≥⎩，解不等式组即可得解；（2）根据绝对值三角不等式结合题意得2M =，再利用均值不等式即可得证. 【详解】（1）由题知，原不等式()23f x x ≤-，即123x x +≤-等价于32123230x x x x -≤+≤-⎧⎨-≥⎩，解得14x ≤， ∴不等式()23f x x ≤-的解集为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）由题知()()()()()213312g x f x f x x x x x =++=+++≥+-+=， 当且仅当31x -≤≤-时，取等号，∴2M =，∴22288826Ma a a a a a a +=+=++≥=. 当且仅当28a a =，即2a =时取等号. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用、均值不等式的应用，属于中档题.第 21 页共 21 页。

2020届重庆市高三11月调研测试题数学（理）试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2|6B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2,3,4}【答案】B【解析】根据先求出B ，再用集合交集的定义列举出集合,A B 的全部元素组成集合，即可得答案. 【详解】{}2|6B x x =<Q ，{B x x ∴=<<且{1,2,3,4}A =，因此A B =I {1,2}. 故选：B . 【点睛】本题考查集合的交集的运算，写出集合的交集时注意集合中元素的相同性，是基础题. 2．复数121ii-+在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】根据复数除法运算法则化简复数，得到对应点的坐标，从而确定象限. 【详解】()()()()121121313111222i i i i i i i i -----===--++- 对应的点的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限 本题正确选项：C 【点睛】本题考查复数的除法运算和几何意义，属于基础题.3．命题“00x ∃>，020 x e x <”的否定为（ ） A ．00x ∃>，020 x e x ≥B ．0x ∀≤，2x e x <C ．00x ∃≤，020 x e x ≥D ．0x ∀>，2x e x ≥【答案】D【解析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可. 【详解】命题“00x ∃>，020 x e x <”的否定为:0x ∀>，2x e x ≥.故选：D . 【点睛】本题主要考查的是命题及其关系，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题. 4．已知1tan()2πα-=-，则sin cos αα=（ ） A ．25-B ．25C ．45D ．25±【答案】B【解析】利用诱导公式将()tan πα-化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得. 【详解】1tan()tan 2παα-=-=-Q ，得1tan 2α=，2221sin cos tan 22sin cos 1sin cos tan 1514αααααααα====+++. 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是诱导公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题.5．设0.302a =.，3log 0.2b =，0.23c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】利用中间值0、1比较大小，即先确定三个数的正负，再将正数与1比较大小，可得出三个数的大小关系. 【详解】由0.300020.21a <=<=.，33log 0.2log 10b =<=， 0.20331c =>=，因此b a c <<. 故选：D . 【点睛】本题考查对数值和指数值大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数性质的灵活运用， 是基础题.6．已知非零向量,a b r r满足：||2||a b a b ==-r rr r ,则a r 与b r 的夹角为（ ）A ．23πB ．2π C ．3π D ．6π 【答案】A【解析】把已知数据代入向量的模长公式可得cos θ的方程，解cos θ可得夹角. 【详解】设向量,a b r r的夹角为θ，||2||a b a b ==-r rr r Q ，222,26b a a b a b ∴=⋅=-+r r r r r r ，2261cos 22a b a bθ-+==-⋅r r r r ，又[]0,θπ∈，23πθ=. 故选：A . 【点睛】本题考查向量的数量积与夹角的计算，要注意的是夹角要求共起点，同时要主要夹角的取值范围，属基础题.7．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12b c a +-=，则ABC V 的面积为（ ）A ．1 BC ．2D．【答案】B【解析】根据1cos 2a C cb +=和正弦定理可得A ，再由余弦定理和22()12b c a +-=得出bc ，即可求得ABC V 的面积. 【详解】1cos 2a C c b +=Q ，由正弦定理得：1sin cos sin sin sin()2A C C B A C +==+1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴++=+，sin 0C ≠，解得1cos 2A =，且()0,A π∈，即3A π=， 又22222cos 2312b c a bc bc A bc bc +-+=+==，4bc =， 1sin 32ABC S bc A ∆==.故选：B . 【点睛】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理的应用，以及面积公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键，是基础题.8．函数2cos ()x xx xf x e e-=-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性，排除选项，再根据102x <<，时()0f x >即可得到正确的图像. 【详解】2cos ()x x x x f x e e -=-Q ，()()22cos cos ()()x x x x x x x x f x f x e e e e-----==-=---∴， 因此函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除,C D ， 又当102x <<时，cos 0,0x xx e e ->->，()0f x ∴>，排除B . 故选：A . 【点睛】本题主要考查的是函数图像，考查利用函数的奇偶性看图形，排除法的应用，考查学生的分析问题的能力，是中档题.9．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =Q ， ()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， 令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.10．已知在锐角ABC V 中，3A π=，||2CA CB -=u u u r u u u r ,则CA CB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(0,)+∞D ．(0,12)【答案】D【解析】根据已知条件得出c ，再利用余弦定理以及三角形为锐角三角形的条件，得出b 的范围，然后利用向量数量积和余弦定理转化为b 的二次函数，即可得到CA CB ⋅u u u r u u u r的取值范围. 【详解】由题2BA c ==uu r，由余弦定理2242a b b =-+，①又锐角ABC V 中，224a b +>且224a b +>，联立①解得14b <<，2224cos 2a b CA CB ab C b b +-⋅===-u u r u u u r ，由14b <<可得2(01),2b b -=. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是余弦定理的应用，以及向量数量积的应用，考查学生分析问题，解决问题的能力以及计算能力，是中档题.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()||f x f x =，()()2f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()2xf x =，则函数()()()2log 1g x f x x =-+的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意得出奇偶性和周期性，得出当[1,1]x ∈-时的解析式，画出()f x 在R 上的图像，再画出()2log 1y x =+的图，即可得函数()g x 的零点. 【详解】由()()2f x f x =+知()f x 周期为2，()()||f x f x =Q ，()f x ∴为偶函数， 当[1,1]x ∈-时，2,01()2,10x x x f x x -⎧≤≤=⎨-≤<⎩，即得()f x 一个周期内的图象，()g x 的零点个数即为()f x 与()2log 1x +的交点个数，结合图象可知有2个交点. 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是函数零点的个数问题，利用数形结合的办法转化为判断两个函数图像交点的个数，考查指数函数的图像，对数函数的图像，是中档题. 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112n n S a =-，设12n n T a a a =L ，n n n b T =，则33n n a b 的最小值为（ ） A ．3B ．92C ．3322+D ．316【答案】C【解析】根据11,1,2,n nn S n a S S n n N *-=⎧=⎨-≥∈⎩，得出n a ，即可得出,n n T b ，从而表示出33n n a b +，再构造函数，求其最小值即可.【详解】当2,n n N *≥∈时112n n S a =-，11112n n S a --=- ，两式相减得1111122n n n a a a -=--+，即113n n a a -=又111112a S a ==-，123a =，23n na ∴=. (1)1222233n nn n n nT ++++==L，2n n b =⋅，63332n n n na +=+⋅，令,nx n N*=∈，考虑函数263()2f x x x =+，333(8)()2x f x x-'=， 所以()f x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，,nx n N*=∈Q离2近，25f =+<，31(3)56f =>，又(3)f f <，3n n a的最小值为2+故选：C . 【点睛】本题主要考查的是数列通项的求法，特别的根据11,1,2,n nn S n a S S n n N *-=⎧=⎨-≥∈⎩求通项的方法注意验证1n =的情况，同时考查的是利用导数求最值的方法，是难题.二、填空题13．曲线()2ln 2f x x x =-在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________. 【答案】16【解析】利用导数求出切线方程，即可得到切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【详解】()2ln 2f x x x =-Q ，()()'14,0f x x x x∴=->， ()'13f ∴=-，()12f =-，∴切线方程为：()231y x +=--即31y x =-+，当0x =，时1y =，当0y =，时13x =，∴三角形面积为：1111236⨯⨯=.故答案为：16.【点睛】本题主要考查的是利用导数求切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，是基础题.14．已知()2:log 12p a +<，0]1,2[q x ∃∈:，200210x ax --<，若()p q ⌝∨为假命题，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(]1,1-【解析】分别解出命题,p q 成立时的x 的取值范围，根据()p q ⌝∨为假命题即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()2:log 12p a +<Q ，014a ∴<+<，即13a -<<，因此:1p a ⌝≥-或3a ≥，0]1,2[q x ∃∈:，200210x ax --<，即0[1,2]x ∃∈，0012a x x >-， 因此[]000min 12,1,2a x x x ⎛⎫>-∈ ⎪⎝⎭，易知[]00012,1,2y x x x =-∈上单调递增， 1a ∴>，Q ()p q ⌝∨为假命题，p ∴⌝假，q 假，11a ∴-<≤.故答案为：(]1,1-. 【点睛】本题主要考查的是复合命题的真假，本题解题的关键是正确求出命题,p q 成立时的x 的取值范围，考查学生的计算能力，是中档题.15．数列473nn ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭中的最大项为____________. 【答案】527【解析】利用数列中最大项比它的前一项和后一项都大或相等，列出不等式可得出n 的值即可求出最大项.【详解】 令473n nn a -=，设n a 是数列{}n a 中的最大项，则 1111474393344741113334n n n n n n n n n n n a a a a n n n ++--⎧--⎧⎧≥≥⎪⎪⎪≥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≥--⎪⎪⎪≥≤⎪⎪⎪⎩⎩⎩且n *∈N ，3n ∴=，最大项为3527a =. 故答案为：527. 【点睛】本题主要考查的是数列的通项的应用，找数列中最大的项的方法有（1）利用图像；（2）利用单调性；（3）利用作差法；（4）利用不等式组11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，（5）利用等差等比数列的有关性质等，是中档题.16．若函数(),01,(1),0.x e x f x af x x ⎧<≤=⎨+≤⎩是增函数，则实数a 的取值范围是____________.【答案】 10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】求出()1(]x n n n N *∈--+∈,时的解析式，再利用单调性列出关于a 的不等式可得实数a 的取值范围. 【详解】当(1,0]x ∈-时，(]10,1x +∈，()1x f x ae+∴=，当2(]x ∈-,-1时，(]11,0x +∈-，()22x f x a e+∴=， 当3(]x ∈-,-2时，(]12,1x +∈--，()33x f x a e+∴=，L∴ 当()1(]x n n n N *∈--+∈,时，()n x n f x a e +=，要使()f x 单调递增，只需0n a >且()11()1ee n n n n n nf n f n a a +-++-+-≤-+≤⇒，即0a >，且1a e≤， 故10a e<≤.故答案为： 10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查的是分段函数的图像和性质，分段函数的单调性，本题的关键是求出对应区间的解析式，考查学生分析问题的能力以及计算能力，是难题.三、解答题17．已知函数()()21()xf x x e ax a R =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减；（2）1(,)2+∞. 【解析】(1)将1a =代入，求出函数解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间； (2)求导后对a 讨论，判定单调性结合0x =是()f x 的极大值点，可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()()21x f x x e x =--，()()2x f x x e '=-，()'0f x >得0x <或ln 2x > ，()'0f x <得0ln 2x <<，()f x ∴在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减； （2）()()2xf x x e a '=-，当0a ≤时，20x e a ->，故()00f x x '>⇒>，()f x ∴在()0-∞，上单减， 在上(0,)+∞单增，0x =为极小值点，不合题意； 当0a >时，由()0f x '=得0x =或ln2x a =，0x =Q 是极大值点， ln20a ∴>，即12a >， 故1(,)2a ∈+∞. 【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数极大值，掌握利用导函数研究函数的性质是解题的关键，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.18．已知函数()()(sin 0,0,()f x x ωϕωϕπ=+>∈满足：()()6f x f x π-=，()06f π-=，且()f x 在(,)612ππ-上单调.（1）求()f x 的解析式； （2）若(,)612ππα∈-，1()3f α=，求sin 4α.【答案】（1）()sin(2)3f x x π=+；（2）.【解析】(1)根据题意知对称轴以及相邻的平衡位置得出周期即可得ω，再由对称轴得出ϕ，可得解析式. (2)由题意知1sin(2)33πα+=，利用二倍角得出2cos(4)3πα+，根据角的范围得出2sin(4)3πα∴+，再利用224433ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即可求得sin 4α. 【详解】 （1）由()()6f x f x π-=知12x π=是对称轴，又()06f π-=，且()f x 在(,)612ππ-上单调，1()41264T πππ∴=--=，即2T ππω==， 2ω∴=，由12x π=是对称轴得，2,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，又(0,)ϕπ∈，故3πϕ=，()sin(2)3f x x π∴=+；（2）1()sin(2)33f παα=+=， 227cos(4)12sin (2)339ππαα∴+=-+= ， (,)612ππα∈-Q ，24(0,)3παπ∴+∈2sin(4)3πα∴+=，2222sin 4sin 4cos cos 4sin 333318ππππααα⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的应用，余弦的二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系是的应用，两角差的正弦公式的应用，根据三角函数的对称性和单调性是解决本题的关键，是中档题.19．已知等比数列{}n a 单调递减，52a =，且35a a ，372a a ，481a a -成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求23123n S S SS n++++L 的最大值及取最大值时n 的值.【答案】（1）62nn a -=；（2）552，当10n =或11时取到最大值. 【解析】（1）根据已知条件列出关于1,a q 的关系式，解方程即可，再利用等比数列通项公式即可得；（2）求出n b ，再求出n S 并表示出nS n，然后利用等差数列前n 项和公式表示出23123n S S SS n++++L ，利用二次函数思想求其最大值及取最大值时n 的值. 【详解】（1）由题知35483714a a a a a a +-=，即22246514a a a +-=，即2222555214a a q a q+-=， 即224417q q +=，解得11(22q q ==-舍去）， 51432a a q∴==， 故1612n nn a a q --==；（2）62log 26nn b n -==-，可知{}n b 为等差数列，∴(56)(11)22n n n n n S +--==，故112n S n n -=，可知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 223211(1011)112121(21)232244216n S S S n n S n n n n +-⎛⎫∴++++=⋅=-=--+⎪⎝⎭L∴当10n =或11时取到最大值552. 【点睛】本题主要考查的是等比数列的通项公式求法，求基本量法，等差数列的前n 项和公式，以及利用二次函数求最值，注意*n N ∈，是基础题.20．如图，半圆O 的直径2AB =，点C ，P 均在半圆周上运动，点P 位于C ，B 两点之间，且6CAP π∠=.（1）当12PAB π∠=时，求APC △的面积.（2）求四边形ABPC 的面积的最大值. 【答案】（1）314；（2）334. 【解析】（1）根据已知条件求出,AC AP ，再利用面积公式即可； （2）将四边形拆成三个三角形，将面积转化为三角函数求再求最值. 【详解】（1）由题知4CAB π∠=，cos 2AC AB CAB ∴=∠=62cos2cos 2cos cos 2sin sin 123434342AP AB πππππππ⎛⎫==-=+=⎪⎝⎭， 131sin 26APC S AC AP π+∴=⋅⋅=V ； （2）由题知6CAP π∠=，根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可得3COP π∠=，设半径1r =，AOC θ∠=，则23POB πθ∠=-， 212sin sin sin 233ABPC AOC POB POC S S S S r ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦V V V ，13133333sin sin 226πθθθθ⎛⎛⎫=++=++≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭当3AOC πθ∠==时等号成立.【点睛】本题主要考查的是解三角形的应用，三角形面积公式的应用，以及两角差的正弦公式的应用，正弦函数图像和性质的应用，是中档题.21．已知函数()2ln 4f x x ax x =+-存在两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围； （2）若21>x ，求1()f x 的取值范围.【答案】（1）(0,2)；（2）7(ln 41,ln 3)6----.【解析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值的应用以及二次函数的性质得到关于a 的不等式组解出即可.（2）根据题意和韦达定理，得出1x 的取值范围，同时把a 用1x 表示，构造函数，利用导数判定单调性后求其值域即可得1()f x 的取值范围. 【详解】（1）21241()24ax x f x ax x x-+'=+-=，∴方程22410ax x -+=有两个正根，即1680(0,2)0a a a =->⎧⇒∈⎨>⎩V ； （2）由题如，122x x a +=，1212x x a=， 故12124 x x x x =+，即21241x x x =-，由21>x 得2122111(,)141434x x x x ==∈--，由2112410ax x -+=得121412x a x -=， ∴()2111111121411ln 4ln 222x f x x x x x x x -=+⋅-=--， 令1()ln 22g x x x =--，11(,)43x ∈，1()20g x x '=->，∴()g x 单增，∴11()()()43g g x g <<， ∴11117()ln 2(ln 41,ln 3)26f x x x =--∈----. 【点睛】本题主要考查的是导数的应用，利用导函数研究函数的值域，一元二次方程在给定区间上解得出参数的该范围，以及构造函数求值域，考查转化思想以及计算能力，是难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=--⎪⎩（t 为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程： （2）若射线(0)3πθαα=<<与直线l 交于点A ，与曲线C 交于O ，B 两点，求OA OB⋅的取值范围.【答案】（1）1y =+， 2220x y x +-=；（2）33. 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）设()(),,,A B A B ραρα，则A ρ=2 B cos ρα=，由此能得出OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）Q 直线l的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得，直线:1l y =+，又Q 曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，且222,cos x y x ρρθ=+=，∴曲线22:20C x y x +-=；（2）直线l的极坐标方程为ρ=由题知A ρ=2 B cos ρα=，∴||||A B OA OB ρρ⋅=== ，∵03a π<<，||||OA OB ∴⋅∈. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，同角三角函数基本关系式的应用，正切函数图像和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.23．已知函数()221f x x x =-++. （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求+a b 的最小值. 【答案】（1）[3,3]-；（2）7.【解析】（1）利用零点分段去绝对值，即可求解不等式()9f x ≤的解集；（2）根据题意可知a x b +是偶函数且0x =时取最小值b ，可得b 的范围，再当2x ≥时得到a 的范围，可得出,a b 各自的最小值，再验证即可. 【详解】（1）3,2()4,123,1x x f x x x x x ⎧⎪=+-⎨⎪--⎩…剟„， ∴当2x ≥时，39x ≤解得23x ≤≤， 当–12x ≤≤时，49x +≤解得12x -≤≤， 当–1x ≤时，39x -≤解得31x -≤≤-， 综上，不等式解集为[3,3]-；（2）由题知，当0x =时()04f b =≤，当2x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立，则3a ≥，而当3a =，4b =时，()22122234f x x x x x x =-++≤+++≤+， 故+a b 的最小值为7. 【点睛】本题主要考查的是绝对值不等式的解法以及恒成立的问题，分类讨论思想的应用，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及计算能力，是中档题.。