汕尾市2015届高三学生调研考试数学(理科)试题(含答案)精美word版

2015年第三次全国大联考统考新课标广东卷（理）-掌门1对1第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合()(){}120x x x x A =--=，则A 的子集的个数是（ ） A.2 B.3 C.7 D.82.已知i 为虚数单位，复数z a bi =+（a ，R b ∈）的实部a 记作()Re z ，则25Re 34i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭( )A.3-B.3C.4-D.4[来源:学科网]3.不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩所表示的平面区域的面积是( )A.94 B.74 C.12 D.144.若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过圆()()2212216x y -+-=的圆心，则此双曲线的离心率是( )A.2B.3C.5D.9 5.设0a >，1b >，若函数x y ae b =+的图象过点()0,2，则311a b +-的最小值是( ) A.23 B.8 C.43 D.423+6.设α、β是两个不同的平面，l 、m 是两条不同的直线，命题:p 若//l α，m α⊂，则//l m ，命题:q 若αβ⊥，l αβ= ，m l ⊥，则m β⊥，则下列为真命题的是（ ）A.p q ∨B.p q ∧C.()p q ⌝∨D.()p q ∧⌝7.在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“co s c o s a b B =A ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8.设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n q m r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m ≤<），则记()m f n r =， 如：()231f =，()382f =．下列关于该映射:m f Z →Z 的命题中，不正确的是( ) A.若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb = B.若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+C.若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+D.若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd =第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（第9～13题为必做题，每道试题考生都必须作答）9.不等式20x x +-≤的解集是 .10.设随机变量ξ服从正态分布()22,σN （0σ>），若()020.4ξP <<=，则()4ξP <= .11.执行如图所示的程序框图，若输出s 的值为32，则输入n 的最大整数是 .12.已知曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程是530x y +-=，则()()00f f '+= . 13.若等差数列{}n a 中，91011122a a a a +++=，则2012222a aa⋅⋅⋅⋅⋅⋅= .（二）选做题（第14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分．）[来源:]14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=，曲线2C 的参数方程为2x t y t =-⎧⎨=⎩(t 为参数)，则曲线1C 与2C 的交点坐标是 ．15.（几何证明选讲选做题）如图，割线C PB 经过圆心O ，1PB =OB =，OB 绕点O 逆时针旋转120到D O ，连结D P 交圆O 于点E ，则D E =.[来源:]三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分12分）已知向量2sin ,32x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,cos 2x b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x a b =⋅ ，R x ∈．（1）求函数()f x 在区间,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. （2）设3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，516617f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求23f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17.（本小题满分12分）从广东省某市高三第一次模拟考试成绩中，随机抽取了60名学生的数学成绩得到 频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计该市高三学生本次模拟考试数学成绩的平均分；（2）以上述样本的频率作为概率，从该市高三学生中有放回地抽取3人，记抽到的学生数学成 绩不低于90分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边C O ，且使平面C AO ⊥平面C BO ，C C 90∠AO =∠BO = ，1OA =，C 2OB =O =，E 是C O 的中点.（1）求O 点到平面C AB 的距离； （2）求二面角C E -AB -的正弦值.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点1,n S n n⎛⎫P + ⎪⎝⎭（n *∈N ）均在函数y x =的 图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()2212n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的n *∈N ，都有564n T <. 20.（本小题满分14分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，点3Q 1,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，过椭圆C 的右焦点的动直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若线段AB 中点的横坐标为12，求直线l 的方程； （3）若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．设弦AB 的中点为P ，试求D PAB的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数()241xf x x =+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()22g x x ax a =-+，若对于任意1R x ∈，总存在[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x ≤，求实[来源:][来源:学#科#网Z#X#X#K]数a 的取值范围.。

广东省汕尾市2015届高考数学调研试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}，则A∪B=（）A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{2，3}2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知{a n}为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（）A．40 B．45 C．50 D．554．（5分）以下四个函数y=3x，y=，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线与直线y=x+1平行，则它的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．7．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④8．（5分）G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的a，b∈G，a0b=c，则c∈G，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合A={x|x2=1}，A对于数的乘法作成一个封闭集合．以下四个结论：①集合{0}对于加法作成一个封闭集合；②集合B={x|x=2n，n为整数}，B对于数的减法作成一个封闭集合；③集合C={x|0＜x≤1}，C对于数的乘法作成一个封闭集合；④令Φ是全体大于零的实数所成的集合，RΦ对于数的乘法作成一个封闭集合；其中，正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）（一）（必做题）：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45o，△ABC的面积S=2，则c边长为，b边长为．10．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32”的值，则判断框内可以填入．11．（5分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．12．（5分）不等式|x﹣4|+|x+3|≥a恒成立，则实数a的取值范围是．13．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为θ=，则圆心到直线l的距离等于．15．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=sin（x+）．（1）求f（﹣）的值；（2）若cosθ=，θ∈（0，），求f（2θ﹣）．17．（12分）某工厂招聘工人，在一次大型的招聘中，其中1000人的笔试成绩的频率分布直方图如图所示，按厂方规定85分以上（含85分）可以直接录用．（1）下表是这次笔试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；区间[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）人数50 a 350 300 b（2）现在用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的笔试成绩进行分析，求可以直接录用的人数；（3）在（2）中抽取的40名招聘的人中，随机选取2名参加面试，记“可以直接录用的人数”为X，求X的分布列与数学期望．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：AB1∥平面A1DC；（Ⅲ）求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值．19．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足4S n=a+2a n．（1）求a1的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）求证：++…+＜2，n∈NΦ．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2．（1）求椭圆的标准方程．（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1⊥P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）e x的极值点为x=﹣和x=1．（1）当b=1时，求函数f（x）的增区间；（2）当0＜b≤2时，求函数f（x）在[﹣2b，b]上的最大值．广东省汕尾市2015届高考数学调研试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}，则A∪B=（）A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{2，3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵集合A={1，2}，B={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故选：B．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解答：解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．3．（5分）已知{a n}为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（）A．40 B．45 C．50 D．55考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a1+a10=8，由求和公式可得S10=，代值计算可得．解答：解：由等差数列的性质可得a1+a10=a3+a8=8，∴S10===40故选：A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．4．（5分）以下四个函数y=3x，y=，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义即可得到结论．解答：解：四个函数中，只有y=，y=2sinx是奇函数，故选：C点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，比较基础．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线与直线y=x+1平行，则它的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线方程，求出渐近线方程，由两直线平行的条件得到=，再由a，b，c 的关系和离心率公式，即可得到．解答：解：设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的方程为=1，渐近线方程为y=x，由于一条渐近线与直线y=x+1平行，则=，令a=2t，b=t，则c==t，则离心率e==．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．点评：本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．7．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据面面平行的性质判断．②利用面面垂直的性质判断．③利用面面垂直的判定定理判断．④利用面面平行的判定定理判断．解答：解：①根据面面平行的性质可知，若α∥β，当l⊥α时，有l⊥β，因为m⊂β，所以l⊥m成立，所以①正确．②若α⊥β，当l⊥α时，有l∥β或l⊂β，无法判断，l与m的位置关系，所以②错误．③若l∥m，当l⊥α时，则m⊥α，因为m⊂β，所以α⊥β，所以③正确．④若l⊥m，m⊂β，则l和β关系不确定，所以α∥β不一定成立，所以④错误．故选B．点评：本题主要考查空间平面平行和垂直的判定和性质，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．8．（5分）G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的a，b∈G，a0b=c，则c∈G，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合A={x|x2=1}，A对于数的乘法作成一个封闭集合．以下四个结论：①集合{0}对于加法作成一个封闭集合；②集合B={x|x=2n，n为整数}，B对于数的减法作成一个封闭集合；③集合C={x|0＜x≤1}，C对于数的乘法作成一个封闭集合；④令Φ是全体大于零的实数所成的集合，RΦ对于数的乘法作成一个封闭集合；其中，正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：命题的真假判断与应用．专题：集合；简易逻辑．分析：①由于0+0=0，可得集合{0}对于加法作成一个封闭集合；②∀2n1，2n2∈B={x|x=2n，n为整数}，（n1，n2∈Z），则2n1﹣2n2=2（n1﹣n2）∈B，即可判断出；③∀a，b∈C={x|0＜x≤1}，则0＜ab≤1，即可判断出；④∀a，b∈RΦ，则ab＞0．即可判断出．解答：解：①∵0+0=0，∴集合{0}对于加法作成一个封闭集合，正确；②∀2n1，2n2∈B={x|x=2n，n为整数}，（n1，n2∈Z），则2n1﹣2n2=2（n1﹣n2）∈B，因此对于数的减法作成一个封闭集合；③∀a，b∈C={x|0＜x≤1}，则0＜ab≤1，因此C对于数的乘法作成一个封闭集合，正确；④∀a，b∈RΦ，则ab＞0．因此RΦ对于数的乘法作成一个封闭集合．其中，正确结论的个数是4．故选：A．点评：本题考查了新定义“封闭集合”的判定与应用，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）（一）（必做题）：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45o，△ABC的面积S=2，则c边长为4，b边长为5．考点：正弦定理的应用．分析：根据三角形的面积公式可求出c的长度，再由余弦定理可求出边b的长度．解答：解：∵a=1，∠B=45o根据三角形的面积公式可得：S=×a×c×sinB=×1××c=2∴c=4根据余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=25∴b=5故答案为：4，5点评：本题主要考查三角形的面积公式和余弦定理的应用．属基础题．10．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32”的值，则判断框内可以填入k＞64，（其他答案对也可给分）．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×4×8×16×32五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为64，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×4×8×16×32”之值，以后所乘的数依次为4，8，16，32，2×4×8×16×32五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为64，此时，根据题意应该退出循环，故判断框中应填k＞64，使得k的值（64）不满足判断框中的条件，不再继续执行循环体．故答案为：k＞64（其他答案对也可给分）点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果，属于基本知识的考查．11．（5分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．（5分）不等式|x﹣4|+|x+3|≥a恒成立，则实数a的取值范围是a≤7．考点：绝对值不等式的解法．专题：选作题；不等式．分析：根据绝对值的意义，|x﹣4|+|x+3|表示数轴上的x对应点到﹣3和4对应点的距离之和，它的最小值等于7，可得答案．解答：解：|x﹣4|+|x+3|表示数轴上的x对应点到﹣3和4对应点的距离之和，它的最小值等于7，由不等式a|x﹣4|+|x+3|≥a恒成立知，a≤7，故答案为：a≤7．点评：本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求出|x﹣4|+|x+3|的最小值，是解题的关键．13．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为4．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，而∫02（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|02=8﹣4=4∴曲边梯形的面积是4，故答案为：4点评：本题考查学生利用定积分求曲边梯形的面积，会求出原函数的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为θ=，则圆心到直线l的距离等于．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程分别化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：由圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，可得ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，∴（x ﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0）．直线l的极坐标方程为θ=，可得直角坐标方程：．∴圆心到直线l的距离d==．故答案为：．点评：本题考查了把极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．15．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于5．考点：直角三角形的射影定理．专题：计算题；压轴题．分析：先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求．解答：解：AB为圆的直径，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，∴16=8×AD，∴AD=2，∴半径==5故答案为：5点评：本题主要考查了直角三角形中射影定理的应用．应熟练掌握射影定理中的公式及变形公式．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=sin（x+）．（1）求f（﹣）的值；（2）若cosθ=，θ∈（0，），求f（2θ﹣）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=﹣代入函数解析式即可．（2）根据函数解析式求得f（2θ﹣）的表达式并利用两角和公式整理，根据cosθ的值，求得sinθ的值，进而根据二倍角公式分别求得sin2θ和cos2θ的值，代入f（2θ﹣）的解析式．解答：解：（1）f（﹣）=sin（﹣+）=sin（﹣）=﹣．（2）f（2θ﹣）=sin（2θ﹣+）=sin（2θ﹣）=（sin2θ﹣cos2θ），因为cosθ=，θ∈（0，），所以sinθ=，所以sin2θ=2sinθcosθ=，cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=，所以f（2θ﹣）=（sin2θ﹣cos2θ）=（﹣）×=．点评：本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的应用．考查了学生对基础知识的灵活运用．17．（12分）某工厂招聘工人，在一次大型的招聘中，其中1000人的笔试成绩的频率分布直方图如图所示，按厂方规定85分以上（含85分）可以直接录用．（1）下表是这次笔试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；区间[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）人数50 a 350 300 b（2）现在用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的笔试成绩进行分析，求可以直接录用的人数；（3）在（2）中抽取的40名招聘的人中，随机选取2名参加面试，记“可以直接录用的人数”为X，求X的分布列与数学期望．考点：频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率、频数与样本容量的关系，求出a、b的值；（2）求出85分以上（含85分）的频数即可；（3）求出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，求出数学期望EX．解答：解：（1）根据题意，a=0.04×5×1000=200，b=0.02×5×1000=100；（2）设可以直接录用的人数为，则=，解得x=30，即可以直接录用的人数为30名；（3）根据题意，X的取值为0，1，2；∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==；∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2P∴EX=0×+1×+2×=，即X的数学期望为．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机事件的分布列与数学期望的问题，是基础题．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：AB1∥平面A1DC；（Ⅲ）求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（I）由已知中侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，由正方形的几何特征结合线面垂直的判定，易得AA1⊥平面ABC，即三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，再由点D是棱B1C1的中点，结合等腰三角形“三线合一”，及直三棱柱的几何特征，结合线面垂直的判定定理，即可得到A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）连接AC1，交A1C于点O，连接OD，由正方形的几何特征及三角形中位线的性质，可得OD∥AB1，进而结合线面平行的判定定理，我们易得，AB1∥平面A1DC；（Ⅲ）因为AB，AC，AA1两两互相垂直，故可以以A坐标原点，建立空间坐标系，求出几何体中各顶点的坐标，进而求出平面DA1C与平面A1CA的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．解答：（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱．因为A1D⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，所以A1D⊥B1C1．因为CC1∩B1C1=C1，所以A1D⊥平面BB1C1C．（Ⅱ）证明：连接AC1，交A1C于点O，连接OD，因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点，又D为B1C1中点，所以OD为△AB1C1中位线，所以AB1∥OD，因为OD⊂平面A1DC，AB1⊄平面A1DC，所以AB1∥平面A1DC．（Ⅲ）解：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A﹣xyz．设AB=1，则.，（9分）设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），则有，，x=﹣y=﹣z，取x=1，得n=（1，﹣1，﹣1）．又因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为，，因为二面角D﹣A1C﹣A是钝角，所以，二面角D﹣A1C﹣A的余弦值为．点评：本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握线面关系的判定、性质、定义及几何特征是解答线面关系判定的关键，而利用向量法求二面角的关键是建立适当的坐标系．19．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足4S n=a+2a n．（1）求a1的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）求证：++…+＜2，n∈NΦ．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）4S n=a+2a n．令n=1，可得+2a1，解出即可．（2）当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，可得a n﹣a n﹣1=2，利用等差数列的通项公式即可得出．（3）当n=1时，=1＜2成立．当n≥2时，=．利用“裂项求和”即可得出．解答：（1）解：∵4S n=a+2a n．令n=1，可得+2a1，a1＞0，解得a1=2．（2）解：当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（3）证明：当n=1时，=1＜2成立．当n≥2时，=．∴++…+=+…+＜1+++…+=2＜2．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2．（1）求椭圆的标准方程．（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1⊥P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆的标准方程．（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，由圆和椭圆的对称性，知，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，从而得到﹣（x1+1）2+=0，由此能求出存在满足条件的圆，其方程为：=．解答：解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2，∴，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，知，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥，得﹣（x1+1）2+=0，由椭圆方程得1﹣=（x1+1）2，即=0，解得或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．当时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0），由CP1⊥F1P1，得，而y1=|x1+1|=，故，圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足条件的圆，其方程为：=．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（14分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）e x的极值点为x=﹣和x=1．（1）当b=1时，求函数f（x）的增区间；（2）当0＜b≤2时，求函数f（x）在[﹣2b，b]上的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把b=1代入函数解析式，求出其导函数，由导函数的符号判断原函数的单调性；（2）求出函数f（x）的导函数，得到其零点，然后讨论零点与所给区间端点值的大小关系得到函数在所给区间上的单调性，并求得最值．解答：解：（1）当b=1时，f（x）=（x2+x+1）e x，∴f′（x）=（x2+3x+2）•e x，由f′（x）＞0，得x＞﹣1或x＜﹣2．故函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2），（﹣1，+∞）；（2）∵f（x）=（x2+bx+b）e x，∴f′（x）=[x2+（2+b）x+2b]e x=（x+2）（x+b）e x．由f′（x）=0，得x=﹣2或x=﹣b．当﹣2≤﹣2b，即0＜b≤1时，函数f（x）在（﹣2b，﹣b）上单调递减，在（﹣b，b）上单调递增．∴M=max{f（﹣2b），f（b）}，∵f（﹣2b）=（2b2+b）•e﹣2b，f（b）=（2b2+b）•e b．∴M=f（b）．当﹣2b＜﹣2＜﹣b，即1＜b＜2时，函数f（x）在（﹣2b，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣b）上单调递减，在（﹣b，b）上单调递增．∴M=max{f（﹣2），f（b）}，∵f（﹣2）=（4﹣b）•e﹣2，且（2b2+b）﹣（4﹣b）==0，∴M=f（b）．当﹣2=﹣b，即b=2时，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣2b，b）上单调递增，∴M=f（b）．综上所述：M=f（b）=（2b2+b）e b．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法及数学在转化思想方法，是压轴题．。

广东省汕尾市数学高三理数第一次质量普查调研考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·哈尔滨期中) 集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不小于7000元；②年人均食品支出不大于收入的35%．某县有40万人，调查数据如下：年人均收入/元0200040006000800010 00012 00016 000人数/万人63556753则该县（）A . 是小康县B . 达到标准①，未达到标准②，不是小康县C . 达到标准②，未达到标准①，不是小康县D . 两个标准都未达到，不是小康县4. （2分） (2017高一下·安平期末) 在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB= ，则• =（）A .B . ﹣C . 3D . ﹣35. （2分）设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、，都有f(x)f(y)=f(x+y)，若，（），则数列的前n项和Sn的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·长沙模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·平遥月考) 函数，（其中，，）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（）A .B .C .D .8. （2分）等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a2+a7+a12=15，则S13的值是（）A . 45B . 65C . 80D . 1309. （2分） (2018高二下·北京期末) 已知函数，若 x＝2 是函数 f(x)的唯一的一个极值点，则实数 k的取值范围为（）A . (－∞，e]B . [0，e]C . (－∞，e)D . [0，e)10. （2分） (2017高二下·深圳月考) 已知，是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·山东模拟) 在四面体中，，，则它的外接球的面积（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·淮南模拟) 己知与的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分）在的展开式中，x15的系数为________．14. （1分） (2015高二下·射阳期中) 一质点按规律s=2t3运动，则在t=2时的瞬时速度为________．15. （1分）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________.三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________四、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2019高一下·湖州月考) 如图，在中，点在边上，.（1）求的值；18. （5分） (2016高二上·长春期中) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= ，AB=1，M是PB的中点．（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．19. （10分） (2016高一下·湖南期中) 高一（1）班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：（1）求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（2）若要从分数在[80，100]之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在[90，100]之间的概率．20. （5分） (2019高三上·新疆月考) 已知椭圆C的方程为，为椭圆C的左右焦点，离心率为，短轴长为2。

试卷类型： A2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ）1、若集合 M x x 4 x 10 ，Nx x 4 x 10 ，则MN（ ）A ． 1,4B ．1, 4C ． 0D ．2、若复数 z i 32 i（ i 是虚数单位），则 z（）A ． 2 3 iB ． 23iC ． 32 iD ． 32 i3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ． y1 x 2B ． y1 C ． yx1xx2x2D ． yxx e4、袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为（）A ．5B ．10C ．1121 21 21D ． 15、平行于直线 2 x y 10 且与圆 x2y 25 相切的直线的方程是（ ）A ．2 xy 5 0 或 2 xy 5 0B ．2 xy5 0 或 2 xy5C ． 2 x y 5 0或 2 xy 5 0D ． 2 x y5 0或2 xy54 x5 y86、若变量x，y满足约束条件1x3，则 z 3 x 2 y 的最小值为（）0y2A．D．4B．23C．653157、已知双曲线C :x 2y25221 的离心率 e，且其右焦点为 F25, 0 ，则双曲线 Ca b4的方程为（）222222A ．x y1B ．x y1C ．x y14391616922D．x y1348、若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．）（一）必做题（ 11~13题）9、在4的展开式中， x 的系数为．x110、在等差数列a n中，若a3a4a5a6 a725 ，则 a 2 a 8．11、设 C 的内角，， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 a 3 ， sin1，2C，则 b．612、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量服从二项分布n , p，若30 ， D20 ，则p．（二）选做题（ 14、15 题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为2 sin 2 ，4点的极坐标为2 2,7，则点到直线 l 的距离为．415、（几何证明选讲选做题）如图1，已知是圆的直径，4， C是圆的切线，切点为 C ， C 1 ．过圆心作 C 的平行线，分别交 C 和 C 于点D 和点，则D．三、解答题16.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m22(sin x ,cos x ), x(0,) (,), n222(1)若 m n ，求tan x 的值；(2) 若 m 与n的夹角为，求x的值.317.（本小题满分 12 分）某工厂 36 名工人年龄数据如下表（1）用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（ 1）中样本的均值x 和方差s 2 ；（3）36 名工人中年龄在x s 和 x s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01 ％）？18.（本小题满分 14 分）如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD PC4,AB6,BC3，点E是 CD的中点，点F、G 分别在线段AB、BC上，且 AF 2FB,CG2GB .(1)证明： PE FG ；(2)求二面角 P ADC 的正切值；(3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分 14 分）设 a 1 ，函数f ( x )(1x 2)e x a(1)求 f ( x )的单调区间；(2)证明 f ( x )在(,) 上仅有一个零点；(3)若曲线 y f ( x )在点P处的切线与x轴平行，且在点M（ m,n ）处的切线与直线OP 平行，（ O是坐标原点），证明：m3 a21 . e20.（本小题满分 14 分）已知过原点的动直线l与圆C1:x 2y 2 6 x50 相交于不同的两点A、B.(1)求圆 C1的圆心坐标；(2)求线段 AB的中点 M的轨迹 C 的方程；(3) 是否存在实数k, 使得直线l:y k ( x4) 与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14 分）数列 {a n } 满足：a1 2 a2......na n n 2*.31 , nN2 n(1)求 a3的值；(2)求数列 {a n } 的前n项和T n；T n1111(3) 令b1a1, b n(1......) a n ( n2), 证明：数列 { b n } 的前n23nn 项和S n满足 S n2 2 ln n参考答案（化学部分）7.B8.C9.A 10.D11.C12.B22.BC 23.AD30.答案（1） C12H 9Br(2)AD(3)CH 2=CHCOOH BrCH 2CH2COOH BrCH 2CH 2COOCH 2CH 3(4)4 、4（5）31.答案(1) 、 2HCl(g) + 1/2O2(g)H 2O(g)+Cl2(g)△ H= △ H1+△ H2(2)①＜K(A)②见右图增大压强，平衡右移，ɑHCl 增大，相同温度下，HCl 的平衡转化率比之前实验的大。

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汕尾市2015届高三学生调研考试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 第Ⅰ部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2},{|(2)(3)0}A B x x x ==--=，则A B ⋃=（ ）A ．}2{B ．{1,2,3}C ．{1,3}D ．{2,3} 2．复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）A .第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限 3. 已知{}n a 为等差数列，且388a a +=，则10S 的值为（ ） A ．40B ．45C ．50D ．554．以下四个函数213,,1,2sin xy y y x y x x===+=中，奇函数的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线112y x =+平行，则它的离心率为（ ）A ．5B ．6C ．62 D ．526. 已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===,且(23)a b c -⊥, 则实数k =（ ）A. 92-B. 3C. 152D. 0 7. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥ ④若l m ⊥，则//αβ。

2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用整理：李炳璋一、填空题1、（潮州市2015届高三）曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为2、（揭阳市2015届高三）函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在P 处的切线方程是3、（深圳市2015届高三）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为4、（珠海市2015届高三）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()ln f x x a x =-，()1ag x x+=-（R a ∈）． （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（3）若在[]1,e （ 2.718e =⋅⋅⋅）上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．2、（佛山市2015届高三）已知函数()()ln x a f x x-=. （1） 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；（2） 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； （3） 若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).3、（广州市2015届高三）已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围;（3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-.4、（惠州市2015届高三）已知函数()(0)tf x x x x=+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）设()g t MN =，求函数()g t 的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，求m 的最大值．5、（江门市2015届高三）已知函数1)(23-+=ax x x f （R a ∈是常数）．（1）设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点) )2( , 2(2121x x f x x M ++对称； （2）是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈∀x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线)(x f y =上．）6、（揭阳市2015届高三）若实数x 、y 、m 满足||||-≤-x m y m ，则称x 比y 更接近m . （1）若23-x 比1更接近0，求x 的取值范围；（2）对任意两个正数a 、b ，试判断2()2+a b 与222+a b 哪一个更接近ab ？并说明理由； （3）当2≥a 且1≥x 时，证明：ex比+x a 更接近ln x .7、（清远市2015届高三）设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. （1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值； （2）①若b 是正实数，求使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立的b 取值范围； ②证明：不等式.)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑=．8、（汕头市2015届高三）已知函数R k k x x k x x x f ∈-+++++=]2)()[(log )(2222，（1）求函数)(x f 的定义域D （用区间表示）； （2）当2-<k 时，求函数)(x f 的单调递增区间．9、（汕尾市2015届高三）已知函数2()()x f x x bx b e =++的极值点为23x =-和1x =． （1）当1b =时，求函数()f x 的增区间；（2）当02b <≤时，求函数()f x 在[2,]b b -上的最大值．10、（韶关市2015届高三）已知函数()ln f x x a x =-，1()g x x=-，a R ∈； （1）设()()()h x f x g x =+，若()h x 在定义域内存在极值，求a 的取值范围； （2）设'()f x 是()f x 的导函数，若120x x <<，0a ≠，2121()()()f x f x f t x x -'=-12()x t x <<，求证：122x x t +<．11、（深圳市2015届高三）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ．（1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数；②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中1,2,,k n =．证明：1276n a a a +++<（*N ∈n ）．12、（珠海市2015届高三）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+． （1） 求函数()f x 的单调区间；（2）证明：m n N +∈、时，1111()[]ln()ln(1)ln(2)ln(1)m m n n m n m n m n m +++++>++-+-+．参考答案一、填空题1、3x -y -1=02、y x =-3、224、6160x y --= 二、解答题1、解：（1）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． …………………1分当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=． ………………2分 由'()0f x =，解得1x =.当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=；……..4分（2）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又22221(1)(1)[(1)]'()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+=--==．…………..5分①当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)x ∈+∞上'()0h x >， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增.…………6分 ②当10a +>，即1a >-时，在(0,1)x a ∈+上'()0h x <， 在(1,)x a ∈++∞上'()0h x >，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增；……………..……7分 综上所述：当1a >-时，()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． 当1a ≤-时，()h x 只有递增区间为(0,)+∞．…………………………….8分 （3）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <． 则函数1()ln ah x x a x x+=-+在[1,]e 上的最小值小于零．…………………9分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（2）可知()h x 在[1,]e 上单调递减．故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e+=+-<，可得211e a e +>-． 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； …………………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时，由（2）可知()h x 在[1,]e 上单调递增． 故()h x 在[1,]e 上最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<，可得2a <-（满足0a ≤）；………………………………………………..…11分 ③当11a e <+<，即01a e <<-时，由（2）可知可得()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a a a a +=+-+．因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<．∴2ln(1)2a a a +-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去．…..…………13分 综上所述得2a <-，或211e a e +>-．∴实数a 的取值范围为21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-．……………………….……14分 2、（1）当1a =-时,函数()f x 的定义域是()()1,00,-+∞,………………1分对()f x 求导得()()2ln 11xx x f x x-++'=,………………………………………………2分令()()ln 11xg x x x =-++,只需证:0x >时,()0g x ≤. 又()()()22110111xg x x x x '=-=-<+++,………………………………3分 故()g x 是()0,+∞上的减函数,所以()()0ln10g x g <=-=…………………………5分 所以()0f x '<,函数()f x 是()0,+∞上的减函数. ………………………………………6分 （2）由题意知,()11x f x ='=,…………………………………………7分即()1ln 111a a --=-,()ln 101a a a--=-…………………………………8分 令()()ln 1,11a t a a a a =--<-,则()()211011t a a a '=+>--,……………………9分 故()t a 是(),1-∞上的增函数,又()00t =,因此0是()t a 的唯一零点,即方程()ln 101aa a--=-有唯一实根0,所以0a =,…………………………………10分 [说明]利用两函数1xy x=-与()ln 1y x =-图象求出0a =(必须画出大致图象),同样给至10分.（3）因为()ln e 11ln e e 1e 1e 1x x x x x x -+==---,故原不等式等价于()()ln e 11ln 1e 1xxx x -++>-,…11分 由（1）知,当1a =-时,()()ln 1x f x x+=是()0,+∞上的减函数,………………………12分故要证原不等式成立,只需证明:当0x >时,e 1xx <-,令()e 1x h x x =--,则()e 10x h x '=->,()h x 是()0,+∞上的增函数,……………13分所以()()00h x h >=,即e 1xx <-,故()()1e x f x f >-,即()()ln e 11ln 1e 1e 1xx xx x x -++>=--…………………………………………………………14分3、（1）解: 函数()2ln af x x x x=--的定义域为()0,+∞, ()222221a x x af x x x x-+'=+-=, ………………………………………………1分 令()0f x '=, 得220x x a -+=, 其判别式44a ∆=-,① 当0∆≤,即1a ≥时, 220x x a -+≥,()0f x '≥, 此时,()f x 在()0,+∞上单调递增;………………………2分② 当0∆>, 即1a <时, 方程220x x a -+=的两根为111x a =--,2111x a =+->,………………………3分若0a ≤, 则10x ≤, 则()20,x x ∈时, ()0f x '<, ()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时, ()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; ………………………4分 若0a >,则10x >, 则()10,x x ∈时, ()0f x '>,()12,x x x ∈时, ()0f x '<,()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时, ()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增. ……5分综上所述, 当0a ≤时, 函数()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; 当01a <<时, 函数()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增;当1a ≥时, 函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ………………………6分（2） 解:由（1）可知, 函数()f x 有两个极值点1x ,2x ,等价于方程220x x a -+=在()0,+∞有两不等实根, 故01a <<. ………………………7分（3）证明: 由（1）, （2）得01a <<, 211x a =+-, 且212x <<, 2222a x x =-+. ………8分 ()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, …………………9分令()2ln 1g t t t =--, 12t <<, 则()221t g t t t-'=-=, ………………………………………………10分 由于12t <<, 则()0g t '<, 故()g t 在()1,2上单调递减. ………………………11分 故()()112ln110g t g <=--=. ………………………………………………12分 ∴()()22210f x x g x -+=<. ………………………………………………13分 ∴()221f x x <-. ………………………………………………14分 4、解：（1）当2t =时，2(),f x x x =+22222()10x f x x x-'=-=> --------1分 解得(,2)(2,)x ∈-∞-+∞.------------------------------------------2分因为0x >所以函数()f x 有单调递增区间为)2,⎡+∞⎣--------------3分（2）设M ，N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，2()1tf x x '=-所以切线PM 的方程为：11211()(1)().t ty x x x x x -+=-----------------4分 所以切线PM 过点(1,0)P ，所以有112110()(1)(1).t tx x x x -+=--即21120.x tx t +-=……①同理，由切线PN 过点(1,0)P ，，得22220.x tx t +-=…… ②---------------5分 由（1）、（2），可得212,20x x x tx t +-=是方程的两根，12122.x x t x x t +=-⎧∴⎨⋅=-⎩…… ③ -------------------------------------------------------------7分 22221212121212||()()()[1(1)]t t t MN x x x x x x x x x x =-++--=-+- 22121212[()4][1(1)]t x x x x x x =+-+--------------------------------------------8分 把③式代入，得2||2020,MN t t =+因此，函数()g t 的表达式为2()2020g t t t =+ ----------------9分（3）易知()g t 在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上为增函数， (2)()(1,2,,1).i g g a i m ∴≤=+则12(2)()()().m m g g a g a g a ⋅≤+++121()()()()m m g a g a g a g a ++++<n ∀恒成立，所以不等式64(2)()m g g n n⋅<+n ∀恒成立， 22646420220220()20(),m n n n n⨯+⨯<+++ 即216464[()()]6m n n n n<+++n ∀恒成立，--------------------------------12分 226416464113616,[()()][1616].663n n n n n n +≥∴+++≥+= 1363m ∴<，由于m 为正整数，6m ∴≤. --------------------------------------13 分 又当6m =，存在1212,16,m m a a a a +=====任意的正整数n 满足条件因此，m 的最大值为6. --------------------------------------------------------14分5、证明与求解：⑴13)(23--=x x x f ，x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ，22=x ……2分，) )2( , 2 (2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M 对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知，531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ，点Q 在曲线)(x f y =上，所以，曲线)(x f y =关于点M 对称……5分⑵（方法一）33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ，3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时，不等式恒成立……7分；0≠x 时，不等式等价于23233432xx a x x -≤≤+-……8分 作22313232)(x x x x x g --=+-=，22323434)(xx x x x g +-=-=，3/1641)(x x g +-=，3/2681)(xx g --=……9分，解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分x )0 , 1 [- )4 , 0( 4] 5 , 4( )(/1x g － ＋ 0 － )(1x g↘ ↗ 极大值 ↘ )(/2x g ＋ － － － )(2x g↗↘↘……12分31)1(1-=-g ，6)4(1-=g ，23132)(xx x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-；35)(2=-g ，2591)5(2-=g ，23234)(xx x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分 综上所述，a 的取值范围为]2591, 6[--……14分 （方法二）ax x x f 23)(2/+=，0=a 时，1)(3-=x x f 不符合题意，∴0≠a ，解0)(/=x f 得01=x ，322ax -=……6分 当]5 , 1[322-∉-=ax 时，)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分，解集为空集φ……10分 当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a (12)分，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a (13)分，解集为]2591 , 6[--，∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ，∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分 6、解：（1）依题意可得2|3|1x -≤ ------------------------------------------------1分2131x ⇔-≤-≤22x ⇔-≤≤-或22≤≤x∴x 的取值范围为[2,2][2,2].--⋃---------------------------------------------3分（2）解法一：∵222|()|||22a b a b ab ab ++---22()()||||42a b a b --=----------------5分 22()()42a b a b --=-2()0,4a b -=-≤---------------------------------------------6分即222|()|||,22++-≤-a b a b ab ab ∴2()2+a b 比222+a b 更接近ab ；--------------------------------------------------7分 【解法二：∵对任意两个正数a 、b ，有2(),2+≥a b ab 222+≥a b ab ，------------------4分 ∴2222222()|()|||()0,22224++++----=-=-≤a b a b a b a b a b ab ab 即222|()|||,22++-≤-a b a b ab ab ------------------------------------------------6分 ∴2()2+a b 比222+a b 更接近ab ；-------------------------------------------------7分】 （3）令()ln ,()ln ,=-=+-ep x x q x x a x x则()p x 在区间[1,)+∞上单调递减，且()0,=p e由11()1,-'=-=x q x x x得当1x ≥时，()0,q x '≥ ∴()q x 在[1,)+∞上单调递增，且当1x ≥时，有()(1)0.q x q ≥=-----------------------8分 ①当1≤≤x e 时，∵()p x ≥0，2a ≥， ∴|()||()|ln (ln )120.e ep x q x x x a x x a e x x-=--+-=--≤--< ∴ex比+x a 更接近ln x .--------------------------------------------------------10分 ②当>x e 时，解法一：∵()p x <0，()0.q x >,∴|()||()|ln (ln )2ln 2ln 2.-=--+-=---<--e ep x q x x x a x x x a x x x x----------12分 令()2ln 2,=--f x x x 则22()1.-'=-=xf x x x当>x e 时，()0.'<f x ∴()f x 在区间(,)+∞e 单调递减，当>x e 时，()()0.<=-<f x f e e ------------------13分 综上可知，当1≥x 时，|ln ||ln |0.--+-≤e x x a x x 即|ln ||ln |.-≤+-ex x a x x∴ex比+x a 更接近ln x .--------------------------------------------------------14分 【解法二：当>x e 时，∵()p x <0，()0.q x > ∴|()||()|ln (ln )2ln .-=--+-=---e ep x q x x x a x x x a x x-----------------------11分 令()2ln =---e f x x x a x ，则22222()1.--'=-+=-e x x ef x x x x令'()0f x =，解得1211,11x e x e =++=-+，∵>x e ∴211x e =-+不合舍去，-------------------------------------------12分 ∵2(1)1,e e -<+ ∴11e e -<+ ∴1x e > ∵当1e x x <<时，()0.'>f x 当1x x >时，()0.'<f x∴()f x 在区间1(,)e x 单调递增，在1(,)x +∞单调递减，又13e x << ∴当>x e 时，1111()()2ln 2ln 320.ef x f x x x a e x ≤=---<--<------------------13分 综上可知，当1≥x 时，|ln ||ln |0.--+-≤e x x a x x 即|ln ||ln |.-≤+-ex x a x x∴ex比+x a 更接近ln x .-------------------------------------------------------14分】7、解：（1）由已知得：()21()11a f x xx '=-++， ………1分 又∵函数()f x 在0x =处有极值 ∴()21(0)01010af '=-=++，即1a = ……2分 ∴()ln(1),1x f x x x =-++ ()()2211()111x f x x x x -'=-=+++ ………3分 ∴,当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；………4分（或者列表） ∴函数()f x 的最大值为(0)0f =………5分（2）①由已知得：1()1g x b x'=-+………6分 (i)若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=-≤+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在()0,+∞上恒成立； ………7分 (ii)若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=->+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；…8分 (iii)若01b <<，则1()01g x b x '=-=+时，11x b =-， 当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0g x '≥，∴()ln(1)g x x bx =+-在10,1b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数， 此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，∴不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；9分综上所述，b 的取值范围是[)+∞,1. ………10分 ②由以上得：ln(1)(0)1xx x x x<+<>+, ………11分取1x n=得：111ln(1)1n n n <+<+ ………12分 令21ln 1nn k kx n k ==-+∑， ………13分 则112x =，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此1112n n x x x -<<⋅⋅⋅<=. ∴)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑= ………14分 8、解：（Ⅰ）由题意可知：R k k x x k x x ∈>-+++++02)()(222令k x x t ++=2，则原不等式可以化为：022>-+t t ，解得：2-<t 或1>t即原不等式可以化为不等式①022<+++k x x 或 不等式②012>-++k x x ……1分 对于不等式①、②分别有:741--=∆k 与542+-=∆k 现做如下分类讨论： （1） 当47-<k 时，01>∆，02>∆，此时不等式①、②对应的方程分别有不等根： 27411----=k x 与27412--+-=k x ；25413+---=k x 与25414+-+-=k x ；不难证明：4213x x x x <<<所以不等式①的解集为(,2741----∈k x )2741--+-k …………2分所以不等式②的解集为()2541,+---∞-∈k x ()∞++-+-,2541k …..3分所以当47-<k 时，函数)(x f 的定义域D =()2541,+---∞-k (,2741----k )2741--+-k ()∞++-+-,2541k ………….4分（2）当4547≤≤-k 时，01≤∆，02≥∆，结合（1）可知：不等式①的解集为Φ∈x 分 …………..5分 不等式②的解集为()2541,+---∞-∈k x ()∞++-+-,2541k所以当4547≤≤-k 时，函数)(x f 的定义域 D =()2541,+---∞-k()∞++-+-,2541k …………..6分（3）当45>k 时，01<∆，02<∆，结合（1）可知： 不等式①的解集为Φ∈x ；不等式②的解集为R x ∈所以当45>k 时，函数)(x f 的定义域D =R …………..7分综上所述： （1）当47-<k 时，函数)(x f 的定义域 D =()2541,+---∞-k (,2741----k )2741--+-k()∞++-+-,2541k（2）当4547≤≤-k 时，函数)(x f 的定义域 D =()2541,+---∞-k()∞++-+-,2541k（3）当45>k 时，函数)(x f 的定义域D =R …………..8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知道：当2-<k 时，函数)(x f 的定义域D =()2541,+---∞-k(,2741----k )2741--+-k ()∞++-+-,2541k ………….9分令=)(x u 02)()(222>-+++++k x x k x x （2-<k ）,D x ∈则函数u y 2log =，显然函数u y 2log =在对应的定义域区间为单调递增函数，要求)(x f 的单调递增区间，我们只需要求出函数)(x u 在D x ∈上的单调递增区间。

2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数整理：李炳璋一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π-B ．6π C ．3π- D ．3π2、（佛山市2015届高三）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据:2CD =,23CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒, 48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中c o s 48.19︒取近似值23)3、（广州市2015届高三）将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上 平移1个单位，所得图象的函数解析式是BADCE图1A ．22cos y x =B ．22sin y x =C ．1sin 23y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．cos 2y x =4、（江门市2015届高三）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若075=∠A 、060=∠B 、10=c ，则=bA ．35B ．65C ．310D ．6105、（汕尾市2015届高三）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若1,45,a B A B C =∠=∆的面积2S =，则b 边长6、（韶关市2015届高三）已知α为第二象限角，54sin =α，则sin(2)πα+= .A 2425- .B 2425 .C 1225.D 1225-二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，R x ∈． ()1求()f π的值； ()2若2635f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．2、（佛山市2015届高三）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0ω>,x ∈R )的最小正周期为π.（Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； （Ⅱ）在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间．3、（广州市2015届高三）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1045f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，33545f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值.4、（惠州市2015届高三）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图2所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．5、（江门市2015届高三）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈．（1）求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ； （2）若31)82(-=+παf ，求αcos 的值．6、（揭阳市2015届高三）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知ABC ∆的面积32S =，4cos 5B =，32b =． （1）求a 和c 的值； （2）求cos()BC -的值．7、（清远市2015届高三）已知函数1()3sin cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B ,3,()1c f C ==，判断△ABC 的形状，并求△ABC 的面积．8、（汕头市2015届高三）已知函数)32sin(2)(π+=x x f ，R x ∈．（1）在给定的直角坐标系中，运用“五点法”画出该函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈65,6ππx 的图像； 图2y x2-1-01-1123456（2）若θ为锐角，且满足1)()(=--θθf f ，求θ的值．9、（汕尾市2015届高三）已知函数()sin(),12f x x x R π=+∈．(1) 求()4f π-的值； (2) 若4cos ,(0,)52πθθ=∈，求(2)3f πθ-．10、（韶关市2015届高三）已知函数2()2cos(2)3sin 23f x x x π=++ （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值； （2）设ABC ∆的三内角分别是A 、B 、C. 若1()22C f =-，且3,1==BC AC ,求sin A 的值．11、（深圳市2015届高三）函数π()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π． （1）求5π()12f 的值； （2）若03sin 3x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值．12、（珠海市2015届高三）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x 1x12π2x712π 3xx ωϕ+2π π32π 2πsin()A x B ωϕ++ 042-11 1（1）求函数()f x 的解析式； （2）若2παπ<<，17()2125f απ-=，求()2f πα+的值．参考答案一、选择题1、D2、103、A4、B5、56、B二、解答题1、解：（1）由已知得3()2cos()2cos23662f ππππ=-=-=-⨯=-．………4分 （2）因为22()2cos()2cos()2sin 3362f ππππαααα+=+-=+=-， 又26()35f πα+=，故62sin 5α-=，即3sin 5α=-．. …………………6分又(,0)2πα∈-，故2234cos 1sin 1()55αα=-=--=．.……..……8分所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯-⨯=-， 2247cos 22cos 12()1525α=-=⨯-=．.……………….………….…10分 所以(2)2cos(2)2cos 2cos2sin 2sin666f πππαααα=-=+73241732422()25225225-=⨯⨯+⨯-⨯=． . ……....……12分 2、（Ⅰ）依题意得2ππω=,解得2ω=,所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,………………2分 所以s i63f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭32-⨯.………4分 （Ⅱ）因为22x ππ-≤≤,所以532444x πππ-≤-≤,列表如下:……………………6分 x2π- 38π- 8π- 8π 38π 2π 24x π-54π- π- 2π- 02π 34π y220 1- 0 122画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示! ………8分由图象可知函数()y f x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间为,28ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭.……12分 3、（1）解：∵4π是函数()f x 的一个零点，∴ sin cos 0444f a πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. …………………………………………1分 ∴ 1a =-. ………………………………………………2分 ∴ ()sin cos f x x x =-222sin cos 22x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………3分2sin 4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………………………………4分由22242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………………………………………………5分 ∴ 函数()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). …………………6分 （2）解：∵1045f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴102sin 5α=. ∴ 5sin 5α=. ………………………………………………7分 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，………10分∴ 225cos 1sin5αα=-=. ………………………………………………8分 ∵33545f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴352sin 25πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ∴ 310cos 10β=. ………………………………………………9分 ∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ 210sin 1cos 10ββ=-=. ……………………………………………10分 ∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ …………………………………………11分 53102510510510=⨯+⨯22=. ………………………………………………12分 4、解：（1）由图可知，1A = ， ……………………………………………1分最小正周期428,T =⨯=所以2ππ8,.4T ωω===…………………………………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<所以ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+== …………………5分所以()sin()44f x x ππ=+． ……………………6分（1）解法一: 因为ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin (51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………8分5,37,20MN MP PN ===，从而520373cos 52520MNP +-∠==-⨯， ……………………………10分由()0,MNP π∠∈，得24sin 1cos 5MNP MNP ∠=-∠=. ………12分 解法二: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin (51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………8分(2,1),(4,2)NM NP =--=-,6NM NP ⋅=-,5,2025NM NP ===,则63cos 5525NM NP MNP NM NP⋅-∠===-⨯⋅. ……………10分由()0,MNP π∠∈，得24sin 1cos 5MNP MNP ∠=-∠=. ……12分 5、解：（1）x x x f 2cos 12sin )(-+=……2分，1)42sin(2+-=πx ……4分最小正周期ππ==22T ……5分，最大值12+=M ……6分 （2）依题意，311]4)82(2sin[2-=+-+ππα……7分即311sin 2-=+α……8分，322sin -=α……10分31sin 1cos 2±=-±=αα……12分6、解：（1）∵4cos 5B =>0 ∴02B π<< ∴23sin 1cos 5B B =-=--------------1分 由13sin 22S ac B ==,得5ac =-------------------①-------------------------------3分由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-,∴2226a c +=---------------②-------------5分 由①②结合a c >，解得5,1a c ==.-----------------------------------------------7分 （2）由正弦定理知sin sin b c B C =，∴sin sin c B C b =210=，---------------------------9分 ∵a c >，∴02C π<<,∴272cos 1sin 10C C =-=,---------------------------------------------------10分 ∴cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+47232510510=⨯+⨯31250=.-------------------------12分7、解：（1）x x x x f 2cos 21cos sin 3)(-⋅=＝x x 2cos 212sin 23- ………1分=sin(2)6x π-………2分1sin(2)16x R x π∈∴-≤-≤………3分 ()f x ∴的最小值是-1 ……4分22T ππ∴==，故其最小正周期是π ………5分（2）∵1)(=C f 1)62sin(=-∴πC …………7分又∵0<2C <2π，∴6116-26πππ<<-C ……8分∴26-2ππ=C ，3C π∴= ………9分∵B=6π，∴A=2π，∴△ABC 是直角三角形………10分由正弦定理得到：B bsin =3232sin c C ==，∴1=b ………11分 设三角形ABC 的面积为S, ∴S=23………12分 8、解：（1）列表 （2）描点 （3）连线32π+x 02π π23π π2x6π-12π 3π 127π 65π y2-2……………….3分………………6分（2）由题意可知道：1)32sin(2)32sin(2=+--+πθπθ，)2,0(πθ∈………………7分所以：3sin 2cos 3cos 2sin πθπθ+3sin )2cos(3cos )2sin(πθπθ----21= (8)所以213cos 2sin 2=πθ，即212sin =θ ……………………………9分xyo 12 -1 -2π因为)2,0(πθ∈，所以),0(2πθ∈ ……………………………10分 所以62πθ=或652πθ= ……………………………….11分 所以12πθ=或125πθ= ……………………………….12分 9、10、11、解：（1）()f x 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………………1分2ω∴=±， 由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ……………………………3分5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分 （2）由03sin 3x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分 又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分 ∴ 20022sin 21cos 23x x =-=， …………………………………………9分 000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+ 221132232232323+=⨯⨯+⨯⨯=． 00π223()2sin(2)33f x x +∴=+=． …………………………………………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．12、解：（1）由题意可得12273122ππωϕππωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，即23ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩………………………………………2分 由题意可得42A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，即31A B =⎧⎨=⎩…………………………………4分 ∴ 函数()f x 的解析式为：()3sin(2)13f x x π=++…………………………………5分 （2）由17()2125f απ-=可得)212173sin[2(]135παπ++=-， 化简得4sin()65πα+=…………………7分 3sin[2(]13sin(2)133())22f ππαααπππ++++=+=++ 3sin(2)13πα-+=+……………………………………………………9分6sin()cos()166ππαα=-⋅+++……………………………………………10分 又(,)2παπ∈，∴27(,)636πππα+∈，∴3cos()65πα+=-…………………………11分 1)53(5461)6cos()6sin(6)6(+-⨯⨯-=+++-=+παπαπαf 2597=…………………12分。

2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4B．C．6D．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9 404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．答案：1、解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2、解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3、解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4、解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5、解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6、解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7、解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8、解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．9、解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10、解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11、解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112、解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13、解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14、解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15、解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．16、解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=1，||=1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x=+=．17、解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．18、（1）证明：在△POC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19、解：（1）f'（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2…2分∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．…3分（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f（0）=1﹣a，∵a＞1．∴1﹣a＜0…5分∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0成立．∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点…7分（3）证明：f'（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1…9分将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴…10分令；g（m）=e m﹣（m+1）g（m）=e m﹣（m+1），则g'（m）=e m﹣1，由g'（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0…12分∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即：∴m≤…14分20、解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，21、 解：（1）∵a 1+2a 2+…na n =4﹣，n ∈N +． ∴a 1=4﹣3=1，1+2a 2=4﹣=2，解得a 2=， ∵a 1+2a 2+…+na n =4﹣，n ∈N +．∴a 1+2a 2+…+（n ﹣1）a n ﹣1=4﹣，n ∈N +．整理，得其标准方程为：（x ﹣3）2+y 2=4， ∴圆C 1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l 的方程为y=kx 、A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）， 联立方程组，消去y 可得：（1+k 2）x 2﹣6x+5=0， 由△=36﹣4（1+k 2）×5＞0，可得k 2＜ 由韦达定理，可得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为，其中﹣＜k ＜，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：（x ﹣）2+y 2=，其中＜x ≤3； （3）结论：当k ∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线C只有一个交点． 理由如下： 联立方程组，消去y ，可得：（1+k 2）x 2﹣（3+8k ）x+16k 2=0， 令△=（3+8k ）2﹣4（1+k 2）•16k 2=0，解得k=±， 又∵轨迹C 的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线C 只有一个交点时， k 的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n =（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）＜2+lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．11。

广东省汕尾市2015届高考数学调研试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}，则A∪B=（）A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{2，3}2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知{a n}为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（）A．40 B．45 C．50 D．554．（5分）以下四个函数y=3x，y=，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线与直线y=x+1平行，则它的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．7．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④8．（5分）G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的a，b∈G，a0b=c，则c∈G，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合A={x|x2=1}，A对于数的乘法作成一个封闭集合．以下四个结论：①集合{0}对于加法作成一个封闭集合；②集合B={x|x=2n，n为整数}，B对于数的减法作成一个封闭集合；③集合C={x|0＜x≤1}，C对于数的乘法作成一个封闭集合；④令Φ是全体大于零的实数所成的集合，RΦ对于数的乘法作成一个封闭集合；其中，正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）（一）（必做题）：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45o，△ABC的面积S=2，则c边长为，b边长为．10．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32”的值，则判断框内可以填入．11．（5分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．12．（5分）不等式|x﹣4|+|x+3|≥a恒成立，则实数a的取值范围是．13．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为θ=，则圆心到直线l的距离等于．15．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=sin（x+）．（1）求f（﹣）的值；（2）若cosθ=，θ∈（0，），求f（2θ﹣）．17．（12分）某工厂招聘工人，在一次大型的招聘中，其中1000人的笔试成绩的频率分布直方图如图所示，按厂方规定85分以上（含85分）可以直接录用．（1）下表是这次笔试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；区间[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）人数50 a 350 300 b（2）现在用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的笔试成绩进行分析，求可以直接录用的人数；（3）在（2）中抽取的40名招聘的人中，随机选取2名参加面试，记“可以直接录用的人数”为X，求X的分布列与数学期望．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：AB1∥平面A1DC；（Ⅲ）求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值．19．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足4S n=a+2a n．（1）求a1的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）求证：++…+＜2，n∈NΦ．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2．（1）求椭圆的标准方程．（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1⊥P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）e x的极值点为x=﹣和x=1．（1）当b=1时，求函数f（x）的增区间；（2）当0＜b≤2时，求函数f（x）在[﹣2b，b]上的最大值．广东省汕尾市2015届高考数学调研试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}，则A∪B=（）A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{2，3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵集合A={1，2}，B={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故选：B．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解答：解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．3．（5分）已知{a n}为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（）A．40 B．45 C．50 D．55考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a1+a10=8，由求和公式可得S10=，代值计算可得．解答：解：由等差数列的性质可得a1+a10=a3+a8=8，∴S10===40故选：A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．4．（5分）以下四个函数y=3x，y=，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义即可得到结论．解答：解：四个函数中，只有y=，y=2sinx是奇函数，故选：C点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，比较基础．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线与直线y=x+1平行，则它的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线方程，求出渐近线方程，由两直线平行的条件得到=，再由a，b，c 的关系和离心率公式，即可得到．解答：解：设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的方程为=1，渐近线方程为y=x，由于一条渐近线与直线y=x+1平行，则=，令a=2t，b=t，则c==t，则离心率e==．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．点评：本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．7．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据面面平行的性质判断．②利用面面垂直的性质判断．③利用面面垂直的判定定理判断．④利用面面平行的判定定理判断．解答：解：①根据面面平行的性质可知，若α∥β，当l⊥α时，有l⊥β，因为m⊂β，所以l⊥m成立，所以①正确．②若α⊥β，当l⊥α时，有l∥β或l⊂β，无法判断，l与m的位置关系，所以②错误．③若l∥m，当l⊥α时，则m⊥α，因为m⊂β，所以α⊥β，所以③正确．④若l⊥m，m⊂β，则l和β关系不确定，所以α∥β不一定成立，所以④错误．故选B．点评：本题主要考查空间平面平行和垂直的判定和性质，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．8．（5分）G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的a，b∈G，a0b=c，则c∈G，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合A={x|x2=1}，A对于数的乘法作成一个封闭集合．以下四个结论：①集合{0}对于加法作成一个封闭集合；②集合B={x|x=2n，n为整数}，B对于数的减法作成一个封闭集合；③集合C={x|0＜x≤1}，C对于数的乘法作成一个封闭集合；④令Φ是全体大于零的实数所成的集合，RΦ对于数的乘法作成一个封闭集合；其中，正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：命题的真假判断与应用．专题：集合；简易逻辑．分析：①由于0+0=0，可得集合{0}对于加法作成一个封闭集合；②∀2n1，2n2∈B={x|x=2n，n为整数}，（n1，n2∈Z），则2n1﹣2n2=2（n1﹣n2）∈B，即可判断出；③∀a，b∈C={x|0＜x≤1}，则0＜ab≤1，即可判断出；④∀a，b∈RΦ，则ab＞0．即可判断出．解答：解：①∵0+0=0，∴集合{0}对于加法作成一个封闭集合，正确；②∀2n1，2n2∈B={x|x=2n，n为整数}，（n1，n2∈Z），则2n1﹣2n2=2（n1﹣n2）∈B，因此对于数的减法作成一个封闭集合；③∀a，b∈C={x|0＜x≤1}，则0＜ab≤1，因此C对于数的乘法作成一个封闭集合，正确；④∀a，b∈RΦ，则ab＞0．因此RΦ对于数的乘法作成一个封闭集合．其中，正确结论的个数是4．故选：A．点评：本题考查了新定义“封闭集合”的判定与应用，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）（一）（必做题）：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45o，△ABC的面积S=2，则c边长为4，b边长为5．考点：正弦定理的应用．分析：根据三角形的面积公式可求出c的长度，再由余弦定理可求出边b的长度．解答：解：∵a=1，∠B=45o根据三角形的面积公式可得：S=×a×c×sinB=×1××c=2∴c=4根据余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=25∴b=5故答案为：4，5点评：本题主要考查三角形的面积公式和余弦定理的应用．属基础题．10．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32”的值，则判断框内可以填入k＞64，（其他答案对也可给分）．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×4×8×16×32五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为64，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×4×8×16×32”之值，以后所乘的数依次为4，8，16，32，2×4×8×16×32五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为64，此时，根据题意应该退出循环，故判断框中应填k＞64，使得k的值（64）不满足判断框中的条件，不再继续执行循环体．故答案为：k＞64（其他答案对也可给分）点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果，属于基本知识的考查．11．（5分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．（5分）不等式|x﹣4|+|x+3|≥a恒成立，则实数a的取值范围是a≤7．考点：绝对值不等式的解法．专题：选作题；不等式．分析：根据绝对值的意义，|x﹣4|+|x+3|表示数轴上的x对应点到﹣3和4对应点的距离之和，它的最小值等于7，可得答案．解答：解：|x﹣4|+|x+3|表示数轴上的x对应点到﹣3和4对应点的距离之和，它的最小值等于7，由不等式a|x﹣4|+|x+3|≥a恒成立知，a≤7，故答案为：a≤7．点评：本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求出|x﹣4|+|x+3|的最小值，是解题的关键．13．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为4．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，而∫02（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|02=8﹣4=4∴曲边梯形的面积是4，故答案为：4点评：本题考查学生利用定积分求曲边梯形的面积，会求出原函数的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为θ=，则圆心到直线l的距离等于．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程分别化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：由圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，可得ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，∴（x ﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0）．直线l的极坐标方程为θ=，可得直角坐标方程：．∴圆心到直线l的距离d==．故答案为：．点评：本题考查了把极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．15．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于5．考点：直角三角形的射影定理．专题：计算题；压轴题．分析：先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求．解答：解：AB为圆的直径，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，∴16=8×AD，∴AD=2，∴半径==5故答案为：5点评：本题主要考查了直角三角形中射影定理的应用．应熟练掌握射影定理中的公式及变形公式．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=sin（x+）．（1）求f（﹣）的值；（2）若cosθ=，θ∈（0，），求f（2θ﹣）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=﹣代入函数解析式即可．（2）根据函数解析式求得f（2θ﹣）的表达式并利用两角和公式整理，根据cosθ的值，求得sinθ的值，进而根据二倍角公式分别求得sin2θ和cos2θ的值，代入f（2θ﹣）的解析式．解答：解：（1）f（﹣）=sin（﹣+）=sin（﹣）=﹣．（2）f（2θ﹣）=sin（2θ﹣+）=sin（2θ﹣）=（sin2θ﹣cos2θ），因为cosθ=，θ∈（0，），所以sinθ=，所以sin2θ=2sinθcosθ=，cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=，所以f（2θ﹣）=（sin2θ﹣cos2θ）=（﹣）×=．点评：本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的应用．考查了学生对基础知识的灵活运用．17．（12分）某工厂招聘工人，在一次大型的招聘中，其中1000人的笔试成绩的频率分布直方图如图所示，按厂方规定85分以上（含85分）可以直接录用．（1）下表是这次笔试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；区间[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）人数50 a 350 300 b（2）现在用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的笔试成绩进行分析，求可以直接录用的人数；（3）在（2）中抽取的40名招聘的人中，随机选取2名参加面试，记“可以直接录用的人数”为X，求X的分布列与数学期望．考点：频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率、频数与样本容量的关系，求出a、b的值；（2）求出85分以上（含85分）的频数即可；（3）求出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，求出数学期望EX．解答：解：（1）根据题意，a=0.04×5×1000=200，b=0.02×5×1000=100；（2）设可以直接录用的人数为，则=，解得x=30，即可以直接录用的人数为30名；（3）根据题意，X的取值为0，1，2；∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==；∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2P∴EX=0×+1×+2×=，即X的数学期望为．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机事件的分布列与数学期望的问题，是基础题．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：AB1∥平面A1DC；（Ⅲ）求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（I）由已知中侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，由正方形的几何特征结合线面垂直的判定，易得AA1⊥平面ABC，即三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，再由点D是棱B1C1的中点，结合等腰三角形“三线合一”，及直三棱柱的几何特征，结合线面垂直的判定定理，即可得到A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）连接AC1，交A1C于点O，连接OD，由正方形的几何特征及三角形中位线的性质，可得OD∥AB1，进而结合线面平行的判定定理，我们易得，AB1∥平面A1DC；（Ⅲ）因为AB，AC，AA1两两互相垂直，故可以以A坐标原点，建立空间坐标系，求出几何体中各顶点的坐标，进而求出平面DA1C与平面A1CA的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．解答：（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱．因为A1D⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，所以A1D⊥B1C1．因为CC1∩B1C1=C1，所以A1D⊥平面BB1C1C．（Ⅱ）证明：连接AC1，交A1C于点O，连接OD，因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点，又D为B1C1中点，所以OD为△AB1C1中位线，所以AB1∥OD，因为OD⊂平面A1DC，AB1⊄平面A1DC，所以AB1∥平面A1DC．（Ⅲ）解：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A﹣xyz．设AB=1，则.，（9分）设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），则有，，x=﹣y=﹣z，取x=1，得n=（1，﹣1，﹣1）．又因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为，，因为二面角D﹣A1C﹣A是钝角，所以，二面角D﹣A1C﹣A的余弦值为．点评：本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握线面关系的判定、性质、定义及几何特征是解答线面关系判定的关键，而利用向量法求二面角的关键是建立适当的坐标系．19．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足4S n=a+2a n．（1）求a1的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）求证：++…+＜2，n∈NΦ．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）4S n=a+2a n．令n=1，可得+2a1，解出即可．（2）当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，可得a n﹣a n﹣1=2，利用等差数列的通项公式即可得出．（3）当n=1时，=1＜2成立．当n≥2时，=．利用“裂项求和”即可得出．解答：（1）解：∵4S n=a+2a n．令n=1，可得+2a1，a1＞0，解得a1=2．（2）解：当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（3）证明：当n=1时，=1＜2成立．当n≥2时，=．∴++…+=+…+＜1+++…+=2＜2．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2．（1）求椭圆的标准方程．（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1⊥P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆的标准方程．（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，由圆和椭圆的对称性，知，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，从而得到﹣（x1+1）2+=0，由此能求出存在满足条件的圆，其方程为：=．解答：解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2，∴，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，知，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥，得﹣（x1+1）2+=0，由椭圆方程得1﹣=（x1+1）2，即=0，解得或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．当时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0），由CP1⊥F1P1，得，而y1=|x1+1|=，故，圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足条件的圆，其方程为：=．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（14分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）e x的极值点为x=﹣和x=1．（1）当b=1时，求函数f（x）的增区间；（2）当0＜b≤2时，求函数f（x）在[﹣2b，b]上的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把b=1代入函数解析式，求出其导函数，由导函数的符号判断原函数的单调性；（2）求出函数f（x）的导函数，得到其零点，然后讨论零点与所给区间端点值的大小关系得到函数在所给区间上的单调性，并求得最值．解答：解：（1）当b=1时，f（x）=（x2+x+1）e x，∴f′（x）=（x2+3x+2）•e x，由f′（x）＞0，得x＞﹣1或x＜﹣2．故函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2），（﹣1，+∞）；（2）∵f（x）=（x2+bx+b）e x，∴f′（x）=[x2+（2+b）x+2b]e x=（x+2）（x+b）e x．由f′（x）=0，得x=﹣2或x=﹣b．当﹣2≤﹣2b，即0＜b≤1时，函数f（x）在（﹣2b，﹣b）上单调递减，在（﹣b，b）上单调递增．∴M=max{f（﹣2b），f（b）}，∵f（﹣2b）=（2b2+b）•e﹣2b，f（b）=（2b2+b）•e b．∴M=f（b）．当﹣2b＜﹣2＜﹣b，即1＜b＜2时，函数f（x）在（﹣2b，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣b）上单调递减，在（﹣b，b）上单调递增．∴M=max{f（﹣2），f（b）}，∵f（﹣2）=（4﹣b）•e﹣2，且（2b2+b）﹣（4﹣b）==0，∴M=f（b）．当﹣2=﹣b，即b=2时，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣2b，b）上单调递增，∴M=f（b）．综上所述：M=f（b）=（2b2+b）e b．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法及数学在转化思想方法，是压轴题．。