【全国市级联考】江苏省盐城市2016-2017学年高一下期末数学试题

2016-2017学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数的最小正周期为．2．已知直线l过定点（1，0），且倾斜角为，则直线l的一般式方程为．3．若，则cos2α=．4．在Rt△ABC中，，AB=4，AC=3，则=．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若首项a1=﹣3，公差d=2，S k=5，则正整数k=．6．设a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是．（填写所有正确命题的序号）①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥b，a⊂α，b⊥β，则α⊥β；③若α∥β，a⊥α，则a⊥β；④若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥β．7．已知正项等比数列{a n}，且a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5=．8．若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为．9．已知向量是与向量=（﹣3，4）同向的单位向量，则向量的坐标是．10．函数y=3cos（2x+φ）是奇函数，则|φ|的最小值是．11．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线2mx﹣y﹣4m+1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．12．已知数列{a n}满足（k∈N*），若a1=1，则S20=．13．如图，点P是边长为1的正六边形ABCDEF的边上的一个动点，设=x+y，则x+y的最大值为．14．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+bc，则的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知如图：平行四边形ABCD中，BC=6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD 垂直，G，H分别是DF，BE的中点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）若CD=2，DB=4，求四棱锥F﹣ABCD的体积．16．已知向量和，其中，，k∈R．（1）当k为何值时，有∥；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是圆O：x2+y2=1与x轴正半轴的交点，半径OA在x轴的上方，现将半径OA绕原点O逆时针旋转得到半径OB．设∠POA=x（0＜x＜π），．（1）若，求点B的坐标；（2）求函数f（x）的最小值，并求此时x的值．18．如图，OA、OB是两条公路（近似看成两条直线），，在∠AOB内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P到直线OA、OB的距离分别为PD、PE，PD=6千米，PE=12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA、OB分别交于点M、N．（1）求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；（2）若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．19．设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S3=12．（1）求a24与S7的值；（2）已知m、n均为正整数，满足a m=S n．试求所有n的值构成的集合．20．如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B两点．（1）若直线l的斜率为，求△OAB的面积；（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数的最小正周期为π．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，求得结论．【解答】解：函数的最小正周期为=π，故答案为：π．2．已知直线l过定点（1，0），且倾斜角为，则直线l的一般式方程为x﹣y﹣=0．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】由直线的倾斜角求得斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案．【解答】解：∵直线l的倾斜角为，∴斜率k=tan=，又直线l过点（1，0），∴直线l的方程为y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0故答案为：x﹣y﹣=03．若，则cos2α=．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由已知结合诱导公式求出cosα，再由二倍角公式得答案．【解答】解：由，得cosα=．∴cos2α=2cos2α﹣1=2×．故答案为：．4．在Rt△ABC中，，AB=4，AC=3，则=9．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，结合向量的加法法则化简求值．【解答】解：如图，∵，AB=4，AC=3，∴．故答案为：9．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若首项a1=﹣3，公差d=2，S k=5，则正整数k=5．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由a1=﹣3，公差d=2，S k=5，∴﹣3k+=5，化为：k2﹣4k﹣5=0，解得正整数k=5．故答案为：5．6．设a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是②③．（填写所有正确命题的序号）①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥b，a⊂α，b⊥β，则α⊥β；③若α∥β，a⊥α，则a⊥β；④若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥β．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的判定与性质进行判断．【解答】解：对于①，若b⊂α，则结论不成立，故①错误；对于②，∵a∥b，b⊥β，∴a⊥β，又a⊂α，∴α⊥β．故②正确；对于③，设m，n为α内的两条相交直线，m′，n′为m，n在β内的射影，则m∥m′，n∥n′，∵a⊥α，∴a⊥m，a⊥n，∴a⊥m′，a⊥n′，∴a⊥β，故③正确；对于④，以正三棱柱ABC﹣A1B1C1为例说明，设侧面ABB1A1为α，底面ABC为β，侧棱CC1为直线a，底面ABC内任意一条直线为b，显然b与平面β的关系不确定，故④错误；故答案为：②③．7．已知正项等比数列{a n}，且a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5=5．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由题意可得a32+2a3a5+a52=25，即（a3+a5）2=25，可得a3+a5 =5．【解答】解：在正项等比数列{a n}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，即a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，故a3+a5 =5，故答案为：58．若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为12π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据侧面展开图特征计算底面半径，得出圆锥的高，代入体积公式计算体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则=，∴r=3，∴圆锥的高h==4，∴圆锥的体积V===12π．故答案为：12π．9．已知向量是与向量=（﹣3，4）同向的单位向量，则向量的坐标是．【考点】95：单位向量．【分析】利用=即可得出．【解答】解：==．故答案为：．10．函数y=3cos（2x+φ）是奇函数，则|φ|的最小值是．【考点】H8：余弦函数的奇偶性．【分析】根据三角函数的图象和性质，即可得到结论．【解答】解：∵y=3cos（2x+φ）是奇函数，∴φ=+kπ，k∈Z，当k=0，∴当k=0时，|φ|的最小值是．故答案为：11．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线2mx﹣y﹣4m+1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：直线2mx﹣y﹣4m+1=0化为2m（x﹣2）+1﹣y=0，可得其过定点（2，1），圆心（1，0）到直线mx﹣y﹣2m﹣1=0的距离d的最大值为，∴圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．12．已知数列{a n}满足（k∈N*），若a1=1，则S20=2056．【考点】8E：数列的求和．【分析】由题意可得数列{a n}的奇数项成首项为1，公比为2的等比数列，其偶数项比其前一项多1，运用分组求和和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：数列{a n}满足（k∈N*），a1=1，可得a2=a1+1=2，a3=2a2﹣2=2，a4=a3+1=3，a5=2a4﹣2=4，…，可得数列{a n}的奇数项成首项为1，公比为2的等比数列，其偶数项比其前一项多1，则S20=（1+2+…+29）+（2+3+…+29+1）=+10+=211+8=2056．故答案为：2056．13．如图，点P是边长为1的正六边形ABCDEF的边上的一个动点，设=x+y，则x+y的最大值为2．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】设六边形边长为1，把向量，和向量，沿着AD方向和垂直于AD两个方向分解．设AD方向为x轴，垂直于AD方向为y轴距离坐标系，得到的坐标，分析x+y取最大值时P的位置．【解答】解：六边形边长为1，把向量和向量，沿着AD方向和垂直于AD 两个方向分解．设AD方向为x轴，垂直于AD方向为y轴如图：那么==（﹣，），=（﹣，﹣1﹣），=（﹣x﹣y，x﹣（1+）y），所以，当的横坐标最小的时候，x+y最大．那么，当P与D重合时，满足这一条件．此时AP=2，x+y=2；最大值为2；故答案为：2．14．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+bc，则的取值范围是（，2）．【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得c=b（1+2cosA），从而可求=，由A的范围，利用余弦函数的图象和性质可求的范围．【解答】解：∵△ABC中，a2=b2+bc，又∵由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+bc=b2+c2﹣2bccosA，整理可得：c=b（1+2cosA），∴a2=b2+b2（1+2cosA）=b2（2+2cosA），∴=，∵在锐角△ABC中，A∈（0，），cosA∈（0，1），可得：2+2cosA∈（2，4），∴=∈（，2）．故答案为：（，2）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知如图：平行四边形ABCD中，BC=6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD 垂直，G，H分别是DF，BE的中点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）若CD=2，DB=4，求四棱锥F﹣ABCD的体积．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）证明GH∥平面CDE，利用线面平行的判定定理，只需证明HG∥CD；（2）证明FA⊥平面ABCD，求出S ABCD，即可求得四棱锥F﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC且EF=AD=BC∴四边形EFBC是平行四边形，∴H为FC的中点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵G是FD的中点∴HG∥CD﹣﹣﹣∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE∴GH∥平面CDE﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵BC=6，∴FA=6又∵CD=2，DB=4，CD2+DB2=BC2∴BD⊥CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴S ABCD=CD×BD=8=×S ABCD×FA=××6=16﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴V F﹣ABCD16．已知向量和，其中，，k∈R．（1）当k为何值时，有∥；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据题意，设，则有，结合向量、的坐标，可得t﹣k=2+t=0，解可得k的值，即可得答案；（2）根据题意，若向量与的夹角为钝角，则有＜0，由数量积的计算公式可得，结合向量不共线分析可得答案．【解答】解：（1）由，设，所以，即，又，，得与不共线，所以t ﹣k=2+t=0，解得k=﹣2，（2）因向量与的夹角为钝角，所以，又，，得，所以，即k ＜8，又向量与不共线，由（1）知k ≠﹣2， 所以k ＜8且k ≠﹣2．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆O ：x 2+y 2=1与x 轴正半轴的交点，半径OA 在x 轴的上方，现将半径OA 绕原点O 逆时针旋转得到半径OB ．设∠POA=x （0＜x ＜π），．（1）若，求点B 的坐标；（2）求函数f （x ）的最小值，并求此时x 的值．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可．（2），求出f（x）的解析式，化简，利用三角函数的性质求解即可．【解答】解：（1）由题意，因点P是圆O：x2+y2=1与x轴正半轴的交点，又，且半径OA绕原点O逆时针旋转得到半径OB，∴．由三角函数的定义，得，，解得，．∴．（2）依题意，，，，由，∴，∴，∵0＜x＜π，则，∴当时，即，函数f（x）取最小值为．18．如图，OA、OB是两条公路（近似看成两条直线），，在∠AOB内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P到直线OA、OB的距离分别为PD、PE，PD=6千米，PE=12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA、OB分别交于点M、N．（1）求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；（2）若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）设∠POA=α，分别在△OPD和△OPE中用α表示出OP，解方程即可得出α，从而求出OP的长；（2）设∠PMO=θ，分别表示出PM，PN，解方程得出θ，从而得出MN的长．【解答】解：（1）设∠POA=α，则，∵PD=6，PE=12，∴，∴，化简得，又sin2α+cos2α=1，∴，∴．∴纪念塔P到两条公路交点O处的距离为4千米．（2）设∠PMO=θ，则∠PNO=﹣θ，∵P为MN的中点，即PM=PN，∴，即，解得，∴．∴小路MN的长为24千米．19．设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S3=12．（1）求a24与S7的值；（2）已知m、n均为正整数，满足a m=S n．试求所有n的值构成的集合．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】（1）因数列{a n}是等差数列，可得S3=3a2=12，可得a2，又a1=1，可得公差d，即可得出a n与S n．（2）由（1）知a m=3m﹣2，由a m=S n，得，化简即可得出．【解答】解：（1）因数列{a n}是等差数列，所以S3=3a2=12，所以a2=4，…又a1=1，所以公差d=3，所以a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2，，…所以a24=70，．…（2）由（1）知a m=3m﹣2，由a m=S n，得，…所以，…因n2+n=n（n+1）为正偶数，为正整数，…所以只需为整数即可，即3整除n﹣1，…所以A={n|n=3k+1，k∈N}．…20．如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B两点．（1）若直线l的斜率为，求△OAB的面积；（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）因为直线l的斜率为，所以直线l，利用弦长、半径、弦心距的关系，求得弦长及△OAB的高，即可求出面积．（2）因为直线l的斜率为0，所以可知、，设点C（x，y），则x2+y2=1，又=4﹣2y，又y ∈[﹣1，1]，即可得CA2+CB2的取值范围．（3）法一：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），因直线l不与y轴重合，设直线l，代入圆O得，所以（*）由AQ与BQ的斜率互为相反数，可得，即求得t；解法二：若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d1，点B到y轴的距离d2满足，即，化简可得，同时求得t．【解答】解：（1）因为直线l的斜率为，所以直线l，则点O到直线l的距离，…所以弦AB的长度，所以．…（2）因为直线l的斜率为0，所以可知、，…设点C（x，y），则x2+y2=1，又，…所以CA2+CB2=4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，所以CA2+CB2的取值范围是[2，6]．…（3）法一：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），因直线l不与y轴重合，设直线l，…代入圆O得，所以（*）…若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的定义，AQ与BQ的斜率互为相反数有，又，，化简可得，…代入（*）式得，因为直线l任意，故，即t=2，即Q（0，2）…解法二：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A （x1，y1）、B（x2，y2），因直线l不与y轴重合，设直线l，…代入圆O得，所以（*）…若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d1，点B到y轴的距离d2满足，即，化简可得，…代入（*）式得，因为直线l任意，故，即t=2，即Q（0，2）…2017年7月28日。

2017/2018学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：锥体体积公式：13V Sh =一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．过原点且与直线10x y -+=垂直的直线的方程为 ▲ ． 2．在等比数列{}n a 中，12a =，358a a =，则7a 的值为 ▲ ． 3．若向量()=2,1m ，()=4,n λ，且//m n ，则实数λ的值为 ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy中，若点)t 在经过原点且倾斜角为32π的直线上，则实数t 的值为 ▲ ．5．若过点()1,2P --引圆()()22:1216C x y -+-=的切线，则切线长为 ▲ ．6．用半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为 ▲ ． 7．若角,αβ均为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β的值为 ▲ ． 8．如图，直三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为2，D 为棱11B C 中点， 则三棱锥1D A BC -的体积为 ▲ ．9．在ABC ∆中，若()()sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C +++-=，则角A 的值为 ▲ ．10．过点()0,2P 作直线l 与圆122=+y x :O 交于A ，B 两点，若12OA OB ⋅=-，则直线l 的斜率 为 ▲ ．11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.13853211 ，，，，，，，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若{}n a 是“斐波那契数列”，则()()22132243a aa a a a --()()22354201720192018a a a aaa --的值为 ▲ ．12．如图，在同一个平面内，OA 与OC 的夹角为α，且tan =2α， BC第8题OB 与OC 的夹角为60︒，=2OB OA ，若()1212,OC OA OB R λλλλ=+∈，则12λλ的值为 ▲ ．13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2A C π-=，a ，b ，c 成等差，则cos B的值为 ▲ ．14．定义：对于实数m 和两定点M ，N ，在某图形上恰有()n n N *∈个不同的点i P ，使得()1,2,,i i PM PN m i n ⋅==，称该图形满足“n 度契合”.若边长为4的正方形ABCD 中，2BC BM =，3DN NA =，且该正方形满足“4度契合”，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设函数()cos 22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，BC AB ⊥，12AD BC =，点E ，F ，G 分别是PB ，CD ，AB 的中点.（1）求证：AB ⊥EG ； （2）求证：//EF 平面PAD .17．（本小题满分14分）如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，M 为边EF 上一点，且满足FM FE λ=，设AB a =，第16题BAC PEDGFAF b =.（1）若12λ=，试用a ，b 表示FE 和AM ； （2）若1AM AC ⋅=，求λ的值.18．（本小题满分16分）如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，EA =60AED ∠=.（1）求ABE ∆区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求当水管CH 最短时的长．A第18题DCBE H19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，以点A 为圆心的圆A ：()()22220x y r r -+=>与圆O 交于B ，C 两点.（1）当r 时，求BC 的长； （2）当r 变化时，求AB AC ⋅的最小值；（3）过点()6,0P 的直线l 与圆A 切于点D ，与圆O 分别交于点E ，F ，若点E 是DF 的中点，试求直线l 的方程.20．（本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 满足1112n n b a a b a +=+-．（1）若12b =，数列{}n a 的前n 项和2n S n =，求数列{}n b 的通项公式；（2）若()11=0nn a a a <，且11=3b a ，①试用1a 和n 表示n b ；②若20b <，对任意的,i j N *∈，试用1a 表示i j b b -的最大值．2017/2018学年度第二学期期终调研考试高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1．0=+y x 2．4 3．2 4．3- 5．2 6．3 7．38 9．32π 10．15± 11．1 12．3 13．43 14．41-=m 或62<<m 二、解答题：本大题共6小题,共计90分. 15．解（1）x sin sinx sin cosx cos )x (f 26262-+=ππ=6262ππsinx sin -cosx cos ）（6π2x cos +=……………………………………………………4分 所以函数)x (f 的最小正周期为ππ=22……………………………………………………………6分 （2）当2π≤≤x 0时，6762πππ≤+≤x 6， 所以当ππ=+6x 2即125π=x 时，函数)x (f 的最小值为1-， 当662ππ=+x 即0=x 时，函数)x (f 的最大值为23……………………………………………14分 （如未交待在何处取得最值，各扣2分）16．证明：（1）因为⊥PD 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD所以AB PD ⊥ ……………………………………………………2分又因为BC //AD ，BC AB ⊥所以AD ⊥AB .又PD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面PAD . ………………………4分⊂AP 平面PAD ，所以PA AB ⊥在PAB ∆中，点G E 、分别是PB 、AB 的中点.所以EG //PA ，从而AB ⊥EG …………………………………………………7分()2由()1证明可知：EG //PA ，⊂AP 平面PAD ，⊄EG 平面PAD所以EG //平面PAD ，同理G F //平面PAD ，G FG EG =所以平面EFG//平面PAD ，………………………………………………10分又因为⊂EF 平面EFG所以EF ∥平面PAD .………………………………………………14分17．解 ：()1记正六边形的中心为点O ，连结OE OF OA OB 、、、，在平行四边形OFAB 中，+=+=，在平行四边形AOEF 中==+………………4分)(++=+=+=21212321+=……………6分()2若1=⋅AM ，)(++=+=+=λλ()1++=λλ()b a b a a FE AB BC AB AC +=++=+=+=2……………………………10分又因为211122-=∠=⋅==FAB b a ,b ,a ()()()=+⋅++=⋅b a b a AC AM 21λλ()()⋅++++231222λλλ123==λ，所以32=λ…………………………14分 18．()1由题211201==∠=︒EA ,ABC ,BE在E B A Δ中，由E B A BEcos -2AB BE B A AE 222∠⋅+=即B A B A 2++=121所以4=AB 百米………………………………………………………………………………………4分 所以323142121=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=ABE n si BE AB S ABE ∆平方百米………………………………6分 ()2记α=∠AEB ，在E B A Δ中，ABE sin AE in s AB ∠=α,即23214=αsin ，所以72117722=-==αααsin cos ,sin …………………………………………………12分 当DE CH ⊥时，水管长最短 在ECH Rt ∆中，απαπαπsin cos cos sin sin HEC sin CE CH 322322322-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∠=百米………16分19．解 ：（1）当r =2时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+2242222y )x (y x得，3,,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3,,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭7=BC ………………………4分 （2）由对称性，设)y -,x C )y ,x B 0000（、（，则42020=+y x所以2022y )（xAC AB --=⋅………………………………………………………………6分 )x ()（x 202042---=21220--=)x (因为220<<x -，所以当10=x 时，⋅的最小值为2-……………………………8分 （3）取EF 的中点G ，连结OF AD OG 、、，则AD//OG 则64===PG PD OP AP OG AD ，从而r OG 23=，不妨记t GF 22EG DE 2===，t PD 6= 在OFG Rt ∆中222FG OG OF +=即22t 23r 2+⎪⎭⎫⎝⎛=2①在ADP Rt ∆中222DP AD AP +=即()2264t r 2+=②由①②解得5102=r ……………………………………………………………………14分 由题直线 的斜率不为0，可设直线 的方程为：6+=my x ，由点A 到直线 的距离等于r 则510216022=+-⨯m |-m |，所以3±=m ，从而直线 的方程为063=-±y x ………16分 20．解()1由题{}n a 的前n 项和2n S n =，令1=n 得11=a ，,n 2=得421=+=a a S 2所以32=a ，所以21-=+n n b b ，得42+-=n b n …………………………………………………2分()2由()11=0n n a a a <得212a a =，所以,a b a a b n n 21111-+=+即(),a b a a -b n n 1111-=+又因为02111≠=-a a b ，所以{}1a b n -构成等比数列，从而nn n a a a a b 1111122=⋅=--所以112a a b nn +=…………………………………………………………………………………8分()3由题20b <，则02121<+a a 得0211<<-a ………………………………………………10分从而11121122a a |a |b n n <+-=--且{}12-n b 单调递增； 112122a a |a |b n n >+=且{}12-n b 单调递减……………………………………………………14分从而2462112531b b b b a b b b b n n <<<<<<<<<<<<- ，所以对任意*∈N j ,i j i b b -的最大值为1211222a a b b -=-……………………16分。

2016-2017学年江苏省盐城市高一下期末数学试题一、填空题1．函数的最小正周期为______．【答案】【解析】由三角函数的最小正周期公式可得：函数的最小正周期为 .2．已知直线过定点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为______．【答案】【解析】直线的斜率，则直线的一般式方程为：，整理为一般式为：.3．若，则______．【答案】【解析】由诱导公式可得：，由二倍角公式有： .4．在中，，，，则______．【答案】9【解析】如图所示，由平面向量数量积的定义可得：.点睛： 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．5．设等差数列的前项和为，若首项，公差，，则正整数=______．【答案】5【解析】由等差数列的前n 项和公式可得：，则：，据此可得正整数=5.6．设、表示两条直线，、表示两个平面，则下列命题正确的是______．（填写所有正确命题的序号）①若//，//，则//； ②若//，，，则； ③若//，，则；④若，，，则．【答案】②③【解析】①中，有可能直线b 位于平面 内，该说法错误；②中的结论符合面面垂直的推论，该说法正确； ③中的结论符合面面垂直的推论，该说法正确； ④若直线均在平面 内，则或，该结论错误.综上可得命题正确的是②③.7．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_________.【答案】5【解析】【考点】等比数列的性质。

分析：由题意可得 a32++2a3a5+a52=25，即（a3+a5）2=25，可得a3+a5 =5。

解答：在正项等比数列{a n} 中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，即 a32++2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，故 a3+a5 =5，点评：本题考查等比数列的定义和性质，得到 a32++2a3a5+a52=25，是解题的关键。

2017/2018学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．过原点且与直线10x y -+=垂直的直线的方程为 ▲ ． 2．在等比数列{}n a 中，12a =，358a a =，则7a 的值为 ▲ ． 3．若向量()=2,1m ，()=4,n λ，且//m n ，则实数λ的值为 ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy中，若点)t 在经过原点且倾斜角为32π的直线上，则实数t 的值为▲ ．5．若过点()1,2P --引圆()()22:1216C x y -+-=的切线，则切线长为 ▲ ．6．用半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为 ▲ ． 7．若角,αβ均为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β的值为 ▲ ． 8．如图，直三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为2，D 为棱11B C 中点， 则三棱锥1D A BC -的体积为 ▲ ．9．在ABC ∆中，若()()sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C +++-=，则角A 的值为 ▲ ．10．过点()0,2P 作直线l 与圆122=+y x :O 交于A ，B 两点，若12OA OB ⋅=-，则直第8题线l 的斜率 为 ▲ ．11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.13853211 ，，，，，，，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若{}n a 是“斐波那契数列”，则()()22132243a a a a aa --()()22354201720192018a a a aaa --的值为 ▲ ．12．如图，在同一个平面内，OA 与OC 的夹角为α，且tan =2α， OB 与OC 的夹角为60︒，=2OB OA ，若()1212,OC OA OB R λλλλ=+∈，则12λλ的值为 ▲ ．13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2A C π-=，a ，b ，c 成等差，则cos B 的值为 ▲ ．14．定义：对于实数m 和两定点M ，N ，在某图形上恰有()n n N*∈个不同的点iP ，使得()1,2,,i iPM PN m i n ⋅==，称该图形满足“n 度契合”.若边长为4的正方形ABCD 中，2BC BM =，3DN NA =，且该正方形满足“4度契合”，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设函数()cos 22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.第12题BACO16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，BC AB ⊥，12AD BC =，点E ，F ，G 分别是PB ，CD ，AB 的中点. （1）求证：AB ⊥EG ； （2）求证：//EF 平面PAD .17．（本小题满分14分）如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，M 为边EF 上一点，且满足FM FE λ=，设AB a =，AF b =. （1）若12λ=，试用a ，b 表示FE 和AM ； （2）若1AM AC ⋅=，求λ的值.第16题BAC PEDGF第17题18．（本小题满分16分）如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，EA =60AED ∠=.（1）求ABE ∆区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求当水管CH 最短时的长．19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，以点A 为圆心的圆A ：()()22220x y r r -+=>与圆O 交于B ，C 两点.（1）当r 时，求BC 的长； （2）当r 变化时，求AB AC ⋅的最小值；（3）过点()6,0P 的直线l 与圆A 切于点D ，与圆O 分别交于点E ，F ，若点E 是DF 的A第18题DCBE H中点，试求直线l 的方程.20．（本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 满足1112n n b a a b a +=+-．（1）若12b =，数列{}n a 的前n 项和2n S n =，求数列{}n b 的通项公式；（2）若()11=0nn a a a <，且11=3b a ，①试用1a 和n 表示n b ；②若20b <，对任意的,i j N *∈，试用1a 表示i j b b -的最大值．2017/2018学年度第二学期期终调研考试高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1．0=+y x 2．4 3．2 4．3- 5．2 6．3 7．38 9．32π 10．15± 11．1 12．3 13．43 14．41-=m 或62<<m二、解答题：本大题共6小题,共计90分. 15．解（1）x sin sinx sin cosx cos )x (f 26262-+=ππ=6262ππsinx sin -cosx cos ）（6π2x cos +=……………………………………………………4分 所以函数)x (f 的最小正周期为ππ=22……………………………………………………………6分 （2）当2π≤≤x 0时，6762πππ≤+≤x 6， 所以当ππ=+6x 2即125π=x 时，函数)x (f 的最小值为1-， 当662ππ=+x 即=x 时，函数)x (f 的最大值为23……………………………………………14分 （如未交待在何处取得最值，各扣2分）16．证明：（1）因为⊥PD 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD所以AB PD ⊥ ……………………………………………………2分又因为BC //AD ，BC AB ⊥所以AD ⊥AB .又PD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面PAD . ………………………4分⊂AP 平面PAD ，所以PA AB ⊥在PAB ∆中，点G E 、分别是PB 、AB 的中点.所以EG //PA ，从而AB ⊥EG …………………………………………………7分()2由()1证明可知：EG //PA ，⊂AP 平面PAD ，⊄EG 平面PAD所以EG //平面PAD ，同理G F //平面PAD ，G FG EG =所以平面EFG//平面PAD ，………………………………………………10分 又因为⊂EF 平面EFG所以EF ∥平面PAD .………………………………………………14分17．解 ：()1记正六边形的中心为点O ，连结OE OF OA OB 、、、，在平行四边形OFAB 中，AF AB AO +=b a +=，在平行四边形AOEF 中AO FE ==b a +………………4分)b a (b FE AF FM AF AM ++=+=+=2121b a 2321+=……………6分()2若1=⋅AC AM ，)b a (b FE AF FM AF AM ++=+=+=λλ()ba 1++=λλ()b a b a a FE AB BC AB AC +=++=+=+=2……………………………10分又因为211122-=∠=⋅==FAB ,, ()()()=+⋅++=⋅21λλ()()b a b a ⋅++++231222λλλ123==λ，所以32=λ…………………………14分 18．()1由题211201==∠=︒EA ,ABC ,BE在E B A Δ中，由E B A BEcos -2AB BE B A AE 222∠⋅+=即B A B A 2++=121所以4=AB 百米………………………………………………………………………………………4分 所以323142121=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=ABE n si BE AB S ABE ∆平方百米………………………………6分()2记α=∠AEB ，在E B A Δ中，ABE sin AEin s AB ∠=α,即23214=αsin ，所以72117722=-==αααsin cos ,sin …………………………………………………12分当DE CH ⊥时，水管长最短 在ECH Rt ∆中，απαπαπsin cos cos sin sin HEC sin CE CH 322322322-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∠==百米………16分19．解 ：（1）当r =2时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+2242222y )x (y x得，3,,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3,,22C ⎛- ⎝⎭7=BC ………………………4分 （2）由对称性，设)y -,x C )y ,x B 0000（、（，则42020=+y x所以2022y )（x --=⋅………………………………………………………………6分)x ()（x 202042---=21220--=)x (因为220<<x -，所以当10=x 时，⋅的最小值为2-……………………………8分 （3）取EF 的中点G ，连结OF AD OG 、、，则AD//OG 则64===PG PD OP AP OG AD ，从而r OG 23=，不妨记t GF 22EG DE 2===，t PD 6= 在OFG Rt ∆中222FG OG OF +=即22t 23r 2+⎪⎭⎫⎝⎛=2①在ADP Rt ∆中222DP AD AP +=即()2264t r 2+=②由①②解得5102=r ……………………………………………………………………14分 由题直线 的斜率不为0，可设直线 的方程为：6+=my x ，由点A 到直线 的距离等于r则510216022=+-⨯m |-m |，所以3±=m ，从而直线 的方程为063=-±y x ………16分 20．解()1由题{}n a 的前n 项和2n S n =，令1=n 得11=a ，,n 2=得421=+=a a S 2所以32=a ，所以21-=+n n b b ，得42+-=n b n …………………………………………………2分()2由()11=0n n a a a <得212a a =，所以,a b a a b n n 21111-+=+即(),a b a a -b n n 1111-=+又因为02111≠=-a a b ，所以{}1a b n -构成等比数列，从而nn n a a a a b 1111122=⋅=--所以112a a b nn +=…………………………………………………………………………………8分()3由题20b <，则02121<+a a 得0211<<-a ………………………………………………10分从而11121122a a |a |b n n <+-=--且{}12-n b 单调递增； 112122a a |a |b n n >+=且{}12-n b 单调递减……………………………………………………14分从而2462112531b b b b a b b b b n n <<<<<<<<<<<<- ，所以对任意*∈N j ,i j i b b -的最大值为1211222a a b b -=-……………………16分。

2016/2017学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数()2sin(2)3f x x π=-的最小正周期为 ▲ ．2．已知直线l 过定点(1,0)，且倾斜角为3π，则直线l 的一般式方程为 ▲ ． 3．若2sin()23πα+=，则cos2α= ▲ ． 4．在Rt ABC ∆中，2A π=，4AB =，3AC =，则CA CB ⋅= ▲ ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若首项13a =-，公差2d =，5k S =，则正整数k = ▲ ．6．设a 、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是 ▲ ．（填写所有正确命题的序号）①若a //b ，a //α，则b //α； ②若a //b ，a α⊂，b β⊥，则αβ⊥； ③若α//β，a α⊥，则a β⊥；④若αβ⊥，a b ⊥，a α⊥，则b β⊥． 7．已知正项等比数列{}n a ，且153537225a a a a a a ++=，则35a a += ▲ ． 8．若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为65π的扇形，则该圆锥的体积为 ▲ ． 9．已知向量a 是与向量b ＝(－3,4)同向的单位向量，则向量a 的坐标是 ▲ ． 10．已知函数3cos(2)y x ϕ=+是奇函数，则||ϕ的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，以点（1,0）为圆心且与直线2410mx y m --+=()m R ∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足1122,211,2n n n a n k a a n k ---=+⎧=⎨+=⎩（*k N ∈），若11a =，则20S = ▲ ．13．如图，点P 是正六边形ABCDEF 的边上的一个动点，设AP xAB y AE =+，则x y +的最大值为 ▲ ．14．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22a b bc =+，则ab的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G 、H 分别是DF 、BE 的中点．（1）求证：GH ∥平面CDE ；（2）若CD ＝2，DB ＝F －ABCD 的体积．16．（本小题满分14分）已知向量2x ka b =+和y a b =-，其中(1,2)a =-，(4,2)b =，k R ∈． （1）当k 为何值时，有x ∥y ；（2）若向量x 与y 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．FABCEDH GABCDE F（第13题图）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆O ：221x y +=与x 轴正半轴的交点，半径OA 在x 轴的上方，现将半径OA 绕原点O 逆时针旋转3π得到半径OB ．设POA x ∠=(0x π<<)，()()f x OA OB OP =+⋅．（1）若2x π=，求点B 的坐标； （2）求函数()f x 的最小值，并求此时x 的值．18．（本小题满分16分）如图，OA 、OB 是两条公路（近似看成两条直线），3AOB π∠=，在A O B ∠内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P 到直线OA 、OB 的距离分别为PD 、PE ，PD =6千米，PE =12千米．现经过纪念塔P 修建一条直线型小路，与两条公路OA 、OB 分别交于点M 、N ． （1）求纪念塔P 到两条公路交点O 处的距离； （2）若纪念塔P 为小路MN 的中点，求小路MN 的长．x设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，312S =． （1）求24a 与7S 的值；（2）已知m 、n 均为正整数，满足m n a S =.试求所有n 的值构成的集合．20．（本小题满分16分）如图，已知动直线l 过点1(0,)2P ，且与圆22:1O x y +=交于A 、B 两点． （1）若直线l，求OAB ∆的面积；（2）若直线l 的斜率为0，点C 是圆O 上任意一点，求22CA CB +的取值范围； （3）是否存在一个定点Q （不同于点P ），对于任意不与y 轴重合的直线l ，都有PQ 平分AQB ∠，若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2016/2017学年度第二学期高一年级期终考试高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分. 1、π20y -3、19-4、95、56、②③7、58、12π9、34(,)55- 10、2π11、22(1)2x y -+=12、205613、214、二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15. 解： (1)证明：连接FC ，∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC ． 又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ……………2分 又H 为BE 的中点 ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴HG ∥CD ． ……………4分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴GH ∥平面CDE ． ……………6分(2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ， 且FA ⊥AD ，又FA ⊂平面ADEF∴FA ⊥平面ABCD ． ……………8分 ∵AD ＝BC ＝6，∴FA ＝AD ＝6．又∵CD ＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2，∴BD ⊥CD ． ……………10分 ∵SABCD＝CD·BD＝82，∴V F －ABCD ＝13SABCD·FA＝13×82×6＝162． ……………14分16.解：（1）由//x y ，设x t y =，所以2()ka b t a b +=-，即()(2)t k a t b -=+， ……………2分 又(1,2)a =-，(4,2)b =，得a 与b 不共线， ……………4分 所以20t k t -=+=，解得2k =-. .……………6分（2）因向量x 与y 的夹角为钝角，所以(2)()0x y ka b a b ⋅=+⋅-<， ……………8分 又(1,2)a =-，(4,2)b =，得0a b ⋅=， ……………10分所以2225400x y ka b k ⋅=-=-<，即8k <， ……………12分 又向量x 与y 不共线，由（1）知2k ≠-，所以8k <且2k ≠-. ……………14分17.解：（1）因点P 是圆O ：221x y +=与x 轴正半轴的交点，又2x π=，且半径OA 绕原点O 逆时针旋转3π得到半径OB ， 所以56POB π∠=， ……………3分由三角函数的定义，得5cos16B x π=，5sin 16B y π=，解得B x =，12B y =，所以1()2B . ……………6分（2）依题意，(1,0)OP =，(cos ,sin )OA x x =，(cos(),sin())33OB x x ππ=++， (8)分所以3()cos()cos cos 322f x x x x x π=++=-，所以1()sin ))23f x x x x π-=-， ……… 12分因0x π<<，2333x πππ-<-<，所以当32x ππ-=时，即56x π=，函数()f x 取最小值 (14)分18.解法一：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则直线OB 的方程为y =， (2)分又P 到直线OA 的距离PD =6千米，设(,6)P t ， ……… 4分所以12=，解得t =或-（舍负），所以OP . 7分（2）因P 为小路MN 的中点，点M 在x 轴上，即0M y =，所以12N y =， ……… 9分又点N 在OB 上，所以N N y =，所以N x = ……… 10分由（1）知P ，所以M x =24MN =. ……… 14分答：（1）P 到点O 处的距离为（2）小路MN 的长为24千米. (16)分解法二：（1）设POA α∠=，则3POB πα∠=-， (2)分因P 到直线OA 、OB 的距离分别为PD 、PE ，PD =6千米，PE =12千米， 所以612sin sin()3OP παα==-， ……… 4分所以2sin sin()3παα=-，化简得tan α=又22sin cos 1αα+=，所以sin α，6sin OP α==. ………7分 （2）设PMO θ∠=，则23PMN πθ∠=-， ……… 9分因P 为小路MN 的中点，即PM PN =， 所以6122sin sin()3πθθ=-，即2sin()2sin 3πθθ-=， ……… 12分 解得6πθ=，所以12224sin6MN PM π===. (14)分答：（1）P 到点O处的距离为（2）小路MN 的长为24千米. ……… 16分19. 解：（1）因数列{}n a 是等差数列，所以32312S a ==，所以24a =， ……… 2分又11a =，所以公差3d =，所以13(1)32n a n n =+-=-，213(132)22n n nS n n -=+-=， (4)分所以2470a =，27377702S ⋅-==. (6)分（2）由（1）知32m a m =-，由m n a S =，得23322n nm --=， (8)分所以2223433442(1)6623n n n n n n n m n -++-++===--， (10)分因2(1)n n n n +=+为正偶数，22n n+为正整数， (12)分所以只需2(1)3n -为整数即可，即3整除1n -， ……… 14分所以，所有n 的值构成的集合为{}31,A n n k k N ==+∈. ……… 16分20. 解：（1）因为直线ll 213:+=x y ，则点O 到直线l 的距离412|21|==d ，……… 2分所以弦AB 的长度2154112||2=⎪⎭⎫⎝⎛-=AB ，所以16152154121=⋅⋅=∆OAB S . ………4分（2）因为直线l 的斜率为0，所以可知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21,23A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23B ， ………6分设点),(y x C ，则122=+y x ，又()222222221122222CA CB x y x y x y y ⎛⎛⎛⎫⎛⎫+=++-+-+-=++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，… 8分 所以2242CA CB y +=-，又[]1,1-∈y ， 所以22CA CB +的取值范围是[]2,6.……… 9分（3）法一： 若存在，则根据对称性可知，定点Q 在y 轴上，设),0(t Q 、又设),(11y x A 、),(22y x B ，因直线l 不与y 轴重合，设直线l 21:+=kx y ， ……… 10分代入圆O 得043)1(:22=-++kx x k ， 所以221221143,1kx x k kx x +-=+-=+（*） ……… 12分若PQ 平分AQB ∠，则根据角平分线的定义，AQ 与BQ 的斜率互为相反数有12120y t y t x x --+=，又1112y kx =+，2212y kx =+， 化简可得))(21(2:2121x x t x kx +-=，……… 14分代入（*）式得k t k )21(23:-=，因为直线l 任意，故2123-=t ， 即2=t ， 即(0,2)Q ……… 16分 解法二若存在，则根据对称性可知，定点Q 在y 轴上，设),0(t Q 、又设),(11y x A 、),(22y x B ，因直线l 不与y 轴重合，设直线l 21:+=kx y ， ……… 10分代入圆O 得043)1(:22=-++kx x k ， 所以221221143,1kx x k kx x +-=+-=+（*） ……… 12分 若PQ 平分AQB ∠，则根据角平分线的几何意义，点A 到y 轴的距离1d ，点B 到y 轴的距离2d 满足21:d QBd QA =，即||)(||)(2222212121x y t x x y t x -+=-+，化简可得))(21(2:2121x x t x kx +-=，……… 14分代入（*）式得k t k )21(23:-=，因为直线l 任意，故2123-=t ， 即2=t ， 即(0,2)Q ……… 16分。

2017/2018学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．过原点且与直线10x y -+=垂直的直线的方程为 ▲ ． 2．在等比数列{}n a 中，12a =，358a a =，则7a 的值为 ▲ ． 3．若向量()=2,1m ，()=4,n λ，且//m n ，则实数λ的值为 ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，若点)t 在经过原点且倾斜角为32π的直线上，则实数t 的值为▲ ．5．若过点()1,2P --引圆()()22:1216C x y -+-=的切线，则切线长为 ▲ ．6．用半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为 ▲ ． 7．若角,αβ均为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β的值为 ▲ ． 8．如图，直三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为2，D 为棱11B C 中点， 则三棱锥1D A BC -的体积为 ▲ ．9．在ABC ∆中，若()()sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C +++-=，则角A 的值为 ▲ ．10．过点()0,2P 作直线l 与圆122=+y x :O 交于A ，B 两点，若12OA OB ⋅=-，则直线l 的斜率第8题为 ▲ ．11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.13853211 ，，，，，，，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若{}n a 是“斐波那契数列”，则()()22132243a a a a aa --()()22354201720192018a a a aaa --的值为▲ ．12．如图，在同一个平面内，OA 与OC 的夹角为α，且tan =2α， OB 与OC 的夹角为60︒，=2OB OA ，若()1212,OC OA OB R λλλλ=+∈，则12λλ的值为 ▲ ．13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2A C π-=，a ，b ，c 成等差，则cos B 的值为 ▲ ．14．定义：对于实数m 和两定点M ，N ，在某图形上恰有()n n N*∈个不同的点iP ，使得()1,2,,i i PM PN m i n ⋅==，称该图形满足“n 度契合”.若边长为4的正方形ABCD 中，2BC BM =，3DN NA =，且该正方形满足“4度契合”，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设函数()cos 22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.16．（本小题满分14分）第12题BACO如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，BC AB ⊥，12AD BC =，点E ，F ，G 分别是PB ，CD ，AB 的中点. （1）求证：AB ⊥EG ； （2）求证：//EF 平面PAD .17．（本小题满分14分）如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，M 为边EF 上一点，且满足FM FE λ=，设AB a =，AF b =.（1）若12λ=，试用a ，b 表示FE 和AM ； （2）若1AM AC ⋅=，求λ的值.第16题BACPEDGF第17题18．（本小题满分16分）如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，EA =60AED ∠=.（1）求ABE ∆区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求当水管CH 最短时的长．19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，以点A 为圆心的圆A ：()()22220x y r r -+=>与圆O 交于B ，C 两点.（1）当r 时，求BC 的长； （2）当r 变化时，求AB AC ⋅的最小值；（3）过点()6,0P 的直线l 与圆A 切于点D ，与圆O 分别交于点E ，F ，若点E 是DF 的中点，试求直线l 的方程.A第18题DCBE H20．（本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 满足1112n n b a a b a +=+-．（1）若12b =，数列{}n a 的前n 项和2n S n =，求数列{}n b 的通项公式；（2）若()11=0nn a a a <，且11=3b a ，①试用1a 和n 表示n b ；②若20b <，对任意的,i j N *∈，试用1a 表示i j b b -的最大值．2017/2018学年度第二学期期终调研考试高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1．0=+y x 2．4 3．2 4．3- 5．2 6．3 7．38 9．32π 10．15± 11．1 12．3 13．43 14．41-=m 或62<<m二、解答题：本大题共6小题,共计90分. 15．解（1）x sin sinx sin cosx cos )x (f 26262-+=ππ=6262ππsinx sin -cosx cos ）（6π2x cos +=……………………………………………………4分 所以函数)x (f 的最小正周期为ππ=22……………………………………………………………6分 （2）当2π≤≤x 0时，6762πππ≤+≤x 6， 所以当ππ=+6x 2即125π=x 时，函数)x (f 的最小值为1-， 当662ππ=+x 即=x 时，函数)x (f 的最大值为23……………………………………………14分 （如未交待在何处取得最值，各扣2分）16．证明：（1）因为⊥PD 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD所以AB PD ⊥ ……………………………………………………2分又因为BC //AD ，BC AB ⊥所以AD ⊥AB .又PD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面PAD . ………………………4分⊂AP 平面PAD ，所以PA AB ⊥在PAB ∆中，点G E 、分别是PB 、AB 的中点.所以EG //PA ，从而AB ⊥EG …………………………………………………7分()2由()1证明可知：EG //PA ，⊂AP 平面PAD ，⊄EG 平面PAD所以EG //平面PAD ，同理G F //平面PAD ，G FG EG =所以平面EFG//平面PAD ，………………………………………………10分 又因为⊂EF 平面EFG所以EF ∥平面PAD .………………………………………………14分17．解 ：()1记正六边形的中心为点O ，连结OE OF OA OB 、、、，在平行四边形OFAB 中，AF AB AO +=b a +=，在平行四边形AOEF 中AO FE ==b a +………………4分)(++=+=+=21212321+=……………6分()2若1=⋅，)(++=+=+=λλ()1++=λλ()b a b a a FE AB BC AB AC +=++=+=+=2……………………………10分又因为211122-=∠=⋅==FAB ,, ()()()=+⋅++=⋅b a b a AC AM 21λλ()()⋅++++231222λλλ123==λ，所以32=λ…………………………14分 18．()1由题211201==∠=︒EA ,ABC ,BE在E B A Δ中，由E B A BEcos -2AB BE B A AE 222∠⋅+=即B A B A 2++=121所以4=AB 百米………………………………………………………………………………………4分 所以323142121=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=ABE n si BE AB S ABE ∆平方百米………………………………6分()2记α=∠AEB ，在E B A Δ中，ABE sin AEin s AB ∠=α,即23214=αsin ，所以72117722=-==αααsin cos ,sin …………………………………………………12分当DE CH ⊥时，水管长最短 在ECH Rt ∆中，απαπαπsin cos cos sin sin HEC sin CE CH 322322322-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∠==百米………16分19．解 ：（1）当r =2时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+2242222y )x (y x得，3,2B ⎛ ⎝⎭3,,2C ⎛ ⎝⎭7=BC ………………………4分 （2）由对称性，设)y -,x C )y ,x B 0000（、（，则42020=+y x所以20202y )（x--=⋅………………………………………………………………6分)x ()（x 202042---=21220--=)x (因为220<<x -，所以当10=x 时，⋅的最小值为2-……………………………8分 （3）取EF 的中点G ，连结OF AD OG 、、，则AD//OG 则64===PG PD OP AP OG AD ，从而r OG 23=，不妨记t GF 22EG DE 2===，t PD 6= 在OFG Rt ∆中222FG OG OF +=即22t 23r 2+⎪⎭⎫⎝⎛=2①在ADP Rt ∆中222DP AD AP +=即()2264t r 2+=②由①②解得5102=r ……………………………………………………………………14分 由题直线 的斜率不为0，可设直线 的方程为：6+=my x ，由点A 到直线 的距离等于r 则510216022=+-⨯m |-m |，所以3±=m ，从而直线 的方程为063=-±y x ………16分 20．解()1由题{}n a 的前n 项和2n S n =，令1=n 得11=a ，,n 2=得421=+=a a S 2所以32=a ，所以21-=+n n b b ，得42+-=n b n …………………………………………………2分()2由()11=0n n a a a <得212a a =，所以,a b a a b n n 21111-+=+即(),a b a a -b n n 1111-=+又因为02111≠=-a a b ，所以{}1a b n -构成等比数列，从而n n n a a a a b 1111122=⋅=--所以112a a b nn +=…………………………………………………………………………………8分()3由题20b <，则02121<+a a 得0211<<-a ………………………………………………10分从而11121122a a |a |b n n <+-=--且{}12-n b 单调递增； 112122a a |a |b n n >+=且{}12-n b 单调递减 (14)分从而2462112531b b b b a b b b b n n <<<<<<<<<<<<- ，所以对任意*∈N j ,i j i b b -的最大值为1211222a a b b -=-……………………16分。