传热学大作业——二维物体热传导
问题的数值解法
1.二维热传导问题的物理描述：
本次需要解决的问题是结合给定的边界条件，通过二维导热物体的数值解法，求解出某建筑物墙角稳态下的温度分布t以及单位长度壁面上的热流量φ。
1.1关于边界条件和研究对象选取的物理描述：如图所示为本次作业需要求解的
建筑物墙壁的截面。尺寸如图中所标注。
1.2由于墙角的对称性，A-A，B-B截面都是绝热面，并且由于对称性，我们只需
要研究墙角的1/4即可(图中阴影部分)。假设在垂直纸面方向上不存在热量
的传递，我们只需要对墙角进行二维问题的研究即可。
1.3 关于导热量计算截面的物理描述：本次大作业需要解决对流边界条件和等温
边界条件下两类边界条件的问题。由于对称性，我们只需研究1/4墙角外表面和内表面的导热量再乘4，即是墙壁的总导热量。
2.二维热传导问题的数学描写：
本次实验的墙角满足二维，稳态无内热源的条件，因此：
壁面内满足导热微分方程：
∂2t ∂x2+∂2t
∂y2
=0。
在绝热面处，满足边界条件：
−λ(∂t
∂n
)=0。
在对流边界处满足边界条件：
−λ(∂t
∂n )w
=ℎ(t w −t f )
3.二维热传导问题离散方程的建立：
本次作业中墙角的温度场是一个稳态的连续的场。本次作业中将1/4墙角的温度场离散化，划分成若干小的网格，每个网格的节点看成以它为中心的一个小区域的代表。通过这些节点，采用“热平衡法”，建立起相应的离散方程，通过高斯-赛德尔迭代法，得到最终收敛的温度场，从而完成对墙角温度场的数值解。
对1/4墙角的网格划分如下：
选取步长Δx =Δy =0.1m ，为了方便研究，对导热物体的网格节点进行编码，编码规则如下：
x,y 坐标轴的方向如图所示，x,y 轴的单位长度为步长Δx , 取左下角点为(1,1)点，其他
点的标号为其在x,y 轴上的坐标。以此进行编码，进行离散方程的建立。
建立离散方程，要对导热物体中的节点根据其边界条件进行分类（特殊节点用阴影
标出）：首先以对流边界条件下的墙角为例
1.外壁面上，平直边界节点：
建立离散方程：
λΔy t i+1,j−t i,j
Δx
+λ
Δx
2
t i,j+1−t i,j
Δy
+λ
Δx
2
t i,j−1−t i,j
Δy
+hoΔx(t fo−t i,j)=0
以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=λ
2·(t i,j−1+t i,j+1)+λ·t i+1,j+ℎo·Δx·t fo
2λ+ℎo·Δx
2.外部角点：
建立离散方程：
ho·Δx(t fo−t i,j)+λΔy
2
t i,j+1−t i,j
Δx+λ
Δx
2
·
t i,j−1−t i,j
Δy
=0
以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=λ
2·(t i+1,j+t i,j−1)+ℎo·Δx·t fo
λ+ℎo·Δx
3.绝热+对流边界角点：
建立离散方程：
ho·Δy
2
·(t fo−t i,j)+λ
Δx
2
·
t i,j+1−t i,j
Δy
+λ
Δy
2
·
t i+1,j−t i,j
Δx
=0
以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=λ
2·(t i,j+1+t i+1,j)+ℎo·
Δy
2·t fo
λ+ℎo·
Δy
2
4.内部角点：
建立离散方程：
hi·Δx·(t fi−t i,j)+λ·Δx·t i,j+1−t i,j
Δy
+λΔy·
t i−1,j−t i,j
Δx
+λ
Δy
2
·
t i+1,j−t i,j
Δx
+λΔx
2
·
t i,j−1−t i,j
Δx
=0
以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=λ
2·(t i+1,j+t i,j−1)+λ(t i,j+1+t i−1,j)+ℎi·Δx·t fi
3λ+ℎi·Δx
5.绝热平直边界节点：
建立离散方程：
λΔx
2
·
t i,j+1−t i,j
Δy
+λ
Δx
2
·
t i,j−1−t i,j
Δx
+λΔy·
t i−1,j−t i,j
Δx
=0
以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=λ
2·(t i,j−1+t i,j+1)+λ·t i−1,j
2λ
6.对于普通内部节点：
建立离散方程：
λΔx·t i,j+1−t i,j
Δy
+λΔx·
t i,j−1−t i,j
Δy
+λΔy·
t i−1,j−t i,j
Δx
+λΔy
t i+1,j−t i,j
Δx
=0以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=
λ·(t i,j−1+t i,j+1+t i−1,j+t i+1,j)
4λ
