2015届高考数学一轮复习课时作业：32 基本不等式

课时分层训练(三十二)基本不等式A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为() A ．－1 B ．0 C ．1D ．2C [由于x >－1，则x ＋1>0，所以y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2x ＋1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，由于x >－1，即当x ＝0时，上式取等号．] 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件．] 3．已知x ＞0，y ＞0，lg2x ＋lg8y＝lg2，则1x ＋13y的最小值是()A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3C [∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴lg(2x·8y)＝lg2， ∴2x ＋3y＝2，∴x ＋3y ＝1.∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号．所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．]4．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为() A ．24 B ．32 C ．20D ．28C [∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4≥6×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号． ∴x ＋y 的最小值为20.]5．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则()A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <QC [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， 12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ， 即Q >P .∵a ＋b2>ab ，∴lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R .] 二、填空题6．若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是__________.2[因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.] 7．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为__________．94[由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，所以2p ＋1＝4， 解得p ＝94.]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨． 20[每次都购买x 吨，则需要购买400x次．∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， ∴一年的总运费与总存储费用之和为4×400x＋4x 万元．∵4×400x ＋4x ≥160，当且仅当4x ＝4×400x时取等号，∴x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．] 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x－2x的最大值．[解](1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.2分当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 4分当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.6分(2)∵0<x <2， ∴2－x >0， ∴y ＝x－2x＝2·x－x ≤2·x ＋2－x2＝2， 8分当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x的最大值为 2.12分10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值.[解](1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 2分又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.5分(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.8分当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知f (x )＝x 2＋33x(x ∈N *)，则f (x )在定义域上的最小值为()A ．585B ．232C ．33D ．233B [f (x )＝x 2＋33x ＝x ＋33x，∵x ∈N *＞0， ∴x ＋33x≥2x ·33x＝233，当且仅当x ＝33时取等号．但x ∈N *，故x ＝5或x ＝6时，f (x )取最小值， 当x ＝5时，f (x )＝585，当x ＝6时，f (x )＝232，故f (x )在定义域上的最小值为232.故选B ．]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1，若f (a )＝f (b )(0＜a ＜b )，则1a ＋4b取得最小值时，f (a ＋b )＝________.1－2lg2[由f (a )＝f (b )及0＜a ＜b 可得lg b ＝－lg a ，即lg(ab )＝0，即ab ＝1， 则1a ＋4b ＝4a ＋b ab ＝4a ＋b ≥24ab ＝4，当且仅当b ＝4a 时，1a ＋4b取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，b ＝4a ，可得a ＝12，b ＝2，∴f (a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝lg 52＝1－2lg2.] 3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．[解](1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t，1≤t ≤20，559＋140t－4t ，20<t ≤30. 5分(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值).7分当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，10分 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元.12分。

§1.4基本不等式课标要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1.基本不等式：a ＋b2≥ab (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立.(3)其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均值，ab 称为a ，b 的几何平均值.2.利用基本不等式求最值(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab 与ab ≤a ＋b2等号成立的条件是相同的．(×)(2)y ＝x ＋1x的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x 4.(×)2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于()A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4答案C解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时，取等号，即当f (x )取得最小值时x ＝3，即a ＝3.3．已知0<x <1，则x (1－x )的最大值为()A.14B.18C.116D ．1答案A解析因为0<x <1，所以1－x >0，所以x (1－x )＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立，故x (1－x )的最大值为14.4．(2023·重庆模拟)已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4解析由x ＋y ＝1得1x ＋1y ＝x ＋y )＝2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立，即1x ＋1y的最小值为4.题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是()A ．b >a ＋b2>a >abB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案C解析∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b 2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b 2>ab >a .(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为点E ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b2≤ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)D.a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0)答案C解析根据图形，利用射影定理得CD 2＝DE ·OD ，又OD ＝12AB ＝12(a ＋b )，CD 2＝AC ·CB ＝ab ，所以DE ＝CD 2OD＝ab a ＋b 2，由于OD ≥CD ，所以a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．由于CD ≥DE ，所以ab ≥2aba ＋b ＝21a ＋1b (a >0，b >0)．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤a 2＋b 22.(2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练1(1)已知p ：a >b >0，q ：a 2＋b 22>，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2，∴a 2＋b 22>，∴由p 可推出q ；当a <0，b <0时，q 也成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(多选)已知a ，b ∈R ，则下列不等式成立的是()A.a ＋b 2≥abB.a ＋b 2≤a 2＋b 22C.2ab a ＋b ≤a ＋b 2D ．ab ≤a 2＋b 22答案BD解析A 选项，由选项可知a 与b 同号，当a >0且b >0时，由基本不等式可知a ＋b2≥ab 恒成立，当a <0且b <0时，a ＋b2<0，ab >0，该不等式不成立，故A 选项错误；B 选项，当a ＋b >0时，a ＋b2>0，则＝a 2＋b 2＋2ab －2a 2－2b 24＝－(a －b )24≤0恒成立，即a ＋b2≤a 2＋b 22恒成立，当a ＋b ≤0时，原不等式恒成立，故B 选项正确；C 选项，当a ＋b >0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≤a ＋b2恒成立，当a ＋b <0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≥a ＋b2，故C 选项错误；D 选项，由重要不等式可知，a ，b ∈R ，ab ≤a 2＋b 22恒成立，故D 选项正确．题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是()A ．x －1x B ．2x ＋2－xC ．x 2＋1x 2D.x 2＋2＋1x 2＋2答案BC解析选项A 中，当x <0时，函数y ＝x －1x单调递增，无最小值，不符合题意；选项B 中，2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，当且仅当x ＝0时，等号成立，满足题意；选项C 中，x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x ＝±1时，等号成立，满足题意；选项D 中，x 2＋2＋1x 2＋2≥2x 2＋2·1x 2＋2＝2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意．(2)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．答案3解析由已知，得12＝4x ＋3y ≥24x ·3y ，即12≥24x ·3y ，解得xy ≤3(当且仅当4x ＝3y 时取等号)．命题点2配凑法例3(1)(2023·许昌模拟)已知a ，b 为正数，4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2的最大值为()A.7B.3C ．22D ．2答案D解析因为4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2＝12×2a ×1＋b 2＝124a 2(1＋b 2)≤12×4a 2＋1＋b 22＝2，当且仅当4a 2＝1＋b 2，即a ＝1，b ＝3时，等号成立．(2)已知x >1，则x 2＋3x －1的最小值为()A ．6B ．8C ．10D ．12答案A解析因为x >1，所以x －1>0，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝x －1＋2＋4x －1≥2＋2(x －1)·4x －1＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立．与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型如图，对于函数f (x )＝x ＋kx，k ＞0，x ∈[a ，b ]，[a ，b ]⊆(0，＋∞)．(1)当k ∈[a ，b ]时，f (x )＝x ＋kx ≥2k ，f (x )min ＝f (k )＝k ＋k k ＝2k ；(2)当k ＜a 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝a ＋ka ；(3)当k ＞b 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递减，f (x )min ＝f (b )＝b ＋kb.因此，只有当k ∈[a ，b ]时，才能使用基本不等式求最值，而当k ∉[a ，b ]时只能利用对勾函数的单调性求最值．典例函数f (x )＝x 2＋3x 2＋2的最小值是______．答案32解析由f (x )＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋3x 2＋2－2，令x 2＋2＝t (t ≥2)，则有f (t )＝t ＋3t－2，由对勾函数的性质知，f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，f (t )min ＝32，即当x ＝0时，f (x )min ＝32.命题点3代换法例4(1)已知正数a ，b 满足8b ＋4a ＝1，则8a ＋b 的最小值为()A ．54B ．56C ．72D ．81答案C解析8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．延伸探究已知正数a ，b 满足8a ＋4b ＝ab ，则8a ＋b 的最小值为________．答案72解析∵8a ＋4b ＝ab ，a >0，b >0，∴8b ＋4a＝1，∴8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．(2)已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝3恒成立，则1a ＋1＋2b 的最小值为()A.32B.94C ．2D ．3答案B解析由a ＋2b ＝3得(a ＋1)＋2b ＝4，于是1a ＋1＋2b ＝·(a ＋1)＋2b 4＝141＋4＋2(a ＋1)b ＋2ba ＋1≥145＋22(a ＋1)b ×2ba ＋1＝94，当且仅当2(a ＋1)b＝2b a ＋1，且a >0，b >0，即a ＝13，b ＝43时，等号成立．所以1a ＋1＋2b的最小值为94.命题点4消元法例5已知正数a ，b 满足a 2－2ab ＋4＝0，则b －a4的最小值为()A ．1 B.2C ．2D ．22答案B解析∵a >0，b >0，a 2－2ab ＋4＝0，则b ＝a 2＋2a ，∴b －a 4＝a 2＋2a －a 4＝a 4＋2a ≥2a 4·2a＝2，当且仅当a 4＝2a ，即a ＝22时，等号成立，此时b ＝322.命题点5构造不等式法例6若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为()A ．9B ．6C ．3D ．12答案A解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．又ab ＝a ＋b ＋3，所以ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，整理可得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)．所以ab ≥3，所以ab ≥9.所以当a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()A ．y ＝sin x xB ．y ＝2－x －4x (x ＜0)C ．y ＝x 2＋6x 2＋5D ．y ＝4x ＋4－x答案AD解析对于A ，因为0＜x ≤π2，所以0＜sin x ≤1，则y ＝sin x ＋1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝1sin x，即sin x ＝1时取等号，符合题意；对于B ，因为x ＜0，所以－x ＞0，－x ＝4，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时等号成立，所以y ＝2－x －4x ≥2＋4＝6，即y ＝2－x －4x (x ＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C ，y ＝x 2＋6x 2＋5＝x 2＋5＋1x 2＋5，设t ＝x 2＋5，则t ≥5，则y ≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D ，y ＝4x ＋4－x ＝4x ＋14x≥24x ·14x ＝2，当且仅当x ＝0时取等号，故y ＝4x ＋4－x 的最小值为2，符合题意．(2)(多选)已知正实数a ，b 满足ab ＋a ＋b ＝8，下列说法正确的是()A ．ab 的最大值为2B ．a ＋b 的最小值为4C ．a ＋2b 的最小值为62－3D.1a (b ＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A ，因为ab ＋a ＋b ＝8≥ab ＋2ab ，即(ab )2＋2ab －8≤0，解得－4≤ab ≤2，又因为a >0，b >0，所以0<ab ≤2，则ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故A 错误；对于B ，ab ＋a ＋b ＝8≤(a ＋b )24＋(a ＋b )，即(a ＋b )2＋4(a ＋b )－32≥0，解得a ＋b ≤－8(舍)或a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故B 正确；对于C ，由题意可得b (a ＋1)＝8－a ，所以b ＝8－aa ＋1>0，解得0<a <8，所以a ＋2b ＝a ＋2×8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D，1a(b＋1)＋1b＝181a(b＋1)＋1b[a(b＋1)＋b]＝182＋ba(b＋1)＋a(b＋1)b≥18×(2＋2)＝12，当且仅当ba(b＋1)＝a(b＋1)b，即b＝4，a＝45时取等号，故D正确．课时精练一、单项选择题1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是() A．9B．18C．93D．27答案B解析因为m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2mn得，m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.2．已知a>0，b>0，且1a＋1b＝1，则4a＋9b的最小值是() A．23B．26C．22D．25答案D解析由题意得a>0，b>0，1a＋1b＝1，故4a＋9ba＋9b)＝9ba＋4ab＋13≥29ba·4ab＋13＝25，当且仅当9ba＝4ab，即a＝52，b＝53时取等号，故4a＋9b的最小值是25.3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是() A．2B．3C．4D．5答案D解析对原条件式转化得3x＋1y＝5，则3x＋4yx＋4y)＋4＋12yx＋＋5，当且仅当12yx＝3xy且x＋3y＝5xy，即x ＝1，y ＝12时取等号．故3x ＋4y 的最小值为5.4．“∀x ∈(1,4]，不等式x 2－mx ＋m >0恒成立”的充分不必要条件是()A ．m >4B ．m <163C ．m <4D ．m <2答案D解析已知∀x ∈(1,4]，由不等式x 2－mx ＋m >0恒成立，得x 2x －1>m 恒成立，因为x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号，所以m <4，所以m <2是m <4的充分不必要条件．5．若x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则xy3x ＋y的最大值为()A.19B.112C.116D.120答案C解析因为x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则3x ＋y xy＝3y ＋1xx ＋3y )＝3x y ＋3yx ＋10≥23x y ·3yx＋10＝16，当且仅当3x y ＝3yx ，即x ＝y ＝14时，等号成立，所以0<xy 3x ＋y ≤116，即xy 3x ＋y的最大值为116.6．已知x >y >0且4x ＋3y ＝1，则12x －y ＋2x ＋2y的最小值为()A ．10B ．9C ．8D ．7答案B解析由x >y >0得2x －y >0，x ＋2y >0，令a ＝2x －y ，b ＝x ＋2y ，则a ＋2b ＝4x ＋3y ，由4x ＋3y ＝1得a ＋2b ＝1，故12x －y ＋2x ＋2y＝a ＋2b )＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当2b a ＝2ab，且a ＋2b ＝1，即a ＝b ＝13时取等号，也即2x －y ＝13，x ＋2y ＝13，即x ＝15，y ＝115时，等号成立，故12x －y ＋2x ＋2y的最小值为9.二、多项选择题7．已知x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，则()A ．x (x ＋2y )的最大值为4B ．log 2x ＋log 2y 的最大值为0C ．2x ＋2y 的最小值为4D.1x ＋2y 的最小值为32＋2答案BCD解析由x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，可得0<x <2,0<y <2，x (x ＋2y )＝(x ＋y －y )(x ＋y ＋y )＝(x ＋y )2－y 2＝4－y 2，由0<y 2<4可得0<4－y 2<4，所以x (x ＋2y )无最大值，故A 错误；由x ＋y ＝2≥2xy ，得0<xy ≤1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ≤log 21＝0，故B 正确；由基本不等式可得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故C 正确；1x ＋2y ＝x ＋y )＋y x ＋＋＝32＋2，当且仅当x ＝22－2，y ＝4－22时取等号，故D 正确．8．(2022·新高考全国Ⅱ)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析因为ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为＋34y 2＝1，设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ，所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ，因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13＝43＋23sin θ∈23，2，所以D 错误．三、填空题9．若x <2，则x ＋9x －2的最大值为________．答案－4解析x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2，由于x <2，所以2－x >0，故2－x ＋92－x ≥6，当且仅当2－x ＝92－x，即x ＝－1时，等号成立，所以x －2＋9x －2＝－－x －6，故x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2≤－4，所以x ＋9x －2的最大值为－4.10．函数f (x )＝3x －32x 2－x ＋1在(1，＋∞)上的最大值为________．答案37解析因为f (x )＝3x －32x 2－x ＋1x ∈(1，＋∞)，令x －1＝t ，则t >0，则f (t )＝3t 2(t ＋1)2－(t ＋1)＋1＝3t2t 2＋3t ＋2＝32t ＋3＋2t ≤322t ·2t＋3＝37，当且仅当2t ＝2t ，t ＝1，即x ＝2时，等号成立．故f (x )在(1，＋∞)上的最大值为37.11．已知a >1，b >2，a ＋b ＝5，则1a －1＋4b －2的最小值为________．答案92解析因为a >1，b >2，所以a －1>0，b －2>0，又a ＋b ＝5，所以(a －1)＋(b －2)＝2，即12[(a －1)＋(b －2)]＝1，所以1a －1＋4b －2＝12[(a －1)＋(b －2)]·＝121＋b －2a －1＋4(a －1)b －2＋4≥125＋2b －2a －1·4(a －1)b －2＝12×(5＋4)＝92，当且仅当b－2a－1＝4(a－1)b－2，即a＝53，b＝103时取等号，所以1a－1＋4b－2的最小值为92.12．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________．答案4解析因为a>0，b>0，所以36＝(a＋5b)(2a＋b)≤(a＋5b)＋(2a＋b)22＝94(a＋2b)2，所以a＋2b≥4＋5b＝2a＋b，a＋5b)(2a＋b)＝36，即a＝83，b＝23时，等号成立，所以a＋2b的最小值为4.四、解答题13．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；(2)2x＋y的最小值．解(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥22xy＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，令xy＝t(t>0)，则t2＋22t－30≤0，解得－52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值为18.(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝30－x2＋x >0,0<x<30,2x＋y＝2x＋30－x2＋x＝2(x＋2)＋322＋x－5≥22(x＋2)·322＋x－5＝11，当且仅当2(x＋2)＝322＋x，即x＝2时取等号，所以2x＋y的最小值为11.14．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a (1＋x )x 元(a >5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a 的取值范围．解(1)设甲工程队的总报价为y 元，依题意，左右两面墙的长度均为x 米(2≤x ≤6)，则屋子前面新建墙体长为12x米，则y ＝×2x ＋4007200＝7200≥900×2x ·16x＋7200＝14400，当且仅当x ＝16x，即x ＝4时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．(2)由题意可知，7200>900a (1＋x )x对任意的x ∈[2,6]恒成立，即(x ＋4)2x >a (1＋x )x ，所以(x ＋4)2x ＋1>a ，即a <(x ＋4)2x ＋1min ，(x ＋4)2x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1＋6≥2(x ＋1)·9x ＋1＋6＝12，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，则(x ＋4)2x ＋1的最小值为12，即0<a <12，又a >5，所以a 的取值范围是(5,12)．15．已知x ，y 为正实数，则y x ＋16x2x ＋y 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．8答案C解析由题得y x ＋16x 2x ＋y ＝y x ＋162＋yx，设yx＝t (t >0)，则f (t )＝t ＋162＋t ＝t ＋2＋162＋t－2≥2(t ＋2)·162＋t－2＝8－2＝6，当且仅当t ＋2＝162＋t，即t ＝2，即y ＝2x 时取等号．所以y x ＋16x 2x ＋y的最小值为6.16．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________．答案4解析∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0，∴a (a －b )＞0，a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2＋ab －ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4，(a －b )＝1a (a －b )，＝1ab，即a ＝2，b ＝22时，等号成立．∴a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是4.。

第5讲 不等式经典精讲题一：解不等式|x 2－2x ＋3|<|3x －1|．题二：解关于x 的不等式|2x －1|<2m －1(m ∈R)．题三：求函数y x =的值域．题四：设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________题五：若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd．题六：已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小．题七：函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．题八：已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1． (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．题九：设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x)的最大、最小值．题十：设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |．(1) 若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R，f (x )≥2，求a 的取值范围．题十一：证明：关于x 的不等式(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0与(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0，当k 为任意实数时，至少有一个恒成立．题十二：已知f (x )＝32x －(k ＋1)·3x＋2，对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0，则k 的取值范围是( )．A ．(－∞, －1)B ．(－∞, 22－1)C ．(－1, 22－1)D ．(－22－1, 22－1)题十三：解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2>0．题十四：已知集合A ＝{x |2x 2－3x －2≤0}，B ＝{x |x 2－ax ＋3a ≤0，a ∈R}，且B ⊆A ，求a的取值范围．题十五：若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－12，2)，则以下结论中：①a >0；②b <0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，正确结论的序号是( )． A ．①②③ B ．②③④ C ．②③⑤ D ．③⑤题十六：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程f (x )－x ＝0有两根x 1，x 2满足0<x 1<x 2<1a，当x∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1．第5讲 不等式经典精讲题一： {x |1<x <4}．详解：原不等式⇔(x 2－2x ＋3)2<(3x －1)2⇔[(x 2－2x ＋3)＋(3x －1)][(x 2－2x ＋3)－(3x －1)]<0⇔(x 2＋x ＋2)(x 2－5x ＋4)<0 ⇔x 2－5x ＋4<0(因为x 2＋x ＋2恒大于0)⇔1<x <4． 所以原不等式的解集是{x |1<x <4}．题二： 当m ≤12时，解集为∅；当m >12时，解集为：{x |1－m <x <m }．详解:若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|<2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1>0，即m >12．则－(2m －1)<2x －1<2m －1，所以1－m <x <m ． 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m >12时，原不等式的解集为：{x |1－m <x <m }．题三：．详解：函数y x =的定义域为，1]，设sin ()22x t t ππ=-≤≤，则原函数y x =可化为sin cos y t t =+)4t π+∵22t ππ-≤≤∴3444t πππ-≤+≤看图象（图2）可知sin()124t π-≤+≤∴1)4t π-≤+≤∴1y -≤≤即原函数的值域为]．题四：2105． 详解:依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32 · (2x ＋y 2)2，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105．当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105．题五： 见详解．证明：∵bc －ad ≥0，bd >0，∴bc ≥ad ，1bd>0，∴c d ≥a b ．∴c d ＋1≥a b ＋1，即c ＋d d ≥a ＋b b ，即a ＋b b ≤c ＋dd．题六： 当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．详解: f (x )＝mxx －1＝m (1＋1x －1)，f (a )＝m (1＋1a －1)，f (b )＝m (1＋1b －1)．∵a >b >1，∴a －1>b －1>0，∴1＋1a －1<1＋1b －1．①当m >0时，m (1＋1a －1)<m (1＋1b －1)，即f (a )<f (b )；②当m ＝0时，f (a )＝f (b )；③当m <0时，m (1＋1a －1)>m (1＋1b －1)，即f (a )>f (b )．综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．题七： 3≤a ≤4．详解:令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ＝－t 2＋t ＋a ＝－(t －12)2＋a ＋14，当t ＝12时，f (x )有最大值a ＋14，当t ＝－1时，f (x )有最小值a －2．故函数f (x )(x ∈R)的值域为[a －2，a ＋14]，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174a －2≥1，解得3≤a ≤4．题八： (1)a ＝2，b ＝－5；(2) g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ；g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z ．详解: (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6．∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5．(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6 <2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z ．∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z ．题九： y mi n =－1；y max =0．详解:∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)(21log x +3)≤0．∴－3≤21log x ≤－23． 即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1．∵22≤x ≤8 ∴23≤log 2x ≤3 ∴当log 2x =2，即x =4时，y mi n =－1；当log 2x =3，即x =8时，y max =0．题十： (1) ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞；(2) (－∞，－1]∪[3，＋∞)． 详解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|． 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3． ① 当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32．②当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，此不等式不成立，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1f (x )≥3的解集为∅．③当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≥3的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞．综上得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞．(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1. f (x )的最小值为1－a ．若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .f (x )的最小值为a －1．所以∀x ∈R，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．题十一： 证明：由(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0恒成立．①当k ＝23时，不等式变为43x －13<0，不恒成立，∴k ≠23．②当k ≠23时，对应抛物线恒在x 轴下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k －2<0，4k 2－k －k －⇒k <12．由(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0恒成立，并有k 2≠112．∴对应抛物线恒在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－112>0，k 2－k 2－112⇒k <－13或k >13．由不等式(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0恒成立或(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0恒成立，∴k 的范围是{k |k <12}∪{k |k >13或k <－13}＝R ．∴k 为任意实数时，上述两个不等式至少有一个恒成立，命题得证．题十二： B ．详解:函数f (x )＝32x －(k ＋1)·3x ＋2是关于3x 的二次函数，记t ＝3x>0，函数转化成f (t )＝t 2－(k ＋1)t ＋2对任意的t >0，恒有f (t )>0．当Δ＝[－(k ＋1)]2－4×1×2<0，即(k ＋1)2－8<0时，条件成立， 所以－22－1<k <22－1；当Δ＝[－(k ＋1)]2－4×1×2≥0，k ≤－22－1或k ≥22－1时．由⎩⎪⎨⎪⎧k ＋12≤0，f＝2≥0解得k ≤－1，所以k ≤－22－1．综上所述，1k <，即)122,(--∞∈k ．题十三： 若a >0，则x >3a 或x <－a ；若a ＝0，则x ≠0，x ∈R ；若a <0，则x <3a 或x >－a ． 详解：原不等式可以化为：(x －3a )(x ＋a )>0， 若a >0即3a >－a ，则x >3a 或x <－a ；若a ＝0即3a ＝－a ，则x 2>0，x ≠0，x ∈R ； 若a <0即3a <－a ，则x <3a 或x >－a ．题十四： a ∈[－114，12)．详解：A ＝{x |－12≤x ≤2}，设f (x )＝x 2－ax ＋3a ，(1)当Δ＝a 2－4·3a <0，即0<a <12时，B ＝Ø，满足B ⊆A ；(2)当Δ＝a 2－12a ≥0，要使B ⊆A ，则f (x )＝x 2－ax ＋3a 的图象满足下图所示，即⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a 2≤2Δ＝a 2－12a ≥0f－12f，解得－114≤a ≤0，综上可得a ∈[－114，12)．题十五： C ．详解：∵不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－12，2)，∴方程ax 2－bx ＋c ＝0的根是－12，2，且a <0．由韦达定理，得b a ＝32>0，ca＝－1<0．∵a <0，∴b <0，c >0．又当x ＝1时，不等式成立，即得a －b ＋c >0．题十六： 证明：∵x 1、x 2是方程f (x )－x ＝0的两根，∴f (x )－x ＝a (x －x 1)(x －x 2)．∵x ∈(0，x 1)， ∴x －x 1<0，x －x 2<0，∵a >0，∴f (x )－x >0，即f (x )>x ．f (x )－x 1＝f (x )－x ＋x －x 1＝a (x －x 1)(x －x 2)＋(x －x 1)＝(x －x 1)(ax －ax 2＋1)．∵0<x 2<1a，∴ax 2<1，1－ax 2>0，ax >0，∴ax －ax 2＋1>0，x －x 1<0，∴(x －x 1)(ax －ax 2＋1)<0，f (x )－x 1<0，f (x )<x 1，综上所述：x <f (x )<x 1．。

河北省廊坊市高考数学一轮复习：32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·武邑月考) 已知，、满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（）A .B .C .D .2. （2分）设x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为（）A . 5B . 3C . 7D . -83. （2分）若整数x,y满足，则2x+y的最小值为（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 在"家电下乡"活动中，某厂要将台洗衣机运往邻近的乡镇，现有辆甲型货车和辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用元，可装洗衣机台；每辆乙型货车运输费用元，可装洗衣机台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A . 元B . 元C . 元D . 元5. （2分）已知实数满足，则的取值范围为（）A . （-∞，-3]∪[1，+∞）B . [-3,1]C . （-∞，-4]∪[0，+∞）D . [-4，0]6. （2分）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）设x，y满足不等式若M＝3x＋y，N＝－，则M－N的最小值为（）A .B . －C . 1D . －18. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知实数满足，则的最大值是A .B .C . 3D . 59. （2分）已知点P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，动点M（x，y）满足，则点M所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·西安开学考) 已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A . （﹣1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）C . （1，+∞）D . （﹣∞，1）11. （2分） (2018高二上·六安月考) 若变量 (x,y)为区域 ,则的最大值是（）A .B .C .D .12. （2分）若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A . 0B . 4C .D .二、填空题 (共6题；共8分)13. （2分）(2018·全国Ⅰ卷理) 若，满足约束条件则的最大值为________.14. （1分）(2018·宣城模拟) 若实数满足，则的取值范围是________15. （2分） (2017高三上·嘉兴期末) 若满足，则的最大值为________．16. （1分）(2016·新课标Ⅱ卷理) 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．17. （1分）(2017·山西模拟) 甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入A，B两种类型的文件的部分文字才能使这两类文件成为成品．已知A文件需要甲输入0.5小时，乙输入0.2小时；B文件需要甲输入0.3小时，乙输入0.6小时．在一个工作日中，甲至多只能输入6小时，乙至多只能输入8小时，A文件每份的利润为60元，B文件每份的利润为80元，则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是________元．18. （1分）(2016·嘉兴模拟) 设，满足约束条件：的可行域为，若存在正实数，使函数的图象经过区域中的点，则这时的取值范围是________．三、解答题 (共4题；共30分)19. （5分）（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件+=1．20. （10分）某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦时)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦时，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？21. （5分）设约束条件所确定的平面区域为D．（1）记平面区域D的面积为S=f（t），试求f（t）的表达式．（2）设向量 =（1，﹣1）， =（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上， =m ，（m，n∈R），当面积S取到最大值时，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．22. （10分） (2019高二上·诸暨期末) 电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共30分)20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-2基本不等式课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·某某模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．23D ．2 [答案]A[解析]∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2·(x －1)·3x －1＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．2．(文)(2013·某某二模)在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc .若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －2a ＋1x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32C.13D.32 [答案]D[解析]原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意实数x 恒成立，∵x 2－x －1＝(x －12)2－54≥－54，∴－54≥a 2－a －2，∴－12≤a ≤32.故选D.(理)(2013·某某八校联考)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值X 围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定 [答案]C[解析]由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为x ＝a2＝1，故a ＝2.又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )>0恒成立，即f (x )min ＝b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.3．a 、b 为正实数，a 、b 的等差中项为A ；1a 、1b 的等差中项为1H ；a 、b 的等比中项为G (G >0)，则( )A ．G ≤H ≤AB ．H ≤G ≤AC ．G ≤A ≤HD ．H ≤A ≤G [答案]B[解析]由题意知A ＝a ＋b 2，H ＝2aba ＋b ，G ＝ab ，易知a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b，∴A ≥G ≥H .4．(文)已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 [答案]C[解析]∵2＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，排除A 、B ； ∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，排除D ，选C.[点评] 用特值检验法易得．令a ＝1，b ＝1排除A ；令a ＝2，b ＝0，排除B ，D ，故选C.(理)若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q [答案]C [解析]Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .[点评] 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P ＝2，Q ＝2，∴P ＝Q ，排除D ；令a ＝b ＝c ＝d ＝1，x ＝1，y ＝4，则P ＝4，Q ＝5，∴P <Q ，排除A 、B ，选C.5．已知x >0、y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案]D[分析] 利用等差、等比数列的性质可将a 、b 、c 、d 的表达式转化为只含x 、y 的表达式，然后变形应用基本不等式求解．[解析]由等差、等比数列的性质得 (a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx ＋2 ≥2y x ·xy＋2＝4.仅当x ＝y 时取等号． 6．(2012·某某理，5)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) [答案]C[解析]A 中x ＝12时不等式不成立，B 中sin x 不总大于0，D 中，x ＝0时，不等式不成立．二、填空题7．(文)(2013·某某)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[答案]36[解析]∵f (x )＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ， 当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时f (x )取得最小值．又∵x ＝3，∴a ＝4×32＝36.(理)(2013·豫西五校联考)已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________． [答案]20[解析]依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．[答案]5[解析]设仓库与车站距离为x 公里，由已知y 1＝20x ；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立．9．(文)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案]12[解析]因为A (2,0)，B (0,1)，所以0≤b ≤1. 由a ＋2b ＝2，得a ＝2－2b ， ∴ab ＝(2－2b )b ＝－2(b －12)2＋12，当b ＝12时，(ab )max ＝12.[点评] 利用a ＋2b ＝2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解． (理)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P 、Q两点，则线段PQ 长的最小值是________．[答案]4[解析]由题意，P 、Q 关于(0,0)对称，设直线PQ ：y ＝kx (k >0)，从而P (2k，2k )，Q (－2k ，－2k )． 则PQ ＝8k＋8k ≥4，当且仅当k ＝1时，(PQ )min ＝4. [点评] 1.用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．2．应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．3．注意到P 、Q 关于原点对称，可设P (x 0，2x 0)，x 0>0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4，x 0＝2时取等号，更简捷的获解．三、解答题10．如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30m ，AD ＝20m.记三角形花园APQ 的面积为S .(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的长应在什么X 围内？ [解析](1)设DQ ＝x m(x >0)，则AQ ＝x ＋20， ∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP， ∴AP ＝30(x ＋20)x ，则S ＝12×AP ×AQ ＝15(x ＋20)2x＝15(x ＋400x ＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号．(2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0， ∴0<x ≤203或x ≥60.答：(1)当DQ 的长度是20m 时，S 最小，且S 的最小值为1200m 2； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的取值X 围是0<DQ ≤203或DQ ≥60.能力拓展提升一、选择题11．(文)若a >0，b >0，a 、b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案]D[解析]∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝1.α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab ，∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤(a ＋b )24＝14.∴α＋β＝1＋1ab ≥1＋4＝5(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)．∴α＋β的最小值为5.故选D.(理)(2013·江南十校联考)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案]B[解析]由已知得ab ＝1，m ＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，m ＋n 取得最小值4.故选B.12．(2013·某某模拟)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．19[答案]B[解析]由AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos30°＝23得|AB →|·|AC →|＝4， S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin30°＝1，由12＋x ＋y ＝1得x ＋y ＝12. 所以1x ＋4y ＝2(1x ＋4y )·(x ＋y )＝2(5＋y x ＋4x y )≥2×(5＋2y x ·4x y )＝18等号在x ＝16，y ＝13时成立．13．(文)(2012·某某六市联考)函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为( )A ．2＋ 2B ．2C ．1D ．4 [答案]C[解析]y ＝log a x ＋1过定点A (1,1)，∵A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )(1m ＋1n )＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2n m ·m n )＝1，等号在m ＝n ＝12时成立， ∴m ＋n 的最小值为1.(理)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3 [答案]B[解析]由条件知(b 2＋1)－ab 2＝0，∴a ＝b 2＋1b 2，∴ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b ≥2，等号在b ＝1，a ＝2时成立．二、填空题14．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a 的取值X 围是________．[答案](1，2][解析]由题设条件知，a <b ＋c ，∴b ＋ca >1，∵a 2＝b 2＋c 2，∴(b ＋c )2a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2(b 2＋c 2)a 2＝2，∴b ＋ca≤ 2.15．(文)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则AB 的最小值为______． [答案]2[解析]由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb ＝1，则ab a 2＋b 2＝1，∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.(理)过点P (－3，0)作直线l 与椭圆3x 2＋4y 2＝12相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最大值为________，此时直线倾斜角的正切值为________．[答案]3 ±62[解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my －3， S △AOB ＝12|OP | ·|y 1|＋12|OP |· |y 2|＝32(|y 1|＋|y 2|)＝32|y 1－y 2| 把x ＝my －3代入椭圆方程得： 3(m 2y 2－23my ＋3)＋4y 2－12＝0， 即(3m 2＋4)y 2－63my －3＝0， y 1＋y 2＝63m 3m 2＋4，y 1y 2＝－33m 2＋4∴|y 1－y 2|＝108m 2(3m 2＋4)2＋123m 2＋4＝13m 2＋4144m 2＋48＝49m 2＋33m 2＋4＝43·3m 2＋1(3m 2＋1)＋3＝433m 2＋1＋33m 2＋1≤4323＝2， ∴S ≤32×2＝3，此时3m 2＋1＝33m 2＋1⇒m ＝±63.令直线的倾角为α，则tan α＝±36＝±62，即△OAB 面积的最大值为3，此时直线的倾斜角的正切值为±62.三、解答题16．合宁高速公路起自某某省某某西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133km.假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60km/h 且不高于120km/h 的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y (以元为单位)由固定部分和可变部分组成：固定部分为200元；可变部分与速度v (km/h)的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．(1)把全程运输成本f (v )(元)表示为速度v (km/h)的函数；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？ [解析](1)依题意488＝200＋k ×1202⇒k ＝0.02.f (v )＝133v (200＋0.02v 2)＝133(200v ＋0.02v )(60≤v ≤120)． (2)f (v )＝133(200v ＋0.02v )≥133×2200v ×0.02v ＝532，当且仅当200v ＝0.02v ，即v ＝100时，“＝”成立，即汽车以100km/h 的速度行驶，全程运输成本最小为532元．考纲要求1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 补充说明1．证明不等式常用的方法：比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利用几何意义)．2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．②必须指出等号成立的条件．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等 . (1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的两个因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．3．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )；a 2＋b 2≥(a ＋b )22(a 、b ∈R )；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a 、b ∈R )⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a 、b ∈R )，以上各等号在a ＝b 时成立．(2)a b ＋b a ≥2(a 、b 同号)，特别地1a ＋a ≥2(a >0)，1a ＋a ≤－2(a <0)． a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b (a 、b ∈R ＋)． 备选习题1．使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的“上确界”，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的“上确界”为( )A.92B.14 C ．－92 D ．－4 [答案]C[解析]由题意知，问题相当于求－12a －2b 的最大值．∵－12a －2b ＝－(12a ＋2b )(a ＋b )＝－(12＋2＋b 2a ＋2a b )≤－52－2b 2a ·2a b ＝－52－2＝－92. 当且仅当b 2a ＝2a b ，即b ＝2a ＝23时，等号成立，故－12a －2b 的“上确界”为－92.故选C.2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 [答案]B[解析]由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x ≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立．3．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b 的最小值为( ) A.14B. 2 C.32＋2D.32＋2 2 [答案]C[解析]圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a 2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号，故选C. 4．如图，在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12B ．1C ．2D ．3 [答案]B[解析]以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n，∴M ⎝⎛⎭⎫0，2m 、N ⎝⎛⎭⎫2n ，0， ∴直线MN 的方程为my 2＋nx 2＝1， ∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n 2＝1，∴m ＋n ＝2， ∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤(m ＋n )24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1. 5．(2012·内蒙某某一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0，(b ∈R )外切，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2[答案]D[解析]⊙C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4的圆心C 1(－a,0)，半径r 1＝2，⊙C 2：x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 2(0，b )，半径r 2＝1，∵⊙C 1与⊙C 2外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，∴a 2＋b 2＝9，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)＝18，∴a ＋b ≤32，等号在a ＝b ＝322时成立． 6．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE 上一点，连接BF ，设DF DE ＝λ1，AE AC ＝λ2，且λ1＋λ2＝12，记△BDF 的面积为S ＝f (λ1，λ2)，则S 的最大值是________．[答案]132[解析]连接BE .因为△ABC 的面积为1，AE AC＝λ2，所以△ABE 的面积为λ2.因为D 是AB 的中点，所以△BDE 的面积为λ22.因为DF DE ＝λ1，所以△BDF 的面积S ＝f (λ1，λ2)＝12λ1λ2≤12(λ1＋λ22)2＝132，上式当且仅当λ1＝λ2＝14时取等号．。

课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内,则m的取值范围是()A.m≥1B.m≤1C.m<1D.m>12.(安徽六安舒城中学仿真(三),3)若x,y满足则z=x+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.13.(广东阳春一中模拟,4)若实数x,y满足不等式组则z=x2+y2的取值范围是()A.,2B.[0,2]C.D.[0,]4.(吉林长春高三质监(二),6)已知动点M(x,y)满足线性条件定点N(3,1),则直线MN斜率的最大值为()A.1B.2C.3D.45.(山东临沂沂水一中三模,11)已知实数x,y满足的取值范围为()A.-3,B.-3,C.-3,D.-6.(宁夏银川四模,6)已知实数x,y满足的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+∞)D.,+∞7.(江西南昌联考,9)已知实数x,y满足:若目标函数z=ax+y(其中a为常数)仅在处取得最大值,则a的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.{-1,1}8.(江苏南通联考)已知实数x,y满足且(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,则实数k的最小值是.9.(福建三明质检,15)若直线ax+y=0将平面区域Ω=划分成面积为1∶2的两部分,则实数a的值等于.10.(云南红河一模,14)已知则z=2x-y的取值范围是.11.(北京海淀区二模,13)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表:根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有人.综合提升组12.(江西南昌二模,6)已知点P(m,n)在不等式组表示的平面区域内,则实数m的取值范围是()A.[-5,5]B.[-5,-5]C.[-5,1]D.[-5,1]13.(江西南昌测试八,5)已知f(x)=x2+ax+b,0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,则z=(a+1)2+(b+1)2的最小值为()A. B. C. D.114.(山西太原一模,7)已知不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为()A.4B.8C.16D.3215.(江西赣州一联,14)已知平面区域Ω:夹在两条斜率为-2的平行直线之间,则这两条平行直线间的最短距离为.创新应用组16.(河南一模,7)设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:(x+1) 2+y2=r2(r>0)不经过区域D上的点,则r的取值范围为()A.(0,)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(0,)D.[]17.(湖北武汉调研,10)若x,y满足|x-1|+2|y+1|≤2,则M=2x2+y2-2x的最小值为()A.-2B.C.4D.-参考答案课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D由2m+3-5>0,得m>1.2.B作出题设约束条件可行域,如图△ABC内部(含边界),作直线l:x+2y=0,把直线l向上平移,z 增加,当l过点B(3,2)时,z=3+2×2=7为最大值.故选B.3.B绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数表示坐标原点到可行域内点的距离的平方,则目标函数在点(0,0)处取得最小值:z min=02+02=0,目标函数在点A(1,1)处取得最大值:z max=12+12=2,故x2+y2的取值范围是[0,2].故选B.4.C画出线性条件表示的可行域,由可得M(2,-2),由可行域可知当M取(2,-2)时,直线MN的斜率最大值为=3,故选C.5.A先作出不等式组对应的可行域,如图所示,解方程组得A,2,=表示可行域内的点(x,y)到原点的直线的斜率,所以当点在A点时,斜率最大==,没有最小值,无限接近直线3x+y-6=0的斜率-3,所以的取值范围为-3,.故选A.6.D的几何意义为可行域内的点到原点的距离,画出可行域,根据几何图像中的距离,结合点到直线的距离公式,即可求出范围.根据题意作出可行域:此区域为开放区域,所以距离可以无限大,由图像可知最近距离为原点到直线x+y-1=0的距离,所以由点到直线距离公式可得:最短距离d==.故选D.7.A构造二次函数f(t)=t2-t,由函数的单调性可知,f(x)≤f(y),得到自变量离轴越远函数值越大,故≤-y,且0≤y≤,得到可行域为如图所示,直线斜率为-a,由图像可得到-1<-a<1即-1<a<1.故选A.8. 4画出表示的可行域,如图,直线(k-1)x-y+k-2=0过定点(-1,-1),若(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,可行域在直线下面,当直线过(0,2)时,k-1有最小值=3, k最小值为4,故答案为4.9.或- 绘制不等式组表示的平面区域如图所示,由题意可知,该平面区域的面积:S=×OB×AC=×1×2=1,直线ax+y=0的斜率为k=-a,当a<0时,如图所示,联立方程组:可得D,,此时S△OCD=×1×=,解得a=,由对称性可知,a=-也满足题意.综上可得:实数a的值等于或-.10.[-6,2]由z=2x-y⇒y=2x-z,则z表示直线y=2x+b在y轴上截距的相反数.如图,易知当直线过点A时直线在y轴上的截距最小为-2,z取最大值为2;当直线过点B时直线在y轴上的截距最大为6,z取最小值为-6.所以,z=2x-y的取值范围是[-6,2].11.35设A,B两小区参加活动同学的人数分别为x,y,受到服务的老人人数为z,则z=5x+3y,且作出可行域,如图平移直线z=5x+3y,由图可知,当直线z=5x+3y过点M(4,5)时,z最大,∴当x=4,y=5时,z取得最大值为35,即接受服务的老人最多有35人,故答案为35.12.C作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由解得A(1,7),且点B(-5,0),又因为点P(m,n)在不等式组所表示的平面区域内,所以实数m的取值范围是[-5,1],故选C.13.B因为0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,所以作可行域,则z=(a+1)2+(b+1)2,其几何意义是可行域内点到定点A(-1,-1)距离的平方,其最小值为A到直线x+y+1=0距离的平方,即z min=2=,选B.14.A令z=ax-2by.∵不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,∴函数z=ax-2by在可行域要求的条件下,z max=2恒成立,画出平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1},如图所示:当直线ax-2by-z=0过点(1,1)或点(1,-1)或(-1,1)或(-1,-1)时,有:点P(a,b)形成的图形是图中的菱形MNTS.∴所求的面积S=2××4×1=4,故选A.15. 画出可行域如下图所示,由图可知,两平行线最短距离为点A(0,2)到直线2x+y-5=0的距离,即d==.16.A作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1,1),N(2,2),P(1,3).∵圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)表示以C(-1,0)为圆心,半径为r的圆,∴由图可得,当半径满足r<CM或r>CP时,圆C不经过区域D上的点,∵CM==,CP==,∴当0<r<或r>时,圆C不经过区域D上的点,故选A.17.D令t=x,+2|y+1|≤2,作出可行域,如图所示.A(,0),B(-,-1),M=t2+y2-t=t-2+y2-表示可行域上的动点到定点,0的距离的平方,然后减去,故其最小值为定点,0到直线AB的距离的平方减去.AB:y=t-,定点,0到直线AB的距离:=, ∴M=t2+y2-t=t-2+y2-≥-=-,故选D.。

第六章 不 等 式第3课时基本不等式1. 已知x>54，则函数y ＝4x ＋14x －5的最小值为________． 答案：7 解析：y ＝4x ＋14x －5＝[4x －5]＋14x －5＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．2. 已知函数f[x]＝x ＋p x －1[p 为常数且p>0]，若f[x]在区间[1，＋∞]上的最小值为4，则实数p 的值为________．答案：94解析：∵ x>1，∴ x －1>0，∴ f[x]＝x ＋p x －1＝[x －1]＋p x －1＋1≥2（x －1）·p x －1＋1＝2p ＋1.又f[x]在区间[1，＋∞]上的最小值为4，∴ 2p ＋1＝4，解得p ＝94. 3. 若函数f[x]＝x ＋1x －2[x>2]在x ＝a 处取最小值，则a ＝________． 答案：3解析：∵ x ＞2，∴ f[x]＝x ＋1x －2＝[x －2]＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号． 4. 已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 答案：3解析：x 3＋y 4＝1≥2x 3·y 4，即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4且x 3＋y 4＝1，即x ＝32，y ＝2时等号成立．5. 已知x>0，y>0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案：[－4，2]解析：因为x>0，y>0，所以2y x ＋8x y≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m 2＋2m<8，解得－4<m<2.6. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案：233解析：∵ x 2＋y 2＋xy ＝1，∴ [x ＋y]2－xy ＝1，即[x ＋y]2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1，∴ [x ＋y]2≤43，x ＋y ≤233. 7. 已知a 、b 为正数，且直线2x －[b －3]y ＋6＝0与直线bx ＋ay －5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为________．答案：25解析：依题意得2b －a[b －3]＝0，即2a ＋3b＝1，2a ＋3b ＝[2a ＋3b]⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b ＝25，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝5时取等号，因此2a ＋3b 的最小值是25. 8. 一批材料可以建成200m 长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间隔成3个面积相等的矩形[如图]，则围成的矩形最大总面积为________．答案：2500m 2解析：设3个面积相等的每个矩形长am ，宽bm ，如题图所示，则4a ＋3b ＝200，∴ 4a ＋3b ＝200≥43ab ，即3ab ≤2500.故围成的矩形最大总面积为S ＝3ab ≤2500.9. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？解：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f[x]，则f[x]＝800＋x 8·x·1x ＝800x＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80件[x>0]时，取最小值． 10. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1[阴影部分]和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000m 2，人行道的宽分别为4m 和10m.求：[1] 若设休闲区的长A 1B 1＝xm ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S[x]的解析式；[2] 要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：[1] 由A 1B 1＝x ，知B 1C 1＝4000x， S ＝[x ＋20]⎝⎛⎭⎫4000x ＋8＝4160＋8x ＋80000x[x>0]． [2] S ＝4 160＋8x ＋80 000x ≥4160＋28x·80000x ＝5760，当且仅当8x ＝80000x即x ＝100时取等号，∴ 要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100m 、宽为40m.11. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y[千辆/小时]与汽车的平均速度v[千米/小时]之间的函数关系为y ＝920v v 2＋3v ＋1 600[v>0]． [1] 在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？[保留分数形式][2] 若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：[1] 依题意，y ＝9203＋⎝⎛⎭⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083千辆/小时． [2] 由条件得920v v 2＋3v ＋1 600>10，整理得v 2－89v ＋1 600<0，即[v －25][v －64]<0，解得25<v<64.故当v＝40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．。