最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》达标训练

抛物线(1)1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )．A ．(2，0)B ．(－2，0)C ．(4，0)D ．(－4，0)2．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )．A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)3．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )． A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．5．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝________.6．动点到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )．A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线7．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )． A ．2 B ．3 C.115 D.37168．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．9．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________． 10．已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ．12．(创新拓展)设F (1，0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；抛物线(1)答案1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( B )．A ．(2，0)B ．(－2，0)C ．(4，0)D ．(－4，0)2．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( C )．A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)3．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( A )． A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．65．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝________. －16．动点到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( D )．A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线7．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( A )． A ．2 B ．3 C.115 D.37168．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．29．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．4 10．已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ． y 2＝12x .12．(创新拓展)设F (1，0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；解：设N (x ，y )，由得点P 为线段MN 的中点，∴P (0，y 2)， M (－x ，0)， ∴＝(－x ，－y 2)，＝(1，－y 2)． 由＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . 即点N 的轨迹方程为y 2＝4x.。

2021年高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程练习题新人教版选修2-1
1. 抛物线的准线与双曲线等的两条渐近线所围成的三角形面积等于 (A)
(B) (C)2 (D)
2. 已知A、B是抛物线上的两点，线段AB的中点为M（2,2），则|AB|等于
3. 已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的
最小值是（）
A . 8
B .
C .10
D .
4. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为
5. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如
果直线AF的斜率为,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 16
6. 设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）. 若线段FA的中点B在
抛物线上，
则B到该抛物线准线的距离为________.
7. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．
8. 已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离
为____________．
9. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=
A．B． C． D．24620 602C 怬G!/m21325 534D 卍WWc637484 926C 鉬v 3。

抛物线测试题（2） 一．选择题1.抛物线2y ax =的准线方程为y=1,则实数a 的值是… ( ) A.14B.12C.14-D.12-解析:抛物线2y ax =化为21ax y =,由于其准线方程为y=1,故a<0,且|14a |=1, 解得14a =-.答案:C2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则P 点的坐标为( )A ．(9,6)B ．(6,9)C ．(±6,9)D ．(9，±6)解析：选D.设P (x 0，y 0)，则x 0－(－1)＝10，即x 0＝9，代入抛物线方程，得y 20＝36，即y 0＝±6. 3.若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( )A.14(B.18(C.14( D.18(解析:由抛物线定义可得,P 到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离,∴P 点的横坐标为20128p +=.∴18(P .答案:B4..若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( )A.14(B.18(C.14( D.18(解析:由抛物线定义可得,P 到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离,∴P 点的横坐标为20128p +=.∴18(P .答案:B5. 对任意实数θ，则方程22sin 4x y θ+=所表示的曲线不可能是(A ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆6.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( ) A.12B.1C.2D.4解析:抛物线22y px =的准线为2px =-与圆2(3)x -+216y =相切,∴21p-=-.∴p=2.答案:C7.点P 是抛物线24y x =上一动点,则点P 到点A(0,-1)的距离与P 到直线x=-1的距离和的最小值是 ( ) A.5B.3C.32D.2解析:抛物线焦点为F(1,0),AF 连线与抛物线交点P 为所求点,最小值为|AF|2=.答案:D8．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.116解析：选D.依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12px ，故18p ＝2，得p ＝116. 9．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选A.由题意知，所求椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，即c ＝1，又e ＝12，所以a＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求的椭圆方程为x 24＋y 23＝1.10.已知F 是抛物线2y x =的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34B.1C.54D.74解析:如图,由抛物线的定义知,|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3.|CD|=32,所以中点C 的横坐标为32-5144=.答案:C11.抛物线2y x =-上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D.3解析:(方法一)设直线4x+3y+m=0与2y x =-相切,则联立两方程,消去y 得2340x x m --=.令0∆=,有m=-43.两直线间的距离为15|438()---|43=.(方法二)设抛物线2y x =-上一点为2()m m ,-, 该点到直线4x+3y-8=0的距离为15|2438m m --|,当23m =时,取得最小值为43.答案:A12.已知抛物线y 2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( ) A.B.+1C.+1D.【解析】选B.如图， 由双曲线-=1， 且AF ⊥x 轴得-=1得|y|=，由抛物线y 2=2px 的定义得 AF=p ，即=2c.得b 2=2ac ，所以=，e 2-1=2e ，所以e=+1.13.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.1122[]-,B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]解析:设直线方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立,得 28(2)y x y k x ⎧=,⎨=+,⎩ 消去x 得到关于y 的方程28160ky y k -+=.当k=0时,直线与抛物线有一个交点;当0k ≠时,令264640k ∆=-≥,解得10k -≤<或0<k ≤1.所以11k -≤≤. 答案:C 二．填空题14.抛物线2y x =-的焦点坐标为_____. 答案:14(0),-15.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为_____. 解析:抛物线焦点为4(0)a F ,,则直线l 的方程为y=2(x-4)a.令x=0得2(0)a A ,-, 则12OAFS=⋅|4a |⋅|2a|=4,∴8a =±.∴抛物线方程为28y x =±. 答案:28y x =±16．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，又△FAB 为直角三角形，则只有∠AFB ＝90°，如图，则A (－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1＝65. 故e ＝c a＝ 6. 答案： 617．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

[课时作业][A组基础稳固 ]1．经过点 (2,4)的抛物线的标准方程为()A ． y 2 ＝8xB ．x 2＝yC ． y 2＝8x 或x 2＝yD ．没法确立分析：由题设知抛物线张口向右或张口向上，设其方程为y 2＝ 2px(p>0)或21x ＝ 2py(p>0)，将点 (2,4)代入可得 p ＝4 或 p ＝2，所以所求抛物线标准方程为y 2＝ 8x 或 x 2 ＝y ，应选 C.答案： C252．已知抛物线 C ：y ＝ x 的焦点为 F ，A(x 0， y 0)是 C 上一点， |AF|＝ 4x 0，则 x 0＝( ) A ． 1 B ．2 C ． 4D ．8分析：由题意知抛物线的准线为 x ＝－1由于＝50，依据抛物线的定义可得4.|AF| 4x15x 0，解得 x 0＝1，应选 A.x 0＋ ＝|AF|＝44答案： A3．若动点 M(x ，y)到点 F(4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0 的距离，则 M 点的轨迹方程是( )A ． x ＋4＝0C ． y 2＝8xB ．x －4＝0D ．y 2＝16x分析：依据抛物线定义可知， M 点的轨迹是以 F 为焦点，以直线 x ＝－ 4 为准线的抛物线， p ＝8，2∴其轨迹方程为 y ＝16x ，应选 D.x 2 y 224．已知双曲线C 1：a 2－ b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线 C 2：x ＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C 2 的方程为 ()28 3216 3A ． x ＝ 3 yB ．x ＝3yC ． x 2＝8yD ．x 2＝16y分析：抛物线的焦点 0， p，双曲线的渐近线为b ，不如取＝ b2 y ＝ ± y ，a xa xp|a × |即 bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为22＝2，即 ap ＝4 a 2＋b 2＝ 4c ， 2a ＋ b所以 c ＝p，双曲线的离心率为 c＝2，所以 c ＝p＝2，所以 p ＝ 8，所以抛物线方a4aa 42程为 x ＝ 16y.应选 D.5．如图，设抛物线 y 2＝ 4x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不一样的点 A ，B ，C ，此中点 A ，B 在抛物线上，点 C在 y 轴上，则△ BCF 与△ ACF 的面积之比是 ()|BF|－1 |BF|2－1A.|AF|－1B.|AF|2－1|BF|＋1|BF|2＋1 C.|AF|＋1D.|AF|2＋1分析：由图形可知，△ BCF 与△ ACF 有公共的极点 F ，且 A ，B ，|BC|C 三点共线，易知△ BCF 与△ ACF 的面积之比就等于 |AC|.由抛物线方程知焦点 F(1,0)，作准线 l ，则 l 的方程为 x ＝－ 1.∵点 A ，B 在抛物线上，过 A ，B 分别作 AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点 K ，H ，且与 y 轴分别交于点 N ， M.由抛物线定义，|BC| |BM| |BF|－ 1得 |BM|＝ |BF|－ 1，|AN|＝|AF|－ 1.在△ CAN 中， BM ∥AN ，∴ |AC|＝ |AN|＝|AF|－ 1.答案： A6．已知抛物线 y 2＝ 2px(p>0)的准线与圆 x 2＋y 2－ 6x －7＝0 相切，则 p 的值为________．分析：依题意得，直线 p2 2x ＝－ 2与圆 (x －3) ＋y ＝ 16 相切，所以圆心(3,0)到直线xp＝－ 2的距离等于半径4，于是有p3＋2＝4，即p ＝ 2.答案： 27．设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，定点 A(0,2)．若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为 ________．p分析：抛物线的焦点 F 的坐标为2，0 ，p线段 FA 的中点 B 的坐标为4，1 ，p代入抛物线方程得 1＝2p×，4解得 p＝ 2，故点 B 的坐标为2，1，4故点 B 到该抛物线准线的距离为2232 4＋2＝ 4.答案：3428．对于抛物线 y2＝4x 上随意一点 Q，点 P(a,0)都知足 |PQ| ≥|a，则 a 的取值范围是 ________．分析：设 Q(x0，±2x0)(x0≥0)，则 |PQ|＝x0－a2＋4x0≥|a|对? x0≥0恒成立，即 (x0－a)2＋4x0≥a2对? x≥0 恒成立．2化简得 x0＋(4－2a)x0≥0.当 4－2a≥0 时，对 ? x0≥0，x20＋(4－ 2a)x0≥0 恒成立，此时a≤2；当 4－2a＜ 0 时， 0＜x0＜2a－4 时不合题意．答案： (－∞，2]9．已知圆 A： (x＋2)2＋ y2＝1 与定直线 l：x＝1，且动圆 P 和圆 A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．分析：如图，作 PK 垂直于直线 x＝ 1，垂足为 K，PQ 垂直于直线 x＝2，垂足为 Q，则 |KQ|＝1，∴ |PQ|＝r ＋1，又 |AP|＝r ＋1.∴|AP|＝|PQ|.故点 P 到圆心 A(－2,0)的距离和到定直线x＝2 的距离相等．∴点 P 的轨迹为抛物线， A(－2,0)为焦点．直线x ＝2 为准线．p∴ 2＝ 2.∴p ＝4. ∴点P 的轨迹方程为 y 2＝－ 8x.10.如下图，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头 P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2 m ，P 距抛物线的对称轴 1 m ，则水池的直径起码应设计为多少米？ (精准到整数位 )分析：如下图，成立平面直角坐标系，设抛物线方程为2py(p>0)，依题意有 P(－ 1，－ 1)，在此抛物线上，代入得故得抛物线方程为 x 2＝－ y.又由于 B 点在抛物线上，将 B(x ，－ 2)代入抛物线方程得 x ＝ 2，即 |AB|＝ 2，则水池半径应为 |AB|＋1＝ 2＋ 1，所以所求水池的直径为 2(1＋ 2)，约为 5 m ，即水池的直径起码应设计为 5 m.[B 组 能力提高 ]1．已知抛物线2＝2px(p>0)的焦点为 F ，点 P 1(x1， y 1 ， 2 2，y 2， 3 3，y 3y) P (x)P (x)在抛物线上，且 2x 2＝ x 1＋x 3，则有 ( )A ． |FP 1|＋|FP 2 |＝|FP 3 |B ． |FP 1|2＋ |FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP |＝|FP |＋|FP |213 2 2＝|FP 13 |D ． |FP | | ·|FP分析： |FP 1 ＝ 1＋p ，|FP 2 ＝ 2＋ p， |FP 3 ＝ 3＋ p，| x 2 | x 2 | x 2∵ 2x 2＝ x 1 ＋x 3， ∴ 2|FP 2|＝|FP 1|＋| FP 3|.答案： C1 p ＝ 2，x 2＝－2．已知抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点O ，而且经过点 M(2，y 0 )．若点 M 到该抛物线焦点的距离为3，则 |OM|等于 ()A ．2 2B ．2 3C ． 4D ．2 5分析：设抛物线方程为 y 2＝2px(p>0)，则焦点坐标为p2， 0，准线方程为px ＝－ 2，∵ M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即p2＋ 2＝ 3，p ＝2，抛物线方程为 y 2＝ 4x ，∵ M(2，y 0)在抛物线上，∴ y 20＝8，∴ |OM|＝ 22＋y 20＝ 22＋ 8＝ 2 3.答案： B3．已知抛物线 y 2＝2px(p>0)上一点 M (1，m)(m>0)到其焦点的距离为 5，双曲线x 22a － y ＝1 的左极点为 A.若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数 a 等于________．p分析：由抛物线定义知 1＋ 2＝ 5，∴ p ＝8，∴抛物线方程为 y 2＝16x ，∴ m 2＝16，∴ m ＝4，即 M(1,4)，又∵ A(－ a ，0)，双曲线渐近线方程为y ＝ ±1，a x由题意知4 ＝ 1，∴ a ＝ 11＋ aa9.1答案： 94．如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为a ，b(a ＜b)，原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y 2 ＝2px(p ＞0)经过 C ，bF 两点，则 a ＝ ________.分析： ∵正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a ， b ， O 为 AD 的中点，a a∴ C 2，－ a ， F 2＋b，b .又∵点 C， F 在抛物线 y2＝ 2px(p＞0)上，a2＝ pa，b∴b2＝2p a2＋b，解得a＝2＋1.答案：2＋15．已知抛物线 y2＝－ x 与直线 y＝k(x＋ 1)订交于 A，B 两点．(1)求证： OA⊥ OB；(2)当△ OAB 的面积等于10时，求 k 的值．分析： (1)证明：设 A(－y21，y1)，B(－ y22，y2)．则 y1＝k(－ y21＋1)，y2＝ k(－y22＋1)，消去 k 得 y1(1－y22)＝y2(1－y21)．∴ (y2－y1)＝y1y2(y1－y2)，又 y1≠y2，∴ y1y2＝－ 1，→ →22＋12＝，∴ OA·＝ y1 2＋y12＝y1 2OBy y y (1y y ) 0∴ OA⊥ OB.1(2)S△OAB＝2×1×|y2－ y1|，y2＝－ x，得 ky2＋ y－ k＝0，由x＋y＝k，1× ×2－y1 ＝11，∴ S△OAB＝2k 2＋＝2 1 |y|4101∴ k＝± .66．已知抛物线 y2＝2px(p>0)．试问：(1)在抛物线上能否存在点P，使得点 P 到焦点 F 的距离与点 P 到 y 轴的距离相等？(2)在抛物线上能否存在点P，使得点 P 到 x 轴的距离与点 P 到准线的距离相等？分析： (1)假定在抛物线上存在点P，使得点 P 到焦点 F 的距离与点 P 到 y 轴的距离相等．那么依据抛物线定义，得点P 到准线的距离与点P 到 y 轴的距离相等，这明显是不行能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点 P 到焦点 F 的距离与点 P 到 y 轴的距离相等．(2)假定在抛物线上存在点 P，使得点 P 到 x 轴的距离与点 P 到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点 P 到 x 轴的距离与点 P 到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF 与 x 轴垂直时，知足条件 .。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作抛物线训练题（含答案） A 组一填空题：（每题5分，合计40分）1抛物线y=4x 2的焦点坐标是_______(0,116) 2准线方程为x=2的抛物线的标准方程是____y 2=-8x3点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为________x 2=-12y 或y 2=16x4一直线过点(-p 2,0)交抛物线y 2=-2px 于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，且|AB|=3p, x 1+ x 2=-2，则抛物线方程为__y 2=-2x5抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|=43，则抛物线焦点到弦AB 所在直线的距离是____2 6抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点横坐标是____ 27过抛物线y=4x 2的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则1p +1q=____168以双曲线x 24-y 25=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是____. y 2=12x二选择题（每题5分,合计40分）9抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B)( A ) 1716 ( B ) 1516 ( C ) 78( D ) 010已知椭圆的中心在原点，离心率e=12，且它的一个焦点与抛物线y 2=-4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ A ）A ．x 24+y 23=1B ．x 28+y 26=1C ．x 22+y 2=1D ．x 24+y 2=111双曲线x 2m -y 2n =1(mn ≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为（ A ）A ．316 B ．38 C ．163 D ．8312已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|→MN |·|→MP |+→MN ·→NP =0，则动点P（x ，y ）的轨迹方程为（ D ）（A ）y 2=8x （B ）y 2=-8x （C ）y 2=4x （D ）y 2=-4x13已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px(p>0)的准线相切，则p 为( B )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）14抛物线y 2=4x 上与焦点相距最近的点的坐标是（ B ） A 、（0，0） B 、（1，2） C 、（1，-2） D 、以上都不是15动点P 到定点F （0,3）的距离等于到定直线2x+y-3=0的距离则点P 的轨迹是（C ） A .x 2=12y B .2x+y-3=0 C. x-2y+6=0 D.y=12 x 216已知抛物线y 2=a(x-1)的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为 (B)A ．1B ．2C ．3D ．4三解答题（17题6分，18题14分）17已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C 的方程。

更上一层楼基础·巩固1.以x 轴为对称轴,通径长为8,顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）A.y 2=8xB.y 2=-8xC.y 2=8x 或y 2=-8xD.x 2=8y 或x 2=-8y思路分析：∵通径长为8,∴2p=8.∵抛物线的对称轴为x 轴,∴抛物线的方程为y 2=±8x. 答案:C2.抛物线x 2=-4y 的通径为AB,O 为抛物线的顶点,则（ ）A.通径长为8,△AOB 的面积为4B.通径长为-4,△AOB 的面积为2C.通径长为4,△AOB 的面积为4D.通径长为4,△AOB 的面积为2思路分析：∵抛物线x 2=-4y,∴2p=4,即通径长为4,△AOB 的面积为21×2p×212=p ×4×1=2. 答案:D3.若抛物线y 2=2px(p>0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6,则点M 的横坐标和p 的值分别为（ ）A.9,2B.1,18C.9,2或1,18D.9,18或1,2 思路分析:∵点P 到对称轴的距离为6,∴设点P 的坐标为(x,6)〔或(x,-6)〕.∵点P 到准线的距离为10,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.102,262p x px ∴⎩⎨⎧==2p 9,x 或⎩⎨⎧==18.p 1,x ∴点P 的横坐标为9,p 的值为2,或P 的横坐标为1,p 的值为18.答案:C4.已知点(x,y)在抛物线y 2=4x 上,则z=x 2+221y +3的最小值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.0 思路分析：∵点(x,y)在抛物线y 2=4x 上,∴x≥0.∵z=x 2+221y +3=x 2+2x+3=(x+1)2+2, ∴当x=0时,z 最小,其值为3.答案:B5.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y 轴上,抛物线上的点(m,-2)到焦点的距离等于4,则m 的值为___________________________.思路分析：由于点(m,-2)在抛物线上,所以抛物线开口向下,设其方程为x 2=-2py,则2+2p =4. ∴p=4.抛物线方程为x 2=-8y,把点(m,-2)代入,得m=±4.答案:±46.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴,若|AB|=34,则焦点到AB 的距离为_______________. 思路分析：不妨设A(x,32),则(32)2=4x.∴x=3.∴AB 的方程为x=3,抛物线的焦点为(1,0).∴焦点到准线的距离为2.答案:2综合·应用7.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-2,3),则它的方程是（ ）A.x 2=y 29-或y 2=x 34 B.y 2=x 29-或x 2=y 34 C.x 2=y 34 D.y 2=x 29- 思路分析：∵抛物线的顶点在原点,坐标轴为对称轴,∴抛物线的方程为标准形式. 当抛物线的焦点在x 轴上时,∵抛物线过点(-2,3),∴设抛物线的方程为y 2=-2px(p>0).∴32=-2p(-2).∴p=49. ∴抛物线的方程为y 2=x 29-.当抛物线的焦点在y 轴上时, ∵抛物线过点(-2,3),∴设抛物线的方程为x 2=2py(p>0).∴(-2)2=2p·3.∴p=32. ∴抛物线的方程为x 2=y 34. 答案:B8.过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线,分别交准线于P 、Q 两点,又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线,交抛物线于M 、N 两点,则M 、N 、F 三点（ ）A.共圆B.共线C.在另一抛物线上D.分布无规律思路分析：设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),抛物线方程为y 2=2px,则F(2p ,0),准线x=2p -.∴P(2p -,y 1),Q(2p -,y 2). 由PF ⊥QF ，得py p y -∙-21=-1.∴y 1y 2=-p 2, k MF =22111122p y py p x y -=-,k NF =22112222222p y py p x y p x y -=-=-. ∴k MF =k NF .∴M 、N 、F 共线.答案:B9.设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O.思路分析：本题若设直线AB 的点斜式方程也可以,但必须要讨论斜率k 不存在的情况,另外,证明直线AC 过原点O,这里是利用了直线OC 与直线AC 斜率相等,非常简捷,如若写出直线AC 的方程,通过(0,0)适合方程来证明将较复杂.证明:∵抛物线的焦点为F(2p ,0),∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x=my+2p , 代入抛物线方程,得y 2-2pmy-p 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1、y 2是该方程的两根,∴y 1y 2=-p 2.∵BC ∥x 轴,且点C 在准线x=2p -上,∴点C 的坐标为(2p -,y 2). ∴直线OC 的斜率为k=111222x y y p p y ==-,即k 也是直线OA 的斜率. ∴直线AC 经过原点O.回顾·展望10.(2006安徽高考)若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆2622y x +=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）A.-2B.2C.-4D.4思路分析：椭圆2622y x +=1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2=2px 的焦点为(2,0)，则p=4. 答案:D11.(2005湖北高考)双曲线ny m x 22-=1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为（ ） A.163 B.83 C.316 D.38 思路分析：抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0), ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+.21,1m n m 得m=41,n=43.∴mn=163. 答案:A12.(2005北京高考)抛物线y 2=4x 的准线方程是_____________，焦点坐标是__________. 思路分析：y 2=4x 这是抛物线的标准方程，准线方程x=2p -=-1，焦点坐标为(2p ,0)，即(1,0). 答案:x=-1，(1,0)。

第二章圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.2 抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用A级基础巩固一、选择题1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C 的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解析：由题意，知圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义，知所求轨迹是一条抛物线．答案：A2．若抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点为F，准线为l，则p表示()A．点F到y轴的距离B．点F到准线l的距离C．点F的横坐标D．点F到抛物线上一点的距离解析：由抛物线定义，知抛物线y 2＝－4px (p ＞0)的焦点到准线的距离为2p ，所以p 表示点F 到y 轴的距离．答案：A3．过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：由题意，知点(2，4)在抛物线y 2＝8x 上，所以过点(2，4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．答案：B4．(2014·课标全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A. 334B.938C.6332D.94答案：D5．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的两点，O 为原点．若|OA |＝|OB |，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝3pC ．x ＝32pD ．x ＝52p解析：由抛物线的对称性，知A ，B 两点关于x 轴对称．设A 点坐标为(x 1，y 1)，则B 点坐标为(x 1，－y 1)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 由F 是△AOB 的垂心，知AF ⊥OB ，因此k AF k OB ＝－1，即y 1x 1－p 2·－y 1x 1＝－1.① 由点A 在抛物线上，得y 21＝2px 1.②将②代入①，得x 1＝5p 2，故直线AB 的方程为x ＝52p . 答案：D二、填空题6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点．若△ABF 为等腰直角三角形，则p ＝________．解析：由题意，知△ABF 的边长为2p ，故点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，代入双曲线方程，得p ＝2. 答案：27．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是__________________________．解析：依题意可知，机器人行进的轨迹方程为y 2＝4x .设斜率为k的直线方程为y ＝k (x ＋1)，联立得⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1） ，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.由Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＜0，得k 2＞1，解得k ＜－1或k ＞1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________．答案：43三、解答题9.如图，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点， 试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△PAB 的面积最大．并求出这个最大面积．解：由⎩⎨⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2.所以A (4，4)，B (1，－2)，所以|AB |＝3 5.设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则有d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4＝125|(y 0－1)2－9|. 因为－2＜y 0＜4，所以(y 0－1)2－9＜0.所以d ＝125[9－(y 0－1)2]． 从而当y 0＝1时，d max ＝925， S max ＝12×925×35＝274. 因此，当P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1时，△PAB 的面积取得最大值，最大值为274. 10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在直线的方程． 解：如图所示，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1.设A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知：|AF |＝d A ＝x 1＋p 2， |BF |＝d B ＝x 2＋p 2， 于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，所以x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p ＜52p ， 所以直线AB 与x 轴不垂直．设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0. 所以x 1＋x 2＝p （k 2＋2）k 2， 即p （k 2＋2）k 2＝32p ，解得k ＝±2. 所以AB 所在直线的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. B 级 能力提升1．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223答案：D2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果y 21＋y 22＝24，那么|AB |＝________．解析：因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以以4(x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＝24，即x 1＋x 2＝6. 所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：83．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |；(2)设点A 的坐标为(a ，0)，求抛物线上的点到点A 的距离的最小值d ，并写出d ＝f (a )的函数表达式．解：(1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13. 因为x ≥0，且在此区间上|PA |2随着x 的增大而增大，所以当x ＝0时，|PA |min ＝23， 故距离点A 最近的点P 的坐标为(0，0)，最短距离是23. (2)同(1)求得d 2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋2x＝[x －(a －1)]2＋(2a －1)．当a －1≥0，即a ≥1时，d 2min ＝2a －1，解得d min ＝2a －1，此时x ＝a －1；当a －1＜0，即a ＜1时，d 2min ＝a 2，解得d min ＝|a |，此时x ＝0.所以d ＝f (a )＝⎩⎨⎧2a －1，a ≥1，|a |， a ＜1.。

课时达标检测（十二）抛物线及其标准方程一、选择题．顶点在原点，且过点(－)的抛物线的标准方程是( )．＝－．＝．＝－或＝．＝或＝－解析：选设抛物线方程为＝－或＝，把(－)代入得＝或＝，即＝或＝.故抛物线的标准方程为＝－或＝.．已知点(，)在抛物线＝上，且点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离为( )．．．．解析：选准线方程为＝－，∴＋＝，＝.∴焦点到准线的距离为＝.．已知抛物线＝(＞)的准线与圆(－)＋＝相切，则的值为( )．．．解析：选∵抛物线＝的准线＝－与圆(－)＋＝相切，∴－＝－，即＝.．设圆与圆＋(－)＝外切，与直线＝相切，则的圆心轨迹为( )．抛物线．双曲线．椭圆．圆解析：选由题意知，圆的圆心到点()的距离比到直线＝的距离大，即圆的圆心到点()的距离与到直线＝－的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．．已知点在抛物线＝上，那么点到点(，－)的距离与点到抛物线焦点距离之和取最小值时，点的坐标为( )．() ．(，－)解析：选点到抛物线焦点距离等于点到抛物线准线距离，如图，＋＝＋，故最小值在，，三点共线时取得，此时，的纵坐标都是－，点坐标为.二、填空题．抛物线＝的焦点坐标是．解析：解析：方程改写成＝，得＝，∴＝，即焦点()．答案：()．已知抛物线＝(＞)上一点(，)到其焦点的距离为，双曲线－＝的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数＝.解析：根据抛物线的定义得＋＝，＝.不妨取()，则的斜率为，由已知得－×＝－，故＝.答案：．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为()．其中满足抛物线方程为＝的是．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线＝的焦点在轴上，②满足，①不满足；设(，)是＝上一点，则＝＋＝＋＝≠，所以③不满足；由于抛物线＝的焦点为，过该焦点的直线方程为＝，若由原点向该直线作垂线，垂足为()时，则＝－，此时存在，所以④满足．答案：②④三、解答题．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点(，－)到焦点的距离为，求的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为＝－(＞)，则焦点，准线：＝.作⊥，垂足为，则＝＝，而＝＋，＋＝，。

第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．抛物线y ＝4x 2的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．y ＝－116 答案：D2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(0，1)C ．(2，0)D ．(1，0) 解析：由题意，y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)．答案：D3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．x 2＝yC ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，将点(2，4)代入可得p ＝4或p ′＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y .答案：C4．过点F (0，3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 解析：由题意，知动圆圆心到点F (0，3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x 2＝12y .答案：C5．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋2y－12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．5B ．4 C.1155 D.115答案：C二、填空题6．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝16x 或x 2＝－8y7．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：因为|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3， 所以x A ＋x B ＝52. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 答案：548．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________． 答案：2三、解答题9．已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 解：法一：设动点M (x ，y )，设⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |， 所以点M 的轨迹是抛物线，且以A (3，0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线，所以p2＝3，所以p ＝6. 所以圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x .法二：设动点M (x ，y )，则点M 的轨迹是集合 P ＝{M ||MA |＝|MN |}，即（x －3）2＋y 2＝|x ＋3|，化简得y 2＝12x .所以圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x .10.如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标．解：如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|PA |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|PA |＋d 的最小值的问题．将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6>2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72.即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2.所以P 坐标为(2，2)．B 级 能力提升1．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x 答案：A2．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：将抛物线方程化成标准方程为 x 2＝－4y ，可知焦点坐标为(0，－1)，因为－3＜－14， 所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过M 点作MP ⊥l 于点P ，过点E 作EQ ⊥l 于点Q ，由抛物线的定义可知，|MF |＋|ME |＝|MP |＋|ME |≥|EQ |，当且仅当点M 在EQ 上时取等号，又|EQ |＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案：43.一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m ，深度为0.5 m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由已知条件可得，点A 的坐标是(0.5，2.4)，代入方程，得2.42＝2p ×0.5，所以p ＝5.76.所以所求抛物线的标准方程是y 2＝11.52x ，焦点坐标是(2.88，0)。

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抛物线及其标准方程(时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．在平面直角坐标系内,到点（1,1）和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( ）A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线[答案］A［解析］∵点(1,1）在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点（1,1）且与直线x＋2y＝3垂直的直线．2．过点F（0，3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（）A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝－12y［答案］C［解析］由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为( )A．2 B．3C．4 D．5[答案] D4．抛物线y2＝mx的焦点为F，点P（2,2错误!)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为( )A．1 B．错误!C．2 D．错误!［答案] D[解析] ∵点P（2，2错误!）在抛物线上，∴（2错误!）2＝2m，∴m＝4,P到抛物线准线的距离为2－（－1)＝3，F到准线距离为2，∴M到抛物线准线的距离为d＝错误!＝错误!。