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北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知命题，，则是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】为：，.选C.2. 设直线的倾斜角为，且，则a,b满足A. B.C. D.【答案】D【解析】由题设有，因为，所以，所以，故，选D.3. 已知p,q是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：若是真命题，则为真命题，且为真，而为假命题，所以“是真命题”是为真命题的既不充分也不必要条件，所以答案为D．考点：1．充要条件；2．含有逻辑联结词的命题的真假性．4. 直线与圆交于E，F两点，则（O是原点）的面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】圆心到直线的距离为，所以，而到直线的距离为，所以.选D.5. 关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面、，下列命题正确的是A. ，且，则B. ，且，则C. ，且，则D. ，且，则m//n【答案】B【解析】在如图所示的正方体中，平面，平面，平面平面，，异面，A错；在正方体中，平面平面，平面，平面，但是，C错；平面平面，平面，平面，但是相交.排除A，C，D.选B.6. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是A. B.C. D.【答案】A【解析】抛物线的焦点为，所以，所以，椭圆的离心率为.选A.7. 已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】不妨设双曲线的标准方程为，所以，且，所以，双曲线的标准方程为.选A.8. 已知点A（2，1），抛物线的焦点是F，若抛物上存在一点P，使得最小，则P点的坐标为A. （2，1）B. （1，1）C. （，1）D.【答案】C【解析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，则，其中为到准线的距离，而，此时.选C.点睛：在抛物线中，与焦点有关的最值问题，通常转化为与准线有关的最值问题.9. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2，3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是A. 乙，丁B. 甲，丙C. 甲，丁D. 乙，丙【答案】B【解析】由题意可知乙与丁的说法同时正确或者同时错误，若乙丁同时正确，根据乙的说法“班没有获奖，班获奖了”中奖情况有两种：班和班获奖或者班和班获奖，两种情况都说明丙同学的说法正确，这样就有丙乙丁三位同学的说法正确，所以不合题意，故只能乙丁两位同学说法同时错误，从而知甲丙两位同学说法正确，故选B.10. 如图，正方体中，P为底面ABCD上的动点，于E，且PA=PE，则点P的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】如图，过做，垂足为，连接.因为平面，平面，故.又因，故平面，而平面，所以.因为，故平面，则为直角三角形且，而，故，故，故为的角平分线，故为定点，又，故的轨迹为过且垂直于的线段.选A.点睛：题设中给出了，我们需要把这种垂直关系转化为平面中的的某种几何性质，故在平面中作，通过空间中垂直关系的转化得到为定点，从而在一条定线段上.二、填空题（每小题5分，共30分）11. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是________。
北京师范大学附属实验中学2016-2017学年度第一学期高三年级数学（理）期中试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．集合2{|4}M x x =≤，1|01N x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭则M N =（ ）．A ．(1,2)B ．[)1,2C ．(]1,2D ．[1,2]2．在等差数列{}n a 中，21a =，45a =，则{}n a 的前5项和5S =（ ）． A ．7 B ．15 C ．20 D ．253．已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-且()a b b +⊥，则m =（ ）． A ．8B ．6C ．6-D ．8-4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）． A ．1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x=D ．||y x x =-5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0x 是函数11()2xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点，10(,)x x ∈-∞，20(,0)x x ∈，则（ ）．A ．1()0f x <，2()0f x <B ．1()0f x >，2()0f x >C ．1()0f x >，2()0f x <D ．1()0f x <，2()0f x >7．已知函数π()sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭≤，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为（ ）．A ．11B ．9C ．7D ．58．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．有6人，则（ ）．A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．3号学生进入30秒跳绳决赛C ．7号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =__________．10．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则||a b -=__________．11．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 在同侧河岸边选定一点C ，测出AC 距离为50m ，45ACB =︒∠，105CAB =︒∠，则A 、B 两点的距离为__________m ．12．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a 的最大值为__________．13．设函数21,2()1log ,2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥的最小值为1-，则实数a 的取值范围是__________．14．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质T ．（1）下列函数中具有性质T 的有__________．①()2f x x =-+②()sin ([0,2π])f x x x =∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ （2）若函数()ln f x a x =具有性质T ，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin sin (0)2f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）求函数()f x 的区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．16．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2212b S +=，22S q b =． （Ⅰ）求n a 与n b ．（Ⅱ）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T ． 17．（本小题满分13分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=． （Ⅰ）求角C ．（Ⅱ）若c ABC △，求ABC △的周长． 18．（本小题满分13分） 已知函数()ln f x x x =，2()e ex x g x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的区间[1,3]上的最小值．（Ⅱ）证明：对任意m ，(0,)n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立． 19．（本小题满分14分）已知函数322()()f x x ax bx a x =--+∈R ，a ，b 为常数． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值10，求实数a ，b 的值． （Ⅱ）若函数()f x 是奇函数．（1）方程()2f x =在[2,4]x ∈-上恰有3个不相等的实数解，求实数b 的取值范围． （2）不等式()20f x b +≥对[1,4]x ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围． 20．（本小题满分14分） 已知数集1212{,,,}(1,2)n n A a a a a a a n ==<<≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，i ∃，(1)j i j n ≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由． （Ⅱ）求证：1212(2)n n a a a a n -++≤≥．（Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．。
