2010年上海市中考数学试卷及答案解析

21．（2010•上海）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长．（本题参考数据：sin67.4°=，cos67.4°=，tan67.4°=）22．（2010•上海）某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的数据整理后绘成图．（1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的_________%．（2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？（3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表所示．若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料，试问B出口的被调查游客人数为多少万？23．（2010•上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．24．（2010•上海）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．25．（2010•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．23．（2011•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CD、AC．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2=BE•CE，求证：四边形ABFC是矩形．24．（2011•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO=MA．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．25．（2011•上海）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．21．(本题满分10分，第（1）小题满分4分．第（2）小题满分6分）如图在Rt △ABC 中，∠=90ACB ，D 是边AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E ．己知=15AC ，3=5cosA ． （1）求线段CD 的长；（2）求sin ∠DBE 的值．22．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：=BE DF（2）当要DFFC=ADDF时，求证：四边形BEFG是平行四边形．DEB分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图像经过点()4,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，=OD t ，点E 在第二象限，∠=90ADE ，1=2tan DAE ∠，EF OD ⊥，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA =∠OAC 时，求t 的值．分）AOB，点C是弧AB上的一个动点（不与如图，在半径为2的扇形AOB中，∠=90点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．BC时，求线段OD的长；（1）当=1（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；BD x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．（3）设=21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx （a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP 的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．21．（本题满分10分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分3分）已知水银体温计的读数y （℃）与水银柱的长度x （cm ）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．（1）求y 关于x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； 1.2529.75y x =+ （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm ，求此时体温计的读数．37.522．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH ．（1）求sinB 的值；,sinB sinCAE 5B DCB CAE ∠=∠=∠∴==（2）如果CD ，求BE 的值．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）联结AE，交BD于点G，求证：DG DF GB DB．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,－2)． （1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标；（3）点D 为该抛物线的顶点，设点P (t , 0)，且t ＞3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值．。

2010上海市中考数学压轴题解法赏析与思考青浦区实验中学 范莉花2010年上海市中考数学第25题是一道以几何基础图形为素材的“压轴题”，主要是等腰三角形、勾股定理、锐角三角比、三角形一边的平行线性质定理、垂径定理等知识点进行有机综合，通过三个相对独立的小问题，形成有一定梯度的综合应用题。

我有幸参加了今年中考数学试卷的阅卷工作，发现该题第（2）小题至少有15种解法，相当一部分考生的答题过程思路清晰、解答巧妙，现整理部分精彩证法，与读者共同分享。

题目：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.半径为1的圆A 与边AB 相交于 点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P.（1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长；（2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值；（3）若31tan =∠BPD ，设CE=x ，△ABC 的周长y ，求y 关于x 的函数关系式.图1 图2 (备用) 图3(备用)第（2）小题求∠BPD 的正切值，这是个较为常见的问题，对于基础扎实的考生来说难度适中，一般来讲解决这个问题的关键是设法在直角三角形中求出对边与邻边，其主要思路有两个：思路一，寻找或构造含∠BPD 的直角三角形，求出对边和邻边即可；思路二，寻找或构造含与∠BPD 相等的角的直角三角形，求出对边和邻边即可。

由于本题条件是CE=2，BD=BC 及∠ACB ＝90°，半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，因此根据勾股定理，大部分学生较易求出BD=BC=4，AB=5，AC=3。

（设BD=BC=x ∴AB=x+1，AC=3 ∵∠ACB ＝90° ∴222)1(3+=+x x 解得BD=BC=4）本题关键问题是如何运用已知条件与求三角比值的关系，此处充分发挥数形结合地特色，体现多向思维尝试、探究的设计意图，预留较多的解题途径，考查学生分析问题、解决问题的基本功和灵活性。

2010年浦东新区中考数学预测卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．计算23)()(a a -⋅-的正确结果是 （A ）5a ；（B ）5a -；（C ）6a ；（D ）6a -．2．如果二次根式5+x 有意义，那么x 的取值范围是 （A ）x ＞0；（B ）x ≥0；（C ）x ＞-5；（D ）x ≥-5．3．用配方法解方程0142=+-x x 时，配方后所得的方程是（A ）1)2(2=-x ； （B ）1)2(2-=-x ； （C ）3)2(2=-x ； （D ）3)2(2=+x ． 4．木盒里有1个红球和1个黑球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 （A ）21； （B ）31； （C ）41； （D ）32． 5．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，a AB =，b AD =，那么b a 2121+等于（A ）AO ； （B ）AC ； （C ）BO ； （D ）CA ．6．在长方体ABCD -EFGH 中，与面ABCD 平行的棱共有 （A ）1条； （B ）2条； （C ）3条； （D ）4条．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．-4的绝对值等于 ▲ ． 8．分解因式：822-x = ▲ ． 9．方程23=-x 的根是 ▲ ．BCDO（第5题图）ABC G H FD （第6题图）10．如果函数11)(+=x x f ，那么)2(f = ▲ ．11．如果方程0)12(22=+--m x m x 有两个实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ． 12．如果正比例函数的图像经过点（2，4）和（a ，-3），那么a 的值等于 ▲ ． 13．一台组装电脑的成本价是4000元，如果商家以5200元的价格卖给顾客，那么商家的盈利率为 ▲ ．14．已知梯形的上底长为a ，中位线长为m ，那么这个梯形的下底长为 ▲ ． 15．已知正六边形的边长为6，那么边心距等于 ▲ ．16．在Rt △ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC ，交边BC 于点D ，如果BD =2，AC =6，那么△ADC 的面积等于 ▲ ． 17．已知在△ABC 中，AB =AC =10，54cos =C ，中线BM 与CN 相交于点G ，那么点A 与点G 之间的距离等于 ▲ ．18．已知在△AOB 中，∠B =90°，AB =OB ，点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（0，4），点B 在第一象限内，将这个三角形绕原点O 逆时针旋转75°后，那么旋转后点B 的坐标 为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：2012327223）（）（）（-+---． 20．（本题满分10分）解方程：2322x x xx --=-．21．（本题满分10分，其中每小题各2分）为迎接2010年上海世博会的举行，某校开展了“城市让生活更美好”世博知识调查活动，为此，该校在六年级到九年级全体学生中随机抽取了部分学生进行测试，试题共有10题，每题10分，抽测的学生每人至少答对了6题，现将有关数据整理后绘制成如下“年级人数统计图”和尚未全部完成的“成绩情况统计表”．根据图表中提供的信息，回答下列问题： （1）参加测试的学生人数有 ▲ 名； （2）成绩为80分的学生人数有 ▲ 名； （3）成绩的众数是 ▲ 分； （4）成绩的中位数是 ▲ 分；年级2830 2636年级人数统计图成绩情况统计表（5）如果学校共有1800名学生，那么由图表中提供的信息，可以估计成绩为70分的学生人数约有 ▲ 名． 22．（本题满分10分）小明不小心敲坏了一块圆形玻璃，于是他拿了其中的一小块到玻璃店去配同样大小的圆形玻璃（如图），店里的师傅说不知圆形玻璃的大小不能配，小明就借了一把尺，先量得其中的一条弦AB 的长度为60厘米，然后再量得这个弓形高CD 的长度为10厘米，由此就可求得半径解决问题．请你帮小明算一下这个圆的半径是多少厘米． 23．（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AM =DM ．求证：（1）AE =AB ；（2）如果BM 平分∠ABC ，求证：BM ⊥CE ．24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图像上的一点，且△ABP 是直角三角形．（1）求点P 的坐标；（2）如果二次函数的图像经过A 、B 、P 三点，求这个二次函数的解析式；（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图像与y 轴交于点C ，过该函数图像上的点C 、点P 的直线与x 轴交于点D ，试比较∠BPD 与∠BAP 的大小，并说明理由．25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，P 是边BC 延长线上的一点，联接AP 交边CD 于点E ，把射线AP 沿直线AD 翻折，交射线CD 于点Q ，设CP =x ，DQ =y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（2）当点P 运动时，△APQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出△APQ 的面积S 关于x 的函数解析式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由． （3）当以4为半径的⊙Q 与直线AP 相切，且⊙A 与⊙Q 也相切时，求⊙A 的半径．ABCDEM（第23题图）ABCD（第22题图）A B C Q D （第25题图） P E A O yx （第24题图）2010年浦东新区中考数学预测卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．C ； 5．A ； 6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4； 8．()()222+-x x ； 9．1-=x ； 10．12-； 11．41≤m ； 12．23-；13．30 %； 14．a m -2； 15．33 ； 16．6； 17．4； 18．（2-，6）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式121219-++=………………………………………………………………（8分） 211-=．………………………………………………………………………（2分）20．解：设y xx =-2，则yx x 323=-．……………………………………………………（1分）∴原方程可化为23=-yy ．……………………………………………………（1分）整理，得0322=--y y ．………………………………………………………（1分） ∴31=y ，12-=y ．……………………………………………………………（2分） 当31=y 时，即32=-x x ．∴1-=x ．…………………………………………（2分） 当12-=y 时，即12-=-xx ．∴1=x ．………………………………………（2分）经检验：11-=x ，12=x 都是原方程的解．……………………………………（1分） ∴原方程的解是 11-=x ，12=x ．另解：去分母，得)2(23)2(22-=--x x x x ．………………………………………（4分）整理，得 012=-x ．…………………………………………………………（3分） 解得 11-=x ，12=x ．……………………………………………………（2分）经检验：11-=x ，12=x 都是原方程的解．……………………………………（1分） ∴原方程的解是 11-=x ，12=x ．21．解：（1）120；（2）36；（3）90；（4）90；（5）270．……………………（每题各2分） 22．解：设此圆的圆心为点O ，半径为r 厘米．联结DO 、AO ．则点C 、D 、O 在一直线上．可得OD =（10-r ）cm ．……（1分） 由题意，得AD =30厘米．………………………………………………………（3分）∴ ()2221030-+=r r ．…………………………………………………………（3分）解得 50=r ．……………………………………………………………………（2分） 答：这个圆的半径是50厘米．………………………………………………………（1分） 23．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．……………（2分） ∴∠E =∠ECD ．……………………………………………………………（1分） 又∵AM =DM ，∠AME =∠DMC ，∴△AEM ≌△DCM ．………………（1分） ∴CD =AE ．…………………………………………………………………（1分） ∴AE =AB ．…………………………………………………………………（1分） （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠AMB =∠MBC ．………………………………………………………（1分） ∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠MBC ．………………………………（1分） ∴∠ABM =∠AMB ．∴AB =AM ．…………………………………………（1分） ∵AB =AE ，∴AM =AE ．…………………………………………………（1分） ∴∠E =∠AME ．…………………………………………………………（1分） ∵∠E ＋∠EBM ＋∠BMA ＋∠AME ＝180°，∴∠BME ＝90°，即BM ⊥CE ．…………………………………………（1分）24．解：（1）由题意，得点B 的坐标为（2，0）．………………………………………（1分）设点P 的坐标为（x ，y ）．由题意可知 ∠ABP ＝90°或∠APB ＝90°．（i ）当∠ABP ＝90°时，2=x ，1=y ．∴点P 坐标是（2，1）．……（1分）（ii ）当∠APB ＝90°时，222AB PB PA =+，即()()16222222=+-+++y x y x ．……………………………………（1分）又由xy 2=，可得2±=x （负值不合题意，舍去）．当2=x 时，2=y ．∴点P 点坐标是（2，2）．………………（1分） 综上所述，点P 坐标是（2，1）或（2，2）．（2）设所求的二次函数的解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ．（i ）当点P 的坐标为（2，1）时，点A 、B 、P 不可能在同一个二次函数图像上．……………………………………………………………………………（1分）（ii ）当点P 的坐标为（2，2）时，代入A 、B 、P 三点的坐标，得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=.222,240,240c b a c b a c b a …………………………………………………（1分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.22,0,22c b a ……………………………………………………………（1分）∴所求的二次函数解析式为22222+-=xy ．………………………（1分）（3）∠BPD =∠BAP ．……………………………………………………………（1分）证明如下：∵点C 坐标为（0，22），………………………………………………（1分）∴直线PC 的表达式为 22+-=x y ．∴点D 坐标为（22，0）．………………………………………………（1分） ∴PD =2，BD =222-，AD =222+．∴122222-=-=PDBD ，122222-=+=ADPD ，∴ADPD PDBD =．∵∠PDB =∠ADP ，∴△PBD ∽△APD ．…………………………………（1分）∴∠BPD =∠BAP ．另证：联接OP ．∵∠APB ＝90°，OA =OB ，∴OP =OA ．∴∠APO =∠P AO ．又∵点C 坐标为（0，22），……………………………………………（1分）∴直线PC 的表达式为 22+-=x y ．∴点D 坐标为（22，0）．………………………………………………（1分） ∴OC =OD ．∵点P 的坐标为（2，2），∴PC =PD ．∴OP ⊥CD ．∴∠BPD =∠APO ．…………………………………………………………（1分） ∴∠BPD =∠BAP ．25．解：（1）在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠APB =∠DAP ．又由题意，得∠QAD =∠DAP ，∴∠APB =∠QAD ．∵∠B =∠ADQ =90°，∴△ADQ ∽△PBA ．………………………………（1分） ∴BPAD ABDQ =，即443+=x y ．∴412+=x y ．………………………………………………………………（1分）定义域为0>x ．……………………………………………………………（1分）（2）不发生变化．…………………………………………………………………（1分）证明如下：∵∠QAD =∠DAP ，∠ADE =∠ADQ =90°，AD =AD ， ∴△ADE ≌△ADQ ．∴DE =DQ =y ．………………………………………………………………（1分） ∴124124482121=+++=⋅+⋅=+=∆∆x x x PC QE AD QE S S S PQE AQE ．…（3分）（3）过点Q 作QF ⊥AP 于点F ．∵以4为半径的⊙Q 与直线AP 相切，∴QF =4．…………………………（1分） ∵12=S ，∴AP =6．………………………………………………………（1分） 在Rt △ABP 中，∵AB =3，∴∠BP A =30°．…………………………………………………（1分） ∴∠P AQ =60°． ∴AQ =338．………………………………………………………………（1分）设⊙A 的半径为r ．∵⊙A 与⊙Q 相切，∴⊙A 与⊙Q 外切或内切． （i ）当⊙A 与⊙Q 外切时，AQ =r +4，即338=r +4．∴r =4338-．………………………………………………………………（1分）（ii ）当⊙A 与⊙Q 内切时，AQ =r -4，即338=r -4．∴r =4338+．………………………………………………………………（1分）综上所述，⊙A 的半径为4338-或4338+．。

静安区静安区““学业效能实证研究学业效能实证研究””学习质量调研九年级九年级数学学科数学学科2010.4（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一除第一、、二大题外二大题外,,其余各题如无特别说明其余各题如无特别说明，，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题一、选择题：：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂铅笔正确填涂]]1．下列运算正确的是（A ）1)1(0−=−（B ）0)1(0=−（C ）1)1(1−=−−（D ）1)1(1=−−2．如果关于x 的方程042=−+m x x 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是（A ）4−<m （B ）4−>m （C ）4−≤m （D ）4−≥m 3．函数)0(3>−=x xy 的图像位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4．下列统计量中，表示一组数据波动情况的量是（A ）平均数（B ）中位数（C ）众数（D ）标准差5．下列命题中，真命题是（A ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（B ）对角线互相垂直且相等的四边形是矩形（C ）对角线互相平分且相等的四边形是菱形（D ）对角线互相垂直且相等的四边形是菱形6．等边三角形绕它的一个顶点旋转90º后与原来的等边三角形组成一个新的图形，那么这个新的图形（A ）是轴对称图形，但不是中心对称图形（B ）是中心对称图形，但不是轴对称图形（C ）既是轴对称图形，又是中心对称图形（D ）既不是轴对称图形，又不是中心对称图形二、填空题二、填空题：：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]]7．计算：318= ▲．8．化简：=−+1515 ▲．9．方程x x =+2的根是 ▲．10.将二元二次方程169622=+−y xy x 化为二个二元一次方程为 ▲．11．函数y =x 32−的定义域是▲．12．一户家庭使用100立方米煤气的煤气费为125元，那么煤气费y (元)与煤气使用量x (立方米)之间的关系为▲．13．从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃1、2、3，另一组为方块1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是▲．14．如图，在长方体ABCD —EFGH 中，与平面ADHE 和平面CDHG 都平行的棱为▲．15．某人在高为48米的塔上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为60º，那么这辆汽车到塔底的距离为▲．16．在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =3AD ，==,，那么=CD▲．17．将正方形ABCD 沿AC 平移到A’B’C’D’使点A’与点C 重合，那么tan ∠D’AC’的值为▲．18．如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部分的周长为▲．三、解答题三、解答题：：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]]（第14题图）（第18题图）19．（本题满分10分）先化简，再求值：1122)1()1()21()21(−−−+++−−+a a a a ，其中3=a ．20．（本题满分10分）解方程：524)2(2=+−+x x x x ．21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90º，AC =6，sin B =53,点D 是边BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E .求：（1）线段CD 的长；（2）cos ∠DCE 的值．22．（本题满分10分第（1）小题满分4分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分3分）某中学对全校学生60秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是100次．某班体育委员统计了全班40名学生60秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点），那么（1）该班60秒跳绳的平均次数至少是▲．（2）该班学生跳绳成绩的中位数所在范围是▲．（3）从该班中任选一人，其跳绳次数达到或超过校平均次数的概率是▲．23．（本题满分12分，第（1）小题8分，第（2）小题4分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ．（1）求证：GD CG GF EG ⋅=⋅；（2）联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC与∠ADC之间有怎样的数量关系？证（第22题图）615（第21题图）明你所得到的结论．24．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O 、且经过点A （3，3），一次函数的图像经过点A 和点B （6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图像与y 相交于点C ，点D 在线段AC 上，与y 轴平行的直线DE 与二次函数图像相交于点E ，∠CDO =∠OED ，求点D 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ．（1）如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（2）如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长；（3）如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF的长．（第25题图1）（第23题图）E静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准2010.4.13一、选择题一、选择题：：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C ；2．B ；3．D ；4．D ；5．A ；6．A ．二．填空题二．填空题：：（本大题共12题，满分48分）7．2；8．253+；9．2=x ；10．43,43−=−=−y x y x ；11．32≤a ；12．x y 45=；13．94；14．BF ；15．163；16．2−−；17．31；18．37π．三、（本大题共7题，第1919、、2020、、2121、、22题每题10分，第2323、、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19.解：原式=1111)2121)(2121(−++++−+−++a a a a a a …………………………（1+1+1+1分）=+a 21112−++−a a a ………………………………………………………………（1+1分）=1212222323−=−+−a a a aa a ．………………………………………………………（2分）当3=a 时，原式=331)3()3(223=−．………………………………………………（2分）20．解：设y x x=+2，…………………………………………………………………………（1分）原方程可化为0542=−−y y ,………………………………………………………（2分）0)5)(1(=−+y y ，……………………………………………………………………（1分）5,121=−=y y ．………………………………………………………………………（1分）当1−=y 时，.1,12−=−=+x x x……………………………………………………（2分）（第25题图2）当5=y 时，.25,52−==+x x x ………………………………………………………（2分）经检验：1−=x ，25−=x 都是原方程的根．………………………………………（1分）所以原方程的根是25,121−=−=x x ．21.解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠C =90º，AC =6，sin B =53，∴AB =10356sin =×=B AC .…………………………………………………………（2分）BC =86102222=−=−AC AB ．……………………………………………（2分）CD =21BC =4，……………………………………………………………………（1分）（2）在Rt △ACD 中，∵CE ⊥AD ，∴∠CAD =90º–∠ACE =∠DCE ．……………（1分）AD=132462222=+=+CD AC ．………………………………………（1分）∴cos ∠DCE =cos ∠CAD =131331326==AD AC ．…………………………………（3分）22．（1）102．……（4分）（2）100～120．……（3分）（3）675.04027=．······（3分）23．证明：（1）联结BD ，………………………………………………………………………（1分）∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ．……………………（1分）∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCD ．………………………………………（1分）∴∠EDC =∠EBC ．…………………………………………………………………（1分）∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ．……………………………………………………（1分）∴∠EDC =∠EFC ．…………………………………………………………………（1分）∵∠DGE =∠FGC ，∴∠DGE ∽△FGC ．………………………………………（1分）∴,CGGDCG EG =∴GD CG GF EG ⋅=⋅．……………………………………………（1分）（2）∠ADC=2∠FDC ．…………………………………………………………………（1分）证明如下：∵,CGGDCG EG =∠DGF =∠EGC ，∴△DGF ∽△EGC ．……………（1分）∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC=∠DCA =∠DFG =90º–∠FDC ．……………（1分）∴∠ADC =180º–2∠DAC =180º–2（90º–∠FDC ）=2∠FDC ．………………（1分）24．解：（1）设二次函数解析式为2ax y =，∵点A （3，3）在二次函数图像上，∴a 93=，…………………………………（1分）∴31=a ，∴二次函数解析式为231x y =．…………………………………………（1分）设一次函数解析式为b kx y +=，∵一次函数的图像经过点A 和点B （6，0）∴⎩⎨⎧+=+=,60,33b k b k …………………………………………………………………………（1分）∴⎩⎨⎧=−=6,1b k ……………………………………………………………………………（1分）∴一次函数解析式为6+−=x y ．……………………………………………………（1分）（2）∵DE//y 轴，∴∠COD =∠ODE ，∵∠CDO =∠OED ，∴△CDO ∽△OED ．……（1分）∴CODO DO DE =，∴CO DE DO ⋅=2．………………………………………………（1分）设点D 的坐标为（6,+−m m ），∴点E 的坐标为（231,m m ）…………………（1分）∴36122)6(2222+−=−+=m m m m OD ，2316m m DE −+−=．……………（1分）∵点C （0，6），∴CO =6．∴)316(63612222m m m m −+−=+−，……………（1分）∴23,(0,064212==∴=−m ),m m m 舍去不符合题意．………………………（1分）∴点D 的坐标为29,23(．……………………………………………………………（1分）25．解：（1）联结OC ，∵AC 是⊙O 的弦，OD ⊥AC ，∴OD =AD ．………………………（1分）∵DF //AB ，∴CF =EF ，∴DF =AE 21=)(21OE AO +．……………………………（1分）∵点C 是以AB 为直径的半圆的中点，∴CO ⊥AB ．………………………………（1分）∵EF =x ，AO =CO =4,∴CE =2x ,OE =421642222−=−=−x x OC CE .…（1分）∴42)424(2122−+=−+=x x y .定义域为2≥x ．……………………（1+1分）（2）当点F 在⊙O 上时，联结OC 、OF ，EF =421==OF CE ，∴OC =OB =21AB =4．（1分）∴DF =2+442−=2+23．…………………………………………………………（1分）（3）当⊙E 与⊙O 外切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =−，∴,4)4()2(222=+−x x 032832=−−x x ，∴=1x 3744+，=2x 舍去(3744−）．………………………………………（1分）∴DF =37214)37448(21)(21+=++=+BE AB ．……………………………（1分）当⊙E 与⊙O 内切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =−，∴,4)4()2(222=−−x x 032832=−+x x ，∴=1x 3744+−，=2x 舍去(3744−−）．……………………………………（1分）∴DF =37214)37448(21)(21−=+−−=−BE AB ．……………………………（1分）当⊙E 与⊙O 内切于点A 时，AE =FE ．∵222CO OE CE =−，∴,4)4()2(222=−−x x 032832=−+x x ，∴=1x 3744+−，=2x 舍去(3744−−）．……………………………………（1分）∴DF =327221−=AE ．……………………………………………………………（1分）。

12010年金山区模拟一数 学 卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．化简32(3)x 所得的结果是（ ）．A ．99x B ．69x C ．66x D ．96x 2．若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．33a b ->- B ．33a b< C ．33a b -<- D ．ac bc < 3．在平面直角坐标系中，下列直线中与直线23y x =-平行的是（ ）A ．3y x =-B ．23y x =-+C ．23y x =+D ．32y x =- 4．在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向左平移3个单位，所得图象的解析式为（ ）A ．22(3)y x =+B ．22(3)y x =-C ．223y x =+D ．223y x =- 5．在正多边形中，外角和等于内角和的是（ ） A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正四边形 D ．正三边形 6．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（ ） A ．8d > B ． 2d > C ．02d ≤< D ． 8d >或02d ≤<二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．因式分解：22x x -= ． 8．如果方程()132x a -=的根是3x =，那么a = ． 9．请你写一个大于2且小于3的无理数 ．210．函数1()1f x x=-的定义域是 ． 11． ()322a b a --=．12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，13sinA =，BC =6，那么AB = ． 13．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是45，则n =__________． 14．如图1，已知a ∥b ，140∠=，那么2∠的度数等于 ．15．两个相似三角形对应边上高的比是1∶4 ，那么它们的面积比是 ．16．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =6，以点C 为圆心的⊙C 与AB 相切，那么⊙C 的半径等于 ．17．在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，如果四边形EFGH 为菱形，那么四边形ABCD 可能是 （只要写一种）． 18．如图2，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC =4，∠ADC =30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后 点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的距离是 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 解分式方程：212111xx x -=-- 20．（本题满分10分）一块长方形绿地的面积为2400平方米，并且长比宽多20米，那么这块绿地的长和宽分别为多少米？ 21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图3，在△ABC 中，sin ∠B =45，∠C =30°，AB =10。

2010年上海市嘉定区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2010•嘉定区一模）已知抛物线y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是（）A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1【考点】M442 二次函数的图象、性质M443 求二次函数的关系式【难度】容易题【分析】解：∵抛物线y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，∴抛物线开口向下，∴m+1＜0，∴m＜﹣1，故选：D【解答】D．【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型是考试考查重点，同学们应熟练掌握．2．（4分）（2010•嘉定区一模）抛物线y=x2﹣2x的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，0）【考点】M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】解：∵y=x2﹣2x+1﹣1=（x﹣1）2﹣1，∴顶点坐标是（1，﹣1），故选：B．【解答】B．【点评】此题主要考查了二次函数顶点坐标求法，解决问题的关键是运用配方法得出二次函数的顶点坐标．3．（4分）（2010•嘉定区一模）在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，那么下列各式中正确的是（）A． B．C．D．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）【难度】容易题【分析】解：由勾股定理知，BC===．∴sin A=，co s A=，tan A=，cot A=．故选B．【解答】B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．属于基础题，基础概念应熟练掌握．4．（4分）（2014•普陀区一模）在△ABC中，tan A=1，，那么△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M362 特殊角的锐角三角函数值M332 三角形三边之间的关系【难度】容易题【分析】解：∵△ABC中，tan A=1，cot B=，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣30°=105°，∴△ABC是钝角三角形．故选A．【解答】A．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，解答此题的关键是先特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数．5．（4分）（2010•嘉定区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE=2：5 B．AB：CD=2：5 C．CD：EF=2：5 D．CE：EA=5：7 【考点】M33I 平行线分线段成比例定理【难度】容易题【分析】解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，∴=，∵AE=AC+CE，∴CE：EA=5：7．故选D．【解答】D．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意对应线段．6．（4分）（2010•嘉定区一模）如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D在腰AC上，且BD=BC，那么下列结论正确的是（）A．AD=2 B．C．D．【考点】M339 等腰三角形的性质和判定M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】解：∵AB=AC，BD=BC，∴△ABC，△BCD为等腰三角形，又底角∠BCA=∠BCD，∴△ABC∽△BCD，∴=，即=，解得CD=．故选C．【解答】C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是判断两个等腰三角形公共底角．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．（4分）（2010•嘉定区一模）抛物线y=ax2经过点（2，8），那么a=．【考点】M414 用待定系数法求函数关系式M442 二次函数的图象、性质M443 求二次函数的关系式【难度】容易题【分析】解：∵抛物线y=ax2经过点（2，8），∴点（2，8）满足抛物线方程y=ax2，∴8=4a，解得，a=2；故答案是：2．【解答】2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．二次函数图象上的点，一定满足该二次函数的解析式．8．（4分）（2010•嘉定区一模）将抛物线y=x2+3向下平移一个单位，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是．【考点】M442 二次函数的图象、性质M443 求二次函数的关系式M371 图形的平移【难度】容易题【分析】解：根据“上加下减”的原则可知，抛物线y=x2+3向下平移一个单位后，得到新的抛物线的表达式为：y=x2+2．故答案为：y=x2+2．【解答】y=x2+2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是必须熟知函数图象平移的法则．9．（4分）（2010•嘉定区一模）抛物线y=﹣2x2+3x﹣1与y轴的交点坐标是．【考点】M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】解：把x=0代入抛物线y=﹣2x2+3x﹣1得：y=﹣1，∴抛物线y=﹣2x2+3x﹣1与y 轴的交点坐标是（0，﹣1），故答案为：（0，﹣1）．【解答】（0，﹣1）．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，解题的关键是知道抛物线与Y轴交点的横坐标等于0．10．（4分）（2010•嘉定区一模）抛物线在对称轴右侧的部分是的．（在空格内填“上升”或“下降”）【考点】M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∴对称轴右侧的部分呈上升趋势．故答案为：上升．【解答】上升．【点评】解题需掌握根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律．11．（4分）（2010•嘉定区一模）在R t△ABC中，∠C=90°，cot A=2，BC=4，那么AC=．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M332 三角形三边之间的关系M364 解直角三角形【难度】容易题【分析】解：如图，∵cot A==2，而BC=4，∴AC=2×4=8．故答案为8．【解答】8．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：需掌握知识点：在直角三角形中，一锐角的余切等于它的邻边与对边的比值．12．（4分）（2010•嘉定区一模）在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3：4，那么sin ∠BAC=．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】容易题【分析】解：如图，设AC=6x，BD=8x，则AO=3x，OB=4x，∴AB==5x，在RT△BAO中，sin∠BAC===．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，解题需要用到的知识点为：菱形的对角线互相垂直且平分．13．（4分）（2013•嘉定区一模）如图，飞机在目标B的正上方2000米A处，飞行员测得地面目标C的俯角α=30°，那么地面目标B、C之间的距离为米．（结果保留根号）【考点】M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】容易题【分析】解：∵飞行员测得地面目标C的俯角α=30°，∴∠ACB=30°，∴BC====2000（米）．∴B、C之间的距离为2000米．故答案为：2000．【解答】2000．【点评】本题考查俯角的定义，学生需掌握借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．14．（4分）（2010•嘉定区一模）已知x：y=3：4，那么（x +y）：y=．【考点】M33H 比例的性质【难度】容易题【分析】解：∵x：y=3：4，∴，即（x +y）：y=7：4．故答案为：7：4．【解答】7：4．【点评】此题考查了比例的性质．题目比较简单，解题的关键是掌握比例的性质与比例变形．15．（4分）（2010•嘉定区一模）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么=．【考点】M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法【难度】容易题【分析】解：将等式变形：3﹣=2，∴=．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查了平面向量的知识，需熟练掌握平面向量的定义的．16．（4分）（2010•嘉定区一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，那么DE：BC的值是．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理【难度】容易题【分析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===，∴=．故答案为3：5．【解答】3：5．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的性质．17．（4分）（2010•嘉定区一模）两个相似三角形的周长比是1：4，那么这两个三角形的相似比是．【考点】M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】解：∵两个相似三角形的周长比是1：4，∴这两个三角形的相似比是1：4．故答案为：1：4．【解答】1：4．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键需掌握相似三角形周长的比等于相似比定理的应用．18．（4分）（2010•嘉定区一模）如图：在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，过点A作AE∥CB交CD的延长线于点E，那么图中相似三角形共有对．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M323 平行线的判定、性质【难度】中等题【分析】解：依题意得∠EAD=∠ACD=∠B，∵AE∥CB，∴△AED∽△BCD，∵∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∵∠AED=∠CEA，∴△AED∽△CEA，由相似三角形的传递性，得△BCD∽△CEA．故有4对相似三角形．故答案为：4．【解答】4．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法．解题关键是利用平行线找相等角，利用公共角判断三角形相似．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2010•嘉定区一模）计算：2（sin60°+cos45°）+（2﹣tan45°）﹣cot30°．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】容易题【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=2×（+）+（2﹣1）﹣ (4)=++1﹣ (7)=+1． (10)【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．20．（10分）（2010•嘉定区一模）如图：已知在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，CE 与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE=2AE，CE=10．求GE、CO的长．【考点】M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M323 平行线的判定、性质【难度】容易题【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可推出BG∥CD，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由DE=2AE，CE=10，即可求得GE的长；又由AD=BC，，即可求得CO的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BG∥CD． (1)∴． (2)∵DE=2AE，CE=10，∴．∴GE=5． (4)由题意知：AD=BC．∵DE=2AE，∴． (5)又BC∥DE，∴． (7)又EO=EC﹣OC=10﹣OC，∴． (9)∴OC=6． (10)【点评】此题考查了平行四边形的性质与平行线分线段成比例定理等知识点，解题的关键是列出，得出EO与OC的关系，注意数形结合思想的应用．21．（10分）（2010•嘉定区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（2，﹣3）、C（0，5）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数的顶点坐标．【考点】M414 用待定系数法求函数关系式M442 二次函数的图象、性质M443 求二次函数的关系式【难度】容易题【分析】（1）将点A（1，0）、B（2，﹣3）、C（0，5）代入二次函数的解析式y=ax2+bx+c，利用待定系数法可求得这个二次函数的解析式；（2）将二次函数的解析式转化为顶点式，然后根据解析式求这个二次函数的顶点坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（2，﹣3）、C（0，5），∴ (1)∴ (4)所以这个二次函数的解析式为：y=x2﹣6x+5． (5)（2）y=x2﹣6x+5y=（x2﹣6x+9﹣9）+5 (7)y=（x﹣3）2﹣4． (8)∴这个二次函数的顶点坐标为（3，﹣4）． (10)【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式等．注意将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，可采用“配方法”．22．（10分）（2010•嘉定区一模）如图：某水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高BH为20米，斜坡AB 的坡度，斜坡CD的坡角为45°．求（1）斜坡AB的坡角；（2）坝底宽AD（精确到1米）．（参考数据：，）【考点】M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】容易题【分析】（1）根据tan∠A=i=，即可求出∠A的度数（2）过点C作CG⊥AD，垂足为点G．分别求出AH，HG．DG的长度，则AD=AH+HG+GD. 【解答】解：（1）斜坡AB的坡角是∠A，即tan∠A=i． (1)∵i=1：，∴tan∠A=． (2)∴∠A=30°． (3)（2）过点C作CG⊥AD，垂足为点G．由题意可知：BH=CG=20（米），BC=HG=6（米）． (5)在Rt△AHB中，∵tan∠A=，∴AH=20（米）． (6)在Rt△CGD中，∵∠D=45°，∴∠D=∠DCG=45°．∴CG=GD=20（米）． (8)∴AD=AH+HG+GD=20+26．（1分）AD≈61（米）． (10)答：斜坡AB的坡角为30°，坝底宽AD约为61米．【点评】本题考查了坡度坡角、解直角三角形及梯形的性质等．注意构造直角三角形是常用的辅助线方法．23．（12分）（2010•嘉定区一模）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M323 平行线的判定、性质【难度】中等题【分析】（1）根据，且∠AOB=∠DOC，可证△AOB∽△DOC；（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC∽△EOD，根据相似三角形对应边成比例，则，则结论可证．【解答】证明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB，∴． (2)又∠AOB=∠DOC， (4)∴△AOB∽△DOC． (5)（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．∴∠ABO=∠DCO． (7)∵AB∥DE，∴∠ABO=∠EDO．∴∠DCO=∠EDO． (9)∵∠DOC=∠EOD，∴△DOC∽△EOD． (11)∴．∴OD2=OE•OC． (12)【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意找准对应角和对应边．解题关键是证明△DOC∽△EOD．24．（12分）（2010•嘉定区一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△MON（如图所示），若二次函数的图象经过点A、M、O三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果把这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象与y轴的交点为C，求tan∠ACO的值；（3）在（2）的条件下，设新的二次函数图象的对称轴与x轴的交点为D，点E在这条对称轴上，如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E的坐标．【考点】M442 二次函数的图象、性质M443 求二次函数的关系式M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M372 图形的旋转与旋转对称图形M33M 相似三角形性质、判定【难度】较难题【分析】（1）先得出M点的坐标，再设出二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、M、O 三点代入即可求出解析式．（2）先得出图象向右平移2个单位的解析式，令x=0，从而得出与y轴的交点坐标，再连接AN，即可求出tan∠ACO的值．（3）根据（2）的解析式得出对称轴为直线x=2，则D点的坐标为（2，0），再设出点E的坐标（2，x），这时再分两种情况进行讨论，当点E在x轴的上方时，得出当或时x的值，进而求出点E的坐标；当点E在x轴的下方时，同理可得出点E的坐标．【解答】解：（1）由旋转可知：点M的坐标为（﹣1，1），设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c∵二次函数的图象经过点A、M、O三点，点A坐标为（1，1）， (1)∴∴∴这个二次函数的解析式为y=x2． (3)（2）将这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数的解析式为y=（x﹣2）2．∴二次函数y=（x﹣2）2的图象与y轴的交点为C为（0，4）， (5)由旋转可知：点N的坐标为（0，1），连接AN．在Rt△ANC中，AN=1，CN=3，∴． (7)（3）由（2）得：新的二次函数y=（x﹣2）2图象的对称轴为直线x=2．根据题意：得点D的坐标为（2，0），可设点E坐标为（2，x），∠BOC=∠BDE=90°． (8)如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似：①当点E在x轴的上方时，如果，又BD=BO=1，容易知道△BCO与△BDE全等（舍去），如果，又BD=1，BO=1，OC=4，DE=x，∴，∴．所以点E的坐标为（2，）． (10)②当点E在x轴的下方时，同理：可得到E的坐标为（2，﹣）．所以：当△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1）时，点E的坐标为（2，）或（2，﹣）． (12)【点评】本题主要考查了二次函数综合题，注意掌握抛物线的顶点公式和解析式的求法．在求有关动点问题时要根据题意分情况讨论结果．25．（14分）（2010•嘉定区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，AD=4cm，∠D=45°，BC=3cm．（1）求cos∠B的值；（2）点E为BC延长线上的动点，点F在线段CD上（点F与点C不重合），且满足∠AFC=∠ADE，如图，设BE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点E为射线BC上的动点，点F在射线CD上，仍然满足∠AFC=∠ADE，当△AFD 的面积为2cm2时，求BE的长．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M345 梯形的概念M33E 勾股定理M364 解直角三角形M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M33D 直角三角形的性质和判定【难度】较难题【分析】（1）要求cos∠B的值，由题意可知△ACB是直角三角形，根据余弦定义就可求得【分析】（2）证明∠AFC=∠ADE，△ADF∽△DCE．列出，在Rt△ADC中，表示出各边长，利用线段比来代换y与x之间的关系即可．【分析】（3）要求BE的长，点E存在两种情况，①当点E在BC的延长线上，由△ADF∽△DCE，可得，求出各边长及S△DCE，由即可求出BE的长；②同理，当点E在线段BC上，求出S△DCE，就可以求出BE的长．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC．∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．∴∠DAC=90°．∵∠D=45°，∴∠ACD=45°．∴AD=AC． (2)∵AD=4cm，∴AC=4cm．∵BC=3cm，∴cm．∴． (4)【解答】（2）∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DCE．∵∠AFC=∠FDA+∠FAD，∠ADE=∠FDA+∠EDC，又∠AFC=∠ADE，∴∠FAD=∠EDC．∴△ADF∽△DCE．∴． (6)在Rt△ADC中，DC2=AD2+AC2，∵AD=AC=4cm，∴cm．∵BE=x，∴CE=x﹣3．又∵DF=y，∴．∴．定义域为3＜x＜11． (8).【解答】（3）当点E在BC的延长线上，由（2）可得：△ADF∽△DCE，∴∵S△AFD=2cm2，AD=4cm，cm，∴S△DCE=4cm2．∵，∴，∴BE=5cm． (11)如图2，当点E在线段BC上，由（2）△ADF∽△DCE，∴∵S△AFD=2cm2，AD=4cm，cm，∴S△DCE=4cm2．∴S△DCE=cm2．∴BE=1cm．所以BE的长为5cm或1cm． (14)【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理、梯形、等腰三角形的性质及解直角三角形的多个知识点，解答本题的关键是求出S△DCE．注意要分情况讨论.。

2010年中考数 学 试 卷*考试时间120分钟 试卷满分150分一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）每题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将所选项的代号字母填在答卷的相应位置处． 1） A． BC．-D2．反比例函数23m y x--=的图象位于（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第二、三象限D ．第一、二象限3．从2、3、4、5这四个数中，任取两个数()p q p q ≠和，构成函数2y px y x q =-=+和，并使这两个函数图象的交点在直线2x =的右侧，则这样的有序数对()p q ，共有（ ） A ．12对 B ．6对 C ．5对 D ．3对4．把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．()224x -B ．()224x -C ．()222x -D ．()222x +5．某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm6．一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是A ．2x >-；B ．0x >；C ．2x <-；D ．0x <7．若0a >且2x a =，3y a =，则x ya -的值为（ ）A ．1-B ．1C ．23D ．32二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答卷的相应位置处．xb +8．将点(12)，向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是 ．9．幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友．若每人3件，那么还剩余59件；若每人5件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，这批玩具共有 件．10．李师傅随机抽查了本单位今年四月份里6天的日用水量（单位：吨）结果如下：7，8，8，7，6，6，根据这些数据，估计四月份本单位用水总量为 吨．11．我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是 1.2m ，在同一时刻测得某棵树的影长为 3.6m ，则这棵树的高度约为 m ． 12．如图所示的半圆中，AD 是直径，且3AD =，2AC =，则sin B 的值是 ．13．某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm ，圆心角为︒120的扇形，则这个圆锥的底面半径为______________cm ．三、解答题（本大题Ⅰ—Ⅴ题，共10小题，共98分）解答时应在答卷的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程． Ⅰ．（本题满分12分，第14题6分，第15题6分）14．计算：230116(2)(πtan60)3-⎛⎫--÷-+-- ⎪⎝⎭．15．先化简，再求值：221111121x x x x x +-÷+--+，其中1x =． Ⅱ．（本题满分28分，第16题7分，第17题10分，第18题11分）C BD A16．如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA ，OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知6OA OB ==，AB =（1）求⊙O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积．17．响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超．．过．132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台．(1)至少购进乙种电冰箱多少台？(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？18．甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y （米）与跑步时间x （分）之间C OABD的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：(1) 他们在进行 米的长跑训练，在0＜x ＜15的时段内，速度较快的人是 ；(2) 求甲距终点的路程y （米）和跑步时间 x （分）之间的函数关系式； (3) 当x =15时，两人相距多少米？在15＜x ＜20的时段内，求两人速度之差．Ⅲ．（本题满分36分，第19题12分，第20题12分，第21题12分）19．把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是4的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当2张牌面数字相同时，小王赢；当2张牌面数字不相同时，小李赢．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．20．如图，河流两岸a b ，互相平行，C D ，是河岸a 上间隔50m 的两个电线杆．某人在河分)岸b 上的A 处测得30DAB ∠= ，然后沿河岸走了100m 到达B 处，测得60CBF ∠=，求河流的宽度CF 的值（结果精确到个位）．21．三个生产日光灯管的厂家在广告中宣称，他们生产的日光灯管在正常情况下，灯管的使用寿命为12个月．工商部门为了检查他们宣传的真实性，从三个厂家各抽取11只日光灯管进行检测，灯管的使用寿命（单位：月）如下：试问：（1）这三个厂家的广告，分别利用了统计中的哪一个特征数（平均数、中位数、众数）进行宣传？（2）如果三种产品的售价一样，作为顾客的你选购哪个厂家的产品？请说明理由．Ⅳ（本题满分8分）BED CFab A22．如图， 已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动） ． （1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？都请直接．．．．写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图②，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．Ⅴ（本题满分14分）图① 图② 图③A·BCD EF··N MFEDCB ANMF EDCBA·23．如图，在平面直角坐标系中，以点(11)C ，为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A B ，两点，开口向下的抛物线经过点A B ，，且其顶点P 在C 上．（1）求ACB 的大小；（2）写出A B ，两点的坐标； （3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2010年中考数学试题参考答案及评分标准二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 8．(00)，；9．152；10．210；11．4.8；12．23；13．4 三、解答题（本大题Ⅰ—Ⅴ题，共10小题，共98分） Ⅰ．（本题满分12分，第14题6分，第15题6分） 14．解：原式＝9－16÷（－8）＋1－23×23……………………2分 ＝9＋2＋1－3.……………………………………4分 ＝9 ………………………………6分15．解：原式211(1)1(1)(1)1x x x x x -=-++-+······································································ 2分 2211(1)(1)1(1)(1)x x x x x x -+--=-=+++ ······························································· 4分 22(1)x =+ ········································································································ 5分当1x =时，原式23== ··································································· 6分 Ⅱ．（本题满分28分，第16题7分，第17题10分，第18题11分）16．（1）连结OC ，则 OC AB ⊥． …………………………………………………1分∵OA OB =，∴1122AC BC AB ===⨯ ………………………………………2分在Rt AOC △中，3OC ===．∴ ⊙O 的半径为3． …………………………………………………………3分 （2）∵ OC =12OB , ∴ ∠B =30o , ∠COD =60o ． ……………………………………5分 ∴扇形OCD 的面积为OCD S 扇形=260π3360⨯⨯=32π． …………………………………5分阴影部分的面积为：Rt Δ=OBC OCD S S S -阴影扇形=12OC CB ⋅－3π2－3π2．…………………………7分 17．解：（1）设购买乙种电冰箱x 台，则购买甲种电冰箱2x 台，丙种电冰箱(803)x -台，根据题意，列不等式： ································································ 1分120021600(803)2000132000x x x ⨯++-⨯≤． ···························································· 3分解这个不等式，得14x ≥． ·································································································· 4分 ∴至少购进乙种电冰箱14台． ····························································································· 5分 （2）根据题意，得2803x x -≤． ····················································································· 6分 解这个不等式，得16x ≤． ·································································································· 7分 由（1）知14x ≥． 1416x ∴≤≤． 又x 为正整数， 141516x ∴=，，． ···················································································································· 8分 所以，有三种购买方案：方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台； 方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台； 方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台． ··················· 10分 18．解：（1）5000…………………………………2分甲 ………………………………4分（2）设所求直线的解析式为：y =kx +b (0≤x ≤20)， ………5分由图象可知：b =5000，当x =20时，y =0， ∴0=20k +5000，解得k = -250. …7分即y = -250x +5000 (0≤x ≤20) ……………7分（3）当x =15时，y = -250x +5000= -250×15+5000=5000-3750=1250. ………8分 两人相距：(5000 -1250)-(5000-2000)=750（米）………………9分 两人速度之差:750÷(20-15)=150（米/分）……………11分Ⅲ．（本题满分36分，第19题12分，第20题12分，第21题12分） 19解：（1）P （抽到牌面数字是4）13=； ········································································ 2分（2）游戏规则对双方不公平． ················································································· 5分 理由如下：由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种． P （抽到牌面数字相同）=3193=， P （抽到牌面数字不相同）=6293=．∵1233<，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大． ············································ 12分 （说明：答题时只需用树状图或列表法进行分析即可）20．解：过点C 作CE AD ∥，交AB 于E CD AE ∥，CE AD ∥ ····································································································· 2分∴四边形AECD 是平行四边形 ······························································································ 4分 50AE CD ∴==m ，50EB AB AE =-=m ，30CEB DAB ∠=∠= ···························· 6分又60CBF ∠=，故30ECB ∠=，50CB EB ∴==m ···················································· 8分∴在Rt CFB △中，sin 50sin 6043CF CB CBF =∠=≈m ········································ 11分 答：河流的宽度CF 的值为43m ． ······················································································ 12分21．答：（1）甲厂的广告利用了统计中的平均数． ····························································· 2分乙厂的广告利用了统计中的众数． ············································································ 4分 丙厂的广告利用了统计中的中位数． ············································································ 7分分…………………………8分11F B C （2） 选用甲厂的产品． 因为它的平均数较真实地反映灯管的使用寿命 ······················· 10分 或选用丙厂的产品．因为丙厂有一半以上的灯管使用寿命超过12个月 ··························· 10分Ⅳ．（本题满分8分）22．（1）判断：EN 与MF 相等 （或EN=MF ），点F 在直线NE 上， ········ 2分（2）成立． ······························ 3分 证明：法一：连结DE ，DF ．∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC =BC ．又∵D ，E ，F 是三边的中点，∴DE ，DF ，EF 为三角形的中位线．∴DE =DF =EF ，∠FDE =60°．又∠MDF +∠FDN =60°， ∠NDE +∠FDN =60°，∴∠MDF =∠NDE ．在△DMF 和△DNE 中，DF =DE ，DM =DN ， ∠MDF =∠NDE ，∴△DMF ≌△DNE ． 8∴MF =NE ． ·························· 6分法二：延长EN ，则EN 过点F ．∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC =BC ．又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴EF =DF =BF ．∵∠BDM +∠MDF =60°， ∠FDN +∠MDF =60°，∴∠BDM =∠FDN ．又∵DM =DN ， ∠ABM =∠DFN =60°，∴△DBM ≌△DFN ．∴BM =FN ．∵BF =EF ， ∴MF =EN ． ·························· 6分（3）画出图形（连出线段NE ）， 6MF 与EN 相等的结论仍然成立（或MF =NE 成立）． ·············· 8分Ⅴ．（本题满分14分）23．解：（1）作CHN C A B F M D E NC A B F MD E12 1CH = ，半径2CB = ·························································· 1分60BCH ∠= ，120ACB ∴∠= ········································· 3分（2）1CH = ，半径2CB =HB ∴=(1A ，················································ 5分(1B ··············································································· 6分 （3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P 的坐标为(13)， ······································· 7分 设抛物线解析式2(1)3y a x =-+ ·························································································· 8分把点(1B 代入上式，解得1a =- ·············································································· 9分 222y x x ∴=-++ ·············································································································· 10分 （4）假设存在点D 使线段OP 与CD 互相平分，则四边形OCPD 是平行四边形 ·········· 11分 PC OD ∴∥且PC OD =．PC y ∥轴，∴点D 在y 轴上． ····················································································· 12分又2PC = ，2OD ∴=，即(02)D ，． 又(02)D ，满足222y x x =-++， ∴点D 在抛物线上 ··············································································································· 13分 所以存在(02)D ，使线段OP 与CD 互相平分． ·································································· 14分。

2010年上海市初中毕业统一学业考试数学卷（满分150分，考试时间100分钟）2010-6-20一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列实数中，是无理数的为（C ）A. 3.14B.13C. 3 D.92.在平面直角坐标系中，反比例函数y = kx( k＜0 ) 图像的两支分别在（B ）A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限3.已知一元二次方程x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（B ）A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定4.某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（D）A. 22°C，26°CB. 22°C，20°CC. 21°C，26°CD. 21°C，20°C5.下列命题中，是真命题的为（D ）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似6.已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ A ）A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：a 3÷a 2 = ___a____.8.计算：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = ____x2-1________.9.分解因式：a 2 ─ a b = _____a(a-b)_________.10.不等式3 x ─ 2 ＞0 的解集是____x>2/3___.11.方程x + 6 = x 的根是______x=3______.12.已知函数f ( x ) =1x 2 + 1，那么f ( ─ 1 ) = ______1/2_____.13.将直线y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是____y=2x+1__________.14.若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“让更美好”中的两个内（每个只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是____1/2______15.如图1，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O 设向量=a，=b，则向量1()2AO a b=+.（结果用a、b表示）16.如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __3________.17.一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图3所示当时0≤x≤1，y关于x的函数解析式为y = 60 x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为_____y=100x-40___.18.落在直线BC2319.计算：213271)()2-+-解：原式2411112=--233121523=+--+-=-=ABAD图1 图21EDCB20.解方程：x x ─ 1 ─ 2 x ─ 2x ─ 1 = 0解：()()()221110x x x x x x ∙----∙∙-=()()222110x x x x ----=()2222210x x x x x --+-+=22420x x x -+-+=22520x x -+=()()2120x x --=∴122x x ==或代入检验得符合要求21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上.（1）求弦BC 的长；（2）求圆O 的半径长. （本题参考数据：sin 67.4° =1213 ，cos 67.4° = 513 ，tan 67.4° = 125） （1）解：过点O 作O D ⊥AB ，则∠AOD+∠AON=090,即：sin ∠即：AD=A O ×513 =5,OD=A O ×sin 67.4° =AO × 1213又沿正南方向行走14米至点B 所以A B ∥NS,AB ⊥BC,所以E 点位BC 的中点，且 所以BC=24（2）解：连接OB ，则OE=BD=AB-AD=14-5=9又在R T △BOE 中，BE=12, 所以15BO =即圆O 的半径长为15 22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A 、B 、C 三个出口处， 对离开园区的游客进行调查，其中在A 出口调查所得的 数据整理后绘成图6.（1）在A 出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A 出口的被调查游客人数的___60____%.（2）试问A （3）已知B 、C 两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表一所示 若C 出口的被调查人数比B 出口的被 调查人数多2万，且B 、C 两个出口的被调查游客在园区 内共购买了49万瓶饮料，试问B 出口的被调查游客人数 为多少万？ 9万 解：（1）由图6知，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数为2.5+2+1.5=6（万人） 而总人数为：1+3+2.5+2+1.5=10（万人）所以购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A 出口的被调查游客人数的6100%60%10⨯= （2）购买饮料总数位：3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20（万瓶）人均购买=20210==购买饮料总数万瓶瓶总人数万人 （3）设B 出口人数为x 万人，则C 出口人数为（x+2）万人则有3x+2(x+2)=49 解之得x=9所以设B 出口游客人数为9万人表 一图6 图523．已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=AD （如图7所示），∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连结DE . （1）在图7中，用尺规作∠BAD 的平分线AE （保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED 是菱形； （2）∠ABC ＝60°，EC=2BE ，求证：ED ⊥DC .（1）解：分别以点B 、D 为圆心，以大于AB 的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P ，则连接AP ，即AP 即为∠BAD 的平分线，且AP 交BC 于点E ，∵AB=AD ，∴△AB O ≌△AO D ∴BO=OD ∵AD//BC, ∴∠OBE=∠ODA, ∠OAD=OEB ∴△BOE ≌△DOA∴BE=AD （平行且相等）∴四边形ABDE 为平行四边形，另AB=AD ， ∴四边形ADBE 为菱形（2）设DE=2a,则CE=4a ，过点D 作D F ⊥BC∵∠ABC ＝60°，∴∠DEF=60°, ∴∠EDF=30°, ∴EF=12DE=a ，则，CF=CE-EF=4a-a=3a ，∴CD ∴DE=2a ，EC=4a,CD=,构成一组勾股数，∴△EDC 为直角三角形，则ED ⊥DC24．如图8，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.（1）解：将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：2244b 013c b c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩ 解之得：b=4，c=0所以抛物线的表达式为：24y x x =-+将抛物线的表达式配方得：()22424y x x x =-+=--+所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）（2）点p （m ，n ）关于直线x=2的对称点坐标为点E （4-m ，n ），则点E 关于y 轴对称点为点F 坐标为（4-m,-n ）， 则四边形OAPF 可以分为：三角形OFA 与三角形OAP ，则OFAP OFA OPA S S S ∆∆=+= 12OFA S OA n∆=∙∙+ 12OPA S OA n ∆=∙∙= 4n =20 所以n =5，因为点P 为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5代入抛物线方程得m=525．如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P .（1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值； （3）若1tan 3BPD ∠=，设CE=x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式.图8F OE CDB A图9 图10(备用) 图11(备用)（1）解：∵∠B ＝30°∠ACB ＝90°∴∠BAC ＝60° ∵AD=AE ∴∠AED ＝60°=∠CEP ∴∠EPC ＝30°∴三角形BDP 为等腰三角形 ∵△AEP 与△BDP 相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1∴在RT △ECP 中，EC=12EP=12（2）过点D 作D Q ⊥AC 于点Q ，且设AQ=a ，BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3-a∵∠ACB ＝90°∴△ADQ 与△ABC 相似 ∴AD AQAB AC=即113a x =+，∴31a x =+ ∵在RT △ADQ中DQ∵DQ ADBC AB=∴111x x x +=+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP∴△ADE 与△AFC 相似，∴AE ADAC AF =，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2∵△BFC 与△BDP 相似 ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=2142EC CP == (3)过D 点作D Q ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴QE DQEC CP =且1tan 3BPD ∠= ∴()31DQ a =-∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似 ∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x====++ ∴5533,44x xAB BC ++==FQAE D PCB∴三角形ABC的周长553313344x xy AB BC AC x x++=++=+++=+即：33y x=+，其中x>0。

2010年上海市金山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a=3，b=4，那么下列等式中正确的是（）A． B． C． D．【考点】勾股定理M33E；锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M361．【难度】容易题．【分析】本题给出的三角形为直角三角形，根据∠C=90°，a=3，b=4，可求得斜边c=5，根据锐角三角函数的定义，即余弦值为对边与斜边的比值，正弦值为临边与斜边的比值，正切值为对边与临边的比值，余切值为临边与对边的比值，对四个选项依次判断：A选项中sinA==，故本选项错误；B选项中cosA==，故本选项错误；C选项中tanA==，故本选项错误；D选项中cotA==，故本选项正确．故选D．【解答】D．【点评】本题需要考生对三角函数的四个计算公式熟练掌握，锐角三角函数常用于直角三角形的求解，锐角三角函数的相关求解、两角和与差的三角函数公式、半角的正弦、余弦和正切公式及三角函数的和差化积公式等运算是在高中阶段学习的知识点．2．（4分）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO：DO=1：2，那么下列式子错误的是（）A．BO：CO=1：2 B．AB：CD=1：2 C．AD：DO=3：2 D．CO：BC=1：2【考点】相似三角形性质、判定M33M；相似三角形的应用M33N．【难度】容易题．【分析】本题中以O点为公共点的两个三角线△AOB与△DOC中， AB∥CD，易证得△AOB∽△DOC，根据两个相似三角线对应边成比例的特点可得AO：DO=BO：CO=AB：CD=1：2，故A、B选项正确；对于C项，由AO：DO=1：2，故AD：DO=（1+2）：2=3：2，故本选项正确；对于D项，BO：CO=1：2，CO：BC=2：（1+2）=2：3，故本选项错误．故选D．【解答】D．【点评】本题在提醒考生不仅要掌握判断两个三角形相似的方法，还要能够利用两个三角形相似的性质解决相关问题，例如已知一个三角形的面积求解另一个与之相似的三角形的面积、已知一个三角形的一条边的长度求解另一个与之相似的三角形的对应边的长度等．3．（4分）将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x+2）2B．y=﹣x2+2 C．y=﹣（x﹣2）2D．y=﹣x2﹣2【考点】二次函数的图象、性质M442；求二次函数的关系式M443；图形的平移M371 ．【难度】容易题．【分析】题中平移前后的抛物线的开口方向、开口大小不变，则抛物线平移前后二次项的系数不变，可设新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣h）2+k为顶点式形式，根据平移后抛物线的顶点坐标即可得到未知数h、k的值．由原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，0），故h=﹣2，k=0，故平移后解析式为y=﹣（x+2）2．故选A．【解答】A．【点评】本题需要考生掌握抛物线在平移时各项系数的变化规律，抛物线的平移包括左右平移和上下平移，要求解平移前后抛物线的解析式，一般的方法是将抛物线的解析式化为顶点式即y=a(x-h)2+k的形式，从而得到平移前后的顶点的坐标，利用平移后的顶点坐标得到h 与k的值，最终得到平移后抛物线的解析式．4．（4分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形 B．平行四边形C．正方形D．正五边形【考点】图形的翻折与轴对称图形M373；图形的旋转与中心对称图形M372．【难度】容易题．【分析】本题需要考生根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．对于A项的等腰梯形，其是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；对于B项的平行四边形，其不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；对于C项的正方形，其为轴对称图形，也是中心对称图形，故C 正确；D项的正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．故选：C．【解答】C．【点评】本此题需要考生在解题时首先要清楚中心对称图形与轴对称图形的概念，中心对称图形的关键是找对称中心，轴对称图形的关键是找对称轴，此外考生也要仔细观察题干中的四个图形，了解他们的特点．5．（4分）下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．C．=D．（B）=，=【考点】平行线的判定、性质M323；平面向量的概念M381．【难度】容易题．【分析】本题可利用平面向量的相关性质进行判断，平面向量是既有大小又有方向的量，两个向量均与第三个向量平行，则这两个向量平行，故A项正确；若两个向量中，一个向量可以用另一个向量乘以一个数表示，则这两个向量平行，由此判断CD两个选项正确，其中C项中与方向相反，D项中与方向相同；对于B选项，||=3||，只能说明与的大小关系，不能说明两个向量平行，故本选项错误．故选B．【解答】B．【点评】本题很简单，考生只需要能够判断两个简单平面向量的位置关系即可，一个向量可以用另一个向量乘以一个数表示，则这两个向量平行；考生需要注意的是两个向量相等，则它们的值是相等的，但不能够根据两个向量的值相等判断两个向量相等．6．（4分）⊙O1与⊙O2的半径分别为1和3，那么下列四个叙述中，错误的是（）A．当2＜O1O2＜4时，⊙O1与⊙O2有两个公共点B．当⊙O1与⊙O2有两个公共点时，2＜O1O2＜4C．当0≤O1O2＜2时，⊙O1与⊙O2没有公共点D．当⊙O1与⊙O2没有公共点时，0≤O1O2＜2【考点】两圆的位置关系M356．【难度】中等题．【分析】本题需要考生掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，给出的⊙O1与⊙O2的半径分别为1和3，两圆相切时圆心距为2或4，以这两个数字为临界位置对四个选项依次进行判断，A选项中2＜O1O2＜4时，⊙O1与⊙O2相交，⊙O1与⊙O2有两个公共点，故本选项正确；B选项中⊙O1与⊙O2有两个公共点时，其为A选项的反应用，可得2＜O1O2＜4，故本选项正确；C选项中0≤O1O2＜2时，⊙O1与⊙O2内含，⊙O1与⊙O2没有公共点，故本选项正确；D选项中⊙O1与⊙O2没有公共点时，没有公共点包括内含与外离，故0≤O1O2＜2或O1O2＞4，故本选项错误．故选D．【解答】D．【点评】本题考查两圆包括内含、相内切、相交、相外切、相离等五种位置关系，在这五种情况下两圆圆心距的取值范围d分别是d＜R﹣r、d=R﹣r、R-r ＜d＜R+r、d=R+r、d＞R﹣r，考生按照给出的这五种情况及相应的圆心距取值即可判断选项说法是否正确．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=9，c=4，那么b= ．【考点】比例的性质M33H ；最简二次根式M233．【难度】容易题．【分析】本题需要考生根据比例中项的定义得出a、b、c三条线段的长度关系，由a/b=b/c 可得b2=ac．则b===6，故答案为6．【解答】6【点评】本题是一道概念题，需要考生根据比例中项的概念确定abc三条线段的长度关系，因为线段的长度必须是正数，所以在进行二次根式的化简的时候，化简的结果只能保留正数．8．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们对应的角平分线比是．【考点】相似三角形性质、判定M33M；相似三角形的应用M33N．【难度】容易题．【分析】本题根据相似三角形的性质进行计算，由于两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方，求得这两个相似三角形的相似比是1：2，又其对应的角平分线的比等于相似比，判断得到对应的角平分线比是1：2．故答案为1：2．【解答】1：2．【点评】本题在提醒考生不仅要掌握判断两个三角形相似的方法，还要能够利用两个三角形相似的性质解决相关问题，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．9．（4分）已知点G是△ABC的重心，AD是中线，AG=6，那么DG= ．【考点】三角形重心、内心、外心M33L；三角形的高、中线、角平分线M333．【难度】容易题．【分析】本题考查考生对三角形重心这个知识点的掌握程度，三角形的重心是三角形三条中线的交点，特点是重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，在本题中G是△ABC的重心，且AD是中线，所以有AG=2GD=6，即DG=3，故答案为3．【解答】3．【点评】本题考查重心的性质，在初中阶段要求考生能够对三角形的重心、内心、外心三个不同的位置进行区分：重心是三角形三条中线的交点；内心是三角形内接圆的圆心，其到三角形三边距离相等，即为三条线段垂直平分线的交点；外心是三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点距离相等，即为三角形三个角角平分线的交点．10．（4分）求值：sin60°•cot30°=．【考点】特殊角的锐角三角函数值M362；二次根式的加、减、乘、除及其混合运算M236．【难度】容易题．【分析】本题较简单，考查特殊角的三角函数值，由sin60°=，cot30°=，可得sin60°•cot30°=•=．故答案为．【解答】．【点评】本题的解答需要考生牢记特殊角的三角函数值，初中阶段对于三角函数运算的考查仅限于特殊角三角函数值的加减乘除运算，到了高中阶段还会进行诸如两角和与差的三角函数公式、半角的正弦、余弦和正切公式及三角函数的和差化积公式等运算，到时需要考生们熟练掌握．11．（4分）抛物线y=（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是．【考点】二次函数的图象、性质M442．【难度】容易题．【分析】本题中给出的抛物线的函数解析式即为顶点式形式，根据抛物线y=a（x﹣h）2+k 的顶点坐标是（h，k）可直接得到抛物线y=（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3）．故答案为（1，﹣3）．【解答】（1，﹣3）．【点评】本题要结合二次函数的图象与函数解析式进行解答，抛物线解析式的顶点式形式可直观的表示出抛物线的对称轴和最值，若给出的解析式为抛物线的一般式，需要将其化为顶点式形式，考生要知道如何将抛物线一般式化为顶点式形式．12．（4分）请写出一个以直线x=﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是．【考点】二次函数的图象、性质M442；求二次函数的关系式M443．【难度】容易题．【分析】本题根据抛物线的增减性及对称轴求出其函数解析式，因为限制条件仅包括了对称轴和增减性，所以答案不唯一，由于抛物线在对称轴左侧部分是上升的，则抛物线必然开口向下，即a＜0，另一个条件是直线x=﹣2为对称轴，那么直接利用配方法的形式写出一个二次函数的解析式，y=﹣（x+2）2（答案不唯一）．【解答】y=﹣（x+2）2（答案不唯一）．【点评】本题要对应二次函数解析式及函数图像，函数解析式中a的取值与函数图像的开口有关，当a＞0，函数开口向上，当a＜0，函数开口向下，a与b共同决定抛物线的对称轴及增减性；求解函数解析式一般有配方法和公式法两种，配方法就是设定抛物线函数解析式的顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．13．（4分）小李在楼上点A处看到楼下点B处的小明的俯角是35度，那么点B处的小明看点A处的小李的仰角是度．【考点】仰角、俯角、坡度、坡角M365．【难度】容易题．【分析】本题可画出草图帮助进行理解，两点之间的仰角与俯角是两点间线段与两条水平线夹角的内错角，这两个角是相等的，点B处的小明看点A处的小李的仰角是35度．故答案为35．【解答】35．【点评】本题是一道概念题，只需要掌握俯角与仰角的概念即可，考生也可以作出草图帮助解题，需要注意的是仰角与俯角均是该点所在水平线与两点连线的夹角，且这两个角必须是锐角．14．（4分）已知点P在⊙O外，且⊙O的半径为5，设OP=x，那么x的取值范围是．【考点】点与圆的位置关系M359．【难度】容易题．【分析】本题是对点与圆的位置关系的考查，包括点在圆内、点在圆上、点在圆外三种关系，根据点到圆心距离与圆的半径的大小比较来进行区分，设定点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，本题中点P在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，因而线段OP的长度的取值范围是OP＞5．即：x＞5，故答案为：x＞5．【解答】x＞5．【点评】本题要求考生熟记点与圆位置关系与数量关系的对应，由点与圆的位置关系可推得数量关系，同样由数量关系也可推得位置关系；在初中阶段主要考查圆与圆、点与圆以及直线与圆的位置关系，实质都是进行圆的半径及相关距离的大小比较．15．（4分）在平面直角坐标系中，以点P（4，﹣3）为圆心的圆与x轴相切，那么该圆和y 轴的位置关系是．【考点】圆的有关性质M354；直线与圆的位置关系M355．【难度】容易题．【分析】本题是对直线与圆的位置关系的考查，包括相交、相切、相离三种关系，根据直线到圆心距离与圆的半径的大小比较来进行区分，设定直线到圆心的距离为d，圆的半径为r，若圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离；小于半径，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．本题中以点P（4，﹣3）为圆心的圆与x轴相切，根据圆心到x轴的距离为3，得到圆的半径为3，又该圆圆心点P（4，﹣3）到y轴的距离为4＞3，所以圆与y轴相离，故答案为：相离．【解答】相离．【点评】本题要求考生熟记直线与圆位置关系与数量关系的对应，由直线与圆的位置关系可推得数量关系，同样由数量关系也可推得位置关系；在初中阶段主要考查圆与圆、点与圆以及直线与圆的位置关系，上一题中考查点与圆的位置关系，所以考生要总结此种题型的解题方法．16．（4分）正十边形的中心角等于度．【考点】多边形的中心角M349．【难度】容易题．【分析】本题是一道概念题，中心角是指正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角，所以正n边形的中心角为就是将360°进行了n次平分，对于本题中的正十边形，中心角为=36°，故答案为：36°．【解答】：36．【点评】本题考查了正多边形的中心角的知识，题目比较简单，考生要将正多边形的中心角和圆的圆心角联系起来，实际上任何一个正多边形，都可作一个外接圆，正多边形的中心就是所作外接圆的圆心，所以每条边的中心角，实际上就是这条边所对的弧的圆心角．17．（4分）相切两圆的半径分别是4和6，那么这两个圆的圆心距为．【考点】两圆的位置关系M356．【难度】中等题．【分析】本题的解答需要分两圆为外切或内切两种情况去分析，给出的相切两圆的半径分别是4和6，若两圆外切，则这两个圆的圆心距为半径之和，即4+6=10；若两圆内切，则这两个圆的圆心距为半径之差，即6﹣4=2，则这两个圆的圆心距为2和10．故答案为：2或10．【解答】2或10．【点评】本题考查两圆包括内含、相内切、相交、相外切、相离等五种位置关系，在这五种情况下两圆圆心距的取值范围d分别是d＜R﹣r、d=R﹣r、R-r ＜d＜R+r、d=R+r、d＞R﹣r，考生按照给出的这五种情况及相应的圆心距取值即可解答本题．18．（4分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以点A为圆心，r为半径的圆与底边BC（包括点B和点C）有两个公共点，那么r的取值范围是．【考点】直线与圆的位置关系M355；点与圆的位置关系M359；解直角三角形M364；勾股定理M33E；等腰三角形的概念M338；三角形的高、中线、角平分线M333．【难度】较难题．【分析】本题是对直线与圆的位置关系及点与圆的位置关系的综合考察，△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”得到BC边垂线的垂足D点为BC边的中点，得到BD的长为3，在直角三角形ABD中，由AB=5，BD=3求出AD=4；在题图中找两个特殊位置：以点A为圆心，AD长为半径的圆与底边BC相切，此时圆的半径为AD，即为4，圆与边BC有一个交点；以点A为圆心，AB长为半径的圆与BC边有两个交点，此时圆的半径为AB的长，即为5，满足题意的圆A的半径r的范围是4＜r≤5．故答案为：4＜r≤5．【解答】4＜r≤5．【点评】本题是对直线与圆的位置关系及点与圆的位置关系的综合考察，本套试题中多次出现考查圆与圆、点与圆以及直线与圆的位置关系的题目，所以考生要特别重视此类问题．对于本题，找出圆A与底边BC相切时有一个交点，圆A刚好过底边的两端点时有两个交点是解决本题的关键，那么本题所求的半径即为这两种情况半径长度之间（不包括一个交点时圆A 的半径长度）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【考点】向量的加法与减法M382；实数与向量的乘法M383；向量的线性运算M384．【难度】容易题．【分析】本题考查向量的运算法则，向量的加减运算、向量与实数的乘法与整式的运算法则大致相同，对于本题给出的向量运算，第一项按照乘法分配律计算，然后按照结合律求解，本题的重点是掌握向量的线性运算．【解答】解：． .................4分所画图形如下所示：图中即为所求．.................10分【点评】本题需要考生掌握向量运算的基本法则，在进行向量间的加减运算时，依然满足结合律，在进行实数与向量的乘法运算时，依然满足乘法结合律．向量与向量相加减、向量与实数相乘的结果依然为向量，但是两个向量相乘的结果将是一个实数，这一点需要考生进行区分．20．（10分）已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（2，﹣3）和（﹣1，0），求这个二次函数的解析式，并求出它的图象的顶点坐标和对称轴．【考点】用待定系数法求函数关系式M414；求二次函数的关系式M443；二次函数的图象、性质M442．【难度】容易题．【分析】本题中给出的抛物线的函数解析式中有两个未知数m与n，将抛物线上的两个已知点的坐标代入即可求得两个未知数的值，从而得到抛物线解析式的一般形式，要将一般式转化为顶点式形式，根据抛物线顶点式形式的解析式y=a（x﹣h）2+k易得顶点坐标是（h，k），抛物线对称轴为x=h等信息．【解答】解：根据题意，得 .................3分解得 .................5分∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3． .................6分又∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， .................8分∴函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1． .................10分【点评】本题要结合二次函数的图象与函数解析式进行解答，抛物线解析式的顶点式形式可直观的表示出抛物线的对称轴和最值，若给出的解析式为抛物线的一般式，需要将其化为顶点式形式，考生要知道如何将抛物线一般式化为顶点式形式．21．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，线段CE的延长线与线段BA的延长线交于点F，CD=6，AE=ED，求BF的长．【考点】平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M344；相似三角形性质、判定M33M；相似三角形的应用M33N．【难度】容易题．【分析】本题较简单，解题的关键是求得AF段的长度，由平行四边形的性质很容易证得△AEF 与△CDE相似，根据相似三角形对应线段比值相等的性质可得到，从而求出AF段的长度，最终求的BF的长度．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=6，∵AB∥CD，∴△AEF与△CDE相似， .................4分∴， .................6分∵AE=ED，∴， .................8分∴AF=3，∴BF=9． .................10分【点评】本题在提醒考生不仅要掌握判断两个三角形相似的方法，还要能够利用两个三角形相似的性质解决相关问题，例如已知一个三角形的一条边的长度求解另一个与之相似的三角形的对应边的长度、已知一个三角形的面积求解另一个与之相似的三角形的面积等．22．（10分）如图是公园中的一个圆弧形拱门，其中拱门的圆心是点O，拱门的最高处点A 到地面的距离AH=3米，拱门的地面宽BC=2米，求拱门的半径．【考点】线段的垂直平分线及其性质M326；勾股定理M33E；圆的有关性质M354．【难度】容易题．【分析】本题中O点到A、B、C三点的距离均为圆的半径，在图中AH⊥BC，且平分线段BC，则可求得BH=1，连接OB后得到一个三边分别为0B=r，OH=3-r，BH=1的直角三角形，利用勾股定理求解这个直角三角形即可得出r的值．【解答】解：连接OB，设半径为r，由题意可得AH⊥BC，点O在AH上，∴BH=CH=， .................3分∵BC=2米，∴BH=1米， .................6分∵∠BHO=90°，∴BH2+OH2=OB2，即12+（3﹣r）2=r2， .................8分解得：r=（米）．答：拱门的半径为米． .................10分【点评】本题就是想办法构造出能用扇形半径表示出三边长度的直角三角形，解这个直角三角形即可求出半径的长度，一般解直角三角形的方法包括勾股定理和锐角三角函数的方法，本题中未给出任何角度的信息，所以要利用勾股定理进行求解．23．（12分）12月22日是我国农历节气中的冬至日，这天太阳光与地面夹角的度数最小，因此建筑物的影子就最长．某地这天的某一时刻太阳光与水平面的夹角α的度数是37°，该地一小区内甲乙两幢楼之间的间距BD=40米，甲楼的楼顶A在乙楼上的投影E的高度ED 为5米．（1）求甲楼的高度；（2）若要使得这一时刻甲楼的楼顶A的投影恰好在乙楼的楼底处，那么在设计时这两幢楼的间距一定要达到多少米？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，cot37°≈1.33）【考点】解直角三角形M364；锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M361；直角三角形的性质和判定M33D．【难度】中等题．【分析】（1）本小问需要构造直角三角形进行解答，我们过点E作EH⊥AB于点H，在构造出的△AEH中利用锐角三角函数求出直角边AH的长度，从而求得AB=AH+BH=35米，此小问较简单；（2）本小问需要延长AE，交直线BD于点F，假设F处为乙楼的位置，则此时BF的长度为两栋楼间距的最小要求值，这样在直角三角形ABF中已知直角边AB的长度，利用锐角三角函数即可求出直角边BF的长度，此小问难度中等．【解答】解：（1）过点E作EH⊥AB，垂足为点H，由题意，得AB⊥BD，CD⊥BD， .................2分∠AEH=α=37°，BD=EH=40米，ED=BH=5米．在Rt△AHE中，∠AHE=90°，tan∠AEH=，AH=EHtan∠AEH=30米， .................4分AB=AH+BH=35米．答：甲楼的高度是35米． .................6分（2）延长AE，交直线BD于点F．在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠AFB=α=37°， .................8分cot∠AFB=，BF=ABcot∠AFB=46.55米． .................10分答：在设计时这两幢楼的间距一定要达到46.55米． .................12分【点评】本题是一道解直角三角形的题目，考察的知识点主要是锐角三角函数的应用，要求考生能够利用直角三角形内一条边的长度与这条边的一个临角求解三角形其他边的长度，考生要能从正弦、余弦、正切选择正确的三角函数．24．（12分）如图，正比例函数与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象都经过点A（2，m）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图象顶点P的坐标和对称轴；（3）若二次函数图象的对称轴与正比例函数的图象相交于点B，与x轴相交于点C，点Q是x轴的正半轴上的一点，如果△OBC与△OAQ相似，求点Q的坐标．【考点】用待定系数法求函数关系式M414；求二次函数的关系式M443；二次函数的图象、性质M442；相似三角形性质、判定M33M．【难度】中等题．【分析】（1）本小问使用待定系数法求二次函数解析式，首先利用正比例函数解析式求得m，再将点A的坐标代入二次函数y=﹣x2+2x+c，即可得出c，此小问较简单；（2）本小问需要将在（1）问中求得的二次函数解析式化为顶点式的形式，根据抛物线顶点式形式的解析式y=a（x﹣h）2+k易得顶点坐标是（h，k），抛物线对称轴为x=h，此小问难度中等；（3）本小问很容易求得B、C两点的坐标，观察△OBC是以∠BOC为直角的三角形，那么△OAQ 内必定要有一个角为直角，其中∠BOC 不是直角，那么就按照A点和Q点分别为直角三角形的直角顶点进行讨论，根据相似三角形对应边比例值相等进行求解，分别求得点Q的坐标即可，此小问难度较大．【解答】解：（1）∵正比例函数与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象都经过点A（2，m）∴ .................2分∴A（2，3），3=﹣4+4+c∴c=3（1分） .................3分∴这个二次函数的解析式是y=﹣x2+2x+3 .................4分（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4 .................6分∴这个二次函数图象顶点P的坐标是（1，4），对称轴是直线x=1； .........7分（3）设Q（x，o）（x＞0）．当x=1时，，∴ .................9分当△OBC∽△OAQ时，有，得OQ=2，Q（2，0） .................10分当△OBC∽△OQA时，有，得 .................11分∴点Q的坐标是． .................12分【点评】本题是一道数形结合的题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数解析式的变化及相似三角形的判定等知识点，正确的解出抛物线的函数解析式是本题的基础，考生要能够将抛物线一般式形式的解析式转化为顶点式，具体的配方转化过程需要考生重点掌握，本考点在本套试题中出现了多次；若一个确定的三角形与另一个变化的三角形全等或相似，这是考生要根据三角形的特征进行分类讨论．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=，AB=5，D是线段AB上的一点（与点A、B不重合），直线DP⊥AB，与线段AC相交于点Q，与射线BC相交于点P，E是AQ的中点，线段ED的延长线与线段CB的延长线相交于点F．（1）求证：△FBD∽△FDP；（2）求BF：BP的值；（3）若⊙A与直线BC相切，⊙B的半径等于线段BF的长，设BD=x，当⊙A与⊙B相切时，请求出x的值．。