2020年上海中考数学试题(含答案)

2020年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解答】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B.，与不是同类二次根式；C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．2．用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0B．y2+2y+1＝0C．y2+y+2＝0D．y2+y﹣2＝0【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设＝y，则原方程化为y+＝2，再转化为整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．【解答】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．故选：A．3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图【分析】根据统计图的特点判定即可．【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，故选：B．4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y＝，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，解得k＝﹣8，所以这个反比例函数解析式为y＝﹣，故选：D．5．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；C、正确；D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；故选：C．6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∵平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．二．填空题（共12小题）7．计算：2a•3ab＝6a2b．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：2a•3ab＝6a2b．故答案为：6a2b．8．已知f（x）＝，那么f（3）的值是1．【分析】根据f（x）＝，可以求得f（3）的值，本题得以解决．【解答】解：∵f（x）＝，∵f（3）＝＝1，故答案为：1．9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是4．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式∵＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解答】解：依题意，∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∵∵＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∵取到的数恰好是5的倍数的概率是＝．故答案为：．12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝x2+3．【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．故答案为：y＝x2+3．13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．【解答】解：8400×＝3150（名）．答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC为7米．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵BD∵AB，AC∵AB，∵BD∵AC，∵∵ACE∵∵DBE，∵，∵＝，∵AC＝7（米），答：井深AC为7米．15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为2 +．【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝BC，AD∵BC，AB＝CD，AB∵CD，∵＝＝，∵＝+＝+，∵＝＝+，∵＝+，∵＝++＝2+，故答案为：2+．16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入，得：，解得：，∵s＝70t+400；当t＝15时，s＝1450，1800﹣1450＝350，∵当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故答案为：350．17．如图，在∵ABC中，AB＝4，BC＝7，∵B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将∵ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．【分析】如图，过点E作EH∵BC于H．首先证明∵ABD是等边三角形，解直角三角形求出EH即可．【解答】解：如图，过点E作EH∵BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∵BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∵B＝60°，∵∵ABD是等边三角形，∵ADB＝60°，∵∵ADC＝∵ADE＝120°，∵∵EDH＝60°，∵EH∵BC，∵∵EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∵EH＝DE•sin60°＝，∵E到直线BD的距离为，故答案为．18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜．【分析】根据勾股定理得到AC＝10，如图1，设∵O与AD边相切于E，连接OE，如图2，设∵O与BC边相切于F，连接OF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在矩形ABCD中，∵∵D＝90°，AB＝6，BC＝8，∵AC＝10，如图1，设∵O与AD边相切于E，连接OE，则OE∵AD，∵OE∵CD，∵∵AOE∵∵ACD，∵，∵＝，如图2，设∵O与BC边相切于F，连接OF，则OF∵BC，∵OF∵AB，∵∵COF∵∵CAB，∵＝，∵＝，∵OC＝，∵AO＝，∵如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜，故答案为：＜AO＜．三．解答题（共7小题）19．计算：27+﹣（）﹣2+|3﹣|．【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．【解答】解：原式＝（33）+﹣4+3﹣＝3+﹣﹣4+3﹣20．解不等式组：【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【解答】解：，解不等式∵得x＞2，解不等式∵得x＜5．故原不等式组的解集是2＜x＜5．21．如图，在直角梯形ABCD中，AB∵DC，∵DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∵DBC的正切值．【分析】（1）过C作CE∵AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根据勾股定理得到CE＝＝6，于是得到梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH∵BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到BD＝＝＝10，BH＝＝＝6，于是得到结论．【解答】解：（1）过C作CE∵AB于E，∵AB∵DC，∵DAB＝90°，∵∵D＝90°，∵∵A＝∵D＝∵AEC＝90°，∵四边形ADCE是矩形，∵AD＝CE，AE＝CD＝5，∵BE＝AB﹣AE＝3，∵BC＝3，∵CE＝＝6，∵梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH∵BD于H，∵CD∵AB，∵∵CDB＝∵ABD，∵∵CHD＝∵A＝90°，∵∵CDH∵∵DBA，∵，∵BD＝＝＝10，∵＝，∵CH＝3，∵BH＝＝＝6，∵∵DBC的正切值＝＝＝．22．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：∵BEC∵∵BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【分析】（1）想办法证明∵BCE＝∵H即可解决问题．（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∵CD＝CB，∵D＝∵B，CD∵AB，∵DF＝BE，∵∵CDF∵CBE（SAS），∵∵DCF＝∵BCE，∵CD∵BH，∵∵H＝∵DCF，∵∵BCE＝∵H，∵∵B＝∵B，∵∵BEC∵∵BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∵＝，∵AG∵BC，∵＝，∵＝，∵DF＝BE，BC＝AB，∵BE＝AG＝DF，即AG＝DF．24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于∵AOB内，求a的取值范围．【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；（2）设点C（m，﹣m+5），则BC＝|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．【解答】解：（1）针对于直线y＝﹣x+5，令x＝0，y＝5，∵B（0，5），令y＝0，则﹣x+5＝0，∵x＝10，∵A（10，0），∵AB＝＝5；（2）设点C（m，﹣m+5），∵B（0，5），∵BC＝＝|m|，∵BC＝，∵|m|＝，∵m＝±2，∵点C在线段AB上，∵m＝2，∵C（2，4），将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得，∵，∵抛物线y＝﹣x2+x；（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，∵b＝﹣10a，∵抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，∵抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），将x＝5代入y＝﹣x+5中，得y＝﹣×5+5＝，∵顶点D位于∵AOB内，∵0＜﹣25a＜，∵﹣＜a＜0；25．如图，∵ABC中，AB＝AC，∵O是∵ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∵BAC＝2∵ABD；（2）当∵BCD是等腰三角形时，求∵BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：∵若BD＝CB，则∵C＝∵BDC＝∵ABD+∵BAC＝3∵ABD．∵若CD＝CB，则∵CBD＝∵CDB ＝3∵ABD．∵若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∵BC交BD的延长线于E．则＝＝，推出＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OA．∵AB＝AC，∵＝，∵OA∵BC，∵∵BAO＝∵CAO，∵OA＝OB，∵∵ABD＝∵BAO，∵∵BAC＝2∵BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．∵若BD＝CB，则∵C＝∵BDC＝∵ABD+∵BAC＝3∵ABD，∵AB＝AC，∵∵ABC＝∵C，∵∵DBC＝2∵ABD，∵∵DBC+∵C+∵BDC＝180°，∵8∵ABD＝180°，∵∵C＝3∵ABD＝67.5°．∵若CD＝CB，则∵CBD＝∵CDB＝3∵ABD，∵∵C＝4∵ABD，∵∵DBC+∵C+∵CDB＝180°，∵10∵ABD＝180°，∵∵BCD＝4∵ABD＝72°．∵若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∵C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∵BC交BD的延长线于E．则＝＝，∵＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∵25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∵a2＝，∵BH＝，∵BC＝2BH＝．。

2020年上海市中考数学试题及详解(WORD版)一．选择题（共6小题）1.下列二次根式中，与 $\sqrt{2}+1$ 是同类二次根式的是（）解析：$\sqrt{2}+1$ 可以化简为 $\dfrac{\sqrt{2}+1}{1}$，而 $\sqrt{2}-1$ 可以化简为 $\dfrac{\sqrt{2}-1}{1}$，它们的分母都是 $1$，因此选项 B 正确。

2.用换元法解方程 $y^2-2y+1=x$，则原方程可化为关于$y$ 的方程是（）解析：将 $y^2-2y+1=x$ 中的 $x$ 替换为 $y$，得到 $y^2-2y+1=y$，移项化简得到 $y^2-3y+1=0$，因此选项 C 正确。

3.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示。

下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）解析：条形图和频数分布直方图主要用于表示数据的数量，扇形图主要用于表示数据的比例，而折线图可以凸显数据的趋势和变化，因此选项 C 正确。

4.已知反比例函数的图象经过点 $(2,-4)$，那么这个反比例函数的解析式是（）解析：反比例函数的通式为 $y=\dfrac{k}{x}$，代入点$(2,-4)$ 得到 $-4=\dfrac{k}{2}$，解得 $k=-8$，因此反比例函数的解析式为 $y=-\dfrac{8}{x}$，选项 B 正确。

5.下列命题中，真命题是（）解析：对角线互相垂直的梯形不一定是等腰梯形，因此选项 A 错误；对角线互相垂直的平行四边形不一定是正方形，因此选项 B 错误；对角线平分一组对角的平行四边形不一定是菱形，因此选项 C 错误；但是对角线平分一组对角的梯形一定是直角梯形，因此选项 D 正确。

6.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形。

下列图形中，平移重合图形是（）解析：平行四边形和等腰梯形可以沿某个方向平移后重合，因此选项 A 和 B 都可以；正六边形无法沿任何方向平移后重合，因此选项 C 错误；圆也无法沿任何方向平移后重合，因此选项 D 错误。

上海市2020年中考数学试卷一、单选题（共6题；共12分）1.下列各式中与√3是同类二次根式的是（）A. √6B. √9C. √12D. √18【答案】C【考点】最简二次根式，同类二次根式【解析】【解答】解：A、√6和√3是最简二次根式，√6与√3的被开方数不同，故A选项不符合题意；B、√9=3，3不是二次根式，故B选项不符合题意；C、√12=2√3，2√3与√3的被开方数相同，故C选项符合题意；D、√18=3√2，3√2与√3的被开方数不同，故D选项不符合题意；故答案为：C.【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.2.用换元法解方程x+1x2+ x2x+1=2时，若设x+1x2=y，则原方程可化为关于y的方程是( )A. y2﹣2y+1=0B. y2+2y+1=0C. y2+y+2=0D. y2+y﹣2=0 【答案】A【考点】列式表示数量关系，解分式方程，定义新运算，数学思想【解析】【解答】把x+1x2=y代入原方程得：y+ 1y=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故答案为：A．【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设x+1x2=y，则原方程化为y+ 1y=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．3.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )A. 条形图B. 扇形图C. 折线图D. 频数分布直方图【答案】B【考点】扇形统计图，统计图的选择【解析】【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图．故答案为：B．【分析】根据统计图的特点判定即可．4.已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )A. y= 2x B. y=﹣2xC. y= 8xD. y=﹣8x【答案】 D【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为y= k，x，将(2，-4)代入，得：-4= k2解得：k=-8，．所以这个反比例函数解析式为y=- 8x故答案为：D．，代入点(2,-4)求出k即可．【分析】设解析式y= kx5.下列命题中，真命题是( )A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【答案】C【考点】菱形的判定，正方形的判定，直角梯形，等腰梯形的判定，真命题与假命题【解析】【解答】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故不符合题意；B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故不符合题意；C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，符合题意；D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故不符合题意．故答案为：C．【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．6.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )A. 平行四边形B. 等腰梯形C. 正六边形D. 圆【答案】A【考点】平行四边形的性质，图形的平移【解析】【解答】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形．故答案为：A．【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．二、填空题（共12题；共12分）7.计算：2a·3ab=________.【答案】6a2b.【考点】单项式乘单项式【解析】【解答】解：2a·3ab=6a2b故填：6a2b.【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可.8.已知f(x)= 2，那么f(3)的值是________．x−1【答案】1．【考点】代数式求值，代数式的定义，【解析】【解答】解：由题意得：f(x)= 2x−1∴将x=3代替表达式中的x，∴f(3)= 2=1．3−1故答案为：1．，将x=3代入即可求解．【分析】根据f(x)= 2x−19.如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”）【答案】减小【考点】正比例函数的图象和性质【解析】【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．10.如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是________．【答案】4．【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】依题意:∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，解得：m=4．故答案为：4．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．11.如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是________．．【答案】15【考点】概率公式【解析】【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是210= 15．故答案为：15．【分析】从1到10这10个整数中任意选取一个数，找出是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可．12.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是________．【答案】y=x2+3．【考点】二次函数图象的几何变换，平移的性质【解析】【解答】抛物线y=x2向上平移3个单位得到y=x2+3．故答案为：y=x2+3．【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．13.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为________．【答案】3150名．【考点】用样本估计总体【解析】【解答】解：由题意可知，150名学生占总人数的百分比为：150400=38，∴估计该区会游泳的六年级学生人数约为8400× 38=3150(名) ．故答案为：3150名．【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．14.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为________米．【答案】7米．【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD//AC，∴△ACE∽△DBE，∴ACBD =AEBE，∴AC1=1.40.2，∴AC =7(米)，故答案为：7(米)．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．15.如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，那么向量 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量 a ,b⃗ 表示为________．【答案】 2 a+ b ⃗ ． 【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ， AD ∥BC ， AB =CD ， AB ∥CD ，∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = BC⃗⃗⃗⃗⃗ = a ， ∵ CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b⃗ + a ， ∴ BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ + a ，∵ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ + a + a = 2a + b ⃗ ． 故答案为： 2a+ b ⃗ ． 【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．16.小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s (米)与时间t (分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行________米．【答案】 350．【考点】分段函数，一次函数的实际应用，通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解：当8≤t ≤20时，设s=kt+b ，将(8，960)、(20，1800)代入，得：{8k +b =96020k +b =1800， 解得： {k =70b=400 ， ∴s =70t +400；当t=15时，s=1450，1800﹣1450=350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．故答案为：350．【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案．17.如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为________．【答案】3√32．【考点】等边三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4，∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3，∴EH=DE×sin∠HDE=3× √32= 3√32，∴E到直线BD的距离为3√32．故答案为：3√32．【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．18.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是________．【答案】103＜AO＜203．【考点】勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE//CD，∴△AOE∽△ACD，∴OECD =AOAC，∴AO10=26，∴AO= 103；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF⊥BC，∴OF//AB，∴△COF∽△CAB，∴OCAC =OFAB，∴OC10=26，∴OC= 103，∴AO= 203，∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是103＜AO＜203．故答案为：103＜AO＜203．【分析】根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O 与AD 边相切于E ，连接OE ，证明△AOE ∽△ACD 即可求出与AD 相切时的AO 值；如图2，设⊙O 与BC 边相切于F ，连接OF ，证明△COF ∽△CAB 即可求出BC 相切时的AO 值，最后即可得到结论．三、解答题（共7题；共70分）19.计算： 2713 + √5+2 ﹣( 12 )﹣2+|3﹣ √5 |． 【答案】 原式= (33)13 + √5−2 ﹣4+3﹣ √5=3+ √5−2 ﹣4+3﹣ √5=0．【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，分母有理化【解析】【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．20.解不等式组： {10x >7x +6x −1<x+73【答案】 解：由题意知： {10x >7x +6⋯①x −1<x+73⋯② ， 解不等式①，移项得：3x ＞6，系数化为1得：x>2，解不等式②，去分母得：3x-3＜x+7．移项得：2x<10，系数化为1得：x<5，∴原不等式组的解集是2＜x ＜5．故答案为：2＜x ＜5．【考点】解一元一次不等式组【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解． 21.如图，在直角梯形ABCD 中， AB //DC ，∠DAB =90°，AB =8，CD =5，BC =3 √5 ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ， 求∠DBC 的正切值．【答案】 （1）过C 作CE ⊥AB 于E ，如下图所示：∵AB //DC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D=∠AEC=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD=CE，AE=CD=5，∴BE=AB﹣AE=3．∵BC=3 √5，∴CE= √BC2−BE2=6，∴梯形ABCD的面积= 12×(5+8)×6=39，故答案为：39．（2）过C作CH⊥BD于H，如下图所示：∵CD //AB，∴∠CDB=∠ABD．∵∠CHD=∠A=90°，∴△CDH∽△DBA，∴CHAD =CDBD，∵BD= √AB2+AD2= √82+62=10，∴CH6=510，∴CH=3，∴BH= √BC2−CH2= √(3√5)2−32=6，∴∠DBC的正切值= CHBH = 36= 12．故答案为：12．【考点】勾股定理，矩形的性质，梯形，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到CE=√BC2−BE2=6，即可求出梯形的面积；(2) 过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到CHAD =CDBD，根据勾股定理得到BD=√AB2+AD2=10，BH=√BC2−CH2=6即可求解．22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【答案】（1）第七天的营业额是450×12%=54(万元)，故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题【解析】【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．23.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CD //AB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CD //BH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）∵BE2=AB•AE，∴BEAB = AEEB，∵AG //BC，∴AEBE = AGBC，∴BEAB = AGBC，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【考点】菱形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CD//BH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB•AE，得到BEAB = AEEB，再利用AG//BC，平行线分线段成比例定理得到BEAB = AGBC，再结合已知条件即可求解．24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC= √5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．【答案】（1）针对于直线y=﹣12x+5，令x=0，y=5，∴B(0，5)，令y=0，则﹣12x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)，∴AB= √52+102=5 √5；（2）设点C(m，﹣12m+5)．∵B(0，5)，∴BC= √m2+(−12m+5−5)2= √52|m|．∵BC= √5，∴ √52|m|= √5 ， ∴m=±2．∵点C 在线段AB 上，∴m=2，∴C(2，4)，将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax 2+bx(a≠0)中，得 {100a +10b =04a +2b =4， ∴ {a =−14b =52， ∴抛物线y=﹣ 14 x 2+ 52 x ；（3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax 2+bx 中，得100a+10b=0，∴b=﹣10a ，∴抛物线的解析式为y=ax 2﹣10ax=a(x ﹣5)2﹣25a ，∴抛物线的顶点D 坐标为(5，﹣25a)，将x=5代入y=﹣ 12 x+5中，得y=﹣ 12 ×5+5= 52 ，∵顶点D 位于△AOB 内，∴0＜﹣25a ＜ 52 ，∴﹣ 110 ＜a ＜0．【考点】待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离，勾股定理，二次函数的其他应用【解析】【分析】（1）先求出A ，B 坐标，即可得出结论；（2）设点C （m ，- 12 m+5），则BC= √52 |m ，进而求出点C （2，4），最后将点A ，C 代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A 坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a ，代入抛物线解析式中得出顶点D 坐标为（5，-25a ），即可得出结论． 25.如图，△ABC 中，AB =AC ， ⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长交边AC 于点D ．（1）求证：∠BAC =2∠ABD ；（2）当△BCD 是等腰三角形时，求∠BCD 的大小；（3）当AD =2，CD =3时，求边BC 的长．【答案】 （1）连接OA ，如下图1所示：∵AB=AC，∴AB⌢= AC⌢，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．（2）如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，过A点作AE //BC交BD的延长线于E．则AEBC = ADDC= 23，且BC=2BH，∴AOOH = AEBH= 43，设OB=OA=4a，OH=3a．则在Rt△ABH和Rt△OBH中，∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，∴a2= 2556，∴BH= 5√24，∴BC=2BH= 5√22．故答案为：5√22．【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂径定理，平行线分线段成比例，数学思想【解析】【分析】(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．(3) 如图3中，作AE //BC交BD的延长线于E．则AEBC =ADDC=23，进而得到AOOH=AEBH=34，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题．。