2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 11 Word版含解析

____第17课__极坐标与参数方程的应用____1. 理解并掌握一些简单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆等)的极坐标方1. 阅读：选修44第18～24页，第47～49页．基础诊断1. 将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝cos α＋1(α为参数)化为普通方程为________________．2. 圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长为________．3. 圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．4. 在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________．范例导航考向直线与圆的极坐标方程与直角坐标方程的例1在平面直角坐标系Oy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝42cos (θ－π4)，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦AB 的长度．考向⎩y ＝sin α标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1) 写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2) 设点P 在曲线C 1上，点Q 在直线C 2上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 是参数)．(1) 若a ＝－1，求曲线C 与直线l 的交点坐标；(2) 若曲线C 上的点到直线l 距离的最大值为17，求a 的值．考向例3 在平面直角坐标系Oy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α，θ＝2α(0<α<2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．自测反馈1. 在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．2. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，则它的直角坐标方程为______________．3. 在平面直角坐标系Oy 中，过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点与直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t(t 为参数)垂直的直线方程为________．4. 设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系得到另一直线l 2的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2之间的距离为10，则实数a 的值为________．1. 求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接利用极坐标求解，求解时可与数形结合的思想一起应用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解．使用后一种方法时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．2. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．3. 总结参数方程求解的思路：第17课 极坐标与参数方程的应用基础诊断1. 2＋(y －1)2＝1(－1≤≤1) 解析：由题意得⎩⎨⎧sin α＝x ，cos α＝y －1(α为参数)，所以2＋(y －1)2＝1，即该参数方程化为普通方程为2＋(y －1)2＝1且－1≤≤1.2. 3 解析：圆ρ＝3cos θ化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.将直线⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94得20t 2＋10t －1＝0，则t 1＋t 2＝－12，t 1t 2＝－120，所以(t 1－t 2)2＝920，故直线截得的弦长为20（t 1－t 2）2＝3.3. (1，0) 解析：由题意得曲线参数方程⎩⎨⎧x ＝t 2①，y ＝2t ②(t 为参数)，将②两边平方得y 2＝4t 2.又因为＝t 2，所以该曲线的普通方程为y 2＝4，故焦点为(1，0)．4 1＋ 2 解析：圆ρ＝2cos θ，转化成ρ2＝2ρcos θ，进一步转化成直角坐标方程为(－1)2＋y 2＝1，把直线ρ cos θ＋ρ sin θ＝a 的方程转化成直角坐标方程为＋y －a ＝0.由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以 |1－a|2＝1，且a>0，故a ＝1＋ 2.范例导航例1 解析：直线l 的普通方程为＋y ＝3， 代入抛物线y 2＝4并整理得2－10＋9＝0，解得＝1或＝9，所以交点A(1，2)，B(9，－6)，故AB ＝8 2.解析：圆C 的直角坐标方程为2＋y 2－4－4y ＝0，即(－2)2＋(y －2)2＝8，圆心C(2，2)，半径r ＝22，直线l 的普通方程为－y －2＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝22＝2， 所以弦长AB ＝2r 2－d 2＝2 6.例2 解析：(1) 曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α是参数)，化为普通方程，即有椭圆C 1：x 23＋y 2＝1.曲线C 2的极坐标方程为ρ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得22ρ sin θ＋22ρ cos θ＝22， 即直线C 2的直角坐标方程为＋y －4＝0.(2) 由题意可得当直线＋y －4＝0的平行线与椭圆相切时，PQ 取得最值． 设与直线＋y －4＝0平行的直线方程为＋y ＋t ＝0，联立⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，x ＋y ＋t ＝0，可得42＋6t ＋3t 2－3＝0，由直线与椭圆相切，得Δ＝36t 2－16(3t 2－3)＝0， 解得t ＝±2，显然当t ＝－2时，PQ 取得最小值，即有PQ min ＝2， 此时42－12＋9＝0，解得＝32，故此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.【注】 (1) 运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C 1的普通方程，运用＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，以及两角和的正弦公式，化简可得C 2的直角坐标方程．(2) 由题意可得当直线＋y －4＝0的平行线与椭圆相切时，PQ 取得最值．设与直线＋y －4＝0平行的直线方程为＋y ＋t ＝0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t ，再由平行线的距离公式，可得PQ 的最小值，解方程可得点P 的直角坐标．解析：(1) 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，化为普通方程是x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的参数方程化为普通方程是＋4y －3＝0.联立方程⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425，所以椭圆C 和直线l 的交点为(3，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2) 直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)化为普通方程是＋4y －a －4＝0，椭圆C 上的任意一点P 可以表示成P(3cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)， 所以点P 到直线l 的距离d 为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin （θ＋φ）－a －4|17，其中，φ满足tan φ＝34，且d 的最大值为17.①当－a －4≤0，即a ≥－4时，|5sin (θ＋φ)－a －4|≤|－5－a －4|＝5＋a ＋4＝17，解得a ＝8≥－4，符合题意； ②当－a －4>0，即a<－4时，|5sin (θ＋φ)－a －4|≤|5－a －4|＝5－a －4＝1－a ＝17，解得a ＝－16<－4，符合题意． 综上所述，a 的值为8或－16.【注】 (1) 将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的参数方程化为普通方程，联立两方程可以求得交点坐标．(2) 曲线C 上的点可以表示成P(3cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，运用点到直线距离公式可以表示出点P 到直线l 的距离，再结合距离最大值为17进行分析，可以求出a 的值．本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C 上的点到直线l 距离的最大值求出a.例3 解析：由题设知点P(1＋2cos α，2sin α)，Q(1＋2cos 2α，2sin 2α)， 于是PQ 中点M(1＋cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 从而d 2＝MA 2＝(cos α＋cos 2α)2＋(sin α＋sin 2α)2＝2＋2cos α. 因为0<α<2π，所以－1≤cos α<1， 于是0≤d 2<4，故d 的取值范围是[0，2)． 备用题已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t>0)，求曲线C 的普通方程．解析：因为2＝t ＋1t －2，所以2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为32－y ＋6＝0.自测反馈1. 2 解析：直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0化为直角坐标方程为23＋2y ＋1＝0.圆ρ＝2sin θ化为直角坐标方程2＋y 2＝2y ，即2＋(y －1)2＝1.所以圆心C(0，1)到直线的距离d ＝34<1＝R ，所以直线4ρcos (θ－π6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为2.2. (＋1)2＋(y －3)2＝4 解析：曲线C ：ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6化为ρ2＝23ρsin θ－2ρcos θ，化为直角坐标方程为(＋1)2＋(y －3)2＝4.3. ＋2y ＋4＝0 解析：椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)化为x 225＋y 29＝1，直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t (t 为参数)化为2－y －6＝0.由此可得椭圆左焦点为(－4，0)，令过点(－4，0)且与该直线垂直的直线为＋2y ＋c ＝0，将点(－4，0)代入得c ＝4，故过点(－4，0)与直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t(t 为参数)垂直的直线方程为＋2y ＋4＝0.4. 9或－11 解析：直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)化为普通方程为3－y ＋a －3＝0，直线l 2：ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，化为直角坐标方程为－3＋y ＋4＝0，即这两条直线平行，故l 1与l 2间的距离为d ＝|a ＋1|10＝10，解得a ＝9或a ＝－11.。

黄冈市2019年初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试数学试题（考试时间120分钟满分120分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

3.非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题共24分）一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）1.的绝对值是A. B. C. D.2.为纪念中华人民共和国成立70周年，我市各中小学积极开展了以“祖国在我心中”为主题的各类教育活动，全市约有550000名中小学生参加，其中数据550000用科学记数法表示为A. B. C. D.3.下列运算正确的是A. B. C. D.4.若1，2是一元一次方程的两根，则12的值为A.-5B.5C.-4D.45.已知点A的坐标为（2，1），将点A向下平移4个单位长度，得到的点A’的坐标是A.（6，1）B.（-2，1）C.（2，5）D.（2，-3）6.如图，是有棱长都相等的四个小正方体组成的几何体。

该几何体的左视图是7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为A.25mB.24mC.30mD.60m8.已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家，图中表示时间，表示林茂离家的距离。

依据图中的信息，下列说法错误的是A.体育场离林茂家2.5kmB.体育场离文具店1kmC.林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/minD.林茂从文具店回家的平均速度是60m/min第II卷（非选择题共96分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.计算的结果是_______________________.10.是________次单项式.11.分解因式_______________________.12.一组数据1，7，8，5，4的中位数是，则的值是 ___________________.13.如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD=80°，则∠DAC 的度数为 __________________.14.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为_____________.15.如图，一直线经过原点0，且与反比例函数（＞）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC。

随堂巩固训练(9)1. 已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ，则P(X ＝2)＝________．(6，13)2. 事件A ，B ，C 相互独立，如果P(AB)＝，P(BC)＝，P(ABC)＝，则P(B)＝________，161818P(AB)＝__________．3. 甲、乙、丙三人在同一个办公室工作，办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为，，.若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相161312互独立，则这三个电话是打给同一个人的概率为________，这三个电话中恰有两个是打给甲的概率为________．4. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．5. 计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否合格，相互之间45231256没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率________．　6. 设某动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是________．7. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点收费标准是每车每次租车不超过两个小时免费，超过两个小时的部分每小时收费标准为2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率1412分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．1214(1) 分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；(2) 求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．8. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1) 求甲以4比1获胜的概率；(2) 求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3) 求比赛局数的概率分布．9. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互1223独立．(1) 分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2) 若比赛结果为3∶0 或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的概率分布和数学期望．答案与解析随堂巩固训练(9)1.　解析：P(X ＝2)＝C ×＝.8024326(13)2 (23)4 802432. 解析：由题意可得事件A ，B ，C 相互独立，则P(ABC)＝P(AB)P(C)，可得P(C)＝1213，则P(C)＝.又P(BC)＝P(B)P(C)，则P(B)＝，故P(B)＝.亦可求得P(A)＝，则P(AB)＝3414121213×＝.2312133. 解析：由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，16572则这三个电话是打给同一个人的概率为＋＋＝；三个电话中恰有两个是打给甲(16)3 (13)3 (12)3 16可以看作是n ＝3，P ＝的独立重复试验，则所求概率为P 3(2)＝C ×＝.1623(16)2 565724. 0.72　解析：设“一批种子发芽”为事件A ，P(A)＝0.9，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成长为幼苗)．已知种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.5.　解析：由题意可得，甲合格而乙不合格的概率为××＝，乙合23454512(1－23×56)845格而甲不合格的概率为××＝，故恰有一人获得“合格证书”的概率为＋2356(1－45×12)13845＝.1323456. 解析：设“由出生算起活到10岁”为事件A ，“由出生算起活到15岁”为事件AB ，23则P(B|A)＝＝＝.P （AB ）P （A ）0.60.9237. 解析：(1) 分别记“甲、乙在三个小时以上且不超过四个小时还车”为事件A ，B ，则P(A)＝1－－＝，P(B)＝1－－＝.141214121414故甲、乙在三个小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为，.1414(2) 记“甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元”为事件C ，则P(C)＝＋＋(×＋×＋×)＝，(14×12)(14×14＋12×12)12141412141434故甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为.348. 解析：(1) 由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.12记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)＝C ××＝.34(12)3 (12)4－31218(2) 记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.乙以4比2获胜的概率为P 1＝C ××＝，35(12)3 (12)5－312532乙以4比3获胜的概率为P 2＝C ××＝，36(12)3 (12)6－312532所以P(B)＝P 1＋P 2＝.516(3) 设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7.P(X ＝4)＝2C ＝，4(12)4 18P(X ＝5)＝2C ××＝，34(12)3 (12)4－31214P(X ＝6)＝2C ××＝，35(12)3 (12)5－312516P(X ＝7)＝2C ××＝，36(12)3 (12)6－312516故比赛局数的概率分布为X 4567P18145165169. 解析：(1) 设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P(A)＝××＝，232323827P(B)＝C ××＝， 23(23)2 (1－23)23827P(C)＝C ××＝.24(23)2 (1－23)2 12427(2) X 的可能取值为0，1，2，3，则P(X ＝0)＝P(A)＋P(B)＝，1627P(X ＝1)＝P(C)＝，427P(X ＝2)＝C ×××＝，24(1－23)2 (23)2 (1－12)427P(X ＝3)＝＋C ×××＝.(13)3 23(13)2 231319故X 的概率分布为X 0123P162742742719故 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.16274274271979。

随堂巩固训练(17)1. 直线θ＝α与直线ρcos (θ－α)＝a(a ≠0)之间的位置关系为__________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为________．3. 已知直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于A ，B 两点，则AB 的长为________．4. 在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是________．5. 在极坐标系中，已知两点A ⎝⎛⎭⎫3，5π3，B ⎝⎛⎭⎫1，2π3，则A ，B 两点间的距离等于________．6. 圆C ：ρ＝－4sin θ上的动点P 到直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2的最短距离为________．7. 在极坐标系中，射线θ＝π4被圆ρ＝4sin θ截得的弦长为________．8. 在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________．9. 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则AB ＝________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为________．11. 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长．12. 已知在平面直角坐标系xOy 内，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1) 写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2) 判断直线l 和圆C 的位置关系．13. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ. (1) 以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程； (2) 若P(x ，y)是曲线C 上的一个动点，求3x ＋4y 的最大值．随堂巩固训练(17)1. 垂直 解析：ρ cos (θ－α)＝a 化为x cos α＋y sin α＝a ，θ＝α可化为x sin α－y cos α＝0.因为cos α sin α－sin α cos α＝0，所以这两条直线垂直．2. (3，－3) 解析：将直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)代入圆x 2＋y 2＝16得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16，即t 2－8t ＋12＝0，解得t 1＝2，t 2＝6.将t 1，t 2代入参数方程，得⎩⎨⎧x 1＝2，y 1＝－23，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝0，所以AB 的中点坐标为(3，－3)． 3. 14 解析：直线l 化为直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 化为普通方程为(x －1)2＋(y－2)2＝4，圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22，所以AB ＝24－12＝14.4. ρ cos θ＝2 解析： 点⎝⎛⎭⎫22，π4的直角坐标为(2，2)，圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，则圆心为(0，2)，故过点(2，2)的圆的切线方程为x ＝2，化为极坐标方程是ρ cos θ＝2.5. 4 解析：点A ⎝⎛⎭⎫3，5π3化为直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，－332，点B 化为直角坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，故A ，B 两点间的距离为d ＝⎝⎛⎭⎫32＋122＋⎝⎛⎭⎫－332－322＝4. 6. 22－2 解析：圆C 化为直角坐标方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，直线l 化为直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故圆上的动点P 到直线l 的最短距离为d ＝|0－2－2|12＋12－2＝22－2.7. 22 解析：射线化为直角坐标方程y ＝x(x ≥0)，圆化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，两式联立消y 得2x 2－4x ＝0，即x 2－2x ＝0，故射线与圆的交点为(0，0)，(2，2)，所以射线被圆截得的弦长为22＋22＝2 2.8. 1 解析：点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρ sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，故点到直线的距离d ＝|3－3＋2|1＋（－3）2＝1.9. 2 解析：直线化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，圆化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，两式联立消x 得4y 2＝1，所以直线与圆的交点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫32＋1，12，⎝⎛⎭⎫－32＋1，－12，故AB ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32＋1－⎝⎛⎭⎫－32＋12＋⎣⎡⎦⎤12－⎝⎛⎭⎫－122＝2. 10. (2，－4) 解析：曲线C 1化为直角坐标方程为x ＋y ＋2＝0.将曲线C 2的参数方程⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)代入x ＋y ＋2＝0，得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(2，－4)．11. 解析：将极坐标方程转化为直角坐标方程． 圆ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94； 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t即2x －y ＝3，所以圆心在直线上．所以截得的弦长为3.12. 解析：(1) 消去参数t ，得直线的直角坐标方程为y ＝2x －3；ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρ sin θ＋ρ cos θ)， 由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρ cos θ，y ＝ρ sin θ，得圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2) 圆心C 到直线l 的距离d ＝255<2，所以直线l 和圆C 相交．13. 解析：(1) ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ两边同时除以ρ2，可得1＝364ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ，即1＝364x 2＋9y 2，故直角坐标方程x 29＋y 24＝1.(2) 设点P(3cos θ，2sin θ)，则3x ＋4y ＝9cos θ＋8sin θ＝145sin (θ＋φ)， 当sin (θ＋φ)＝1时，3x ＋4y 的最大值为145.。

随堂巩固训练(10)1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－121x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤112－1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2－1－3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24.求： (1) 向量2α＋3β在T M 作用下的象；(2) 向量4Mα－3Mβ.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 的作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．4. 在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ(0<θ<2π)所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (0<k <1)所对应的变换．若连续实施两次变换所对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－1120，求k ，θ的值．答案与解析随堂巩固训练(10)1. 解析：由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－121x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ， Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤112－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y . 因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ， 所以x ＋y ＝72. 2. 解析：(1) 因为2α＋3β＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122， 所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2－1－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤122＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18. 故向量2α＋3β在T M 作用下的象为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18. (2) 4Mα－3Mβ＝M (4α－3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2－1－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7090. 3. 解析：由题意得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110， 所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1. 对于直线2x －y ＋1＝0上的任意一点(x ，y )，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y ， 所以在矩阵MN 对应的变换作用下，平面上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来纵坐标的相反数，故曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.4. 解析：依题意，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－1120， 从而⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0，－sin θ＝－1，k sin θ＝12，k cos θ＝0.因为0<θ<2π，所以⎩⎨⎧θ＝π2，k ＝12.。

____第16课__常见曲线的参数方程____1. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义．1. 阅读：选修44第42～47页．基础诊断1. 方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t为参数)表示的曲线是________________________________________________________________________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的公共点的个数为________．3. 参数方程⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 为参数)，且0≤t ≤5表示的曲线是________．(填序号) ①线段；②双曲线；③圆弧；④射线．4. 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为________．范例导航考向例1(1) 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2⎝ ⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数)化为普通方程；(2) 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos 2θ(θ为参数)化为普通方程．在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上求一点，使它到直线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋12t ，y ＝1－12t (t 为参数)的距离最小，并求出该点的坐标和最小距离．考向例2 已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6.(1) 写出直线l 的参数方程；(2) 设直线l 与圆2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，求点P 到A 、B 两点的距离之积．点P(，y)是椭圆22＋3y 2＝12上的一个动点，求＋2y 的最大值．考向例3 已知P(，y)是圆2＋y 2＝2y 上的动点．(1) 求2＋y 的取值范围；(2) 若＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．自测反馈1. P(，y)是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上任意一点，则(－5)2＋(y ＋4)2的最大值为________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)被圆2＋y 2＝9截得的弦长等于________．3. 若P 为曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为________．4. 曲线C; ⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程是________________________，如果曲线C与直线＋y ＋a ＝0 有公共点，那么实数a 的取值范围是________．1. 参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易被忽视．2. 解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁？代表的几何意义是什么？其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．3. 写出直线，圆，椭圆的参数方程：________________________________________________________________________.第16课 常见曲线的参数方程基础诊断1. 一条射线解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，得y ＝33，≥0，故该参数方程对应的曲线为一条射线．2. 2 解析：直线的普通方程为y ＝12，曲线的普通方程为(－2)2＋y 2＝1，则该曲线是以点(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为圆心到直线的距离d ＝|1|⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝255<1，所以直线与曲线的公共点的个数为2.3. ①解析：由题可得⎩⎨⎧t 2＝x －23，t 2＝y ＋1(t 为参数)，则x －23＝y ＋1，即－3y －5＝0，又0≤t ≤5，所以该曲线为线段，故选①.4. (3，－3) 解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 22＝－－81×12＝4，所以AB 中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，即⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，故AB 的中点坐标为(3，－3)．范例导航例1 解析：(1) 方法一：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝4，化简得普通方程为x 216－y 264＝1. 方法二：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数)，所以t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y8，相乘得()2x ＋y ()2x －y 64＝1，化简得普通方程为x 216－y 264＝1.(2) 由⎩⎨⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos 2θ(θ为参数)，①②因为θ∈R ，所以－1≤sin θ≤1，则－2≤≤ 2. 由①两边平方得2＝2sin 2θ，③ 由②得y －1＝2cos 2θ，④由③＋④得2＋y －1＝2，即y ＝－2＋3(－2≤≤2)， 故普通方程为y ＝－2＋3(－2≤≤2)．注：将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，可以借助于三角函数的平方关系，因此想到把①两边平方，然后和②相加即可，同时求出的取值范围．【教学处理】1. 参数方程的教学要求不要拔高．参数方程与普通方程互相转化时特别要注意等价性，本题是直线与圆的位置关系．2. 本题也可通过画图;解．解析：直线C 2化成普通方程是＋y ＋22－1＝0，设所求的点为P (1＋cos θ，sin θ)，则点P 到直线C 2的距离d ＝|1＋cos θ＋sin θ＋22－1|2＝ |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2|.当θ＋π4＝3π2＋2π，∈，即θ＝5π4＋2π，∈时，d 取最小值1，此时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，－22. 例2 【教学处理】要给学生尝试解题的时间，再指名学生回答，教师点评并板书． 解析：(1) 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数)． (2) 将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数)代入2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4，化简得t 2＋(3＋1)t－2＝0，故t 1t 2＝－2，则点P 到A 、B 两点的距离之积为2.解析：将椭圆22＋3y 2＝12化为x 26＋y 24＝1，设＝6cos θ，y ＝2sin θ， ＋2y ＝6cos θ＋4sin θ＝22(622cos θ＋422sin θ)＝22sin ()θ＋α≤22，其中tan α＝64，故＋2y 的最大值为22.例3 解析：(1) 由题意得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，所以2＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin (θ＋φ)＋1，其中tan φ＝2， 所以－5＋1≤2＋y ≤5＋1. (2) ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0，所以a ≥－cos θ－sin θ－1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，所以a ≥2－1.自测反馈1. 36 解析：因为曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，所以(－5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝1＋9＋16－6cos θ＋8sin θ＝26－10sin (α－θ)，故(－5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.2. 1255 解析：把直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)代入圆2＋y 2＝9，得(2t －1)2＋(t ＋1)2＝9，化简得5t 2－2t －7＝0，故t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－75，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝14425，所以直线被圆截得的弦长为5（t 1－t 2）2＝1255. 3.2－1 解析：将题目中参数方程化为普通方程为(－1)2＋(y －1)2＝1，即该曲线表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆，所以点P 到原点最短距离为（0－1）2＋（0－1）2－1＝2－1.4. 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2] 解析：由题意得⎩⎨⎧cos θ＝x ，sin θ＝y ＋1(θ为参数)，所以2＋(y ＋1)2＝1.曲线C 是以(0，－1)为圆心，1为半径的圆，圆心到直线＋y ＋a ＝0的距离为|－1＋a|2，又因为曲线与直线有公共点，则0≤|－1＋a|2≤1，即1－2≤a ≤1＋ 2.。

随堂巩固训练(12)1. 已知矩阵A ＝，若矩阵A 的属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特[33c d ][11]征值1的一个特征向量为α2＝.求矩阵A 的逆矩阵．[3－2] 2. 已知矩阵A ＝，若点P (1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(0，－8)．[1－1a 1](1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵A 的特征值．[10][01]3. 若矩阵A有特征向量i＝和j＝，且它们对应的特征值分别为λ1＝2，λ2＝－1.(1) 求矩阵A及其逆矩阵A－1；(2) 求逆矩阵A－1的特征值及特征向量；[x y](3) 对任意向量α＝，求A100α.4. 设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．(1) 求矩阵M的特征值及相应的特征向量；x2 4y2 9(2) 求逆矩阵M－1以及椭圆＋＝1在M－1的作用下得到的新曲线的方程．答案与解析随堂巩固训练(12)1. 解析：由矩阵A 的属于特征值6的一个特征向量为α1＝，可得＝6×，[11][33c d ][11][11]即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得＝，即3c －2d [3－2][33c d ][3－2][3－2]＝－2，解得即A ＝，{c ＝2，d ＝4，)[3324]所以矩阵A 的逆矩阵是.[23－12－1312]2. 解析：(1) 由＝，得a ＋1＝－8，[1－1a 1][11][0－8]所以a ＝－9.(2) 由(1)知A ＝，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝＝(λ－1)2－9＝λ2－[1－1－91]|λ－119λ－1|2λ－8，令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.3. 解析：(1) 设矩阵A ＝，那么根据题意可得＝2×，即[a b c d ][a b c d ][10][10]{a ＝2，c ＝0，)＝－1×，即[a b c d ][01][01]{b ＝0，d ＝－1，)故矩阵A ＝，逆矩阵A －1＝.[200－1][1200－1](2) 逆矩阵的特征值有两个分别为λ′1＝－1，λ′2＝，属于特征值λ′1的一个特征向量可12以取m ＝，属于特征值λ′2的一个特征向量可以取n ＝.[01][10](3) 由于α＝＝x ＋y ＝x i ＋y j ，[x y ][10][01]则A 100α＝xλi ＋yλj ＝2100x ＋y ＝.10011002[10][01][2100x y ]4. 解析：(1) 由题意可得 M ＝，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝||＝(λ－2)(λ[2003]λ－200λ－3－3)，令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝2，λ2＝3.将λ1＝2代入二元一次方程组{（λ－2）x ＝0，（λ－3）y ＝0，)x 为任意非零实数，y ＝0，取x ＝1，故λ1＝2对应的一个特征向量为，[10]同理得λ2＝3对应的一个特征向量为.[01](2) M －1＝，设点(x ′，y ′)为椭圆上任意一点，(x ，y )为经过M －1作用后的点．[120013]则＝＝，即[120013][x ′y ′][12x ′13y ′][x y ]{x ＝12x ′，y ＝13y ′，)则代入椭圆方程得＋＝1，即为x 2＋y 2＝1，故在逆矩阵M －1作用下，椭{x ′＝2x ，y ′＝3y ，)4x 249y 29圆＋＝1变换的新的曲线方程为x 2＋y 2＝1.x 24y 29。

随堂巩固训练()
. 点的极坐标为，化为直角坐标是；点的直角坐标为(－，－)，化为极坐标是．
. 过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程是．
. 在极坐标系中，以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是．
. 在极坐标系中，以(，)为圆心，为半径的圆的极坐标方程是．
. 在极坐标系中，θ＝(ρ≥)，θ＝(ρ≥)和ρ＝所表示的曲线围成的图形面积是．
. 在极坐标系中，若△的三个顶点为，，，则三角形的形状为．
. 在极坐标系中，求圆ρ＝θ上的点到直线θ＝(ρ∈)距离的最大值．
.
在以为极点的极坐标系中，圆ρ＝θ和直线ρθ＝相交于，两点．当△是等边三角形时，求的值．
. 在极坐标系中，圆的极坐标方程为ρ＝θ.
() 过极点的一条直线与圆相交于，两点，且∠＝°，求的长．() 求过圆上一点作圆的切线，求切线的极坐标方程．
随堂巩固训练()。

_第11课__变换的复合矩阵的乘法与逆矩阵____1. 掌握二阶矩阵的乘法；理解矩阵乘法的简单性质；1. 阅读：选修42第36～65页.基础诊断1. 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1012，则MN ＝________． 2. 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42k 7，若AB ＝BA ，则＝________．3. 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221的逆矩阵．4. 变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101.求： (1) 点P (2，1)在T 1作用下的点P ′的坐标；(2) 函数y ＝2的图象依次在T 1，T 2变换作用下所得的曲线的方程．范例导航考向例1 已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎦⎥a b －2所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．(1) 求a ，b 的值；(2) 若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ，直线l ：－y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l ′：－y ＋2a＝0.(1) 求实数a 的值； (2) 求A 2.考向例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤201，试求曲线y ＝sin 在矩阵(MN )－1对应的变换下的曲线所对应的解析式．若二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5846.(1) 求二阶矩阵M ；(2) 若曲线C ：2＋2y ＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C ′，求曲线C ′的方程．自测反馈1. (1) 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312的逆矩阵；(2) 利用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.2. 已知曲线C 1：2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0m 10对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1，求实数m 的值．1. MN 的几何意义是什么？MN ＝NM 一定成立吗？如果使其成立，应满足什么条件？2. 逆矩阵的求法通常有三种方法：①待定系数法；②利用行列式法；③从几何变换的角度求解．3. 你还有哪些体悟，写下;：第11课 变换的复合矩阵的乘法与逆矩阵基础诊断1. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012 解析：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11212.2. 3 解析：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42k 7，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤42k 7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2k 1612＋4k 34，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42k 7⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1016k ＋212k ＋28.又因为AB ＝BA ，所以＝3.3. 解析：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221，所以ad －bc ＝3－4＝－1≠0，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－122－3.4. 解析：(1) 由题意，得M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，所以点P (2，1)在T 1作用下的点P ′的坐标是(－1，2)．(2) 由题意可求出变换矩阵M ＝M 2M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－110，设(0，y 0)是函数y ＝2上的任意一点，在T 1，T 2对应变换作用下得到点(，y )，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x 0－y 0＝x ，x 0＝y ，则⎩⎨⎧x 0＝y ，y 0＝y －x ，代入y 0＝20得y －＝y 2，所以所求曲线的方程是y －＝y 2.范例导航例1 解析：(1) 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，所以6＋3a ＝3，2b －6＝4，所以a ＝－1，b ＝5.(2) 由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－15－2，由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－15－3，所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－54.解析：(1) 设直线l 上的任意一点M (0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l ′上的点M (，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0，代入l ′方程得(a 0＋y 0)－(0＋ay 0)＋2a ＝0， 即(a －1)0－(a －1)y 0＋2a ＝0. 因为(0，y 0)满足0－y 0＋4＝0， 所以2aa －1＝4，解得a ＝2. (2) 由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5445.例2 解析：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤12001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1202， 由逆矩阵公式得，(MN )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2012， 设曲线y ＝sin 上的任意一点P (，y )在矩阵(MN )－1对应的变换作用后的点为P ′(′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤20012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，由此可得＝12′，y ＝2y ′，代入y ＝sin 得sin 12′＝2y ′，即曲线y ＝sin 在矩阵(MN )－1变换下的曲线为y ＝12sin 12.解析：(1) 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，则|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝－2，故A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2132－12， 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5846⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2132－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2111.(2) 因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎨⎧x ＝x ′－y ′，y ＝－x ′＋2y ′，代入2＋2y ＋2y 2＝1可得(′－y ′)2＋2(′－y ′)(－′＋2y ′)＋2(－′＋2y ′)2＝1， 即′2－4′y ′＋5y ′2＝1， 故曲线C ′的方程为2－4y ＋5y 2＝1.自测反馈1. 解析：(1) 设逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎩⎨⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3－12.(2) 由题意得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，则A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3－12， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－75，即⎩⎨⎧x ＝－7，y ＝5. 注：考查逆变换与逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的知识求解方程组的方法． 2. 解析：根据题意，可求得BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0m 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02m 10.设P (0，y 0)是曲线C 1上的任意一点，它在矩阵BA 对应的变换作用下变成点P ′(′，y ′)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02m 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2my 0x 0， 则⎩⎨⎧x ′＝2my 0，y ′＝x 0，即⎩⎨⎧x 0＝y ′，y 0＝x ′2m ，又点P (0，y 0)在曲线C 1上，则y ′2＋x ′24m2＝1，即m 2＝1，所以m ＝±1.。

第13课__矩阵的简单应用____1. 初步了解三阶或高阶矩阵．1. 阅读：选修42第74～81页.基础诊断1. 设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝3a n ＋2b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋2b n ＋2＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，则二阶矩阵M＝________．2. 设某校午餐有A ，B 两种便当选择，经统计数据显示，今天订A 便当的人，第二天再订A 便当的概率是35；今天订B 便当的人，第二天再订B 便当的概率为45，已知星期一有40%的同学订了A 便当，60%的同学订了B 便当，则星期四时订A 便当同学的概率是多少？范例导航考向利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等．因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系．但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群，Y随时间段变化的数量分别为{a n }，{b n }，有关系式⎩⎨⎧a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝3a n ＋2b n，其中a 1＝6，b 1＝4，试分析20个时段后，这两个种群的数量变化趋势．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31.(1) 求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2) 计算M 4β，M 10β，M 100β；(3) 从第(2)小题的计算中，你发现了什么？考向例2 某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过数字信号由发生端传到接收端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3，把0错转为1的概率为0.2，若发出的数字信号中共有10 000个1，5 000个0.问：(1) 从第1个环节转出的信号中0，1各有多少个？(2) 最终接收端收到的信号中0，1个数各是多少？(精确到十位)(3) 该同学为了完善自己的仪器，决定在接收端前加一个修正器，把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接收到的0和1的个数与发出的信号相同．学校餐厅每天供应1 000名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A 菜的，下周星期一会有20%改选B 菜，而选B 菜的，下周星期一会有30%改选A 菜，若用A n ，B n 分别表示在第n 个星期一选A ，B 菜的人数．(1) 若⎣⎢⎡⎦⎥⎤A n ＋1B n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A nB n ，请写出二阶矩阵M ；(2) 若第一周有300人选择A 菜，700人选择B 菜，试判断其变换趋势．自测反馈1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α.1. 对于二阶矩阵A ，它的特征值分别为λ1，λ2，其对应的特征向量分别为α1，α2，若当非零向量β＝m α1＋n α1，则A β＝______________．2. 求A n β的一般步骤为：第一步：求矩阵A 的特征值λ和相应的特征向量α；第二步：把向量β用特征向量α线性表示，即________________； 第三步：由公式A n β＝____________________计算． 3. 你还有哪些体悟，写下;：第13课 矩阵的简单应用基础诊断1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤91004 解析：由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202，则M ＝A 2，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤91004. 2. 解析：设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35152545，则M 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤47125391257812586125⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤211625414625，故星期四时订A 便当同学的概率是211625.范例导航例1 解析：令β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，由此可求得矩阵M 的特征值λ1＝4，λ2＝－1，分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.假设β＝m α1＋n α2(m ，n ∈R )，解得m ＝n ＝2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 20b 20＝M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 19b 19＝…＝M 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1. M 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝M 20β＝M 20(2α1＋2α2)＝2M 20α1＋2M 20α2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝2×420⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋2×(－1)20⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤242＋23×241－2. 因此，20个时段后，种群，Y 的数量分别约为242＋2和3×241－2.解析：(1) 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－10λ－2＝(λ－1)(λ－2)，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.所以它们分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2) 令β＝m α1＋n α2，则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，解得m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2，所以M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M 4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1816.同理可得，M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2210，M 100β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100＋22100.(3) 当n 很大时，可近似的认为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n2n .例2 解析：(1) 从第1个环节转出的信号中，0的个数为10 000×0.3＋5 000×0.8＝7 000， 1的个数为10 000×0.7＋5 000×0.2＝8 000.(2) 数字错转的转移矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.70.20.30.8，1和0的个数对应列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000，于是最终接收端收到的信号中1，0个数对应矩阵A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－0.7－0.2－0.3λ－0.8＝λ2－1.5λ＋0.5＝(λ－1)(λ－0.5)． 令f (λ)＝0，得到矩阵A 的特征值为1或0.5，将1代入方程组⎩⎨⎧（λ－0.7）x －0.2y ＝0，－0.3x ＋（λ－0.8）y ＝0，解得3－2y ＝0，不妨设＝2，于是得到矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.同理，把λ＝0.5代入上述方程组得＋y ＝0，不妨设＝1，可得矩阵A 的属于特征值0.5的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.设⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 所以⎩⎨⎧10 000＝2m ＋n ，5 000＝3m －n ，解得⎩⎨⎧m ＝3 000，n ＝4 000，所以A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000＝3 000×110⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋4 000×0.510⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 000＋4 000×0.5109 000－4 000×0.510≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 0009 000，所以最终接收端收到的信号中0约有9 000个，1约有6 000个．(3) 设修正器的转移矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－s ts 1－t (0<s <1，0<t <1)，则由题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－s t s 1－t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 0009 000＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000，于是，得到6s －9t ＋4＝0. 因为0<s <1，0<t <1，所以可取s ＝12，t ＝79，也就是说1转为0的概率为12，0转为1的概率为79.注：第(3)问答案不唯一，只要满足方程6s －9t ＋4＝0(0<s <1，0<t <1)的s ，t 均可．解析：(1) 由A n ＋1＝45A n ＋310B n ，B n ＋1＝15A n＋710B n，得M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4531015710. (2) 由f (λ)＝λ2－32λ＋12＝0，得λ1＝1，λ2＝12，属于λ1，λ2的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤A 1B 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤300700＝200α1－300α2， 所以M n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A 1B 1＝200⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－300×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤600－300×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n400＋300×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .由此说明，若干周后，选择A ，B 两菜的人数分别稳定在600人和400人左右．自测反馈1. 解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，分别对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.所以M 6β＝M 6(4α1－3α2)＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919.2. 解析：矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝|λ－1－21λ－4|＝(λ－1)(λ－4)＋2＝λ2－5λ＋6＝(λ－2)(λ－3)，令f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，对应的一个特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，对应的一个特征向量为e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，令α＝m e 1＋n e 2，解得m ＝2，n ＝1，即α＝2e 1＋e 2，所以A 5α＝A 5×2e 1＋A 5e 2＝25×2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤27＋3526＋35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307.。