第三章函数的应用3.1.1方程的根和函数的零点(二)学案(无答案)新人教A版必修1

3.1.1 方程的根与函数的零点（教案）第一课时教学目标1、知识与技能（1）了解函数零点的概念；（2）理解函数的零点与方程的根的联系；（3）掌握函数零点存在的判断方法。

2、过程与方法（1）通过自主探究，合作交流，经历“特殊→一般”、 “类比→归纳→应用”的过程，领会函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；（2）感悟由具体到抽象的研究方法；（3）培养学生的归纳概括能力。

3、情感态度与价值观（1）体验探究的乐趣；（2）认识到万物的联系与转化，培养学生用联系的观点看问题；（3）养成严密思考的良好学习习惯。

教学重点与难点1、教学重点理解函数的零点与方程的根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据。

2、教学难点准确理解概念，探究发现函数零点存在的条件。

教学过程（一）课前热身，新课导入求解下列方程的根：1022=+x 20322=--x x 3022=-x 4()01lg =-x思考：如何求解方程06-2ln =+x x 的解？ 设计意图：让学生经历由熟悉到陌生的过程，利用复杂无法求解的方程，造成学生的认知冲突，引发学生的好奇心和求知欲。

此时开门见山地提出用函数的思想解决方程根的问题，点明本节课的课题。

（二）启发引导，形成概念探究：方程与函数的联系设计意图：以实例说明方程、函数、函数图象三者的关系，渗透数形结合的思想，为一般的方程与其对应函数的关系作准备。

思考：上述结论对于一般的方程与其对应的函数是否也成立？1022=+x 与22+=x y 2022=-x 与22-=x y 3()01lg =-x 与()1lg -=x y推广：方程()0=x f 有实数根⇔对应函数()x f y =的图象与x 轴方程()0=x f 不相等实数根的个数⇔对应函数()x f y =的图象与x 轴0x 是方程()0=x f 的实数根⇔对应函数()x f y =的图象与x 轴设计意图：结合课前热身已解决的方程的根的问题，通过观察相应函数的图象，将由一元二次方程与相应二次函数得出的结论推广到一般的方程与其对应函数，再一次体会方程与函数的联系，为引入“函数零点”的概念打下基础，体现了由特殊到一般的思想，培养学生的思维能力和归纳能力。

高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点学案2（无答案）新人教A 版必修1一、学习目标结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

二、学习过程 (一)复习回顾 问题1：解下列方程02)1(=+x 034)2(2=+-x x044)3(2=+-x x 054)4(2=+-x x012)5(=-x 0)1(log )6(2=+x问题2：画出下列函数的图象34 )2(2+-=x x y44)3(2+-=x x y 54)4(2+-=x x y12)5(-=xy(二)新课探究问题3：由问题1和问题2，你可以发现方程的根和函数图象之间有什么关系？问题4：阅读课本86至87页的内容，并给出函数零点的定义问题5：函数)(x f y =的零点、方程0)(=x f 的实数根、函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什 么关系？(三)巩固提升1.观察下列函数图象，写出函数的零点.2.求下列函数的零点；43)()1(2--=x x x f ；412)()2(-=xx f ；1log )()3(5+=x x f3.函数(1)xx x f 4)(-=的零点的个数_______;(2)x x x f +=2log )(的零点的个数_______;(3)2)(x e x f x -=的零 点个数_____________4.若函数y=ax 2-x-1只有一个零点，求实数a 的取值范围。

5.函数b ax x x f --=2)(的两个零点为2和3，求225log b a +的值。

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3。

1.1方程的根与函数的零点【导学目标】1。

结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系，记住函数零点的定义；2.掌握函数零点存在性的判定方法，会求函数的零点，会用图象判断零点的个数。

【自主学习】知识回顾：1。

方程)0(0≠=+a b ax 的根是 ; 2.讨论方程02=++c bx ax 的根的情况？新知梳理:1。

方程的根与对应函数的图象与x 轴交点的关系研究方程0322=--x x 的根 ； 画出函数322--=x x y 的图象，如图：观察函数322--=x x y 的图象与x 轴的交点为 __ ， __ 。

【感悟】方程0322=--x x 的两个实数根就是函数322--=x x y 的图象与 轴的交点的 坐标.2。

一元二次方程02=++c bx ax 的根与二次函数c bx ax y ++=2图象的关系3。

函数的零点（1）函数的零点的概念：对于函数)(x f y =，我们把使 __ 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。

对点练习：1。

函数的零点是数还是点？对点练习：2.下列函数是否有零点？若有，有几个零点？21y x =+；②221y x x =-+-;③ky x =（k 为常数)；④1()2x y =；⑤log a y x =;⑥23y x =对点练习：3。

高中数学 3.1.1-2方程的根与函数的零点导学案新人教A 版必修1学习目标：1、理解函数零点存在性定理2、能应用零点存在性定理解决问题 学习重点：零点存在性定理的应用 学习过程：一、 观察分析、探究学习1、 判断函数183)(2--=x x x f 在[]8,1∈x 是否存在零点 法Ⅰ：法Ⅱ：2、 根据法Ⅱ总结零点存在定理___________________________________________ 3、 应用1：判断下列函数在给定区间上是否存在零点 （1）1)(3--=x x x f []2,1-∈x（2）x x x f -+=)2(log )(2 []3,1∈x应用2：若)(x f y =的最小值为2，则1)(-=x f y 的零点个数为______个应用3：若函数)0(12)(≠++=k k kx x f 在[]1,1-上存在一个零点，求k 的取值范围应用4：若函数m x m x x f 2)1(-)(2+-=在()1,0上有且只有一个零点，求m 的取值范围二、 数形结合、深化研究1、研究下列函数零点的个数 （1）32)(+-=-x e x f x（2）xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-+=213log )(22、单调性、奇偶性与零点（1）若奇函数)(x f 的定义域为R ，在()∞+，0上是单调递增函数，0)1(=f ，求)(x f 在()2,2-内的零点个数（2）求函数24)(x x x f -=的所有零点之和三、课后感悟1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.12、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D.(1,2) 3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C.()1x f x e =-D.)21ln()(-=x x f4．（10上海理）若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 . B ．⎪⎭⎫⎝⎛32,21 .C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 D ．⎪⎭⎫⎝⎛31,05．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ） A ．（0，1）. B ．（1，1.25）C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）6．（10天津理）函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 7．（10天津文）函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（ ）A ．[]2,4--B ．[]0,2-C ．[]2,0D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()xx f x -+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f 10．（07湖南文理）函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ） A.()41f x x =- B.()2(1)f x x =-C.()1x f x e =-D.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln x x f12．（09重庆理）已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。

二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。

b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。

②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。

探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。

②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。

你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。

（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。

3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数的零点对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 思考1：函数的零点是函数与x 轴的交点吗？[提示] 不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x 轴交点的横坐标．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 3．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．思考2：该定理具备哪些条件？[提示] 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a )·f (b )<0.1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )A B C DD [结合函数零点的定义可知选项D 没有零点．] 2．函数y ＝2x －1的零点是( ) A.12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．2 A [由2x －1＝0得x ＝12.]3．函数f (x )＝3x－4的零点所在区间为( ) A ．(0，1) B ．(－1，0) C ．(2，3)D ．(1，2)D [由f (－1)＝－113<0，f (0)＝－3<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (3)＝23>0，得f (x )的零点所在区间为(1，2)．]4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数有________个零点． 2 [由Δ＝b 2－4ac >0得二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点．]【例1】 (1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪－2＋ln x ，x >0的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点． [解] (1)当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点为－3和e 2.(2)由已知得f (3)＝0即3a －b ＝0，即b ＝3a . 故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)． 令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0， 解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13.函数零点的求法(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来．图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由． (1)f (x )＝x 2＋7x ＋6； (2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)；(3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.[解] (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0， 得x ＝－1或x ＝－6， 所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1，所以函数的零点是－1. (3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.【例2】 (1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－x的零点所在的大致区间是( ) A ．(3，4) B ．(2，e) C ．(1，2)D ．(0，1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程e x－x －3＝0的一个根所在区间是( )A ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)(1)C (2)C [(1)因为f (1)＝ln 2－21<0，f (2)＝ln 3－1>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选C.(2)构造函数f (x )＝e x－x －3，由上表可得f (－1)＝0.37－2＝－1.63<0，f (0)＝1－3＝－2<0，f (1)＝2.72－4＝－1.28<0， f (2)＝7.39－5＝2.39>0，f (3)＝20.08－6＝14.08>0， f (1)·f (2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1，2)，故选C.]判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．2．若函数f (x )＝x ＋a x(a ∈R )在区间(1，2)上有零点，则a 的值可能是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．3A [f (x )＝x ＋a x(a ∈R )的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a ＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0.故f (x )在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]1．方程f (x )＝a 的根的个数与函数y ＝f (x )及y ＝a 的图象交点个数什么关系？ 提示：相等．2．若函数g (x )＝f (x )－a 有零点，如何求实数a 的范围？ 提示：法一：g (x )＝f (x )－a 有零点可知方程f (x )－a ＝0有解，即a ＝f (x )有解．故a 的范围为y ＝f (x )的值域．法二：g (x )＝f (x )－a 有零点，等价于函数y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．【例3】 已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4思路点拨：构造函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)→画出f （x ）与g （x ）的图象 →观察图象得零点的个数B [函数y ＝a |x |－|log a x |(0<a <1)的零点的个数即方程a |x |＝|log a x |(0<a <1)的根的个数，也就是函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数．画出函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，观察可得函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数为2，从而函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为2.]1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.1．思考辨析(1)f(x)＝x2的零点是0. ( )(2)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( )(3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( )(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. ( )[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)B[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1，2)．]3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D ．方程f (x )＝0可能无实数解D [∵函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x )＝0在(－1，3)上可能无实数解．]4．已知函数f (x )＝x 2－x －2a . (1)若a ＝1，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －2. 令f (x )＝x 2－x －2＝0，得x ＝－1或x ＝2. 即函数f (x )的零点为－1和2.(2)要使f (x )有零点，则Δ＝1＋8a ≥0，解得a ≥－18，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞.。

必修一《3.1.1方程的根与函数的零点》教学案 学习目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.学习重点求函数的零点学习难点判断零点的个数教学设计自主学习预习课本第86到第87页，并完成导学预案自主预习内容合作探究探究1：函数零点与方程的根的关系① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点(zero point ).反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：(1)函数244y x x =-+的零点为 ； (2)函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究2：零点存在性定理① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；)()(b f a f • 0；在区间[,]b c 上 零点；)()(b f c f • 0；在区间[,]c d 上 零点；)()(d f c f • 0.新知：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有)()(b f a f •<0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.讨论：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？试结合图形来分析.精讲点拨例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.变式：求函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．达标检测[来源:学.科.网]1. 求下列函数的零点：(1)254y x x =--；(2)2(1)(31)y x x x =--+.2. 求函数23x y =-的零点所在的大致区间.课堂小结①零点概念；②零点、与x 轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理课后作业1. 求函数3222y x x x =--+的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.2.已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-.(1)m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；(2)若函数至少有一个零点在原点右侧，求m 值.。

3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标①明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系,学会结合函数图象性质判断方程根的个数及多种方法求方程的根和函数的零点;②通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律,在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界;③通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律,还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性,“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:求下列方程的根.(1)6x-1=0;(2)3x2+6x-1=0;(3)3x5+6x-1=0.(如何解,会解吗?)问题2:求下面方程的实数根.ln x+2x-6=0.问题3:怎么解一般方程f(x)=0?问题4:方程f(x)=0的根与函数y=f(x)之间有什么样的关系呢?二、学生探索,尝试解决活动1:请同学们先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数①方程x2-2x-3=0的解为,函数y=x2-2x-3的图象与x轴有个交点,坐标为.②方程x2-2x+1=0的解为,函数y=x2-2x+1的图象与x轴有个交点,坐标为.③方程x2-2x+3=0的解为,函数y=x2-2x+3的图象与x轴有个交点,坐标为.根据以上观察结果,可以得到:结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的.若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图象与x轴无交点.反思:函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?活动2:所有函数都存在零点吗?什么条件下才能确定零点的存在呢?三、信息交流,揭示规律零点存在定理:活动:出示这几个问题让学生思考,小组讨论:(1)这个定理前提有几个条件?(2)“有零点”是指有几个零点呢?只有一个吗?(3)再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢?(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗?四、运用规律,解决问题1.在下列哪个区间内,函数f (x)=x3+3x-5一定有零点( )A(-1,0) B.(0,1) C. (1,2) D.(2,3)2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值表:x 1 2 3 4 5 6 7f( x) 239-711-5-12-26那么该函数在区间[1,6]上的零点有( )A.只有3个B.至少有3个C.至多有3个D.无法确定五、变式演练,深化提高1.函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.42.若函数f(x)在[a,b]上连续,且有f(a)·f(b)>0.则函数f(x)在[a,b]上( )A.一定没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.零点情况不确定3.函数f(x)=e x-1+4x-4的零点所在区间为( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点.则f(x)的零点个数为.五、反思。

第2课时 方程的根与函数的零点复习 提出问题①已知函数f(x)=mx 2+mx+1没有零点，求实数m 的范围. ②证明函数f(x)=x 2+6x+10没有零点. ③已知函数f(x)=2mx 2-x+21m 有一个零点，求实数m 的范围. ④已知函数f(x)=2(m+1)x 2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m 的范围.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果：①因为Δ=m 2-4m<0或m=0,∴0≤m<4. ②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点. ③Δ=1-4m 2=0或m=0,∴m=21或m=21或m=0. ④Δ=16m 2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1. 导入新课 思路1.(情景导入)歌中唱到：再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义. 请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x 轴的？ 学生思考或讨论回答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0. 思路2.(直接导入)教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律. 推进新课 新知探究 提出问题①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点? ②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①在闭区间［a,b ］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”应用示例思路1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0，及函数单调性.解：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：由表和图3-1-1-15可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.图3-1-1-15 图3-1-1-16变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3,∴f(1)f(10)<0.∴函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.∵y=lgx为增函数，y=x-8是增函数，∴函数f(x)=lgx+x-8是增函数.∴函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性. 例2已知函数f(x)=3x +12+-x x , (1)判断函数零点的个数. (2)找出零点所在区间. 解：(1)设g(x)=3x ,h(x)=12+-x x , 作出它们的图象(图3-1-1-17)，两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数. 所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3x +12+-x x 有且仅有一个零点.图3-1-1-17(2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x ∈(0,1). 变式训练证明函数f(x)=2x +4x-4有且仅有一个零点. 证明:利用计算机作出x ，f(x)的对应值表：图3-1-1-18由表和图3-1-1-18可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数. 设x 1,x 2∈(-∞,+∞),且x 1<x 2，f(x1)-f(x2)=21x+4x1-4-(22x+4x2-4)=21x-22x+4(x1-x2)=22x(21x-x2-1)+4(x1-x2). ∵x1<x2，∴x1-x2<0,21x-x2-1<0,22x>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.则函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.思路2例1证明函数y=2|x|-2恰有两个零点.图3-1-1-19证明:如图3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2,∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.∴函数y=2|x|-2有两个零点.要证恰有两个零点,需证函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为单调的. ∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|-2可化为y=2x-1,下面证明f(x)=2x-1在(0，+∞)上为增函数.证明：设x1,x2为(0，+∞)上任意两实数，且0<x1<x2,∵f(x1)-f(x2)=21x-2-(22x-2)=21x-22x=22x(21x-x2-1),∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,21x-x2<1.∴22x>0,21x-x2-1<0.∴22x(21x-x2-1)<0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2).∴函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为增函数.同理可证函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为减函数. ∴函数y=2|x|-2恰有两个零点. 变式训练证明函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上恰有两个零点. 证明:∵f(31)=31,f(1)=-1,f(3)=31,∴f(31)f(1)<0,f(1)f(3)<0.∴函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上有两个零点.要证恰有两个零点, 需证函数f(x)=x+x 1-3在(0，1)上为单调的，函数f(x)=x+x1-3在(1，+∞)上为单调的. 证明：设x 1,x 2为(0，1)上的任意两实数，且x 1<x 2. ∵f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -3-(x 2+21x -3)=(x 1-x 2)+(11x 21x -) =(x 1-x 2)+2112x x x x -=(x 1-x 2)(21211x x x x -),∵0<x 1<x 2<1，∴x 1-x 2<0,2112x x x x -<0.∴(x 1-x 2)(21211x x x x -)>0.∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴函数f(x)=x+x 1-3在(0，1)上为减函数. 同理函数f(x)=x+x 1-3在(1，+∞)上为增函数.∴函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).图3-1-1-20点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n 个零点，先找出有n 个，再利用单调性证明仅有n个.例2已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 有三个零点，分别是0、1、2,如图3-1-1-21， 求证:b<0.图3-1-1-21活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示: 方法一：把零点代入，用a 、c 表示b. 方法二：用参数a 表示函数. 证法一：因为f(0)=f(1)=f(2)=0, 所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=3b -,c=32- b.所以f(x)=3b -x(x 2-3x+2)=3b-x(x-1)(x-2).当x<0时，f(x)<0，所以b<0.证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b<0. 变式训练函数y=ax 2-2bx 的一个零点为1，求函数y=bx 2-ax 的零点. 答案:函数y=bx 2-ax 的零点为0、2.点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题. (1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题. (2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化. 知能训练1.函数f(x)=lgx-2x 2+3的零点一定位于下列哪个区间?( ) A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)2.若函数f(x)=2mx+4在［-2,1］上存在零点，则实数m 的取值范围是( )A.［254］ B.(-∞,-2］∪［1,+∞) C.［-1,2］ D.(-2,1) 3.已知函数f(x)=－3x 5－6x ＋1,有如下对应值表：函数y ＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？ 答案:1.B 2.B 3.(0，1),因为f(0)·f(1)<0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握. 拓展提升方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？ 分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点. (2)通过证明函数的单调性,知f(x)=lnx+2x+3有一个零点x ∈(1,2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣. 课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数. (2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想. 作业课本P 88练习2.。