《1.2余弦定理》导学案2

1.1.2余弦定理（导学案）一、学习目标1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2、利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，二、本节重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.三、本节难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用四、知识储备1、回忆：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2、练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3、思考：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？五、通过预习掌握的知识点余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？六、知识运用1在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为2在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为3在△ABC 中，BC =3，AB =2，且)16(52sin sin +=B C ，A = 七、重点概念总结余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边 判断三角形的类型.由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC。

1.1.2 余弦定理【学习目标】1. 会利用数量积证明余弦定理，体会向量工具在解决三角形的角度问题是的作用；（难点）2. 会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，会运用余弦定理解决三角形的基本问题；（重点）3. 会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。

【研讨互动 问题生成】1. 余弦定理定义；2. 余弦定理适用于哪几种情况；3. 余弦定理的推论；【合作探究 问题解决】1.在三角形ABC 中，一直下列条件，解三角形。

（1） a=6,b=7,c=8（2） a=7,b=9,c=132.在三角形ABC 中，一直下列条件，解三角形。

(1)b=10,c=15,A= 60o（2）a=5.b=7.C= 75o【点睛师例 巩固提高】1. 利用余弦定理说明ABC △的内角C 为锐角、直角、钝角的充要条件分别为222a b c +>、222a b c +=、222a b c +<．2.在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c 若2b =ac 且c=2a,求cos B【要点归纳 反思总结】1. 已知三边求解三角形或已知两边及其夹角求解三角形时，使用余弦定理。

2. A 为锐角⇔ cos A = 2222bc bc a +-＞0⇔222b c a +-＞0 A 为钝角⇔ cos A =2222bc b c a +-＜0⇔222b c a +-＜0 3. 在解三角形时，往往是正弦定理和余弦定理交替使用。

4. 余弦定理求角时，角的值是唯一的，这样可以避免产生增解。

5. 已知三角形的两边两边的夹角，在解三角形时，要注意用余弦定理求第三边，进而解出三角形。

【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:学科长评价: 学术助理评价:【课后训练】1．△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2.已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于 ( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶2 3.在ABC V 中，60B =o ，2b ac =，则ABC V 一定是 （ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形4．若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（ ）A 、能组成直角三角形B 、能组成锐角三角形C 、能组成钝角三角形D 、不能组成三角形5．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）A ．12B ．221 C ．28 D ．36 6．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ）A ．090B ．060C ．0120D ．01507．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81- 8．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程06752=--x x的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D.9．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 10．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca b c b a +++＝________． 12．在ABC △中，A 最大，C 最小，且2A C =，2a c b +=，求此三角形三边之比．13． 若23x ，，为三边组成一个锐角三角形，求x 的范围1.2.1 应用举例班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批：【学习目标】1. 会熟练地应用正、余弦定理解任意三角形，能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

高中数学备课精选 1.1.2《余弦定理》学案2
新人教B版必修
1、1、2余弦定理（第二课时）
【学习目标】
1、熟练掌握余弦定理的两种表示形式；
2、会灵活运用余弦定理解决两类基本的三角形问题；
【复习回顾】
1、余弦定理：（求边）（1）（2） " 错题备忘录：本节课重、难点及做错题目备忘：（3）
2、余弦定理的变形：（求角）（1）（2） " 错题备忘录：本节课重、难点及做错题目备忘：（3）
【典例探究】
例1：在中，已知，求角
A、变式练习：在中，已知求角
B、例2：在中，已知，求cos A:cos B:cos
C、变式练习：在△ABC中，已知，则
【课堂检测】
1、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是：
A、直角三角形
B、等边三角形
C、等腰三角形
D、等腰直角三角形
2、。

、
【小试高考】
1、（xx上海文数）
18、若△的三个内角满足，则△（）（A）一定是锐角三角形、（B）一定是直角三角形、（C）一定是钝角三角形、 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形、2、（xx天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=
3、（xx全国卷Ⅰ理）在中，内角
A、
B、C的对边长分别为、、，已知，且求b
【布置作业】
【反思总结】。

1.1.2余弦定理（二） 教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

[复习引入] 余弦定理及基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C=+-②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A思考。

解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知下列条件解三角形（1） 30=A ，10=a ，20=b （2） 30=A ，10=a ，6=b （3）30=A ，10=a ，15=b （4） 120=A ，10=a ，5=b （5） 120=A ，10=a ，15=b[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

1.1.2.2 正、余弦定理—解三角形【学习目标】1. 进一步熟悉正、余弦定理及其推论；2.进一步了解正、余弦定理及其推论的适用范围；3. 能根据所给元素，正确选择定理或推论并解三角形和判断三角形的形状.【重、难点】重点：正、余弦定理或其推论的灵活应用.难点：解三角形时正确选择正、余弦定理或其推论【知识链接】利用正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？余弦定理呢？答：正弦定理求解“两角任一边”和“两边一对角”两种题型；余弦定理求解“三边都已知”和“两边一夹角”两种题型.【典例突破】典例突破（一）正、余弦定理解三角形例1. 已知△ABC中，a=√3，b=√2，B=45°，请分别用正弦定理和余弦定理解此三角形. 【解析】方法1）正弦定理求解由正弦定理得sinA=asinBb =√3sin45°√2=√32∵a=√3>√2=b∴A>B=45°∴A=60°或A=120°当A=60°时，C=75°，c=asinCsinA =√3×√6+√24√32=√6+√22；当A=120°时，C=15°，c=asinCsinA =√3×√6−√24√32=√6−√22.∴该三角形的解为A=60°，C=75°，c=√6+√22或A=120°，C=15°，c=√6−√22方法2）余弦定理求解由余弦定理知 b2=a2+c2−2accosB，即√22=√32+c2−2√3×√22c，即c2−√6c+1=0，解得c=√6+√22或c=√6−√22.当c=√6+√22时，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=2+(√6+√22)2−32×√2×√6+√22=12∵0°<A<180°∴A=60°∴C=75°同理，当c=√6−√22时，得A=120°，C=15°∴该三角形的解为A=60°，C=75°，c=√6+√22或A=120°，C=15°，c=√6−√22变式1. 在△ABC中，已知c=√6+√2，b=2√3，C=75°，解此三角形.【解析】方法1）由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC得(√6+√2)2=a2+(2√3)2−2a×2√3×cos75°整理得a2−(3√2−√6)a+4−4√3=0，解得a=2√2或a=√2−√6（舍）∴由余弦定理的推论得cosB=a 2+c2−b22ac=√6+√2)22×2√2(√6+√2)=12又0°<B<180°∴B=60°∴A=180°−75°−60°=45°∴该三角形的解为a=2√2，A=45°，B=60°.方法2）由正弦定理得sinB=bsinCc =√3×sin75°√6 + √2=√32又0°<B<180°，且由b<c得B<C=75°∴B=60°∴A=180°−75°−60°=45°，a=bsinAsinB =2√3sin45°sin60°=2√2∴该三角形的解为a=2√2，A=45°，B=60°.【解题反思】“两边一对角”型的解三角形问题，即可以用正弦定理，也可以用余弦定理，两种方法各有什么利弊？答：用正弦定理解题，是先求两角，再求第三边，计算简单，但需验证解的合理性；用正弦定理解题，是先求第三边，再求两角，计算复杂，但无需验证.典例突破（二）判断三角形形状例2．在∆ABC中，已知(a+b+c)(b+c−a)=3bc，sinA=2sinBcosC，试判断∆ABC的形状．【解析】方法1）由(a+b+c)(b+c−a)=3bc得(b+c)2−a2=bc，即b2+c2−a2=bc∴ cosA=b 2+c2−a22bc=12又0°<A<180°∴A=60°由sinA=2sinBcosC及A=π−(B+C)得sin(B+C)=2sinBcosC，即sin BcosC+ cosBsinC=2sinBcosC，即sin （B−C）=0.又−120°<B−C<120°∴B−C=0,即B=C∴∆ABC是等边三角形.方法2）由(a+b+c)(b+c−a)=3bc得(b+c)2−a2=bc，即b+c2−a2=bc∴ cosA=b2+c2−a22bc =12又0°<A<180°∴A=60°又由sinA=2sinBcosC及正弦定理得a=2b×a 2+b2−c22ab,即b2=c2，即b=c∴∆ABC是等边三角形【解题反思】解三角形问题中，常涉及边角混合式，请问解决这类为题的一般思路是什么？答：一般的解题思路是利用正余弦定理，进行边角互化，最终要么统一边，要么统一角. 一般来说，当等式是关于“边”或“角的正弦”的齐次式时，利用正弦定理；等式中含有“角的余弦”或“边的乘积”时，考虑用余弦定理.变式2.(1) 在∆ABC中，已知角A，B的对边分别为a,b，且满足条件acosB =bcosA，试判断∆ABC的形状.(2)在△ABC中，已知bcosB+ccosC=acosA，试判断∆ABC的形状．【解析】(1) 方法1）由acosB =bcosA及正弦定理，得sinAcosB=sin BcosA，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B又0<2A<2π，0<2B<2π∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2∴∆ABC为等腰三角形或直角三角形方法2）由acosB =bcosA及余弦定理的推论，得aa2+c2−b22ac=bb2+c2−a22bc，化简整理得a4−b4−a2c2+b2c2=0，即(a2−b2)(a2+b2−c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴∆ABC为等腰三角形或直角三角形(2) 由bcosB+ccosC=acosA及余弦定理得b∙a2+c2−b22ac +c∙a2+b2−c22ab=a∙b2+c2−a22bc，整理得b2(a2+c2−b2)+c2(a2+b2−c2)=a2(b2+c2−a2)，即(b2−c2)2=a4，解得b2−c2=a2或b2−c2=−a2，即b2=a2+c2或c2=a2+b2.∴∆ABC是直角三角形典例突破（三）三角形的边角比例3．设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b=20acosA，则sinA:sinB:sinC为（）A．4:3:2B．5:6:7C．5:4:3D．6:5:4【解析】由题意可设a=b+1，c=b−1，则由3b=20acosA和余弦定理得3b= 20(b+1)∙b2+(b−1)2−(b+1)22b(b−1)，整理得7b2−27b−40=0，解得b=5，所以a=6，c=4，所以sinA:sinB:sinC=6：5：4，故选D.【解题反思】（1）要由边的比得到正弦值的比需用哪个定理？（2）要由边的比得到角的比需用哪个定理？答：（1）正弦定理；（2）余弦定理.变式3. 在∆ABC 中，a ︰b ︰c =1︰√3︰2，A ︰B ︰C 等于（ ） A ．1︰2︰3 B ．2︰3︰1 C ．1︰3︰2 D ．3︰1︰2【解析】由a ︰b ︰c =1︰√3︰2及正弦定理易得∆ABC 是直角三角形，再由勾股定理易得 A =30°，B =60°，C =90°，故选A ． 题型四. 正、余弦定理与三角公式的综合应用 例4. 在∆ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1) 求cos A 的值； (2) 求c 的值．【解析】(1) ∵ a ＝3，b ＝26，B ＝2A ， ∴ 在△ABC 中，由正弦定理，得3sinA=2√6sin2A， ∴2sinAcosA sinA=2√63，即cosA =√63.(2) 方法1）由余弦定理 a 2=b 2+c 2−2bccosA 得 9=24+c 2−4√6c ×√63， 即 c 2−8c +15=0，解c =3 或 c =5若 c =3，则a =c ，得A =C ，又B ＝2A ，A +B +C = 180°解得A =C =45°，B =90°，则 b =√2a ，这与a ＝3，b ＝26矛盾 ∴ c =3 不符合，舍去 ∴ c =5 方法2） (1)知cosA =√63∴ sinA =√1−cos 2A =√33又 B ＝2A ∴ cos B ＝2cos 2A －1＝13∴sinB =√1−cos 2B =2√23∴ 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5√39. ∴ c =asinC sinA.变式4. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cosB =79. (1) 求a 、c 的值； (2) 求sin(A －B )的值．【解析】(1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2) △ABC 中 ∵ cosB =79 ∴ sinB =√1−cos 2B =4√29由正弦定理，得sinA=asinBb =2√23∵a＝c∴A为锐角∴cosA=√1−sin2A=13∴sin(A－B)＝sin A cos B－cos A sin B＝10√227.。

§1.1.2 余弦定理 班级 姓名 学号 学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45，C =30，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC •=同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ，．[理解定理]c a b B C（1）若C=90︒，则cos C=，这时222c a b=+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC中，a=2c=，150B=，求b．（2）△ABC中，2a=，b=，1c=，求A．※典型例题例1. 在△ABC中，已知a=b=，45B=，求,A C和c．变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，c，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC中，若222=++，求角A．a b c bc三、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．1. 已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. B. C. D.2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A x<B x＜5C．2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222+-=，则∠C等于．b ac ab1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC的值.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

1.1.2 余弦定理导学案命题人：邵玉春 2010.8.19一、重点：余弦定理的推导及应用二、预习教材学与思1．余弦定理（1）语言叙述三角形中任何一边的平方等于减去的积的 .（2）公式表达；；.（3）推论；；.2．余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形.自测5分钟1．在中，，则这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2. 在中，已知，则（）A. B. C. D.或3．在中，，则的最大角是（）A. B. C. D.4．在中，如果，那么等于（）A.6B.C.D.探究点一：已知两边及一角解三角形（1）若已知角是两边的夹角，直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解。

（2）若已知角是其中一边的对角，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边，另一种方法用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解。

例1、中，已知，求角，角和边.探究点二：已知三边（三边关系）解三角形已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据三边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解.例2、在中，已知，求最大角和探究点三：判断三角形的形状判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论.在两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.例3、在中，已知，且，判断的形状.〖课堂笔记〗知能提升1．在中，，则这个三角形是（）A.不等边三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形2．若三角形三边长之比是，则其所对角之比是（）A. B. C. D.3．的三边长分别为，则的值为（）A.19B.14C.－18D.－194．在中，已知是方程的两根，，则边 .5．在中，若，则最大角的余弦值为 .6．（2007·湖南）在中，角、、所对的边分别为、、，若，则 . 7．在中，已知，判断的形状.链接高考9．（2009·全国Ⅰ）在中，内角、、的对边长分别为、、.已知，且求. 10．（2009·天津）在中，（1）求AB的值；（2）求的值.。

高中数学《1.1.2余弦定理》学案新人教A版必修1、1、2余弦定理编者：校审：组长：一、[学习关键词]1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理、2、能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题、二、[课前自主梳理]如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C()、利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？解三、[课堂合作研习]例1 （1）中，已知，求边、（2）已知中，，求最大角和、例2 在中，,,分别是角的对边，已知，且，求的大小及的值。

例3 在中，若，试判断三角形的形状、[巩固练习]1、在中，，则角为（）A、60B、45或135C、120D、302、在中，的对边分别为a，b，c，若>0，则（）A、一定是锐角三角形B、一定是直角三角形C、一定是钝角三角形D、是锐角或直角三角形3、在中，，则的最小角为（）A、B、C、D、4、在△ABC中，，则三角形的面积等于、5、已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是、6、如图所示，在中，AB=5，AC=3，D为BC的中点，且AD=4，求BC边的长、1、1、2余弦定理[强化训练]1、在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于()A、1B、C、2D、42、在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A、B、C、D、3、在△ABC中，若(a2＋c2－b2)＝ac，则角B的值为( )A、B、C、或D、或4、在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为()A、正三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰三角形5、如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD、已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min、若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为()A、50 mB、45 mC、50mD、47 m6、三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________、7、在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120，求三边的长、8、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1、(1)求角C的度数；(2)求AB的长；9、如图，已知圆内接四边形ABCD的各边长分别为AB＝2，BC ＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积、1、1、2余弦定理[强化训练答案]1、答案C解析bcos C＋ccos B＝b＋c＝＝a＝2、2、答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cos B＝＝＝、3、答案 D 解析由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得＝，即cos B＝，∴sin B＝，又B为△ABC的内角，所以B为或、4、答案B解析∵sin2＝＝，∴cos A＝＝，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形、5、答案C解析依题意得OD＝100 m，CD＝150 m，连接OC，易知∠ODC＝180－∠AOB＝60，因此由余弦定理有：OC2＝OD2＋CD2－2ODCDcos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2100150，解得OC＝50(m)、6、答案120解析易知：>a，>b，设最大角为θ，则cos θ＝＝－，又0<θ<180，∴θ＝120、7、解由得∴a>b>c，∴a2＝b2＋c2－2bccos120，即(b ＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)(－)，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10，此时a＝14，c＝6、8、解(1)∵cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝、(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos120＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB ＝、9、解连接AC、∵B＋D＝180，∴sin B＝sin D，cos D＝－cosB、∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ABBCsin B＋ADDCsin D＝14sinB、由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B＝AD2＋DC2－2ADDCcos D，∴56cos B＝8，cos B＝、∵0<B<180，∴sin B＝＝、∴S四边形ABCD＝14sin B＝8、。

余弦定理导学案高二年级数学组知能目标解读通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.了解余弦定理的几种变形公式及形式.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题.重点难点点拨重点：余弦定理的证明及其应用.难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理.学习方法指导余弦定理：在△ABc中，∠A，∠B，∠c的对边分别为a，b，c，那么有如下结论：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具.注意：在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一.余弦定理也为求三角形的有关量提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.cosA=，cosB=，cosc=.由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例.教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明.证明：方法1：如图所示，以A为原点，△ABc的边AB 所在直线为x轴，建立直角坐标系.则A,c,B,由两点间的距离公式得Bc2=2+2,即a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.方法2：如图.当△ABc为锐角三角形时，过c作cD⊥AB 于D，则cD=bsinA,AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.在Rt△BcD中，Bc2=cD2+BD2,即a2=b2sin2A+2.所以a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.如图，当△ABc为钝角三角形时，过c作cD垂直于AB 的延长线，垂足为D，则AD=bcosA,cD=bsinA.BD=AD-AB=bcosA-c.在Rt△BcD中,Bc2=cD2+BD2,即a2=b2sin2A+2.所以a2=b2+c2-2bccosA.同理可证：b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.余弦定理主要适用以下两种题型:已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.知能自主梳理余弦定理三角形任何一边的平方等于减去的积的公式表达:a2=;b2=;c2=变形:cosA=;cosB=;cosc=应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其解三角形，另一类是已知解三角形.［答案］ 1.其他两边的平方和这两边与它们夹角的余弦两倍b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosc夹角思路方法技巧命题方向已知三边解三角形［例1］在△ABc中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinc.［分析］在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大.［解析］∵a＞c＞b,∴A为最大角,由余弦定理得，cosA==又∵0°＜A＜180°,A=120°，∴sinA=sin120°=.sinc===.∴最大角A为120°，sinc=.［说明］求sinccosc===，∴c为锐角.sinc==＝.在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理. 变式应用1在△ABc中，已知：：=4：5：6，求△ABc的最大内角.［解析］设b+c=4,c+a=5,a+b=6.则a+b+c=7.5,解得a=3.5,b=2.5,c=1.5.∴a是最大边，即角A是△ABc的最大角.由余弦定理，得cosA==-,∵0°＜A＜180°,∴A=120°，即最大角为120°.命题方向已知两边及一角解三角形［例2］△ABc中，已知b=3,c=3,∠B=30°,解三角形.［分析］①已知两边和其中一边的对角.②求另外的两角和另一边.解答本题可先由正弦定理求出角c,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a,再由正弦定理求角A，角c.［解析］解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+2-2a×3×cos30°,∴a2-9a+18=0,得a=3或6.当a=3时，∠A=30°,∠c=120°.当a=6时，由正弦定理sinA===1.∴∠A=90°,∴∠c=60°.解法二：由bcsin30°=3×=知本题有两解.由正弦定理sinc===,∴∠c=60°或120当∠c=60°时，∠A=90°,由勾股定理a===6.当∠c=120°时，∠A=30°，△ABc∴a=3.［说明］利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.直接用正弦定理，先求角再求边.用方法时要注意解的情况，用方法就避免了取舍解的麻烦.变式应用2在△ABc中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠c的对边，且cosA=,若a=4,b+c=6,且bb>c,∴最大角为A.sinA=，若A为锐角，则A=60 c ∴cosA=-,设c=x,则b=x+2,a=x+4.∴=-，∴x=3，故三边长为3，5，7.在△ABc中，已知b2-bc-2c2=0,且a=,cosA=,求△ABc 的面积.［解析］∵b2-bc-2c2=0,∴2--2=0,解得=2,即b=2c.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=6,与b=2c联立解得b=4,c=2.∵cosA=,∴sinA==,∴S△ABc=bcsinA=.课后强化作业在△ABc中，b=5,c=5,A=30°,则aA.5B.4c.3D.10［答案］ A［解析］由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2,∴2×5×5×cos30°＝52＋2-a2,∴a2=25,∴a=5.在△ABc中，已知a2=b2+c2+bc,则角AA.B.c.D.或［答案］ c［解析］∵a2=b2+c2+bc,∴cosA===,又∵0<A<π,∴A=.在△ABc中，若a=+1,b=-1,c=,则△ABc的最大角的度数A.60°B.90°c.120°D.150°［答案］c［解析］显然＞+1＞-1,∴cosc==-＝－,∴c=120°.△ABc的三内角A、B、c所对边长分别为a，b，c,设向量p=,q=.若p∥q,则∠cA.B.c.D.π［答案］B［解析］∵p=,q=且p∥q，∴-b=0即a2+b2-c2=ab,∴cosc===.∴c=.在△ABc中，已知2a2=c2+2,则∠AA.30°B.45°c.120°D.135°［答案］ D［解析］由已知得2a2=c2+2b2+c2+2bc,∴a2=b2+c2+bc,∴b2+c2-a2＝-bc,又b2+c2-a2=2bccosA,∴2bccosA=-bc,∴cosA=-,∴A=135°.若△ABc的内角A、B、c所对的边a、b、c满足2-c2=4，且c=60°，则abA.B.8-4c.1D.［答案］A［解析］本题主要考查余弦定理的应用.在△ABc中，c=60°,∴a2+b2-c2=2abcosc=ab,∴2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4,∴ab=,选A.在△ABc中，三边长AB=7,Bc=5,Ac=6,A.19B.-14c.-18D.-19［答案］ D［解析］在△ABc中AB=7,Bc=5,Ac=6,则cosB==.又•=｜｜•｜｜cos=-｜｜•｜｜cosB＝－7×5×=-19.在△ABc中，若△ABc的面积S=，则∠cA.B.c.D.［答案］ A［解析］由S=,得absinc=×2abcosc,∴tanc=1,∴c=.在△ABc中，b=,c=2,A=45°,那么a的长为［答案］［解析］由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcosA=+8-2××2×=+8-==,所以a=.0.在△ABc中，AB=3,Bc=,Ac=4,则边Ac上的高为［答案］［解析］如图，cosA=＝，∴sinA=..BD=AB•sinA=.1.在△ABc中，已知Bc=8,Ac=5,三角形面积为12，则cos2c=.［答案］［解析］由题意得S△ABc=Ac•Bcsinc=12,即×5×8×sinc=12,则sinc=.∴cos2c=1-2sin2c=1-2×2=.在△ABc中，B=60°,b2=ac,则三角形的形状为［答案］［解析］由余弦定理得b2=a2+c2-ac,∵b2=ac,∴a2+c2-2ac=0,∴2=0,∴a=c.又∵B=60°,∴A=c=60°.故△ABc为等边三角形.3.在△ABc中，A+c=2B,a+c=8,ac=15,求b.［解析］解法一：在△ABc中，由A+c=2B，A+B+c=180°，知B=60°.由a+c=8,ac=15,则a、c是方程x2-8x+15=0的两根.解得a=5,c=3或a=3,c=5.由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+25-2×3×5×＝19.∴b=.解法二：在△ABc中，∵A+c=2B,A+B+c=180∴B=60°.由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15×＝19.∴b＝.△ABc的内角A、B、c的对边分别为a、b、c，asinA+csinc-asinc=bsinB.求B若A=75°,b=2,求a,c.［分析］利用三角形正弦定理，将已知条件asinA+csinc-asinc=bsinB中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a，c的值.［解析］∵asinA+csinc-asinc=bsinB∴a2+c2-ac=b2∴a2+c2-b2=ac∴cosB===∴B=45由得B=45∴c=180°-A-B=180°-75°-45°=60由正弦定理==∴a====c=.［点评］本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.在△ABc中，A=120°,b=3,c=5.求sinBsinc;求sinB+sinc.［分析］已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边a,再由正弦定理求出sinB,sinc.［解析］∵b=3,c=5,A=120°,∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×=49.∴取正值a=7.由正弦定理，得sinB==,sinc=∴sinB•sinc=.由可得sinB+sinc=.已知三角形的一个角为60°,面积为10c2，周长为20c，求此三角形各边长.［解析］设三角形的三条边长分别为a,b,c,B=60°,a+b+c=20cos60°=acsin60°=10,a+b+c=20,∴b2=a2+c2-acac=40.③由①式，得b2=［20-］2=400+a2+c2+2ac-40.将②代入④，得400+3ac-40=0,再将③代入④，得a+c=13.a+c=13a=5a=8,得,或ac=40c=8c=5.∴b=7.∴该三角形的三边长为5c,7c,8c.。

1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝a b，则∠C的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c＝________.答案19解析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin Asin C·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· = 23，求a+c 的值.解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。