八年级数学下册第一章三角形的证明1.1.2等腰三角形预习学案新版北师大版

一、提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。

二、等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？三、顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。

二、1、定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半3、课堂练习：考点一：等腰三角形【例题】1．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°3．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2014秋•西城区校级期中）已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，求证：BE=CF．5．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．6．（2015•应城市二模）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．7．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM ⊥BE ，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BM=EM ．8．（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，判断BE 与CD 的大小关系为：BE_____CD ．（不需说明理由）（2）如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外作等腰△ABD 和等腰△ACE ，且顶角∠BAD ＝∠CAE ，连接BE 、CD ，BE 与CD 有什么数量关系？请说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B 、E 的距离．已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长．9．如图，在ABC △中，AC =AB ，120=B AC ∠°，B E =A E ，D 为EC 中点．C D E B A（1）求CAE ∠的度数；（2）求证：A DE △是等边三角形【习题】1．（1）如图，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．求证：AD=BE ．（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE=AE；②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．2．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由．（2）若AO=12，求OE的长．3．（2014秋•嘉鱼县校级月考）如图所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形．4（2014秋•衡阳县校级月考）已知：如图所示，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=EC，求证：△ABC是等腰三角形．5．（2013秋•滨湖区校级期中）把一张对边平行的纸条，如图所示折叠，重合部分是什么形状？说明理由．6．（2012•温州模拟）在下列四个条件中：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．请选出两个作为条件，得出△AED是等腰三角形（写出一个即可），并加以证明．已知：；求证：△AED是等腰三角形．7．（2012秋•文登市校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点，CP=CD．求证：△DBP是等腰三角形．8．（2011秋•西城区校级期中）如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD 延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．9．（2010春•福安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．10．（2009春•东山县校级期末）△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．①请你写出图中所有的等腰三角形；②若BC=10，求AB+AE的长．11．（2015春•龙口市期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．考点二：直角三角形【例题】1．（2007春•南阳期末）如图：△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．2．（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．3．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．4．（2014•南岗区模拟）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE中点，连接MD，若BD=2，CD=1．则MD的长为．5．（2015春•白城校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC的面积．6．（2015秋•岳池县期中）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长．【习题】1．（2010•大连校级自主招生）在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．2．（2007•包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为．3．（2015春•秦淮区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．4．（2015秋•武威校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．5．（2015秋•周口校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C′，若∠C′EB=40°，求∠EDC′的度数．6．如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．7．（2015秋•威海期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，求BE的长．8．（2013秋•龙口市期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，若AD=6cm，求DC 的长．9．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．10．（2015秋•建湖县期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是BD、AC的中点（1）求证：MN⊥AC；（2）若∠ADC=120°，求∠1的度数．11．（2015秋•东台市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MN⊥BD．12．（2015秋•绍兴校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）若∠EMD=40°，求∠DAC的度数．13．（2014秋•无锡校级期末）已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．14．（2014秋•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．11。

1.1 等腰三角形第一课时一、课前准备：1、有 的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做 ，腰与底边的夹角叫做 ； 的三角形是等边三角形。

2、公理、定理、证明公理：公认的 称为公理。

定理：经过证明的 称为定理。

证明： 的过程称为证明。

3、证明的一般步骤是：根据题意 ；根据条件、结论，结合图形 ；经过分析，找出由已知推出求证的途径， 。

对假命题的判断，只要举 来证明即可。

二、学习目标：1、了解作为证明基础的几条公理、定理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、掌握等腰三角形的性质。

3、结合实例体会反正法的含义。

三、自学提示： 1、你知道吗？全等三角形的判定及性质（见课本P2想一想） 2、你发现了吗？ （1）把探究1中剪出的△ABC 沿折痕AD 对折，根据得到的信息，填入右表：（2）从上表中你能发现等腰三角形的角有什么样的特点吗？底边上的中线，高线，顶角平分线有什么样的特点吗？ （3）你能证明你所得到的结论吗？求证：等腰三角形的两个底角相等。

已知： ΔABC 中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.证明：.等腰三角形的性质：性质1 等腰三角形的两个底角 （简写成“ ” ）；性质2 等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 相互 。

【我是小翻译】请将等腰三角形性质（文字语言）“翻译”成图形和符号语言。

B五、夯实基础：1.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.2.等腰三角形的顶角为100°，它的底角为______.3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________.5.在△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2=55°，则BD=5，CD=____。

6.在△ABC 中，AB=AC ，BM=CM ，∠BAM=35°，则∠CAM=_____°，∠AMB=_____°。

课题等腰三角形的判定与反证法【学习目标】1．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．2．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．【学习重点】等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．【学习难点】反证法的证明方法．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．方法指导：1．等腰三角形的判定方法有两种：①根据定义判定；②等角对等边．2．“等角对等边”可以将图形中角的等量关系转化为线段的等量关系，是证明线段相等的一种重要方法．情景导入生成问题旧知回顾：1．等腰三角形性质定理内容是什么？等腰三角形两底角相等．2．我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两角所对的边也相等吗？答：还成立．如图，△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.证明：作AD⊥BC于D，由∠ADB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC.自学互研生成能力知识模块一等腰三角形的判定【自主探究】阅读教材P8的内容，回答下列问题：等腰三角形的判定定理内容是什么？答：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．范例：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于点F.求证：AD＝AF.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠2＋∠B＝∠F＋∠C＝90°，∴∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F，∴AF＝AD(等角对等边)．仿例1：如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．证明：∵AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS)，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB(等角对等边)，∵OE是中线，∴OE⊥AB.仿例2：如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE 的周长是5 cm.归纳：注意等角对等边的灵活应用，仿例2中平行线和角平分线结合是得出等腰三角形的范例．学习笔记：行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：教会学生整理反思．知识模块二反证法阅读教材P8－9的内容，回答下列问题：什么是反证法？有哪些重要步骤？答：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．【合作探究】1．用反证法证明“等腰三角形的底角都是锐角”．已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B、∠C都是锐角．证明：假设∠B、∠C都是直角或钝角，∴∠B≥90°，∠C≥90°，∴∠B＋∠C≥90°＋90°＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，∴假设不成立，原命题的结论正确，即∠B、∠C都是锐角．2．用反证法证明一个三角形中不能有两个直角的第一步是假设这个三角形中有两个角是直角．3．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．归纳：对直接证明有困难的命题均可用反证法证明，它有三个基本步骤：①反设；②推出矛盾；③否定反设、肯定命题成立．交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一等腰三角形的判定知识模块二反证法检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

1.1 等腰三角形主要师生活动一、创设情境，导入新知图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?师生活动：教师播放课件，学生独立思考回答问题.问题 1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8 条基本事实？1.两点确定一条直线.2. 两点之间线段最短.3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4. 同位角相等，两直线平行.5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8. 三边分别相等的两个三角形全等.二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：全等三角形的判定和性质定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？师生活动: 教学时应鼓励学生独立完成. 教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，∠D +∠E +∠F = 180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，∴∠C =∠F (等量代换).∵BC = EF (已知)，∴△ABC≌△DEF (ASA).根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.设计意图：学生在七年级下册已经探索并认识了判定三角形全等的“角角边”定理，这里意在让学生根据基本事实证明这一定理.设计意图：七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它，因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用.知识点二：等腰三角形的性质及其推论问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?定理：等腰三角形的两个底角相等.推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一).问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？已知：如图，在△ABC中，AB = AC.求证：∠B = ∠C.方法一：作底边上的中线证明：如图，取BC的中点D，连接AD.∵AB = AC，BD = CD，AD = AD∴△ABD≌△ACD (SSS).∴∠B =∠C(全等三角形的对应角相等).师：还有其他的证法吗？方法二：作顶角的平分线证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD =∠CAD.∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，∴△BAD≌△CAD (SAS).∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).师生活动:教学时教师要注意引导学生根据条件正确、规范地写出“已知”“求证”，有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能设计意图：这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路，学生一般可以由折纸确定辅助线的位置，但对于作辅助线的规范叙述仍需教师帮助.设计意图：教学中，应鼓励学生寻求其他证明方法，实际上，除作底边中线外，还可以通过作顶角平分线的方法证明结论，此时证明的依据是基本事实SAS. 这两种证明方法都是受折纸的启发(轴对称)，通过作辅助线将图形分成两部分，再证明这两部分全等，教师可以引导学生分析这两种证明方法的共性，加深对等腰三角形性质的认识.教学时，可能会有学生通过作底边上的高并利用勾股定理来证明这一定理，对此，教师一方面要保护学生的学习积极性，另一方面也要引导学生认识力，关注证明过程及其表达的合理性.想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么论？由△BAD≌△CAD，可得BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.又∵∠ADB +∠ADC = 180°，∴∠ADB =∠ADC = 90°，即AD⊥BC.故AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高.师生活动: 让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论.定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).几何语言：如图，在△ABC中，∵AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角).推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合(三线合一）.练一练1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，则∠AED的度数为( )A.60°B.90°C. 80°D. 20°到：我们虽然在以前探索并认识了勾股定理，但尚未用基本事实证明过，所以从逻辑上来说，勾股定理不能作为这里证明的依据.设计意图：这一结论通常简述为“三线合一”, 即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高) 之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.设计意图：综合运用全等三角形和等腰三角形的相关知识解决问题,加深学生印象，考察学生对于知识的掌握情况.三、当堂练习，巩固所学师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导.典例精析例1 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1) 如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2) 如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.证明：(1) 如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG.∴BG－DG＝CG－EG，即BD＝CE.(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.三、当堂练习，巩固所学1. 如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使∠ABC∠∠AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．2. (1) 等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为__________；(2) 等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为设计意图：在定理证明的基础上进行难度更高的推论证明，巩固学生知识的运用，并培养学生发散思维，提高学生解题技巧.设计意图:考查对全等三角形判定的掌握.设计意图:结论：在等腰三教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).全等三角形的对应边相等，对应角相等.。

1.1等腰三角形课题 1.1等腰三角形（4）授课时间年月日教学目标知识与技能：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

过程与方法经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．情感与价值：在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立信心.教学重点①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.教学难点含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.教学准备多媒体课件教学方法讲解和小组讨论教学过程备注第一环节：提问问题，引入新课教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。

第二环节：自主探索学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。

对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

第三环节：实际操作提出问题活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。

拿出三角板，做一做：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．第四环节：变式训练巩固新知活动1：直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?如果是，请你证明它．活动2 ：呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。

第一章三角形的证明等边三角形的判定1．知识目标理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

2．能力目标①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。

3．情感与价值观要求①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.4．教学难点①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.②引导学生全面、周到地思考问题.二、教学过程学具准备：两个带30度角的三角板。

本节课设计了六个教学环节：第一环节：提问问题，引入新课；第二环节：自主探索；第三环节：实际操作提出问题；第四环节：变式训练巩固新知；第五环节：畅谈收获课时小结；第六环节：布置作业。

第一环节：提问问题，引入新课活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？从而引入新课。

一个三角形满足什么条件时便成为等边三角形?你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．(教师应给学生自主探索、思考的时间，然后让其展示)第二环节：自主探索活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件。

对于等腰三角形中有一个角为60度的两种情况，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

1.1等腰三角形课题 1.1等腰三角形（1）授课时间年月日教学目标知识与技能：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；；过程与方法：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力情感与价值：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系教学重点探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；教学难点明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

教学准备多媒体课件教学方法数形结合、动手操作、互助探究教学过程备注复习引入：1.三角形全等的判定：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）三边对应相等的两个三角形全等. （SSS）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.等腰三角形的性质等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两腰相等等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).4.等腰三角形是轴对称图形新课讲解：1、证明：等边对等角已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.求证：∠B=∠C.证明：取BC的中点D, 连接AD.在△ABD和△ACD中∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠B=∠C注意：从而告诉等腰三角形如果做不出题作辅助线是三线合一2、三线合一3课堂练习1、求下列各等腰三角形中∠A=36度未知角的度数.2、已知等腰三角形的一个角为50°，则另两个角为多少度？如果把50°的角改为100°呢？3、若等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为_______.4、若等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是 ____.5、如图, 在△ABD中, C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求证：△ABD是等腰三角形;（2）求∠BAD的度数.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．某次列车平均提速vkm/h ，用相同的时间，列车提速前行驶50km ，提速后比提速前多行驶skm ．设提速前列车的平均速度为xkm/h ，则列方程是（ ） A ．5050s x y x +=+ B ．5050s x x v +=- C ．5050s x x v+=+ D ．5050s x v x+=- 【答案】C【分析】设提速前列车的平均速度为xkm/h ，则提速后速度为（x ＋v ）km/h ，根据题意可得等量关系：提速前行驶50km 所用时间＝提速后行驶（s ＋50）km 所用时间，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h ，则提速后速度为（x+v ）km/h ， 由题意得：5050s x x v+=+， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 2．化简24142x x +-+的结果是（ ） A ．2x - B ．12x - C ．22x - D ．22x【答案】B【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值． 【详解】原式4221(2)(2)(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x -+=+==+-+-+--故选：B ． 【点睛】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键． 3．如图，△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB ＝12，则BC ＝( )A ．6B ．2C ．3D ．12【答案】A【详解】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，1112622BC AB ∴==⨯= , 故选A.4．已知一组数据10，8，9，x ，5的众数是8，那么这组数据的方差是（ ） A ．2.8 B ．143C ．2D ．5【答案】A【分析】由题意根据众数的概念，确定x 的值，再求该组数据的方差即可．【详解】解：因为一组数据10，1，9，x ，2的众数是1，所以x=1．于是这组数据为10，1，9，1，2． 该组数据的平均数为：15（10+1+9+1+2）=1，方差S 2=15 [（10-1）2+（1-1）2+（9-1）2+（1-1）2+（2-1）2]=145=2.1． 故选：A ． 【点睛】本题考查平均数、众数、方差的意义．①平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”； ②众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个； ③方差是用来衡量一组数据波动大小的量．5．如图，已知一次函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象相交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组0y ax bkx y =+⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．42x y =-⎧⎨=-⎩B ．42x y =⎧⎨=-⎩C ．44x y =⎧⎨=⎩D ．42x y =⎧⎨=⎩【答案】A【分析】根据一次函数y=ax+b 和正比例函数y=kx 的图象可知，点P 就是一次函数y=ax+b 和正比例函数y=kx 的交点，即二元一次方程组0y ax bkx y =+⎧⎨-=⎩的解【详解】解：根据题意可知，二元一次方程组0y ax bkx y =+⎧⎨-=⎩的解就是一次函数函数y=ax+b 和正比例y=kx 的图象的交点P 的坐标，由一次函数y=ax+b 和正比例函数y=kx 的图象，得二元一次方程组0y ax bkx y =+⎧⎨-=⎩的解是42x y =-⎧⎨=-⎩．故选A ． 【点睛】此题考查了一次函数与二元一次方程（组），解答此题的关键是熟知方程组的解与一次函数y=ax+b 和正比例函数y=kx 的图象交点P 之间的联系，考查了学生对题意的理解能力．6．在实数152π-中，无理数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据无理数的概念逐一进行判定即可．【详解】14,05-=-=都是有理数，2π所以无理数有2个 故选：B ． 【点睛】本题主要考查无理数，能够区别有理数与无理数是解题的关键．7．马四匹，牛六头，共价四十八两：马三匹，牛五头，共价三十八两．若设每匹马价a 两每头牛价b 两，可得方程组是（ ） A ．46483538a b a b -=⎧⎨-=⎩B ．4+6483+538a b a b =⎧⎨=⎩C ．5+6384+548a b a b =⎧⎨=⎩D ．6+5485+338a b a b =⎧⎨=⎩【答案】B【分析】根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”列出方程组即可． 【详解】解：若设每匹马价a 两，每头牛价b 两，则可得方程组：4+6483+538a b a b =⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．8．在下列所示的四个图形中，属于轴对称图案的有（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义：经过某条直线(对称轴)对折后，图形完全重叠，来判断各个选项可得. 【详解】轴对称图形是经过某条直线(对称轴)对折后，图形完全重叠满足条件的只有D故选：D【点睛】本题考查轴对称的判定，注意区分轴对称图形和中心对称图形的区别.9．下列计算中正确的是（）A．（ab3）2＝ab6B．a4÷a＝a4C．a2•a4＝a8D．（﹣a2）3＝﹣a6【答案】D【分析】分别根据积的乘方运算法则、同底数幂的除法和同底数幂的乘法运算法则依次计算即可得出答案．【详解】解：A、（ab3）2＝a2b6≠ab6，所以本选项错误；B、a4÷a＝a3≠a4，所以本选项错误；C、a2•a4＝a6≠a8，所以本选项错误；D、（﹣a2）3＝﹣a6，所以本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了幂的运算性质，属于基础题型，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．10．如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是（）A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC【答案】D【分析】用三角形全等的判定知识，便可求解. 【详解】解：已知∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAE ，若添加AD ＝AE ，可利用AAS 定理证明△ABE ≌△ACD ，故A 选项不合题意； 若添加AB ＝AC ，可利用ASA 定理证明△ABE ≌△ACD ，故B 选项不合题意； 若添加BD ＝CE ，可利用AAS 定理证明△ABE ≌△ACD ，故C 选项不合题意；若添加∠ADB ＝∠AEC ，没有边的条件，则不能证明△ABE ≌△ACD ，故D 选项合题意． 故选：D ． 【点睛】熟悉全等三角形的判定定理，是必考的内容之一. 二、填空题11．20192﹣2020×2018＝_____． 【答案】1【分析】先观察式子，将2020×2018变为（2019+1）×（2019-1），然后利用平方差公式计算即可． 【详解】原式=20192﹣（2019+1）×（2019-1） =20192-（20192-1） =20192-20192+1 =1故答案为：1． 【点睛】本题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解题关键． 12．已知点32,)6(M a a -+在y 轴上，则a 的值为__________． 【答案】23【分析】根据y 轴上点的坐标特点：y 轴上点的横坐标是0即可解答. 【详解】∵点32,)6(M a a -+在y 轴上， ∴3a-2=0， ∴a=23， 故答案为：23. 【点睛】此题考查数轴上点的坐标特点，熟记点在每个象限及数轴上的坐标特点是解此题的关键. 13．长、宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为16，面积为10，则22a b ab +的值为____.【答案】80【解析】∵长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为16，面积为10， ∴a+b=16÷2=8，ab=10， ∴a²b+ab²=ab(a+b)=10×8=80， 故答案为80.14．如图，四边形ABCD 中，∠A=130°，∠D=100°．∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点O ，则∠O =_______度．【答案】1【分析】先根据四边形内角和及题意求出∠ABC+∠DCB=130°，然后根据角平分线的定义及三角形内角和可求解． 【详解】解：四边形ABCD 中，∠A=130°，∠D=100°，∴360130ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点O ，∴∠ABO=∠OBC ，∠DCO=∠BCO ， ∴()()1180180180651152O OBC OCB ABC DCB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒； 故答案为1． 【点睛】本题主要考查四边形内角和、三角形内角和及角平分线的定义，熟练掌握多边形内角和、三角形内角和及角平分线的定义是解题的关键．15．如图所示，底边BC 为23，顶角A 为120°的等腰△ABC 中，DE 垂直平分AB 于D ，则△ACE 的周长为__________.【答案】3【解析】过A 作AF ⊥BC 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，得到AB=AC=2，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE ，即可得到结论． 【详解】解：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵AB=AC,∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∴AB=AC=2， ∵DE 垂直平分AB ， ∴BE=AE ，∴AE+CE=BC=23，∴△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+23， 故答案为2+23． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．【答案】65【分析】首先根据三角形的三线合一的性质得到AD 平分∠BAC ，然后求得其一半的度数，从而求得答案． 【详解】∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∵∠BAC ＝50°， ∴∠DAC ＝25°， ∵DE ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°−25°＝65°， 故答案为65°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质，难度不大．17．若关于x 的方程32211x m x x -=+++无解，则m 的值为________． 【答案】5-【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】去分母得：3x−2=2x+2+m ，由分式方程无解，得到x+1=0，即x=−1，代入整式方程得：−5=−2+2+m ，解得：m=−5，故答案为-5.【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则.三、解答题18．如图，ABC ∆为等边三角形，AE CD =，AD BE 、 相交于点P ，BQ AD ⊥ 于点Q ，（1）求证: ;AEB CDA ∆∆≌（2）求BPQ ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BPQ =60°【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS 证得结论；（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ=60°；【详解】（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴AB=CA ，∠BAE=∠C=60°，在△AEB 与△CDA 中，AB CABAE CAE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB ≌△CDA （SAS ）；（2）解：由（1）知，△AEB ≌△CDA ，则∠ABE=∠CAD ，∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．19．已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD ．求证：∠BAD=∠CAD ．【答案】证明见解析【分析】求出∠BED=∠CFD=90°，根据AAS 推出△BED ≌△CFD ，根据全等三角形的性质得出DE=DF ，根据角平分线性质得出即可．【详解】证明：∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED 和△CFD 中，BDE CDF BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BED ≌△CFD （AAS ），∴DE=DF ，∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BAD=∠CAD ．20．阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：a b c ++，abc ，22a b +，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，()()22a b ++等对称式都可以用+a b ，ab 表示，例如：()222=2-++a b a b ab ．请根据以上材料解决下列问题：(1)式子：①22a b ，②22a b -，③11a b +，④22a b ab +中，属于对称式的是 (填序号)(2)已知()()2=++++x a x b x mx n ． ①若=2=4，-m n ，求对称式22a b +的值②若4＝-n ，求对称式b a a b+的最大值 【答案】（1）①③④；（1）①11，②-1．【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，（1）已知2()()x a x b x mx n ++=++．则m a b =+，n ab =，①2m =，4n =，利用整式变形可求出22a b +的值；②4n =-时，即4ab =-，由2222()284b a a b a b ab m a b ab ab ++-++===-可以求出b a a b+的最大值； 【详解】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”，故答案为：①③④，（1）①2()()x a x b x mx n ++=++．m a b ∴=+，n ab =，①当2m =，4n =-时，即2a b ∴+=，4ab =-，222()24812a b a b ab ∴+=+-=+=，②当4n =-时，即4ab =-22222()28=244a b ab b a a b m m a b ab ab +-+++===---， 所以当m=0时，224m --有最大值-1， 故代数式b a a b +的最大值为2-． 【点睛】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，直线l ₁：y 34=x 与直线l ₂：y=kx+b 相交于点A （a ，3），直线交l ₂交y 轴于点B （0，﹣5）．（1）求直线l ₂的解析式；（2）将△OAB 沿直线l ₂翻折得到△CAB （其中点O 的对应点为点C ），求证：AC ∥OB ；（3）在直线BC 下方以BC 为边作等腰直角三角形BCP ，直接写出点P 的坐标．【答案】（2）直线l₂的解析式为y=2x﹣5；（2）证明见解析；（3）P2（0，﹣9），P2（7，﹣6），P3（72，112-）．【分析】（2）解方程得到A（2，3），待定系数法即可得到结论；（2）根据勾股定理得到OA=5，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，根据折叠的性质得到∠OAB=∠CAB，于是得到结论；（3）如图，过C作CM⊥OB于M，求得CM=OD=2，得到C（2，-2），过P2作P2N⊥y轴于N，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（2）∵直线l₁：y34=x与直线l₂：y=kx+b相交于点A（a，3），∴A（2，3）．∵直线交l₂交y轴于点B（0，﹣5），∴y=kx﹣5，把A（2，3）代入得：3=2k﹣5，∴k=2，∴直线l₂的解析式为y=2x﹣5；（2）∵OA2234+=5，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵将△OAB沿直线l₂翻折得到△CAB，∴∠OAB=∠CAB，∴∠OBA=∠CAB，∴AC∥OB；（3）如图，过C作CM⊥OB于M，则CM=OD=2．∵BC=OB=5，∴BM=3，∴OB=2，∴C（2，﹣2），过P2作P2N⊥y轴于N．∵△BCP是等腰直角三角形，∴∠CBP2=90°，∴∠MCB=∠NBP2．∵BC=BP2，∴△BCM≌△P2BN（AAS），∴BN=CM=2，∴P2（0，﹣9）；同理可得：P2（7，﹣6），P3（72，112）．【点睛】本题考查了一次函数的综合题，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的求得P点的坐标是解题的关键．22．问题原型：如图①，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，使DE＝CD，连结BE．求证：BE＝AC．问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM＝EF，连结CM．（1）判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由．（2）若AC=5，直接写出A、M两点之间的距离．【答案】问题原型：见解析；问题拓展：（1）AC＝CM，理由见解析；（2）AM10．【解析】根据题意证出△BDE≌△ADC即可得出答案；证出△BEF≌△CMF即可得出答案；（2）连接AM，求出∠ACM＝90°，即可求出A【详解】问题原型：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝∠BAD，∴AD＝BD，在△BDE和△ADC中，∵，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC，问题拓展：（1）AC＝CM，理由：∵点F是BC中点，∴BF＝CF，在△BEF和△CMF中，∵，∴△BEF≌△CMF（SAS），∴BE＝CM，由（1）知，BE＝AC，∴AC＝CM；（2）如图②，连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，∴∠BED＝∠ACD，由（2）知，△BEF≌△CMF，∴∠EBF＝∠BCM，∴∠ACM＝∠ACD+∠BCM＝∠BED+∠EBF＝90°，∵AC＝CM，∴AM＝AC＝．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质. 23．解方程：（1）3731x y x y +=⎧⎨-=-⎩（2）12325x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩；（2）13x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）把①×3+②消去y ，求出x 的值，再把x 的值代入①求出y 的值即可；（2）用②-①消去x ，求出y 的值，，再把y 的值代入②求出x 的值即可．【详解】（1）3731x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②，①×3+②，得10x=20，∴x=2，把x=2代入①，得6+y=7，∴y=1，∴21x y =⎧⎨=⎩； （2）12325x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩①②，②-①，得1273y y +=-，y=-3，把y 的值代入②，得x-6=-5，x=1，∴13x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．24．先化简，再求值（1）2(1)(3)(3)(2)x x x x x -++---，其中2x =-； （2）a b ab b a a b ⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，其中1a =，2b =． 【答案】（1）x 2-8，-6；（2）a-b ，-1【分析】（1）先根据整式的运算法则把所给代数式化简，然后把2x =-代入计算；（2）先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后把1a =，2b =代入计算；【详解】（1）2(1)(3)(3)(2)x x x x x -++---=x 2-2x+1+x 2-9-x 2+2x=x 2-8，当2x =-时，原式=2-8=-6；（2）原式=22a b ab ab ab a b ⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭=()()a b a b ab ab a b+-⋅+ =a-b ，当1a =，2b =时，原式=1-2=-1．【点睛】本题考查了整式的化简求值，以及分式的化简求值，熟练掌握混合运算的运算法则是解答本题的关键． 25．已知：如图，AB=DE ，AB ∥DE ，BE=CF ，且点B 、E 、C 、F 都在一条直线上，求证：AC ∥DF ．【答案】详见解析【解析】首先利用平行线的性质∠B=∠DEF ，再利用SAS 得出△ABC ≌△DEF ，得出∠ACB=∠F ，根据平行线的判定即可得到结论．【详解】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEC ，又∵BE=CF ，∴BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B DEF BC EF ⎧⎩=⎪==⎪⎨∠∠， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠ACB=∠F ，∴AC ∥DF ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝12(∠ABD﹣∠ACE)；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE＝∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC＝1 2BAC∠，由三角形的内角和定理得∠DAE＝90°﹣∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC＝AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH＝∠BAE+∠ACB．【详解】解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝12BAC ∠，∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣(∠ACE+∠EAC)，＝90°﹣(∠ACE+12BAC ∠)，＝12(180°﹣2∠ACE ﹣∠BAC)， ＝12 (∠ABD ﹣∠ACE)， 故②正确；③∵AE 平分∠BAC 交BC 于E ，∴点E 到AB 和AC 的距离相等，∴S △AEB ：S △AEC ＝AB ：CA ；故③正确，④∵∠DAE ＝∠F ，∠FDG ＝∠FME ＝90°，∴∠AGH ＝∠MEF ，∵∠MEF ＝∠CAE+∠ACB ，∴∠AGH ＝∠CAE+∠ACB ，∴∠AGH ＝∠BAE+∠ACB ；故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是关于角平分线的计算，利用三角形的内角和定理灵活运用角平分线定理是解此题的关键．2．若解关于x 的方程1222x m x x -=+--时产生增根，那么m 的值为( ) A ．1B ．2C ．0D ．-1 【答案】A【分析】关于x 的方程1222x m x x -=+--有增根,那么最简公分母为0,所以增根是x=2,把增根x=2代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值.【详解】将原方程两边都乘（x-2）得: 12(2)x m x -=+-,整理得30x m -+=，∵方程有增根,∴最简公分母为0,即增根是x=2;把x=2代入整式方程,得m=1.故答案为:A.【点睛】本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:根据最简公分母确定增根的值;化分式方程为整式方程;把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.3．如图，△ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB 于D ，E 两点，并连接BD ，DE ，若∠A ＝30°，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为（ ）A ．45B ．52.5C ．67.5D ．75【答案】C 【解析】试题分析：根据AB=AC ，利用三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE 的度数：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB.∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=()118030752︒-︒=︒. ∵以B 为圆心，BC 长为半径画弧，∴BE=BD=BC ．∴∠BDC=∠ACB=75°.∴∠CBD 180757530=︒-︒-︒=︒.∴∠DBE=75°-30°=45°.∴∠BED=∠BDE=()11804567.52︒-︒=︒. 故选C.考点: 1.等腰三角形的性质;2.三角形内角和定理.4．如图，在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 恰好落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B D ，两点间的距离为（ ）A 10B ．8C ．3D ．25【答案】A 【分析】连接BD ，利用勾股定理求出AB ，然后根据旋转的性质可得AC=AE=4，∠AED=∠C=90°，BC=DE=3，从而求出∠DEB 和BE ，最后利用勾股定理即可求出结论．【详解】解：连接BD∵90,4,3C AC BC ∠=︒==∴AB=225AC BC +=由旋转的性质可得AC=AE=4，∠AED=∠C=90°，BC=DE=3∴∠DEB=180°－∠AED=90°，BE=AB －AE=1在Rt △DEB 中，BD=2210+=BE DE故选A ．【点睛】此题考查的是勾股定理和旋转的性质，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此题的关键．5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AC ，若△BCD 的周长是14，BC ＝6，则AC 的长是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．14【答案】B 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD ＝CD ，再根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵DE 垂直平分AC ，∴AD ＝CD ．∵△BCD 的周长是14，BC ＝6，∴AB ＝BD+CD ＝14﹣6＝1，∵AB ＝AC ，∴AC ＝1．故答案为B ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质,掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质是解答本题的关键．6．计算：21 3.14⨯+79 3.14⨯=（ ）A ．282.6B ．289C ．354.4D ．314【答案】D【分析】利用乘法分配律()ac bc a b c +=+即可求解．【详解】原式=(2179) 3.14100 3.14314+⨯=⨯=故选：D ．【点睛】本题主要考查乘法运算律在实数运算中的应用，掌握乘法分配律是解题的关键．7．如图所示的多边形内角和的度数为（ ）度A ．360B ．540C ．720D ．900【答案】B 【分析】根据多边形的内角和定理(n ﹣2)×180°计算即可．【详解】(5﹣2)×180°=180°×3=540°．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理．掌握多边形内角和定理是解答本题的关键．8．在平面直角坐标系中，点(),2A m 与点3,b n 关于y 轴对称，则（ ）A ．3m =，2n =B ．3m =-，2n =C ．2m =，3n =D ．2m =-，3n =【答案】B【解析】根据点关于y 轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案.【详解】A ，B 关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同,故选B【点睛】本题考查点坐标的轴对称，解题的关键熟练掌握点坐标的轴对称.9．如图，点P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，则点P 是△ABC （ ）A ．三边垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条中线交点【答案】B 【分析】根据角平分线性质的逆定理即可得出答案．【详解】解：P 到三条距离相等，即PD ＝PE ＝PF ，连接PA 、PB 、PC ，∵PD ＝PE ，∴PB 是∠ABC 的角平分线，同理PA 、PC 分别是∠BAC ，∠ACB 的角平分线，故P 是△ABC 角平分线交点，故选：B ．【点睛】本题主要考查三角形角平分线的交点，掌握角平分线的性质的逆定理是解题的关键．10．如图，在△PAB 中，∠A=∠B ，D 、E 、F 分别是边PA 、PB 、AB 上的点，且AD=BF ，BE=AF ．若∠DFE=34°，则∠P 的度数为（ ）A ．112°B ．120°C ．146°D ．150°【答案】A 【分析】根据等边对等角得到∠A=∠B ，证得△ADF ≌△BFE ，得∠ADF=∠BFE ，由三角形的外角的性质求出∠A=∠DFE=42°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵PA=PB ，∴∠A=∠B ，在△ADF 和△BFE 中，AD BF A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△BFE （SAS ），∴∠ADF=∠BFE ，∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠A+∠ADF ，∴∠A=∠DFE=34°，∴∠B =34°，∴∠P=180°-∠A-∠B=112°，故选：A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．二、填空题11．如果分式21x -有意义，那么x 的取值范围是____________． 【答案】x≠1 【解析】∵分式21x -有意义， ∴10x -≠，即1x ≠.故答案为1x ≠.12．分式23a b 与23c ab 的最简公分母是____． 【答案】223a b【分析】由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案．【详解】解：∵分式的分母2a b ，23ab 都是单项式， ∴分式23a b 与23c ab的最简公分母是223a b . 故答案为：223a b .【点睛】本题考查的是最简公分母，熟知当各分母都是单项式时，即有最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里是解答此题的关键．13．已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D ，E 分别是线段BC ，AC 上的一点，且AD ＝AE ，（1）如图1，若∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，则∠2的度数为_____；（2）借助图2探究并直接写出∠1和∠2的数量关系_____．【答案】1.5 ∠1＝2∠2【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．【详解】解：（1）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点，∴∠BAD＝45°，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∴∠2＝1．5°；（2）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．【点睛】本题考查的知识点是三角形外角的性质，熟记外角的定义并能够灵活运用是解此题的关键．14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的长最大值为_____．【答案】1．【详解】如图，当点P在第一象限内时,将三角形APM绕着P点旋转60°，得DPB，连接AD,则DP=AP,∠APD=60°，AM=BD,ADP是等边三角形，所以BD AD+AB可得，当D在BA延长线上时，BD最长，点D与O重合，又点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，0），AB=3，AD=AO=2，BD=AD+AB=1=AM,即线段AM的长最大值为1；当点P在第四象限内时，同理可得线段AM的长最大值为1.所以AM最大值是1.故答案为1.15．如图，在ABC中，∠A=60°，D是BC边上的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于ABC 内一点P，连接PC，若∠ACP=m°，∠ABP=n°，则m、n之间的关系为______．【答案】m+3n=1【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，结合角平分线的定义，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，从而得到m、n之间的关系．【详解】解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠ABP，∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，∵∠A=60°，∠ACP=m°，180,A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=1°-m°，∴3∠ABP=1°-m°，∴3n°+m°=1°，故答案为：m+3n=1．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质的运用，角平分线的定义，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形内角和等于180°．16．命题“在ABC ∆中，如果A B C ∠=∠=∠，那么ABC ∆是等边三角形”的逆命题是_____.【答案】如果ABC ∆是等边三角形，那么A B C ∠=∠=∠.【解析】把原命题的题设与结论进行交换即可．【详解】“在ABC ∆中，如果A B C ∠=∠=∠，那么ABC ∆是等边三角形”的逆命题是“如果ABC ∆是等边三角形，那么A B C ∠=∠=∠”.故答案为：如果ABC ∆是等边三角形，那么A B C ∠=∠=∠.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．17．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b ）n （n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a ﹣b ）5=__________．()1a b a b +=+ ,()2222a b a ab b +=++ , ()3322333a b a a b ab b +=+++ ,()4432234464a b a a b a b ab b +=++++ , 【答案】a 5﹣5a 4b+10a 3b 2﹣10a 2b 3+5ab 4﹣b 5a 5﹣5a 4b+10a 3b 2﹣10a 2b 3+5ab 4﹣b 5【解析】（a ﹣b ）5=a 5﹣5a 4b+10a 3b 2﹣10a 2b 3+5ab 4﹣b 5，点睛:本题考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是能读懂图形，先认真观察适中的特点，得出a 的指数是从1到0，b 的指数是从0到5，系数一次为1，﹣5，10，﹣10，5，﹣1，得出答案即可．三、解答题18．拖拉机开始工作时，油箱中有油30L ，每小时耗油5L ．（1）写出油箱中的剩余测量Q （L ）与工作时间t （h ）之间的函数表达式，并求出自变量t 的取值范围； （2）当拖拉机工作4h 时，油箱内还剩余油多少升？【答案】（1）Q ＝30﹣5t （0≤t≤6）；（2）10L【分析】（1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变量的取值范围；（2）把t ＝4代入函数解析式，即可得到答案．【详解】（1）由题意可得，油箱中的余油量Q （L ）与工作时间t （h ）之间的函数关系是：Q ＝30﹣5t （0≤t≤6）；（2）把t ＝4代入，得Q ＝30﹣5t ＝30-5×4＝10， 答：当拖拉机工作4h 时，油箱内还剩余油10L ．【点睛】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键．19．如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，∠BEF 的平分线交CD 于点G ，若∠EFG=52°，求∠EGF 的度数．（写出过程并注明每一步的依据）【答案】详见解析【分析】根据平行线以及角平分线的性质进行求解即可．【详解】解：//,AB CD180BEF EFG ∴∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）又52,EFG ∠=︒18052128BEF ︒-︒∴∠==︒；（等式性质） EG 平分,EFG ∠1642BEG BEF ∴∠=∠=︒；(角平分线的定义) 又//AB CD ，64EGF BEG ∴∠=∠=︒．（两直线平行，内错角相等）【点睛】。