12.8由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组(20200611200318).pdf

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一、教学目标1.使学生知道二元二次方程的概念、二元二次方程组的概念;2.使学生掌握由代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.3. 通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透消元、降次的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力;4. 通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转化的辨证唯物主义思想的教育;5. 通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美.二、重点难点疑点及解决办法1.教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组.2.教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想.3.教学疑点：关于学生对二元二次方程组概念的理解.由于教材中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，其实不然.关于这一点，可利用课后辅导向学生做一简单的说明.4.解决办法：关键是消元，化二元为一元，本节主要是用代入消元.三、教学过程1.复习提问(1)举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组?(2)解二元一次方程组的基本思路是什么?(3)解二元一次方程组有哪几种方法?问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法. 2.新课讲解我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了解，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容. (1)二元二次方程及二元二次方程组观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数;②是整式方程;③含有未知数的项的最高次数是2.定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的一般形式是： (a、b、c不同时为零).其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：都是二元二次方程组.(2)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法. 例1 解方程组分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得再代入①可以求出的值，从而得到方程组的解.解：由②，得把③代入①，整理，得解这个方程，得把代入③，得 ;把代入③，得 .所以原方程的解是说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生解题过程.巩固练习：教材P57 1、2四、总结、扩展关于本节的小结，教师引导学生共同总结.本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程;对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解.学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：1.将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式.2.将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程.3.解一元二次方程或一元一次方程.4.将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数.5.写出方程组的解.五、布置作业教材P58 1，2.六、板书设计。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组（2）二、教学重点、难点1、2（略同教学要求）通过一元二次方程来解，容易丢掉方程组的一个解．三、教学步骤（一）明确目标上一节课，我们已经学习过二元二次方程、二元二次方程组的概念及用代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组．这节课我们将继续学习具有某种特殊形式的由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法．通过直接明确目标，有利于将学生的注意力一下子集中起来，从而使学生能集中精力进行新的内容学习．（二）整体感知本课的教学内容是学生在上一节课的基础上，通过实例讲述说明了已经学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解．借助于解一元二次方程来解这样的方程组是学生首次接触的方法，所以教师通过有关一元二次方程的根与系数的关系，可以引导学生向此方面思考．通过教材中的例1，教师的引导与分析，可以调动学生学习的积极性，使学生由被动变为主动，从而可以提高学生的分析问题和解决问题的能力．（三）重点、难点的学习和目标完成过程复习提问：1．一元二次方程的根与系数的关系是什么？2．已知方程的两个根为x1、x2，则一元二次方程是什么？3．已知两个数的和为7，积为12，求此二数．4．解二元二次方程组的基本思路是什么？用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的一般步骤是什么？方程组的解法，只不过未加直接说明，问题4实质是对上节课的内容进行了复习和巩固．例1 解方程组（见P56 例2）分析：因此二元二次方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，因此可以采用代入法求解．仔细观察这个方程组的特征，可以发现，方程①恰是两数之和等于7，方程②恰是两数之积等于12．这样，解这类方程组就转化为已知两数和与积求两数的问题了，因此，可以将x、y看作某个一元二次方程的两个根，作出一个一元二次方程，从而可以得到原方程组的解．解：方程组中的x、y是一元二次方程．z2-7z+12＝0的两个根．解这个方程，得z＝3或z=4．∴原方程组的解为……例2 解方程组分析：这个方程组不是二元二次方程组，而是分式方程组，但如果z2-8z＋7＝0的两个根，解方程，得z＝1，或z＝7．∴原方程组的解为巩固练习：教材P．57中练习3．（四）总结、扩展关于本节内容的小结，由于内容较少也比较简单，所以由学生对本节课进行小结．元二次方程组的解法可以借助于一元二次方程来解，并且比较简单．四、布置作业教材P．58中A3；B1．2五、板书设计二元二次方程组的解法例2…………例3…………解：………………………………………………………………………………………………六、作业参考答案教材P．65中A3解：（1）方程组中的x、y是方程z2-6z＋7=0的两个根，解得z=3+……教材P．65中B2宽为2厘米，长为6厘米。

数学教案－由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一、教学目标1.理解二元二次方程组的定义及特点。

2.学会解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组。

3.能够运用所学的解法解决实际问题。

二、教学内容1.二元二次方程组的定义及特点。

2.解二元二次方程组的方法。

3.应用二元二次方程组解决实际问题。

三、教学过程1.导入新课（1）复习二元一次方程组的解法。

（2）引导学生思考：如果方程组中有一个二元一次方程和一个二元二次方程，我们应该如何解决？2.新课讲解（1）讲解二元二次方程组的定义及特点。

二元二次方程组是指包含两个未知数的方程组，其中一个方程是一次方程，另一个方程是二次方程。

其一般形式为：$$\begin{cases}ax++c=0\\dx^2+ey+f=0\end{cases}$$其中，a、b、c、d、e、f是常数，且d不等于0。

（2）讲解解二元二次方程组的方法。

方法一：代入消元法以第一个方程解出其中一个未知数，代入第二个方程，从而将二元二次方程组转化为一个一元二次方程，然后求解。

方法二：消元法将第一个方程乘以一个合适的数，使得两个方程的系数相等，然后相减消去一个未知数，从而将二元二次方程组转化为一个一元二次方程，然后求解。

（3）举例讲解。

例1：求解方程组$$\begin{cases}x+y=3\\x^2+y^2=5\end{cases}$$解：我们可以将第一个方程解出y：y=3-x$$然后，将y代入第二个方程：$$x^2+(3-x)^2=5$$展开并化简得：$$x^2+9-6x+x^2=5$$合并同类项得：$$2x^2-6x+4=0$$将方程除以2得：$$x^2-3x+2=0$$这是一个一元二次方程，我们可以通过因式分解求解：$$(x-1)(x-2)=0解得：x=1或x=2当x=1时，代入第一个方程得：y=2当x=2时，代入第一个方程得：y=1所以，方程组的解为：(1,2)或(2,1)3.练习巩固（1）让学生独立完成教材上的练习题。

1 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组·疑难问题解析
1 理解二元二次方程这个概念应注意以下几点：
(1)方程中含有两个未知数，不包括字母系数．
(2)含有未知数的项的最高次数是2，而不是未知数的次数是2．如方程xy ＝1中，x 、y 的次数是1，而“xy ”项的次数是2，因而它是二元二次方程．
(3)二元二次方程的前提是整式方程．
x 、y 即为方程z2－az ＋b ＝0的两根，求得z1＝m ，z2＝n ，那
注意 (方程有两组解，不要丢掉一组解)．分解的依据是因式分解的定义．
3 不解方程组，判断二元二次方程组解的组数
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组解的组数的判断方法是；首先代入消元得到一个关于未知数的一元二次方程，再用Δ进行判断，其解的情况有三种：
Δ＞0时，方程组有两组不同的解；
Δ＝0时，方程组有两组相同的解(也称一个实数解)；
Δ＜0时，方程组无实数解．。

二元二次方程组知识点含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组． 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3)将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或 把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值； ⑤写出答案．(2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7． ∴ 原方程组的解是：11114774x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或．说明：(1) 对于这种对称性的方程组x y axy b +=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩．【例3】已知方程组⎩⎨⎧+==+--21242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组在数学的世界里，方程组是解决问题的有力工具。

今天咱们就来聊聊由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组。

咱们先来说说啥是二元一次方程。

简单来讲，就是含有两个未知数，并且未知数的最高次数都是 1 的整式方程。

比如说，像 2x ＋ 3y ＝ 10这样的式子就是二元一次方程。

那啥又是二元二次方程呢？就是含有两个未知数，并且含有未知数的二次项的方程。

像 x²＋ 2xy ＋ y²＝ 25 就是一个典型的二元二次方程。

当一个二元一次方程和一个二元二次方程组成方程组的时候，那可就有意思了。

比如说，咱们有方程组：2x ＋ y ＝ 5 ①和 x²＋ y²＝25 ②那要怎么去解这样的方程组呢？这可得讲究点儿方法。

咱们可以从二元一次方程入手，先把其中一个未知数用另一个未知数表示出来。

就拿这个例子来说，从方程①可以得到 y ＝ 5 2x 。

然后把这个表达式代入到二元二次方程②中。

这样，方程②就变成了一个关于 x 的一元二次方程。

也就是 x²＋（5 2x)²＝ 25 。

展开这个式子，得到 x²＋ 25 20x ＋ 4x²＝ 25 。

整理一下，5x² 20x ＝ 0 。

提取公因式 5x，得到 5x(x 4) ＝ 0 。

所以，x ＝ 0 或者 x ＝ 4 。

当 x ＝ 0 时，代入 y ＝ 5 2x ，得到 y ＝ 5 。

当 x ＝ 4 时，y ＝ 5 2×4 ＝－3 。

所以，这个方程组的解就是 x ＝ 0，y ＝ 5 或者 x ＝ 4，y ＝－3 。

再来看另一个例子，方程组：x ＋ 2y ＝ 8 ①和 x² 2xy ＋ y²＝ 9 ②还是先从方程①出发，得到 x ＝ 8 2y 。

把它代入方程②，（8 2y)² 2(8 2y)y ＋ y²＝ 9 。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法教学目标1．使学生了解二元二次方程、二元二次方程组的概念；2．使学生掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解；3．通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力；4．通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转化的辨证唯物主义思想的教育；5．通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美.教学建议1．知识结构：2．教学建议（1）本节的重点是：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，代入“消元”法是常用的方法，用消元法解方程组对学生来说并不陌生，学生在学习二元一次方程组的解法时，就是用消元法来解的.关键是启发引导学生分析二元二次方程组的特点，探求消元的方法.（2）本节的难点是：理解解二元二次方程组的基本思想.解二元二次方程组的基本思想是将二元二次方程组化归成二元一次方程组或一元二次方程，化归的手段是“消元”“降次”.3．教法建议(1) 本节主要研究了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中代入法是解这类方程组的一般方法，它与二元一次方程组的代入消元法是类似的，所以，复习二元一次方程组和一元二次方程的解法是必要的.(2)由于学生已经学过二元一次方程、二元一次方程组的意义，所以在进行二元二次方程和二元二次方程组的概念教学时，应通过具体的二元二次方程和二元二次方程组的实例、通过相同点和不同点的分析，得出二元二次方程及二元二次方程组的定义，以加深学生的理解；在二元二次方程组的解法教学时，应向学生指出，解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，解二元二次方程组的基本思想是消元和降次.教学设计示例二简单的二元二次方程组12．8 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组第一课时一、教学目标1．使学生知道二元二次方程的概念、二元二次方程组的概念；2．使学生掌握由代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.3. 通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力；4. 通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转化的辨证唯物主义思想的教育；5. 通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美.二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组.2．教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想.3．教学疑点：关于学生对二元二次方程组概念的理解.由于教材中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，其实不然.关于这一点，可利用课后辅导向学生做一简单的说明.4．解决办法：关键是消元，化二元为一元，本节主要是用代入消元.三、教学过程1．复习提问（1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？（3）解二元一次方程组有哪几种方法？问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.2．新课讲解我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了解，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容.（1）二元二次方程及二元二次方程组观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：都是二元二次方程组.（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.例1 解方程组分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得再代入①可以求出的值，从而得到方程组的解.解：由②，得把③代入①，整理，得解这个方程，得.把代入③，得；把代入③，得 .所以原方程的解是说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生解题过程.巩固练习：教材P57 1、2四、总结、扩展关于本节的小结，教师引导学生共同总结.本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解.学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式.2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程.3．解一元二次方程或一元一次方程.4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数.5．写出方程组的解.五、布置作业教材P58 1，2.六、板书设计典型例题例1 用两种不同的方法解方程组解法1 由（1）得（3）（3）代入（2）中，得，即。