高中数学学业分层测评含解析北师大版选修20.doc

学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线【解析】 点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，符合抛物线的定义，故点P 的轨迹是抛物线．【答案】 D2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．【答案】 B3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0， 所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由2x 2－y 2＝2得x 2－y 22＝1，∴a 2＝1，b 2＝2，当直线l 与两支相交时需|AB |≥2a＝2.由|AB |＝4可得直线l 有两条；当直线l 只与右支相交时，需|AB |≥2b2a＝4，由|AB |＝4可得直线l 只有1条．综上，符合题意的直线l 共有3条．【答案】 C5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D ． 5【解析】 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2＋1，整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0，解得k ＝±2，即ba＝2，故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.【答案】 D 二、填空题6．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．【解析】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x 2－y 2＝1，消去y 得x 2－(x ＋4)2＝1，则x ＝－178，代入y ＝x ＋4得y ＝158.故直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－178，1587．已知直线l 过点P (0,2)且与椭圆x 2＋2y 2＝2只有一个公共点，则直线l 的方程为____________．【导学号：32550096】【解析】 当直线l 斜率不存在时，方程为x ＝0，与椭圆x 2＋2y 2＝2有两个公共点，舍去；当直线l 斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 2＋2(kx ＋2)2＝2，整理得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，由Δ＝64k 2－4×6×(2k 2＋1)＝0，解得k ＝±62. 【答案】 y ＝62x ＋2或y ＝－62x ＋2 8．已知抛物线y 2＝4x ，过点Q (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．【解析】 设直线AB的方程为ty ＝x －4(t ∈R )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，ty ＝x －4，得x 2－(8＋4t 2)x＋16＝0，Δ＝(8＋4t 2)2－4×16＝64t 2＋16t 4≥0，∴x 1＋x 2＝8＋4t 2≥8，∴y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥32.【答案】 32 三、解答题9．已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与直线l 上一点P (1,2)．求直线l 的斜率k 为何值时，l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点？【解】 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k )x －k 2＋4k －6＝0，当k ＝±2时，方程组有唯一解． 当k ≠±2时，由Δ＝0，得k ＝32.所以当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个交点．如图，当2＜k ＜32或k ＜－2或－2＜k ＜2时，l 与C 有两个交点．当k ＞32时，l 与C 无交点．10．已知椭圆x 23＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．(1)求AB 的中点坐标； (2)求△ABF 2的周长与面积．【解】 (1)由x 23＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，c ＝1.∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴l 的方程为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝x ＋1，消去y 得5x 2＋6x －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－35，x 0＝x 1＋x 22＝－35，y 0＝y 1＋y 22＝x 1＋1＋x 2＋12＝x 1＋x 22＋1＝25(或y 0＝x 0＋1＝－35＋1＝25)，∴中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，25. (2)由题意知，F 2到直线AB 的距离d ＝|1－0＋1|12＋12＝22＝2， |AB |＝1＋k 2l ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝835， ∴S △ABF 2＝12|AB |d ＝12×835×2＝465，∴△ABF 2的周长＝4a ＝4 3.[能力提升]1．曲线x 2＋4y 2＝52与x 2＋y 2＝37的交点个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 将方程x 2＋4y 2＝52与x 2＋y 2＝37相减可得3y 2＝15，则y 有两个值，依据任何一个曲线方程可知y 的一个值对应两个x 值，因此，两曲线共有4个交点．【答案】 A2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B ．938C.6332D ．94【解析】 由已知得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan 30°·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34 ①y 2＝3x ②将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.【答案】 D3．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB的中点，则直线AB 的斜率为________．【解析】 法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 方程为y －1＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2＋(4k 2－2k )x －4k 2＋4k －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k －4k 23－k＝4，∴k ＝6.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，且x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 1－y 2y 1＋y 23.显然x 1－x 2≠0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2y 1＋y 2＝6，即k AB ＝6.【答案】 64．已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 ∵－2＜x ＜1x ＞1或x ＜－1，且x ＞1或x ＜－1－2＜x ＜1，∴“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的既不充分，也不必要条件．【答案】 C2．a ＜0，b ＜0的一个必要条件为( )A ．a ＋b ＜0B ．a －b ＞0 C.a b ＞1D ．a b ＜－1【解析】 a ＋b ＜0a ＜0，b ＜0，而a ＜0，b ＜0⇒a ＋b ＜0. 【答案】 A3．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.【答案】 C4．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是( )A ．a ≤0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1【解析】 ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴x 1x 2＜0.即1a＜0⇔a ＜0，本题要求的是充分条件．由于{a |a ＜－1}⊆{a |a ＜0}，故答案应为C.【答案】 C5．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( ) A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x ·sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立． 【答案】 B二、填空题6．满足sin α＝12的一个充分条件是α＝____(填一角即可)． 【解析】 ∵α＝π6⇒sin α＝12， ∴sin α＝12的一个充分条件可以是α＝π6. 【答案】 π67．已知“x ＞k ”是“3x ＋1＜1”的充分条件，则k 的取值范围是________． 【导学号：32550004】【解析】 解不等式3x ＋1＜1得，x ＜－1或x ＞2， ∵x ＞k ⇒x ＞2或x ＜－1∴k ≥2.【答案】 [2，＋∞)8．已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，∴m ＞5或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(5，＋∞)三、解答题9．分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：sin θ＝0，q ：θ＝0；(2)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0；(3)p ：a 是整数，q ：a 是自然数；(4)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数．【解】 (1)由于p ：sin θ＝0⇐q ：θ＝0，p ：sin θ＝0q ：θ＝0， 所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(2)由于p ：θ＝π⇒q ：tan θ＝0，p ：θ＝π⇐/ q ：tan θ＝0，所以p 是q 的充分条件，p 是q 的不必要条件．(3)由于p ：a 是整数q ：a 是自然数，p ：a 是整数⇐q ：a 是自然数，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(4)由于p ：a 是素数⇔/ q ：a 不是偶数，所以p 是q 的不充分条件，p 是q 的不必要条件．10．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围．【解】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k 4； 由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2.设A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－k 4，B ＝{x |－1＜x ＜2}， 由p 是q 的必要条件，得A ⊇B .∴－k 4≥2， ∴k ≤－8.即k 的取值范围为(－∞，－8]．[能力提升]1．不等式1－1x＞0成立的充分条件是( ) A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ＜－1或0＜x ＜1D ．x ＜0或x ＞1【解析】 x ＞1⇒1－1x＞0，故选A. 【答案】 A2．设a ，b 为向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝|a||b|，∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0，∴a·b ＝|a||b|⇒a∥b .而∵a∥b 夹角可为π，∴a·b ＝－|a||b|，∴a·b ＝|a||b|⇐/ a∥b ，故选A.【答案】 A3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．【解析】 否命题为真，则逆命题为真．∴“若B ，则A ”为真，∴B ⇒A ，而原命题为假设A B ，∴A 是B 的必要条件．【答案】 必要4．已知p ：x 2－2x －3＜0，若－a ＜x －1＜a 是p 的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围．【解】 由于p ：x 2－2x －3＜0⇔－1＜x ＜3，－a ＜x －1＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a (a ＞0)．依题意，得{x |－1＜x ＜x |1－a ＜x ＜1＋a }(a ＞0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a ＞4.解得a ＞2，则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]．。

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B ．532C.532D ．132【解析】 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12，3＋02，1＋52，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，32，3－(0,1,0)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，12，3，∴|CM →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32＝532.【答案】 C2．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1【解析】 由题意知，a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )，2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)． ∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴存在实数λ，使a ＋2b ＝λ(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ2－x 4＝3λ4－y ＝λ－2y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43x ＝12y ＝－4.【答案】 B3．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 由题意，得λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．因为|λa ＋b |＝29，所以42＋(1－λ)2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3.【答案】 B4．若a ＝(1，λ，－1)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦为19，则|a |＝( )A.94 B ．102C.32D ． 6【解析】 因为a·b ＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝2＋λ2×9×19＝132＋λ2，所以132＋λ2＝－λ.解得λ2＝14，所以|a |＝1＋14＋1＝32. 【答案】 C5．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°【解析】 AB →＝(－1,0,4)－(1,1,1)＝(－2，－1,3)， CA →＝(1,1,1)－(2，－2,3)＝(－1,3，－2)，∴cos θ＝AB →·CA →|AB →||CA →|＝2－3－64＋1＋9·1＋9＋4＝－12，∴θ＝120°. 【答案】 B 二、填空题6．已知三个力F 1＝(1,2,1)，F 2＝(－1，－2,3)，F 3＝(2,2，－1)，则这三个力的合力为________．【解析】 合力为F 1＋F 2＋F 3＝(1,2,1)＋(－1，－2,3)＋(2,2，－1) ＝(2,2,3)． 【答案】 (2,2,3)7．已知a ＋b ＝(－1，－2,3)，a －b ＝(1,0,1)，则a ＝________，b ＝________.【导学号：32550035】【解析】 a ＝a ＋b ＋a －b2＝(0，－1,2)，b ＝a ＋b －a －b2＝(－1，－1,1)．【答案】 (0，－1,2) (－1，－1,1)8．设向量a ＝(1，－2,2)，b ＝(－3，x,4)，已知a 在b 上的投影为1，则x ＝________. 【解析】 ∵a ＝(1，－2,2)，b ＝(－3，x,4)，a 在b 上的投影为1，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝1.∴a·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝|b |. ∴－3－2x ＋8＝9＋x 2＋16， ∴x ＝0或x ＝203(舍去)．【答案】 0 三、解答题9．已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)，求a ＋b ，a －b ，a·b ，(－2a )·b ，(a ＋b )·(a －b )．【解】 a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)；a·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(－2a )·b ＝－2(a·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8. 10．直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点． (1)求BN →的长；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．【解】 以C 为原点，以CA →，CB →，CC 1→为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (0,1,0)，N (1,0,1)，BN →＝(1，－1,1)， ∴|BN →|＝ 3.(2)依题意，得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5.∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. [能力提升]1．已知A (4,1,3)、B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AB →＝3AC →，则C 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，52B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－3，2C.⎝⎛⎭⎪⎫103，－1，73D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－72，32【解析】 设C (x ，y ，z )，则AC →＝(x －4，y －1，z －3)． 又AB →＝(－2，－6，－2)，AB →＝3AC →，∴(－2，－6，－2)＝(3x －12,3y －3,3z －9)．∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －12＝－2，3y －3＝－6，3z －9＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.【答案】 C2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________. 【解析】 由条件知(a ＋3b )·(7a －5b ) ＝7|a|2＋16a·b －15|b|2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a|2＋8|b|2－30a·b ＝0. 两式相减，得46a·b ＝23|b|2，∴a·b ＝12|b|2. 代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12|b|2|b|2＝12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°.【答案】 60°3．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·x ＝－18的向量x ＝________.【解析】 设x ＝λa ＝(2λ，－λ，2λ)，a ·x ＝4λ＋λ＋4λ＝9λ＝－18，∴λ＝－2，∴x ＝(－4,2，－4)． 【答案】 (－4,2，－4)4．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)．【导学号：32550036】(1)求△ABC 的面积． (2)求△ABC 中AB 边上的高．【解】 (1)由已知得AB →＝(1，－3,2)， AC →＝(2,0，－8)，∴|AB →|＝1＋9＋4＝14， |AC →|＝4＋0＋64＝217. AB →·AC →＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14.cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB →，AC →〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin〈AB →，AC →〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ， 则|CD →|＝2S △ABC |AB →|＝3 6.。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2______年______月______日____________________部门(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1。

如图2­5­7，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M ，N 分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM 的夹角为( )图2­5­7A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1＝a ，C1B1＝b ，C1C ＝c 。

则D1(0,0,0)，A(0，b ，c)，D(0,0，c)，C(a,0，c)，M ，N 。

则＝，＝。

∵∠CMN ＝90°，∴·＝0。

即b2－c2＝0，即b2＝c2。

∴·＝(0，－b ，－c)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，－12c＝－b2＋c2＝0。

∴AD1与DM 的夹角为90°。

【答案】 D2。

如图2­5­8，在正四面体A­BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )图2­5­8A。

B．23C。

D．33【解析】作AO⊥平面BCD于O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则O(0,0,0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝。

∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为。

【答案】B3．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为( )A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，从而＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)．设平面ABC与平面PCD的法向量分别为n1，n2，取n1＝＝(0,0,1)．设n2＝(x，y，z)，由n2⊥，n2⊥，可得，可取n2＝(0,1,1)．于是cos 〈n1，n2〉＝＝＝，所以平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为45°。

学业分层测评(十)(建议用时：分钟)一、选择题.下列结论不正确的是( ).若＝，则′＝.若()＝＋，则′()＝.若＝－＋，则′＝－＋.若＝＋，则′＝＋【解析】中，∵＝＋，∴′＝( )′＋( )′＝－ .【答案】.若对任意实数，恒有′()＝，()＝－，则此函数为( )()＝－()＝－＋()＝－()＝＋【解析】由()＝－，排除，；又对任意实数，恒有′()＝，则()＝＋，故排除，选.【答案】.曲线()＝＋－在点处的切线平行于直线＝－，则点的坐标为( ).(，).(，).(，)和(－，－).(，)和(－，－)【解析】∵()＝＋－，∴′()＝＋，设(，)，则′()＝＋＝，∴＝±.故点坐标为(，)或(－，－).【答案】.设曲线()＝在点(，)处的切线与直线＋＋＝垂直，则等于( ).－.－【解析】∵()＝＝＋，∴′()＝－，∴′()＝－，∴－＝，即＝－.【答案】.已知函数()＝＋，若存在满足≤≤的实数，使得曲线＝()在点(，())处的切线与直线＋－＝垂直，则实数的取值范围是( )..(－∞，)【解析】′()＝＋，当≤≤时，′()∈，又＝′()＝，所以∈.【答案】二、填空题.函数＝＋ )的导数是.【导学号：】【解析】′()＝（＋）－ ,（＋）)＝,（＋）).【答案】,（＋）).已知()＝＋′，则′＝.【解析】∵()＝＋′，∴′()＝＋′，∴′＝×＋′，∴′＝－×，即′＝.【答案】.某物体做直线运动，其运动规律是＝＋(的单位是，的单位是)，则它在第末的瞬时速度应该为.【解析】∵′＝－，∴＝′()＝－＝.【答案】三、解答题.点是曲线＝()＝上任意一点，求点到直线＝的最小距离.【解】根据题意设平行于直线＝的直线与曲线()＝相切于点(，)，该切点即为与＝距离最近的点，如图.则在点(，)处的切线斜率为，即′()＝.∵′()＝()′＝，。