亚纯函数差分多项式的值分布

分担四个值的亚纯函数
1 亚纯函数
亚纯函数是一种关于数学函数在一个给定闭区间上多维函数的一种变体。

它是一种不用计算，可以把闭区间上的函数值均匀分担到四个值的方法。

由于它可以把多维函数的值最大化，因此被广泛的应用于数学计算，机器学习，人工智能等领域。

2 工作原理
亚纯函数的工作原理是通过将多维函数的四个值均匀分担到给定的闭区间上，使得该函数的总体值最大化。

举个简单的例子，如果一个函数在[0,1]范围内为4个值，那么用亚纯函数可以将这4个值均匀分担在这个区间上。

这样，这个函数的最大值可以最大化。

3 应用
亚纯函数技术在数学计算，机器学习，人工智能等领域都有广泛的应用。

在数学计算中，亚纯函数技术主要用于求解控制问题，其中包括线性规划，非线性规划等，也包括最优控制问题的求解。

在机器学习中，亚纯函数技术用于构建机器学习模型，满足特定的预测函数。

亚纯函数技术可以加快求解过程，提高模型的准确性。

在人工智能领域，亚纯函数技术可以用于任务规划，搜索和对抗学习等，它可以加快模型的学习速度，提高结果的准确性。

4 优缺点
但是，亚纯函数技术还是存在一些优点和缺点。

其优点是不用计算，能够有效的将多维函数的值最大化，使之的总体值得到最大化。

缺点是由于把值最大化，可能出现偏差，即模型会偏离准确性，这可能引起一些预期外的结果。

因此，在使用亚纯函数技术时，我们要特别注意它的优缺点，以免出现意料之外的错误结果。

关于差分多项式值分布和微分差分方程解的研究上世纪二十年代,芬兰数学家R.Nevanlinna建立了复平面C上的亚纯函数值分布理论。

此理论为该世纪最为重要的数学理论之一,以两个基本定理为核心内容,即Nevanlinna第一及第二基本定理。

该理论自确立后不断自我完善和发展,同时广泛应用到其他的复分析领域,如亚纯函数唯一性理论,正规族理论,复微分及差分方程理论,多复变理论等.微分方程的复振荡理论用复分析的理论和方法来研究微分方程,是边缘领域的交叉学科。

自从上世纪八十年代S. Bank和I. Laine得到了一些原始结论后,该理论非常流行。

许多数学家进行了深入的研究,并且长期关注它。

复差分方面的Nevanlinna 理论是最近才确立的。

其中,最关键的结果是差分对数导数引理,Halburd-Korhonen [22,23]和Chiang-Feng [17]分别独立的给出了这个引理的两种表达形式。

在此基础上,许多学者研究了涉及差分形式的值分布,差分方程,和微分-差分方程解的问题.本文主要包括作者在导师杨连中教授的指导下得到的一些新结果。

论文的结构安排如下：第一章,做为背景知识,我们简单介绍了Nevanlinna 理论,涉及差分形式的Nevan-nalin理论,他们是研究亚纯函数值分布论和复微分,差分方程的重要工具。

第二章,我们研究了形如P(f)f(z+c)-α(z)和f(z)nL(f)的亚纯函数差分多项式的值分布问题,并得到了几个相关结果,可看作关于Hayman [25]经典微分多项式fnf’值分布结果的差分推广。

第三章,我们利用Nevanlinna理论的差分模拟,研究了一类线性差分方程的亚纯解的复振荡问题,并得到了此类方程亚纯解的零点,极点收敛指数和增长级关系的一些结果。

另外,我们还研究了一类特定类型非线性微分-差分方程解的存在性问题,部分回答了Yang-Laine [44]在2010年提出的一个猜想。

第四章,我们研究了微分方程亚纯解的复振荡理论。

分担三个公共值的亚纯函数
以分担三个公共值的亚纯函数为标题，讨论了一种特殊的多项式函数，可以把三个公共值分散开来。

这种特殊的函数被称为亚纯函数。

亚纯函数的特征在于它们的多项式形式：亚纯函数的标准形式如下：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a, b, c为实数，x表示变量。

在这种形式中，函数中的三个系数a, b, c也被称为“公共值”。

由于函数中的变量是幂指数类型的，所以亚纯函数也被称为“二次函数”，“二次曲线”或“椭圆曲线”。

因此，亚纯函数也可以称为“椭圆曲线函数”，它产生的曲线在平面上具有特殊的形状，可以被称为“椭圆”。

亚纯函数的值的范围取决于它的三个公共值a, b, c，只有当它们满足特定的要求时，才能使函数范围有限。

例如，当a > 0时，函数曲线具有最小值，反之如果a < 0，则有最大值。

亚纯函数的特点在于，它可以使三个公共值a, b, c被分散到不同的区域，从而实现特定的效果。

例如，当a, b, c的值分别满足a > 0，b = 0，c = 0时，函数的曲线就可以以椭圆的形式表达出来。

由于它可以把三个公共值分散开来，所以亚纯函数的范围有一定的灵活性，可以满足特定的应用需要。

此外，亚纯函数也可以用来模拟物理现象。

例如，如果a > 0，b=0，c > 0，则表示重力势场，即重力源和受其影响的物体之间的相互作用；如果a = 0，b < 0，c > 0，则可以用来模拟水中的流动。

总之，亚纯函数具有极大的现实意义，可以为工程计算提供有效
的帮助，同时还可以作为数学建模工具，用来模拟物理现象。

亚纯函数值分布理论和正规族的一些结果本文主要研究了亚纯函数值分布和正规族理论,并得到了一些新的结果,这些结果对原来定理做了较大的改进.本文最重要的工作便是得到了一个关于椭圆函数的Picard型定理.1.亚纯函数值分布理论的一个结果.在第二章我们继续研究了Picard型定理,得到了一个关于椭圆函数的Picard型定理,这是本文最重要的工作,具体说我们得到设f是复平面C上的非常数的亚纯函数,h是复平面C上的非常数的椭圆函数.如果f只有重级零点(至多有限个例外)；当r→∞
时,T0(r,h)=o{T0(r,f)},那么,f’=h有无限多个根(f和h相同的极点我们认为是f’=h的根).2.亚纯函数正规族理论的一个结果.把亚纯函数正规族与分担值或分担函数结合起来考虑是亚纯函数正规族理论研究的一个重要课题,第三章主要研究了与分担值有关的亚纯函数族,并且得到了一个正规定则。

我们的结果如下设φ≠0为区域D内的只有单级极点的亚纯函数,F为区域D内的亚纯函数族,且满足任意的f∈F有f≠0.如果对F内的任一组函数f和g,f′和g′在D内分担φ,则F在D内正规.3.亚纯函数拟正规族理论的一个结果.第四章我们继续研究了只有重级零点的亚纯函数族的拟正规理论,得到了一个拟正规定则,我们的结果如下设F为区域D内的一族亚纯函数,零点重数至少为2；H(z)为区域D内的非常数的亚纯函数,且存在v∈N使得对任意的a∈C,n(r,1/H(z)-a)≤v.如果任意的f∈F,f′(z)≠H′(z),则F在区域D内v阶拟正规.。

亚纯函数及其一个微分多项式IM 分担两个值的一个唯一性郭峰 闫钟峰 崔海建(成都信息工程学院数学学院 四川 成都610225)摘要：复平面上两个非常数亚纯函数f 与g ,若()()g f ,,∞E =∞E ,)()()()1,k nl f p f ⎡⎤E =⎣⎦)()()()1,k nl g p g ⎡⎤E ⎣⎦, 这里p是一个次数为m 的多项式,当,,n k m 满足一定条件时,则()()12,/cz cz f z c g z c -==或()()f z tg z ≡而()p z 为单项式,或者,f g 满足代数方程(,)0R f g ≡.关键词：亚纯函数;唯一性;分担值;微分多项式. 中图分类号：O174.52 文章标识码：A一．引言和主要结果本文中亚纯函数均指整个复平面上的亚纯函数.设()z f 是非常数亚纯函数. 以下使用Nevanlinna 理论的标准记 号[1] [2] [3]:()()()()(),,,,,,,,,...T r f m r f N r f N r f S r f , 其中()(){}f r T o f r S ,,=,(,,r r E mesE →+∞∉<+∞).设a 为一复数,k 为一个正整数.()()a f r N k -/1,)表示()f z a -在r ≤z 内重数k ≤的零点的密指量,()()a f r N k -/1,)表示相应的精简密指量. ()()a f r N k -/1,(是表示()a z f -在r ≤z 内重数k ≥的零点的密指量,()()a f r N k -/1,(表示相应的精简密指量.记()()()()()()()()a f r N a f r N a f r N a f r N k k -+-+-=-/1,/1,/1,/1,(2( .)())()1,1,k k F G =E E 表示1F -与1G -的重数k ≤的零点相同,且计重数.若{}a ∈∞,且a f -与a g -的零点相同,计重数（不计重数）,则称a为f 与g 的CM(IM)公共值.文献[4]和文献[5]得到如下唯一性定理.定理 A 设()z f 和()z g 为两个非常数整函数, 6n ≥为一正整数.若()()z f z fn'和()()z g z g n 'CM分担1,则或者()cz e c z f 1=,()cz e c z g -=2,其中1,2c c 和c 是三个非零常数满足()12121n c c c +=-,或者()()f z tg z ≡,这里t 为满足11=+n t 的常数.注意到()()()()'+='+111n nz f n z f z f,文献[6]考虑了k 阶导数,得到了以下定理. 定理B 设()z f 和()z g 是两个非常数整函数,并且设k n ,是两个正整数满足24n k>+,若()[]()k n z f 和()[]()knz g CM 分担1,则或者()1czf z c e=,()czec z g -=2,(c c c 、、21是三个非零常数,满足()()()21211knkc c nc -=. 或者()()f z tg z ≡（t 为满足1=nt 的常数）文献[7]得到了整函数及其一个微分多项式CM 分担1的结果： 定理C 设f 和g 为两个非常数整函数,k n ,为正整数,满足m k n 352++>,设()0111a z a za z a z p m m m m ++++=-- 或()0c z p ≡,（其中0,0,,,0010≠≠≠c a a a m 为常数）,若()[]()kn f p f 和()[]()kng p gCM 分担1,则(i)若()10m m p z a z a z a =+++,或者()(),z tg z f ≡(()n i m n m n d t d ,,,,1 -++==),0≠-i m a (m i ,,1,0 =),或者f和g 满足代数方程(),0,≡g f R 其中()()-+++=--01111121,a w a w a w w w R m m m m n ()022122a w a w a w m m m m n +++--（ii ）若()0c z p ≡,或者()(),/,/0201cz n cz n e c c z g e c c z f -==其中21,c c 和c 满足 ()()(),11221=-knknc c c 或者()(),z tg z f ≡()1=n t文献[8]得到了关于整函数与亚纯函数分担值的唯一性定理 D 设()z f 和()z g 是两个非常数亚纯(整)函数,并且设k n ,是两个正整数,若)()()1,k nl f ⎡⎤E =⎣⎦)()()1,k nl g ⎡⎤E ⎣⎦,当3,2,1l =时, n ,k 分别满足:()3824n k n k >+>+,5949()2k n k n +>+>,()71246n k n k >+>+.则()()(),1n f z tg z t ≡=或者()1,cz f z c e =()cz e c z g -=2.c c c 、、21满足()()()21211k n kc c nc -=.本文推广上述定理,将整函数推广到亚纯函数,将n f 推广为()n f p f ,其中()p f 为一多项式,加上条件IM 分担∞,得到了下述定理.定理 1 设f 和g 为两个非常数亚纯函数,m k n ,,为三个正整数,设()0111a z a za z a z p m m m m ++++=-- 或(),0c z p ≡（其中000,0,0m a a c ≠≠≠为常数），若()()g f ,,∞E =∞E 及)()()()1,k nl f p f ⎡⎤E =⎣⎦)()()()1,k nl g p g ⎡⎤E ⎣⎦,当3,2,1l =时, n ,k ,m 分别满足 37n k m >++,3482n k m >++,7311n k m >++. (i)当()0111a z a za z a z p m m m m ++++=-- 时,f 和g 满足代数方程(),0,≡g f R 其中()()-+++=--01111121,a w a w a w w w R m m m m n ()022122a w a w a w m m m m n +++-- .（ii ）当()0p z c ≡时,()(),/,/0201czn czn ec c z g e c c z f -==其中21,c c 和c 满足()()(),11221=-knknc c c 或者()(),z tg z f ≡()1=n t .二．一些命题和引理命题1[7]设()z f 和()z g 为两个非常数整函数,k n ,为两个正整数满足n k >,()0111a z a z a z a z p m m m m ++++=-- 为非零多项式,若()()k n f p f ⎡⎤⎣⎦()()k ng p g ⎡⎤⎣⎦≡1,则()p z 为非零的单项式,即()0;i i p z a z =≡/且()()12/,/,cz czf z cg z c -==其中21,c c 和c 满足()()()2121 1.kk n ic c n i c +-+=⎡⎤⎣⎦引理1[9]设f 为非常数亚纯函数,01,,,(0)n n a a a a ≠为有穷复数,则()()()f r S f r nT a f a f a r T n n ,,,01+=+++引理2 设f 为开平面上亚纯函数,不蜕化为次数不超过k 的多项式,则()()()()()101111,,,,,,1k k k T r f N r f N r N r N r S r f f f f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤++-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中()011,k N r f +⎛⎫ ⎪⎝⎭为()1k f +的零点密指量,这些零点不包括()1k f -的零点,也不包括f 的重级大于1k +的零点. 证. 由Milloux 不等式()()()()()1111,,,,,,1k k T r f N r f N r N r N r S r f f f f +⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤++-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭容易推得.引理3[1] [2] [3]设f 为非常数亚纯函数,不蜕化为次数不超过k 的多项式,则()()()11,,,,k N r N r k N r f S r f f f ⎛⎫⎛⎫≤++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()()()(),,,,k T r f T r f k N r f S r f ≤++.引理4设f 为开平面上亚纯函数,不蜕化为次数不超过k 的多项式,则()()()111,,,,k k N r k N r f N r S r f f f +⎛⎫⎛⎫≤++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证 ()1,k N r f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤()1,k N r f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(()(1111,1,k k N r k N r f f ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1,,k N r f N r f ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭(()(1111,1,k k N r k N r f f ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦(),S r f + ()()11,,,k k N r f N r S r f f +⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭引理5设l k ,为两个正整数,G F ,为两个非常数亚纯函数,不蜕化为次数不超过k 的多项式,满足)()())()()1,1,k k l l F G E =E 和()(),,F G E ∞=E ∞.置()()()()()()()()2121112211k k k k k k k k F F G G H F F G G ++++++⎡⎤=---⎢⎥--⎣⎦（1） 若0≡/H 则)()()()(((()(()()()()()2211100111111,,,,,211111,,,,,,11k k k l l k k k k N r N r F N r G N r N r F G F N r N r N r N r S r F S r G F G F G ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)证. 显然()1k F-与()1kG -的公共单级零点必为H 的零点因此 ()()()()()()111,,,1,,,1k N r N r T r H O N r H S r F S r G H F ⎛⎫⎛⎫≤≤+≤++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（3）()1kF -与()1kG -的公共零点,若重级相同,则不是H 的极点,因此H 的极点都是单级的且只能是(i)F 或G 的零点,(ii)()1-k F 或()1-k G的重级大于l 的零点,(iii)F 或G 的重级大于1k +零点,(iv)()1k F +或()1k G +的零点,(v)F 与G 的公共极点. 故()()()(()(()(()()(112200*********,,,,,,,,,211l l k k k k k k N r H N r F N r G N r N r N N r N r r N r F G F G F G ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤≤+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4) 将(4)代入(3)得到(2)式.引理5证毕.引理6 设k 为正整数,F 为非常数亚纯函数,不蜕化为次数不超过k 的多项式,则(()31,1k N r F ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭()()1111,,2k k N r F N r F +⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+(),S r F (()21,1k N r F ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭()()111,,k k N r F N r F +⎛⎫++ ⎪⎝⎭+(),S r F 证.应用引理3可得()1,1k N r F ⎛⎫- ⎪-⎝⎭()1,1k N r F ⎛⎫ ⎪-⎝⎭+()1,k N r F ⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,k N r F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11,k N r F +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ ()1,k N r F ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭(),N r F +(),S r F 再结合引理4可得()()()()()()()()11111,,1,,,,,,11k k k k N r N r k N r F N r N r N r F S r F S r F F F F F+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(5) 显然(()()()31111,,,2111k k k N r N r N r F F F ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(6) (()21,1k N r F ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭()1,1k N r F ⎛⎫- ⎪-⎝⎭()1,1k N r F ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (7)将(6)或(7)代入(5),便得引理结论.三．定理1的证明置()().,g p g G f p f F nn ==由)()()()1,k nl f p f ⎡⎤E =⎣⎦)()()()1,k nl g p g ⎡⎤E ⎣⎦，知)()()1,l k FE =)()()1,l kG E ,设H 为引理5中给出的函数.先设0H ≡/.对F 和G 应用引理2,得 ()F r T ,()()111,,,1k k N r F N r N r FF +⎛⎫⎛⎫≤++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+101,k F r N +(),S r F (8) ()G r T ,()()111,,,1k k N r G N r N r GG +⎛⎫⎛⎫≤++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+101,k G r N +(),S r G (9) 再由引理5)())()()()(((()(()()()()()221111*********,,,,,,2111111,,,,,,11k k k k l l k k k k N r N r N r F N r G N r N r F G F G N r N r N r N r S r F S r G F G F G ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(10)其中3,2,1l = 由于(2111,,k k N r N r F F ++⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21,k N r F +⎛⎫ ⎪⎝⎭(2111,,k k N r N r G G ++⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21,k N r G +⎛⎫⎪⎝⎭(11)将(8)与(9)相加,结合(10)和(11)得()F r T ,+()G r T ,()()3,,2N r F N r G ⎡⎤≤+⎣⎦()()221111,,[,,11k k k k N r N r N r N r F G F G ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(()(()()()()111111,,,],,111l l k k k N r N r N r S r F S r G F G F ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭(12)(A)当3l =时()(()411,,11k k N r N r F F ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12-()11,1k N r F ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤()11,21k N r F ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤12()(),k T r F ()1O + ≤12()()(),,,T r F k N r F S r F ⎡⎤++⎣⎦ (13)同理()(()411,,11k k N r N r G G ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12-()11,1k N r G ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤12()()(),,,T r G k N r G S r G ⎡⎤++⎣⎦ (14) 将(13),(14)代入(12)得()F r T ,+()G r T ,()()()3,,k N r F N r G ⎡⎤≤++⎣⎦22112,,k k N r N r F G ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()G r S F r S ,,++ (15) 由于21,k N r F +⎛⎫⎪⎝⎭≤()2211,,k k n N r N r f p f ++⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12,k N r f ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭()1,N r p f ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭()()()()()2,,1k T r f T r p f O ≤+++()()()2,1k m T r f O ≤+++ (16)同理21,k N r G +⎛⎫⎪⎝⎭()()()2,1k m T r g O ≤+++ (17) 又()F r T ,=()()(),1,n m T r f O ++ ()G r T ,=()()(),1.n m T r g O ++ ` (18)()()(),,,,N r F N r f T r f =≤ ()()(),,,.N r G N r fT r g =≤ (19) 结合(15)-(19)得()()(),,n m T r f T r g ++≤⎡⎤⎣⎦()()()3,,k N r F N r G ⎡⎤+++⎣⎦()()()22,,m k T r f T r g +++⎡⎤⎣⎦ +(),S r f +(),S r g ()()()237,,m k T r f T r g ≤+++⎡⎤⎣⎦+(),S r f +(),S r g()37n k m ---()()[]g r T f r T ,,+≤()(),,S r f S r g +.这与37n k m >++矛盾.因此0H ≡,即()()()()()()()()2121112211k k k k k k k k F F G G F F G G ++++++-=---上式积分两次得()11k AF=-()11k G-+B ,(A ,B 为常数,A0≠).即()()()()11.k kkB G A B F BG A B++--=+- 下面分三种情况讨论. 情形1. B 0,1≠- 由于()k F()1k B A B B BG A B +-=-⎡⎤+-⎣⎦所以()k F1B B +-=0⇔()k G =∞⇔()k F =∞,即(),k F F ≠∞10.B B+-≠ 应用引理2得 ()F r T ,(),N r F ≤+11,k N r F +⎛⎫ ⎪⎝⎭+()1,1k N r B F B ⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪-⎝⎭(),S r F +=11,k N r F +⎛⎫⎪⎝⎭(),S r F + 由11,k N r F+⎛⎫⎪⎝⎭<()()()1,1k m T r f O +++ 代入上式得()()1,n k T r f --<(),S r f , 矛盾.情形2. B 0=这时()k F=()1k G A A+-若A ≠1 ()k F 11A⎛⎫-- ⎪⎝⎭=0⇔()k G 0=, ()()()100k k G A F --=⇔=对,F G 运用引理2再相加得()F r T ,+()G r T ,()()()()111111,,,,,,k k k k N r F N r G N r N r N r N r F GFG++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+()()G r S F r S ,,+ 应用引理4,得()1,k N r F ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤()11,,k k N r F N r F +⎛⎫++ ⎪⎝⎭(),S r F ≤()()(),1,k N r f k m T r f ++++(),S r f ()()21,k m T r f ≤+++(),S r f (20) 同理 ()1,k N r G ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()21,k m T r g ≤+++(),S r g (21)将(20),(21)代入上式得()()()()()(),,1121,,n m T r f T r g k m k m T r f T r g ++<+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+(),S r f (),S r g +所以()()()33,,n k m T r f T r g ---+<⎡⎤⎣⎦(),S r f (),S r g +， 矛盾.故A =1 ()k F ()k G ≡,便有()()11k k FG c --=+若0c ≠,由引理2得()()()()111,,,,,k k T r F N r F N r N r S r F F Fc -⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=()()()()()11,,,,k N r f k m T r f N r S r f G -⎛⎫++++ ⎪⎝⎭又因为()11,k N r G -⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()11,,,k k N r G N r S r G G ⎛⎫≤-++ ⎪⎝⎭()()()()()1,,,k N r g k m T r g S r g ≤-+++ 所以()()()()()()()(),1,2,,,n m T r f k m T r f k m T r g S r f S r g +≤++++++ 同理()()()()()()()(),1,2,,,n m T r g k m T r g k m T r f S r f S r g +≤++++++故()()()()()(),,32,,n m T r f T r g k m T r f T r g ++≤++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+(),S r f (),S r g +()()()3,,n k m T r f T r g --+<⎡⎤⎣⎦(),S r f (),S r g +,矛盾. 所以0c =,即()()11k k F G --=.以此类推 ''F G =. 故F G c =+.若0c ≠,由第二基本定理()()()()()1111,,,,,,,,,T r F N r f N r N r S r f N r f N r N r S r f F F c F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()()()(),,1n n m T r f T r f p f O +=+()()()()11,,,,n n N r f N r N r S r f f p f g p g ⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()1111,,,,,,N r f N r N r N r N r S r f f g p f p g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()(){}()2,,,m T r f T r g S r f ≤+++另外又因为 ()()()f r S g r T f r T ,,,+=,因此推得()()()()(),22,,n m T r f m T r f S r f +≤++,()()()4,,n m T r f S r f --≤这与37n k m >++矛盾,故c=0.所以F G ≡.从而定理1中(i)成立.情形3. B 1=- 这时()k F =()()1k AG A --+ 若A ≠-1,()()1k G A -+=0 等价于()k F =∞,又等价于()k G =∞ 所以()()10,.k G A G -+≠≠∞对G 类似于情形1的论证同样可得矛盾 故A =-1,即()k F ()k G 1≡.此时f 与g 均为整函数,由命题1可知定理1中(ii)成立.(B)当2l =时()(()3111,,211k k N r N r F F ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12-()11,1k N r F ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤()11,21k N r F ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤12()()(),,,T r F k N r F S r F⎡⎤++⎣⎦ (22) 同理()()3111,,211k k N r N r G G ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12-()11,1k N r G ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤12()()(),,,T r G k N r G S r G ⎡⎤++⎣⎦ (23)将(22),(23)代入(12)得()F r T ,+()G r T ,()()()3,,k N r F N r G ⎡⎤≤++⎣⎦22112,,k k N r N r F G ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ +(()31,1k N r F ⎛⎫ ⎪-⎝⎭+()31,1k N r G ⎛⎫ ⎪-⎝⎭()()G r S F r S ,,++ (24) 应用引理6得()F r T ,+()G r T ,()()37,,2k N r F N r G +⎡⎤≤+⎣⎦22112,,k k N r N r F G ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111,,2k k N r N r F G ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()G r S F r S ,,++类似于前面的论证可得()()()()()()371,,22,,22k k m n m T r f T r g k m T r f T r g +++⎡⎤++<+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦+(),S r f (),S r g +所以3482n k m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭()()[]g r T f r T ,,+<()(),,S r f S r g +.这与3482n k m >++矛盾. 所以0H ≡. 以下应用(A)的后半部分论证,即得定理1结论. (C)当1l =时()1,1k N r F ⎛⎫ ⎪-⎝⎭12-()11,1k N r F ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤()11,21k N r F ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤12()()(),,,T r F k N r F S r F ⎡⎤++⎣⎦ (25) 由引理6得(()21,1k N r F ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭()()111,,k k N r F N r F +⎛⎫++ ⎪⎝⎭+(),S r F (26)同理()1,1k N r G ⎛⎫ ⎪-⎝⎭12-()11,1k N r G ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤12()()(),,,T r G k N r G S r G ⎡⎤++⎣⎦ (27) (()21,1k N r G ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭()()111,,k k N r G N r G +⎛⎫++ ⎪⎝⎭+(),S r G (28)将(25)-(28)代入(12)得()F r T ,+()G r T ,()()()322,,k k N r F N r G ⎡⎤≤++++⎣⎦22112,,k k N r N r F G ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11112,,k k N r N r F G ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()G r S F r S ,,++类似于前面的论证可得()()()()()()()(),,3212221,,n m T r f T r g k k k m k m T r f T r g ++<++++++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦+(),S r f (),S r g +所以()7311n k m ---()()[]g r T f r T ,,+<()(),,S r f S r g +. 这与7311n k m >++矛盾. 所以0H ≡. 以下应用(A)的后半部分论证,即得定理1结论.若f 和g 均为非常数整函数,则应用上面的论证计及()(),,0N r F N r G ==可得 当3l =,且24n k m >++时定理1结论成立. 当2l =,且5392k m n ++>时定理1结论成立.当1l=,且436n k m >++时定理1结论成立. 定理1证毕.参考文献：[1] Hayman W.K.. Meromorphic Functions[M]. Oxford: Clarendon Press, 1964. [2] Yang L.. Value Distribution Theory[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1993. [3]仪洪勋,杨重骏. 亚纯函数唯一性理论[M]. 北京: 科学出版社, 1995.[4] Fang M.L., Hua X.H..Entire functions that share one value[J].J.Nanjing Univ.Math.Biquarterly, 1996, 13(1):44-48[5] Yang C.C., Hua X.H.. Uniqueness and value-shring of meromorphic functions[J]. Ann.Acad.Sci.Fenn. Math. 1997, 22(12):395-406 [6] Fang M.L.. Uniqueness and value-shring of entire functions[J]. Compu. Math. App. 2002,44:828-831.[7] Zhang X.Y ., Lin W.C.. Uniqueness and value-shring of entire functions[J].J.Mathematical Analysis and Applications ,2008,2(11):938-950 [8] Xu Y .. Uniqueness of meromerphic functions sharing one value[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2008,doi:10.1016. [9] Yang C.C.. On deficiencies of differential polynomials Ⅱ[J]. Math.Z. 1972, 125:107-112[10]康海刚,秦健秋,张庆德.无穷级亚纯函数的T 方向和Borel 方向[J].西南大学学报(自然科学版),2007,29(12):27-33. [11]闫钟峰,张庆德.单位圆内无穷级亚纯函数的T-半径和Borel 半径[J].西南大学学报(自然科学版),2009,32(12). 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Nevanlinna值分布理论论文：值分布理论及其应用研究【中文摘要】利用亚纯函数的Nevanlina值分布理论和微分方程理论的一些技巧,本文主要研究微分多项式值分布和复代数或微分方程(组)亚纯解的存在性及其增长级等相关问题。

全文共分五章：第一章,简要介绍亚纯函数Nevanlina值分布理论和代数体函数的基础知识,其中包括复分析中的基本概念和一些基本定理。

第二章,利用亚纯函数Nevanlina值分布理论,研究微分多项式的值分布问题,改进了前人的一些结果,例子表明我们的结论更优。

第三章,利用微分方程的一些研究及其及亚纯函数Nevanlina值分布理论,研究了一类复微分方程组的亚纯解的存在性及增长级若干问题,得到一些结论,推广了G.Gundersen等人的一些结果。

第四章,利用代数体函数理论及亚纯函数Nevanlina值分布理论,研究了二阶代数微分方程的超越亚纯解的相关问题。

第五章,利用亚纯函数Nevanlina值分布理论和唯一性理论,考虑了亚纯函数组的一些问题,得到涉及小函数的亚纯函数组的相关结论。

【英文摘要】Using the Nevanlinna value distribution theory of meromorphic function and some skills of differential equations theory, this taper maily investigates the problems of the value distribution of differential polynomials, and the existence and the order of meromo-rphic solutions of some systems of functional equations or algebraic differentialequations . This taper is divided into five chapters:In chapter one, we desribe the basic Nevanlinna theory of meromorphic function and algebroid function, including...【关键词】Nevanlinna值分布理论微分多项式亚纯解复函数方程增长级【英文关键词】Nevanlinna Theory of values distribution differential polynomials meromorphic solution system of functional equations the growth order【索购全文】联系Q1：138113721 Q2：139938848同时提供论文写作一对一辅导和论文发表服务.保过包发【目录】值分布理论及其应用研究中文摘要4-5ABSTRACT5目录6-8引言8-9第一章基本理论知识9-16 1.1 基本定义及其性质9-13 1.2 基本定理13-16第二章关于微分多项式值分布的几个结果16-23 2.1 引言与主要结果16-17 2.2 几个引理及其证明17-19 2.3 定理的证明19-21 2.4例子21-23第三章复函数方程组亚纯解的增长级等问题研究23-29 3.1 引言与主要定理23-24 3.2 几个引理24 3.3 定理的证明24-29第四章关于二阶代数微分方程超越亚纯解29-38 4.1 引言与主要结果29-30 4.2 一些引理30 4.3 定理的证明30-38第五章涉及小函数的亚纯函数组的定理38-43 5.1 引言与主要结果38-39 5.2 定理的证明39-43参考文献43-45硕士期间论文发表情况45-46致谢46。