第4节 整函数与亚纯函数

浅谈整函数与亚纯函数摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等．关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理The Discussion of Integral Functionand Meromorphic FunctionsAbstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ．Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphicfunction;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem1 整函数的概念定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数．设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑定理1 设()f z 为一整函数，则(1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ，(2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式()010.mm m c c z c zc +++≠(3)z =∞为()f z 的本质奇点的充要条件为展式()0()0nnn f z czz ∞==≤<+∞∑有无穷多个n c 不等于零．由此可见，整函数族按唯一奇点z =∞的不同类型而被分为了三类． 例1 设()f z 为一整函数，试证()()()(0),00,0f z f z g z zf z -⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩也是一个整函数．证 显然，()g z 在0z ≠的点上解析．在0z =点，由()f z 为一整函数知，()f z 在这一点解析，又有()(0)lim ()lim(0)(0)x ax af z fg z f g z→→-'===，故()g z 在0z =这一点也解析．例2 ()f z 为一整函数，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数． (1) ()0f z '=;(2) ()f z 在z 平面上解析; (3) ()f z 为常数;(4) R e (),f z R e (),Im (),,,f z f z M a n 或Im ()f z 为常数．证 (1) 对,z x iy ∀=+有0()x x y y f z u iv v iu '==+=-，从而0y y v u ==，故()f z 为常数．(2) 设(),f z u iv =+则()f z u iv =-解析，易知0x y x y u u v v ====从而,u v 为常数，故()f z 为常数．(3) 若()0f z C ≡=，则显然()0f z ≡．若()0f z C ≡≠，则此时有()0f z ≠，且2()()f z f z C≡，即2()()Cf z f z ≡也是解析函数，则利用（2）即得()0f z =．(4) 设(),f z u iv =+若(),u x y C ≡，则0,0x y u u ≡≡．由C ．--R ．条件得0,0x y y x v u v u =-≡=≡，因此1212,,()u C v C f z C iC ≡≡=+为常数．若Im ()f z 为常数，同理可得()f z 为常数．1．1 超越整函数设()f z 为一整函数，则有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑若其中有无穷多个nc 不等于零，则()f z 为超越整函数．例如，z e ，sin z ，cos z 等都是超越整函数． 1．2 刘维尔定理有界整函数()f z 必为常数．证 设()f z 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有()M R M ≤．于是令1n =，有(),M f a R '≤上式对一切R 均成立，令R →+∞，即知()0f a '=，而a 是z 平面上任一点，故()f z 在z 平面上的导数为零，从而()f z 必为常数．刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函数的值不能全含于一圆之内．它的逆命题为真，即：常数为有界整函数．;它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界． 1．3 刘维尔定理的扩充定理在扩充z 平面上解析的函数()f z 必为常数．证 ()f z 在z 平面上解析，则()f z 必为整函数，而整函数只以∞点为孤立奇点，而()f z 在∞点解析，故∞点只能是()f z 的可去奇点，从而()f z 必为常数．推论1 实部有界的整函数(),f z z =∞必为常数．证 令()(),f z F z e =则()F z 为整函数．由于()f z 实部有界，则存在0M >，使得R e ()(),f z MF z ee =<从而有界，由刘维尔定理可见()F z 是常数，因此()f z 为常数．推论2 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证 设()w f z =为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在0ω及00ε>，使得对任何z ，恒有00()f z ωε->，则有非常数整函数()01()g z f z ω=-(因00()f z ωε->)．所以在z 平面上任何点z ，分母0()0f z ω-≠，从而()g z 在z 平面上解析，即为整函数．又因()f z 非常数，所以()g z 非常数，其值全含于一圆()01g z ε<之内，与刘维尔定理矛盾．从而非常数整函数的值不能全含于一圆之外． 1．4 代数学基本定理在z 平面上，n 次多项式101()nn n p z a z a za -=+++ 0(0)a ≠至少有一个零点．证 反证法，设()p z 在z 平面上无零点．由于()p z 在z 平面上是解析的，1()p z 在z平面上也解析．下面我们证明1()p z 在z 平面上有界．由于10lim ()lim (),nn nz z a a p z z a zz→∞→∞=+++=∞1lim0,()z p z →∞=故存在充分大的正数R ，使得当z R >时，11()p z <．又因1()p z 在闭圆z R ≤上连续，故可设1()Mp z ≤(正常数)，从而，在z 平面上11,()M p z <+于是，1()p z 在z 平面上是解析而有界的．由刘维尔定理知，1()p z 必为常数，即()p z 必为常数．这与定理的假设矛盾．故定理得证．2．亚纯函数定义2 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数． 亚纯函数族是较整函数族更一般的函数族，因此整函数可看成是亚纯函数的一种特例．定理2一函数()f z 为有理函数的充要条件是()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点．证 必要性 设有理函数()(),()P z f z Q z =其中()P z 与()Q z 分别为z 的m 次与n 次多项式，且彼此互质，则（1）当m n >时，z =∞必()f z 为的m n -阶级点； （2）当m n ≤时，z =∞必()f z 的可去奇点，只要置()()lim,()z P z f Q z →∞∞=z =∞就是()f z 的解析点；（3）()Q z 的零点必为()f z 的极点．充分性 若()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点，则这些极点的个数只能是有限个．因为如果不是这样，这些极点在扩充z 平面上的聚点就是()f z 的非孤立奇点．与假设矛盾．今令()f z 在z 平面上的极点为12,,,n z z z 其阶分别为12,,,n λλλ 则函数()1212()()()(),nn g z z z z z z z f z λλλ=---至多以z =∞为极点，而在z 平面上解析．故()g z 必为一多项式（或常数）．即()f z 必为有理函数．推论 每一个有理函数必为亚纯函数． 2．1 超越亚纯函数不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数． 例3 11ze -是一个超越亚纯函数．证11ze -有无穷多个极点：2(0,1,2),z k i k π==±±其聚点z =∞是一个非孤立奇点．故此函数不可能是一有理函数．例4 证明()f z 是单叶整函数的充要条件是()f z az b=+ (0)a ≠．证 充分性 由于函数()w f z az b ==+(0)a ≠及其反函数1()z w b a=-都是单值整函数（一次多项式），所以()f z az b=+ (0)a ≠．是单叶整函数．必要性 设()f z 是单叶整函数，则整函数分为三类：（1）()f z 为常数，这与单叶性假设矛盾; （2）()f z 为超越整函数，01(),nn f z c c z c z =++++ ()0z ≤<+∞它的唯一奇点是本质奇点z =∞．再由皮卡大定理，对每个,A ≠∞除掉可能的一个值A A =外，必有趋于∞的无限点列{}n z 使()()1,2,.n f z A n == 这也与()f z 的单叶性假设矛盾;（3）()f z 为一多项式，01(),(0).nn n f z c c z c z c =+++≠对任意,A ≠∞由代数学基本定理，()f z A =必有且只有n 个根（是几重根就算作几个根），但由()f z 的单叶性假设，必有 1.n =即必有01()f z c c z =+1(0),c ≠也可写成()f z az b =+ (0)a ≠．参考文献：[1] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，2004．[2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983． [3] 菲赫金哥尔兹．微积分学教程[M]．北京:人民教育出版社，1955． [4] 吉米多维奇．数学分习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，198学年论文成绩评定表。

分担四个值的亚纯函数
1 亚纯函数
亚纯函数是一种关于数学函数在一个给定闭区间上多维函数的一种变体。

它是一种不用计算，可以把闭区间上的函数值均匀分担到四个值的方法。

由于它可以把多维函数的值最大化，因此被广泛的应用于数学计算，机器学习，人工智能等领域。

2 工作原理
亚纯函数的工作原理是通过将多维函数的四个值均匀分担到给定的闭区间上，使得该函数的总体值最大化。

举个简单的例子，如果一个函数在[0,1]范围内为4个值，那么用亚纯函数可以将这4个值均匀分担在这个区间上。

这样，这个函数的最大值可以最大化。

3 应用
亚纯函数技术在数学计算，机器学习，人工智能等领域都有广泛的应用。

在数学计算中，亚纯函数技术主要用于求解控制问题，其中包括线性规划，非线性规划等，也包括最优控制问题的求解。

在机器学习中，亚纯函数技术用于构建机器学习模型，满足特定的预测函数。

亚纯函数技术可以加快求解过程，提高模型的准确性。

在人工智能领域，亚纯函数技术可以用于任务规划，搜索和对抗学习等，它可以加快模型的学习速度，提高结果的准确性。

4 优缺点
但是，亚纯函数技术还是存在一些优点和缺点。

其优点是不用计算，能够有效的将多维函数的值最大化，使之的总体值得到最大化。

缺点是由于把值最大化，可能出现偏差，即模型会偏离准确性，这可能引起一些预期外的结果。

因此，在使用亚纯函数技术时，我们要特别注意它的优缺点，以免出现意料之外的错误结果。

整函数与亚纯函数的分担值问题的开题报告开题报告：整函数与亚纯函数的分担值问题一、研究背景在复变函数理论中，有着一个重要的问题，称为整函数与亚纯函数的分担值问题。

该问题研究的主要是整函数与亚纯函数在复平面上的取值，即它们在复平面上的零点、极点、奇点等分布情况。

对于整函数，其在整个复平面上的取值主要由其在无穷远处的阶次决定，可以用一些基本的定理如孤立奇点定理、推论等来讨论其在复平面上的分布情况。

而对于亚纯函数，它的分布情况则较为复杂，因为它存在无穷远处的极点和本点的分布，需要用一些高级的定理如黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等来进行讨论。

二、研究内容与研究方法本文主要研究整函数与亚纯函数的分担值问题，具体内容包括：1.整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况。

2.利用孤立奇点定理、黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等定理来讨论整函数与亚纯函数的分担值问题。

3.根据整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况，提出一些有意义的结论和应用。

本文的研究方法主要包括：1.对于整函数的分担值问题，采用复分析中的基本定理和方法，如孤立奇点定理、分析技巧等。

2.对于亚纯函数的分担值问题，采用黎曼-罗希定理和亚纯延拓定理等高级定理进行推导和分析。

3.通过构造一些具体的例子和应用，进一步验证结论的正确性。

三、研究意义整函数与亚纯函数的分担值问题是复变函数理论中的重要问题，对于理解整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况具有重要意义。

此外，本文研究的整函数与亚纯函数的分担值问题还可以为其他相关领域的研究提供一定的参考和借鉴。

例如，在代数几何中，对于代数簇的零点和极点问题也可以类比使用复分析中的方法和定理来研究。

四、预期成果通过对整函数与亚纯函数的分担值问题进行深入的研究，本文将会得出以下预期成果：1.深入理解整函数与亚纯函数的分布情况，在复平面上建立起它们的分担值模型。

2.掌握关于孤立奇点定理、黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等定理，从而能够熟练地运用它们进行分析推导。

第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式双边幂级数设级数()()() +-++-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c c a z c 100 （1*）它在收敛圆R a z <-)0(+∞≤<R 内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 1；考虑函数项级数()() +-++-----n n a z c a z c 11 （2*） 作代换az -=1ξ 则（2*）即为 +++--n n c c ξξ1，它在收敛圆⎪⎭⎫⎝⎛+∞≤<<rr 101ξ内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2，从而（2*）在区域()+∞<≤>-r r a z 0内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2；当且仅当R r <时，（1*）（2*）有共同的收敛区域()+∞≤<≤<-<R r R a z r H 0:，此时，称()∑∞=-0n n n a z c 为双边幂级数。

关于双边幂级数的性质，见p185 定理1.5 定理1 （洛朗定理）设函数f (z )在圆环：)0(||:+∞≤<≤<-<R r R a z r H 内解析，那么在H 内,)()(∑+∞-∞=-=n n na z cz f其中，,...)2,1,0(,)()(211±±=-=⎰+τζζζπn d a f i c n n τ是圆ρρ,||=-a z 是一个满足R r <<ρ的任何数，并且展式是唯一的。

证明：H z ∈∀，作圆周11:ρτ=-a z 和22:ρτ=-a z 使z 含于圆环21':ρρ<-<a z H 内，于是()z f 在圆环'H 内解析。

由柯西积分公式()()ζζζπττd zf i z f ⎰-+-=1221 ()()nn n a z c d z f i -=-∑⎰+∞=0221ζζζπτ，其中()()ζζζπτd a f i c n n ⎰+-=2121 () ,1,1,0-=n 现考虑()()ζζζπζζζπττd z f i d z f i ⎰⎰-=--112121 ()()az aaz f z f ----=-ζζζζ11而沿1τ，1<--az a ζ，nn a z a az a ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛--=---∴011ζζ（在1τ上一致收敛）由于函数()ζζ-z f 沿1τ有界，所以()()()()n nn a z a a z f z f ---=-∑∞+=ζζζζ0 ∴()()()()∑⎰⎰+∞=----=-01112121n nn d a f i a z d z f i ττζζζπζζζπ ()()()ζζζπτd a f i a z n n n∑⎰-∞-=+--=11121故当H z ∈：()()∑+∞-∞=-=n nna z c z f ，其中()()ζζζπρτd a f i c n n ⎰+-=121() ,1,0±=n 展式的唯一性：设()()∑+∞-∞=-=n nna z c z f '任意取某正整数m ，在ρτ上有界，()()()∑+∞-∞=--+-=-∴n m n n m a z c a z z f 1'1()()()∑⎰⎰+∞-∞=--+⋅=-=-n m m n nm c i dz a z c dz a z z f '1'12ρρττπ()()⎰+-=∴ρτπdz a z z f i c m m 1'21() ,1,0±=m ，故() ,1,0'±==n c c n n，展式唯一。

整函数与亚纯函数是复变函数理论中的重要概念。

它们分别描述了复平面上的解析函数的不同性质和特点。

在这篇文章中，我们将简要介绍这两种函数，并且探讨它们的一些基本性质，以及它们在数学和物理中的应用。

整函数是指在复平面上解析的函数，也就是说，在复平面的每个点都存在有限的导数。

整函数有很多重要的性质，其中最重要的是它可以展开成无限级数的形式。

这种展开称为Laurent级数。

Laurent级数可以分成两个部分：主部和余部。

主部是一个有限项的多项式，而余部则是一个在解析圆盘外部无穷远远小于圆周周长的级数。

这很重要，因为它说明了整函数的性质：整函数在无穷远处的行为非常好，因为它的余项趋向于零。

另一方面，亚纯函数是指在复平面上解析的函数，但是在某些点处有极点。

极点是指函数在这个点上发散，但是在这个点的某个邻域内还是解析的。

亚纯函数的一个重要性质是它可以展开为Laurent级数，但是它只含有负次幂的项，也就是余部。

主部是不存在的。

这就说明了亚纯函数在某些点处发散，没有好的行为。

Laurent级数的形式也意味着，亚纯函数可以被分解成一个整函数和一个多项式的比值。

这个多项式的次数就是极点的阶，也就是它在这个点上的发散程度。

这个性质很重要，因为它揭示了亚纯函数的复杂性：它除了有无限项的级数展开之外，还有构成它的整数与多项式之间的关系。

整函数和亚纯函数在数学和物理中都有广泛的应用。

例如，在复分析中，Laurent级数可以用来证明柯西积分定理和留数定理。

在实际计算中，很多特殊函数，例如椭圆函数和贝塞尔函数，都是整函数和亚纯函数的组合。

在物理中，整函数和亚纯函数也非常有用。

例如，在量子场论中，格林函数就是一个复变函数，因此它可以用整函数和亚纯函数的工具来求解。

此外，在统计物理中，复变函数也有着很广泛的应用，因为它们可以用来描述相变现象和临界现象等。

在结尾我们重申，整函数和亚纯函数是复变函数理论中非常重要的概念。

通过体会它们的区别和性质，我们可以更深入地理解解析函数和级数展开的概念，掌握一些高级复变函数的计算工具，并在更广泛的物理和数学领域中学以致用。

亚纯函数的一个唯一性定理
函数是数学中最基本的元素，每一个函数都有独特的特点。

亚纯函数是一种特殊类型的函数，其中输入的参数的值不会影响函数的返回值，也就是说每一个输入值都得到相同的输出值，这种函数对程序的执行具有重要的作用。

亚纯函数的一个唯一性定理是，当两个不同的亚纯函数存在时，它们之间必然存在一个至少为三个参数的不同。

也就是说，当存在并且不等价的两个亚纯函数时，这两个函数在至
少三个参数上必须有所不同，否则它们实际上只有一个函数。

具体来说，假设存在一组参数序列{a[1], a[2],…,a[n]}，他们不等价的两个亚纯函数F(a[1],
a[2],…,a[n])和G(a[1], a[2],…,a[n])。

此时，若a[i]满足F(a[1], a[2],…,a[n]) = G(a[1],
a[2],…,a[n])，则必然存在至少三个参数的不同，且其形式为：F(a[1], a[2],…,a[n])≠G(a[1],
a[2],…,a[n])，a[i]不同。

本定理对亚纯函数的重要性是不可忽视的，它表明了何时有两个不同的函数，以及当必须
改变多少输入参数，才能形成一个新的函数。

此类定理有助于搞清程序中函数的正确性，
从而能正确地根据函数执行程序。

综上所述，亚纯函数的唯一性定理是一种有用的定理，有助于了解程序中多个不同函数之间的联系，以及设计函数的正确性。

本定理的重要性在于，它可以确定在形成新的函数前，必须改变多少输入参数，从而有助于正确定位和执行程序中的函数。