亚纯函数唯一性理论(仪洪勋,杨重骏著)思维导图
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高中数学最全的思维导图
高中数学最全的思维导图小数老师2015-11-23 11:08很多同学一轮复习已经过半，但还不知道该怎么总结，小数老师给大家提个建议，要想总结，主要还是首先梳理出脉络来，提到某个知识点，那么关于这个知识点相关的所有知识你都要弄明白，这样你就成功了一半！下面是8张思维导图，先研究下看看吧！夷示方法元表、隼合之闾的关系集台「1f映射i I 函数三要妄性质表示定义定义域值域单调性周期性性质対称性基本初等函数分段国数运算：交、弃、补确定性、互异性、无序性解析达列表法使解析式有意义丿对应关采［」换元法求解析式JA连意应用函数的单调在求值域圏象法u函薮破个区圈MlWt减I与曲谒国直是秃亍区减占鱼乂耒冒：2,征阴尊讶*勒査『斷人导披追；儿麗舍弼戴的鱼调性亘塑」是乂填黄于旗点时歌氐L©社有盘文的奇證戳弋r如即）r的奇圈埶詡⑵二呻书⑹=£）最值—C环酩变拱）—f皑拦变彗）—｛棒编变箕）亘合函数二次函巍、基本不等式、打崗（耐克）函〕数、三角函数有界性、数形结台、异数.L —次、二次函数、反比例函數一幕函数指数函数对数函数三甬函埶亘台III埶的单调性：同潸异减I哦值法、典型的函数1抽象函数函数与方程函埶的应用图象V性质和应用二分注、图象迭、二次展三次方程根的分布）空间几何体liii台区梭怪梭台L囲台Sfe-正枝｛王，长方体、正方体EW.四面体、正四面体一l点在Mh±点与线纬与面一面勻面点在面內点在面外竝面岂強-直线在平窗内厂平行—相乂—f平行关系的］A 转化J i ■■-平厅J垂直曲罕的］线线1相互轉化J垂嵐L相父L平行L三视團•r直观團长对正-喜平齐卞伯隼」一刚面积.表面理体段口高—个公共点没有缺旦漫有有公扛耳------------------ 厂W T 厂直线在平面外-^―---------------- L相交亠线面- "平行「面直垂畳线面甜r-J_ -面面■乎行價耕角的畫化与糾率的变化）位臭关养相立I—C且必：-今血芒：）狂童：战距可正A可员，也可为0. J注at：栽距可正可员，也可訂oj直迭万程茹形式直迭万程茹形式两亶线的交点两亶线的交点圧意若种开式的辕化和运用范圈圧意若种开式的辕化*□运用范围不等式群三即T通项会式等比数列一1（样。
亚纯映射唯一性定理
亚纯映射唯一性定理亚纯映射唯一性定理是复变函数理论的一部分，它研究了亚纯函数的特性和性质。
亚纯映射唯一性定理是指亚纯函数在满足一定条件下的唯一性，这个定理在复分析的研究中起到了重要的作用。
本文将介绍亚纯映射唯一性定理的基本概念、意义和证明方法。
亚纯函数是指由两个解析函数相除所得到的函数，即函数的分子和分母都是解析函数。
在实际应用中，亚纯函数是一类重要的数学工具，被广泛应用于物理学、工程学和自然科学等领域。
亚纯函数具有解析函数的某些特性，例如，在函数定义域内，亚纯函数可以无限次可导，除了可能有一些不可解析点。
亚纯函数的唯一性定理是指在满足一定条件下，亚纯函数在定义域内的唯一性。
具体地说，给定两个亚纯函数f(z)和g(z)，如果它们在一个区域内除了可能在有限个点处相等，那么f(z)和g(z)是相等的。
这个定理的证明方法可以利用解析函数的性质和复变函数的基本定理。
首先，我们知道亚纯函数是可以表示为解析函数的商，即f(z)=h(z)/k(z)，其中h(z)和k(z)分别是解析函数。
根据解析函数的性质，h(z)和k(z)可以展开为它们的幂级数，而且幂级数的收敛半径不为零。
因此，亚纯函数f(z)也可以展开为幂级数的形式。
接下来，我们考虑一个区域D内的两个亚纯函数f(z)和g(z)，它们在D内部除了可能在有限个点处相等。
我们假设f(z)和g(z)不相等，即存在一个点z0使得f(z0)≠g(z0)。
由于f(z)和g(z)是亚纯函数，它们可以展开为幂级数的形式。
那么在z0附近，我们可以把f(z)和g(z)展开为幂级数的形式。
考虑到幂级数的性质，我们可以取其中一个幂级数展开式的前N项和取极限，得到f(z0)和g(z0)的近似值。
如果我们取N足够大，那么f(z0)和g(z0)的近似值将非常接近，即|f(z0)-g(z0)|趋近于零。
这与我们的假设矛盾，因为我们假设在区域D内，f(z)和g(z)在有限个点处不相等。
因此，通过推理和反证法，我们可以得出结论：在满足一定条件下，亚纯函数的唯一性定理成立。
亚纯函数的唯一性定理
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亚纯函数的正规族与正规函数
2.学位论文 常建明 亚纯函数正规族的若干结果 2005
早在1907年, P.Montel({82])就引入了正规族的概念．一族亚纯函数称为正规的，如果族中任一列函数都含有一个按球面 距离局部一致收敛的子列。最近一二十年中，由于在复解析动力系统中的重要地位，正规族理论焕发了勃勃机．
在正规族理论中，著名的Bloch原理和最近由W.Bergweiler和L.Zal-cman(参{17})建议的变形说，如果有某个性质使得在 全平面上只有常数函数所具有，或者稍广一点，如果有某个性质使得在全平面上具有这个性质的亚纯函数(整函数)形成一个正 规族，那么在某—个区域上具有该性质的亚纯函数(全纯函数)族就是一个正规族．尽管Bloch原理—般而言并不成立 ([96])，本论文§2.6和§3.6中的反例说明它的变形一般也不成立，但在正规族理论的研究中Bloch原理及其变形仍然起着重 要的指导作用．可以说，本论文中所有正规族的结果均与Bloch原理及其变形相关．
（１９８９），７８２－７９１．
５】ｐ戢埠Ｘｕｅｃｈｅｎｇ＆Ｚａｌｃｍａｎ，Ｌ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ瞬，Ａｖｋｉ”歹拇Ｍａｔｈ８撒８ｔ魄 ３８：１（２０００），１７１ １８２．
６】Ｓｃｈｗｉｃｋ，Ｗ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ＩＪｌ，Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ．，５９（１９９２），５０－５４． ７】Ｙａｎｇ Ｌｏ，Ｖａｌｕｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ【Ｍ】，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇｅ，１９９３．
３ ｊ Ｌａｐｐ，≈ｎ，Ｐ．，Ｔｈｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ｝霸，Ａｎｎ。Ａｃａｄ．＆ｉ．托ｎｎ。 Ｓｅｔ．Ａ，Ｍａｔｈ．，３（１９７７），３０１－３１０．
早在1907年, P.Montel({82])就引入了正规族的概念．一族亚纯函数称为正规的，如果族中任一列函数都含有一个按球面 距离局部一致收敛的子列。最近一二十年中，由于在复解析动力系统中的重要地位，正规族理论焕发了勃勃机．
在正规族理论中，著名的Bloch原理和最近由W.Bergweiler和L.Zal-cman(参{17})建议的变形说，如果有某个性质使得在 全平面上只有常数函数所具有，或者稍广一点，如果有某个性质使得在全平面上具有这个性质的亚纯函数(整函数)形成一个正 规族，那么在某—个区域上具有该性质的亚纯函数(全纯函数)族就是一个正规族．尽管Bloch原理—般而言并不成立 ([96])，本论文§2.6和§3.6中的反例说明它的变形一般也不成立，但在正规族理论的研究中Bloch原理及其变形仍然起着重 要的指导作用．可以说，本论文中所有正规族的结果均与Bloch原理及其变形相关．
（１９８９），７８２－７９１．
５】ｐ戢埠Ｘｕｅｃｈｅｎｇ＆Ｚａｌｃｍａｎ，Ｌ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ瞬，Ａｖｋｉ”歹拇Ｍａｔｈ８撒８ｔ魄 ３８：１（２０００），１７１ １８２．
６】Ｓｃｈｗｉｃｋ，Ｗ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ＩＪｌ，Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ．，５９（１９９２），５０－５４． ７】Ｙａｎｇ Ｌｏ，Ｖａｌｕｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ【Ｍ】，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇｅ，１９９３．
３ ｊ Ｌａｐｐ，≈ｎ，Ｐ．，Ｔｈｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ｝霸，Ａｎｎ。Ａｃａｄ．＆ｉ．托ｎｎ。 Ｓｅｔ．Ａ，Ｍａｔｈ．，３（１９７７），３０１－３１０．
具有Borel例外值的亚纯函数的唯一性
１ 引 言及 主 要结 论
本 文所 使 用的符 号符合 值 的分 布理 论［ 基 本符 号 习惯 ， 中记 】 ］ 其
， １ 、
（， ａ 厂）为 ，（ ） ｚ 一ｎ的重 级不 超
过ｋ 的零点集合， 重级零点只记一次． Ｄ ｒ去 ） Ｎ （， 表示在 ｝Ｉ 上ｆ ｚ一ｎ 重级不超过忌 ｚ≤ｒ （） 的 的零点
正规 增长 函数 ， 。 厂 的 Ｂ ｒｌ 外值 ， 且ｏ 为 （ ） ｏｅ例 若存 在 两个 非零 有 穷判别 的复数 ａ 、。 满 口 ，
足 Ｅ）
．
， Ｅ ） ｎ ， １ ２ 且 ｍａ ｛ Ｏ ， ， 口 ， ， 口 ， ） ＞ ０ 或 者 满 足 厂） （ ｇ）（ ＝ ，） ｘ Ｏ（ ， ） （ ） （ ２厂 ） ，
摘 要 ： 改进 了仪洪 勋 、 伟川 等人 关 于整 函数唯 一 性 的定 理 ， 到 了关 于具 有 Ｂ ｒｌ 林 得 ｏｅ 例
外值 并且 级为 有 穷非整 数 的非常 数亚 纯 函数 的唯一性 的结 论． 厂 ｚ ｇ ｚ 设 （ ）、 （ ）为 非常 数 亚纯 函数 ， ）的级 （ ）为 有 穷非整 数 ， ｇ（ ｇ ０和。 是 厂（） ｇ 的 Ｃ 分 担值 ， （ ） 。 ｚ 与 （） Ｍ 厂 ２为
）
（ 』，） ，
；（ ， ） ｇ）（ 一 １ ２ ， 中 ｋ ，）其 ≥ １ ｋ ≥ ２ 则 （ ） ｇ（ ． ，ｚ ， ｚ三 ）
关 键 词 ： 纯 函数 ； 一 性 ； ｏ ｅ 例 外 值 ； 值 亚 唯 Ｂ ｒｌ 亏
中图 分类 号 ： ７ ． ５ Ｏ１ ４ ２
文献 标识 码 ： Ａ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ３ １３ ．
Ｓｅ ． ２ ２ ｐ ０１
有穷非整数级(下级)亚纯函数的惟一性
元 Ｉ， ｌ ） ＿ 表示在 ｌｌ 上的重级不超过｜的零点数目， ）ｒ ≤ｒ ｚ ｊ ｝ 重级零点仅计一次， 相应的计数函数记为
、 一 ¨
）
（， ＿ Ｊ以 （， 表 （） ０ 重 不超 的 点 ｒ ｌ ， ） 示ｆｚ一 的 级 过ｋ 零 集合， 级 仅 次。 ０） 重 零点 计一
ＣＨＥＮ ｉｌｎ Ｇｕ —ｉ ｇ，Ｚ ＨＡＮＧ ａ — ｉ Ｘｉｏ ｂ ｎ
（ ｈｏ ｏ Ｍ ｔ ｍ ｔｓ ｎ ｙｔ ｃ ｎｅＳａｄｎ ｎ ｅ ｉ ， ｉ ｎ２００ ， ｈｎ ｏｇ ｈ ａ ｃ Ｓ ｏｌ ｆ ａ ｅ ａ ｃ ａｄＳｓ ｍ Ｓｉ ｃ ｈｎｏｇＵ ｉ ｒ ｔ Ｊ ａ ５ １０ Ｓａｄｎ ，Ｃｉ ） ｈ ｉ ｅ ｅ ｖ ｓｙ ｎ ｎ
ｇ（ ） ＝１２ ；＠（ ，） ∞， 十 ， 中 ｋ （ ） ｓ ≥２ 其 ≥１ ，ｋ （ ）为整 数 ， 则 （ ） ｇ ｚ 。 ｚ （ ）
¨（ ０
特 别地 ， 如果 ０ 与０ 为常数 ， ： 定理 １ 成立 ， 此时为文献 ［ ］ １ 中仪洪 勋结果 的一个推广 。 现在很 自然 的
２０ 年 ， ０ １ 对于有穷级整 函数 ， 林伟川 、 吕巍然改进了仪洪勋的一个结果 ， 得到了下面的结论 ： 定理 Ａ【 设 （ ） ｇ ｚ为开平 面 Ｃ上非 常数 整 函数 ， ｚ 的级 （ ） 穷非 整 数 。 （ ） ｇ ） ｚ与 （） ｇ（） ｇ有 ｚ与 （ 分
担 ０ Ｍ， Ｃ 如果存在两个有穷非零复数 口 与 ０ 满足 ： （ｊ ） ¨（ｊｇ （ ＝１２ ， ： ａ， ｆ ａ， ） ，）其中 ｋ（ ） ｋ（ 。 ≥１ ，： ≥
２ 为整数 ， 厂 ） ｇ ） ） 则 （ （ 。
本文 将定 理 Ａ推广 到亚 纯 函数 的情 形 ，主要结 果如 下 ： 定理 １ 设 （ ） ｇ ｚ为开平 面 Ｃ上非常 数 亚纯 函数 ，ｇ（） ｚ与 （） ｚ的级 （ ） ｇ 有穷 非 整数 。 （ ） ｇ ｚ 分 ｆ ｚ与 （） 担 ０ ∞ｃ 如果 存在 ≠０ ∞两个判 别 的 （） ｇ ｚ 的ｄ ｉ数 ０ （） ０（ ） 满足 ： ， Ｍ， ， ｚ与 （ ） ，！ ｉ ｉ 。ｚ与 ：ｚ ， ¨（ ｆ ０，）
整函数和亚纯函数涉及慢增长函数的唯一性定理
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) 是 判 别 的有穷 复数 2
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沪。 ( “ )
DOI : 10. 16169 /j . i ssn. 1008 -293x. s. 1994. 06. 005
1
年第 期 年
1
绍
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整 函 数 和亚 纯 函 数 涉 及慢 增长 函 数 的 唯一 性定理
王 建 平
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整 函 数 和亚 纯 函 数 涉 及慢 增长 函 数 的 唯一 性定理
王 建 平
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两 个 亚 纯 函数 满 足 T ( r
亚纯函数及其导数分担小函数集的唯一性
Ｍ ａ ．２０１ ｒ ２
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ２０ — １ １ ６ １０ －８ ２２ １）２０ ４ — ０
亚纯 函数及 其导数 分担小 函数 集 的唯一 性
赵 小珍
（ 宁德 师 范 学 院 数 学 系，福 建 宁 德 ３２ ０ ） ５１０
摘要 ：研究 了亚纯函数及其 ｋ阶导数权分担小 函数集的唯一性， 得到了： ｋｎ 设 ， 为正整数，． ｇ为开平面上 厂 ，
中计 ｍｉ（ ｋ ） ｎｍ， ＋１次，同样 也有 （ ，）Ｅ Ｓ ｇ ． ｇ ， （， ） Ｎｏｒａ 表示 ｆ—ａ ｇ—ａａ∈Ｓ 的公 共零 点 的 （，） 与 （ ）
面上 非 常数 亚纯 函数 ，称 另一 亚纯 函数 口ｚ 为 厂和 （）
ｇ的小 函数，如果 ｒ ｒａ ＝Ｓ ｒｆ 且 ｒ ｒａ ＝ｓｒｇ ． （，） （， ） （，） （， ） 设 厂为 非 常 数 亚 纯 函 数 ， ｋ为 正 整 数 ，用 Ｎ１ ｒ 、， （
１（ 口）表 示 厂 ／ ｆ一 ） 一ａ的 单 级 零 点 的 计 数 函 数 ， Ｎｋ（，／ 口） 示 ｆ— ）ｒ１ ｆ一 ）表 （ ａ的重数 ≤ ｋ的零 点 的计 数 函 数 ，每 个 零 点 只 计 １ 次 ．此 外 ， （， ） 示 ｓ ｒ厂 表 Ｓ ｒｆ （， ）＝ｏＴ ｒ＿ ） 。， （ （， ） ｒ ｏ， ） 厂（ Ｅ ，这 里 Ｅ表 示 线性
层 口ｚ， ） Ｅ （（） ‘ ＝Ｅ （（） ‘ ，如果 （（） 且 ｔ ｚ， ） ｔ ｚ， ） ｇ ｂ ， ｂ ｇ
２ 口ｆ ＋（ 十 ） （ ， ） ＋ ， ＋（， ） ４Ｏ ∞ ｆ ＞ｋ ５
则 称 ／与 ｇ Ｃ Ｉ 分担 集合 Ｓ； Ｍ（ Ｍ）
（ ）如果 ｉ ｉ
测度为有 限的集合． 令
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ２０ — １ １ ６ １０ －８ ２２ １）２０ ４ — ０
亚纯 函数及 其导数 分担小 函数 集 的唯一 性
赵 小珍
（ 宁德 师 范 学 院 数 学 系，福 建 宁 德 ３２ ０ ） ５１０
摘要 ：研究 了亚纯函数及其 ｋ阶导数权分担小 函数集的唯一性， 得到了： ｋｎ 设 ， 为正整数，． ｇ为开平面上 厂 ，
中计 ｍｉ（ ｋ ） ｎｍ， ＋１次，同样 也有 （ ，）Ｅ Ｓ ｇ ． ｇ ， （， ） Ｎｏｒａ 表示 ｆ—ａ ｇ—ａａ∈Ｓ 的公 共零 点 的 （，） 与 （ ）
面上 非 常数 亚纯 函数 ，称 另一 亚纯 函数 口ｚ 为 厂和 （）
ｇ的小 函数，如果 ｒ ｒａ ＝Ｓ ｒｆ 且 ｒ ｒａ ＝ｓｒｇ ． （，） （， ） （，） （， ） 设 厂为 非 常 数 亚 纯 函 数 ， ｋ为 正 整 数 ，用 Ｎ１ ｒ 、， （
１（ 口）表 示 厂 ／ ｆ一 ） 一ａ的 单 级 零 点 的 计 数 函 数 ， Ｎｋ（，／ 口） 示 ｆ— ）ｒ１ ｆ一 ）表 （ ａ的重数 ≤ ｋ的零 点 的计 数 函 数 ，每 个 零 点 只 计 １ 次 ．此 外 ， （， ） 示 ｓ ｒ厂 表 Ｓ ｒｆ （， ）＝ｏＴ ｒ＿ ） 。， （ （， ） ｒ ｏ， ） 厂（ Ｅ ，这 里 Ｅ表 示 线性
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高中函数知识点总结思维导图
高中函数知识点总结思维导图1. 函数及其性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
函数可以用数学符号或图形表示。
1.2 函数的性质•定义域：函数的输入值可能取的所有实数的集合•值域：函数的输出值可能取的所有实数的集合•单调性：函数的增减特性•奇偶性：函数在自身关于原点对称时，称为奇函数；否则称为偶函数2. 数学符号的应用2.1 函数的表示法•映射法：使用箭头表示函数的对应关系•例子：f(x) = x^2，表示函数f的定义域为实数集，值域为非负实数集。
2.2 函数的性质表示法•表格法：将函数的定义域和值域以表格的形式表示•例子：x -2 -1 0 1 2f(x) 4 1 0 1 43. 函数的图像与图象3.1 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表现形式，可以通过作图得到。
作图时，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
3.2 函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系中的全体点的集合。
图象的特点有： - 函数左右对称：奇函数的图象关于y轴对称，偶函数的图象关于原点对称 - 函数上下对称：在平面直角坐标系中，函数的图象上的每一点M关于x轴都有对称点N(x,-y)4. 特殊函数4.1 常数函数常数函数是定义域为全体实数的函数，且对应的函数值都相等。
4.2 一次函数一次函数表示为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a不等于0。
一次函数的图象是一条直线。
4.3 二次函数二次函数表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于0。
二次函数的图象是一条抛物线。
4.4 幂函数幂函数表示为f(x) = ax^n，其中a和n为常数，a不等于0。
幂函数的图象随着指数n的增大而变成越来越陡峭或平缓的曲线。
4.5 指数函数指数函数表示为f(x) = a^x，其中a为常数，a大于0且不等于1。
指数函数的图象呈现指数增长或指数衰减的趋势。
4.6 对数函数对数函数表示为f(x) = log(a, x)，其中a为常数，a大于0且不等于1。
亚纯函数的一个唯一性定理
亚纯函数的一个唯一性定理
函数是数学中最基本的元素，每一个函数都有独特的特点。
亚纯函数是一种特殊类型的函数，其中输入的参数的值不会影响函数的返回值，也就是说每一个输入值都得到相同的输出值，这种函数对程序的执行具有重要的作用。
亚纯函数的一个唯一性定理是，当两个不同的亚纯函数存在时，它们之间必然存在一个至少为三个参数的不同。
也就是说，当存在并且不等价的两个亚纯函数时，这两个函数在至
少三个参数上必须有所不同，否则它们实际上只有一个函数。
具体来说，假设存在一组参数序列{a[1], a[2],…,a[n]}，他们不等价的两个亚纯函数F(a[1],
a[2],…,a[n])和G(a[1], a[2],…,a[n])。
此时，若a[i]满足F(a[1], a[2],…,a[n]) = G(a[1],
a[2],…,a[n])，则必然存在至少三个参数的不同，且其形式为：F(a[1], a[2],…,a[n])≠G(a[1],
a[2],…,a[n])，a[i]不同。
本定理对亚纯函数的重要性是不可忽视的，它表明了何时有两个不同的函数，以及当必须
改变多少输入参数，才能形成一个新的函数。
此类定理有助于搞清程序中函数的正确性，
从而能正确地根据函数执行程序。
综上所述，亚纯函数的唯一性定理是一种有用的定理，有助于了解程序中多个不同函数之间的联系，以及设计函数的正确性。
本定理的重要性在于，它可以确定在形成新的函数前，必须改变多少输入参数，从而有助于正确定位和执行程序中的函数。