[K12学习]2018高中数学 第2章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案 苏教版必修5

§2.3 等差数列的前n 项和（第2课时）【学习目标】（1）理解用等差数列的性质推导等差数列的前n 项和的方法； （2）掌握等差数列的前n 项和的两个公式，并能运用公式初步解决有关问题；（3）理解蕴含在推导过程的数学思想、掌握相关的数学方法，提高逻辑推理能力 【重 点】熟练掌握等差数列的求和公式一、知识回顾（默写公式）1、等差数列的前n 项和公式：2、在等差数列前n 项和公式及通项公式中有1a ，n a ，n ，d ，n S 五个量，已知其中三个可以求出另外两个的数学思想方法是什么？二、课堂探究主题一 由数列的前n 项和n S 求n a若数列{}n a 的前n 项和为n S ，请根据n n a a a S +++= 21思考下面的问题：1.根据数列的前n 项和n S ，如何求数列的通项n a ？2.由数列的前n 项和n S ，求数列的通项n a 是否一定都以分段的形式表示？是什么？，它的首项与公差分别是等差数列吗？如果是。

这个数列求这个数列的通项公式项和为的前、已知数列例,21}{12n n S n a n n +=主题二 等差数列前n 项和的最值问题等差数列前n 项和公式为：当d ≠0时，n S 是关于n的二次函数，在一定条件下，n S 有最值.请根据这些条件思考下面的问题：1.在等差数列中，当a 1＞0,d ＜0和a 1＜0,d ＞0时，分别分析S n 的最值情况.2.从函数观点分析前n 项和的最值的取值情况.例2、已知等差数列73，69，65，61……的前n 项和为n S ,求使得n S 最大的序号n 的值。

重要结论：1、利用n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩2、10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）； ②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或100n n a a +≤⎧⎨≥⎩四、课堂练习1.若数列{n a }的前n 项和为S n =n 2，则项8a 等于( )(A)15 (B)16 (C)49 (D)642.（1）已知数列{n a }的前n 项和为S n =2n 2+3n ，求数列{a n }的通项公式a n .（2）已知数列{n a }的前n 项和为S n =2n 2+3n+1，求数列{a n }的通项公式a n .3.设等差数列{n a }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{n a }的通项公式；(2)求{n a }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．五、课后作业：1．数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，求该数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是多少？2．设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若a 1=－11,a 4+a 6=－6,当S n 取最小值时，求n 的值.3．数列{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且60a >，70a <，（1）求公差d ；（2）设前n 项和为n S ，求n S 的最大值；（3）当n S 为正数时，求n 的最大值。

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。

3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。

2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。

2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。

五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。

2.3 等差数列的前n 项和（二）[学习目标] 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .知识点一 等差数列前n 项和及其最值 1．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ．2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1＜0，d ＞0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)因为S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d＜0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值． 知识点二 数列中a n 与S n 的关系对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.思考 若S n ＝n 2＋n ，则a n ＝________． 答案 2n解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋1＝2＝2×1， ∴a n ＝2n .知识点三 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而实现求和． 常见的拆项方法： (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2；1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，1n ＋2＋n ＝12(n ＋2－n )，1n ＋k ＋n ＝1k (n ＋k －n )；(3)1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)．题型一 已知S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2＋3n ，试判断数列{a n }是不是等差数列． 解 ∵S n ＝2n 2＋3n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －2(n －1)2－3(n －1)＝4n ＋1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝5＝4×1＋1. ∴n ＝1时，适合a n ＝4n ＋1.∴数列的通项公式是a n ＝4n ＋1.故数列{a n }是等差数列．反思与感悟 (1)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1适合于a n 时，则a 1可以统一到a n (n ≥2，n ∈N *)的形式中．若n ＝1不适合a n ，则通项公式应写成分段函数形式．(2)等差数列{a n }中，若d ≠0，则S n 可写成关于n 的二次函数形式，反之，若S n ＝An 2＋Bn ，那么数列{a n }一定是等差数列．跟踪训练1 本例中，若S n ＝2n 2＋3n ＋1，试判断该数列是不是等差数列． 解 ∵S n ＝2n 2＋3n ＋1.∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n ＋1－2(n －1)2－3(n －1)－1＝4n ＋1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6≠4×1＋1.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，4n ＋1n ≥2，故数列{a n }不是等差数列．题型二 等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值． 解 方法一 ∵S 9＝S 17，a 1＝25，∴9×25＋9（9－1）2d ＝17×25＋17（17－1）2d ，解得d ＝－2. ∴S n ＝25n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二 同法一，求出公差d ＝－2.∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2（n ＋1）＋27≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三 ∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法四 设S n ＝An 2＋Bn . ∵S 9＝S 17，∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.反思与感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形： ①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值的方法，注意解自然数． 跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)方法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．方法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列． 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值． 题型三 求数列{|a n |}的前n 项和例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32（n －1）2＋2052（n －1） ＝－3n ＋104. ∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)． 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7. 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0. (1)当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝S n ＝－32n 2＋2052n ；(2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×342＋2052×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a n |}．若原等差数列{a n }中既有正项，也有负项，那么{|a n |}不再是等差数列，求和关键是找到数列{a n }的正负项分界点处的n 值，再分段求和．跟踪训练3 已知等差数列{a n }中，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 2＝16，S 4＝24得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．①当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n . ②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n （n ≤5且n ∈N *），n 2－10n ＋50 （n ≥6且n ∈N *）. 题型四 裂项相消法求和例4 等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解 ∵等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝2， ∴前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝3n ＋n （n －1）2×2＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴1S n＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12(1n －1n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝12⎣⎢⎡（1－13）＋（12－14）＋（13－15）＋…＋（1n －1－1n ＋1）⎦⎥⎤＋（1n －1n ＋2）＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）. 反思与感悟 裂项相消法求数列的前n 项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n 项和．跟踪训练4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1（2n －1）（2n ＋1），求数列{a n }的前n 项和S n .解 a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)，∴S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －3）（2n －1）＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －3－12n －1)＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1， ∴S n ＝n 2n ＋1.例5 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________． 错解 a n ＝S n －S n －1＝(n 2－1)－[(n －1)2－1]＝2n －1. 答案 2n －1错因分析 运用a n ＝S n －S n －1求通项公式时，要求n ≥2，只有验证n ＝1满足通项公式后，才能用一个式子来表示，否则必须分段表示． 正解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(n 2－1)－[(n －1)2－1]＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－1＝0，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，2n －1，n ≥2误区警示 根据前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c 判断{a n }是不是等差数列时，只有当c ＝0时是等差数列，否则不是．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( ) A ．n B ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1 答案 D解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又因a 1＝1符合a n ＝2n －1，所以，a n ＝2n －1(n ∈N *)．2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①②C ．①③D ．①④ 答案 B解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确． 又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确．S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确．{S n }中最大项为S 6，④不正确． 故正确的是①②.3．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________． 答案 6或7解析 由|a 5|＝|a 9|且d ＞0得a 5＜0，a 9＞0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小． 4．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，其前n 项和S n ＝9，则n ＝________．答案 99 解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1＝9， ∴n ＝99.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n，求a n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5. (2)当n ≥2时，S n －1＝3＋2n －1，又S n ＝3＋2n，∴a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝21－1＝1≠5，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5（n ＝1），2n －1（n ≥2）.1.因为a n ＝S n －S n －1在n ≥2时才有意义，所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．。

等差数列的前n项和一.学习目标：1.理解数列前n项和Sn的概念，并掌握Sn与an的关系.2.通过等差数列前n项和公式的推导体会倒序相加的思想.3.会选择恰当的公式解决简单的等差数列求和问题.4.体会两组公式分别从哪些角度反映了等差数列的性质.二．教学重点、难点：1.教学重点：掌握数列的前n项Sn与an的关系、差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些简单问题，体会两组公式所反映出的等差数列的性质是本节课的重点.2.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得是难点.三.新课内容：1.数列的前n项和①Sn=_______________②Sn与an的关系③题型练习：已知数列{an}的前n项和Sn=n2则通项公式an=_______2.你能快速求出1+2+3+...+100=?3.这种方法能推广到求一般的等差数列求前n项和？为什么？Sn=a1+a2+a3+...+an4.等差数列前n项和公式Sn=_______5.题型练习:已知等差数列{an}中①a1=-4,a8=-18则S8=______②S10=120,则a2+a9=______③a7=2,则S13=_______※该公式从哪个角度体现了等差数列的性质？6.等差数列的前n 项和Sn=________7.题型练习：已知等差数列{an}中①a1=-16,d=4,则S6=_______;Sn=_______②上式中，当n 取何值时，Sn取到最小值？※该公式从哪个角度说明了等差数列的性质？三.课堂小结、作业1.课堂小结：2.作业：课本44页例3、例4以及45页的练习题.3.思考：题型练习3中的第二问可否从通项公式着手解答？四.板书设计五.教学反思。

2.3 等差数列的前n项和一、教学目标：知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式； 2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;3.会简单运用等差数列前n项和公式.过程与方法： 1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；2. 通过公式的运用体会方程的思想。

情感态度：结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.二、教学重点难点：教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.三、教学策略及设计本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

四. 教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五.教学过程教学过程设计为六个教学环节：（如下图）指导思想：就是从特殊到一般，由具体到抽象，类比归纳总结出指导等差数列前n项和公式的倒序相加法，然后引导学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中体会方程的思想方法。

识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识二、问题牵引，探究发现问题1：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？即: S100=1+2+3+······+100=？著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世，那么小高斯是如何快速地得出了答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。

2.2.3 等差数列的前n 项和(一)学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一 等差数列前n 项和公式的推导思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]． 两式相加，得2S n ＝n (a 1＋a n )，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2.根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ， 代入上式可得S n ＝na 1＋____________.知识点二 等差数列前n 项和公式的特征思考1 等差数列{a n }中，若已知a 2＝7，能求出前3项和S 3吗？思考2 我们对等差数列的通项公式变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下S n ＝na 1＋n n －2d 吗？梳理 等差数列{a n }的前n 项和S n ，有下面几种常见变形： (1)S n ＝n ·a 1＋a n2；(2)S n ＝d2n 2＋(a 1－d2)n ；(3)S n n ＝d 2n ＋(a 1－d 2)({S n n }是公差为d2的等差数列)． 知识点三 等差数列前n 项和公式的性质思考 如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？梳理 S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .类型一 等差数列前n 项和公式的应用命题角度1 方程思想例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，a n，S n，知其三能求其二．跟踪训练1 在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n.命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？类型二 等差数列前n 项和的性质的应用例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．反思与感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是________．2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝________. 3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.4．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)；若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . 3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想．答案精析问题导学 知识点一思考 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n n ＋2.梳理n n －2d知识点二思考1 S 3＝a 1＋a 32＝3a 1＋a 32＝3a 2＝21.思考2 按n 的降幂展开S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数形式，且常数项为0. 知识点三思考 (a 11＋a 12＋…＋a 20)－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝(a 11－a 1)＋(a 12－a 2)＋…＋(a 20－a 10) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ，类似可得 (a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝100d .∴a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列． 题型探究例1 解 方法一 由题意知S 10＝310，S 20＝1 220，将它们代入公式S n ＝na 1＋n n －2d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n ×4＋n n －2×6＝3n 2＋n .方法二 S 10＝a 1＋a 102＝310⇒a 1＋a 10＝62，①S 20＝a 1＋a 202＝1 220⇒a 1＋a 20＝122，②②－①得a 20－a 10＝60， ∴10d ＝60，∴d ＝6，a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝3n 2＋n .跟踪训练1 解由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋n －d ，S n ＝na 1＋n n －2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －＝11，na 1＋n n －2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.例2 解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，…a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋－2×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150 ＝1 255(元)．跟踪训练2 解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n n －2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．所以第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意， 有2n ＋n n －2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解得n ＝15，n ＝－28(舍去)．所以第2次相遇是在开始运动后15分钟． 例3 解 (1)方法一 在等差数列中， ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. 方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝12a1＋a 912b1＋b 9＝a1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512. 跟踪训练3 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝12n －52， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n n －12×12＝14n 2－94n . 当堂训练1．24 2.3 3.1904．解 (1)∵S n ＝n ×32＋(－12)×nn －2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.∴n ＝12，a n ＝a 12＝－4. (2)由S n ＝n a 1＋a n2＝n－2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.。

2.3 等差数列的前n 项和（一）[学习目标] 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一 数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n ．则 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)． 思考 由S n 与S n －1的表达式可以得出a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n －S n －1 （n ≥2），S 1 （n ＝1）.知识点二 等差数列前n 项和公式1．公式1：若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n （a 1＋a n ）2．2．公式2：若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ．3．推导方法：倒序相加法 过程：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a n ＋a 1， ∴2S n ＝n (a 1＋a n )， ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2.4．从函数角度认识等差数列的前n 项和公式 (1)公式的变形S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝d 2n 2＋(a 1－d2)n .(2)从函数角度认识公式①当d ≠0时，S n 是项数n 的二次函数，且不含常数项； ②当d ＝0时，S n ＝na 1，不是项数n 的二次函数． (3)结论及其应用已知数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ＋C ， 若C ＝0，则数列{a n }为等差数列； 若C ≠0，则数列{a n }不是等差数列．思考 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．－2B ．－13C ．1D ．3 答案 A解析 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝6， ∴a 2＝2，又a 1＝4，∴d ＝－2.知识点三 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2. 2．若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d ．3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.4．若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.5．若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1.思考 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是________． 答案 210解析 设{a n }的前3m 项和是S ，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 分别为30，70，S －100.由性质知30，70，S －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S －100)， ∴S ＝210.题型一 与等差数列S n 有关的基本量的计算例1 在等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.∴n ＝15，d ＝－16.(2)由已知得S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（4＋a 8）2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.反思与感悟 a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用． 跟踪训练1 在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10； (2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.题型二 等差数列前n 项和性质的应用例2 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( )A ．7 B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S nn}的前10项的和为________． 答案 (1)C (2)D (3)75解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49.(2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.(3)∵S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)．∴S n n＝n ＋2，∴数列{S n n}是以首项为3，公差为1的等差数列， ∴{S n n }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 反思与感悟 等差数列前n 项和计算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解．(2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S nn＝an ＋b (a ≠0)进行计算．(3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解．跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.(2)已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．解 方法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57.方法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列， ∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n .又S n T n ＝2n ＋13n －2， ∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R .∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1) ＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1) ＝t (4n －1)(n ≥2)，b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5) ＝t (6n －5)(n ≥2)． ∴a n b n ＝t （4n －1）t （6n －5）＝4n －16n －5，∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57.题型三 等差数列前n 项和公式在实际中的应用例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，…a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋（60－19×0.5）2×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，并选择相应的公式进行求解．跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．答案 2 000解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000 米．1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析 S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10等于( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48 答案 C解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3. ∴a 10＝2＋9×3＝29.3．已知数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( ) A ．－1 B ．－11 C ．－13 D ．－15 答案 D解析 易知(a 3＋a 8)2＝9. ∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3.∴S 10＝10（a 1＋a 10）2＝10（a 3＋a 8）2＝－15.4．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 B解析 由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，∴4(a 1＋a n )＝280， ∴a 1＋a n ＝70. 又S ＝n （a 1＋a n ）2＝n2×70＝210，∴n ＝6. 5．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 20解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.1.推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论“若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)”，“若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p ”的 应用．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2.3 等差数列的前n项和数列的前n项和[导入新知]数列的前n项和对于数列{a n}，一般地，称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.[化解疑难]数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和.等差数列的前n项和[提出问题]如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？提示：六层，等腰梯形．问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？提示：(4＋9)×6＝78.问题3：原来有多少根钢管？1 提示：×78＝39.2问题4：能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式S n＝a1＋a2＋…＋a n?提示：能．S n＝a1＋a2＋…＋a n，S n＝a n＋a n－1＋…＋a1，相加：2S n＝(a1＋a n)＋(a2＋a n－1)＋…＋(a n＋a1)＝1n(a1＋a n)，n a1＋a n∴S n＝.2问题5：试用a1，d，n表示S n.提示：∵a n＝a1＋(n－1)d，n[a1＋a1＋n－1d] n n－1∴S n＝＝na1＋d.2 2[导入新知]等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数n a1＋a n 选用公式S n＝2n n－1 S n＝na1＋d2[化解疑难]等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及a1，d，n，a n及S n五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、通项和前n项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．等差数列前n项和的有关计算1 [例1](1)(北京高考)已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝2__________；S n＝________.(2)在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n.[解](1)设公差为d，则由S2＝a3得12a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，2n n－1n n＋1故a2＝a1＋d＝1，S n＝na1＋d＝.2 4(2)由Error!得Error!解方程组，得Error!或Error!n n＋1[答案](1)14[类题通法]2a1，d，n称为等差数列的三个基本量，a n和S n都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，a n，S n中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．[活学活用]已知等差数列{a n}．5 3(1)a1＝，a15＝－，S n＝－5，求n和d；6 2(2)a1＝4，S8＝172，求a8和S n.5 3解：(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，6 21∴d＝－.6n n－1又S n＝na1＋·d＝－5，2解得n＝15，n＝－4(舍去)．8a1＋a884＋a8(2)由已知，得S8＝＝＝172，2 2解得a8＝39.又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.n n－1 5 3∴S n＝4n＋×5＝n2＋n.2 2 2已知S n求通项公式a n[例2]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列．[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1，不满足a n＝－4n＋3，3∴数列{a n}的通项公式是a n＝Error!(2)由(1)知，当n≥2时，a n＋1－a n＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n}不满足等差数列的定义，{a n}不是等差数列．[类题通法]已知数列{a n}的前n项和公式S n，求通项公式a n的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，根据S n写出S n－1，化简a n＝S n－S n－1；(3)如果a1也满足当n≥2时，a n＝S n－S n－1的通项公式，那么数列{a n}的通项公式为a n＝S n －S n－1.如果a1不满足当n≥2时，a n＝S n－S n－1的通项公式，那么数列{a n}的通项公式要分段表示为a n＝Error!(如本例)[活学活用]已知下面各数列{a n}的前n项和S n的公式，求{a n}的通项公式．(1)S n＝2n2－3n；(2)S n＝3n－2.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；当n≥2时，S n－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则a n＝S n－S n－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5.此时若n＝1，a n＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故a n＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，S n－1＝3n－1－2，则a n＝S n－S n－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.此时若n＝1，a n＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，故a n＝Error!等差数列前n项和的性质[例3](1)(辽宁高考)在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()4A．58B．88C．143 D．176(2)等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，求S110.[解](1)因为{a n}是等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11 11a1＋a11项和为S11＝＝11a6＝88.2(2)∵数列{a n}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列．设其公差为d，则S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100，10 × 9即10S10＋×d＝S100＝10.2又∵S10＝100，代入上式，得d＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.[答案](1)B[类题通法]等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，S k，S2k－S k，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．S n{n}为等差数列．(2)数列{a n}是等差数列⇔S n＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d.①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，S奇a n＝；S偶a n＋1②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a n，S奇n＝.S偶n－1[活学活用]1．在等差数列{a n}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为()A．9 B．12C．16 D．17解析：选A由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{b n}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是可求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.52．等差数列{a n}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________.解析：因为a1＋a13＝a2＋a12＝2a7，又a2＋a7＋a12＝24，所以a7＝8.13a1＋a13所以S13＝＝13×8＝104.2答案：104等差数列前n项和的最值[例4]在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和S n的最大值．[解]由S17＝S9，n∈N*，得17 ×17－19 ×9－125×17＋d＝25×9＋d，2 2解得d＝－2，n n－1法一：∴S n＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.2由二次函数的性质得，当n＝13时，S n有最大值169.法二：∵a1＝25＞0，由Error!1 1得Error!即12 ＜n≤13.2 2∴当n＝13时，S n有最大值169.法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0.而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0.故n＝13时，S n有最大值169.[类题通法]求等差数列的前n项和S n的最值通常有两种思路n n－1d d)n配方．转化为求二次函数的最值问题，借助函(1)将S n＝na1＋d＝n2＋22 (a1－2数单调性来解决；(2)邻项变号法：当a1>0，d<0时，满足Error!的项数n使S n取最大值．当a1<0，d>0时，满足Error!的项数n使S n取最小值．[活学活用]6已知{a n}是等差数列，其中a10＝30，a20＝50.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n－20，求数列{b n}的前n项和T n的最小值．解：(1)由a10＝30，a20＝50，得Error!解得a1＝12，d＝2，所以a n＝2n＋10.(2)由b n＝a n－20得b n＝2n－10，所以，当n<5时，b n<0；当n>5时，b n>0；当n＝5时，b n＝0.由此可知，数列{b n}的前4项或前5项的和最小．易知T4＝T5＝－20，故数列{b n}的前n项和T n的最小值为－20.3.求等差数列前n项和[典例](12分)已知等差数列{a n}满足a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.求a n 及S n.[解题流程][规范解答]设等差数列{a n}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有Error!(4分)解得a1＝3，d＝2，所以a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1，(9分)n n－1S n＝3n＋×2＝n2＋2n.(12分)2[名师批注]解决等差数列问题时，有以下几点容易造成失分：(1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项a1和公差d；7(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；(3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第1项．[活学活用]已知等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}的前k项和S k＝－35，求k的值．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而，a n＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知a n＝3－2n，n[1＋3－2n]所以S n＝＝2n－n2.2进而由S k＝－35可得2k－k2＝－35.又k∈N*，故k＝7为所求．[随堂即时演练]1．(全国卷Ⅱ)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9 D．115a1＋a5解析：选A法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝25a3＝5，故选A.法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，5 × 4∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.22．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13 B．35C．49 D．63解析：选C法一：设数列{a n}的公差为d，Error!解得Error!7 × 6 于是S7＝7×1＋×2＝49.2法二：由等差数列前n项和公式及性质知7a1＋a77a2＋a67 ×3＋11S7＝＝＝＝49.2 2 283．已知数列的通项公式a n＝－5n＋2，则其前n项和S n＝________.解析：∵a n＝－5n＋2，∴数列{a n}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝－5，n－3－5n＋2n5n＋1∴S n＝＝－.2 2n5n＋1答案：－24．在数列{a n}中，a1＝32，a n＋1＝a n－4，则当n＝________时，前n项和S n取最大值，最大值是________．解析：∵d＝a n＋1－a n＝－4，∴a n＝－4n＋36.令a n＝－4n＋36≥0，得n≤9，∴n＝8或9时，S n最大，且S8＝S9＝144.答案：8或91445．在等差数列{a n}中：(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；48(2)已知a2＋a4＝，求S5.5解：(1)由已知Error!得Error!解得Error!所以a8＝a1＋7d＝－5＋7×3＝16(或a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16)．48(2)由a2＋a4＝及等差数列的性质，548知a1＋a5＝a2＋a4＝，55a1＋a5 5 48 所以S5＝＝×＝24.2 2 5[课时达标检测]一、选择题1．设{a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于() A．18B．20C．22 D．24解析：选B由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．已知等差数列{a n}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10等于() A．138 B．1359C．95 D．23解析：选C由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可知d＝3，a1＝－4.10 × 9∴S10＝－40＋×3＝95.23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝15，S5＝55，则数列{a n}的公差是()1A. B．44C．－4 D．－3解析：选B∵{a n}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴5a3＝55，a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4.4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63 B．45C．36 D．27解析：选B∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为() A．5 B．4C．3 D．2解析：选C由题意得S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.或由解方程组Error!求得d＝3，故选C.二、填空题6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则{a n}的通项a n＝________.解析：设{a n}的公差为d，则Error!解得Error!于是a n＝2＋(n－1)×2＝2n.答案：2n7．(北京高考)若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n} 的前n项和最大．解析：∵数列{a n}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，∴a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，∴a9＜0.∴当n＝8时，其前n项和最大．答案：8S78．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4＝2a3，则＝________.S5解析：由等差数列的性质知S7 7a4 7 a4 7 14＝＝×＝×2＝.S5 5a3 5 a3 5 514答案：5三、解答题S n9．设数列{a n}的前n项和为S n，点(n，n)(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上，求数列{a n} 的通项公式．S n解：依题意得，＝3n－2，即S n＝3n2－2n.n当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，因a1＝S1＝1，满足a n＝6n－5，所以a n＝6n－5(n∈N*)．10．数列{a n}的前n项和S n＝33n－n2.(1)求证：{a n}是等差数列；(2)问{a n}的前多少项和最大；(3)设b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和S′n.解：(1)证明：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足a n＝34－2n.故{a n}的通项为a n＝34－2n.所以a n＋1－a n＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.故数列{a n}是以32为首项，－2为公差的等差数列．(2)令a n≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{a n}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{a n}的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n≤17时，a n≥0；当n≥18时，a n＜0.所以当n≤17 时，S′n＝b1＋b2＋…＋b n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a n＝S n＝33n－n2.当n≥18时，S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋a n)＝S17－(S n－S17)＝2S17－S n＝n 2－33n ＋544.故 S ′n ＝Error!2S 2n 11．已知 S n 是数列{a n }的前 n 项和，且 a 1＝1，a n ＝ (n ≥2)，求 a n . 2S n －1 2S 2n 2S 2n 解：当 n ≥2 时，将 S n －S n －1＝a n 代入式子 a n ＝ ，得 S n －S n －1＝ . 2S n －1 2S n －1 整理，得 S n －1－S n ＝2S n ·S n －1.1 1 两边同除S n ·S n －1得 －＝2(n ≥2)． S n S n －1 1∴数列{S n }是以 2为公差的等差数列． 1 1 1 则 ＝ ＋2(n －1)＝2n －1.∴S n ＝ . S n S 1 2n －1－2当 n ≥2 时，a n ＝S n －S n－1＝ . 2n －12n －3当 n ＝1时，a 1＝1不适合上式， ∴a n ＝Error!12．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前 5项的和 S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前 n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 解：(1)设{a n }的首项、公差分别为 a 1，d ， 则Error!解得 a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12. n a 1＋a n 1(2)S n ＝＝ (3n 2－21n ) 2 2 37 147 ＝ 2 )2－ ，2(n －8 ∴当 n ＝3或 4时，前 n 项的和取得最小值为－18.12。

高一数学 2.2.3等差数列的前n 项和（2）学案 学习目标：1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式．2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题．学习重点：熟练掌握等差数列的求和公式．学习难点：灵活应用求和公式解决问题．学习过程：一、问题情境1．情境：首先回忆一下上一节课所学主要内容：（1）等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a an S += ．（2）等差数列的前n 项和公式2： 2)1(1dn n na S n -+= ．（3）n da n dS n )2(212-+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式．二、学生活动根据上节课知识讨论对等差数列前项和的最值问题有哪些方法．三、建构数学（1）利用n a ：当n a >0，d <0，前n 项和有最大值．可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值． 当n a <0，d >0，前n 项和有最小值．可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值．（2）利用n S ：由n da n dS n )2(212-+=二次函数配方法求得最值时n 的值．四、数学运用1．例题．例1 求集合M ={m |m =2n －1，n ∈N *，且m ＜60}的元素个数及这些元素的和．例2 已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．求证：（1）6S ，12S －6S ，18S －12S 成等差数列；（2）k k k k k S S S S S 232,,-- （+∈N k ）成等差数列．2．练习．（1）一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.（2）两个数列1, 1x , 2x , ……,7x , 5和1, 1y , 2y , ……,6y , 5均为等差数列，公差分别是1d ，2d ，求21d d 与621721y y y x x x ++++++ 的值．五、要点归纳与方法小结本节课学习了：等差数列前n 项和的最值问题．。

第2课时 等差数列前n 项和的综合应用学习目标：1.掌握a n 与S n 的关系并会应用(难点).2.掌握等差数列前n 项和的性质及应用(重点).3.会求等差数列前n 项和的最值(重点).4.会用裂项相消法求和(易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．S n 与a n 的关系an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝S n －S n －1n2．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．思考：如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？[提示] (a 11＋a 12＋…＋a 20)－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝(a 11－a 1)＋(a 12－a 2)＋…＋(a 20－a 10) ＝＝100d ，类似可得(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12 ＋…＋a 20)＝100d .∴a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列． 3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值． 思考：我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？[提示] 由二次函数的性质可以得出：当a 1<0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1>0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．[基础自测]1．思考辨析(1)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．( )(2)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．( ) (3)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12B [∵S 奇S 偶＝n ＋1n ，∴165150＝n ＋1n.∴n ＝10.故选B 项．] 3．等差数列{a n }中，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________. 15 [由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列得2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)解得S 6＝15.]4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________.【导学号：91432176】23或24 [由a n ≤0即2n －48≤0得n ≤24. ∴所有负项的和最小，即n ＝23或24.][合 作 探 究·攻 重 难]等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．[解] (1)在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. (2)a 5b 5＝12a 1＋a912b 1＋b9＝a 1＋a92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512.(1)整体思路：利用公式，设法求出整体 (2)待定系数法：利用的二次函数，设Bn A ，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S a进行计算.跟踪训练1．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.【导学号：91432177】(2)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．(1)104 (2)75 [(1)由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8， 所以S 13＝a 1＋a 132×13＝a 7·13＝104.(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3. 所以S n ＝n＋2n ＋2＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列， 所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.]等差数列前n 项和S n 的函数特征[探究问题]1．将首项为a 1＝2，公差d ＝3的等差数列的前n 项和看作关于n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？提示：首项为2，公差为3的等差数列的前n 项和为S n ＝2n ＋n n －2＝32n 2＋12n ， 显然S n 是关于n 的二次型函数．且常数项为0，二次项系数为d 2，一次项系数为a 1－d2；如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n2＋n ，那么当n ＝1时，S 1＝a 1＝4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，则该数列的通项公式为a n ＝6n －2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n 项和都是关于n 的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n 项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．2．已知一个数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－5n ，试画出S n 关于n 的函数图象．你能说明数列{a n }的单调性吗？该数列前n 项和有最值吗？提示：S n ＝n 2－5n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －522－254，它的图象是分布在函数y ＝x 2－5x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{a n }前n 项为负数．由S n 的图象可知，S n 有最小值且当n ＝2或3时，S n 最小，最小值为－6，即数列{a n }前2项或前3项和最小．数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2， (1)求{a n }的通项公式； (2)问{a n }的前多少项和最大；(3)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和S n ′.【导学号：91432178】思路探究：(1)利用S n 与a n 的关系求通项，也可由S n 的结构特征求a 1，d ，从而求出通项． (2)利用S n 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．(3)利用a n 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用S n 的函数特征判断项的正负求解．[解] (1)法一：(公式法)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n . 故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .法二：(结构特征法)由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n}是等差数列，由S n的结构特征知⎩⎪⎨⎪⎧d 2＝－1，a 1－d2＝33，解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .(2)法一：(公式法)令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17， 故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．法二：(函数性质法)由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332. 距离332最近的整数为16,17.由S n ＝－n 2＋33n 的图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0， 故数列{a n }的前16项或前17项的和最大． (3)由(2)知，当n ≤17时，a n ≥0； 当n ≥18时，a n <0.所以当n ≤17时，S n ′＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2. 当n ≥18时，S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n ) ＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n ＝n 2－33n ＋544.故S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧33n －n 2n，n 2－33n ＋n母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“S n ＝33n －n 2”变为“在等差数列{a n }中a 1＝25，S 17＝S 9”求其前n 项和S n 的最大值．[解] 法一：∵S 9＝S 17，a 1＝25， ∴9×25＋－2d＝17×25＋－2d ，解得d ＝－2. ∴S n ＝25n ＋n n －2×(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法二：同法一，求出公差d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0， 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－n ＋＋27≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法三：∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法四：设S n ＝An 2＋Bn .∵S 9＝S 17，∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.2．(变条件)将例题中的条件“S n ＝33n －n 2”变为“S n ＝－3n 22＋2052n ”求数列{|a n |}的前n项和T n .[解] a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32n －2＋2052n － ＝－3n ＋104. ∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)． 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7. 即当n ≤34时，a n >0； 当n ≥35时，a n <0.(1)当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n ；(2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×342＋2052×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.裂项相消法求和等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.思路探究：根据{a n }为等差数列求出其前n 项和，根据⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的通项特征，利用裂项相消法求和．[解] ∵等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝2， ∴前n 项和S n ＝na 1＋n n －2d＝3n ＋n n －2×2＝n 2＋2n (n ∈N *)， ∴1S n＝1n 2＋2n ＝1nn ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋3n ＋n ＋.项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项裂项之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n －n ＋，求数列{a n }的前n 项和S n .【导学号：91432179】[解] a n ＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1n －n －＋1n －n ＋1＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1， ∴S n ＝n2n ＋1.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2C [由题知S 偶－S 奇＝5d ∴d ＝30－155＝3.]2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( )【导学号：91432180】A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④B [∵S 6>S 7，∴a 7<0， ∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0， ∴a 6>0，∴d <0，①正确．又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确．S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确．{S n }中最大项为S 6，④不正确． 故正确的是①②.]3．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________．6或7 [由|a 5|＝|a 9|且d >0得a 5<0，a 9>0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小．]4．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，其前n 项和S n ＝9，则n ＝________.99 [a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝9. ∴n ＝99.]5．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2－30n . (1)求数列 {a n }的通项公式a n ； (2)求S n 的最小值及对应的n 值.【导学号：91432181】[解] (1)∵S n ＝n 2－30n ， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－29.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－30n )－[(n －1)2－30(n －1)]＝2n －31. ∵n ＝1也适合， ∴a n ＝2n －31，n ∈N *. (2)法一：S n ＝n 2－30n ＝()n －152－225∴当n＝15时，S n最小，且最小值为S15＝－225.法二：∵a n＝2n－31，∴a1<a2<…<a15<0，当n>15时，a n>0. ∴当n＝15时，S n最小，且最小值为S15＝－225.。