实验三 基4-FFT算法编程

基4快速傅⾥叶变换⼀、功能计算复序列的基4快速傅⾥叶变换。

⼆、⽅法简介序列x (n )(n =0,1,...,N −1)的离散傅⾥叶变换定义为X (k )=N −1∑n =0x (n )W nk N ,k =0,1,...,N −1其中W nk N =e −j 2πnk N ，若N =4M ，则将序列x (n )分成四个N /4点的序列x 1(n )、x 2(n )、x 3(n )、x 4(i )(n =0,1,…,N /4—1), 即x (n )=x 1(n )+x 2(n )+x 3(n )+x 4(n )式中x 1(n )=x (n ),(n =0,1,...,N /4−1)x 2(n )=x (n +N 4),(n =0,1,...,N /4−1)x 3(n )=x (n +N 2),(n =0,1,...,N /4−1)x 4(n )=x (n +3N 4),(n =0,1,...,N /4−1)把x (n )代⼊DFT 表达式中，则有X (k )=N /4−1∑n =0[x 1(n )W nk N +x 2(n )W (n +N /4)k N +x 3(n )W (n +N /2)k N +x 4(n )W (n +3N /4)k N ]=N /4−1∑n =0[x 1(n )+x 2(n )W N /4k N +x 3(n )W N /2k N +x 4(n )W 3N /4k N ]W nk N(k =0,1,...,N −1)把X (k )按频率抽取，得X (4k )=N /4−1∑n =0[x 1(n )+x 2(n )+x 3(n )+x 4(n )]W nk N /4X (4k +1)=N /4−1∑n =0[x 1(n )−jx 2(n )−x 3(n )+jx 4(n )]W n N W nk N /4X (4k +2)=N /4−1∑n =0[x 1(n )−x 2(n )+x 3(n )−x 4(n )]W 2n N W nk N /4X (4k +3)=N /4−1∑n =0[x 1(n )+jx 2(n )−x 3(n )−jx 4(n )]W 3n N W nk N /4通过上⾯得分解，可求得所有X (k )值，其基本运算式为{{f1(n)=x1(n)+x2(n)+x3(n)+x4(n)f2(n)=[x1(n)−jx2(n)−x3(n)+jx4(n)]W n Nf3(n)=[x1(n)−x2(n)+x3(n)−x4(n)]W2n N f4(n)=[x1(n)+jx2(n)−x3(n)−jx4(n)]W3n N ，(k=0,1,...,N4−1)这样，就将⼀个N点得DFT转化为四个N/4点DFT来计算。

实验三用FFT对信号进行频谱分析和MATLAB程序实验三中使用FFT对信号进行频谱分析的目的是通过将时域信号转换为频域信号，来获取信号的频谱信息。

MATLAB提供了方便易用的函数来实现FFT。

首先，我们需要了解FFT的原理。

FFT（快速傅里叶变换）是一种快速计算离散傅里叶变换（DFT）的算法，用于将离散的时间域信号转换为连续的频域信号。

FFT算法的主要思想是将问题划分为多个规模较小的子问题，并利用DFT的对称性质进行递归计算。

FFT算法能够帮助我们高效地进行频谱分析。

下面是一个使用MATLAB进行频谱分析的示例程序：```matlab%生成一个10秒钟的正弦波信号，频率为1Hz，采样率为100Hzfs = 100; % 采样率t = 0:1/fs:10-1/fs; % 时间范围f=1;%正弦波频率x = sin(2*pi*f*t);%进行FFT计算N = length(x); % 信号长度X = fft(x); % FFT计算magX = abs(X)/N; % 幅值谱frequencies = (0:N-1)*(fs/N); % 频率范围%绘制频谱图figure;plot(frequencies, magX);xlabel('频率(Hz)');ylabel('振幅');title('信号频谱');```上述代码生成了一个10秒钟的正弦波信号，频率为1 Hz，采样率为100 Hz。

通过调用MATLAB的fft函数计算信号的FFT，然后计算每个频率分量的幅值谱，并绘制出信号频谱图。

在频谱图中，横轴表示频率，纵轴表示振幅。

该实验需要注意以下几点：1.信号的采样率要与信号中最高频率成一定比例，以避免采样率不足导致的伪频谱。

2.FFT计算结果是一个复数数组，我们一般只关注其幅值谱。

3.频率范围是0到采样率之间的频率。

实验三的报告可以包含以下内容：1.实验目的和背景介绍。

FFT算法分析实验实验报告一、实验目的快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是数字信号处理中一种非常重要的算法。

本次实验的目的在于深入理解 FFT 算法的基本原理、性能特点，并通过实际编程实现和实验数据分析，掌握 FFT 算法在频谱分析中的应用。

二、实验原理FFT 算法是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的快速计算方法。

DFT 的定义为：对于长度为 N 的序列 x(n)，其 DFT 为X(k) ＝∑n=0 到 N-1 x(n) e^（j 2π k n ／ N) ，其中 j 为虚数单位。

FFT 算法基于分治法的思想，将 N 点 DFT 分解为多个较小规模的DFT，从而大大减少了计算量。

常见的 FFT 算法有基 2 算法、基 4 算法等。

三、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python，主要依赖 numpy 库来实现 FFT 计算和相关的数据处理。

四、实验步骤1、生成测试信号首先，生成一个包含不同频率成分的正弦波叠加信号，例如100Hz、200Hz 和 300Hz 的正弦波。

设定采样频率为 1000Hz，采样时间为 1 秒，以获取足够的采样点进行分析。

2、进行 FFT 计算使用 numpy 库中的 fft 函数对生成的测试信号进行 FFT 变换。

3、频谱分析计算 FFT 结果的幅度谱和相位谱。

通过幅度谱确定信号中各个频率成分的强度。

4、误差分析与理论上的频率成分进行对比，计算误差。

五、实验结果与分析1、幅度谱分析观察到在 100Hz、200Hz 和 300Hz 附近出现明显的峰值，对应于生成信号中的频率成分。

峰值的大小反映了相应频率成分的强度。

2、相位谱分析相位谱显示了各个频率成分的相位信息。

3、误差分析计算得到的频率与理论值相比，存在一定的误差，但在可接受范围内。

误差主要来源于采样过程中的量化误差以及 FFT 算法本身的近似处理。

7.6实验6：快速傅里叶变换-基4时间抽取FFT 算法matlab 实现7.6.1实验目的1.练习利用matlab6.5中工具箱中的信号处理函数2.熟悉快速傅里叶变换的基本原理3.熟悉基4DIT-FFT 运算的MATLAB 程序并运用7.6.2涉及函数信号处理函数X=fft(x)或者X=fft(x,N):自定义功能函数function [Xk]=DIF_FFT_4(xn,N)7.6.3实验原理与方法（基-4时域抽取算法与基-2时域抽取算法具有完全相同的实质，两者的差异仅源于基的选择不同。

）1 DIT-FFT 算法的基本原理有限长序列x (n )的N 点DFT 定义为：∑-==10 )()(N n n k N W n x k X ，式中N j N eW π2-=，其整数次幂简称为旋转因子。

N 符合2的整数幂，N 为2的几次幂，则需要进行几次分解。

碟形运算流图符号如下：2 DIT-FFT 算法的运算规律及编程思想为了编写DIT-FFT 算法的运算程序，首先要分析其运算规律，总结编程思想并绘出程序框图。

由右图可知，DIT-FFT 算法的运算过程很有规律。

2.1 原位计算对M N 2=点的FFT 共进行M 级运算，每级由N /2个蝶形运算组成。

在同一级中，每个蝶的输入数据只对本蝶有用，且输出节点与输入节点在同一水平线上，这就意味着每算完一个蝶后，所得数据可立即存入原输入数据所占用的数组元素(存储单元)，这种原位(址)计算的方法可节省大量内存。

2.2 蝶形运算实现FFT 运算的核心是蝶形运算，找出蝶形运算的规律是编程的基础。

for mm=1:m %将DFT 做m 次基2分解，从左到右，对每次分解作DFT 运算 Nmr=2^mm;u=1; %旋转因子u 初始化WN=exp(-j*2*pi/Nmr); %本次分解的基本DFT 因子WN ＝exp(-i*2*pi/Nmr)for n=1:Nmr/2 %本次跨越间隔内的各次碟形运算for k=n:Nmr:N %本次碟形运算的跨越间隔为Nmr=2^mmkp=k+Nmr/2; %确定碟形运算的对应单元下标(对称性)t=x(kp)*u; %碟形运算的乘积项x(kp)=x(k)-t; %碟形运算的加法项x(k)=x(k)+t;endu=u*WN; %修改旋转因子，多乘一个基本DFT 因子WN2.3 序列倒序为了保证运算输出的X (k )按顺序排列，要求序列x (n )倒序输入，即在运算前要先对输入的序列进行位序颠倒。

实验三用FFT对信号作频谱分析_实验报告一、实验目的1.学习使用FFT（快速傅里叶变换）对信号进行频谱分析；2.掌握频谱分析的基本原理和方法；3.熟悉使用MATLAB进行频谱分析的操作。

二、实验原理FFT是一种基于傅里叶变换的算法，可以将时域信号转换为频域信号，并将信号的频谱特征展示出来。

在频谱分析中，我们通过分析信号的频谱可以获得信号的频率、幅值等信息，从而对信号的性质和特征进行研究。

对于一个连续信号，我们可以通过采样的方式将其转换为离散信号，再利用FFT算法对离散信号进行频谱分析。

FFT算法可以将信号从时域转换到频域，得到离散的频谱，其中包含了信号的频率分量以及对应的幅值。

MATLAB中提供了fft函数，可以方便地对信号进行FFT分析。

通过对信号进行FFT操作，可以得到信号的频谱图，并从中提取出感兴趣的频率信息。

三、实验步骤1.准备工作：（2）建立新的MATLAB脚本文件。

2.生成信号：在脚本中，我们可以通过定义一个信号的频率、幅值和时间长度来生成一个信号的波形。

例如，我们可以生成一个频率为1000Hz，幅值为1的正弦波信号，并设置信号的时间长度为1秒。

3.对信号进行FFT分析：调用MATLAB中的fft函数，对信号进行FFT分析。

通过设置采样频率和FFT长度，可以得到信号的频谱。

其中，采样频率是指在单位时间内连续采样的次数，FFT长度是指离散信号的样本点数。

4.绘制频谱图：调用MATLAB中的plot函数，并设置x轴为频率，y轴为幅值，可以绘制出信号的频谱图。

频谱图上横坐标表示信号的频率，纵坐标表示信号的幅值，通过观察可以得到信号的频率分布情况。

四、实验结果在实验过程中，我们生成了一个频率为1000Hz，幅值为1的正弦波信号，并对其进行FFT分析。

通过绘制频谱图，我们发现信号在1000Hz处有最大幅值，说明信号主要由这一频率成分组成。

五、实验总结本实验通过使用FFT对信号进行频谱分析，我们可以方便地从信号的波形中提取出频率分量的信息，并绘制出频谱图进行观察。

基4FFT算法的FPGA实现基4FFT算法是一种优化的快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法，它能有效地将长度为4的离散序列转换为其频域表示。

在FPGA上实现基4FFT算法可以提高傅里叶变换的计算速度和效率，适用于音频处理、无线通信、图像处理等领域。

FPGA（Field Programmable Gate Array）是一种可编程逻辑设备，其灵活性和高度并行的特性使其成为FFT算法的理想硬件实现平台。

下面将从优化策略、架构设计和性能分析三个方面来讨论FPGA上基4FFT算法的实现。

一、优化策略基于FPGA的FFT算法实现的优化策略包括算法优化和硬件优化两个方面。

1.算法优化：基4FFT算法的关键特性是将长度为4的序列分解为两个长度为2的序列，再进行运算。

通过在算法级别上进行优化，可以减小计算量和存储量。

例如，采用切比雪夫多项式代替蝶形运算，减少乘法操作。

此外，使用采样点的对称性和周期性，可以进一步简化计算过程。

2.硬件优化：在FPGA的架构设计方面，可以采用流水线化和并行计算的方法来提高计算效率。

流水线化可以将计算过程划分为多个阶段，实现多个计算阶段的并行化，从而提高吞吐量。

并行计算可以通过使用多个处理单元来同时执行多个计算操作，进一步增加计算能力。

二、架构设计基于FPGA的基4FFT算法实现的架构设计主要包括数据存储和运算单元的设计。

1. 数据存储：基于FPGA的FFT算法实现中，需要使用存储单元来存储输入序列和中间结果。

常用的存储单元包括FIFO（First-in-First-out）队列和RAM（Random Access Memory）。

存储单元的设计需要考虑读写速度和存储容量。

2.运算单元：基于FPGA的FFT算法实现中，需要设计运算单元来进行乘法和加法运算。

运算单元的设计需要考虑乘法器的使用，乘法操作是FFT计算的关键部分，可以采用片上乘法器和并行乘法器来提高计算速度。

实验三用FFT计算线性卷积班级：学号：姓名：成绩：1实验目的在实际应用中，通常需要计算两个序列的线性卷积，希望通过具有快速算法的DFT来实现。

然而，DFT只能计算循环卷积，因此因此应找出两个序列线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积和线性卷积相等的条件。

通过课本公式的推导循环卷积yc(n)=h（n）⊗x(n)和线性卷积yl(n)= h（n）*x(n)相等的条件是循环卷积的长度L≥N+M-1。

本实验内容即时对该结论的验证。

并加深对DFT快速算法在计算线性卷积方面的优势。

2 实验内容利用Matlab仿真工具，取两个序列x(n)=[1,1,1,1],h(n)=[1,1,1,1,1],其中h(n)的长度M=5，x(n)的长度N=4;N+M-1=8，所以再用DFT算法计算x（n）和h(n)的卷积时，分别改变DFT的长度，得到卷积后的波形，观察其是否和线性卷积的结果相同,如果不同，思考其原因。

3实验步骤Step1. 取两个序列x(n)=[1,1,1,1],h(n)=[1,1,1,1,1],利用求卷积算法conv求出其线性卷积yc(n);Step2. 其中h(n)的长度M=5，x(n)的长度N=4;N+M-1=8，所以再用DFT算法计算x（n）和h(n)的卷积时,分别取DFT的长度为L=6,8,10 得到其波形；Step3.观察得到的波形有何变化，分析原因。

3 程序设计// 程序流程图、代码。

用ＤＦＴ计算线性卷积的框图4实验结果及分析如图所示，利用DFT算法计算两个序列X(n)和H(n)的线性卷积时，当所选长度L=6<（M1+M2-1=8）时，循环卷积的结果不等于其正确结果，当L=8或10时，其循环卷积计算结果即为卷积值。

由此，即验证了结论，循环卷积yc(n)=h（n）⊗x(n)和线性卷积yl(n)= h（n）*x(n)相等的条件是循环卷积的长度L≥N+M-1。

5总结本实验通过对照的试验方法，通过改变DFT计算循环卷积的实现线性卷积的快速算法。