人教A版高中数学必修一练习：1-3-1第1课时函数的单调性

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课时提升卷(十)函数的单调性（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.若函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,在区间(c,d)上也是增函数,则函数f(x)在区间(a,b)∪(c,d)上( )A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( )A.k>B.k<C.k>-D.k<-3.(2013·石家庄高一检测)下列函数在(0,1)上是增函数的是( )A.y=1-2xB.y=-x2+2xC.y=5D.y=4.函数y=|x|-1的单调减区间为( )A.(-∞,0)B.(-∞,-1)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)5.函数f(x)在区间(-4,7)上是增函数,则使得y=f(x-3)为增函数的区间为() A.(-2,3) B.(-1,7)C.(-1,10)D.(-10,-4)二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知f(x)为R上的减函数,则满足f(x)<f(1)的实数x的取值范围是.7.已知函数y=x2+4x+c,则f(1),f(2),c三者之间的大小关系为.8.下列说法:①若x1,x2∈I,当x1<x2时,f(x1)<f(x2),则f(x)在I上是增函数;②函数y=x2为增函数;③函数y=-在定义域上是增函数.其中正确的有个.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,并根据函数的图象找出函数的单调区间.10.(2013·天津高一检测)判断函数f(x)=(a≠0)在区间(-1,1)上的单调性.11.(能力挑战题)设函数f(x),g(x)有相同的定义域D,且f(x)为增函数,g(x)为减函数,则函数f(x)+g(x),f(x)-g(x)中哪一个为增函数?答案解析1. 【解析】选D.因为(a,b),(c,d)不是两个连续的区间,所以无法确定其单调性.2. 【解析】选 D.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,所以2k+1<0,即k<-.【变式备选】函数y=在(-∞,-1)上为减函数,则a的范围为() A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)C.[-1,+∞)D.(-∞,-1]【解析】选C.y=的减区间为(-∞,a)和(a,+∞),其在(-∞,-1)上为减函数,故a≥-1.3. 【解析】选B.选项A中y=1-2x为减函数,C中y=5为常数函数,D 中y=的定义域为[1,+∞).4.【解析】选A.y=|x|-1=在(-∞,0)上为减函数.5.【解析】选C.y=f(x-3)的图象可以由f(x)的图象向右平移3个单位得到,故其在(-1,10)上一定为增函数.6.【解析】由题意得,x>1.答案:x>1【举一反三】若将题干中“f(x)为R上的减函数”改为“f(x)为(0,5)上的减函数”,又如何解?【解析】由题意,得,解得1<x<5.7.【解析】函数y=x2+4x+c的开口向上,对称轴是x=-2,所以在区间[-2,+∞)上是增函数,故c=f(0)<f(1)<f(2).答案:c<f(1)<f(2)8.【解析】①不正确,虽然x1,x2∈I,但不具备任意性;②不正确,y=x2既有增区间也有减区间;③不正确,y=-虽有两个增区间,但在定义域上不单调.答案:09.【解析】当x-2≥0,即x≥2时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-)2-;当x-2<0,即x<2时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-)2+.所以y=这是分段函数,每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图),其中(-∞,],[2,+∞)是函数的单调增区间;(,2)是函数的单调减区间.10.【解析】任意的x 1,x2∈(-1,1),设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-=,∵-1<0,-1<0,x 1x2+1>0,x2-x1>0,∴>0,∴当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,函数y=f(x)在(-1,1)上是减函数;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,函数y=f(x)在(-1,1)上是增函数.【变式备选】已知f(x)=(x≠a).若a>0,且f(x)在(1,+∞)内是减函数,求a的取值范围.【解析】任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x 1)-f(x2)=-=.∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,∴a≤1.综上所述,知0<a≤1.11.【解题指南】利用函数单调性的定义进行判断,可令F(x)=f(x)-g(x),G(x)=f(x)+g(x).【解析】令F(x)=f(x)-g(x),G(x)=f(x)+g(x),任取x1,x2∈D且x1<x2,由题意,f(x1)<f(x2),g(x1)>g(x2),所以F(x1)-F(x2)=f(x1)-g(x1)-[f(x2)-g(x2)]=f(x1)-f(x2)-[g(x1)-g(x2)], ∵f(x1)-f(x2)<0,-[g(x1)-g(x2)]<0,∴F(x1)-F(x2)<0,即F(x)=f(x)-g(x)为增函数.而G(x1)-G(x2)=f(x1)+g(x1)-[f(x2)+g(x2)]=f(x1)-f(x2)+g(x1)-g(x2),∵f(x1)-f(x2)<0,g(x1)-g(x2)>0,∴G(x1)-G(x2)的符号无法判断,故不能有f(x)+g(x)为增函数的结论.关闭Word文档返回原板块。

第一课时函数的单调性【选题明细表】1.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,所以当x≤-时单调递减.故选C.2.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增(B)函数在区间[1,4]上单调递增(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.3.在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1(C)y= (D)y=2x2+x+1解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.4.函数f(x)=|x|-3的单调增区间是( B )(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)(C)(-∞,3) (D)(3,+∞)解析:根据题意,f(x)=|x|-3=其图象如图所示,则其单调增区间是(0,+∞).故选B.5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤4,选A.6.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)<f()的x的取值范围是( D )(A)(,) (B)[,)(C)(,) (D)[,)解析:因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f(2x-1)<f(),所以0≤2x-1<,解得≤x<.故选D.7.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是.解析:当x≥1时,f(x)是增函数;当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1). 答案:(-∞,1)8.函数f(x)=x2-2mx-3在区间[1,2]上单调,则m的取值范围是.解析:二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置,函数f(x)=x2-2mx-3的对称轴为x=m,函数在区间[1,2]上单调,则m≤1或m≥2.答案:(-∞,1]∪[2,+∞)9.已知f(x)=,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.解:f(x)=在[1,+∞)上是增函数.证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-==.因为1≤x1<x2,所以x2+x1>0,x2-x1>0,+>0.所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.10.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )(A)(-∞,3) (B)(0,3)(C)(3,+∞) (D)(3,9)解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.11.已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x的取值范围是. 解析:由题意,得解得1≤x<,故满足条件的x的取值范围是1≤x<.答案:[1,)12.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且f(x·y)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0.(1)求f(1);(2)证明f(x)在定义域上是增函数;(3)如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围.(1)解:令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0.(2)证明:令y=,得f(1)=f(x)+f()=0,故f()=-f(x).任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().由于>1,故f()>0,从而f(x2)>f(x1).所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)解:由于f()=-1,而f()=-f(3),故f(3)=1.在f(x·y)=f(x)+f(y)中,令x=y=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2.故所给不等式可化为f(x)-f(x-2)≥f(9),所以f(x)≥f[9(x-2)],所以x≤.又所以2<x≤.所以x的取值范围是(2,].13.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是.解析:由题意得解得-3≤a≤-2.答案:[-3,-2]。

一、选择题1．以下列图中是定义在区间[－5 ,5]上的函数y＝f(x) ,那么以下关于函数f(x)的说法错误的选项是()A．函数在区间[－5 ,－3]上单调递增B．函数在区间[1 ,4]上单调递增C．函数在区间[－3 ,1]∪[4 ,5]上单调递减D．函数在区间[－5 ,5]上没有单调性解析：假设一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用∪连接．比方0＜5 ,但f(0)＞f(5)．答案：C2．函数f(x)＝2x2－mx＋3 ,当x∈[－2 ,＋∞)时,f(x)为增函数,当x∈(－∞ ,－2]时,函数f(x)为减函数,那么m等于() A．－4 B．－8C．8 D．无法确定解析：由题意可知x＝－2是f(x)的对称轴,∴m4＝－2 ,m＝－8.答案：B3．以下有关函数单调性的说法,不．正确的选项是() A．假设f(x)为增函数,g(x)为增函数,那么f(x)＋g (x)为增函数B．假设f(x)为减函数,g(x)为减函数,那么f(x)＋g(x)为减函数C．假设f(x)为增函数,g(x)为减函数,那么f(x)＋g(x)为增函数D．假设f(x)为减函数,g(x)为增函数,那么f(x)－g(x)为减函数解析：∵假设f(x)为增函数,g(x)为减函数,那么f(x)＋g(x)的增减性不确定．例如f(x)＝x＋2为R上的增函数,当g(x)＝－12x时,那么f(x)＋g(x)＝x2＋2为增函数；当g(x)＝－3x ,那么f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数．∴不能确定f(x)＋g(x)的单调性．答案：C4．以下函数中 ,在区间(0 ,1)上是增函数的是 ( )A ．y ＝|x ＋1|B ．y ＝3－xC ．y ＝1x 3D ．y ＝－x 2＋4解析：B 、C 、D 在(0 ,1)上均为减函数 ,只有A 项在(0 ,1)上是增函数．答案：A二、填空题5．函数f (x )为区间[－1 ,1]上的增函数 ,那么满足f (x )<f (12)的实数x 的取值范围为________．解析：∵f (x )在[－1 ,1]上为增函数 ,且f (x )<f (12)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1x <12,得－1≤x <12. 答案：[－1 ,12) 6．(2021·周口高一检测)假设f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1 ,2]上都是减函数 ,那么a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1 ,2]上是减函数可得a ≤1 ,由g (x )＝a x ＋1在[1 ,2]上是减函数可得a ＞0.∴0＜a ≤1.答案：(0 ,1]7．函数f (x )＝|2x －1|的递减区间是________．解析：函数f (x )＝|2x －1|的图像如下所示：∴递减区间为(－∞ ,12]． 答案：(－∞ ,12] 8．函数f (x )＝－|x |在区间[a ,＋∞)上为减函数 ,那么实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )＝－|x |的图像为：观察图像可知a ≥0.答案：[0 ,＋∞)三、解答题9．证明函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数．证明：f (x )＝－x 的定义域为[0 ,＋∞) ,设0≤x 1<x 2 ,那么x 1－x 2<0 ,且f (x 2)－f (x 1)＝(－x 2)－(－x 1)＝x 1－x 2 ＝ (x 1－x 2 ) (x 1＋x 2 )x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2. ∵x 1－x 2<0 ,x 1＋x 2>0 ,∴f (x 2)－f (x 1)<0 ,即f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )＝－x 在它的定义域[0 ,＋∞)上是减函数．10．函数f (x )是定义在(0 ,＋∞)上的减函数 ,对任意的x ,y ∈(0 ,＋∞) ,都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1 ,且f (4)＝5.(1)求f (2)的值；(2)解不等式f (m －2)≤3.解：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5 ,∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3 ,得f (m －2)≤f (2)．∵f (x )是(0 ,＋∞)上的减函数．∴⎩⎨⎧m －2≥2m －2＞0解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。

【金版学案】2015-2016高中数学 1.3.1函数的单调性练习 新人教A 版必修1 基础梳理1．如果函数f (x )对区间D 内的任意x 1，x 2，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在D 内是增函数；当x 1＜x 2时都有f (x 1)＞f (x 2)，则f (x )在D 内是减函数． 例如：若f (x )＝2x －1，能证明出函数f (x )在R 上为增函数吗？____.2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1＜x 2时，总有f (x 1)＜f (x 2)[或f (x 1)＞f (x 2)]． 例如：f (x )是R 上的单调函数，若f (3)＞f (2)，则y ＝f (x )是R 上的单调____函数；若f (3)＞f (2)，则y ＝f (x )是R 上的单调增函数吗？____.3．若函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．4．若函数y ＝f (x )是R 上的增函数，当a ＞b 时，则f (a )____f (b ); 若函数y ＝f (x )是R 上的减函数，当a ＞b 时，则f (a )____f (b )．5．函数f (x )＝x 2＋2x ＋11的单调增区间是________,基础梳理1．能 2.递增 不是 4.＞ ＜ 5.[－1，＋∞)思考应用1．如果f (x )在区间D 上是单调函数，则函数f (x )是增函数(减函数)的说法正确吗？1．解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数．2. 函数f (x )在区间D 上是增(减)函数，对于任意x 1，x 2∈D ，则有“若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)[f (x 1)＞f (x 2)]”，反之是否也成立呢？2．解析：成立．即函数f (x )在D 上是增(减)函数，对于∀x 1，x 2∈D ，若f (x 1)＜f (x 2)[f (x 1)＞f (x 2)]，则x 1＜x 2，这个性质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来． 自测自评1．下列结论正确的是( )A ．函数y ＝－2x 在R 上为增函数B ．函数y ＝x 2在R 上为增函数C ．函数y ＝1x在定义域内为减函数 D ．函数y ＝1x 在(－∞，0)上为减函数2．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 3．若f (x )在R 上是增函数，且f (x 1)＞f (x 2)，则x 1，x 2的大小关系为________． 自测自评1．解析：借助图象知D 正确．故选D.答案：D2．解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D. 答案：D3．解析：∵f (x )在R 上是增函数，且f (x 1)＞f (x 2)，∴x 1＞x 2.答案：x 1＞x 2►基础达标1．使一次函数f (x )＝kx ＋b 为增函数的一个条件是( )A ．k ＜0B ．k ≤0C ．k ＞0D ．k ≥01．C2．下列说法正确的是( )A ．反比例函数y ＝k x在区间(0，＋∞)上是减函数 B ．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上C ．反比例函数y ＝2x是R 上的减函数 D ．一次函数f (x )＝－2x ＋b 是R 上的减函数2.D3．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内是增函数，在区间(b ，c )内也是增函数，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )内( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性3.D4．函数y ＝1x ＋2的大致图象只能是( )4.B5．函数f (x )图象如下图所示，函数的单调递减区间是____________．5.[－5，－2]和[1，3]6．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4 6．A►巩固提高7．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( )A.f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0 B ．(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )D.x 2－x 1f （x 2）－f （x 1）>0 7．解析：由增函数的定义知x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，∴A ，B ，D 都正确，故选C. 答案：C8．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[40，64]C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)8．解析：只需f (x )＝4x 2－kx －8的对称轴x ＝k 8的相应值k 8在区间[5，8]外面，即k 8≤5或k 8≥8， ∴k ≤40或k ≥64.答案：C9．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，判断f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系． 9．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.10．设函数f (x )＝x ＋1x，试讨论f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 10．分析：根据函数单调性定义，作差f (x 1)－f (x 2)后通过x 在不同区间取值对差的符号影响进行讨论．解析：设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－1）x 1x 2. ∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)的符号由x 1x 2－1确定．设f (x )在(0，a ]上单调，则对任意x 1，x 2∈(0，a ]恒有x 1x 2－1＜0，而在x 1，x 2∈[a ，＋∞)时，恒有x 1x 2－1＞0，∴a 2－1＝0，a ＝1.∴当x 1，x 2∈(0，1]时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，1]上是减函数．当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数．1．判断函数单调性的方法．方法一：画图观察；方法二：根据实际意义确定；方法三：利用定义证明．2．利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：(1)任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2；(2)作差f (x 1)－f (x 2)；(3)变形(通常是因式分解和配方)；(4)定号(即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负)；(5)下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性)．。

课时作业(十) 函数的单调性一、选择题1．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减 答案：C解析：y ＝|x ＋2|＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，如图．易知函数在[－3，－2]上为减函数，在[－2,0]上为增函数．2．已知函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，则f (2)________f (x 2－4x ＋6)( )A ．≥B ．>C ．≤D ．<答案：C 解析：∵x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2，且f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (2)≤f (x 2－4x ＋6)．3．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 答案：D 解析：当a ＝0时，f (x )＝2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a ＞0时，由函数f (x )＝ax 2＋2x －3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上单调递增；当a ＜0时，只有－22a ≥4，即a ≥－14满足函数f (x )在区间(－∞，4)上是单调递增的．综上可知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0. 4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案：C 解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，所以2m ＞－m ＋9，即m ＞3.5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1]D ．(0,1)答案：C 解析：由题可知，g (x )＝ax ＋1，x 在[1,2]上是减函数⇒a ＞0，欲使y ＝－x 2＋2ax 在[1,2]上单调递减，必须满足a ≤1.综上，0＜a ≤1.故选C.6．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4]B ．[0,2]C ．(－∞，0]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案：A 解析：由f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (2)＞f (0)，解得a ＜0.又因f (x )图象的对称轴为x ＝－－4a2a ＝2.所以x 在[0,2]上的值域与[2,4]上的值域相同，所以满足f (m )≥f (0)的m 的取值范围是[0,4]．二、填空题7．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是________．答案：(0,1) 解析：∵f (x )为R 上的减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＜f (1)，∴1x ＞1，∴0＜x ＜1.8．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.9．函数f (x )＝ax ＋2x ＋2(a 为常数)在(－2，2)内为增函数，则实数a 的取值范围是________．答案：(1，＋∞) 解析：函数f (x )＝ax ＋2x ＋2＝a ＋2－2ax ＋2，由于f (x )存在增区间，所以2－2a ＜0，即a ＞1.10．已知函数f (x )＝－ax 在(0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案：(0，＋∞) 解析：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 由题意知，f (x 1)<f (x 2)，即－a x 1<－ax 2，∴a (x 2－x 1)x 1x 2>0.又0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0， ∴a >0，即a 的取值范围是(0，＋∞)． 三、解答题11．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1.(1)求f (1)；(2)若f (x )＋f (x －8)≤2，求x 的取值范围．解：(1)∵f (3)＝f (1×3)＝f (1)＋f (3)， ∴f (1)＝0.(2)f (9)＝f (3×3)＝f (3)＋f (3)＝2， 从而有f (x )＋f (x －8)≤f (9)， 即f (x (x －8))≤f (9)，∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧x (x －8)≤9，x ＞0，x －8＞0，解得8＜x ≤9，即x ∈(8,9]．12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)．(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0，求函数f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.①∵f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)的最小值为4a －b 24a ，f (x )对x ∈R 均有f (x )≥0，∴必有f (x )min ＝4a －b 24a ≥0，∵a ＞0，∴4a －b 2≥0，即b 2－4a ≤0.② 将①代入②，得b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0， ∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1. (2)由(1)，得g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， ∵x ∈[－2,2]时，g (x )是单调函数， ∴－2－k 2≤－2或－2－k2≥2，解得k≤－2或k≥6.即k的取值范围为{k|k≤－2或k≥6}．13．已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．解：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)＝1x2－1的定义域为{x∈R|x≠±1}．(2)函数f(x)＝1x2－1在(1，＋∞)上是减函数．证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1x21－1－1x22－1＝(x2－x1)(x1＋x2)(x21－1)(x22－1).因为x2>x1>1，所以x21－1>0，x22－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝1x2－1在(1，＋∞)上是减函数．尖子生题库14．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0，试判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．解：设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0.由x＞0时，函数f(x)＞0知，f(Δx)＝f(x2－x1)＞0，又由x2＝(x2－x1)＋x1，∴f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)．∵f(x2－x1)＞0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．。

第一章 1.3 1.3.1 第1课时1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：画出y ＝－x 2在R 上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减．答案：A2．函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]解析：根据函数单调性定义及函数图象知f (x )在[－3,1]上单调递增．答案：C3．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有错误!＞0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．函数f (x )先减后增C ．函数f (x )是R 上的增函数D ．函数f (x )是R 上的减函数解析：由错误!＞0知，当a ＞b 时，f (a )＞f (b )；当a ＜b 时，f (a )＜f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：C4．函数y ＝(3k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，k 的取值范围是__________．解析：由3k ＋1<0，解得k <－13.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－135．函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则f (－3)与f (2)的大小关系是________________．解析：∵－3<2，且f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，∴f (－3)>f (2)．答案：f (－3)>f (2)6．判断并证明函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)在R 上的单调性．证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(kx 1＋b )－(kx 2＋b )＝kx 1＋b －kx 2－b ＝k (x 1－x 2)．∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.当k＞0时，k(x1－x2)＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴此时f(x)为R上的增函数．当k＜0时，k(x1－x2)＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)>f(x2)．∴此时f(x)为R上的减函数．。

第一课时函数的单调性【选题明细表】1.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,所以当x≤-时单调递减.故选C.2.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增(B)函数在区间[1,4]上单调递增(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.3.在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1(C)y= (D)y=2x2+x+1解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.4.函数f(x)=|x|-3的单调增区间是( B )(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)(C)(-∞,3) (D)(3,+∞)解析:根据题意,f(x)=|x|-3=其图象如图所示,则其单调增区间是(0,+∞).故选B.5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤4,选A.6.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)<f()的x的取值范围是( D )(A)(,) (B)[,)(C)(,) (D)[,)解析:因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f(2x-1)<f(),所以0≤2x-1<,解得≤x<.故选D.7.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是.解析:当x≥1时,f(x)是增函数;当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1). 答案:(-∞,1)8.函数f(x)=x2-2mx-3在区间[1,2]上单调,则m的取值范围是.解析:二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置,函数f(x)=x2-2mx-3的对称轴为x=m,函数在区间[1,2]上单调,则m≤1或m≥2.答案:(-∞,1]∪[2,+∞)9.已知f(x)=,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.解:f(x)=在[1,+∞)上是增函数.证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-==.因为1≤x1<x2,所以x2+x1>0,x2-x1>0,+>0.所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.10.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )(A)(-∞,3) (B)(0,3)(C)(3,+∞) (D)(3,9)解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.11.已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x的取值范围是. 解析:由题意,得解得1≤x<,故满足条件的x的取值范围是1≤x<.答案:[1,)12.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且f(x·y)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0.(1)求f(1);(2)证明f(x)在定义域上是增函数;(3)如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围.(1)解:令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0.(2)证明:令y=,得f(1)=f(x)+f()=0,故f()=-f(x).任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().由于>1,故f()>0,从而f(x2)>f(x1).所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)解:由于f()=-1,而f()=-f(3),故f(3)=1.在f(x·y)=f(x)+f(y)中,令x=y=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2.故所给不等式可化为f(x)-f(x-2)≥f(9),所以f(x)≥f[9(x-2)],所以x≤.又所以2<x≤.所以x的取值范围是(2,].13.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是.解析:由题意得解得-3≤a≤-2.答案:[-3,-2]。

§1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小值)第1课时 函数的单调性学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．预习教材P27－P28，完成下面问题： 知识点1 增函数与减函数设函数f (x )的定义域为I ，D ⊆I ，对任意x 1，x 2∈D【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知f (x )＝1x，因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )是增函数．( )(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x 1，x 2”可以改为“存在两个自变量的值x 1，x 2”．( )(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( ) 提示 (1)× 由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．(2)× 不能改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”．(3)× 反例：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(1，2]，x －4，x ∈(2，3).知识点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．【预习评价】(1)函数f (x )＝x 2＋2x －3的单调减区间是________． (2)函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上( ) A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减解析 (1)二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，故其单调减区间是(－∞，－1)．(2)函数y ＝|x |的单减区间是(－∞，0)，又[－2，－1]⊆(－∞，0)，所以函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上递减．答案 (1)(－∞，－1) (2)A题型一 求函数的单调区间【例1】 (1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．(2)画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．(1)解析 观察图象可知，y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．答案 [－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3](2)解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)作出函数图象；(2)把函数图象向x 轴作正投影；(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间． 【训练1】 函数y ＝1x －1的单调减区间是________．解析 y ＝1x －1的图象可由函数y ＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案 (－∞，1)，(1，＋∞) 题型二 证明函数的单调性【例2】 证明函数f (x )＝x ＋4x 在区间(2，＋∞)上是增函数．证明 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤【训练2】 证明函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．证明 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．题型三 用单调性解不等式【例3】 已知函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求实数a 的取值范围．解 由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 规律方法 利用函数的单调性解不等式的方法当函数f (x )的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．【训练3】 已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围是________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12 互动探究题型四 根据函数的单调性求参数的取值范围．答案 (－∞，0)【探究2】 已知函数y ＝x 2＋2ax ＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 函数y ＝x 2＋2ax ＋3的图象开口向上，对称轴为x ＝－a ，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a ≥1，即a ≤－1.答案 (－∞，－1]【探究3】 分别作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤1，－2x ＋3，x >1和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋7，x >1的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(－∞，＋∞)上的单调性．解 函数f (x )的图象如图(1)所示，由其图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数； 函数g (x )的图象如图(2)所示，由其图象可知g (x )在(－∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．【探究4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意得，要使f (x )是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a ，即a ≤5.【探究5】 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥1，a <0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得－3≤a ≤－1，则实数a 的取值范围是[－3，－1]．规律方法 已知函数的单调性求参数的关注点(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．课堂达标1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋1解析 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 答案 C2．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析 易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．答案 B3．若f (x )＝(2k －3)x ＋2是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 解析 由题意得2k －3>0，即k >32，故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且f (a －1)>f (2a )，则a 的取值范围是________． 解析 由条件可知a －1<2a ，解得a >－1. 答案 (－1，＋∞)5．证明f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．证明 设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋x 1－x 22－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1)，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1＋x 2＋1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．课堂小结1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1，x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．2．单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2∈D且x1<x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号．。