2014年烟台市中考数学试题及答案

2014山东烟台中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）1．（2014年山东烟台）﹣3的绝对值等于（）A．﹣3 B． 3 C．±3 D．﹣2．（2014年山东烟台）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2014年山东烟台）烟台市通过扩消费、促投资、稳外需的协同发力，激发了区域发展活力，实现了经济平稳较快发展．2013年全市生产总值（GDP）达5613亿元．该数据用科学记数法表示为（）A．5.613×1011元B．5.613×1012元C．56.13×1010元D．0.5613×1012元4．（2014年山东烟台）如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（）A． B．C．D．5．（2014年山东烟台）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（）A．x=5，y=﹣2 B．x=3，y=﹣3 C．x=﹣4，y=2 D． x=﹣3，y=﹣9 6．（2014年山东烟台）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D． 72°7．（2014年山东烟台）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（）A．1.5 B．3 C．3.5 D． 4.58．（2014年山东烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）A．﹣1或5 B．1 C．5 D．﹣1 9．（2014年山东烟台）将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）10．（2014年山东烟台）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）11．（2014年山东烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D． 4个12．（2014年山东烟台）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y 与x的函数关系的图象是（）A．B．C． D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（2014年山东烟台）（﹣1）0+（）﹣1=．14．（2014年山东烟台）在函数中，自变量x的取值范围是．15．（2014年山东烟台）在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球个．16．（2014年山东烟台）如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是．17．（2014年山东烟台）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于．18．（2014年山东烟台）如图，∠AOB=45°，点O1在OA上，OO1=7，⊙O1的半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于．三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）19．（2014年山东烟台）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x为数据0，﹣1，﹣3，1，2的极差．20．（2014年山东烟台）2014年世界杯足球赛6月12日﹣7月13日在巴西举行，某初中学校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？（2）如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名？（3）在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．21．（2014年山东烟台）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．22．（2014年山东烟台）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2014年山东烟台）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：24．（2014年山东烟台）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan =．25．（2014年山东烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．26．（2014年山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．2014山东烟台中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）1．（2014年山东烟台）﹣3的绝对值等于（）A．﹣3 B． 3 C．±3 D．﹣【分析】根据绝对值的性质解答即可．【解答】|﹣3|=3．故选B．【点评】此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（2014年山东烟台）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．（2014年山东烟台）烟台市通过扩消费、促投资、稳外需的协同发力，激发了区域发展活力，实现了经济平稳较快发展．2013年全市生产总值（GDP）达5613亿元．该数据用科学记数法表示为（）A．5.613×1011元B．5.613×1012元C．56.13×1010元D．0.5613×1012元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】将5613亿元用科学记数法表示为：5.613×1011元．故选；A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2014年山东烟台）如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（）A． B．C．D．【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可．【解答】从正面看，主视图为．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，根据主视图是从物体的正面看得到的视图得出是解题关键．5．（2014年山东烟台）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（）A．x=5，y=﹣2 B．x=3，y=﹣3 C．x=﹣4，y=2 D． x=﹣3，y=﹣9 【分析】根据运算程序列出方程，再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】由题意得，2x﹣y=3，A、x=5时，y=7，故本选项错误；B、x=3时，y=3，故本选项错误；C、x=﹣4时，y=﹣11，故本选项错误；D、x=﹣3时，y=﹣9，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了代数式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解运算程序列出方程是解题的关键．6．（2014年山东烟台）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D． 72°【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．【解答】∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选C．【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．7．（2014年山东烟台）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（）A．1.5 B．3 C．3.5 D． 4.5【分析】根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案．【解答】已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC．∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC．∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6．∵EF是梯形中位线，∴MF是三角形BCD的中位线，∴MF=BC=6=3，故选：B．【点评】本题考查了等腰梯形的性质，利用了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质．8．（2014年山东烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）A．﹣1或5 B．1 C．5 D．﹣1【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．【解答】设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．9．（2014年山东烟台）将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）【分析】根据观察，可得，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案．【解答】3=，3得被开方数是得被开方数的30倍，3在第六行的第五个，即（6，5），故选：D．【点评】本题考查了实数，利用了有序数对表示数的位置，发现被开方数之间的关系是解题关键．10．（2014年山东烟台）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心．【解答】∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，作线段AA′和BB′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），∴旋转中心的坐标为（1，2）．故选B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．11．（2014年山东烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D． 4个【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．（2014年山东烟台）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y 与x的函数关系的图象是（）A．B．C． D.【分析】分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C 移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．【解答】点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP 的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．故选：A．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（2014年山东烟台）（﹣1）0+（）﹣1=．【分析】分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】原式=1+2014=2015．故答案为：2015．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键．14．（2014年山东烟台）在函数中，自变量x的取值范围是．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，解得：x≤1且x≠﹣2．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．15．（2014年山东烟台）在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球个．【分析】设袋中共有球x个，根据概率公式列出等式解答．【解答】设袋中共有球x个，∵有3个白球，且摸出白球的概率是，∴=，解得x=12（个）．故答案为：12．【点评】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．16．（2014年山东烟台）如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是．【分析】把P分别代入函数y=2x+b与函数y=kx﹣3求出k，b的值，再求不等式kx﹣3＞2x+b的解集．【解答】把P（4，﹣6）代入y=2x+b得，﹣6=2×4+b解得，b=﹣14把P（4，﹣6）代入y=kx﹣3解得，k=﹣把b=﹣14，k=﹣代入kx﹣3＞2x+b得﹣x﹣3＞2x﹣14解得x＜4．故答案为：x＜4．【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，解题的关键是求出k，b的值求解集．17．（2014年山东烟台）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于．【分析】先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．【解答】连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD 于Z，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB•cos60°=2，∴BD=2BM=4，∴△BDO的面积是×BD×OM=×4×2=4，同理△FDO的面积是4；∵∠COD=60°，OC=OD=4，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°，在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，∴S﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，扇形OCD∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，故答案为：π．【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．18．（2014年山东烟台）如图，∠AOB=45°，点O1在OA上，OO1=7，⊙O1的半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于．【分析】作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，设O2C=r，根据⊙O1的半径为2，OO1=7，表示出O1O2=r+2，O1C=7﹣r，利用勾股定理列出有关r的方程求解即可．【解答】如图，作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，设O2C=r，∵∠AOB=45°，∴OC=O2C=r，∵⊙O1的半径为2，OO1=7，∴O1O2=r+2，O1C=7﹣r，∴（7﹣r）2+r2=（r+2）2，解得：r=3或15，故答案为：3或15．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度中等．三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）19．（2014年山东烟台）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x为数据0，﹣1，﹣3，1，2的极差．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出数据的极差确定出x，代入计算即可求出值．【解答】原式=÷=•=，当x=2﹣（﹣3）=5时，原式==．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2014年山东烟台）2014年世界杯足球赛6月12日﹣7月13日在巴西举行，某初中学校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？（2）如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名？（3）在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【分析】（1）根据条形统计图中的数据，找出中位数即可；（2）根据扇形统计图找出关注本届世界杯的百分比，乘以2400即可得到结果；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是甲与乙的情况，即可确定出所求概率．【解答】（1）四个年级被抽出的人数由小到大排列为30，40，50，80，∴中位数为=45（人）；（2）根据题意得：2400×（1﹣45%）=1320（人），则该校关注本届世界杯的学生大约有1320人；（3）画树状图，如图所示：所有等可能的情况有12种，其中恰好是甲与乙的情况有2种，则P==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（2014年山东烟台）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．【分析】延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根据BC=BD ﹣CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．【解答】延长OA交BC于点D．∵AO的倾斜角是60°，∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=•=（米），∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD是等边三角形，∴BD=OD=OA+AD=3+=4.5（米），∴BC=BD﹣CD=4.5﹣3=1.5（米）．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作出辅助线得到Rt△ACD是解题的关键．22．（2014年山东烟台）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n 的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；（2）存在，设E（x，0），表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积﹣三角形ADE面积﹣三角形BCE面积，求出即可．【解答】（1）由题意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），设反比例函数解析式为y=，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=；（2）存在，设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，连接AE，BE，则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE =（BC+AD）•DC ﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1=﹣x=5，解得：x=5，则E（5，0）．【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．（2014年山东烟台）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：【分析】（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进A行车a辆，则B型车（60﹣x）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．【解答】（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得，解得：x=1600．经检验，x=1600是元方程的根．答：今年A型车每辆售价1600元；（2）设今年新进A行车a辆，则B型车（60﹣x）辆，获利y元，由题意，得y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），y=﹣100a+36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y=﹣100a+36000．∴k=﹣100＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=34000元．∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．24．（2014年山东烟台）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan=．【分析】连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，最后得到tanα•tan=．证明：连接AC，则∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana•tan=•==．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan=．25．（2014年山东烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．【分析】（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可．【解答】（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．【点评】本题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第（4）题要认真分析．26．（2014年山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD∽△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．【解答】（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，解得a=，∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCF=90°，∴∠ACO=∠CBF，∵∠AOC=∠CFB=90°，∴△AOC∽△CFB，∴=，设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，解得m=m=1，∴OC=OF=1，当x=0时y=﹣，∴OD=，∴BF=OD，∵∠DOC=∠BFC=90°，∴△OCD∽△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，∴点B、C、D在同一直线上，∴点B与点D关于直线AC对称，∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=﹣，∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．解得x=2或x=﹣2，当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，∴点E的坐标为（﹣2，），∵tan∠EDG===，∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===，∴∠OAC=30°，∴∠OAC=∠EDG，∴ED∥AC．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握．。

2014年山东省烟台市中考数学模拟题一卷 选择题（共36分） 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分） 1．（4分）（2013•烟台模拟）的平方根是（ ）2.代数式与x ﹣2的差是负数，那么x 的取值范围是（ ）3.下列图形不是轴对称图形的是（ ） ．C4.中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（ ）BCD ．5.下列说法正确的是（ ）分，方差分别是=5，6.在△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且，则△ABC 是（ ）7.二次函数y=ax 2+bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根，则m 的最大值为（ ） A.-3 B.3 C. -6 D.98.如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，AD=5，BC=9，以A 为中心将腰AB 顺时针旋转90°至9.已知梯形ABCD 的四个顶点的坐标分別为A （﹣1，0），B （5，0），C （2，2），D （0，2），直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ）BD ．7题图 8题图 9题图10.如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ） ）米﹣）米11.为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE ，BD ；④DE，DC ，BC ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有（ ） 12.在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作第2个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第3个正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为（ ）C10题图 11题图 12题图二卷非选择题（共84分）二、填空题（本题共6个小题，每小题3分共18分）13.如果单项式﹣3x2a y3与是同类项，则这两个单项式的积为．14.如图母亲节那天很多同学给妈妈准备了鲜花和礼物，从图中信息可知则买5束鲜花和5个礼盒的总价为元．15.如图一小虫从P点出发绕边长为10cm的等边三角形ABC爬行一圈回到点P，在小虫爬行过程中，始终保持与三角形ABC的边的距离是2cm，求小虫爬过的路径的长是．16.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为．17.如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为（4，2），将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交于点A．若经过点A的反比例函数的图象交EF于点B，则点B的坐标为．15题图16题图17题图18题图三、解答题（本大题共8个小题，满分66分．）19.（6分）化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤ x ≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．20.（8分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）王老师采取的调查方式是（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共件，其中B班征集到作品件，请把图2补充完整；（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求写出用树状图或列表分析过程）21. （9分）2012年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划“蛋奶工程”．该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋．已知牛奶的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，一个鸡蛋的质量为60克．（1）一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？（2）每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？22．（9分）已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的解析式；（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积。

烟台市中考试卷真题数学一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. √2B. 0.3C. πD. 12. 一个正数的平方根是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 若a+b=5，a-b=1，则a²-b²的值是：A. 12B. 14C. 16D. 244. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 一个等差数列的首项是3，公差是2，第10项是：A. 23B. 21C. 19D. 176. 下列哪个是二次根式的最简形式？A. √12B. √18C. √32D. √167. 一个直角三角形的两个直角边分别是3和4，斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 88. 一个多项式f(x)=3x³-2x²+x-5，它的导数f'(x)是：A. 9x²-4x+1B. 3x²-2x+1C. 3x²-4xD. 9x²-2x-19. 一个函数y=2x+3的反函数是：A. x=2y+3B. x=(y-3)/2C. y=(2x-3)/3D. y=(3-x)/210. 下列哪个是一元一次方程的解？A. x=2B. x=-2C. x=0D. x=1二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，这个数是________。

12. 如果一个数的立方是-27，那么这个数是________。

13. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4，它的体积是________。

14. 一个分数的分母是8，化简后是3/4，原分数是________。

15. 一个等腰三角形的底边长是10，两腰边长是x，若周长为36，那么x是________。

16. 一个二次方程x²-4x+4=0的判别式是________。

17. 一个圆的直径是14，那么它的周长是________。

2024年山东省烟台市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数中的无理数是（ ）A ．23B ．3.14C D2．下列运算结果为6a 的是（ ）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可【详解】A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意；B ． 12212210a a a a -÷==，故选项不符合题意；C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．3．下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】A 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．【详解】解：A 、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A 符合题意；B 、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C 、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C 不符合题意；D 、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D 不符合题意；故选：A ．4．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．3b c +>B ．0a c -<C ．a c >D ．22a b-<-【答案】B5．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是4A 纸厚度的六分之一，已知1毫米1=百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）A ．30.1510⨯纳米B ．.41510⨯纳米C ．51510-⨯纳米D ．61.510-⨯纳米6．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．22S S >甲乙B ．22S S <甲乙C ．22S S =甲乙D ．无法确定【答案】A 【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果．【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小，∴22S S >甲乙；故选A ．7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP 为AOB ∠的平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP 为AOB ∠的平分线；第二个图，由作图可知：,OC OD OA OB ==，∴AC BD =，∵AOD BOC ∠=∠，∴AOD BOC ≌△△，∴OAD OBC ∠=∠，∵AC BD =，BPD APC ∠=∠，∴BPD APC ≌，∴AP BP =，∵,OA OB OP OP ==，∴AOP BOP ≌△△，∴AOP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第三个图，由作图可知,ACP AOB OC CP ∠=∠=，∴CP BO ∥，COP CPO ∠=∠，∴CPO BOPÐ=Ð∴COP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第四个图，由作图可知：OP CD ⊥，OC OD =，∴OP 为AOB ∠的平分线；故选D ．8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（ ）A ．452α︒-B ．902α︒-C ．452α︒+D ．2α∴OD OC =，ODC ∠=∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OD ∴EOF DOC ∽△△，9．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺故选：C ．10．如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．∵菱形EFGH ，60E ∠=︒，依题意，MNG 为等边三角形，运动时间为t ，则cos30NG =∴1sin 60S NG NG =⨯⨯⨯︒依题意，6EM EG t t =-=-，则EK ∴()211236223EKJ S EJ EM t =⋅=⨯- ∴EKJS S S =- 菱形当1114x <≤时，同理可得，3综上所述，当03x ≤≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当开口向下的一段抛物线，当68x <≤时，函数图象为一条线段，当开口向下的一段抛物线，当1114x <≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D ．二、填空题11x 的取值范围为 ．【答案】1x >/1x<【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：10x ->，解得：1x >；故答案为：1x >．12．关于x 的不等式12x m x -≤-有正数解，m 的值可以是 （写出一个即可）．13．若一元二次方程22410x x --=的两根为m ，n ，则2234m m n -+的值为．14．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点F 为圆心，以FB 的长为半径作 BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．设圆锥的底面圆的半径为∴3r =；故答案为：3．15．如图，在ABCD Y 中，120C ∠=︒，8AB =，10BC =．E 为边CD 的中点，F 为边AD 上的一动点，将DEF 沿EF 翻折得D EF ' ，连接AD '，BD '，则ABD '△面积的最小值为．过C 作CN AB ⊥于N ，∵AB CD ∥，∴EM CN =，在Rt BCN 中，10BC =，CBN ∠16．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：x4-3-1-15y59527-下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x -<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y --均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x -或3x >．其中正确结论的序号为 ．【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出a b c 、、的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把()4,0-，()1,9-，()1,5代入2y ax bx c =++得，164095a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴0abc >，故①正确；∵1a =-，2b =-，8c =，由2228y x y x x =-+⎧⎨=--+⎩，解得1120x y =⎧⎨=⎩，2235x y =-⎧⎨=⎩，∴()2,0A ，()3,5B -，由图形可得，当3x <-或2x >时，2282x x x --+<-+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④，故答案为：①②④．三、解答题17．利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：27442393mm m m m m --⎛⎫+÷⎪--+，再求值．18．“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t 表示，单位：h ）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A 组：02t ≤<；B 组：24t ≤<；C 组：46t ≤<；D 组：68t ≤<），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．(1)请补全条形统计图；(2)扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；(3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．19．根据收集的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，1429α︒≤≤︒；夏至日时，4376α︒≤≤︒．sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈sin290.48︒≈，cos290.87≈︒，tan290.55≈︒sin430.68︒≈，cos430.73︒≈，tan430.93︒≈sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB 共11层，乙楼CD 共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE 为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填14︒，29︒，43︒，76︒中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．【答案】任务一：冬至，14︒；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，利用正切定义求得【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即14α=︒，故答案为：冬至，14︒；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，则90AFE ∠=︒，54EF =米，BF DF =，在Rt AFE 中，tan AFEFα=，∴tan14540.2513.5AF EF =⋅︒≈⨯=（米）∵11 3.336.3AB =⨯=（米），∴36.313.5DE BF AB AF ==-=-=22.8 3.37÷≈（层），20．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？21．如图，正比例函数y x =与反比例函数k y x =的图象交于点)A a ，将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B ，C ，与x 轴，y 轴交于点D ，E ，且满足:3:2BE CE =．过点B 作BF x ⊥轴，垂足为点F ，G 为x 轴上一点，直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，连接CG ．(1)求反比例函数的表达式；(2)求n 的值及BCG 的面积．22．在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为直线BC 上任意一点，连接AD ．将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90︒得线段ED ，连接BE ．【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，线段BE 与CD 的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE 与CD 的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若1AC BC ==，2CD =，请直接写出sin ECD ∠的值．由旋转得AD DE =，ADE ∠∴90ADC EDM ∠+∠=︒，BE 过点E 作EM BC ⊥交BC 于点由旋转得AD DE =，ADE ∠∴90ADC EDM ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴ACD DME ∠=∠，ADC ∠+∴CAD EDM ∠=∠由（2）得1DM AC ==，2EM CD ==，∴3CM CD DM =+=，∴2213CE CM EM =+=，∴2213sin 1313EM ECD CE ∠===．同理可得：ACD DME △≌△，∴1DM AC ==，2ME CD ==，∴211CM =-=，∴22215CE =+=，∴225sin 55EM ECD CE ∠===；23．如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O ，点I 为ABC 的内心，连接CI 并延长交O于点D ，E 是 BC上任意一点，连接AD ，BD ，BE ，CE ．(1)若25ABC ∠=︒，求CEB ∠的度数；(2)找出图中所有与DI 相等的线段，并证明；(3)若CI =DI =ABC 的周长．【答案】(1)115︒(2)DI AD BD ==，证明见解析(3)30【分析】（1）利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒，再根据三角形的内角和定理求65CAB ∠=︒，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接A I ，由三角形的内心性质得到内心，CAI BAI ∠=∠，ACI BCI ∠=∠，然后利用圆周角定理得到DAB DCB ACI ∠=∠=∠，AD BD =，利用三角形的外角性质证得DAI DIA ∠=∠，然后利用等角对等边可得结论；（3）过I 分别作IQ AB ⊥，IF AC ⊥，IP BC ⊥，垂足分别为Q 、F 、P ，根据内切圆的性质和和切线长定理得到AQ AF =，CF CP =，BQ BP =，利用解直角三角形求得2CF CP ==， 13AB =，进而可求解．【详解】（1）解：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒，又25ABC ∠=︒，∴902565CAB ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABEC 是O 内接四边形，∴180CEB CAB ∠+∠=︒，∴180115CEB CAB ∠=︒-∠=︒；∵点I 为ABC 的内心，∴CAI BAI ∠=∠，ACI ∠∴ AD BD=，∴DAB DCB ACI ∠=∠=∠∵点I 为ABC 的内心，即为∴Q 、F 、P 分别为该内切圆与∴AQ AF =，CF CP =，∵22CI =，90IFC ∠=2AB AQ BQ CF=+++22AB CF=+21322=⨯+⨯30=．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．24．如图，抛物线21y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OC OA =，4AB =，对称轴为直线1:1l x =-，将抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，抛物线2y 与y 轴交于点D ，顶点为E ，对称轴为直线2l ．(1)分别求抛物线1y 和2y 的表达式；(2)如图1，点F 的坐标为()6,0-，动点M 在直线1l 上，过点M 作MN x ∥轴与直线2l 交于点N ，连接FM ，DN ．求FM MN DN ++的最小值；(3)如图2，点H 的坐标为()0,2-，动点P 在抛物线2y 上，试探究是否存在点P ，使2PEH DHE ∠=∠？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．由题意得2AG BG ==，∵对称轴为直线=1x -，∴()()1,0, 3.0B A -，∴3OC OA ==，∴()0,3C ，将A 、B 、C 分别代入21y ax bx c =++，得：09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴2123y x x =--+，∴()2212314y x x x =--+=-++，顶点为()1,4-∵抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，∴抛物线2y 的1a =，顶点为()1,4-，∴2y 的表达式为：()2214y x =--，即2223y x x =--（2）解：将点F 向右平移2个单位至F '，则2F F '=，()4,0F '-，过点D 作直线2l 的对称点为D ¢，连接,,F N F D ND ''''，∴ND ND '=，∵()2214y x =--，∴直线2l 为直线1x =，∵抛物线()2214y x =--，∴()1,4E -∵2l y ∥轴，∴1DHE ∠=∠，∵2PEH DHE ∠=∠，∴2112PEH ∠=∠=∠+∠，∴12∠=∠，作H 关于直线2l 的对称点H '，则点H '在直线PE 上，∵点H 的坐标为()0,2-，直线2l ：1x =，∴()2,2H '-，设直线PE 的表达式为：()0y kx b k =+≠，代入()2,2H '-，()1,4E -,得：224k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得：26k b =⎧⎨=-⎩，∴直线PE 的表达式为26y x =-，联立222623y x y x x =-⎧⎨=--⎩，得：22326x x x --=-，解得：3x =或1x =（舍），∴()3,0P ；②当点P 在直线2l 左侧抛物线上时，延长EP 交y 轴于点N ，作HN 的垂直平分线交HE 于点Q ，交y 轴于点M ，过点E 作EK y ⊥轴于点K ，则QM EK ∥，如图：。

2014-2015学年山东省烟台市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列斜坡最陡的是（）A．斜坡AB的坡度为B．斜坡CD的倾斜角是45°C．斜坡EF的坡比为1：3 D．斜坡GH的坡角为α，tanα=2．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=2，那么BC的值为（）A．2 B．4 C．4 D．63．（3分）如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（）A．B．C．D．4．（3分）随着锐角α的增大，cosα的值（）A．增大B．减小C．不变D．增大还是减小不确定5．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A．m B．4m C．4m D．8m6．（3分）使得函数y=的函数值为负数的自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞D．x＜7．（3分）抛物线y=﹣2x2+3x+2与y轴的交点坐标为（）A．（2，2） B．（﹣2，2）C．（0，2） D．（2，0）8．（3分）下列各图象中有可能是函数y=ax2+a（a≠0）的图象的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图是自动温度计记录的某一天气温变化的曲线，它反映了变量T（℃）与t（h）之间的对应关系，这一天中，温差（最高与最低温度的差）是（）A．10℃B．﹣10℃C．8℃D．12℃10．（3分）将抛物线y=ax2﹣1（a≠0）的图象向左平移2个单位后，所得抛物线经过（1，﹣4）点，则a等于（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣3 D．﹣511．（3分）如果△ABC中，sinA=cosB=，则△ABC是（）A．等腰直角三角形 B．等边三角形C．锐角三角形D．不能确定12．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=3，且经过点（5，0），则a+b+c等于（）A．0 B．1 C．3 D．5二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）已知抛物线y=3（x+1）2﹣6，当x时，y的值随x值的增大而减小．14．（4分）用总长为20cm的铁丝围成一个矩形，此矩形的一边长x（cm）的取值范围是．15．（4分）若a为锐角，比较大小：sinαtanα．16．（4分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=．17．（4分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是．18．（4分）如图，矩形ABCD的长AB=4cm，点O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．以AB、OP所在直线为两轴建立直角坐标系，抛物线y=ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是cm2．三、解答题（本题共6小题，共57分）19．（4分）计算：sin30°+cos245°+sin60°•tan60°．20．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，b=，解这个直角三角形．21．（12分）如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形DEFG的边长都是4cm，AC与DG在同一直线上，开始时点A与点D重合，△ABC以1cm/s 的速度向右移动，最终点A与点G重合，设重合部分（阴影部分）的面积为y （cm2），移动的时间为x（s）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）画出（1）中所写出的函数关系式的图象．①完成下表：x/sy/cm2②画出图象．22．（9分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．23．（12分）如图，直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，将其沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处．（1）求AB与AC的长；（2）求tan15°的值．24．（14分）在一次高尔夫比赛中，一队员从山坡下O点打出一球向球洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，以点O为原点建立如图所示的直角坐标系，抛物线的表达式为y=﹣x2+2x．已知山坡OA与水平方向x轴的夹角为30°，O，A两点相距8米．（1）当球达到最大高度时，球移动的水平距离是多少米？最大高度是多少米？（2）判断这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点？请说明理由．（参考数据：≈1.73）2014-2015学年山东省烟台市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列斜坡最陡的是（）A．斜坡AB的坡度为B．斜坡CD的倾斜角是45°C．斜坡EF的坡比为1：3 D．斜坡GH的坡角为α，tanα=【解答】解：∵斜坡CD的倾斜角是45°，∴斜坡CD的坡比为：1：1，则1＞＞＞，故斜坡最陡的是斜坡CD的倾斜角是45°．故选：B．2．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=2，那么BC的值为（）A．2 B．4 C．4 D．6【解答】解：∵sinA=，∴∠A=30°．∴tan30°=，∴BC=2．故选：A．3．（3分）如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可得tan∠AOB=．4．（3分）随着锐角α的增大，cosα的值（）A．增大B．减小C．不变D．增大还是减小不确定【解答】解：随着锐角α的增大，cosα的值减小．故选：B．5．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A．m B．4m C．4m D．8m【解答】解：过C作CE⊥AB于E点．在Rt△CBE中，由三角函数的定义可知CE=BC•sin30°=8×=4m．故选：B．6．（3分）使得函数y=的函数值为负数的自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞D．x＜【解答】解：根据题意，有2x+1≠0，且2x+1＜0解可得x≠﹣且x＜﹣；故自变量x的取值范围是x＜﹣，7．（3分）抛物线y=﹣2x2+3x+2与y轴的交点坐标为（）A．（2，2） B．（﹣2，2）C．（0，2） D．（2，0）【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2+3x+2，得y=﹣3，则抛物线y=﹣2x2+3x+2与y轴的交点坐标为（0，2）．故选：C．8．（3分）下列各图象中有可能是函数y=ax2+a（a≠0）的图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＞0时，开口向上，顶点在y轴的正半轴；当a＜0时，开口向下，顶点在y轴的负半轴，故选：B．9．（3分）如图是自动温度计记录的某一天气温变化的曲线，它反映了变量T（℃）与t（h）之间的对应关系，这一天中，温差（最高与最低温度的差）是（）A．10℃B．﹣10℃C．8℃D．12℃【解答】解：由纵坐标看出最高温度是12℃，最低温度是2°，由有理数的减法，得12﹣2=10℃，故选：A．10．（3分）将抛物线y=ax2﹣1（a≠0）的图象向左平移2个单位后，所得抛物线经过（1，﹣4）点，则a等于（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣3 D．﹣5【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣1（a≠0）的顶点坐标为（0，﹣1），∴图象向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），∴平移后得抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣1，把（1，﹣4）代入得﹣4=a×（1+2）2﹣1，解得a=﹣．故选：A．11．（3分）如果△ABC中，sinA=cosB=，则△ABC是（）A．等腰直角三角形 B．等边三角形C．锐角三角形D．不能确定【解答】解：∵sinA=cosB=，∴∠A=45°，∠B=45°，则∠C=180°﹣45°﹣45°=90°．故△ABC为等腰直角三角形．故选：A．12．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=3，且经过点（5，0），则a+b+c等于（）A．0 B．1 C．3 D．5【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，∴根据二次函数的对称性得：点（5，0）的对称点为（1，0），∵当x=1时，y=a+b+c=0，∴a+b+c的值等于0．故选：A．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）已知抛物线y=3（x+1）2﹣6，当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而减小．【解答】解：抛物线y=3（x+1）2﹣6，可知a=3＞0，开口向上，对称轴x=﹣1，∴当x＜﹣1时，函数值y随x的增大而减小．故答案为：＜﹣1．14．（4分）用总长为20cm的铁丝围成一个矩形，此矩形的一边长x（cm）的取值范围是0＜x＜10．【解答】解：已知一边长为xcm，则另一边长为（20﹣2x）=10﹣x，0＜10﹣x＜10，则x的取值范围为：0＜x＜10．故答案为：0＜x＜10．15．（4分）若a为锐角，比较大小：sinα＜tanα．【解答】解：如图，设α是Rt△ABC的一个锐角，∠C=90°，令∠A=α，则sinα=，tanα=，故sinα＜tanα．故答案为＜．16．（4分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=75°．【解答】解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0∴tanA=1，cosB=∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．故答案为：75°．17．（4分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是10m．【解答】解：Rt△ABC中，BC=5m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=5m，∴AB==10m．故答案为10m．18．（4分）如图，矩形ABCD的长AB=4cm，点O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．以AB、OP所在直线为两轴建立直角坐标系，抛物线y=ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是cm2．【解答】解：因为抛物线y=ax2的图象关于y轴对称，所以阴影部分的面积实际是一个半圆AO的面积，所以图中阴影部分的面积是：π（AB）2=（cm2）．故答案为：．三、解答题（本题共6小题，共57分）19．（4分）计算：sin30°+cos245°+sin60°•tan60°．【解答】解：原式=+（）2+×=++=．20．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，b=，解这个直角三角形．【解答】解：在Rt△ABC中，∵a2+b2=c2，a=，b=，∴c==2，∵tanA===，∴∠A=30°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°．21．（12分）如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形DEFG的边长都是4cm，AC与DG在同一直线上，开始时点A与点D重合，△ABC以1cm/s 的速度向右移动，最终点A与点G重合，设重合部分（阴影部分）的面积为y （cm2），移动的时间为x（s）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）画出（1）中所写出的函数关系式的图象．①完成下表：x/sy/cm2②画出图象．【解答】解：（1）设AB和FG的交点为H，∵DA=xcm，DG=AC=4cm，△ACB是等腰直角三角形，四边形EFGD是正方形，∴∠BAC=45°，∠FGD=90°，∴∠AHG=∠BAC=45°，∴AG=GH=（4﹣x）cm，∴y=（4﹣x）2，即y=x2﹣4x+8（0≤x≤4）；（2）①②．22．（9分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，∴CE==4+≈5.7（米），答：拉线CE的长约为5.7米．23．（12分）如图，直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，将其沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处．（1）求AB与AC的长；（2）求tan15°的值．【解答】解：（1）如图，∵∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，∴AB=2；由勾股定理得：AC=．（2）由题意得：DE=DC（设为λ），∠EAD=∠CAD=15°，AE=AC=，∠AED=∠C=90°，则BD=1﹣λ，BE=2﹣，∠BED=90°，由勾股定理得：，解得：λ=2﹣3，故tan15°===2﹣．24．（14分）在一次高尔夫比赛中，一队员从山坡下O点打出一球向球洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，以点O为原点建立如图所示的直角坐标系，抛物线的表达式为y=﹣x2+2x．已知山坡OA与水平方向x轴的夹角为30°，O，A两点相距8米．（1）当球达到最大高度时，球移动的水平距离是多少米？最大高度是多少米？（2）判断这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点？请说明理由．（参考数据：≈1.73）【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣9）2+9，∴当球达到最大高度时，球移动的水平距离是9米，最大高度是9米；（2）作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，AB=OA=×8=4，OB=OA•cos∠AOB=8×=12，当x=12时，y=﹣（12﹣9）2+9=8，∵8，∴不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．。

2024年山东省烟台市中考数学试卷（附答案）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。

1．（3分）下列实数中的无理数是（）A．B．3.14C．D．【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．【解答】解：是分数，3.14是有限小数，＝4是整数，它们不是无理数；是无限不循环小数，它是无理数；故选：C．2．（3分）下列计算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．a3+a3D．（a2）3【答案】D．3．（3分）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）A．①B．②C．③D．④【答案】A．4．（3分）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．b+c＞3B．a﹣c＜0C．|a|＞|c|D．﹣2a＜﹣2b【答案】B．5．（3分）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A．0.15×103纳米B．1.5×104纳米C．15×10﹣5纳米D．1.5×10﹣6纳米【答案】B．6．（3分）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为S甲2和S乙2，则S甲2和S乙2的大小关系是（）A．S甲2＞S乙2B．S甲2＜S乙2C．S甲2＝S乙2D．无法确定【答案】A．7．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D．8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD 于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（）A．B．C．D．【分析】先证明△EOF∽△DOC，得出∠OFE＝45°，再证明△ABE∽△GDE，得出，由此推出△DEG≌△CFG（SAS），得到GE＝GF，据此求解即可．【解答】解：设AC与BD的交点为O，∵正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，DE＝CF，∴OE＝OF，∵∠EOF＝∠DOC，，∴△EOF∽△DOC，∴∠OFE＝∠OCD＝45°，∵点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，∴，∵正方形ABCD，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△ABE∽△GDE，∴，∴，∴△DEG≌△CFG（SAS），∴GE＝GF，∴，∴，故选：B．9．（3分）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（）A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺【答案】C．10．（3分）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝2cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为：x＞1．12．（3分）关于x的不等式m﹣≤1﹣x有正数解，m的值可以是（写出一个即可）．【分析】解含m的一元一次不等式，根据题意求得m的取值范围，然后写出一个符合题意的m的值即可．【解答】解：原不等式整理得：x≤1﹣m，解得：x≤2﹣2m，∵原不等式有正数解，∴2﹣2m＞0，解得：m＜1，则m的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．13．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，∴2m2﹣4m＝1，m+n＝﹣＝2，mn＝﹣，∴3m2﹣4m+n2＝2m2﹣4m+m2+n2＝1+（m+n）2﹣2mn＝1+22﹣2×（﹣）＝6．故答案为：6．14．（3分）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．【分析】根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM＝FM，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠E＝＝120°，AB＝AF＝EF＝DE＝6，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE＝＝30°，∴∠BFD＝120°﹣30°﹣30°＝60°，在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°，∴BM＝AB＝3，∴BF＝2BM＝6，设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得，2πr＝，解得r＝．故答案为：．【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及弧长的计算方法是正确解答的关键．15．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为．【解答】解：∵在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，∴∠ABC＝60°，CD＝8，∵E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，∴D'E＝DE＝CE＝CD＝4，∴点D'是以E为圆心，CD为直径圆周上的一点，作出⊙E，如图，过点E作EH⊥AB交直线AB于点H，交⊙E于点G，过点D'作D'M⊥AB于点M，连接EM，∵△ABD′面积＝AB•D'M，AB＝8，∴△ABD′面积＝4D'M，要求△ABD′面积的最小值，只要求D'M的最小值即可，∵D'M＝D'M+D'E﹣4≥EM﹣4≥EH﹣4，∴D'M的最小值为EH﹣4，过点C作CN⊥AB于点N，则EH＝CN，在Rt△BCN中，∵BC＝10，∠ABC＝60°，∴CN＝BC•sin60°＝10×＝5，∴EH＝5，∴D'M的最小值为5﹣4，∴△ABD′面积＝4（5﹣4）＝20﹣16，故答案为：20﹣16．16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣4﹣3﹣115y0595﹣27下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．其中正确结论的序号为．【分析】利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤．【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：，解得∴abc＞0，故①正确；∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，∴y＝﹣x2﹣2x+8，当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9，∴x2+2x+1＝0，∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9），又∵a＜0，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9，∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5，∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误；∵，∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，∴y1＝y2，故④正确；由ax2+（b+1）x+c＜2得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下：由，∴A（2，0），B（﹣3，5），由图形可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④，故答案为：①②④．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17．（6分）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再根据计算器计算出m的值，代入运算即可．【解答】解：（+）÷＝（﹣）•＝•＝，根据计算器可得m＝±＝±＝±2，∵4﹣2m≠0，∴m≠2，当m＝﹣2时，原式＝＝﹣．【点评】本题主要考查分式的化简求值和计算器—数的开方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．18．（7分）“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：0≤t＜2；B组：2≤t＜4；C组：4≤t＜6；D组：6≤t＜8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a的值为32，D组对应的扇形圆心角的度数为28.8°；（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）用A组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后求出C组的人数，从而补全统计图；（2）用B组的人数除以总人数，求出a，再用360°乘以D组所占的百分比，从而得出D组对应的扇形圆心角的度数；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）抽取额的人数有：10÷20%＝50（人），C组的人数有：50﹣10﹣16﹣4＝20（人），补全统计图如下：D组对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝28.8°；故答案为：32，28.8°；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．19．（8分）根据收集的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°．sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB 共11层，乙楼CD 共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE 为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择冬至日（填冬至或夏至）时，α为14°（填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．【分析】任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过E 作EF ⊥AB 于F ，利用正切定义求得．【解答】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝14°，故答案为：冬至，14°；任务二：过E 作EF ⊥AB 于F ，则∠AFE ＝90°，EF ＝54米，BF ＝DE ，在Rt△AFE中，，∴AF＝EF•tan14°≈54×0.25＝13.5（米），∵AB＝11×3.3＝36.3（米），∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米），∴22.8÷3.3≈7（层），答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．想法二：题干中说品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装，而冬至日时，14°≤α≤29°，指一天当中的变化，所以任务一选择29°，任务二结果为一、二层不能照到．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．20．（8分）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？【分析】（1）根据单价每降低10元，每天可多售出4辆．可得单价每降低1元，每天可多售出0.4辆，那么单价每降低x元，每天可多售出0.4x辆．销售利润＝每辆轮椅的销售利润×（原销售量+增加的销售量），把得到的函数关系式整理为顶点式，进而根据每辆轮椅的利润不低于180元得到自变量的取值范围，代入到函数关系式可得最大利润；（2）取y＝12160，代入（1）中得到的函数关系式，求得合适的x的解即可．【解答】解：（1）y＝（200﹣x）（60+4×）＝﹣0.4x2+20x+12000．＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250＝﹣0.4（x﹣25）2+12250．∵200﹣x≥180，∴x≤20．∴当x＝20时，利润最大，最大利润为：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）．答：y与x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元；（2）12160＝﹣0.4（x﹣25）2+122500.4（x﹣25）2＝12250﹣121600.4（x﹣25）2＝90（x﹣25）2＝225．解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10．∴售出轮椅的辆数为：60+4×＝64（辆）．答：这天售出了64辆轮椅．【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，得到降价后的销售量是解决本题的关键；根据取值范围得到函数的最大值是解决本题的易错点．21．（9分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于点A（，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．（1）求反比例函数的表达式；（2）求n的值及△BCG的面积．【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）作BG⊥y轴，CH⊥y轴，正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n．证明△GBE∽△HCE后利用相似比得到点B（3a，），则C（﹣2a，），根据一次函数图象上点的坐标特征列出方程组求出a、n，得到E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），＝S△BDG+S△CDG计算即可．依据S△BCG【解答】解：（1）∵点A（，a）在直线y＝x的图象上，∴A（，），∵点A（，）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6，∴反比例函数解析式为y＝；（2）正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n（n＞0）．如图，作BQ⊥y轴，CH⊥y轴，∴BQ∥CH，∴△QBE∽△HCE，∵BE：CE＝3：2，∴，设点B（3m，），则C（﹣2m，），∵点B、C在直线y＝x﹣n的图象上，，解得，∴直线BC解析式为y＝x﹣1，∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，∴E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），∴GD＝4，＝S△BDG+S△CDG＝＝10．∴S△BCG【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．22．（10分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为；【类比探究】（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．【分析】（1）过点E作EM⊥CB延长线于点M，利用一线三垂直全等模型证明△ACD≌△DME，再证明BM＝EM即可；（2）同（1）中方法证明△ACD≌△DME，再证明BM＝EM即可；（3）过点E作EM⊥CB，求出EM，CE即可．【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠EDM，∴△ACD≌△DME（AAS），∴CD＝EM，AC＝DM，∵AC＝BC，∴BM＝DM﹣BD＝AC﹣BD＝BC﹣BD＝CD，∴BM＝EM，∵EM⊥CB，∴，故答案为：；（2）补全图形如图，，理由如下：过点E作EM⊥BC于点M，由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠EDM，∴△ACD≌△DME（AAS），∴CD＝EM，AC＝DM，∵AC＝BC，∴DM＝BC，∴DM﹣CM＝BC﹣CM，∴CD＝BM，∴EM＝BM，∵EM⊥CB，∴；（3）如图，当点D在CB延长线上时，过点E作EM⊥CB延长线于点M，由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，∴CM＝CD+DM＝3，∴，∴；当点D在BC延长线上时，过点E作EM⊥CB于点M，同理可得：△ACD≌△DME，∴DM＝AC＝1，ME＝CD＝2，∴CM＝2﹣1＝1，∴CE＝，∴sin∠ECD＝，综上，sin∠ECD＝或．【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键．23．（11分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；（3）若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长．【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据三角形的内角和定理求出∠CAB＝65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角对等边可得结论；（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和切线长定理得到AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形求得CF＝2＝CP，AB＝13，进而可求解．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，又∵∠ABC＝25°，∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，∴∠CEB+∠CAB＝180°，∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；（2）DI＝AD＝BD，连接AI，∵点I为△ABC的内心，∴∠CAI＝∠BAI，，∴，∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，∴∠DAI＝∠DIA，∴DI＝AD＝BD；（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，∴CF＝CI•cos45°＝2＝CP，∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°，∴，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝AB+AF+CF+CP+BP＝AB+AQ+BQ+2CF＝2AB+2CF＝2×13+2×2＝30．【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．24．（13分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC＝OA，AB＝4，对称轴为直线l1：x＝﹣1．将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；（2）如图1，点F的坐标为（﹣6，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；（3）如图2，点H的坐标为（0，﹣2），动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）证明四边形FF′NM平行四边形，则FM+MN+DN＝F′N+ND′+MN＝F′D′+2＝+2＝3+2为最小；（3）当点P（P′）在BE的右侧时，∠PEH＝2∠DHE，则EP′和HE关对称轴l2对称，求出直线EP′的表达式为：y＝2（x﹣1）﹣4，即可求解；当点P在BE的左侧时，由NH＝NE，求出N（0，﹣），即可求解．【解答】解：（1）设点A、B的坐标分别为：（t，0）、（t+4，0），则x＝﹣1＝（t+t+4），解得t＝﹣3，即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），∵OC＝OA，则点C（0，3），则抛物线y1得表达式为：y1＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），则﹣3a＝3，则a＝﹣1，则y1＝﹣x2﹣2x+3；根据图形的对称性，y2＝x2﹣2x﹣3；（2）作点D关于l2的对称点D′（2，﹣3），将点F向右平移2个单位（MN＝2），连接D′F′交直线l2于点N，过点N作NM⊥l1交于点M，连接FM，∵F′F∥MN，FF′＝MN，则四边形FF′NM平行四边形，则FM＝F′N，则FM+MN+DN＝F′N+ND′+MN＝F′D′+2＝+2＝3+2为最小；（3）由抛物线y2的表达式知，点D（0，﹣3）、点E（1，﹣4），由点H、E的坐标得，直线HE的表达式为：y＝﹣2x﹣2，当点P（P′）在BE的右侧时，∵∠PEH＝2∠DHE，则EP′和HE关对称轴l2对称，则直线EP′的表达式为：y＝2（x﹣1）﹣4，联立上式和抛物线y2得表达式得：2（x﹣1）﹣4＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝1（舍去）或3，即点P′（3，0）；当点P在BE的左侧时，见如图右侧放大图，设直线PE交y轴于点N，∵∠PEH＝2∠DHE，过点E（1，﹣4）作∠PEH的角平分线EK交HD于点K，作HE的中垂线JK，交HD于点J，交HE于点L，过点E作EW⊥HD交于点W 则∠JHL＝∠JEH＝∠EHJ＝α，由点H、E的坐标得，直线HE的表达式为：y＝﹣2x﹣2，则点L（，﹣3），直线JL的表达式为：y＝（x﹣）﹣3＝x﹣，则点J（0，﹣），则HJ＝JF＝，∵∠JHL＝∠JEH＝∠EHJ＝α，∠EKJ＝∠HKF，∴△EKJ∽△HKE，则＝，设KJ＝m，则KE＝4m，则点K（0，﹣﹣m），在Rt△KEW中，KW2+WE2＝KE2，即（﹣﹣m+4）2+1＝4m2，解得：m＝，则点K（0，﹣），由点K、E的坐标得，直线KE的表达式为：y＝﹣x﹣，联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣，解得：x＝，则点P（，﹣）；综上，点P的坐标为：（3，0）或（，﹣）．。

2014-2015学年山东省烟台市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（本题共10个小题，每小题3分）1．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A．6cm、8cm、15cm B．7cm、5cm、12cm C．4cm、6cm、5cm D．8cm、4cm、3cm2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）锐角三角形中，任意两个内角之和必大于（）A．120°B．100°C．90°D．60°4．（3分）如图，已知∠1=∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（）A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．DB=DC D．AB=AC5．（3分）下列语句：①面积相等的两个三角形全等；②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同；④边数相同的图形一定能互相重合．其中错误的说法有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（3分）如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7．（3分）等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为（）A．100°B．40°C．100°或40°D．不能确定8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，它的周长为24，且AB：BC=5：3，则AC的长为（）A．6 B．8 C．10 D．129．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的一点，AD=2DC，BE=EC，若△DBE的面积为1，则△ABC的面积等于（）A．4 B．6 C．8 D．1010．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（）A．2πB．4πC．8πD．16π二、填空题（本题共10个小题）11．（3分）三角形的三条交于一点，这点叫做三角形的重心．12．（3分）正九边形有条对称轴．13．（3分）如图是边长为1的正方形网格，点A、B、C、D都在格点上，图中阴影部分的面积等于．14．（3分）如图，∠α=．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，点D到AB的距离为7cm，则CD=．16．（3分）如果一个三角形有两个角等于60°，那么这个三角形是三角形．17．（3分）在△ABC中，若∠C=∠B=∠A，则△ABC是三角形（按角分类）18．（3分）如图，AD与BC交于点O，△AOB≌△COD，A和C，B和D是对应顶点，若BO=5，AO=3，AB=4，则BD2=．19．（3分）如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD是∠ACD的平分线，则图中共有个等腰三角形．20．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E、F在AD上，若△ABC的面积为16cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．三、解答题21．（8分）尺规作图：如图，已知线段a、b和∠α用尺规作一个三角形，使其两边分别等于a、b，这两边的夹角等于2∠α．要求：不写已知、求作、作法，只画图，保留作图痕迹．22．（6分）利用一个点、一条线段、一个正三角形（或等腰三角形）、一个正方形（或长方形）设计一个轴对称图案，并说明你希望表达的含义．23．（9分）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=10，试求△PMN的周长．24．（11分）已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm．求BC 的长．25．（11分）如图，小芳和她的同学汤秋千，秋千AB在静止时，下端B离地面0.6m，秋千荡到AB′的位置时，下端B′距静止位置的水平距离B′D等于2m，距地面1.4m，求秋千AB的长．26．（12分）如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD；②CF=DF．2014-2015学年山东省烟台市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题3分）1．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A．6cm、8cm、15cm B．7cm、5cm、12cm C．4cm、6cm、5cm D．8cm、4cm、3cm【解答】解：根据三角形的三边关系，得：A、6+8=14＜15，不能组成三角形；B、7+5=12，不能组成三角形；C、4+5=9＞6，能够组成三角形；D、4+3=7＜8，不能组成三角形．故选：C．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：第一个图形是轴对称图形，第二个图形不是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，综上所述，是轴对称图形的有2个．故选：B．3．（3分）锐角三角形中，任意两个内角之和必大于（）A．120°B．100°C．90°D．60°【解答】解：如果两个锐角和不大于90°，那么第三个角将大于等于90°，就不再是锐角三角形．故选：C．4．（3分）如图，已知∠1=∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（）A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．DB=DC D．AB=AC【解答】解：A、加∠ADB=∠ADC，∵∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD ≌△ACD（ASA），是正确选法；B、加∠B=∠C∵∠1=∠2，AD=AD，∠B=∠C，∴△ABD≌△ACD（AAS），是正确选法；C、加DB=DC，满足SSA，不能得出△ABD≌△ACD，是错误选法；D、加AB=AC，∵∠1=∠2，AD=AD，AB=AC，∴△ABD≌△ACD（SAS），是正确选法．故选：C．5．（3分）下列语句：①面积相等的两个三角形全等；②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同；④边数相同的图形一定能互相重合．其中错误的说法有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；②两个等边三角形一定是相似图形，但不一定全等，故本选项错误；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同，符合全等形的定义，正确；④边数相同的图形不一定能互相重合，故本选项错误；综上可得错误的说法有①②④共3个．故选：B．6．（3分）如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【解答】解：一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形．故选：C．7．（3分）等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为（）A．100°B．40°C．100°或40°D．不能确定【解答】解：根据等腰三角形的性质得，底角度数为：（180°﹣100°）÷2=40°；故选：B．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，它的周长为24，且AB：BC=5：3，则AC的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：设AB=5x，BC=3x，则AC==4x，于是5x+3x+4x=24，解得x=2，故AC=4×2=8，故选：B．9．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的一点，AD=2DC，BE=EC，若△DBE的面积为1，则△ABC的面积等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC，过点D作DN⊥BC；则AM∥DN；∴△AMC∽△DNC，∴，而AD=2DC，∴AM=3DN（设DN为λ）；设BE=EC=μ，∴=6，而S=1，△BED=6，∴S△ABC故选：B．10．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（）A．2πB．4πC．8πD．16π【解答】解：S1=πAC2，S2=πBC2，所以S1+S2=π（AC2+BC2）=πAB2=2π．故选：A．二、填空题（本题共10个小题）11．（3分）三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．【解答】解：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．故答案为：中线．12．（3分）正九边形有9条对称轴．【解答】解：正九边形有9条对称轴．故答案为：9．13．（3分）如图是边长为1的正方形网格，点A、B、C、D都在格点上，图中阴影部分的面积等于15．【解答】解：如图，S ABCD=S MNPQ﹣S△ABM﹣S△BCQ﹣S△CDP﹣S△ADN=6×5﹣=30﹣15=15．故答案为15．14．（3分）如图，∠α=17°．【解答】解：∵三角形内角和是180°，∴40°+32°=55°+α，解得α=17°．故答案为：17°．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，点D到AB的距离为7cm，则CD=7cm．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，BC⊥AC，点D到AB的距离为7cm，∴CD=7cm．故答案为：7cm．16．（3分）如果一个三角形有两个角等于60°，那么这个三角形是等边三角形．【解答】解：∵一个三角形有两个角等于60°，且三角之和为180°，∴第三个角的度数=180°﹣60°﹣60°=60°，∴这个三角形是等边三角形．故答案为：等边．17．（3分）在△ABC中，若∠C=∠B=∠A，则△ABC是直角三角形（按角分类）【解答】解：∠C=x°，∵∠C=∠B=∠A，∴∠B=2∠C=2x，∠A=3∠C=3x，∵∠A+∠B+∠C=180°，即：3x+2x+x=180°，解得：x=30°，∴∠C=30°，∠A=3∠C=90°，∠B=2∠C=60°，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．18．（3分）如图，AD与BC交于点O，△AOB≌△COD，A和C，B和D是对应顶点，若BO=5，AO=3，AB=4，则BD2=80．【解答】解：∵AB2+AO2=42+32=25，BO2=52=25，∴AB2+AO2=BO2，∴∠A=90°，∵△AOB≌△COD，∴BO=DO=5，∵BO=5，AO=3，∴AD=AO+DO=3+5=8，在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=42+82=80．故答案为：80．19．（3分）如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD是∠ACD的平分线，则图中共有3个等腰三角形．【解答】解：有3个等腰三角形，理由是：∵在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=72°，∴∠ACB=∠B，∴△ABC是等腰三角形，∵CD是∠ACD的平分线，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=36°，∴∠A=∠ACD=36°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=36°，∠B=72°，∴∠CDB=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠B=∠CDB，∴△BCD是等腰三角形，故答案为：3．20．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E、F在AD上，若△ABC的面积为16cm2，则图中阴影部分的面积是8cm2．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥DC，∴S△BEF =S△CEF，∴S阴影部分=S△ABD=S△ABC=×16=8（cm2）．故答案为8．三、解答题21．（8分）尺规作图：如图，已知线段a、b和∠α用尺规作一个三角形，使其两边分别等于a、b，这两边的夹角等于2∠α．要求：不写已知、求作、作法，只画图，保留作图痕迹．【解答】解：如图所示：△ABC即为所求．22．（6分）利用一个点、一条线段、一个正三角形（或等腰三角形）、一个正方形（或长方形）设计一个轴对称图案，并说明你希望表达的含义．【解答】解：如图所示．表示一个垃圾箱．23．（9分）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=10，试求△PMN的周长．【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴PM=P1M，PN=P2N，∴△PMN的周长=PM+MN+PN，=P1M+MN+P2N，=P1P2，∵P1P2=10，∴△PMN的周长=10．24．（11分）已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm．求BC 的长．【解答】解：∵AB=AC∴∠B=∠C=30°∵AB⊥AD∴BD=2AD=2×4=8（cm）∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°∴∠DAC=30°∴∠DAC=∠C∴DC=AD=4cm∴BC=BD+DC=8+4=12（cm）．25．（11分）如图，小芳和她的同学汤秋千，秋千AB在静止时，下端B离地面0.6m，秋千荡到AB′的位置时，下端B′距静止位置的水平距离B′D等于2m，距地面1.4m，求秋千AB的长．【解答】解：设AB=xm，则AB′=xm，由题意可得出：DB=1.4﹣0.6=0.8（m），则AD=AB﹣DB=x﹣0.8，在Rt△AB′D中，AD2+B′D2=AB′2，则（x﹣0.8）2+22=x2解得：x=2.9．答：秋千AB的长为2.9m．26．（12分）如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD；②CF=DF．【解答】证明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD，②∵AF⊥CD，AC=AD，∴CF=FD（三线合一性质）．。

2015年山东省烟台市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中并且只有一个是正确的1．（3分）（2015•烟台）﹣的相反数是（）A．﹣B．C．﹣D．2．（3分）（2015•烟台）剪纸是我国最古老民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2015•烟台）如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．（3分）（2015•烟台）下列等式不一定成立的是（）A．=（b≠0）B．a3•a﹣5=（a≠0）C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a65．（3分）（2015•烟台）丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格平均数中位数众数方差8.5 8.3 8.1 0.15如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数6．（3分）（2015•烟台）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（）A．2或﹣1 B．0或1 C．2D．﹣17．（3分）（2015•烟台）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A．B．2C．D．8．（3分）（2015•烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A．（）2012B．（）2013C．（）2012D．（）20139．（3分）（2015•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）A．9B．10 C．9或10 D．8或1010．（3分）（2015•烟台）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米/小时；④乙先到达B 地．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．411．（3分）（2015•烟台）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4abB．a x2+bx+c≥﹣6C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣112．（3分）（2015•烟台）如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2015•烟台）如图，数轴上点A、B所表示的两个数的和的绝对值是．14．（3分）（2015•烟台）正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的内角和的度数是．15．（3分）（2015•烟台）如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为．16．（3分）（2015•烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．17．（3分）（2015•烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数y=（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．18．（3分）（2015•烟台）如图，直线l：y=﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为．三、解答题（本大题共7小题，满分66分）19．（6分）（2015•烟台）先化简：÷（﹣），再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．20．（8分）（2015•烟台）”切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级，A：1小时以内；B：1小时﹣﹣1.5小时；C：1.5小时﹣﹣2小时；D：2小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是；（4）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈，用列表表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．21．（8分）（2015•烟台）2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍．（1）求高铁列车的平均时速；（2）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？22．（9分）（2015•烟台）如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，∠CDE=60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB=1.5米，CD=1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）23．（9分）（2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．24．（12分）（2015•烟台）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．25．（14分）（2015•烟台）【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．2015年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中并且只有一个是正确的1．（3分）（2015•烟台）﹣的相反数是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．解答：解：﹣的相反数是．故选B．点评：本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．（3分）（2015•烟台）剪纸是我国最古老民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确．故选D．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）（2015•烟台）如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．解答：解：从左面看易得左视图为：．故选A．点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4．（3分）（2015•烟台）下列等式不一定成立的是（）B．a3•a﹣5=（a≠0）A．=（b≠0）C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a6考点：二次根式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；因式分解-运用公式法；负整数指数幂．分析：分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则化简求出即可．解答：解：A、=（a≥0，b＞0），故此选项错误，符合题意；B、a3•a﹣5=（a≠0），正确，不合题意；C、a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），正确，不合题意；D、（﹣2a3）2=4a6，正确，不合题意．故选：A．点评：此题主要考查了二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．5．（3分）（2015•烟台）丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格平均数中位数众数方差8.5 8.3 8.1 0.15如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数考点：统计量的选择．分析：根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．解答：解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选D．点评：本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．6．（3分）（2015•烟台）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（）A．2或﹣1 B．0或1 C．2D．﹣1考点：解一元二次方程-因式分解法；零指数幂．分析：首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．解答：解：∵x2﹣x﹣1=（x+1）0，∴x2﹣x﹣1=1，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=﹣1，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选：C．点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及零指数幂的性质，注意x+1≠0是解题关键．7．（3分）（2015•烟台）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A．B．2C．D．考点：菱形的性质；解直角三角形．分析：首先利用菱形的性质得出AB=BC，即可得出∠ABC=60°，再利用三角函数得出答案．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴∠ABC=60°，∴∠EBF=30°，∴∠BFE=60°，∴tan∠BFE的值为．故选D．点评：此题考查菱形的性质，关键是根据含30°的直角三角形的性质和三角函数解答．8．（3分）（2015•烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A．（）2012B．（）2013C．（）2012D．（）2013考点：等腰直角三角形；正方形的性质．专题：规律型．分析：根据题意可知第2个正方形的边长是，则第3个正方形的边长是，…，进而可找出规律，第n个正方形的边长是，那么易求S2015的值．解答：解：根据题意：第一个正方形的边长为2；第二个正方形的边长为：；第三个正方形的边长为：，…第n个正方形的边长是，所以S2015的值是（）2012，故选C点评：本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的边长．9．（3分）（2015•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）A．9B．10 C．9或10 D．8或10考点：根的判别式；一元二次方程的解；等腰直角三角形．分析：由三角形是等腰直角三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b①当a=2，或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0即可得到结果；②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，由△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0可的结果．解答：解：∵三角形是等腰直角三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0解得：n=10，故选B．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用．10．（3分）（2015•烟台）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米/小时；④乙先到达B 地．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：一次函数的应用．分析：观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结果．解答：解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；乙出发3﹣1=2小时后追上甲，故②错误；甲的速度为：12÷3=4（千米/小时），故③正确；乙的速度为：12÷（3﹣1）=6（千米/小时），则甲到达B地用的时间为：20÷4=5（小时），乙到达B地用的时间为：20÷6=（小时），1+3，∴乙先到达B地，故④正确；正确的有3个．故选：C．点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．11．（3分）（2015•烟台）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4abB．a x2+bx+c≥﹣6C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．分析：由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C进行判断；根据二次函数的对称性可对D进行判断．解答：解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ab ＞0所以b2＞4ab，故A选项正确；B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．故选C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点远近二次函数与不等式的关系．12．（3分）（2015•烟台）如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：首先根据Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，分别求出AC、BC，以及AB 边上的高各是多少；然后根据图示，分三种情况：（1）当0≤t≤2时；（2）当2时；（3）当6＜t≤8时；分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可．解答：解：如图1，CH是AB边上的高，与AB相交于点H，，∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，∴AC=AB×cos30°=8×=4，BC=AB×sin30°=8×=4，∴CH=AC×，AH=，（1）当0≤t≤2时，S==t2；（2）当2时，S=﹣=t2[t2﹣4t+12]=2t﹣2（3）当6＜t≤8时，S=[（t﹣2）•tan30°]×[6﹣（t﹣2）]×[（8﹣t）•tan60°]×（t ﹣6）=[]×[﹣t+2+6]×[﹣t]×（t﹣6）=﹣t2﹣t2﹣30=﹣t2﹣6﹣24综上，可得S=∴正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是A图象．故选：A．点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及三角形、梯形的面积的求法，要熟练掌握．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2015•烟台）如图，数轴上点A、B所表示的两个数的和的绝对值是1．考点：数轴；绝对值；有理数的加法．分析：首先根据数轴得到表示点A、B的实数，然后求其和绝对值即可．解答：解：解：从数轴上可知：表示点A的数为﹣3，表示点B的数是2，则﹣3+2=﹣1，|﹣1|=1，故答案为：1．点评：本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是从数轴上得到点A、点B表示的数，然后求其和的绝对值．14．（3分）（2015•烟台）正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的内角和的度数是540°．考点：多边形内角与外角．分析：根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．解答：解：多边形的边数：360°÷72°=5，正多边形的内角和的度数是：（5﹣2）•180°=540°．故答案为：540°．点评：考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．15．（3分）（2015•烟台）如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为．考点：概率公式；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的图象．分析：用不经过第四象限的个数除以总个数即可确定答案．解答：解：∵4张卡片中只有第2个精光第四象限，∴取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为，故答案为：．点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．16．（3分）（2015•烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是6．考点：圆锥的计算．分析：根据弧长求得圆锥的底面半径和扇形的半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．解答：解：∵弧长为6π，∴底面半径为6π÷2π=3，∵圆心角为120°，∴=6π，解得：R=9，∴圆锥的高为=6，故答案为：6．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，难度一般．17．（3分）（2015•烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数y=（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：由A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），得到P（2，1），求得k=2，得到反比例函数的解析式为：y=，求出D（4，），E（1，2）于是问题可解．解答：解：∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，BC=OA，∵A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），∴OA=4，OB=2，∵P是矩形对角线的交点，∴P（2，1），∵反比例函数y=（x＞0）的图象过对角线的交点P，∴k=2，∴反比例函数的解析式为：y=，∵D，E两点在反比例函数y=（x＞0）的图象的图象上，∴D（4，），E（1，2）∴S阴影=S矩形﹣S△AOD﹣S△COF﹣S△BDE=4×2﹣×2﹣×2﹣××3=．故答案为：．点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质三角形的面积的求法，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．18．（3分）（2015•烟台）如图，直线l：y=﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为2﹣2或2+2．．考点：直线与圆的位置关系；一次函数的性质．分析：根据直线ly=﹣x+1由x轴的交点坐标A（0，1），B（2，0），得到OA=1，OB=2，求出AB=；设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC=2，MC⊥AB，通过△BMO～△ABO，即可得到结果．解答：解：在y=﹣x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2，∴A（0，1），B（2，0），∴AB=；如图，设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC=2，MC⊥AB，∵∠MCB=∠AOB=90°，∠B=∠B，∴△BMO～△ABO，∴，即∴BM=2，∴OM=2﹣2，或OM=2+2．∴m=2﹣2或m=2+2．故答案为：2﹣2，2+2．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，满分66分）19．（6分）（2015•烟台）先化简：÷（﹣），再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，当x=2时，原式=4．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）（2015•烟台）”切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级，A：1小时以内；B：1小时﹣﹣1.5小时；C：1.5小时﹣﹣2小时；D：2小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了200学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是108°；（4）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈，用列表表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．分析：（1）根据B类的人数和所占的百分比即可求出总数；（2）求出C的人数从而补全统计图；（3）用A的人数除以总人数再乘以360°，即可得到圆心角α的度数；（4）先设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．解答：解：（1）共调查的中学生数是：80÷40%=200（人），故答案为：200；（2）C类的人数是：200﹣60﹣80﹣20=40（人），补图如下：（3）根据题意得：α=×360°=108°，故答案为：108°；（4）设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，一共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种，∴P（2人来自不同班级）==．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（8分）（2015•烟台）2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍．（1）求高铁列车的平均时速；（2）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5千米/小时，根据题意可得，高铁走（1026﹣81）千米比普快走1026千米时间减少了9小时，据此列方程求解；（2）求出王老师所用的时间，然后进行判断．解答：解：（1）设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，由题意得，﹣=9，解得：x=72，经检验，x=72是原分式方程的解，且符合题意，则2.5x=180，答：高铁列车的平均时速为180千米/小时；（2）630÷180=3.5，则坐车共需要3.5+1.5=5（小时），王老师到达会议地点的时间为1点40．故他能在开会之前到达．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．22．（9分）（2015•烟台）如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，∠CDE=60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB=1.5米，CD=1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）考点：解直角三角形的应用．分析：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，在R t△ABC中，求得AC=AB•cos∠CAB=1.5×0.7314≈1.1，由∠CDE=60°，得到EH=DE=0.9，得出DF=GH=EG﹣EH=6﹣0.9=5.1，于是OF=1+0.5+1.10+1+5.1=8.70m．解答：解：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，∴DF=HG，在R t△ABC中，AC=AB•cos∠CAB=1.5×0.7314≈1.10，∵∠CDE=60°，∴∠EDH=30°，∴EH=DE=0.9，∴DF=GH=EG﹣EH=6﹣0.9=5.1，∴OF=1+0.5+1.10+1+5.1=8.70m．答：灯杆OF至少要8.70m．点评：本题考查了解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．（9分）（2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．。

2024年山东省烟台市中考数学试题+答案详解（试题部分）注意事项：1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．3．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A ，B ，C ，D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1. 下列实数中的无理数是（ ）A.23B. 3.14C.D.2. 下列运算结果为6a 的是（ ） A. 23a a ⋅B. 122a a ÷C. 33a a +D. ()32a3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④4. 实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A. 3b c +>B. 0a c −<C. a c >D. 22a b −<−5. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是4A 纸厚度的六分之一，已知1毫米1=百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 30.1510⨯纳米B. .41510⨯纳米C. 51510−⨯纳米D. 61.510−⨯纳米6. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A. 22S S >甲乙B. 22S S <甲乙 C. 22S S =甲乙D. 无法确定7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP 为AOB ∠的平分线的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（ ）A.452α︒− B.902α︒− C.452α︒+ D.2α 9. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A. 45尺B. 88尺C. 90尺D. 98尺10. 如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cmS 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11.x 的取值范围为________． 12. 关于x 的不等式12xm x −≤−有正数解，m 的值可以是______（写出一个即可）． 13. 若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为________．14. 如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点F 为圆心，以FB 的长为半径作BD ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．15. 如图，在ABCD Y 中，120C ∠=︒，8AB =，10BC =．E 为边CD 的中点，F 为边AD 上的一动点，将DEF 沿EF 翻折得D EF '，连接AD '，BD '，则ABD '△面积的最小值为________．16. 已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为______．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17. 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m 是其显示结果的平方根，先化简：27442393m m m m m m −−⎛⎫+÷⎪−−+⎝⎭，再求值． 18. “山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t 表示，单位：h ）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A 组：02t ≤<；B 组：24t ≤<；C 组：46t ≤<；D 组：68t ≤<），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．19. 根据收集的素材，探索完成任务．︒≈︒≈cos140.97sin140.2420. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 21. 如图，正比例函数y x =与反比例函数ky x=的图象交于点)A a ，将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B ，C ，与x 轴，y 轴交于点D ，E ，且满足:3:2BE CE =．过点B 作BF x ⊥轴，垂足为点F ，G 为x 轴上一点，直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，连接CG ．（1）求反比例函数的表达式； （2）求n 的值及BCG 的面积．22. 在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为直线BC 上任意一点，连接AD ．将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90︒得线段ED ，连接BE ．【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，线段BE 与CD 的数量关系为________； 【类比探究】（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE 与CD 的数量关系并证明； 【联系拓广】（3）若1AC BC ==，2CD =，请直接写出sin ECD ∠的值． 23. 如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O ，点I 为ABC 的内心，连接CI 并延长交O 于点D ，E 是BC 上任意一点，连接AD ，BD ，BE ，CE ．（1）若25ABC ∠=︒，求CEB ∠的度数； （2）找出图中所有与DI 相等的线段，并证明；（3）若CI =DI =ABC 的周长． 24. 如图，抛物线21y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OC OA =，4AB =，对称轴为直线1:1l x =−，将抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，抛物线2y 与y 轴交于点D ，顶点为E ，对称轴为直线2l ．（1）分别求抛物线1y 和2y 的表达式；（2）如图1，点F 的坐标为()6,0−，动点M 在直线1l 上，过点M 作MN x ∥轴与直线2l 交于点N ，连接FM ，DN ．求FM MN DN ++的最小值；（3）如图2，点H 的坐标为()0,2−，动点P 在抛物线2y 上，试探究是否存在点P ，使2PEH DHE ∠=∠若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2024年山东省烟台市中考数学试题+答案详解（答案详解）注意事项：1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．3．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A ，B ，C ，D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1. 下列实数中的无理数是（ ）A.23B. 3.14C.D.【答案】C 【解析】【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A 、23是有理数，不符合题意； B 、3.14是有理数，不符合题意；CD 4=是有理数，不符合题意； 故选C ．2. 下列运算结果为6a 的是（ ） A. 23a a ⋅ B. 122a a ÷C. 33a a +D. ()32a【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可 【详解】A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意； B ． 12212210a a a a −÷==，故选项不符合题意； C ．3332a a a +=，故选项不符合题意； D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】A 【解析】【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．【详解】解：A 、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A 符合题意；B 、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C 、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C 不符合题意；D 、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D 不符合题意； 故选：A ．4. 实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A. 3b c +>B. 0a c −<C. a c >D. 22a b −<−【答案】B【解析】【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断a ，b ，c 的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判a ，b ，c 的正负．【详解】由数轴可得，32a −<<−，21b −<<−，34c <<， A 、3b c +<，原选项判断错误，不符合题意，B 、0a c −<，原选项判断正确，符合题意，C 、根据数轴可知：a c <，原选项判断错误，不符合题意，D 、根据数轴可知：a b <，则22a b −>−，原选项判断错误，不符合题意，故选：B ．5. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是4A 纸厚度的六分之一，已知1毫米1=百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）A. 30.1510⨯纳米B. .41510⨯纳米C. 51510−⨯纳米D. 61.510−⨯纳米【答案】B【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：10,110,n a a n ⨯≤<为整数进行表示即可．【详解】解：0.015毫米40.0151000000 1.510=⨯=⨯纳米；故选B ．6. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A. 22S S >甲乙B. 22S S <甲乙C. 22S S =甲乙D. 无法确定【答案】A【解析】 【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果．【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小，∴22S S >甲乙；故选A ．7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP 为AOB ∠的平分线的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP 为AOB ∠的平分线；第二个图，由作图可知：,OC OD OA OB ==，∴AC BD =，∵AOD BOC ∠=∠，∴AOD BOC ≌△△，∴OAD OBC ∠=∠，∵AC BD =，BPD APC ∠=∠，∴BPD APC ≌，∴AP BP =，∵,OA OB OP OP ==，∴AOP BOP ≌△△，∴AOP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第三个图，由作图可知,ACP AOB OC CP ∠=∠=，∴CP BO ∥，COP CPO ∠=∠，∴CPO BOP ?∴COP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第四个图，由作图可知：OP CD ⊥，OC OD =，∴OP 为AOB ∠的平分线；故选D ．8. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（ ）A. 452α︒−B. 902α︒−C. 452α︒+D. 2α 【答案】B【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明EOF DOC ∽△△，求得45OFE ∠=︒，证明ABE GDE ∽，证得12DG CD CG ==，推出()SAS DEG CFG ≌，得到GE GF =，据此求解即可．【详解】解：∵正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴OD OC =，45ODC OCD ∠=∠=︒，DE CF =，∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OF OD OC=， ∴EOF DOC ∽△△，∴45OFE OCD ∠=∠=︒，∵点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点， ∴12DE BE =， ∵正方形ABCD ，∴AB CD ∥，∴ABE GDE ∽， ∴12DG DE AB BE ==， ∴12DG CD CG ==， ∴()SAS DEG CFG ≌，∴GE GF =， ∴()111809022GEF AGF α∠=︒−∠=︒−， ∴1190904545222FAG GEF AFE ααα∠=︒−︒−−︒=︒−=∠−∠=， 故选：B ．9. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A. 45尺B. 88尺C. 90尺D. 98尺【答案】C【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和()115302+⨯即可，读懂题意，找出规律是解题的关键．【详解】解：由题意得，第一天织布5尺，第30天织布1尺， ∴一共织布()11530902+⨯=（尺）， 故选：C ．10. 如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．【详解】解：如图所示，设,EG HF 交于点O ，∵菱形EFGH ，60E ∠=︒，∴HG GF =又∵60E ∠=︒，∴HFG 是等边三角形，∵EF =，60HEF ∠=︒，∴30OEF ∠=︒∴22cos306EG EO EF ==⨯︒==∴11622H EFG S EG FH =⋅=⨯⨯=菱形当03x ≤≤时，重合部分为MNG ，如图所示，依题意，MNG 为等边三角形，运动时间为t ，则cos303t NG t ==︒，∴221sin 602S NG NG ⎫=⨯⨯⨯︒==⎪⎪⎝⎭当36x <≤时，如图所示，依题意，6EM EG t t =−=−，则)6sin 60EM EK t ===−︒∴))22116622EKJ S EJ EM t t =⋅=−=− ∴EKJ EFGH S S S =−菱形)22666t =−=+− ∵6EG BC =<∴当68x <≤时，S =当811x <≤时，同理可得，)268S t =−当1114x <≤时，同理可得，())226814S t t ⎤=−−=−⎦综上所述，当03x ≤≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当36x <≤时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当68x <≤时，函数图象为一条线段，当811x <≤时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当1114x <≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11.x 的取值范围为________． 【答案】1x >##1x <【解析】【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：10x −>，解得：1x >；故答案为：1x >．12. 关于x 的不等式12x m x −≤−有正数解，m 的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于m 的一元一次不等式，即可求出m 的取值范围，进而可得m 的值，求出m 的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，112x m ≤−， 系数化为1得，22x m ≤−， ∵不等式12x m x −≤−有正数解， ∴220m −>，解得1m <，∴m 的值可以是0，故答案为：0．13. 若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ， ∴122m n mn +==−，，2241m m −= ∴2234m m n −+22224m m m n −++=221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−⨯−+ 6=故答案为：6．14. 如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点F 为圆心，以FB 的长为半径作BD ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．【解析】【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点A 作AG BF ⊥，求出BF 的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF ，∴()621801206BAF AFE E −⋅︒∠=∠=∠==︒，6AB AF EF DE ====， ∴()1180120302AFB ABF ∠=∠=︒−︒=︒，()1180120302EFD EDF ∠=∠=︒−︒=︒， ∴12023060BFD ∠=︒−⨯︒=︒，过点A 作AG BF ⊥于点G ，则：22cos30262BF FG AF ==⋅︒=⨯⨯=，设圆锥的底面圆的半径为r ，则：602180r ππ=⨯∴r ；15. 如图，在ABCD Y 中，120C ∠=︒，8AB =，10BC =．E 为边CD 的中点，F 为边AD 上的一动点，将DEF 沿EF 翻折得D EF '，连接AD '，BD '，则ABD '△面积的最小值为________．【答案】16##16−+【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到8CD AB ==，AB CD ∥，60ABC ∠=︒，由折叠性质得到4ED DE '==，进而得到点D ¢在以E 为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E 作EM AB ⊥交AB 延长线于M ，交圆E 于D ¢，此时D ¢到边AB 的距离最短，最小值为D M '的长，即此时ABD '△面积的最小，过C 作CN AB ⊥于N ，根据平行线间的距离处处相等得到EM CN =，故只需利用锐角三角函数求得CN =【详解】解：∵在ABCD Y 中，120BCD ∠=︒，8AB =，∴8CD AB ==，AB CD ∥，则18060ABC BCD ∠=︒−∠=︒，∵E 为边CD 的中点， ∴142DE CE CD ===， ∵DEF 沿EF 翻折得D EF '， ∴4ED DE '==，∴点D ¢在以E 为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E 作EM AB ⊥交AB 延长线于M ，交圆E 于D ¢，此时D ¢到边AB 的距离最短，最小值为D M '的长，即ABD '△面积的最小，过C 作CN AB ⊥于N ， ∵AB CD ∥， ∴EM CN =，在Rt BCN 中，10BC =，60CBN ∠=︒，∴sin 60102CN BC =⋅︒=⨯=∴4D M ME ED ''=−=，∴ABD '△面积的最小值为()184162⨯⨯=，故答案为：16．【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点D ¢的运动路线是解答的关键． 16. 已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出a b c 、、的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把()4,0−，()1,9−，()1,5代入2y ax bx c =++得，164095a b c a b c a b c −+=⎧⎪−+=⎨⎪++=⎩， 解得128a b c =−⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴0abc >，故①正确； ∵1a =−，2b =−，8c =， ∴228y x x =−−+，当9y =时，2289x x −−+=， ∴2210x x ++=， ∵224110∆=−⨯⨯=，∴关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线3112x −+==−， ∴抛物线的顶点坐标为()1,9−， 又∵0a <，∴当1x <−时，y 随x 的增大而增大，当1x >−时，y 随x 的增大而减小，当=1x −时，函数取最大值9，∵3x =−与1x =时函数值相等，等于5，∴当41x −<<时， y 的取值范围为09y <≤，故③错误；∵()212m m +−−=−，∴点()1,m y ，()22,m y −−关于对称轴=1x −对称， ∴12y y =，故④正确；由()212ax b x c +++<得22ax bx c x ++<−+，即2282x x x −−+<−+，画函数228y x x =−−+和2y x =−+图象如下：由2228y x y x x =−+⎧⎨=−−+⎩，解得1120x y =⎧⎨=⎩，2235x y =−⎧⎨=⎩， ∴()2,0A ，()3,5B −，由图形可得，当3x <−或2x >时，2282x x x −−+<−+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17. 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：27442393m m m m m m −−⎛⎫+÷⎪−−+⎝⎭，再求值． 【答案】262m m −−，25−．【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出m 的值，把m 的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出m 的值是解题的关键． 【详解】解：27442393mm m m m m −−⎛⎫+÷⎪−−+⎝⎭()22274393m mm m m m −−⎛⎫=−÷ ⎪−−+⎝⎭， ()()()()()()3743333322m m m m m m m m m ⎡⎤+−+=−⨯⎢⎥+−+−−⎢⎥⎣⎦， ()()()()()23743333322m m m m m m m m m ⎡⎤+−+=−⨯⎢⎥+−+−−⎢⎥⎣⎦， ()()()24433322m m m m m m −++=⨯+−−， ()()()()2233322m m m m m −+=⨯+−−−， ()223m m −=−−，262m m−=−，∵2354−=，∴235−的平方根为2±， ∵420m −≠， ∴2m ≠，又∵m 为235−的平方根， ∴2m =−，∴原式()2226225−−==−−⨯−．18. “山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t 表示，单位：h ）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A 组：02t ≤<；B 组：24t ≤<；C 组：46t ≤<；D 组：68t ≤<），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a 的值为_____，D 组对应的扇形圆心角的度数为______；（3）D 组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）图见解析 （2）32,28.8︒ （3）23【解析】【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法或树状图法求概率：（1）A 组人数除以所占的比例，求出总人数，进而求出C 组人数，补全条形图即可； （2）用B 组人数除以总数，求出a 的值，D 组人数所占的比例乘以360度求出圆心角的度数； （3）列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：1020%50÷=，∴C 组人数为：501016420−−−=； 补全条形图如图：【小问2详解】16%100%32%50a=⨯=，∴32a=，D组对应的扇形圆心角的度数为4 36028.850︒⨯=︒；故答案为：32,28.8︒；【小问3详解】列表如下：共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，∴82123P==．19. 根据收集的素材，探索完成任务．︒≈︒≈cos140.97 sin140.24【答案】任务一：冬至，14︒；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，利用正切定义求得【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即14α=︒， 故答案为：冬至，14︒；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，则90AFE ∠=︒，54EF =米，BF DF =，在Rt AFE 中，tan AFEFα=， ∴tan14540.2513.5AF EF =⋅︒≈⨯=（米）， ∵11 3.336.3AB =⨯=（米），∴36.313.522.8DE BF AB AF ==−=−=（米）， 22.8 3.37÷≈（层）， 答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1）2220120005y x x =−++，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元 （2）这天售出了64辆轮椅【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令12160y =，得到关于x 的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】解：由题意，得：()222006042012000105x y x x x ⎛⎫=−+⨯=−++ ⎪⎝⎭； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴200180x −≥， ∴20x ≤， ∵()22222012000251225055y x x x =−++=−−+， ∴当25x <时，y 随x 的增大而增大， ∴当20x =时，每天的利润最大，为()22202512250122405−⨯−+=元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元； 【小问2详解】 当12160y =时，222012000121605x x −++=， 解得：121040x x ==，（不合题意，舍去）； ∴106046410+⨯=（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅．21. 如图，正比例函数y x =与反比例函数ky x=的图象交于点)A a ，将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B ，C ，与x 轴，y 轴交于点D ，E ，且满足:3:2BE CE =．过点B 作BF x ⊥轴，垂足为点F ，G 为x 轴上一点，直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，连接CG ．（1）求反比例函数的表达式； （2）求n 的值及BCG 的面积． 【答案】（1）6y x= （2）1，10 【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出a 的值，进而求出反比例函数的解析式即可；（2）根据平移规则，得到平移后的解析式y x n =−，联立两个解析式，表示出,B C 的坐标，过点B ，C 作x 轴的平行线交y 轴于点,M N ,根据:3:2BE CE =，进而求出n 的值，进而根据对称性得出90CBG ∠=︒，勾股定理求得BD ，进而求得,BG BC 的长，即可求解．【小问1详解】解：∵正比例函数y x =与反比例函数ky x=的图象交于点)A a ，∴a =∴A，∴6k ==； ∴6y x=； 【小问2详解】∵A∴A A x y =∴tan 1AOD ∠== ∴45AOD ∠=︒ ∵将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位，∴平移后的解析式为：y x n =−，如图所示，过点B ，C 作x 轴的平行线交y 轴于点,M N ，则BME ，CNE 是等腰直角三角形， 45BEM CEN ∴∠=∠=︒∴BM CN ∥∴BME CNE △∽△ ∴32BM BE CN CE == 设23,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3BM m = ∴2CN m =， ∴32,C m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∵23,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,C m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，在y x n =−上 ∴2332m n m m n m⎧=−⎪⎪⎨⎪−=−−⎪⎩ 解得：11m n =⎧⎨=⎩（负值舍去） ∴()()3,2,2,3B C −−，∴BC 的解析式为1y x =−，BC ==当0y =时，1x =，则()1,0D ，∴2BF DF ==，1OE OD ==，则DE =∵直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，BF x ⊥轴，∴2DF FG ==，BFD △和BFG 是等腰直角三角形，∴()5,0G∴BD BG ==∵BFD △和BFG 是等腰直角三角形，45DBF GBF ∠=∠=︒ ∴90∠=︒DBG∴111022BCG S BG BC =⨯=⨯= 22. 在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为直线BC 上任意一点，连接AD ．将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90︒得线段ED ，连接BE ．【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，线段BE 与CD 的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE 与CD 的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若1AC BC ==，2CD =，请直接写出sin ECD ∠的值．【答案】（1）BE =；（2）BE =，补图及证明见解析；（3）sin 13ECD ∠=或sin 5ECD ∠=【解析】。

2014-2015学年山东省烟台市莱州市初三上学期期末数学试卷（五四学制）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=2，那么BC的值为（）A．2B．4C．4D．62．（3分）抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（）A．（3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣3，4）3．（3分）若A（﹣3.5，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2 4．（3分）下列语句中：①三角形的三条中线的交点是三角形的外心．②三角形两条角平分线的交点是三角形的内心．③三角形的外心到三个顶点的距离相等．④三角形的内心不一定在三角形的内部．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆心O到水面的距离OC=6，截面半径OB=10，则水面宽AB等于（）A．8B．10C．12D．166．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠C=38°，则∠AOD等于（）A．100°B．102°C．104°D．10°7．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点E在上，过点E作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于点C，D．若PA=3cm，则△PCD的周长等于（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm8．（3分）如图，P为⊙O的直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，若∠P=26°，则∠A等于（）A．32°B．36°C．38°D．42°9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则点A（b2﹣4ac，）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（3分）函数y=ax2+bx（a≠0，b＜0）的图象可能是（）A．B．C．D．11．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、B，且AC=2，则图中阴影部分的面积为（）A．2﹣πB．2π﹣4C．D．12．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（4，0），以P为圆心，5为半径作⊙P，则直线y=kx+2（k≠0）与⊙P的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k的取值有关二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）已知∠A为锐角，sin（90°﹣A）=，则cosA=．14．（3分）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为．15．（3分）将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是．16．（3分）圆内接正六边形的半径为2cm，则其边长等于．17．（3分）圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D=度．18．（3分）如图是四个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，与艺术字母“N”属于同一种投影的有．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，b=，解这个直角三角形．20．（6分）作出如图立体图形的三视图．21．（10分）如图，在⊙O中，D，E分别是半径OA，OB的中点，点C在圆上，CD=CE．求证：=．22．（10分）如图，一边利用墙，其余各边用篱笆靠墙围成矩形花圈ABCD，在花圈中间用一道篱笆隔成两个小矩形，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长c m，矩形ABCD的面积为S m2．（1）写出S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）当x为多少米时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，过点C作直线CD⊥AB于点D，弦CF与AB交于点E，弦BF与直线CD交于点G．已知BG=2，GF=4，求：BC的长度．24．（10分）如图，以等腰三角形ABC的腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交腰AB于点F，过D点作DE⊥AC于E点，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．25．（10分）将一块三角板按如图所示放在直角坐标系中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2．将三角板沿OB翻折后，得到△OBC．（1）求点C的坐标；（2）求经过O，A，C三点的抛物线的表达式；（3）以OB为直径的圆是否经过（2）中所求抛物线的顶点？2014-2015学年山东省烟台市莱州市初三上学期期末数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=2，那么BC的值为（）A．2B．4C．4D．6【解答】解：∵sinA=，∴∠A=30°．∴tan30°=，∴BC=2．故选：A．2．（3分）抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（）A．（3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣3，4）【解答】解：∵y=x2﹣6x+5，=x2﹣6x+9﹣9+5，=（x﹣3）2﹣4，∴抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4）．故选：A．3．（3分）若A（﹣3.5，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【解答】解：∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，∴对称轴是x=﹣2，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，比较可知，B（﹣1，y2）离对称轴最近，C（1，y3）离对称轴最远，即y3＜y1＜y2．故选：D．4．（3分）下列语句中：①三角形的三条中线的交点是三角形的外心．②三角形两条角平分线的交点是三角形的内心．③三角形的外心到三个顶点的距离相等．④三角形的内心不一定在三角形的内部．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①三角形的三条中线的交点是三角形的重心，故本小题错误；②三角形两条角平分线的交点是三角形的内心，符合内心的定义，故本小题正确；③因为三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，所以三角形的外心到三个顶点的距离相等，故本小题正确；④三角形的内心一定在三角形的内部，故本小题错误．故选：B．5．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆心O到水面的距离OC=6，截面半径OB=10，则水面宽AB等于（）A．8B．10C．12D．16【解答】解：∵截面圆心O到水面的距离OC=6，截面半径OB=10，∴BC===8．∵AB⊥OC，∴AB=2BC=16．故选：D．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠C=38°，则∠AOD等于（）A．100°B．102°C．104°D．10°【解答】解：∵∠C与∠BOD是同弧所对的圆周角与圆心角，∠C=38°，∴∠BOD=2∠C=76°，∴∠AOD=180°﹣76°=104°．故选：C．7．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点E在上，过点E作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于点C，D．若PA=3cm，则△PCD的周长等于（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=6cm；故△PCD的周长是6cm．故选：B．8．（3分）如图，P为⊙O的直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，若∠P=26°，则∠A等于（）A．32°B．36°C．38°D．42°【解答】解：连接BC，∵PC切⊙0于C．∴∠PCB=∠A，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACP=90°+∠A，∵∠A+∠ACP+∠P=180°，∴∠A+∠A+90°+∠P=180°，∵∠P=26°，∴∠A=32°，故选：A．9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则点A（b2﹣4ac，）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：如图，∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0．∵对称轴x=﹣＜0，∴＜0，∴点A（b2﹣4ac，）在第四象限．故选：D．10．（3分）函数y=ax2+bx（a≠0，b＜0）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵A、B中抛物线的开口向上，∴a＞0，∵b＜0，∴﹣＞0，∴对称轴应该在y轴的右边，∴排除A、B，∵C、D中抛物线的开口向下，∴a＜0，∵b＜0，∴﹣＜0，∴C错误，D正确，故选：D．11．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、B，且AC=2，则图中阴影部分的面积为（）A．2﹣πB．2π﹣4C．D．【解答】解：∵BC=AC，∠C=90°，AC=2，∴AB=2，∵点D为AB的中点，∴AD=BD=，∴S阴影=S△ABC﹣S扇形EAD﹣S扇形FBD=×2×2﹣×2 =2﹣．故选：D．12．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（4，0），以P为圆心，5为半径作⊙P，则直线y=kx+2（k≠0）与⊙P的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k的取值有关【解答】解：∵点P的坐标为（4，0），以P为圆心，5为半径作⊙P，∴AP=5，PO=4，∴AO=3，∵直线y=kx+2与y轴交于点（0，2），∴无论k为何值，直线y=kx+2与⊙P的位置关系是相交．故选：A．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）已知∠A为锐角，sin（90°﹣A）=，则cosA=．【解答】解：∵sin（90°﹣A）=，∴90°﹣∠A=60°，∴∠A=30°，则cosA=．故答案为：．14．（3分）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为15π．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π．15．（3分）将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是y=（x﹣5）2+2或y=x2﹣10x+27．【解答】解：y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：y=（x﹣5）2+2，将顶点式展开得，y=x2﹣10x+27．故答案为：y=（x﹣5）2+2或y=x2﹣10x+27．16．（3分）圆内接正六边形的半径为2cm，则其边长等于2cm．【解答】解：圆内接正六边形的半径为2cm，则边长是2cm．故答案是：2cm．17．（3分）圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D=90度．【解答】解：∵圆内接四边形的对角互补∴∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：4：3设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x∴2x+3x+4x+3x=360°∴x=30°∴∠D=90°．18．（3分）如图是四个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，与艺术字母“N”属于同一种投影的有L、K．【解答】解：根据平行投影和中心投影的特点和规律．“L”、“K”与“N”属中心投影．故答案为L、K．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，b=，解这个直角三角形．【解答】解：在Rt△ABC中，∵a2+b2=c2，a=，b=，∴c==2，∵tanA===，∴∠A=30°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°．20．（6分）作出如图立体图形的三视图．【解答】解：作图如下：21．（10分）如图，在⊙O中，D，E分别是半径OA，OB的中点，点C在圆上，CD=CE．求证：=．【解答】证明：∵D，E分别是半径OA，OB的中点，∴OD=OE．在△ODC与△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，∴=．22．（10分）如图，一边利用墙，其余各边用篱笆靠墙围成矩形花圈ABCD，在花圈中间用一道篱笆隔成两个小矩形，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长c m，矩形ABCD的面积为S m2．（1）写出S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）当x为多少米时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）由题意，得AB=，∴S=x•，∴S=﹣x2+8x．∵，∴0＜x≤15．答：S与x之间的函数关系式为S=﹣x2+8x，x的取值范围为0＜x≤15；（2）∵S=﹣x2+8x，∴S=﹣（x﹣12）2+48，∴a=＜0，=48．∴x=12时，S最大答：x=12时，矩形的面积最大=48平方米．23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，过点C作直线CD⊥AB于点D，弦CF与AB交于点E，弦BF与直线CD交于点G．已知BG=2，GF=4，求：BC的长度．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCG=90°，∵∠BCG=∠A，又∵∠A=∠F，∴∠BCG=∠F，且∠CBG=∠FBC，∴△BCG∽△BFC，∴=，∵BG=2，GF=4，∴BF=BG+GF=6，∴=，∴BC=2．24．（10分）如图，以等腰三角形ABC的腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交腰AB于点F，过D点作DE⊥AC于E点，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．【解答】解：直线DE与⊙O相切．理由：连接OD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．25．（10分）将一块三角板按如图所示放在直角坐标系中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2．将三角板沿OB翻折后，得到△OBC．（1）求点C的坐标；（2）求经过O，A，C三点的抛物线的表达式；（3）以OB为直径的圆是否经过（2）中所求抛物线的顶点？【解答】解：（1）作CH⊥x轴，垂足为H，如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2，∴OA===2．在Rt△OCH中，OC=OA=2，∠COH=2∠AOB=60°，∴OH=OC•cos∠COH=2×cos60°=2×=．CH=OC•sin∠COH=2×sin60°=2×=3．∴点C的坐标为（，3）．（2）设所求的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，将O（0，0），A（2，0），C（，3）分别代入表达式，得，解得：，∴经过O，A，C三点的抛物线的表达式为y=﹣x2+2x．（3）∵x=﹣=﹣=，y===3，∴抛物线的顶点为（，3）．∵∠OCB=90°，∴点C（，3）在以AB为直径的圆上，∴以OB为直径的圆经过抛物线的顶点．。