【数学】人教版八年级上册第11章三角形专训2三角形的三种重要线段的应用

第十一章 三角形 综合练习（2）一、单选题1．下列说法中错误的是（ ）A ．三角形的中线、角平分线高线都是线段B ．任意三角形的外角和都是360︒C ．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形D ．三角形的一个外角大于任何一个内角2．十二边形的每个内角都相等，它的一个外角的度数是（ ）．A ．30B ．35︒C ．40︒D ．45︒ 3．设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( )A ．有两个锐角、一个钝角B ．有两个钝角、一个锐角C ．至少有两个钝角D ．三个都可能是锐角4．如果一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这个多边形有（ ）条对角线． A ．20 B ．27 C ．35 D ．44 5．一个八十二边形中，它的内角中的锐角最多可以有的个数是（ ）． A ．1 B ．3 C ．41 D ．82 6．如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 7．如图，ABC 中，BD 是ABC ∠的平分线，//DE BC ，交AB 于点E ，60A ∠=︒，95BDC ∠=︒，则BDE ∠=（ ）．A ．30B ．35︒C ．45︒D ．50︒8．如图，ABC 中，ABD DBE EBC ∠=∠=∠，ACD DCE ECB ∠=∠=∠，若130BEC ∠=︒，则A ∠等于（ ）．A ．30B ．35︒C ．80︒D ．85︒9．一个多边形截去一个角后，得到的多边形的内角和为1980，那么原来的多边形的边数为（ ）．A ．12或13取14B ．13或14C ．12或13D ．13或14或15 10．如图，ABC 中，80BAC ∠=︒，D 是ABC 外一点，ADC ACD ∠=∠，ADB ABD ∠=∠，则BDC ∠=（ ）． A ．70︒ B ．60︒ C ．45︒ D ．40︒二、填空题11．一等腰三角形的底边长为15cm ，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm ，那么这个三角形的周长为__________．12．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L 的取值范围是__________13．如图，AD 平分∠CAE ，∠B =30°，∠ACD =80°，则∠EAD =___________．14．如图，如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =________．15．已知过m 边形的一个顶点有3条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则()m k n -=________．16．如图，:1:3AD AC =，:BCD ABD S S =________．17．等腰三角形的一个角是70°，则它的一腰上的高与底边的夹角是 ________． 18．∠ABC 中，∠A =55°，∠B =75°，将纸片的一角折叠，点C 落在∠ABC 内，如图，若∠CDA =20°，则∠CEB =________．19．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350︒，则这个多边形的边数是_________.20．如图，在∠ABC 中，∠CAD =∠CDA ，∠CAB −∠ABC =30°，则∠BAD =________︒． 21．已知非直角三角形ABC 中，∠A ＝45°，高BD 与高CE 所在直线交于点H ，则∠BHC 的度数是_______．三、解答题22．∠ABC 中，内角∠A 和外角∠CBE 和∠BCF 的角平分线交于点P ，AP 交BC 于D ．过B 作BG ∠AP 于G ．若∠GBP = 55°，求∠ACB 的度数．23．在如图所示的星形中，14B ∠=︒，15C ∠=︒，16F ∠=︒，45A D E G k ∠+∠+∠+∠=⋅︒，求k 的值．24．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图∠中是一个五角星，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的和．（2）如果把图∠中的点A 向下移到BE 上，形成如图∠中五个星的和（即CAD B C ∠+∠+∠+D E ∠+∠）有无变化？说明你的结论的正确性．（3）如果把图∠中点C 向上移动到BD 上，形成如图∠的图形，则此时五个角的和（即CAD B ∠+∠+ACE D E ∠+∠+∠）有无变化？说明你的理由．25．若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a b b c->-（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为->-，所以这个三角形为“不均衡三角形”．7554（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）∠4cm，2cm，1cm∠13cm，18cm，9cm∠19cm，20cm，19cm∠9cm，8cm，6cmx-（x为整数）求x的值．（2）已知“不均衡三角形”三边分别为22x+，16，2626．已知；D是∠ABC中BC边的中点，（1）图∠中面积相等的三角形是_________．（2）图∠中，若MN // AB，则图∠中面积相等的三角形是__________________．（3）画图：图∠中过A点画一条直线把四边形ABCD的面积平分，并说明原因．参考答案：1．D【分析】要熟悉三角形中的概念及其分类方法和三角形的内角和定理及其推论．【详解】解：A、三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故A正确；B、任意三角形的外角和都是360°，故B正确；C、三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，故C正确；D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故D错误．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的高、中线、角平分线的概念，三角形的内角和定理及其推论，三角形的分类方法，难度适中．2．A【分析】由十二边形的每个内角都相等，可得这个十二边形的每个外角也都相等，再利用多边形的外角和可得答案.【详解】解：十二边形的每个内角都相等，∴这个十二边形的每个外角也都相等，∴它的一个外角的度数是36030, 12︒=︒故选：.A【点睛】本题考查的是多边形的外角和为360︒，多边形的任何一个内角与其相邻的外角互补，掌握以上知识是解题的关键.3．C【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，可以把α+β，β+γ，α+γ相当于这个三角形的三个外角；根据三角形的外角与内角是邻补角，结合三个内角的情况，可以得到α+β，β+γ，α+γ这三个角的情况，从而确定选项.【详解】∠α，β，γ是三角形的三个内角，∠α+β，β+γ，α+γ相当于这个三角形的三个外角，∠α+β，β+γ，α+γ分别是γ，α，β的邻补角.∠α，β，γ是三角形的三个内角，∠α，β，γ中，至少有两个锐角，∠α+β，β+γ，α+γ至少有两个钝角.故选:C.【点睛】本题主要考查三角形的外角定理和三角形的内角和定理，可以根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和进行考虑；4．C【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解，多边形对角线的条数可以表示成()32n n-．【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=4×360°，解得n=10．10×（10-3）÷2=35（条）．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．5．B【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案．【详解】解：因为八十二边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，八十二边形的内角与其相邻外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角，内角中就最多有3个锐角．故答案为：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，由于内角不是定值，不容易考虑，而外角和是360度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑.6．C【分析】根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．此点称为外心，也是这个三角形外接圆的圆心．）依题意画出直角三角形，锐角三角形以及钝角三角形的垂直平分线的交点即可求解．【详解】一个三角形三边垂直平分线的交点是这个三角形外接圆的圆心，如果在外部，则这个三角形是钝角三角形．故选C.【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，解题关键是画出图形即可求解．7．B【分析】根据角平分线的性质，可得∠ABD 与∠CBD 的关系，根据平行线的性质，可得∠CBD 与∠BDE 的关系，根据三角形外角的性质，可得∠EBD 的大小，进而得出结论．【详解】解：∠BD 是∠ABC 的平分线，∠∠ABD ＝∠CBD ．∠DE //BC ，∠∠CBD ＝∠BDE ，∠∠EBD ＝∠BDE ．∠∠BDC 是∠ABD 的外角，∠∠A ＋∠ABD ＝∠BDC ，∠∠EBD ＝∠BDC −∠A ＝95°−60°＝35°，∠∠BDE ＝∠DBE ＝35°．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理．解答的关键是要熟练掌握：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和为180°．8．A【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠EBC ＋∠ECB 的度数，然后得到∠ABC ＋∠ACB 的度数，再利用三角形的内角和等于180°列式求解即可．【详解】解：在∠BCE 中，∠∠BEC ＝130°，∠∠EBC ＋∠ECB ＝180°−130°＝50°，∠ABD DBE EBC ∠=∠=∠，ACD DCE ECB ∠=∠=∠，∠∠ABC ＋∠ACB ＝3（∠EBC ＋∠ECB ）＝3×50°＝150°，在∠ABC 中，∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−150°＝30°．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，把两个角的和看作一个整体进行求解，整体思想的利用是解题的关键．9．A【分析】首先设新的多边形的边数为n ，由多边形内角和公式，可得方程180（n −2）＝1980，即可求得新的多边形的边数，继而求得答案．【详解】解：设新的多边形的边数为n ，∠新的多边形的内角和是1980°，∠180（n −2）＝1980，解得：n ＝13，∠一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形， ∠原多边形的边数可能是：12或13或14．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，注意掌握方程思想的应用．10．D【分析】设2CAD x ∠=︒，则ACD ∠()90x =-︒，BAD ∠802x =︒+︒，ABD ∠()50x =-︒，由BDC ∠=ADC ADB ∠-∠，即可求出BDC ∠．【详解】设2CAD x ∠=︒，则()()11802902ACD ADC x x ∠=∠=︒-︒=-︒， 802BAD BAC CAD x ∠=∠+∠=︒+︒，()()1180802502ABD ADB x x ∠=∠=︒-︒-︒=-︒， 40BDC ADC ADB ∴∠=∠-∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，解题关键是灵活运用相关知识进行求解． 11．55cm 或35cm【分析】先画出图形，根据图形结合已知写出条件，再分两种情况讨论：根据一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm ，构建方程，再解方程可得答案.【详解】解：如图，ABC 为等腰三角形，,,15,AB AC AH CH BC ===设,AH CH x == 则2,AB AC x ==当()5AB AH BC CH +-+=时，()2155,x x x ∴+-+=解得：10,x =20,AB AC ∴==20201555,ABC C ∴=++=当()5BC CH AB AH +-+=时，()1525,x x x ∴+-+=解得：5,x =10,AB AC ∴==10101535,ABC C ∴=++=故答案为：55cm 或35.cm【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的中线的性质，清晰的分类讨论是解题的关键.12．10<L<16【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．【详解】设第三边长为x ，∠有两条边分别为3和5，∠5-3<x<5+3,解得2<x<8，∠2+3+5<x+3+5<8+3+5，∠周长L=x+3+5,∠10<L<16,故答案为: 10<L<16．【点睛】此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键．13．65︒【分析】先根据三角形的外角性质求得∠BAC 的度数，再根据平角的性质以及角平分线的定义求得∠EAD的度数．【详解】解：∠∠ACD是∠ABC的外角，∠∠BAC=∠ACD-∠B=80°-30°=50°，∠∠CAE =180°-50°=130°，∠AD平分∠CAE，∠∠EAD=12CAE∠=65°．故答案为：65°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．540︒【分析】连接BC、AD．根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和是180°进行分析求解．【详解】解：如图，连接BC、AD．在四边形BCEG中，得∠E+∠G+∠ECB+∠GBC=360°，又因为∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠F=180°，∠4+∠5+∠3+∠6=∠CAF+∠BDF，即∠1+∠2+∠5+∠6=∠CAF+∠BDF，所以∠CAF+∠B+∠C+∠BDF+∠E+∠F+∠G=540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了四边形内角和定理以及三角形内角和定理，解题的关键是能够巧妙构造四边形，根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理进行求解．15．64【分析】根据m 边形从一个顶点出发可引出（m -3）条对角线．从k 个顶点出发引出（k -3）条，而每条重复一次，所以k 边形对角线的总条数为：()32k k -（k ≥3，且k 为整数）可得到m 、k 、n 的值，进而可得答案．【详解】解：据题意得，m -3=3，n =3，解得：m =6， 1 2k （k -3）=k ， 解得：k =5，所以（k -n ）m =（5-3）6=64．故答案为：64．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握对角线条数的计算公式． 16．2:1【分析】过点B 作BE AC ⊥于E ，设AD 为x ，则AC 为3x ，用面积公式表示出BCD S △和ABD S ，根据:1:3AD AC =，即可求解．【详解】过点B 作BE AC ⊥于E ，:1:3AD AC =，设AD 为x ，则AC 为3x ，12BCD S CD BE ∆=⨯⨯， 12ABD S AD BE ∆=⨯⨯， :BCD ABD S S ∆∆∴，11:22CD BE AD BE =⨯⨯⨯⨯， :CD AD =，():AC AD AD =-，()3:x x x =-，2:x x =，2:1=故答案为：2:1．【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用，熟练掌握面积公式是解题关键． 17．35°或20°【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．【详解】解：如图，在∠ABC 中，AB =AC ，BD 是AC 边上的高．∠当∠A =70°时，则∠ABC =∠C =55°，∠BD ∠AC ，∠∠DBC =90°-55°=35°；∠当∠C =70°时，∠BD ∠AC ，∠∠DBC =90°-70°=20°；故答案为：35°或20°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．18．80°【分析】如图延长AD、BE交于点F，连接CF．首先证明∠1+∠2=2∠AFB，求出∠AFB即可解决问题．【详解】解：如图延长AD、BE交于点F，连接CF．在∠ABF中，∠AFB=180°-55°-75°=50°，∠∠ECD=∠AFB=50°，∠1=∠ECF+∠EFC，∠2=∠DCF+∠DFC，∠∠1+∠2=∠ECF+∠EFC +∠DCF+∠DFC =2∠AFB=100°，∠∠1=∠CDA=20°，∠∠2=∠CEB=80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查了翻折变换、三角形的内角和定理、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．9n-•°，用1350除以180，商就是n-2，余数就是【分析】根据多边形的内角和公式()2180加上那个外角的度数.【详解】1350÷180=790,∴-=27n解得n=9故答案为9.【点睛】本题考查多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和公式及计算法则是解题关键. 20．15【分析】根据三角形的外角性质得到∠CDA=∠BAD+∠ABC，由已知通过计算即可求解．【详解】解：由三角形的外角性质得∠CDA=∠BAD+∠ABC，∠∠CAD=∠CDA，∠CAB−∠ABC=30°，∠∠CAD+∠BAD−∠ABC=30°，即∠BAD+∠ABC+∠BAD−∠ABC=30°，∠∠BAD=15°，故答案为：15．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．21．45°或135°【分析】∠∠ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；∠∠ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．【详解】如图1，∠ABC是锐角三角形时，∠BD、CE是∠ABC的高线，∠∠ADB=90°，∠BEC=90°.在∠ABD中，∠∠A=45°，∠∠ABD=90°-45°=45°，∠∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；∠如图2，∠ABC是钝角三角形时，∠BD、CE是∠ABC的高线，∠∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∠∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∠∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故答案为45°或135°．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分∠ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．22．70【分析】由∠GBP=55°，∠BGP=90°，得到∠BPG=35°，根据角平分线的定义得到∠EBP=∠CBP，根据三角形外角的性质得到∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+35°，由∠ACB=∠EBC-∠BAC=2∠EBP-2∠BAP，于是得到结论．【详解】解：∠∠GBP=55°，∠BGP=90°，∠∠BPG=35°，∠BP平分∠CBE，∠∠EBP=∠CBP，∠∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+35°，∠AP平分∠BAC，∠∠ACB=∠EBC-∠BAC=2∠EBP-2∠BAP=2(∠BAP+35°-∠BAP)=70°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．k=23．3【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．【详解】解：如图：由三角形的外角性质得，∠1=∠B+∠E，∠3=∠A+∠D，∠2=∠F+∠GOF=∠F+∠C+∠G，由三角形的内角和定理得，∠1+∠2+∠3=180°，∠∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．∠∠B+∠C+∠F=14°+15°+16°=45°，∠∠A+∠D+∠E+∠G=180°-45°=135°=k⋅45°，∠k=3．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．24．（1）180︒；（2）无变化，见解析；（3）无变化，见解析．【分析】（1）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形内角和定理可得．（2）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形内角和定理可得．（3）利用三角形内角和定理及三角形的外角性质求解.【详解】（1）连接CD，并设BD和CE交于点O，如下图：∠∠COD＝∠BOE（对顶角相等），∠∠B＋∠E＝∠ECD＋∠BDC（等量代换），∠∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠ECD＋∠BDC＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°.（2）无变化连接CD，并设BD和CE交于点O，如下图：∠∠COD＝∠BOE（对顶角相等），∠∠B＋∠E＝∠ECD＋∠BDC（等量代换），∠∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠CAD＋∠ACE＋∠ADB＋∠ECD＋∠BDC＝∠CAD＋∠ACD＋∠ADC＝180°．故∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E等于180°没有变化．（3）无变化如下图：∠∠ECD 是∠BCE 的一个外角，∠∠ECD ＝∠B ＋∠E （三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和），∠∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝∠CAD ＋∠ACE ＋∠D ＋∠ECD ＝∠CAD ＋∠ACD ＋∠D ＝180°，故∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E 等于180°，没有变化．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理及三角形的外角性质，属于一个综合题，要想正确解答这类问题，就要熟练掌握相关的定理和性质．25．（1）∠；（2）10、12、13或14．【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系逐一判断即可得答案； （2）分别讨论22x +>16>26x -，16>22x +>26x -，22x +>26x ->16三种情况；利用“不均衡三角形”的定义列不等式可求出x 的取值范围，结合x 为整数即可得答案．【详解】（1）∠∠1+2<4，∠不能组成三角形，不符合题意，∠∠18-13>13-9，∠能组成“不均衡三角形”，符合题意，∠∠有两条相等的边，∠不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，∠∠9-8<8-6，∠不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，故答案为：∠（2）当22x +>16>26x -，即7<x <11时，∠“不均衡三角形”三边分别为22x +，16，26x -，∠221616(26)261622x x x x +->--⎧⎨-+>+⎩， 解得：x >9，∠9<x <11，∠x 为整数，∠x =10，当16>22x +>26x -，即x<7时，∠“不均衡三角形”三边分别为22x +，16，26x -，∠16(22)22(26)222616x x x x x -+>+--⎧⎨++->⎩，即35x x <⎧⎨>⎩， ∠此不等式组无解，∠此种情况不存在，当22x +>26x ->16，即x>11时，22(26)2616261622x x x x x +-->--⎧⎨-+>+⎩， 解得：x <15，∠11<x <15，∠x 为整数，∠x 的值为12或13或14，综上所述：x 的值为10、12、13或14．【点睛】本题考查三角形的三边关系及解一元一次不等式组，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系列出不等式组并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．26．（1）ABD ACD S S ∆=，（2）ABC ABD S S =△△，ACD CBD S S =，AOC BOD S S =△△，（3）见解析【分析】（1）利用等底等高的两个三角形面积相等即可得解；（2）利用等底等高的两个三角形面积相等即可得解；（2）连接AC 、BD ，取BD 中点E ，过点E 作EF //AC ，连接AF 即可．【详解】解（1）∠D 是∠ABC 中BC 边的中点，∠ABD ACD S S ∆=；故答案为：ABD ACD S S ∆=；（2）∠MN //AB ，∠ABC ABD S S =△△，ACD CBD S S =，∠ABC AOB ABD AOB S S S S -=-△△△△，∠AOC BOD S S =△△，故答案为：ABC ABD S S =△△，ACD CBD S S =，AOC BOD S S =△△；（3）如图所示：AF 即为所求．连接AC 、BD ，取BD 中点E ，过点E 作EF //AC ，连接AF 即为所求．∠点E 是BD 的中点，∠ABE AED S S =△△，ECD CBE SS =，即12ABE CBE ABCD S S S =+四边形， ∠EF //AC ，∠AEF CEF S S =△△，∠12ABE CBE ABE BEF AEF ABF ABCD S S S S S S S =+++==四边形． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，并熟练掌握三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分以及等底等高的两个三角形面积相等．。

11.1 与三角形的关的线段（第2课时）表射线或直线?三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.巩固新知问题：1、在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.( 如果他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那里?)观察这三条高所在的直线的位置有何关系?三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.2、在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.3、你认为“三线”定义中，高与线段垂线、三角形角平分线与角的平分线、中线与线段中点有何异同？课堂练习1、AD是△ABC的角平分线，那么∠BAD= =212、AE是△ABC的中线，那么BE= = BC3、如图3，在△ABC中∠BAC=60度，∠B=45度，AD是∠BAC的角平分线，求∠ADB的度数。

4.如图5，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，下列说法正确吗？（1）DE是△BDC的中线。

（2）BD是△ABC的中线（3）AD=CD、BE=EC∠C的对边是DE小结与作业课堂小结1、请小组同学回忆一下本课主要内容，由师生共同用较准确语言描述．2、三线定义．本课作业1、必做题：2、选做题1、在最软入的时候，你会想起谁。

21.4.94.9.202108:2708:27:35Apr-2108:272、人心是不待风吹儿自落得花。

二〇二一年四月九日2021年4月9日星期五3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。

08:274.9.202108:274.9.202108:2708:27:354.9.202108:274.9.20214、与肝胆人共事，无字句处读书。

专题11.3三角形三条重要线段（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形的高（1）定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高.（2）三角形高的画法：一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点；三画：画垂线段。

（3）三角形三条高的位置：①三角形三条高交于一个点，这个点称作三角形的垂心；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心是直角顶点；③钝角三角形垂心在三角形外部.【例1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列四个图形中，线段BE 是ABC ∆的高是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义及画法知，过点B 作AC 边上的高，垂足为E ，其中线段BE 是ABC 的高，再结合图形进行判断即可求解，掌握三角形高的定义和画法是解题关键．解：A 、线段BE 不是ABC 的高，不合题意；B 、线段BE 不是ABC 的高，不合题意；C 、线段BE 不是ABC 的高，不合题意；D 、线段BE 是ABC 的高，符合题意；故选：D ．【知识点二】三角形的中线（1）定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线；（2）三角形的重心：三角形三边上的中线交点叫做三角形的重心。

【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在ABC 中，17AB =，12AC =，AD 为中线，则ABD △与ACD 的周长之差为（）A ．5B ．3C ．4D ．2【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到BD CD =，再根据三角形周长公式进行求解即可．解：∵AD 为中线，∴BD CD =，∵ABD △的周长AB AD BD =++，ACD 的周长AC AD CD =++，∴ABD △与ACD 的周长之差为5AB AD BD AC AD CD AB AC ++---=-=，故选：A ．【知识点三】三角形的角平分线（1）定义：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

第十一章三角形知识框架【三角形的概念】1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相连。

2、基本概念：三角形有三条边，三个内角，三个顶点。

边：组成三角形的线段，表示方法：AB(c)、BC(a)、AC(b)内角：相邻两边所组成的角，表示方法：∠A、∠B、∠C顶点：相邻两边的公共端点，表示方法：A、B、C三角形ABC用符号表示为△ABC。

夹边、夹角、对边、对角3、数三角形个数技巧1）按组成三角形的图形个数来数（如单个三角形、由2个图形组成的三角形……最后求和）2）从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另外两条边；3）先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组。

练：1、下列说法中正确的是（）A、由三个角组成的图形叫三角形B、由三条直线组成图形叫三角形C、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形D、由三条线段组成的图形叫三角形2、右图中三角形的个数是（）A、6B、7C、8D、93、如右图所示：（1）图中有几个三角形？把它们一一写出来。

（2）写出△ABD的三个内角。

（3）以∠C为内角的三角形有哪些？（4）以AB为边的三角形有哪些？【分类】在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

练：1、如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A、锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断2、若△ABC三边长分别为m，n，p，且| m - n |+( n - p)2= 0 ，则这个三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形3、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形4、根据下列所给条件，判断△ABC的形状（若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断）（1）∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；（2）∠C=90°；（3）∠C=120°；（4）AB=BC=4，AC=5.【三边的关系】①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。