人教版高中数学必修二检测：模块质量评估(A卷) Word版含解析

模块综合测评(教师独具)(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α∥β， a ⊂α， b ⊂β， 则a 与b 的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交 C ．异面D ．平行A [满足条件的情形如下：]2．直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．13C [由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.]3．两圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值为( ) A ．10－1 B ．102C ．10D ．10－1或10＋1B [因为两圆外切且半径相等，所以|C 1C 2|＝2r .所以r ＝102.] 4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13， 则( )A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OCC [|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .]5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．2 2C [圆心(－1，0)，直线x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直， 则这两条直线的交点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 C [由题意知：2a －(a ＋1)＝0，得a ＝1，所以2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得x ＝25，y ＝65.]7．如图， 在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中， P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行D [当A ，P ，C 共线时，PC 1与AA 1相交不垂直，所以A ，B 错误；连接BC 1，DC 1(图略)，可以证AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1.又PC 1⊂平面BDC 1，所以PC 1与平面AB 1D 1平行．]8．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中， AB ＝2， BC ＝4, AA 1＝6， 则AC 1和底面ABCD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° A [如图所示，连接AC ，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥底面ABCD ，所以∠C 1AC 就是AC 1与底面ABCD 所成的角．因为AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝6，所以CC 1＝AA 1＝6，AC 1＝2 6.所以在Rt △ACC 1中，sin ∠C 1AC ＝CC 1AC 1＝626＝12.所以∠C 1AC ＝30°.] 9．已知点A (－1，1)，B (3，1)，直线l 过点C (1，3)且与线段AB 相交，则直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切或相离D [因为k AC ＝1，k BC ＝－1，直线l 的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC 方程为x ＋y －4＝0，圆(x －6)2＋y 2＝2的圆心(6，0)到直线BC 的距离为2，因此圆(x －6)2＋y 2＝2与直线BC 相切，结合图象可知，直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是相切或相离．]10．设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是( ) A ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mB ．若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥nC ．若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥αD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD [若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ，A 正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥n ，B 正确；由直线与平面平行的判定定理，若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥α，C 正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交， 即若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α∩β＝a ，D 不正确．]11．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1C [对任意点P (x ，y )能使x ＋y ＋c ≥0成立，等价于c ≥[－(x ＋y )]max . 设b ＝－(x ＋y )，则y ＝－x －b . 所以圆心(0，1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b |2≤1, 解得－2－1≤b ≤2－1.所以c ≥2－1.]12．如图， 在△ABC 中， AB ＝BC ＝6， ∠ABC ＝90°， 点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置， 使PC ＝PD ，连接PC, 得到三棱锥P ­BCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．5πD ．7πD [由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD, 设三棱锥P ­BDC 外接球的球心为O, △PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面PCD ，所以四边形OO 1DB 为直角梯形， 由BD ＝3，O 1D ＝1，及OB ＝OD ，得OB ＝72， 所以外接球半径为R ＝72，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝4π×74＝7π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(m ＋1)x －y －(m ＋5)＝0与直线2x －my －6＝0平行，则m ＝________． －2 [由题意知：m ＋1＝2m，解得m ＝1或－2. 当m ＝1时，两直线方程均为2x －y －6＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当m ＝－2时，直线分别为x ＋y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，两直线平行．]14．如图所示， 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.43[平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面，边长、高为1的正四棱锥，所以其体积为2×2×1×13×2＝43.]15．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________.x 2＋y 2－2x ＝0 [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.]16．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为m 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝m ，PA ＝PC ＝2m ，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．12(2－2)m [由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD .又PD ＝m ，PA ＝2m ，则AD ＝m .设内切球的球心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP (图略)，易知V P ­ABCD ＝V O ­ABCD ＋V O ­PAD ＋V O ­PAB ＋V O ­PBC ＋V O ­PCD ，即13·m 2·m ＝13·m 2×R ＋13×12·m 2·R ＋13×12·2m 2·R ＋13×12· 2 m 2·R ＋13·12·m 2·R ，解得R ＝12(2－2)m ，所以此球的最大半径是12(2－2)m .]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求下列直线l ′的方程，l ′满足：(1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)与直线l 关于y 轴对称．[解] (1)因为l ∥l ′， 所以l ′的斜率为－34，所以直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)l 与y 轴交于点(0，3)，该点也在直线l ′上，在直线l 上取一点A (4，0)，则点A 关于y 轴的对称点A ′(－4，0)在直线l ′上，所以直线l ′经过(0，3)和(－4，0)两点，故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l 经过点D (－2，0)，且斜率为k .(1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程； (2)若直线l 与圆C 相离， 求k 的取值范围．[解] (1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0，4)，半径为2.所以CD 的中点E (－1，2)， |CD |＝22＋42＝25，所以r ＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. (2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1>2, 解得k <34.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34.19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解] (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a . 又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得a ＝－2，b ＝2或a ＝2，b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0, (m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意． 21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋b (0<b <1)和圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)当k ＝0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，求两切线的交点坐标；(2)对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足∠ONA ＝∠ONB ？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)联立直线l ：y ＝b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得A ，B 两点坐标为A (－1－b 2，b )，B (1－b 2，b ).设过圆O 上点A 的切线l 1的方程是y －b ＝kl 1(x ＋1－b 2)，由于k AO ·kl 1＝－1，即－b1－b 2·kl 1＝－1，也就是kl 1＝1－b2b.所以l 1的方程是y －b ＝1－b2b(x ＋1－b 2).化简得l 1的方程为－1－b 2x ＋by ＝1. 同理得，过圆O 上点B 的切线l 2的方程为 1－b 2x ＋by ＝1.联立l 1与l 2的方程得交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .因此，当k ＝0时，两切线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .(2)假设在y 轴上存在一点N (0，t )，满足∠ONA ＝∠ONB ， 则直线NA ，NB 的斜率k NA ，k NB 互为相反数， 即k NA ＋k NB ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，则y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝0， 即x 2(kx 1＋b －t )＋x 1(kx 2＋b －t )＝0. 化简得2kx 1x 2＋(b －t )(x 1＋x 2)＝0.①联立直线l ：y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得(k 2＋1)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋1，x 1x 2＝b 2－1k 2＋1.② 将②代入①整理得－2k ＋2kbt ＝0.③因为③式对于任意的实数k 都成立，因此，t ＝1b.故在y 轴上存在一点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，满足∠ONA ＝∠ONB .。

模块综合检测一、选择题1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为( )A．6 B．1C．2 D．4解析：选A 由题意知kAB＝m＋4－2－3＝－2，∴m＝6.2．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )A．(1，－2)，5 B．(1，－2)， 5C．(－1,2)，5 D．(－1,2)， 5解析：选D 圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，其圆心是(－1,2)，半径为 5.3．在空间直角坐标系O­xyz中，点A在z轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则点A的坐标是( )A．(0,0，－1) B．(0,1,1)C．(0,0,1) D．(0,0,13)解析：选C 由点A在z轴上，可设A(0,0，z)，∵点A到点(22，5，1)的距离是13，∴(22－0)2＋(5－0)2＋(z－1)2＝13，解得z＝1，故A的坐标为(0,0,1)，故选C.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l1，l2都不相交B ．l 与l1，l2都相交C ．l 至多与l1，l2中的一条相交D ．l 至少与l1，l2中的一条相交解析：选D 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l 相交．6．若点P(2，－1)为圆(x －1)2＋y2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析：选A 设圆心为C(1,0)，则AB ⊥CP ，∵kCP ＝－1，∴kAB ＝1，∴直线AB 的方程是y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π. 8．直线l ：y ＝kx －1与曲线y －2x －1＝12不相交，则k 的取值是( )A.12或3B.12C ．3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 解析：选A 曲线y －2x －1＝12表示直线x －2y ＋3＝0(去掉点(1,2))，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y －2x －1＝12不相交，即直线l 与x －2y ＋3＝0平行或直线l 过点(1,2)，所以k 的取值为12或3.9．在正三棱柱ABC ­A1B1C1中，若AB ＝2，AA1＝1，则点A 到平面A1BC 的距离为( )A.34B.32C.334D. 3解析：选B 因为ABC ­A1B1C1是正三棱柱，AB ＝2，所以底面三角形ABC 的面积为3，所以VA1­ABC＝13×3×1＝33.如图，在△A1BC 中，A1B ＝A1C ＝12＋22＝5，所以BC 边上的高为(5)2－1＝2，所以S △A1BC ＝12×2×2＝2.设点A 到平面A1BC 的距离为h ，所以13·S △A1BC ·h ＝VA1­ABC ，解得h ＝32. 10．过点P(－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l1与l 间的距离是( )A.285B.125C.85D.25解析：选B 直线l1的斜率k ＝－a3，l1∥l ，又l 过P(－2,4)，∴l 的直线方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y＋2a －12＝0.又直线l 与圆相切， ∴|2a ＋3×1＋2a －12|a2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l1与l 的距离为d ＝125.11．若圆C ：x2＋y2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b)所作的圆的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C 将圆C ：x2＋y2＋2x －4y ＋3＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C(－1,2)，半径r ＝2.∵圆C 关于直线2ax＋by ＋6＝0对称，∴直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心，将x ＝－1，y ＝2代入直线方程得－2a ＋2b ＋6＝0，即a ＝b ＋3.∵点(a ，b)与圆心的距离d ＝(a ＋1)2＋(b －2)2，∴由点(a ，b)向圆C 所作切线长l ＝d2－r2＝(a ＋1)2＋(b －2)2－2＝(b ＋4)2＋(b －2)2－2＝2(b ＋1)2＋16≥4，当且仅当b ＝－1时切线长最小，最小值为4.12．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为12×4πr2＋πr ×2r ＋πr2＋2r ×2r ＝5πr2＋4r2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.二、填空题13．若直线l1：ax ＋y ＋2a ＝0与l2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0得⎩⎨⎧a2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1.答案：±114．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x2＋y2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y －3＝0，得x2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r ＝2.圆心C(0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝22.答案：2215．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为r2，∴|5|32＋42＝r2，∴r ＝2.答案：216．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ­BD ­C ，有如下三个结论．①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角． 说法正确的命题序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a.由①知∠AEC 是直二面角A ­BD ­C 的平面角，∴∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①② 三、解答题17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：mx ＋8y ＋n ＝0和l2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l1与l2相交于点(m ，－1)； (2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y 轴上的截距为－1. 解：(1)因为l1与l2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l1、l2上，将点(m ，－1)代入l2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1.又因为m ＝1，把(1，－1)代入l1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l1∥l2，则有⎩⎨⎧m2－16＝0，m ×(－1)－2n ≠0，解得⎩⎨⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l1⊥l2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l1为y ＝－n8，由于l1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．(本小题满分12分)如图，长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB ＝16，BC ＝10，AA1＝8，点E ，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E ＝D1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A1E ＝4，EB1＝12，EM ＝AA1＝8.因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH2－EM2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.19．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC1.设AB1的中点为D ，B1C ∩BC1＝E.求证：(1)DE ∥平面AA1C1C ； (2)BC1⊥AB1.证明：(1)∵B1C1CB 为正方形，∴E 为B1C 的中点，又D 为AB1中点，∴DE 为△B1AC 的中位线，∴DE ∥AC ，又DE ⊄平面A1C1CA ，AC ⊂平面A1C1CA ，∴DE ∥平面AA1C1C.(2)在直三棱柱中，平面ACB ⊥平面B1C1CB ，又平面ACB ∩平面B1C1CB ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面B1C1CB ， ∴AC ⊥BC1，又B1C1CB 为正方形，∴B1C ⊥BC1，AC ∩B1C ＝C ，∴BC1⊥平面ACB1，又AB1⊂平面ACB1，∴BC1⊥AB1.20．(本小题满分12分)已知直线x －y ＋1＝0与圆C ：x2＋y2－4x －2y ＋m ＝0交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的垂直平分线的方程；(2)若|AB|＝22，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求过点P(4,4)的圆C 的切线方程．解：(1)由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心(2,1)，斜率为－1， ∴该直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.(2)圆x2＋y2－4x －2y ＋m ＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝－m ＋5. ∵|AB|＝22， ∴圆心到直线的距离为－m ＋5－2＝3－m.∵圆心(2,1)到直线的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2， ∴3－m ＝2，∴m ＝1.(3)由题意，知圆C ：x2＋y2－4x －2y ＋1＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝4.则点P(4,4)在圆外，过点P 的圆C 的切线有两条．①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y －4＝k(x －4)，即kx －y －4k ＋4＝0. 由圆心到切线的距离等于半径，得|2k －1－4k ＋4|k2＋1＝2，解得k＝512，所以所求切线的方程为5x－12y＋28＝0.②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x＝4.综上，所求切线的方程为x＝4或5x－12y＋28＝0.21．(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC ＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH.(3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD.因为ABCD ­EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH.因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG.又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFHD.又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG.同理DF ⊥BG.又EG ∩BG ＝G ，所以DF ⊥平面BEG.22．(本小题满分12分)已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，3t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆过原点O.(1)设直线3x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，设B(0,2)，且P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PQ|－|PB|的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)∵|OM|＝|ON|，∴原点O 在线段MN 的垂直平分线上．设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线．∵直线MN 的方程是3x ＋y －4＝0，∴直线OC 的斜率k ＝3t t ＝3t2＝13，解得t ＝3或t ＝－3， ∴圆心为C(3,1)或C(－3，－1)．∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝10. 由于当圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝10时，圆心到直线3x ＋y －4＝0的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去．∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.(2)由题意可知|PQ|－|PB|≤|BQ|，当B ，P ，Q 三点共线时，等号成立．又B ，C ，Q 三点共线且|BQ|＝|BC|＋|CQ|时|BQ|最大， 此时|BQ|＝|BC|＋10＝210. ∵B(0,2)，C(3,1)，∴直线BC 的方程为y ＝－13x ＋2， ∴直线BC 与直线x ＋y ＋2＝0的交点的坐标为(－6,4)． 故|PQ|－|PB|的最大值为210，此时点P 的坐标为(－6,4)．。

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l1：2x＋my＝2，l2：m2x＋2y＝1，且l1⊥l2，则m的值为()A．0B．－1C．0或1 D．0或－1解析：因为l1⊥l2，所以2m2＋2m＝0，解得m＝0或m＝－1.答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()A.2π B．22πC．2π D．4π解析：设底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，r＝h＝22l，则12(2r)2＝1，r＝1，l＝ 2.所以圆锥的侧面积为πrl＝2π.答案：A3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：当三棱锥D­ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC.取AC的中点O，则∠DBO即为直线BD和平面ABC所成的角．易知△DOB是等腰直角三角形，故∠DBO＝45°.答案：C4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x解析：由题意知，圆心(1，0)到点P的距离为2，所以点P在以(1，0)为圆心、2为半径的圆上．所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2.答案：B5．下列命题中，正确的是() A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为() A.5B ．2 2 C ．23D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3， 故NF 的方程为y ＝－3(x －1)， 即3x ＋y －3＝0.所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：C7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A ．16π B．20π C ．24π D．32π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：C8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，且与直线x －2y ＋5＝0相切，则圆C 的面积的最小值为()A.45π B．3－5π C.3－52π D．(6－25)π 解析：由题可知，(0，0)到直线x －2y ＋5＝0的距离为|5|12＋22＝ 5.又因为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，圆C 的直径的最小值为5－1，圆C 的面积的最小值为π（5－1）24＝3－52π.答案：C9．已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是() A ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β B ．若m ∥n ，α∩β＝m ，则n ∥α，n ∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β 解：由m ⊥α，m ∥n ，得n ⊥α. 又n ⊂β，所以α⊥β，故A 正确． 在B 项中，m ∥n ，α∩β＝m ，则n ⊂α，n ∥β或n ∥α，n ⊂β或n ∥α，n ∥β. 所以选项B 不正确．由线面垂直，面面垂直的判定，C 、D 正确． 答案：B10．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 到平面AB 1C 的距离是()A.32B. 3 C.33D ．4 解析：由正方体的性质，易知AC ＝B 1C ＝AB 1＝2，所以S △AB 1C ＝34×(2)2＝32. 又S △ABC ＝12×12＝12.知V 三棱柱B 1-ABC ＝13×12×1＝16.设点B 到平面AB 1C 的距离为h ， 从而V 三棱锥B-AB 1C ＝13·h ×32＝16，所以h ＝13＝33. 答案：C11．已知直线(1＋k )x ＋y －k －2＝0恒过点P ，则点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是()A ．(3，－2)B ．(2，－3)C ．(1，3)D ．(3，－1)解析：由(1＋k )x ＋y －k －2＝0得k (x －1)＋(x ＋y －2)＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故点P 的坐标为(1，1)．设点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b ＋12－2＝0，b －1a －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，所以点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是(3，－1)． 答案：D12．如图，多面体ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，则下面结论正确的是()A ．A 1B ∥B 1CB ．平面CB 1D 1⊥平面A 1B 1C 1D 1 C ．平面CB 1D 1∥平面A 1BDD ．异面直线AD 与CB 1所成的角为30°解析：若A 1B ∥B 1C ，因为A 1B ∥CD 1，所以B 1C ∥CD 1，矛盾，故A 错误．因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以平面BB 1D 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1，则平面CB 1D 1⊥平面A 1B 1C 1D 1也是错的，故B 错误．因为A 1B ∥CD 1，A 1D ∥CB 1，所以平面CB 1D 1∥平面A 1BD ，故C 正确．因为ABCDA 1B 1C 1D 1为正方体．所以∠BCB 1＝45°，又AD ∥BC ，所以AD 与CB 1所成的角为45°，故D 错误．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P ­ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P ­ABC 的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：114．已知直线l 1的方程为y 1＝－2x ＋3，l 2的方程为y 2＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线l ：y ＝kx 与曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2有两个不同交点，则k 的取值X 围是________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34 16．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， 所以三棱锥S ­ABC 的体积为 V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33， 即r 33＝9.所以r ＝3.所以S 球表＝4πr 2＝36π. 答案：36π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0， 因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3， 即l 2：2x －y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)． (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x .当l 3不过原点时，设l 3的方程为x a ＋y2a ＝1.又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2a ＋12a ＝1，得a ＝52，l 3的方程为2x ＋y －5＝0.综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0.18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3. (1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ， 所以AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .(2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，又PA ⊥平面ABCD ，所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32.19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫0，－23.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值X 围．解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5， 所以|MN |的最小值为5－1＝4.(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，所以直线l 的方程为y ＝43x －23. 即4x －3y －2＝0. 因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则|4a －2|42＋32＞|a |. 又a ＜0，所以2－4a ＞－5a ，解得a ＞－2. 所以a 的取值X 围是(－2，0)．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1， 因为DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以AC 1∥平面B 1CD .(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1. 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD .又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ， 所以CD ⊥平面ABB 1A 1， 因为CD ⊂平面CDB 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1. 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95.21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若直线l 过点(－2，0)且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解：(1)x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝－2，易求得直线l 与圆C 的交点为A (－2，1)，B (－2，3)，|AB |＝2，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k －2＋2k |k 2＋1＝（ 2）2－12＝1， 解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (2)如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ， 则CM ⊥PM ，所以△PMC 为直角三角形． 所以|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设点P 为(x ，y )，由(1)知点C 为(－1，2)，|MC |＝2， 因为|PM |＝|PO |，所以（x ＋1）2＋（y －2）2－2＝x 2＋y 2， 化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，也即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |的最小值为3510.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．(1)解：由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角． 因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ， 所以AD ⊥PD .word - 11 - / 11 在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝5，故cos ∠DAP ＝ADAP ＝55. 所以异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55. (2)证明：如图，由(1)知AD ⊥PD .又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC .又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ，所以PD ⊥平面PBC .(3)解：过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1.由已知，得CF ＝BC －BF ＝2.又AD ⊥DC ，所以BC ⊥DC .在Rt △DCF 中，可得DF ＝CD 2＋CF 2＝25；在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PDDF ＝55. 所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55.。

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．过点(，－)，(－，)的直线的斜率为－，则的值为( )．．．．【解析】由题意知＝＝－，∴＝.【答案】．在轴、轴上的截距分别是－、的直线方程是( )．－－＝．－－＝．－＋＝．－＋＝【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝，即－＋＝.【答案】．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )．【解析】设正方体的棱长为，球的半径为，则π＝π，∴＝.又∵＝＝，∴＝.【答案】．关于空间直角坐标系中的一点()有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③与点关于轴对称的点的坐标为(－，－，－)；④与点关于坐标原点对称的点的坐标为(，－)；⑤与点关于坐标平面对称的点的坐标为(，－)．其中正确的个数是( )．．．．【解析】点到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；与点关于轴对称的点的坐标为(，－，－)，故③错；与点关于坐标原点对称的点的坐标为(－，－，－)，故④错；⑤正确，故选.【答案】．如图，在四面体中，，分别是与的中点，若＝＝，⊥，则与所成的角为( )图．°．°．°．°【解析】取的中点，连接，，则∠为所求，可证△为直角三角形，⊥，＝，＝，从而可得∠＝°.【答案】．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )图．π．π【解析】由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积＝柱－半球＝π××－×××＝，选.【答案】．已知圆＋＋＋＋＝和定点(，－)，若过点的圆的切线有两条，则的取值范围是( )．(－∞，)．(－，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－)【解析】因为方程＋＋＋＋＝表示一个圆，所以＋－＞，所以＜.由题意知点(，－)在圆外，所以＋(－)＋×＋×(－)＋＞，解得＞－，所以－＜＜.【答案】．如图，在斜三棱柱­的底面△中，∠＝°，且⊥，过作⊥底面，垂足为，则点在( )。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctr l,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

单元质量评估(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列推理错误的是( )A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.l⊄α,A∈l⇒A∉αD.A∈l,l⊂α⇒A∈α【解析】选C.若直线l∩α=A,显然有l⊄α,A∈l,但A∈α.2.一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )A.球体B.圆柱C.圆台D.两个共底面的圆锥组成的组合体【解析】选D.等腰三角形的底边所在直线为旋转轴,所得几何体是两个共底面的圆锥组成的组合体.3.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的( )【解析】选A.由直观图知,原四边形一组对边平行且不相等为梯形,且梯形两腰不能与底垂直.4.下列命题正确的是( )A.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,则此直线与平面垂直B.两条异面直线不能同时垂直于一个平面C.直线与平面所成的角的取值范围是:0°<θ≤180°D.两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ<90°.【解析】选B. A错误,一直线与一个平面内的无数条直线垂直,并不意味着和平面内的任意直线垂直,所以此直线与平面不一定垂直;B正确,由线面垂直的性质定理可知,两条异面直线不能同时垂直于一个平面;C错误,直线与平面所成的角的取值范围是:0°≤θ≤90°;D错误,两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ≤90°.5.(2015·深圳高二检测)用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是( )【解析】选B. D选项为正视图或侧视图,俯视图中显然应有一个被遮挡的圆,所以内圆是虚线.【补偿训练】某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【解题指南】本题考查的是几何体的三视图,在判断时要结合三种视图进行判断. 【解析】选B.由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱.6.(2015·安徽高考)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【解析】选D.选项具体分析结论A 平面α,β垂直于同一个平面,则α,β相交或平行错误B 直线m,n平行于同一个平面,则m与n平行、相交、异面错误C 若α,β不平行,则在α内存在与β平行的直线,如α中平行于α错误与β交线的直线,则此直线也平行于平面βD 若m,n垂直于同一个平面,则m∥n,其逆否命题即为选项D 正确7.(2015·长白山高一检测)已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A.平行B.垂直C.斜交D.不能确定【解析】选B.根据线面平行的性质,在已知平面内可以作出两条相交直线与已知两条异面直线分别平行.因此,一直线与两异面直线都垂直,一定与这个平面垂直.8.如图,将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,则棱锥的体积与原正方体的体积之比为( )A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶6【解析】选D.设正方体的棱长为a,则棱锥的体积V1=××a×a×a=,又正方体的体积V2=a3,所以=.9.(2015·福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2B.11+2C.14+2D.15【解析】选B.由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)×1×+2×2+1×2+1×2+×2=11+2.【补偿训练】已知圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是( )A. B.2π C. D.【解析】选D.上底半径r=1,下底半径R=2.因为S侧=6π,设母线长为l,则π(1+2)·l=6π.所以l=2.所以高h==.所以V=π·(12+1×2+22)=π.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选D.在平面A 1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.⇒C1E⊥平面BDD1B1,所以∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.因为BC 1==,C1E==,所以sin∠C1BE===.【拓展延伸】探究空间角问题(1)求空间角的基本原则求空间角时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上.(2)解题步骤:①找(或作)出所求角;②证明该角符合题意;③构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角.(3)空间角包括以下三类:①求异面直线所成的角,关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角.②求直线与平面所成的角,关键是在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在此基础上进一步确定垂足的位置.③求二面角,关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.一般常用两种方法:定义法,垂面法.11.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为( )A.πB.πC.πD.π【解析】选C.球心O为AC中点,半径为R=AC=,V=πR3=π.12.(2015·滁州高二检测)已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( )A.2πR2B.πR2C.πR2D.πR2【解析】选B.设圆柱底面半径为r,则其高为3R-3r,全面积S=2πr2+2πr(3R-3r) =6πRr-4πr2=-4π+πR2,故当r=R时全面积有最大值πR2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD= .【解析】由面面平行的性质得AC∥BD,=,解得SD=9.答案:914.(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为1,高为2的圆柱,两端是底面半径为1,高为1的圆锥,所以该几何体的体积V=12×π×2+2××12×π×1=π(m3).答案:π【补偿训练】若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是.【解析】由三视图可知此几何体是由一个底面为正方形的四棱柱和一个底面是梯形的四棱柱拼接而成的,所以此几何体的体积是V=2×2×4+×(2+6)×2×4=48(cm3).答案:48cm315.如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点,则异面直线SA与PD所成角的正切值为.【解析】连接PO,则PO∥SA,所以∠OPD即为异面直线SA与PD所成的角,且△OPD为直角三角形,∠POD为直角,所以tan∠OPD===.答案:16.(2015·福州高一检测)如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的点,PA 垂直于☉O所在的平面,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,因此, ⊥平面PBC.(填图中的一条直线)【解题指南】将问题转化为证明AF⊥BC,AF⊥PC,从而证明AF⊥平面PBC. 【解析】因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的点,所以BC⊥AC,因为PA垂直于☉O所在的平面,所以BC⊥PA,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,AF ⊂平面PAC,所以AF⊥BC,又AF⊥PC,BC∩PC=C,所以AF⊥平面PBC.答案:AF【补偿训练】如图,已知ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,则下列结论中不正确的是( )A.平面PAB⊥平面PADB.平面PCD⊥平面PADC.平面PAB⊥平面PBCD.平面PCD⊥平面PBC【解析】选D.由题意知,直线AB⊥平面PAD,直线CD⊥平面PAD,故选项A,B均正确;直线BC⊥平面PAB,BC⊂平面PBC,故选项C正确,选项D错误.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015·全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由).(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图.(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8,因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.【补偿训练】圆柱有一个内接长方体AC1,长方体的体对角线长是10cm,圆柱的侧面展开图为矩形,此矩形的面积是100πcm2,求圆柱的体积.【解析】设圆柱底面半径为rcm,高为hcm.如图所示,则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长,则所以所以V圆柱=Sh=πr2h=π×52×10=250π(cm3).18.(12分)(2015·常德高一检测)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F,F1分别是AC,A1C1的中点.求证:(1)平面AB1F1∥平面C1BF.(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.【证明】(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为F,F1分别是AC,A1C1的中点,所以B1F1∥BF,AF1∥C1F.又因为B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F,所以平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,所以B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1,所以B1F1⊥平面ACC1A1,而B1F1⊂平面AB1F1,所以平面AB1F1⊥平面ACC1A1.【补偿训练】如图已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M,N,P,Q分别是AA1,BB1,AB,B1C1的中点.(1)求证:面PCC1⊥面MNQ.(2)求证:PC1∥面MNQ.【证明】(1)因为AC=BC,P是AB的中点,所以AB⊥PC,因为AA1⊥面ABC,CC1∥AA1,所以CC1⊥面ABC,而AB在平面ABC内,所以CC1⊥AB,因为CC1∩PC=C,所以AB⊥面PCC1,又因为M,N分别是AA1,BB1的中点,四边形AA1B1B是平行四边形,所以MN∥AB,所以MN⊥面PCC1,MN在平面MNQ内,所以面PCC1⊥面MNQ.(2)连PB1与MN相交于K,连KQ,因为MN∥PB,N为BB1的中点,所以K为PB1的中点,又因为Q是C1B1的中点,所以PC1∥KQ,而KQ⊂平面MNQ,PC1⊄平面MNQ,所以PC1∥面MNQ19.(12分)(2015·北京高考)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB 为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC.(2)求证:平面MOC⊥平面VAB.(3)求三棱锥V-ABC的体积.【解析】(1)因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为OM⊂平面MOC,VB⊄平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)因为AC=BC,O为AB中点,所以OC⊥AB.因为平面VAB⊥平面ABC,交线AB,OC⊂平面ABC,所以OC⊥平面VAB.因为OC⊂平面MOC,所以平面MOC⊥平面VAB.(3)由(2)知OC为三棱锥C-VAB的高,因为AC⊥BC且AC=BC=,所以OC=1,AB=2.因为△VAB为等边三角形,所以S △VAB=×2×=.V V-ABC=V C-VAB=××1=.20.(12分)如图是一个几何体的三视图,(1)画出这个几何体的直观图.(2)求这个几何体的侧面积.(3)求这个几何体的体积.【解析】(1)此几何体是上底边长为3,下底边长为5,高为3的正四棱台.(2)棱台侧面梯形的高为=,所以棱台的侧面积S 侧=(3+5)××4=16.(3)棱台的体积V=(S++S')·h=×(52++32)×3=49.21.(12分)直三棱柱的高为6 cm,底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,将棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值.【解析】如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积最大,削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半径为R,圆柱的高即为直三棱柱的高6cm.因为在△ABC中,AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm,所以△ABC为直角三角形.根据直角三角形内切圆的性质可得7-2R=5,所以R=1cm,所以V圆柱=πR2·h=6πcm3.而三棱柱的体积为V三棱柱=×3×4×6=36(cm3),所以削去部分的体积为36-6π=6(6-π)(cm3).22.(12分)(2015·淄博高一检测)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)若点E为PC的中点,AC∩BD=O,求证EO∥平面PAD.(3)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论.【解析】(1)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.所以V P-ABCD=S▱ABCD·PC=.(2)因为EO∥PA,EO⊄平面PAD,PA⊂平面PAD.所以EO∥平面PAD.(3)不论点E在何位置,都有BD⊥AE,证明如下:因为ABCD是正方形,所以BD⊥AC,因为PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC,又因为AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC,因为不论点E在何位置,都有AE⊂平面PAC,所以不论点E在何位置,都有BD⊥AE.【补偿训练】(2015·金华高二检测)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)直线EF∥平面PCD.(2)平面BEF⊥平面PAD.【证明】(1)因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以直线EF∥平面PCD.(2)连接DB,如图,因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.因为点F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD .又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.关闭Word文档返回原板块。

模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·景德镇期末)已知直线－－＝，则该直线的倾斜角为( )．°．°．°．°解析：直线－－＝的斜率＝，故倾斜角为°，选.答案：．(·濮阳综合高中月考)过点(，)和(，)的直线与＝＋平行，则的值为( )．．．不确定解析：由＝＝，得－＝，即＝＝.故选.答案：．(·葫芦岛期末)在空间直角坐标系中已知点(，)和点(－)，则在轴上到和的距离相等的点坐标是( )．()．()解析：设(，)，则＝，所以＝，解得＝，故选.答案：．若直线(＋)＋＋＝与圆＋－＝相切，则的值为( )．或－．或－．－．解析：圆＋－＝的圆心()，半径为，依题意得＝，即＋＝，平方整理得＝－，故选.答案：．(·中山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形，俯视图是半径为的半圆，则该几何体的体积是( )ππππ解析：由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆锥的半径为，高为，故所求体积为××π××＝π，选.答案：．(·银川一中期末)在空间给出下面四个命题(其中，为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)①⊥α，∥α⇒⊥②∥，∥α⇒∥α③∥，⊥β，∥α⇒α⊥β④∩＝，∥α，∥β，∥α，∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有( )．个．个．个．个解析：②中也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选.答案：．直线将圆＋－－＝平分，且与直线＋＝垂直，则直线的方程是( )．－＝．－－＝．－＋＝．＋－＝解析：依题意知直线过圆心()，斜率＝，所以的方程为－＝(－)，即－＝，故选.答案：．(·大连六校联考)若点(－，－)，()到直线：＋＋＝的距离相等，则实数的值为( )．－．－或－或解析：由＝，解得＝－或－，故选.答案：．点在正方形所在平面外，⊥平面，＝，则与所成角的度数为( )．°．°．°．°解析：利用正方体求解，如图所示：与所成的角，即为与所成的角，因为△为等边三角形，所以∠＝°，故与所成角为°，选.答案：．在四面体－中，棱，，两两互相垂直，则顶点在底面上的投影为△的( )．垂心．重心．内心．外心解析：因为⊥，⊥，∩＝，。

高一数学人教a 版必修二_模块质量评估试题_word 版有答案(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·景德镇期末)已知直线x －3y －2＝0，则该直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析： 直线x －3y －2＝0的斜率k ＝33，故倾斜角为30°，选A. 答案： A2．(2015·濮阳综合高中月考)过点A (4，a )和B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不确定 解析： 由k AB ＝b －a 5－4＝1，得b －a ＝1，即|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.故选B.答案： B3．(2015·葫芦岛期末)在空间直角坐标系中已知点P (0,0，3)和点C (－1,2,0)，则在y 轴上到P 和C 的距离相等的点M 坐标是( )A ．(0,1,0) B.⎝⎛⎭⎫0，－12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，12，0 D ．(0,2,0)解析： 设M (0，y,0)，则|MP |＝|MC |，所以y 2＋(3)2＝(－1)2＋(2－y )2，解得y ＝12，故选C.答案： C4．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1或－1 B ．2或－2 C ．1D ．－1解析： 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1，故选D. 答案： D5．(2015·中山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.433π B.12π C.33π D.36π 解析： 由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆 锥的半径为1，高为3，故所求体积为12×13×π×12×3＝36π，选D. 答案： D6．(2015·银川一中期末)在空间给出下面四个命题(其中m ，n 为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面) ①m ⊥α，n ∥α⇒m ⊥n ②m ∥n ，n ∥α⇒m ∥α ③m ∥n ，n ⊥β，m ∥α⇒α⊥β ④m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析： ②中m 也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C. 答案： C7．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且与直线x ＋2y ＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x －y －2＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝0解析： 依题意知直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2，所以l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，故选A. 答案： A8．(2015·大连六校联考)若点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A.79 B ．－13C.79或13 D ．－79或－13解析： 由|－3a －4＋1|a 2＋12＝|6a ＋3＋1|a 2＋12，解得a ＝－79或－13，故选D.答案： D9．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：利用正方体求解，如图所示：PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，选C.答案： C10．在四面体A－BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.因为AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，则H是△BCD的垂心．故选A.答案： A11．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0的圆心坐标是(－1，－2)，半径是22，圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为2，∴过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为2的平行线与圆相切，只有一个交点，共有3个交点，故选C.答案： C12．(2014·德州高一期末)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()A.212a3 B.a312C.24a 3 D.a 36解析： 取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ， 又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D －ABC ＝13S △ABC ·DO＝13×12×a 2×22a ＝212a 3.故选A. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．如下图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A ′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为________．解析： 由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.故S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×2×22＝2 2.答案： 2 214．已知A (0,8)，B (－4,0)，C (m ，－4)三点共线，则实数m 的值是________． 解析： k AB ＝8－00＋4＝2，k BC ＝0＋4－4－m∵k AB ＝k BC ，∴m ＝－6. 答案： －615．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________． 解析： 先求弦心距，再求弦长． 圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 故圆心为(3,4)，半径r ＝5. 又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案： 4 516．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析： 本题先求出正四棱锥的高h ，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解． V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫AC 22＝184＋64＝6. ∴S 球＝4πOA 2＝24π. 答案： 24π三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2015·河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．解析： 如图所示，作出轴截面，因为△ABC 是正三角形， 所以CD ＝12AC ＝2，所以AC ＝4，AD ＝32×4＝23， 因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ， 所以OE AO ＝CD AC. 设OE ＝R ，则AO ＝23－R ， 所以R23－R ＝12，所以R ＝233.所以V 球＝43πR 3＝43π·⎝⎛⎭⎫2333＝323π27.所以球的体积等于323π27. 18．(本小题满分12分)(2015·福建八县一中联考)已知直线l ：kx －y ＋1－2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，且|OA |＝|OB |，求k 的值． 解析： (1)证明： 法一：直线l 的方程可化为y －1＝k (x －2)， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1－2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x 0－2)k －y 0＋1＝0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2＝0，－y 0＋1＝0解得x 0＝2，y 0＝1，故直线l 总过定点(2,1)． (2)因为直线l 的方程为y ＝kx －2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为1－2k ，在x 轴上的截距为2－1k ，依题意1－2k ＝2－1k ＞0，解得k ＝－1或k ＝12(经检验，不合题意)所以所求k ＝－1.19．(本小题满分12分)(2015·西安一中期末)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 是底面ABCD 对角线的交点．求证：(1)C 1O ∥平面AB 1D 1； (2)A 1C ⊥平面AB 1D 1. 证明： (1)连接A 1C 1， 设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，连接AO 1，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体， 所以A 1ACC 1是平行四边形， D 1B 1∩AB 1＝B 1，所以A 1C 1∥AC ，且A 1C 1＝AC ， 又O 1，O 分别是A 1C 1，AC 的中点，所以O 1C 1∥AO 且O 1C 1＝AO ， 所以AOC 1O 1是平行四边形，所以C 1O ∥AO 1，AO 1⊂平面AB 1D 1，C 1O ⊄平面AB 1D 1， 所以C 1O ∥平面AB 1D 1， (2)因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥B 1D 1， 又因为A 1C 1⊥B 1D 1， 所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ， 即A 1C ⊥B 1D 1，同理可证A 1C ⊥AB 1，又D 1B 1∩AB 1＝B 1， 所以A 1C ⊥平面AB 1D 1.20．(本小题满分12分)求圆心在直线y ＝－2x 上，并且经过点A (0,1)，与直线x ＋y ＝1相切的圆的标准方程．解析： 因为圆心在直线y ＝－2x 上，设圆心坐标为(a ，－2a )，则圆的方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝r 2， 圆经过点A (0,1)且和直线x ＋y ＝1相切，所以有⎩⎨⎧a 2＋(2a ＋1)2＝r 2，|a －2a －1|2＝r ，解得a ＝－13，r ＝23，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋⎝⎛⎭⎫y －232＝29. 21．(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)求证：AB ⊥平面VAD ；(2)求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的大小． 解析： (1) 证明：∵底面ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD .∵平面VAD ⊥底面ABCD ，平面VAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ，∴AB ⊥平面VAD .(2)取VD 的中点E ，连接AE ，BE . ∵△VAD 是正三角形， ∴AE ⊥VD ，AE ＝32AD . ∵AB ⊥平面VAD ，VD ⊂平面VAD ，∴AB ⊥VD . 又AB ∩AE ＝A ，∴VD ⊥平面ABE . ∵BE ⊂底面ABE ，∴VD ⊥BE .∴∠ABE 就是平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的平面角． 在Rt △BAE 中，tan ∠BEA ＝BA AE ＝AD 32AD ＝233. ∴平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的正切值为233. 22.(本小题满分13分)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解析： (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x p ，y p )由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝xy p ＝5y 4，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25， 即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1整理得x 2－3x －8＝0 ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412∴线段AB 的长度为 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1625(x 1－x 2)2 ＝4125×41＝415.。

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某几何体的正视图和侧视图均如图①所示(上面是一个圆，下面是个正方形)，则下面四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()图①(1)(2)(3)(4)A．(1)(3)B．(1)(4)C．(2)(4) D．(1)(2)(3)(4)解析：由该几何体的正视图和侧视图，可知该几何体可以为一个正方体上面放着一个球，也可以是一个圆柱上面放着一个球，则其俯视图可以为(1)(3)．答案：A2．(2015·陕西卷)已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A(3，2)，B(－a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝()A．－4 B．－2C．0 D．2解析：由题意知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为－1，所以2－13＋a＝－1，所以a ＝－4，又l 1∥l 2，所以－2b ＝－1，所以b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2.答案：B3．(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析：由三视图可知该几何体为半圆柱，其底面半径为1，高为2，从而该几何体的表面积为2×12π×12＋2π＋4＝3π＋4. 答案：D4．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5，1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎨⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0得交点(2，2)， 设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k－1＋2－2k|k2＋（－1）2＝10，解得k＝3.所以l的方程为3x－y－4＝0.答案：C5．如图①所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图②所示，那么，在四面体A-EFH中必有()图①图②A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析：折成的四面体中有AH⊥EH，AH⊥FH，所以AH⊥面HEF.答案：A6．(2015·重庆卷)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作图C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2 B．4 2C．6 D．210解析：由题设得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，知圆C 的圆心为(2，1)，半径为2，因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝x －1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB |＝6.答案：C7．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为( )A ．27πB ．18πC ．9πD ．54π解析：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，则6a 2＝54，所以a ＝3.又因为2r ＝3a所以r ＝32a ＝332， 所以S 表＝4πr 2＝4π×274＝27π. 答案：A8.已知高为3的直棱柱ABC -A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B ′­ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34解析：V B ′­ABC ＝13·S △ABC ·h ＝13×34×3＝34. 答案：D9．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2， 又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．答案：C10．直线x ＋ky ＝0，2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，则点(－1，－2)在直线x＋ky＝0上，得k＝－12.答案：B11．在四面体A-BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.因为AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，则H是△BCD的垂心．答案：A12．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0解析：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2，2)，所以过点C(－2，2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x －4y＋8＝0.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知点A (3，2)，B (－2，a )，C (8，12)在同一条直线上，则a ＝________．解析：根据题意可知k AC ＝k AB ，即12－28－3＝a －2－2－3，解得a ＝－8.答案：－814．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线， 故得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2. 答案：215．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx －y －1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S ＝4π(3)2＝12π.答案：12π16．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c;②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________________．解析：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可以相交、平行、异面，故①错．因为a、b异面，b、c异面．则a、c可能导面、相交、平行，故②错．由a、b相交，b、c相交，则a、c可以异面、平行，故③错．同理④错，故真命题个数为0.答案：0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．解：因为CC1∥AA1.所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝30°. 在Rt△BCC1中，BC＝CC1·tan∠BC1C＝6×33＝23，从而S△ABC＝34BC2＝33，因此该三棱柱的体积V＝S△ABC·AA1＝33×6＝18 3.18．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．解：(1)由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝12(2πa)·(2a)＝2πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以此几何体的表面积S表＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底＝2πa2＋4πa2＋πa2＝(2＋5)πa2.(2)分别沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，则|PQ|＝|AP|2＋|AQ|2＝（2a）2＋（πa）2＝a4＋π2.所以P，Q两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为a4＋π2.19．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l 经过点D(－2，0)，且斜率为k.(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0，4)，半径为2.所以CD的中点E(－1，2)，|CD|＝22＋42＝25，所以r＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1>2， 解得k <34. 20．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标(2x －2，2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.21．(本小题满分12分)(2015·北京卷)如图所示，在三棱锥V-ABC 中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC ＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积．(1)证明：因为O，M分别AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC.所以VB∥平面MOC(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C -VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33. 又因为三棱锥V -ABC 的体积与三棱锥C -VAB 的体积相等，所以三棱锥V -ABC 的体积为33. 22．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：圆C 化成标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝32，假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ，b )，由于CM ⊥l ，所以k CM ·k l ＝－1，所以k CM ＝b ＋2a －1＝－1， 即a ＋b ＋1＝0，得b ＝－a －1.①直线l 的方程为y －b ＝x －a ，即x －y ＋b －a ＝0，|CM |＝|b －a ＋3|2. 因为以AB 为直径的圆M 过原点，所以|MA |＝|MB |＝|OM |，|MB |2＝|CB |2－|CM |2＝9－（b －a ＋3）22， |OM |2＝a 2＋b 2，所以9－（b －a ＋3）22＝a 2＋b 2.② 把①代入②得2a 2－a －3＝0，所以a ＝32或a ＝－1. 当a ＝32时，b ＝－52，此时直线l 的方程为x －y －4＝0； 当a ＝－1时，b ＝0，此时直线l 的方程为x －y ＋1＝0.故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4＝0或x －y ＋1＝0.。

模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·景德镇期末)已知直线x －3y －2＝0，则该直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析： 直线x －3y －2＝0的斜率k ＝33，故倾斜角为30°，选A. 答案： A2．(2015·濮阳综合高中月考)过点A (4，a )和B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( )A ．6 B. 2 C ．2D ．不确定解析： 由k AB ＝b －a5－4＝1，得b －a ＝1， 即|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.故选B. 答案： B3．(2015·葫芦岛期末)在空间直角坐标系中已知点P (0,0，3)和点C (－1,2,0)，则在y 轴上到P 和C 的距离相等的点M 坐标是( )A ．(0,1,0) B.⎝⎛⎭⎫0，－12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，12，0 D ．(0,2,0)解析： 设M (0，y,0)，则|MP |＝|MC |，所以y 2＋(3)2＝(－1)2＋(2－y )2，解得y ＝12，故选C.答案： C4．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1或－1 B ．2或－2 C ．1D ．－1解析： 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1，故选D. 答案： D5．(2015·中山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.433πB.12πC.33π D.36π 解析： 由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆 锥的半径为1，高为3，故所求体积为12×13×π×12×3＝36π，选D.答案： D6．(2015·银川一中期末)在空间给出下面四个命题(其中m ，n 为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)①m ⊥α，n ∥α⇒m ⊥n ②m ∥n ，n ∥α⇒m ∥α ③m ∥n ，n ⊥β，m ∥α⇒α⊥β ④m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析： ②中m 也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C. 答案： C7．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且与直线x ＋2y ＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x －y －2＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝0解析： 依题意知直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2，所以l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，故选A.答案： A8．(2015·大连六校联考)若点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A.79 B ．－13C.79或13D ．－79或－13解析： 由|－3a －4＋1|a 2＋12＝|6a ＋3＋1|a 2＋12，解得a ＝－79或－13，故选D. 答案： D9．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则P A 与BD 所成角的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析： 利用正方体求解，如图所示：P A 与BD 所成的角，即为P A 与PQ 所成的角，因为△APQ 为等边三角形，所以∠APQ ＝60°，故P A 与BD 所成角为60°，选C.答案： C10．在四面体A －BCD 中，棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则顶点A 在底面BCD 上的投影H 为△BCD 的( )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心解析： 因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 因为AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥CD . 因为AH ⊥平面BCD ， 所以AH ⊥CD ，AB ∩AH ＝A ， 所以CD ⊥平面ABH ，所以CD ⊥BH . 同理可证CH ⊥BD ，DH ⊥BC ， 则H 是△BCD 的垂心．故选A.答案： A11．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析： 圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0的圆心坐标是(－1，－2)，半径是22，圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2，∴过圆心平行于直线x ＋y ＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的平行线与圆相切，只有一个交点，共有3个交点，故选C.答案： C12．(2014·德州高一期末)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )A.212a 3 B.a 312 C.24a 3 D.a 36解析： 取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ， 又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D －ABC ＝13S △ABC ·DO＝13×12×a 2×22a ＝212a 3.故选A. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如下图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A ′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为________．解析： 由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.故S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×2×22＝2 2.答案： 2 214．已知A (0,8)，B (－4,0)，C (m ，－4)三点共线，则实数m 的值是________．解析： k AB ＝8－00＋4＝2，k BC ＝0＋4－4－m∵k AB ＝k BC ，∴m ＝－6. 答案： －615．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________． 解析： 先求弦心距，再求弦长． 圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 故圆心为(3,4)，半径r ＝5. 又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5. 答案： 4 516．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析： 本题先求出正四棱锥的高h ，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解． V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫AC 22＝184＋64＝6. ∴S 球＝4πOA 2＝24π. 答案： 24π三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2015·河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．解析： 如图所示，作出轴截面，因为△ABC 是正三角形， 所以CD ＝12AC ＝2，所以AC ＝4，AD ＝32×4＝23， 因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ， 所以OE AO ＝CD AC.设OE ＝R ，则AO ＝23－R ，所以R 23－R ＝12，所以R ＝233.所以V 球＝43πR 3＝43π·⎝⎛⎭⎫2333＝323π27.所以球的体积等于323π27.18．(本小题满分12分)(2015·福建八县一中联考)已知直线l ：kx －y ＋1－2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，且|OA |＝|OB |，求k 的值．解析： (1)证明： 法一：直线l 的方程可化为y －1＝k (x －2)， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(2,1)． 法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1－2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x 0－2)k －y 0＋1＝0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2＝0，－y 0＋1＝0解得x 0＝2，y 0＝1，故直线l 总过定点(2,1)． (2)因为直线l 的方程为y ＝kx －2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为1－2k ，在x 轴上的截距为2－1k ，依题意1－2k ＝2－1k ＞0，解得k ＝－1或k ＝12(经检验，不合题意)所以所求k ＝－1.19．(本小题满分12分)(2015·西安一中期末)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 是底面ABCD 对角线的交点．求证：(1)C 1O ∥平面AB 1D 1； (2)A 1C ⊥平面AB 1D 1. 证明： (1)连接A 1C 1， 设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，连接AO 1，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体， 所以A 1ACC 1是平行四边形， D 1B 1∩AB 1＝B 1，所以A 1C 1∥AC ，且A 1C 1＝AC ， 又O 1，O 分别是A 1C 1，AC 的中点， 所以O 1C 1∥AO 且O 1C 1＝AO ， 所以AOC 1O 1是平行四边形，所以C 1O ∥AO 1，AO 1⊂平面AB 1D 1，C 1O ⊄平面AB 1D 1， 所以C 1O ∥平面AB 1D 1， (2)因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥B 1D 1， 又因为A 1C 1⊥B 1D 1， 所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ， 即A 1C ⊥B 1D 1，同理可证A 1C ⊥AB 1，又D 1B 1∩AB 1＝B 1， 所以A 1C ⊥平面AB 1D 1.20．(本小题满分12分)求圆心在直线y ＝－2x 上，并且经过点A (0,1)，与直线x ＋y ＝1相切的圆的标准方程．解析： 因为圆心在直线y ＝－2x 上，设圆心坐标为(a ，－2a )，则圆的方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝r 2，圆经过点A (0,1)且和直线x ＋y ＝1相切， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(2a ＋1)2＝r 2，|a －2a －1|2＝r ，解得a ＝－13，r ＝23，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋⎝⎛⎭⎫y －232＝29. 21．(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)求证：AB ⊥平面VAD ；(2)求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的大小． 解析： (1) 证明：∵底面ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD .∵平面VAD ⊥底面ABCD ，平面VAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ， ∴AB ⊥平面VAD .(2)取VD 的中点E ，连接AE ，BE . ∵△VAD 是正三角形， ∴AE ⊥VD ，AE ＝32AD . ∵AB ⊥平面VAD ，VD ⊂平面VAD ，∴AB ⊥VD . 又AB ∩AE ＝A ，∴VD ⊥平面ABE . ∵BE ⊂底面ABE ，∴VD ⊥BE .∴∠ABE 就是平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的平面角． 在Rt △BAE 中，tan ∠BEA ＝BA AE ＝AD 32AD ＝233. ∴平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的正切值为233.22.(本小题满分13分)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解析： (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x p ，y p ) 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x p＝x y p ＝5y 4，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1整理得x 2－3x －8＝0 ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412∴线段AB 的长度为 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1625(x 1－x 2)2 ＝4125×41＝415.。