高一数学必修1模块阶段测试卷及答案解析(人教A版)(原始打印版)

模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．但在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的．“稳定”是高考的主旋律．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新”是高考的生命线．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳，是难以拿到高分的．在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查，相对来说比较常规，难度不大，变化小，综合性低，属于基础类必得分试题，主要考查集合的概念及运算，函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质．做题时若能熟练应用概念及性质，掌握转化的技巧和方法，基本不会丢分。

若综合其他省市自主命题卷研究，必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合，强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用，提高了试题的难度，所以作为高一学生来说，从必修1就应该打好牢固的基础，培养最基本的能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题，请同学们根据所学必修1的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学习内容的小综合试题，同学们可根据目前所学内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ，文1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ，文2)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.3．(2018·某某卷，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，所以根据补集的定义得，∁U A＝{2,4,5}，故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ，文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}，故选C.5．(2018·某某卷，文1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C ＝{－1,0,1}．故选C.6．(2018·某某卷，理1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析由题意可得，∁R B＝{x|x<1}，结合交集的定义可得，A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．故选B.7．(2018·卷，文1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 答案 A解析 A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A. 8．(2018·全国卷Ⅰ，理2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0，得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，于是∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ，文7)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x ) 答案 B解析 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点．故B 正确．10．(2018·某某卷，理5)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D.11．(2018·全国卷Ⅱ，文3)函数f (x )＝e x －e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，∵f (1)＝e －e －1>0，∴排除D ；∵f (2)＝e 2－e －24＝4e 2－4e 216；f (4)＝e 4－e－416＝e 2·e 2－1e 416，∴f (2)<f (4)，排除C.因此选B.12．(2018·全国卷Ⅰ，理9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.13．(2018·全国卷Ⅰ，文12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是(－∞，0)，故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ，理12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1.又∵a >0，b <0，∴ab <0，即ab <a ＋b <0，故选B.二、填空题15．(2018·某某卷，1)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1，1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 答案 {1,8}解析 由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1,8}．16．(2018·某某卷，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．17．(2018·全国卷Ⅰ，文13)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________. 答案 －7解析 根据题意有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ，文16)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2.19．(2018·卷，理13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 y ＝sin x (答案不唯一)解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈0，2]，则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．20．(2018·某某卷，9)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析 由f (x ＋4)＝f (x )得函数f (x )的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝－1＋12＝12，因此f [f (15)]＝f 12＝cos π4＝22. 21．(2018·某某卷，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值X 围是________．答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)，当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时f (x )＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1,3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )＝x －4＝0，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.综上，λ的取值X 围为(1,3]∪(4，＋∞)．22．(2018·某某卷，理14)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．答案 (4,8)解析 当x ≤0时，方程f (x )＝ax ，即x 2＋2ax ＋a ＝ax ，整理可得，x 2＝－a (x ＋1)，很明显x ＝－1不是方程的实数解，则a ＝－x 2x ＋1，当x >0时，方程f (x )＝ax ，即－x 2＋2ax －2a ＝ax ，整理可得，x 2＝a (x －2)，很明显x ＝2不是方程的实数解，则a ＝x 2x －2，令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2x ＋1，x ≤0，x 2x －2，x >0，其中－x 2x ＋1＝－x ＋1＋1x ＋1－2，x 2x －2＝x －2＋4x －2＋4，原问题等价于函数g (x )与函数y ＝a 有两个不同的交点，求a 的取值X 围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象，同时绘制函数y ＝a 的图象如图所示，考查临界条件，结合a >0观察可得，实数a 的取值X 围是(4,8)．。

人教A版高中数学必修第一册全册测试卷（含答案）一、单选题
1．“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知集合，则（）
A．B．
C．D．
3．若集合，0，1，，则
A．B．C．D．
4．已知正数x，y满足：，则x＋y的最小值为( )
A ．B．C．6D．
5．函数，其中，记在区间，上的最小值为（a），则函数（a）的最大值为（）
A．B．0C．1D．2
6．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）
A．B．
C．D．
7．设函数，则函数的定义域为（）A．B．C．D．
8．函数的定义域为（）A．B．C．D．
9．函数的图象大致为（）
A．B．C．D．
10．设，则的大小关系是（）A．B．C．D．
11．“”是“直线和直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件。

人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷3（共30题）一、选择题（共10题）1. 下列命题中真命题的个数是 ( ) ①函数 y =sinx ，其导函数是偶函数；②“若 x =y ，则 x 2=y 2”的逆否命题为真命题； ③“x ≥2”是“x 2−x −2≥0”成立的充要条件；④命题 p:“存在 x 0∈R ，x 02−x 0+1<0”，则命题 p 的否定为：“对任意的 x ∈R ，x 2−x +1≥0”． A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 32. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x +1)=f (x −1)，且当 x ∈[0,1] 时，f (x )=x 2，则关于 x 的方程 f (x )=12∣x ∣ 在 [−1,2] 上根的个数是 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 83. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④4. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]5. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关6. 集合 {x ∈N ∗∣ x −2<3} 的另一种表示形式是 ( ) A ． {0,1,2,3,4} B ． {1,2,3,4} C ． {0,1,2,3,4,5} D ． {1,2,3,4,5}7. 要得到函数 y =cos2x 的图象，只需将函数 y =cos (2x −π) 的图象 ( )A ．向左平移 π3个单位长度B ．向右平移 π3个单位长度C ．向左平移 π6 个单位长度D ．向右平移 π6 个单位长度8. 给出下列命题：①如 a >b ，则 ac 2>bc 2； ② sinx +1sinx ≥2； ③ x 2+2+1x 2+2≥2；④若 a >b >0，则 a −1a >b −1b ； ⑤若 x ≥0，则 t =2x x 2+1的最大值为 1．以上命题正确命题的个数为 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 19. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣,x ≤1log 2(x −1),x >1，若 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)（x 1，x 2，x 3 互不相等）则x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ( ) A ． (0,8) B ． (1,3) C ． (3,4] D ． (1,8]10. k 为整数，化简 sin [(k+1)π+θ]⋅cos [(k+1)π−θ]sin (kπ−θ)⋅cos (kπ+θ)的结果是 ( )A ． ±1B ． −1C ． 1D ． tanθ二、填空题（共10题）11. 方程 ∣∣cos (x +π2)∣∣=∣log 18x ∣ 的解的个数为 （用数字作答）．12. 已知 k 为常数，函数 f (x )={x+2x+1,x ≤0∣lnx ∣,x >0，若关于 x 的方程 f (x )=kx +2 有且只有四个不同解，则实数 k 的取值构成的集合为 ．13. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2sin (π4x),2≤x ≤10，若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4 满足 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1x 2+x 3+x 4= ．14. 已知函数 f (x )=∣∣∣sinx1x 131∣∣∣，若 f (a )=2021，则 f (−a )= ．15. 已知 tanα，tanβ 是一元二次方程 x 2+3√3x +4=0 的两根，α,β∈(−π2,0)，则 cos (α+β)= ．16. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a的取值范围为 ．17. 如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为 α，则 tanα= ．18. 若函数 f (x )={−x +6,x ≤23+log a x,x >2（a >0 且 a ≠1）的值域为 [4,+∞)，则 f (1)= ；实数a 的取值范围为 ．19. 已知命题 p ：∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0，若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={log 2(−x ),x <0x −2,x ≥0，若函数 g (x )=a −∣f (x )∣ 有四个零点 x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则 ax 1x 2+x 3+x 4a的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 已知命题 p ：集合 M ={x∣ x <−3或x >5}，q ：集合 N ={x∣ −a ≤x ≤8}．(1) 若 M ∩N ={x∣ 5<x ≤8}，求实数 a 的取值范围； (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=ln (x −1+a )．(1) 设 f −1(x ) 是 f (x ) 的反函数．当 a =1 时，解不等式 f −1(x )>0；(2) 若关于 x 的方程 f (x )+ln (x 2)=0 的解集中恰好有一个元素，求实数 a 的值；(3) 设 a >0，若对任意 t ∈[12,1]，函数 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上的最大值与最小值的差不超过 ln2，求 a 的取值范围．23. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，值域为 f (D )，即 f (D )={y∣ y =f (x ),x ∈D }．若 f (D )⊆D ，则称 f (x ) 在 D 上封闭．(1) 试分别判断函数 f (x )=2017x +log 2017x ，g (x )=x 2x+1 在 (0,1) 上是否封闭，并说明理由． (2) 函数 f (x )=√x +1+k 的定义域为 D =[a,b ]，且存在反函数 y =f −1(x )．若函数 f (x )在 D 上封闭，且函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上也封闭，求实数 k 的取值范围．(3) 已知函数 f (x ) 的定义域是 D ，对任意 x ，y ∈D ，若 x ≠y ，有 f (x )≠f (y ) 恒成立，则称 f (x ) 在 D 上是单射．已知函数 f (x ) 在 D 上封闭且单射，并且满足 f n (D )⫋D ，其中 f n+1(x )=f(f n (x ))，(n ∈N ∗)，f 1(x )=f (x )．证明：存在 D 的真子集 D n ⫋D n−1⫋⋯⫋D 3⫋D 2⫋D 1⫋D ，使得 f (x ) 在所有 D i (i =1,2,3,⋯n ) 上封闭．24. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在正实数 a ，使得对于任意 x ∈D ，有 x +a ∈D ，且f (x +a )>f (x )，则称 f (x ) 是 D 上的“a 距增函数”．(1) 判断函数 f (x )=2x −x 是否为 (0,+∞) 上的“1 距增函数”？说明理由；(2) 写出一个 a 的值，使得 f (x )={x +2,x <0√x x ≥0 是区间 (−∞,+∞) 上的“a 距增函数”；(3) 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x >0 时，f (x )=∣x −a ∣−a ．若 f (x ) 为R 上的“2021 距增函数”，求 a 的取值范围．25. 已知关于 x 的方程 x 2−2x +a =0．当实数 a 为何值时，(1) 方程的一个根大于 1，另一个根小于 1？(2) 方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内？ (3) 方程的两个根都大于零？26. 解答：(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象如何变化得到的？ (2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象．(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2，设M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，请判断 M 的符号．27. 已知 −π<x <0，且 cos (π2+x)−cosx =−15．(1) 求 sinx −cosx 的值； (2) 求 tanx 的值．28. 已知函数 f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x ．(1) 求 f (x ) 的最小正周期和最大值； (2) 讨论 f (x ) 在 [π6,2π3] 上的单调性．29. 已知二次函数 y =x 2−(a +1a)x +1．(1) 当 a =12 时，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集； (2) 若 a >0，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集．30. 设 x >y >0，求证：x 2x y 2y >(xy )x+y ．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】①正确；因为函数 y =sinx ，所以 yʹ=cosx 是偶函数；②正确；因为命题“若 x =y ，则 x 2=y 2”是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③错误；当 x ≥2 时，x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 成立；当 x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 时，有 x ≥2 或 x ≤−1．④正确；依据特称命题的否定的格式可知正确．【知识点】命题的概念与真假判断、全（特）称命题的概念与真假判断、全（特）称命题的否定2. 【答案】B【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的周期性3. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即1x 2=2−1x 1，当 x 1=12时，2−1x 1=2−2=0，此时1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2， 即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件．故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质4. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．5. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】B【解析】由x−2<3，得x<5，又x∈N∗，所以x=1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}，故选B．【知识点】集合的表示方法7. 【答案】C【解析】y=cos(2x−π3)=cos2(x−π6)的图象，向左平移π6个单位长度可得函数y=cos2x的图象．【知识点】三角函数的图象变换8. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】C【解析】设f(x1)=f(x2)=f(x3)=a，作出函数f(x)的图象与直线y=a，如图．由图可知0<a≤1，不妨设x1<x2<x3，则x1+x2=1，log2(x3−1)=a，因此x3=2a+1，故x1+x2+x3=2+2a，又0<a≤1，所以1<2a≤2，因此3<x1+x2+x3≤4．【知识点】函数的零点分布10. 【答案】B【解析】当k为偶数时，设k=2n，n∈Z，则原式=sin[(2n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(2nπ−θ)⋅cos(2nπ+θ)=sin(π+θ)⋅cos(π−θ)−sinθ⋅cosθ=−sinθ⋅(−cosθ)−sinθ⋅cosθ=−1.当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z，则原式=sin[(2n+2)π+θ]⋅cos[(2n+2)π−θ]sin[(2n+1)π−θ]⋅cos[(2n+1)π+θ]=sin[2(n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(π−θ)⋅cos(π+θ)=sinθ⋅cosθsinθ⋅(−cosθ)=−1.综上，原式的值为−1．【知识点】诱导公式二、填空题（共10题）11. 【答案】12【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】{1e3}∪(−e,−1)【解析】作函数y=f(x)和y=kx+2的图象，如图所示，两图象除了(0,2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y=f(x)（x>1）相切，设切点(x0,lnx0)，则切线斜率为k=1x0，又 k =lnx 0−2x 0，则 1x 0=lnx 0−2x 0，解得 x 0=e 3，此时 k =1e 3，当 k <0 时，当 y =kx +2 与曲线 y =x+2x+1相切于点 (0,2) 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2的图象只有三个公共点，不符合题意，此时 k =−1，当 −1<k <0 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2 的图象只有三个公共点，不符合题意， 当直线 y =kx +2 与 y =f (x )（0<x <1）相切时，两图象只有三个公共点， 设切点 (x 0,−lnx 0)，则切线的斜率 k =−1x 0，又 k =−lnx 0−2x 0，则 −1x 0=−lnx 0−2x 0，解得 x 0=e −1，此时 k =−e 不符合题意， 当 k <−e 时，两图象只有两个公共点，不合题意， 而当 −e <k <−1 时，两图象有 4 个公共点，符合题意， 所以实数 k 的取值范围是 {1e 3}∪(−e,−1)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程13. 【答案】 13【解析】作出函数 y =f (x ) 的图象如图所示：由于 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1，x 2，x 3，x 4 可视为直线 y =k 与曲线 y =f (x ) 有四个交点时，四个交点的横坐标．由图象可知，∣log 2x 1∣=∣log 2x 2∣，由于 0<x 1<1<x 2<2，则 log 2x 1<0，log 2x 2>0， 所以，−log 2x 1=log 2x 2，即 log 2x 1+log 2x 2=log 2(x 1x 2)=0，得 x 1x 2=1， 由图象知，曲线 y =sin πx 4(2≤x ≤10) 的图象关于直线 x =6 对称，所以，x 3+x 4=12， 因此，x 1x 2+x 3+x 4=13， 故答案为 13．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 −2021【解析】 f (x )=sinx −x 13，为奇函数， 所以 f (−a )=−f (a )=−2021． 【知识点】函数的奇偶性15. 【答案】 −12【知识点】两角和与差的正切、两角和与差的余弦16. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0． 当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点； 当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点，此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象17. 【答案】 34【解析】由题意得大正方形的边长为 10，小正方形的边长为 2， 所以 2=10cosα−10sinα， 即 cosα−sinα=15 ⋯⋯ ①， 两边同时平方得 (cosα−sinα)2=125，即 cos 2α+sin 2α−2sinαcosα=125，又因为 cos 2α+sin 2α=1， 所以 2sinαcosα=2425， 所以(cosα+sinα)2=cos 2α+sin 2α+2sinαcosα=1+2425=4925,已知 α 为锐角，所以 cosα+sinα=75 ⋯⋯ ②， 由①②得 cosα=45，sinα=35，所以 tanα=34．【知识点】同角三角函数的基本关系18. 【答案】 5 ； (1,2]【知识点】函数的值域的概念与求法19. 【答案】 [0,1)【解析】因为“∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0”为假命题， 所以其否定“∀x ∈R ，ax 2+2ax +1>0”为真命题． 当 a =0 时，显然成立；当 a ≠0 时，ax 2+2ax +1>0 恒成立可化为：{a >0,4a 2−4a <0,解得 0<a <1．综上实数 a 的取值范围是 [0,1)．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断20. 【答案】 [4,+∞)【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) −5≤a≤3．(2) a≥3．【知识点】交、并、补集运算、充分条件与必要条件22. 【答案】(1) 当a=1时，f(x)=ln(x−1+1)，由y=ln(x−1+1)得x−1+1−=e y，所以x=1e y−1，因为f−1(x)是f(x)=ln(x−1+a)的反函数，所以f−1(x)=1e x−1，x≠0，由f−1(x)>0得1e x−1>0，所以：e x−1>0，解得：x>0，即不等式f−1(x)>0的解集为{x∣ x>0}；(2) 方程f(x)+ln(x2)=0即ln(x−1+a)+ln(x2)=0，所以x+ax2=1，① a=0，则x=1，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；② a≠0时，（i）若Δ=1+4a=0，解得a=−14，代入x+ax2=1，解得x=2，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；(ii)若Δ=1+4a>0，则a>−14；当a>0时由1x +a>0解x>0或x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(−∞,−1a)∪(0,+∞)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为x=−1+√1+4a2a >2√a2a>0，所以为使关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素，只需−1−√1+4a2a ≥−1a，即1+√1+4a≤1，显然不成立；当−14<a<0时，由1x+a>0解得：0<x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(0,−1a)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为a<0，所以−1−√1+4a2a >0，−1+√1+4a2a>0，且−1+√1+4a2a >−1−√1+4a2a，因此只需−1+√1+4a2a <−1a<−1−√1+4a2a，即1−√1+4a2<1<1+√1+4a2，即{−√1+4a<1,√1+4a>1,解得：a>0，与−14<a<0矛盾，也不满足题意；综上，实数a的值为0或−14；(3) 由对数函数的单调性可得y=lnx单调递增，根据幂函数单调性可得y=x−1+a在(0,+∞)上单调递减，因为a>0，t∈[12,1]，所以，根据复合函数单调性，可得f(x)=ln(x−1+a)在区间[t,t+1]上单调递减，因此f(x)max=ln(t−1+a)，f(x)min=ln(1t+1+a)，又函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2，所以ln(t−1+a)−ln(1t+1+a)≤ln2，即(at+1)(t+1)t(at+a+1)≤2，整理得a≥1−tt2+t即a≥1−tt2+t对任意的t∈[12,1]恒成立，令g(t)=1−tt2+t ，t∈[12,1]，任取12≤t1<t2≤1，则g (t 1)−g (t 2)=1−t 1t 12+t 1−1−t2t 22+t 2=(1−t 1)(t 22+t 2)−(1−t 2)(t 12+t 1)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 22+t 2−t 1t 22−t 1t 2)−(t 12+t 1−t 12t 2−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2),因为 12≤t 1<t 2≤1，所以 t 2−t 1>0，t 2+t 1+1−t 1t 2>0，(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，因此 g (t 1)−g (t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，即 g (t 1)>g (t 2)；所以 g (t )=1−t t 2+t 在 t ∈[12,1] 上单调递减， 所以 g (t )max =g (12)=23，因此，只需 a ≥g (t )max =23，故 a 的取值范围为 [23,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、反函数23. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域为 (0,+∞)，值域为 (−∞,+∞)，（取一个具体例子也可），所以f (x ) 在 (0,1) 上不封闭． t =x +1∈(1,2)，g (x )=ℎ(t )=(t−1)2t=t +1t −2∈(0,12)⊆(0,1)，g (x ) 在 (0,1) 上封闭．(2) 函数 f (x ) 在 D 上封闭，则 f (D )⊆D . 函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上封闭，则 D ⊆f (D )， 得到：D =f (D )．f (x )=√x +1+k 在 D =[a,b ] 单调递增．则 f (a )=a ，f (b )=b ⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 两不等实根． g (x )=x 2−(2k +1)x +k 2−1=0({x ≥−1,x ≥k,)故 {(2k +1)2−4(k 2−1)>0,g (−1)≥0,g (k )≥0,2k+12>k,2k+12>−1,解得k∈(−54,−1]．另解：⇔f(x)=√x+1+k=x在[−1,+∞)两不等实根．令t=√x+1(t≥0)，k+1=t2−t在t∈[0,+∞)有两个不等根，画图，由数形结合可知，k+1∈(−14,0]，解得k∈(−54,−1]．(3) 如果f(D)=D，则f n(D)=D，与题干f n(D)⫋D矛盾．因此f(D)⫋D，取D1=f(D)，则D1⫋D．接下来证明f(D1)⫋D1．因为f(x)是单射，因此取一个p∈D∖D1，则p是唯一的使得f(x)=f(p)的根，换句话说f(p)∉f(D1)．考虑到P∈D∖D1，即D1∉D∖{p}．因为f(x)是单射，则f(D1)⫋f(D∖{p})=f(D)∖{f(p)}=D1∖{f(p)}⫋D1．这样就有了f(D1)⫋D1．接着令D n+1=f(D n)，并重复上述论证证明D n+1⫋D n．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质、反函数24. 【答案】(1) 函数f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”，任意x∈(0,+∞)，有x+1∈(0,+∞)，且2x>1，所以f(x+1)−f(x)=2x+1−(x+1)−(2x−x)=2x−1>0，因此f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”．(2) a=10（答案不唯一，不小于4即可）(3) f(x)={∣x−a∣−a,x>0 0,x=0−∣x+a∣+a,x≤0因为f(x)为R上的“2021距增函数”，∪）当x>0时，由定义∣x+2021−a∣−a>∣x−a∣−a恒成立，即∣x+2021−a∣>∣x−a∣恒成立，由绝对值几何意义可得a+a−2021<0，a<20212；∪）当x<0时，分两种情况：当x<−2021时，由定义−∣x+2021+a∣+a>−∣x+a∣+a恒成立，即∣x+2021+a∣<∣x+a∣恒成立，由绝对值几何意义可得−a−a−2021>0，a<−20212；当−2021≤x<0时，由定义−∣x+a∣+a<∣x+2021−a∣−a恒成立，即 ∣x +2021−a ∣+∣x +a ∣≥∣2021−2a ∣>2a 恒成立， 当 a ≤0 时，显然成立， 当 a >0 时，可得 0<a <20214； 综上，a 的取值范围为 (−∞,20214)．【知识点】函数的单调性25. 【答案】(1) 已知方程的一个根大于 1，另一个根小于 1，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），当 x =1 时的函数值小于 0，即 12−2+a <0，所以 a <1． 因此 a 的取值范围是 {a∣ a <1}．(2) 由方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），x 取 −1，3 时函数值为正，x 取 1，2 时函数值为负．即 {1+2+a >0,1−2+a <0,4−4+a <0,9−6+a >0,解得 −3<a <0．因此 a 的取值范围是 {a∣ −3<a <0}．(3) 由方程的两个根都大于零，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），判别式不小于 0，图象的对称轴在 y 轴右侧，且当 x =0 时，函数值为正，即 {Δ=4−4a ≥0,−−22>0,a >0,解得 0<a ≤1．因此 a 的取值范围是 {a∣ 0<a ≤1}． 【知识点】函数的零点分布26. 【答案】(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象向右平移 1 个单位得到的．(2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象，如图所示；(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2， 所以 M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=(x 1−2)(x 2−2)<0．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质、函数的图象变换27. 【答案】(1) 由已知，得 sinx +cosx =15，两边平方得 sin 2x +2sinxcosx +cos 2x =125， 整理得 2sinxcosx =−2425．因为 (sinx −cosx )2=1−2sinxcosx =4925，由 −π<x <0 知，sinx <0，又 sinxcosx =−1225<0， 所以 cosx >0，所以 sinx −cosx <0， 故 sinx −cosx =−75．(2) 故此 sinx =−35，cosx =45， 所以 tanx =−34．【知识点】同角三角函数的基本关系28. 【答案】(1)f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x=cosxsinx −√32(1+cos2x )=12sin2x −√32cos2x −√32=sin (2x −π3)−√32,所以 f (x ) 的最小正周期为 π，最大值为 2−√32．(2) 当 x ∈[π6,2π3] 时，0≤2x −3≤π，所以当 0≤2x −π3≤π2，即 π6≤x ≤5π12时，f (x ) 单调递增，当π2≤2x −π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x ) 单调递减．综上，可知 f (x ) 在 [π6,5π12] 上单调递增，在 [5π12,2π3] 单调递减．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) 当 a =12 时，有 x 2−52x +1≤0，即 2x 2−5x +2≤0，解得 12≤x ≤2，故不等式y≤0的解集为{x∣ 12≤x≤2}．(2) y≤0⇔x2−(a+1a )x+1≤0⇔(x−1a)(x−a)≤0，①当0<a<1时，a<1a ，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；②当a=1时，a=1a=1，不等式的解集为{1}；③当a>1时，a>1a ，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；当a=1时，不等式的解集为{1}；当a>1时，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．【知识点】二次不等式的解法30. 【答案】由x>y>0，x2x y2y>(xy)x+y可等价变形为x2x y2y(xy)x+y >1，即要证(xy)x−y>1．因为xy >1，x−y>0，由幂的基本不等式，可知(xy)x−y>1．【知识点】幂的概念与运算。

人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 若函数 f (x )=x 2−3x −4 的定义域为 [0,m ]，值域为 [−254,−4]，则实数 m 的取值范围是( ) A ． (0,4] B ． [−254,−4]C ． [32,3]D ． [32,+∞)2. 已知定义域在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy (x,y ∈R )，若 f (1)=2，则 f (−2) 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 163. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≤0 时，f (x )=2x 2−x ，则 f (1)= ( ) A ． −3 B ． −1 C ． 1 D ． 34. 据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）f (x )=√x x <m√mx ≥m （m ，c 为常数），已知工人组装第 4 件产品所用的时间为 30 分钟，工人组装第 m 件产品所用的时间为 15 分钟，则 m = ( ) A ．49 B ．25 C ．16 D ．95. 设 f (x ) 是定义在 R 上的函数若存在两个不等实数 x 1,x 2∈R ，使得 f (x 1+x 22)=f (x 1)+f (x 2)2，则称函数 f (x ) 具有性质 P ，那么下列函数：①f (x )={1x ,x ≠00,x =0；②f (x )=x 3；③f (x )=∣x 2−1∣；④f (x )=x 2．不具有性质 P 的函数为 ( ) A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④6. 下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是 ( ) A ． y =(x −1)2 B ． y =x 3 C ． y =1xD ． y =∣x ∣7. 已知定义在 (0,+∞) 上的函数 f (x ) 为增函数，且 f (x )⋅f (f (x )+1x )=1，则 f (1) 等于( ) A ． 1+√52B ．1−√52C ．1+√52或 1−√52D ． √58. 已知函数 f (x ) 满足：对任意 x 1,x 2∈R 有 f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1，下列说法一定正确的是 ( ) A ． f (x ) 为奇函数 B ． f (x ) 为偶函数 C ． f (x )+1 为奇函数D ． f (x )+1 为偶函数9. 已知 a ∈{−1,2,12,3,13}，若 f (x )=x a 为奇函数，且在 (0,+∞) 上单调递增，则实数 a 的值为( ) A ． −1，3 B ． 13，3C ． −1，13，3D ． 13，12，310. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f (x )={√x x <a√ax ≥a （a ，c为常数）．已知该工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 a 件产品用时 5 分钟，则 c 和 a 的值分别是 ( ) A ． 75，25 B ． 75，16 C ． 60，144 D ． 60，16二、填空题（共6题）11. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 A (a,b )，若函数 y =f (x ) 满足：∀x ∈[a −1,a +1]，都有y ∈[b −1,b +1]，则称这个函数是点 A 的“界函数”．已知点 B (m,n ) 在函数 y =−12x 2 的图象上，若函数 y =−12x 2 是点 B 的“界函数”，则 m 的取值范围是 ．12. 已知 f (x )=ax 7−bx 5+cx 3+2，且 f (−5)=m ，则 f (5)+f (−5) 的值为 ．13. 常见函数模型（1）一次函数模型： (k ≠0)； （2）二次函数模型： (a ≠0)； （3）反比例函数模型： (k ≠0)；（4）分段函数模型：y ={f (x ),x ∈I 1g (x ),x ∈I 2⋯⋯.14. 若 2f (x )+f (1x )=2x +12(x ≠0)，则 f (2)= ．15. 已知定义在区间 [−1,0)∪(0,1] 上的函数 y =f (x ) 的图象如图所示，则不等式 f (x )>2x +f (−x ) 的解集为 ．16. 已知 f (x )=x x+1+x+1x+2+x+2x+3+⋯⋯+x+2020x+2021，F (x )=f (x +m )−n ，若函数 y =F (x ) 为奇函数，则 ∣x 2+m ∣+∣x −n ∣ 的最小值为 ．三、解答题（共6题）17. 某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路，该产品广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，那么根据对市场的抽样调査发现：每投入 100 万元的广告费，所得的销售额是 1000 万元，问：该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益？18. 定义在 R 上的严格减函数 y =f (x ) 满足：当且仅当 x ∈M ⊆R + 时，函数值 f (x ) 的集合为[0,2] 且 f (12)=1；对 M 中的任意 x 1，x 2 都有 f (x 1⋅x 2)=f (x 1)+f (x 2)．(1) 求证；14∈M ，18∉M ；(2) 求证：y =f (x ) 在 M 上的反函数 f −1(x ) 满足 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)； (3) 设 x ∈[0,2]，解不等式 f −1(x 2+x )⋅f −1(x +2)≤14．19. 国庆期间，某旅行组团去风景区旅游，若旅行团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票价格为 900元；若旅行团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，飞机票价格就减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15000 元． (1) 写出飞机票的价格关于人数的函数；(2) 旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？20.用区间表示下列集合：(1) {x∣ x≥1}；(2) {x∣ x−2x+1≥0}；(3) {x∣ x=1,或2≤x≤8}；(4) {x∣ x<−4,或−1<x≤2}．21.判断下列函数的奇偶性．(1) f(x)=∣x∣⋅(3x−3−x)，x∈R．(2) f(x)=x(12x−1+12)，x∈R，x≠0．22.已知函数f(x)=(x−2)(x+a)，其中a∈R．(1) 若f(x)的图象关于直线x=1对称，求a的值；(2) 求f(x)在区间[0,1]上的最小值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】如图，作出y=x2−3x−4的图象．,3]．由图可知，m∈[32【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的定义域的概念与求法2. 【答案】C【知识点】抽象函数3. 【答案】A【解析】因为当x≤0时，f(x)=2x2−x，所以f(−1)=2(−1)2−(−1)=3，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)=−f(−1)=−3．【知识点】函数的奇偶性4. 【答案】C=15为定值，【解析】由已知条件可知当x=m时，f(x)=√m且当x=4时，f(x)=30≠15，所以4<m．=30，解得c=60．所以f(4)=√4=15中，解得m=16．代入f(m)=√m【知识点】函数模型的综合应用5. 【答案】D【解析】 ① 选择的两点关于原点对称即可，如图（1），A 1(x 1,y 2)，A 2(x 2,y 2) 满足； ② 同 ①，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）；③ 如图，y =1 与 f (x ) 的交点满足题意，当然，其他点对也有满足； ④ 没有满足的点对，证明：假设存在 x 1,x 2∈R ，使得：f (x 1+x 22)=f (x 1)+f (x 2)2，即：(x 1+x 22)2=x 12+x 222⇒x 1=x 2，又 x 1≠x 2，故不存在．【知识点】幂函数及其性质6. 【答案】B【知识点】函数的单调性7. 【答案】B【解析】令 x =1，得 f (1)f (f (1)+1)=1， 令 t =f (1)，则 tf (t +1)=1， 所以 f (t +1)=1t ．令 x =t +1，则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1， 所以 f (1t +1t+1)=t =f (1)．因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数， 所以 1t +1t+1=1，变形可得 t 2−t −1=0， 解得 t =1+√52或 t =1−√52．所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52．令 x =2，得 f (2)f (f (2)+12)=1，令 s =f (2)，则 sf (s +12)=1，所以 f (s +12)=1s ，令 x =s +12，则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1s f (1s +22s+1)=1，则 f (1s +22s+1)=s =f (2)． 所以 1s +22s+1=2， 所以 4s 2−2s −1=0， 解得 s =1−√54或 s =1+√54，所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54．因为 f (1)<f (2)， 所以 f (1)=1−√52．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性8. 【答案】C【解析】方法一：对任意的 x 1,x 2∈R 有 f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1， 取 x 1=x 2=0 得 f (0)=−1， 取 x 1=x ，x 2=−x 得， f (0)=f (x )+f (−x )+1，所以 f (x )+1=−f (−x )=−[f (−x )+1]， 所以 f (x )+1 为奇函数． 方法二：由已知 f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1， 设 x 1=x 2=0，则 f (0)=2f (0)+1， 解得：f (0)=−1，又设 x 1=x ，x 2=−x ，则 x 1+x 2=x −x =0， 所以 f (0)=f (x )+f (−x )+1，所以 f (x )+f (−x )+1+1=0，所以 [f (x )+1]+[f (−x )+1]=0，由奇函数定义可知，f (x )+1 为奇函数． 【知识点】抽象函数、函数的奇偶性9. 【答案】B【解析】因为 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，所以 a >0，排除选项A ，C ；当 a =12 时，f (x )=x 12=√x 为非奇非偶函数，不满足条件，排除D ，故选B ． 【知识点】幂函数及其性质10. 【答案】C【解析】显然 a >4，则由题意可得 {√4=30,√a=5, 解得 {c =60,a =144,故选C ．【知识点】函数模型的综合应用二、填空题（共6题） 11. 【答案】 [−12,12]【解析】 B (m,n ) 在 y =−12x 2 上， 所以 n =−12m 2，所以 ∀x ∈[m −1,m +1]， 都有 y ∈[−12m 2−1,12m 2+1]，即都有 y max ≤12m 2+1，y min ≥12m 2−1，所以下面讨论 13x ∈[m −1,m +1] 时，y 的最值， ① m ≤−1 时，m +1≤0， 所以单调减，所以 y max =−12(m +1)2，y min =−12(m −1)2，所以 {−12(m +1)2≤12m 2+1,−12(m −1)2≥12m 2−1,无解．② −1<m ≤0 时，0<m +1≤1，−2<m −1≤−1，所以 y max =0，y min =−12(m −1)2 (取不到)， 所以 {0≤12m 2+1,−12(m −1)2≥12m 2−1,所以 −12≤m ≤0． ③ 0<m ≤1 时，1<m +1≤2，−1<m −1≤0， 所以 y max =0，y min =−12(m +1)2，所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12．④ m >1 时，m −1>0，所以 y max =−12(m −1)2 (取不到)，y min =−12(m +1)2，所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解．综上：−12≤m ≤12．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 4【解析】由 f (−5)=a (−5)7−b (−5)5+c (−5)3+2=−a ⋅57+b ⋅55−c ⋅53+2=m ， 得 a ⋅57−b ⋅55+c ⋅53=2−m ，则 f (5)=a ⋅57−b ⋅55+c ⋅53+2=2−m +2=4−m ， 所以 f (5)+f (−5)=4−m +m =4． 【知识点】函数的奇偶性13. 【答案】 y =kx +b ； y =ax 2+bx +c ； y =kx【知识点】函数模型的综合应用14. 【答案】 52【解析】令 x =2 得，2f (2)+f (12)=92， 令 x =12 得，2f (12)+f (2)=32，消去 f (12) 得，f (2)=52．【知识点】函数的解析式的概念与求法15. 【答案】 [−1,12)∪(0,12)【解析】如图可知 f (x ) 是在区间 [−1,0)∪(0,1] 上的奇函数， f (x )=−f (−x )，不等式 f (x )>2x +f (−x )，f (x )−f (−x )>2x ， 2f (x )>2x ， f (x )>x ，所以解集为 [−1,12)∪(0,12)．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性16. 【答案】 2021−√1011【解析】由已知可得：f (x )=1−1x+1+1−1x+2+⋯+1−1x+2021=2021−(1x+1+1x+2+⋯+1x+2021),所以f =(−2022−x )=2021−(1−2021−x +1−2020−x +⋯+1−x−1), 所以 f (x )+f (−2022−x )=4042，又函数 F (x ) 为奇函数，则 F (−x )=−F (x )， 所以 f (x )+f (2m −x )=2n ， 则 2m =−2022，2n =4042， 所以 m =−1011，n =2021， 令g (x )=∣x 2+m ∣+∣x −n ∣=∣x 2−1011∣+∣x −2021∣={ x 2−x +1010,x <−√1011−x 2−x +3033,−√1011≤x ≤√1011x 2−x +1010,√1011<x <2021x 2+x −3033,2021≤x , 由二次函数的单调性可知：min {g (−√1011,g(√1011))}=g(√1011)=2021−√1011． 【知识点】函数的最大（小）值、函数的奇偶性三、解答题（共6题）17. 【答案】设广告费为 x 万元时，广告效益为 y 万元，销售额为 t 万元．由题意可设 t =k √x (k >0)，则 y =t −x =k √x −x ．因为当 x =100 时，t =1000．故 1000=√100k ，解得 k =100．所以 t =100√x, 所以 y =100√x −x ．令 √x =m ，则 m ≥0，y =100m −m 2=−(m −50)2+2500，所以当 m =50，即 x =2500 时，y 取得最大值，最大值为 2500． 所以该企业投入 2500 万元广告费时，能获得最大的广告效益．【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 因为 12∈M ，又 14=12×12，f (12)=1，所以 f (14)=f (12×12)=f (12)+f (12)=2∈[0,2]，所以 14∈M ，又因为 f (18)=f (14×12)=f (14)+f (12)=3∉[0,2]，所以 18∉M ．(2) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 y =f (x ) 在 M 上有反函数 y =f −1(x )，x ∈[0,2]．任取 x 1,x 2∈[0,2]，设 y 1=f −1(x 1)，y 2=f −1(x 2)，所以 x 1=f (y 1)，x 2=f (y 2)（y 1,y 2∈M ）．因为 x 1+x 2=f (y 1)+f (y 2)=f (y 1y 2)，所以 y 1y 2=f −1(x 1+x 2)．又 y 1y 2=f −1(x 1)f −1(x 2)，所以 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)．(3) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 f −1(x ) 在区间 [0,2] 上也是严格减函数．f −1(x 2−x )⋅f −1(x +2)≤14 等价于 f −1(x 2−x +x +2)≤f −1(2)． 转化为 {0≤x 2−x ≤2,0≤x +2≤2,x 2+2≥2,解得 {−1≤x ≤0或1≤x ≤2,−2≤x ≤0,x ∈R.即 −1≤x ≤0．所以，不等式的解集为 [−1,0]．【知识点】函数的单调性、抽象函数、反函数19. 【答案】(1) 设旅行团人数为 x ，飞机票价格为 y 元，则 y ={900,0<x ≤30,x ∈N ∗900−10(x −30),30<x ≤75,x ∈N ∗， 即 y ={900,0<x ≤30,x ∈N ∗1200−10x,30<x ≤75,x ∈N ∗． (2) 设旅行社获利 S 元，则 S ={900x −15000,0<x ≤30,x ∈N ∗x (1200−10x )−15000,30<x ≤75,x ∈N ∗， 即 S ={900x −15000,0<x ≤30,x ∈N ∗−10(x −60)2+21000,30<x ≤75,x ∈N ∗． 因为 S =900x −15000 在区间 (0,30] 上单调递增，当 x =30 时，S 取最大值 12000．又 S =−10(x −60)2+21000 在区间 (30,75] 上的对称轴为 x =60， 当 x =60 时，S 取最大值 21000．故当 x =60 时，旅行社可获得最大利润．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用20. 【答案】(1) {x∣ x ≥1}=[1,+∞)．(2) {x∣ x−2x+1≥0}={x∣ x <−1,或x ≥2}=(−∞,−1)∪[2,+∞)．(3) {x∣ x =1,或2≤x ≤8}={1}∪[2,8]．(4) {x∣ x <−4,或−1<x ≤2}=(−∞,−4)∪(−1,2]．【知识点】函数的相关概念21. 【答案】(1) 由于 f (−x )=∣−x ∣⋅(3−x −3x )=∣x ∣⋅(3−x −3x )=−∣x ∣⋅(3x −3−x )=−f (x )， 且函数的定义域为 (−∞,+∞)，关于原点对称，所以 f (x ) 为奇函数．(2) f (x ) 的定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称．f (x )=x (12x −1+12)=x ⋅1+2x 2(2x −1)， 又 f (−x )=−x ⋅1+2−x 2(2−x −1)=−x ⋅(1+2−x )⋅2x 2(2−x −1)⋅2x =−x (2x +1)2(1−2x )=x ⋅1+2x 2(2x −1)=f (x )，所以 f (x ) 为偶函数．【知识点】函数的奇偶性22. 【答案】(1) 方法一：因为f(x)=(x−2)(x+a)=x2+(a−2)x−2a，所以，f(x)的图象的对称轴方程为x=2−a2，由2−a2=1，得a=0．方法二：因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称，所以必有f(0)=f(2)成立，所以−2a=0，得a=0．(2) 函数f(x)的图象的对称轴方程为x=2−a2，①当2−a2≤0，即a≥2时，因为f(x)在区间(0,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=−2a，②当0<2−a2<1，即0<a<2时，因为f(x)在区间(0,2−a2)上单调递减，在区间(2−a2,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(2−a2)=−(2+a2)2，③当2−a2≥1，即a≤0时，因为f(x)在区间(0,1)上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=−(1+a)．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的对称性。

2020-2021学年高一数学必修一单元测试卷第5章 三角函数（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若=αsin 54，则=βsin (A ．53B ．54C ．53-D ．-54 2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α< C ．sin 20α>D ．sin 20α<3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A ．43B ．34C ．－34D ．－434. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ．2π B ．3π C 2 D 35.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（ ） A ．23- B ．23C ．43-D ．436.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27.若2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ． 29- B ．29 C ． 59- D ． 598 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=（ ）A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．)62cos(π-xD ．5cos(2)6x π-9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．5B ．23C ．13D 510. 设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0,2πωϕ><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33B ．－33C ．539D ．－69 12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13. （2020江苏卷）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 .14. （2020北京） 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15. （2020江苏卷）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________.16．(2020天津卷改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是________三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知π02α<<，4sin 5α=． （1）求tan α及sin 2α的值；（2）求πcos 2sin()2αα++的值．18.（12分）已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．19. （12分）（2020·湖北武汉高一期末）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？20．（12分）【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos 3sin cos 2f x x x x x =+-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；21. （12分）(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．22.（12分） 已知函数f(x)＝sin2x －2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值； (2)求函数f(x)的零点的集合．2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷 第5章 三角函数（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若=αsin 54，则=βsin (A ．53B ．54C ．53-D ．-54 答案D【解析】角与均以Ox 为始边，且它们的终边关于x 轴对称，=αsin βsin ， 又=αsin 54，∴=βsin -54． 故选：D ．2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<答案:D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<故选D ．3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A ．43 B ．34C ．－34D ．－43答案:D【解析】：α是第二象限角，所以x<0，r ＝x 2＋16， 所以cos α＝x x 2＋16＝15x ，所以x 2＝9，所以x ＝－3， 所以tan α＝－43. 故选D ．4. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ．2π B ．3π CD【答案】C【解析】：设圆内接正方形的边长为a ，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为l rα===，故选C ． 5.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（） A ．3-B ．3C ．43-D ．43【答案】A【解析】由题意，416sin cos 12sin cos 39θθθθ-=⇒-=， 则72sin cos 09θθ=-<，由于3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 22sin(π)cos(π)sin cos (sin cos )12sin cos 3θθθθθθθθ---=+=-+=-+=-故选A ．6.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：D【解析】由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得tan 2θ=.故选D ．7.若2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ． 29-B ．29C ． 59-D ．59【答案】C【解析】2cos sin 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， ()2225cos 2cos22sin 12139πααα⎛⎫-=-=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭.选C ． 8 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=（ ）A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．)62cos(π-x D ．5cos(2)6x π- 【答案】：B 、 【解析】由图易知22362T πππ=-=，则T π=，22T πω==，由题意结合图像知，26πϕπ⨯+=，故23πϕ=，则2sin(2)sin(2)sin(2)333y x x x ππππ=+=+-=- sin(2)cos(2)266x x πππ=++=+.故选B ．9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．B ．23 C ．13D 【答案】：A【解析】由3cos28cos 5αα-=，得23(2cos 1)8cos 5αα--=， 得23cos 4cos 40αα--=，化为(3cos 2)(cos 2)0αα+-=，得2cos 3α=-，那么sin 3α=．故选A ．10. 设函数()sin())f x x x ωϕωϕ=++（0,2πωϕ><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增【答案】C【解析】()2sin 3f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，周期为2,2T ππωω===，函数为偶函数，故,326πππϕϕ-=-=-，故()cos2f x x =-，所以函数在(0,)2π上单调递增. 故选C ．11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33 B ．－33 C ．539 D ．－69【答案】C【解析】：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.故选C ．12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π4【答案】D【解析】：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2， 画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根． 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8； 由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13. （2020江苏卷）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】524x π=- 【解析】因为()3sin(2)4f x x π=+，将函数()3sin(2)4f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-. 14. （2020北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 15. （江苏卷）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________.【答案】：13【解析】因为22sin ()43πα+=，由2112sin ()(1cos(2))(1sin2)42223ππααα+=-+=+=，解得1sin 23α=16．(2020天津卷改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是________【答案】①③【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确； 51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知π02α<<，4sin 5α=． （1）求tan α及sin 2α的值；（2）求πcos 2sin()2αα++的值．【答案】（1）4tan 3α=，24sin 225α=；（2）825．【解析】（1）因为π02α<<，4sin 5α=，所以3cos 4α=，所以sin 4tan cos 3ααα==，4324sin 22sin cos 25525ααα=⋅=⋅⋅=．（2）原式223382cos 1cos 2()15525αα=-+=⋅-+=．18.（12分）已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．【答案】（1）f(α)＝sinα·cosα.（2）cosα－sinα＝－.(3)－【解析】(1)f(α)＝＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinαcosα＝可知(cosα－sinα)2＝cos 2α－2sinαcosα＋sin 2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝.又∵<α<，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－.(3)∵α＝－＝－6×2π＋，∴f(-)＝cos(-)·sin(-)＝cos(-6)·sin(-6)＝cos ·sin ＝cos(2π－)·sin(2π－)＝cos ·＝·(-)＝－. 19. （12分）（2020·湖北武汉高一期末）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭； （2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米.20．（12分）【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos 3cos 2f x x x x x =-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；【答案】（1）π；（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【解析】（1）依题意，()211cos 231cos 3sin cos 2sin 222226x f x x x x x x +π⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭所以2T ωπ==π.（2）依题意，令222262k x k πππ-+π≤+≤+π，k ∈Z ， 解得36k x k ππ-+π≤≤+π，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππ⎡⎤=-+π+π⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.21. （12分）(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．【答案】（1）5314（2）4＋12335 【解析】 (1)∵α为锐角，sin α＝17， ∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.(2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335.22.（12分）已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合．【答案】（1）1 （2）{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}【解析】(1)因为f(x)＝sin 2x－(1－cos 2x)＝2sin(2x＋)－1，所以，当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数f(x)取得最大值1.(2)法一：由(1)及f(x)＝0得sin(2x＋)＝，所以2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}．法二：由f(x)＝0得2sin xcos x＝2sin2x，于是sin x＝0或cos x＝sin x即tan x＝. 由sin x＝0可知x＝kπ；由tan x＝可知x＝kπ＋.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}．。

人教A 版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知正实数 a ，b ，若 2(a +b )+1a +1b =6，z =a +b ，则 z 的取值范围是 ( ) A ． {z∣ 1≤z ≤2} B ． {z∣ 12≤z ≤2} C ． {z∣ 1≤z ≤4}D ． {z∣ z ≥4}2. 对于问题“已知关于 x 的不等式 ax 2+bx +c >0 的解集为 (2,5)，解关于 x 的不等式 cx 2+bx +a >0”，给出如下一种解法：由 ax 2+bx +c >0 的解集为 (2,5)，得 a (1x )2+b (1x )+c >0 的解集为 (15,12)，即关于 x 的不等式 cx 2+bx +a >0 的解集为 (15,12)．类比上述解法，若关于 x 的不等式 x+a x+b <0 的解集为 (1,3)，则关于 x 的不等式 1+alog x 31+blog x3<0 的解集为 ( )A ． (3,27)B ． (3,9)C ． (1,27)D ． (1,9)3. 若实数 x ，y 满足 x 2+y 2+xy =1，则 x +y 的最大值是 ( ) A ． 6 B ．2√33C ． 4D ． 234. 若不等式 ax 2+bx +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，则不等式 ax 2+(a +b )x +c −a <0 的解集为 ( ) A ． {x∣ x <−√3或x >√3} B ． {x∣ −3<x <1}C ． {x∣ −1<x <3}D ． {x∣ x <−3或x >1}5. 设 a >0，b >0 且 ab −(a +b )≥1，则 ( )A ． a +b ≥2(√2+1)B ． a +b ≤√2+1C ． a −b ≤(√2+1)2D ． a +b >2(√2+1)6. 设 a,b ∈R ，定义运算" ∧ "和" ∨ "如下：a ∧b ={a,a ≤b,b,a >b, a ∨b ={b,a ≤b,a,a >b. 若正数 a,b,c,d满足 ab ≥4，c +d ≤4，则 A ．a ∧b ≥2,c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2,c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2,c ∨d ≥27. 设 a >b >c >0，则 2a 2+1ab +1a (a−b )−10ac +25c 2 的最小值是 ( )A ． 2B ． 4C ． 2√5D ． 58. 已知 −π2<α<β<π2，则 α−β 的范围是 ( ) A ． ∣α−β∣<π2B ． ∣α−β∣<πC ． −π<α−β<0D ． −π2<α−β<09. 若不等式 ax 2+2x +c <0 的解集是 (−∞,−13)∪(12,+∞)，则不等式 cx 2+2x +a ≤0 的解集是 ( ) A ． [−12,13]B ． [−13,12]C ． [−2,3]D ． [−3,2]10. 若关于 x 的不等式 ax 2−(a +1)x +1<0(a ∈R ) 的解集为 (1a ,1)，则 a 的取值范围为( ) A ． a <0 或 a >1 B ． a >1 C ． 0<a <1 D ． a <0二、填空题（共6题）11. 已知正数 a ，b 满足 4a +b =30，使得 1a+4b 取最小值的实数对 (a,b ) 是 ．12. 已知 a >0，b >0，ab =9，则 a +3b 的最 值为 ．13. 已知 x >−1，则函数 y =(x+10)(x+2)x+1的最小值为 ．14. 已知 a +2b =1(a >0,b >0)，则 2b a+1b 的最小值等于 ．15. 若实数 x ，y 满足 xy =1，则 x 2+4y 2 的最小值为 ．16. 已知 a >0，b >0，且 3a+2+3b+2=1，则 a +2b 的最小值为 ．三、解答题（共6题）17. 已知 a >0，b >0，且 2a +b =1．求 S =2√ab −4a 2−b 2 的最大值．18.已知a>b>c，1a−b +1b−c≥na−c，求n的最大值．19.已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为{x∣ −13<x<12}，求a+c的值．20.物联网(Internet of Things，缩写：IoT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月占地费为y1（单位：万元），仓库到车站的距离为x（单位：千米），其中y1与x+1成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比．若在距离车站9千米处建仓库，则y1和y2分别为2和7.2．问这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少万元？21.如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直AN于点D，CB垂直AM于点B，∣CD∣=∣AB∣=3m，∣AD∣=∣BC∣=2m，设∣DN∣=x m，∣BM∣=y m．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．22.已知函数y=x2−x+m．(1) 当m=−2时，求不等式y>0的解集；(2) 若m>0，y<0的解集为{x∣ a<x<b}，求1a +4b的最小值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】由2(a+b)+1a +1b=(a+b)(2+1ab)=6，得a+b=62+1ab≤62+4(a+b)2，化简得(a+b)2−3(a+b)+2≤0，解得1≤a+b≤2，即z的取值范围为{z∣ 1≤z≤2}．【知识点】均值不等式的应用2. 【答案】A【解析】将关于x的不等式1+alog x31+blog x3<0变形可得1log x3+a1log x3+b<0，从而由条件可得1<1log x3<3．利用对数换底公式有1<log3x<3，即log33<log3x<log327，于是所求不等式的解集为(3,27)，故选A．【知识点】二次不等式的解法3. 【答案】B【解析】x2+y2+xy=1⇒(x+y)2−xy=1，因为xy≤(x+y2)2，当且仅当x=y时取等号，所以(x+y)2−(x+y2)2≤1，解得34(x+y)2≤1，所以−2√33≤x+y≤2√33，所以x+y的最大值是2√33．【知识点】均值不等式的应用4. 【答案】D【解析】由已知得方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=−2，x2=1，且a<0，所以ba =1，ca=−2．所以不等式ax2+(a+b)x+c−a<0可化为x2+(1+ba )x+ca−1>0，即x2+2x−3>0，解得x<−3或x>1．【知识点】二次不等式的解法5. 【答案】A【解析】由条件知 a +b ≤ab −1≤(a+b 2)2−1，令 a +b =t ，则 t >0 且 t ≤t 24−1，解得 t ≥2+2√2．【知识点】均值不等式的应用6. 【答案】C【解析】根据题意知，a ∧b 表示 a,b 中较小的，a ∨b 表示 a,b 中较大的，因为(a+b 2)2≥ab ≥4,所以a +b ≥4.又因为 a,b 为正数，所以 a,b 中至少有一个大于或等于 2，所以a ∨b ≥2.因为 c +d ≤4，c,d 为正数，所以 c,d 中至少有一个小于或等于 2，所以c ∧d ≤2. 【知识点】均值不等式的含义7. 【答案】B【解析】因为 a >b >c >0， 所以原式=a 2+1ab +1a (a−b )−10ac +25c 2+a 2=a 2−ab +1a (a−b )+ab +1ab+(a −5c )2≥2+2+0=4,当且仅当 a (a −b )=1，ab =1，a −5c =0，即当 a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立．故所求式子取得最小值 4． 【知识点】均值不等式的应用8. 【答案】C【解析】 −π2<α<π2，−π2<−β<π2由不等式的性质，所以 −π<α−β<π， 又 α<β，所以 −π<α−β<0，选C ． 【知识点】不等式的性质9. 【答案】D【知识点】二次不等式的解法10. 【答案】B【解析】不等式 ax 2−(a +1)x +1<0 可化为 (ax −1)(x −1)<0，由不等式 ax 2−(a+1)x+1<0的解集为(1a,1)，得a>0，方程(ax−1)(x−1)=0的两根为x1=1，x2=1 a ，且1a<1，所以a的取值范围为a>1．【知识点】二次不等式的解法二、填空题（共6题）11. 【答案】(154,15)【解析】因为正数a，b满足4a+b=30，所以1 a +4b=130(4a+b)(1a+4b)=130(8+ba+16ab)≥130(8+2√ba⋅16ab)=815.当且仅当b=4a=15时取等号，所以使得1a +4b取最小值的实数对(a,b)是(154,15)．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】小；6√3【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】16【解析】由x>−1得x+1>0，则y=[(x+1)+9][(x+1)+1]x+1=(x+1)2+10(x+1)+9x+1=(x+1)+9x+1+10≥2⋅√(x+1)⋅9x+1+10=6+10=16.当且仅当x+1=9x+1，即x=2或x=−4（舍去）时，等号成立，所以y min=16．【知识点】均值不等式的应用14. 【答案】2+2√2【解析】因为 a +2b =1， 所以2b a +1b =1−a a +1b =1a +1b −1，所以 1a +1b =(1a +1b )(a +2b )=3+2b a+a b ≥3+2√2b a ⋅ab =3+2√2，当且仅当 2b a =ab 时取等，所以2b a+1b=1a+1b−1≥3+2√2−1=2+2√2．故答案为：2+2√2． 【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】 4【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】 6√2+3【解析】由题意，设 z =a +2b +6=(a +2)+2(b +2)，又由[(a +2)+2(b +2)]⋅(3a+2+3b+2)=9+6(b+2)a+2+3(a+2)b+2≥9+2√6(b+2)a+2×3(a+2)b+2=9+6√2.当且仅当6(b+2)a+2=3(a+2)b+2时，即 a +2=√2(b +2) 时等号成立．即 z 的最小值为 9+6√2，所以 a +2b 的最小值是 6√2+3．【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】因为 a >0，b >0，2a +b =1，所以 4a 2+b 2=(2a +b )2−4ab =1−4ab ，且 1=2a +b ≥2√2ab ， 即 √ab ≤√24，ab ≤18，所以 S =2√ab −4a 2−b 2=2√ab −(1−4ab )=2√ab +4ab −1≤√2−12， 当且仅当 a =14，b =12 时，等号成立． 因此，当 a =14，b =12时，S 的最大值为√2−12． 【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】因为 a >b >c ，所以 a −b >0，b −c >0，a −c >0． 因为 1a−b +1b−c ≥na−c ， 所以 n ≤a−c a−b +a−c b−c．因为 a −c =(a −b )+(b −c )， 所以(a−b )+(b−c )a−b+(a−b )+(b−c )b−c=b−c a−b+a−b a−c+2≥2√b−c a−b⋅a−b b−c+2=4（当且仅当 2b =a +c 时取等号）， 所以 n ≤4，所以 n 的最大值是 4． 【知识点】均值不等式的应用19. 【答案】由 ax 2+2x +c >0 的解集为 {x∣ −13<x <12} 知 a <0，且 −13，12 为方程 ax 2+2x +c =0 的两个根， 由根与系数的关系得 −13+12=−2a ， −13×12=ca ，解得 a =−12，c =2， 所以 a +c =−10．【知识点】二次不等式的解法20. 【答案】设 y 1=kx+1(k ≠0)，y 2=mx (m ≠0)，其中 x >0，当 x =9 时，y 1=k 9+1=2，y 2=9m =7.2， 解得 k =20，m =0.8， 所以 y 1=20x+1，y 2=0.8x ， 设两项费用之和为 z 万元，则z=y 1+y 2=20x+1+0.8x =20x+1+0.8(x +1)−0.8≥2√20x+1×0.8(x +1)−0.8=7.2,当且仅当20x+1=0.8(x+1)，即x=4时，“=”成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元．【知识点】均值不等式的实际应用问题21. 【答案】由题意∠NCD=∠CMB⇒x3=2y⇒xy=6，S矩形AMPN=(x+2)(y+3)=xy+3x+2y+6=12+3x+2y≥12+2√3x⋅2y=24．当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．则这块矩形草坪AMPN面积的最小值为24m2．【知识点】均值不等式的应用22. 【答案】(1) 当m=−2时，y=x2−x+m=x2−x−2，所以当y>0时，x2−x−2>0，由x2−x−2=0，得x1=−1，x2=2，故不等式y>0的解集为{x∣ x<−1或x>2}．(2) 因为y<0的解集为{x∣ a<x<b}，所以a，b为方程x2−x+m=0的两个实数根，所以a+b=1，ab=m．因为m>0，所以a>0，b>0，所以1 a +4b=(1a+4b)(a+b)=ba+4ab+5≥2√ba⋅4ab+5=9,当且仅当ba =4ab，即a=13，b=23时，等号成立．故1a +4b的最小值为9．【知识点】二次不等式的解法、均值不等式的应用。

人教A 版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知关于 x 的不等式 (a 2−1)x 2−(a −1)x −1<0 的解集是 R ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,−35)∪(1,+∞)B ． (−35,1)C ． [−35,1]D ． (−35,1]2. 若不等式 ax 2−bx +c >0 的解集是 (−2,3)，则不等式 bx 2+ax +c <0 的解集是 ( ) A ． (−3,2)B ． (−2,3)C ． (−∞,−2)∪(3,+∞)D ． (−∞,−3)∪(2,+∞)3. 已知 a >0，b >0，a +b =2，则 1a +4b 的最小值为 ( ) A ． 72B ． 4C ． 92D ． 54. 若 2x +2y =1，则 x +y 的取值范围是 ( ) A ． [0,2] B ． [−2,0] C ． [−2,+∞)D ． (−∞,−2]5. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]6. 不等式 x 2−ax −12a 2<0(其中a <0) 的解集为 ( ) A ．(−3a,4a ) B ．(4a,−3a ) C ．(−3,4) D ．(2a,6a )7. 气象学院用 32 万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第 1 天开始连续使用，第 n 天的维修保养费为 4n +46(n ∈N ∗) 元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少）为止，则一共要使用 ( ) A ． 300 天 B ． 400 天 C ． 600 天 D ． 800 天8. 已知 x >0，y >0，x +2y +2xy =8，则 x +2y 的最小值是 A ． 3 B ． 4C ． 92D ．1129.若m2x−1mx+1<0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是( )A．{m∣ m<3}B．{m∣∣ m<−12}C．{m∣ m>2}D．{m∣ −2<m<3}10.已知集合A={x∣ x2−3x+2<0}，B={x∣ x(x−m)>0}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是( )A．{m∣ m≤0}B．{m∣ 0≤m≤2}C．{m∣ m≥2}D．{m∣ 0≤m≤1}二、填空题（共6题）11.不等式x2−x+1<0的解集为．12.设正实数x，y，z满足x2−xy+4y2−z=0，则当zxy 取得最小值时，2x+3y−6z的最大值为．13.二次函数y=x2−x−6的零点是．14.定义区间[a,b](a<b)的长度为b−a，若关于x的不等式x2−4x+m≤0的解集区间长度为2，则实数m的值为．15.已知集合A={x∣ x2−x−12<0}，集合B={x∣ x2+2x−8>0}，集合C={x∣ x2−4ax+3a2<0,a≠0}，若C⊇(A∩B)，则实数a的取值范围是．16.若不等式ax2+1x2+1≥2−3a3(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6题）17.求下列不等式的解集：(1) 13−4x2>0；(2) (x−3)(x−7)<0；(3) x2−3x−10>0；(4) −3x2+5x−4>0．18.已知a>0，b>0．(1) 求证：a3+b3≥a2b+ab2；(2) 若 a +b =3，求 1a +4b 的最小值．19. 已知 f (x )=(a −2)x 2+2(a −2)x −4(a ∈R )．(1) 当 x ∈R 时，恒有 f (x )<0，求 a 的取值范围；(2) 当 x ∈(1,3) 时，不等式 f (x )<mx −7(m ∈R ) 恰好成立，求 a ，m 的值．20. 阅读：已知 a,b ∈(0,+∞)，a +b =1，求 y =1a+2b 的最小值．解法如下：y =1a +2b =(1a +2b )(a +b )=b a +2a b+3≥3+2√2，当且仅当 ba =2a b，即 a =√2−1，b =2−√2 时取到等号，则 y =1a+2b 的最小值为 3+2√2． 应用上述解法，求解下列问题：(1) 已知 a,b,c ∈(0,+∞)，a +b +c =1，求 y =1a+1b+1c的最小值；(2) 已知 x ∈(0,12)，求函数 y =1x +81−2x 的最小值；(3) 已知正数 a 1，a 2，a 3，⋯，a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1，求证：S =a 12a1+a 2+a 22a2+a 3+a 32a 3+a 4+⋯+a n2an +a 1≥12．21. 请回答下列问题：(1) 已知 x >0，y >0，xy =4，求 2x +1y 的最小值； (2) 已知 x >0，y >0，x +2y =2，求 2x +1y 的最小值．22. 不等式性质(1) 如果 a >b >0，那么 a n >b n （n ∈N ∗，且 n >1）．本性质根据 n 为奇数或偶数时，可以怎样的推广？ (2) 如果 a >b >0，那么 （n ∈N ∗，且 n >1）． (3) 如果 a >b 且 ab >0，那么 1a 1b ． (4) 如何理解上述性质？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】当 a =1 时，不等式为 −1<0，恒成立，满足题意； 当 a =−1 时，不等式为 2x −1<0，解得 x <12，不满足题意；当 a ≠±1 时，由 (a 2−1)x 2−(a −1)x −1<0 的解集为 R ， 可知 {a 2−1<0,[−(a −1)]2+4(a 2−1)<0,解得 −35<a <1． 综上，−35<a ≤1． 【知识点】二次不等式的解法2. 【答案】D【解析】不等式 ax 2−bx +c >0 的解集是 (−2,3)， 所以方程 ax 2−bx +c =0 的解是 −2 和 3，且 a <0； 即 {−2+3=ba ,−2×3=c a ,解得 b =a ，c =−6a ；所以不等式 bx 2+ax +c <0 化为 ax 2+ax −6a <0， 即 x 2+x −6>0， 解得 x <−3 或 x >2，所以所求不等式的解集是 (−∞,−3)∪(2,+∞)． 【知识点】二次不等式的解法3. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用4. 【答案】D【解析】因为 2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y （当且仅当 2x =2y 时等号成立）， 所以 √2x+y ≤12，所以 2x+y ≤14，得 x +y ≤−2． 【知识点】均值不等式的应用5. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x2+mx+1>0的解集为R，∴△=m2−4<0，解得−2<m<2．∴m的取值范围是(−2，2)．故选：B．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．6. 【答案】B【知识点】二次不等式的解法7. 【答案】B【解析】使用n天的平均耗资为320000+(50+4n+46)n2n=320000n+2n+48（元），当且仅当320000n=2n时取得最小值，此时n=400．【知识点】均值不等式的应用8. 【答案】B【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】B【解析】依题意，对任意的x≥4，有y=(mx+1)⋅(m2x−1)<0恒成立，结合图象（图略）分析可知{m<0,−1m<4,1m2<4,由此解得m<−12，即实数m的取值范围是{m∣∣ m<−12}．【知识点】恒成立问题10. 【答案】C【解析】集合A={x∣ 1<x<2}，若m<0，则集合B={x∣ x<m或x>0}，不满足A∩B=∅，舍去；若m=0，则B={x∣ x≠0}，不满足A∩B=∅，舍去；若m>0，则B= {x∣ x<0或x>m}，要使A∩B=∅，则m≥2，综上可得m的取值范围是{m∣ m≥2}，故选C．【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算二、填空题（共6题）11. 【答案】∅【知识点】二次不等式的解法12. 【答案】4【解析】由已知z=x2−xy+4y2，得zxy =x2−xy+4y2xy=xy+4yx−1≥2√xy⋅4yx−1=3，当且仅当xy =4yx，即x=2y时等号成立，则z=6y2，2x +3y−6z=22y+3y−66y2=4y−(1y)2，当1y=2时，取最大值4．【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】−2，3【解析】方法一：令x2−x−6=0．因为Δ=(−1)2−4×1×(−6)=25>0，所以方程x2−x−6=0有两个不相等的实数根，x1=−2，x2=3．所以函数y=x2−x−6的零点是x1=−2，x2=3．方法二：由x2−x−6=(x−3)(x+2)=0，得x1=−2，x2=3．所以函数y=x2−x−6的零点是x1=−2，x2=3．方法三：作出函数y=x2−x−6的图象，如图所示．因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且f(0)=−6<0，所以函数y=x2−x−6的图象与x轴有两个交点A(−2,0)，B(3,0)，故y=x2−x−6的零点是x1=−2，x2=3．【知识点】函数零点的概念与意义14. 【答案】3【知识点】二次不等式的解法15. 【答案】43≤a≤2【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】{a∣ a≥19}【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) {x∣∣∣−√132<x<√132}．(2) {x∣ 3<x<7}．(3) {x∣ x<−2或x>5}．(4) ∅．【知识点】二次不等式的解法18. 【答案】(1) 因为a>0，b>0，所以a3+b3−a2b−ab2=a2(a−b)+b2(b−a)=(a2−b2)(a−b)=(a−b)2(a+b)≥0,所以a3+b3≥a2b+ab2．(2) 因为a>0，b>0，a+b=3，所以1 a +4b=13(a+b)(1a+4b)=13(5+ba+4ab)≥13(5+2√ba⋅4ab) =3,当且仅当ba =4ab，即a=1，b=2时取等号，所以1a +4b的最小值为3．【知识点】均值不等式的应用、不等式的性质19. 【答案】(1) a∈(−2,2]．(2) 将原不等式整理变形，可得(a−2)x2+(2a−4−m)x+3<0，则该不等式在1<x<3时恰好成立．不妨设g(x)=(a−2)x2+(2a−4−m)x+3，可知{a>2,g(1)=0, g(3)=0.所以 a =3，m =6．【知识点】二次函数的性质与图像、二次不等式的解法20. 【答案】(1)y =1a +1b +1c=(1a +1b +1c )(a +b +c )=3+(ba +ab +ca +ac +cb +bc),而 ba +ab +ca +ac +cb +bc ≥6，当且仅当 a =b =c =13 时取到等号，则 y ≥9， 即 y =1a+1b+1c的最小值为 9．(2)y =22x +81−2x=(22x +81−2x )⋅(2x +1−2x )=10+2⋅1−2x 2x+8⋅2x1−2x ,而 x ∈(0,12)，2⋅1−2x 2x+8⋅2x1−2x ≥2√16=8，当且仅当 2⋅1−2x 2x =8⋅2x1−2x ，即 x =16∈(0,12) 时取到等号，则 y ≥18，所以函数 y =1x+81−2x的最小值为 18．(3) 2S=(a 12a1+a 2+a 22a2+a 3+⋯+a n2an +a 1)[(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+⋯+(a n +a 1)]=(a 12+a 22+⋯+a n 2)+a 12a1+a 2⋅(a 2+a 3)+a 22a2+a 3⋅(a 1+a 2)+⋯+a n2an +a 1⋅(a 1+a 2)+a 12a1+a 2⋅(a n +a 1)≥(a 12+a 22+⋯+a n 2)+(2a 1a 2+2a 2a 3+⋯+2a n a 1)=(a 1+a 2+⋯+a n )2=1.当且仅当 a 1=a 2=⋯=a n =1n时取到等号，则 S ≥12．【知识点】均值不等式的应用21. 【答案】(1) 因为 xy =4，且 x >0，y >0， 所以 2x +1y ≥2√2xy =2√12=√2， 当且仅当 x =2√2，y =√2 时取等号，即 2x+1y的最小值为 √2．(2) 因为 x >0，y >0，x +2y =2， 所以 2(2x +1y )=(x +2y )(2x +1y )=4+4y x+xy ≥4+4=8，所以 2x +1y ≥4， 当且仅当4y x=xy ，即 x =2y =1 时取等号，即 2x +1y 的最小值为 4． 【知识点】均值不等式的应用22. 【答案】(1) 当 n 为奇数时，如果 a >b ，那么 a n >b n （n ∈N ∗，n 为奇数）；当 n 为偶数时，如果 a >b >0，那么 a n >b n ，如果 0>a >b ，那么 a n <b n （n ∈N ，n 为偶数）． (2) √a n>√b n(3) <(4) 上述性质称为倒数的性质，注意 ab <0 时，此性质不成立（此时 1a >1b ）． 【知识点】不等式的性质。

人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知不等式 ax 2−x +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，则函数 y =ax 2+x +c 的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．2. 已知函数 f (x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=x (x −1)，则 f (2)= ( ) A ． −6 B ． 6 C ． −2 D ． 23. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 a,b,c ∈R ，则下列命题正确的是 ( ) A ．若 ab ≠0 且 a <b ，则 1a >1b B ．若 a >b >0，则b+1a+1>baC ．若 a +b =2，则 ab <1D ．若 c <b <a 且 ac <0，则 cb 2<ab 24. 定义全集 U 的子集 A 的特征函数 f A (x )={1,x ∈A0,x ∉A ，对于任意的集合 A,B ⊆U ，下列说法错误的是 ( )A ．若 A ⊆B ，则 f A (x )≤f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立B ． f A∩B (x )=f A (x )f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立C ． f A∪B (x )=f A (x )+f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立D ．若 A =∁U B ，则 f A (x )+f B (x )=1，对于任意的 x ∈U 成立5. 已知 −π2<α<0，sinα+cosα=15，则 1cos 2α−sin 2α= ( )A ． 75B ．257C ．725D ．24256. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]7. 设 a ，b ，c 是实数，下列条件中可以推出“a =b ”的是 ( ) A ．1a=1bB ． a 2=b 2C ． ac =bcD ． a −c =c −b8. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：f (x −2) 的对称轴为 x =2，f (x +1)=4f (x )(f (x )≠0)，且 f (x ) 在区间 (1,2) 上单调递增，已知 α，β 是钝角三角形中的两锐角，则 f (sinα) 和 f (cosβ) 的大小关系是 ( ) A ． f (sinα)>f (cosβ) B ． f (sinα)<f (cosβ) C ． f (sinα)=f (cosβ)D ．以上情况均有可能9. 若函数 f (x ) 为定义在 D 上的单调函数，且存在区间 [a,b ]⊆D ，使得当 x ∈[a,b ] 时，f (x ) 的取值范围恰为 [a,b ]，则称函数 f (x ) 是 D 上的正函数．若函数 g (x )=x 2+m 是定义在 (−∞,0) 上的正函数，则实数 m 的取值范围为 ( ) A ． (−54,−1) B ． (−54,−34) C ． (−1,−34)D ． (−34,0)10. 定义函数 [x ] 为不大于 x 的最大整数，对于函数 f (x )=x −[x ] 有以下四个结论：① f (2019.67)=0.67；②在每一个区间 [k,k +1)，k ∈Z 上，f (x ) 都是增函数； ③ f (−15)<f (15)；④ y =f (x ) 的定义域是 R ，值域是 [0,1)．其中正确的个数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题（共6题）11. 关于函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣，给出以下四个命题：（1）当 x >0 时，y =f (x ) 单调递减且没有最值；（2）方程 f (x )=kx +b (k ≠0) 一定有实数解；（3）如果方程 f (x )=m ，（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；（4）y =f (x ) 是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ．12. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．13. 给出下列四个命题：① f (x )=sin (2x −π4) 的对称轴为 x =kπ2+3π8，k ∈Z ；②函数 f (x )=sinx +√3cosx 的最大值为 2； ③ ∀x ∈(0,π)，sinx >cosx ；④函数 f (x )=sin (π3−2x) 在区间 [0,π3] 上单调递增． 其中正确命题的序号为 ．14. 设函数 f (x )=sin2x +2cos 2x ，则函数 f (x ) 的最小正周期为 ；若对于任意 x ∈R ，都有f (x )≤m 成立，则实数 m 的最小值为 ．15. 若对任意 x >3，x >a 恒成立，则 a 的取值范围是 ．16. 若 log a (a +1)<log a (2√a)<0（a >0 且 a ≠1），则实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 求下列函数的定义域与值域．(1) y =21x−1；(2) y =3√5x−1； (3) y =(12)x−1．18. 已知函数 f (x )=2x +2−x ．(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 设a∈R，求关于x的函数y=22x+2−2x−2af(x)在x∈[0,+∞)时的值域g(a)的表达式；(3) 若关于x的不等式mf(x)≤2−x+m−1在x∈(0,+∞)时恒成立，求实数m的取值范围．19.定义：若函数f(x)的定义域为R，且存在实数a和非零实数k（a，k都是常数），使得f(2a−x)=k⋅f(x)对x∈R都成立，则称函数f(x)是具有“理想数对(a,k)”的函数．比如，函数f(x)有理想数对(2,−1)，即f(4−x)=−f(x)，f(4−x)+f(x)=0，可知函数图象关于点(2,0)成中心对称图形．设集合M是具有理想数对(a,k)的函数的全体．(1) 已知函数f(x)=2x−1，x∈R，试判断函数f(x)是否为集合M的元素，并说明理由；(2) 已知函数g(x)=2x，x∈R，证明：g(x)∉M；(3) 数对(2,1)和(1,−1)都是函数ℎ(x)的理想数对，且当−1≤x≤1时，ℎ(x)=1−x2．若正比例函数y=mx(m>0)的图象与函数ℎ(x)的图象在区间[0,12]上有且仅有5个交点，求实数m的取值范围．20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，∣φ∣<π2）的部分图象如图所示．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 设π12<x<11π12，且方程f(x)=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．21.某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？22.化简1−cos4α−sin4α．1−cos6α−sin6α答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】因为 不等式 ax 2−x +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}， 所以 a <0，故 x 2−1ax +ca<0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，所以 −2 和 1 是方程 x 2−1ax +c a=0 的两个根，故 −2+1=1a，−2×1=ca，解得 a =−1，c =2．故函数 y =ax 2+x +c =−x 2+x +2=−(x +1)(x −2)，其图象大致为 C ． 【知识点】二次函数的性质与图像2. 【答案】A【知识点】函数的奇偶性3. 【答案】B【解析】对于A ，取 a =−2，b =1，可知1a>1b不成立，因此选项A 不正确；对于B ，因为 a >b >0，所以 b+1a+1−ba =a−ba (a+1)>0，所以 b+1a+1>ba ，因此选项B 正确； 对于C ，取 a =b =1 时，ab =1，因此选项C 不正确； 对于D ，取 b =0 时，cb 2<ab 2 不正确，因此选项D 不正确． 【知识点】不等式的性质4. 【答案】C【知识点】函数的表示方法5. 【答案】B【解析】因为 sinα+cosα=15， 所以 1+2sinαcosα=125，所以 2sinαcosα=−2425，(cosα−sinα)2=1+2425=4925，又因为 −π2<α<0， 所以 cosα>0>sinα， 所以 cosα−sinα=75， 所以1cos 2α−sin 2α=1(cosα+sinα)(cosα−sinα)=115×75=257.故选B ．【知识点】同角三角函数的基本关系6. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．7. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件8. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性9. 【答案】C【解析】因为函数 g (x )=x 2+m 是定义在 (−∞,0) 上的正函数，所以存在 a <b <0，使得当 x ∈[a,b ] 时，g (x )∈[a,b ]，且函数单调递减， 则 g (a )=b ，g (b )=a ， 即 a 2+m =b ，b 2+m =a ， 两式左右分别相减得 a 2−b 2=b −a ， 即 b =−(a +1)，代入 a 2+m =b 得 a 2+a +m +1=0， 因为 a <b <0，且 b =−(a +1)， 所以 a <−(a +1)<0， 解得 −1<a <−12．故关于 a 的方程 a 2+a +m +1=0 在区间 (−1,−12) 内有实数根，把新定义的正函数问题转化为方程有解问题，采用了转化与化归思想．记 ℎ(a )=a 2+a +m +1，则 ℎ(−1)=1−1+m +1>0 且 ℎ(−12)=14−12+m +1<0，解得 m >−1 且 m <−34，即 −1<m <−34． 【知识点】函数的单调性、抽象函数10. 【答案】C【解析】 f (2019.67)=2019.67−2019=0.67，故①正确；设 k ≤x 1≤x 2<k +1，则 f (x 1)−f (x 2)=x 1−k −x 2+k =x 1−x 2<0， 所以 f (x 1)<f (x 2)，所以 f (x ) 在 [k,k +1)，k ∈Z 上是增函数，故②正确； 因为 f (−15)=−15−(−1)=45，f (15)=15−0=15，所以 f (−15)>f (15)，故③错误； 因为 x −[x ]∈[0,1)， 所以④正确． 故选C ．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的单调性二、填空题（共6题） 11. 【答案】（1）、（3）【解析】（1）当 x >1 时，y =f (x )=xx−1=1+1x−1 在区间 (1,+∞) 上是单调递减函数，当 0<x <1 时，y =f (x )=−xx−1=−1−1x−1 在区间 (0,1) 上是单调增函数．所以（1）是假命题． （2）函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，当 x >0 时，y =f (x ) 在区间 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减．当 k >0 时，函数 y =f (x ) 与 y =kx 的图象在第一象限内有交点，由对称性可知，当 x <0 且 k <0 时，函数 y =f (x ) 与 y =kx 的图象在第二象限内有交点．所以，方程 f (x )=kx +b (k ≠0) 一定有解．所以（2）是真命题．（3）因为函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，且最小值 f (0)=0，举例：当 m =0 时，函数 y =f (x ) 与 y =m 的图象只有一个交点．此时方程 f (x )=m 的解是奇数．所以（3）是假命题． （4）函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，y =f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 在区间 (0,1) 上单调递增，(1,+∞) 上单调递减．且 f (0)=0,x >0 时，f (x )>0 恒成立，由对称性可知，函数 f (x ) 有最小值 f (0)=0．所以( 4 )是真命题．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、函数的单调性12. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞)上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点， 所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点； ② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点， 综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布13. 【答案】①②【解析】① y =sinx 的对称轴为 x =kπ+π2(k ∈Z )，故 f (x )=sin (2x −π4) 的对称轴由 2x −π4=kπ+π2(k ∈Z )，解得 x =kπ2+3π8(k ∈Z )，故①正确；②函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，故该函数的最大值为2，故②正确；③ ∀x∈(0,π)，sinx>cosx；当x=π4时，sinx=cosx，故③错误；④函数f(x)=sin(π3−2x)在区间[0,π3]上单调递减，故④错误．故答案为：①②．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】π；√2+1【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】a≤3【知识点】恒成立问题16. 【答案】(14,1)【解析】当0<a<1时，函数y=log a x单调递减，由题意得{a+1>2√a,2√a>1,解得a>14，所以14<a<1；当a>1时，函数y=log a x单调递增，由题意得{a+1<2√a,2√a<1,无解．综上可知，实数a的取值范围是(14,1)．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由x−1≠0，得x≠1．所以函数的定义域为{x∣ x∈R且x≠1}．又1x−1≠0，所以21x−1>0，且21x−1≠1．所以函数的值域为{y∣ y>0且,y≠1}．(2) 由5x−1≥0，得x≥15．所以函数的定义域为{x∣ x≥15}．因为 5x −1≥0，所以 3√5x−1≥1．所以函数的值域为 {y∣ y ≥1}．(3) y =(12)x−1 的定义域是 R ，值域是 {y∣ y >−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法、函数的值域的概念与求法18. 【答案】(1) 函数 f (x ) 的定义域为 R ，对任意 x ∈R ，f (−x )=2−x +2x =f (x )， 所以函数 f (x ) 是偶函数．(2) y =22x +2−2x −2a (2x +2−x )=(2x +2−x )2−2a (2x +2−x )−2， 令 2x +2−x =t ，因为 x ≥0，所以 2x ≥1，故 t ≥2， 原函数可化为 y =t 2−2at −2，t ∈[2,+∞)，y =t 2−2at −2=(t −a )2−a 2−2 图象的对称轴为直线 t =a ，当 a ≤2 时，函数 y =t 2−2at −2 在 t ∈[2,+∞) 时是增函数，值域为 [2−4a,+∞)；当 a >2 时，函数 y =t 2−2at −2 在 t ∈[2,a ] 时是减函数，在 t ∈[a,+∞) 时是增函数，值域为 [−a 2−2,+∞)．综上，g (a )={[2−4a,+∞),a ≤2[−a 2−2,+∞),a >2．(3) 由 mf (x )≤2−x +m −1 得 m [f (x )−1]≤2−x −1，当 x >0 时，2x >1，所以 f (x )=2x +2−x >2，所以 f (x )−1>1>0， 所以 m ≤2−x −1f (x )−1=2−x −12x +2−x −1=1−2x 22x +1−2x恒成立．令 t =1−2x ，则 t <0，1−2x 22x +1−2x=t (1−t )2+t=t t 2−t+1=1t+1t−1，由 t <0 得 t +1t≤−2，所以 t +1t−1≤−3，−13≤1t+1t−1<0．所以 m ≤−13，即 m 的取值范围为 (−∞,−13]．【知识点】函数的奇偶性、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法19. 【答案】(1) 依据题意，知 f (x )=2x −1，若 f (2a −x )=k ⋅f (x )，即 2(2a −x )−1=k (2x −1)． 化简得 −2x +4a −1=2kx −k ，此等式对 x ∈R 都成立，则 {2k =−2,4a −1=−k,解得 {k =−1,a =12.于是，函数 f (x )=2x −1 有理想数对 (12,−1)．所以，函数 f (x )∈M ． (2) 用反证法证明 g (x )∉M ． 假设 g (x )∈M ，则存在实数对 (a,k )(k ≠0) 使得 g (2a −x )=k ⋅g (x ) 成立． 又 g (x )=2x ，于是，22a−x =k ⋅2x ， 即 22a =k ⋅22x ．一方面，此等式对 x ∈R 都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随 x 变化而变化的实数．两方面互相矛盾，故假设不成立．因此，函数 g (x ) 不存在理想数对 (a,k )(k ≠0) 使 g (x )∈M ， 即 g (x )∉M ．(3) 因为数对 (2,1) 和 (1,−1) 都是函数 ℎ(x ) 的理想数对， 所以 ℎ(4−x )=ℎ(x )，ℎ(2−x )=−ℎ(x )，x ∈R ， 所以ℎ(4+x )=ℎ(4−(4+x ))=ℎ(2−(2+x ))=−ℎ(2+x )=−ℎ(4−(2−x ))=−ℎ(2−x )=ℎ(x ).所以函数 ℎ(x ) 是以 4 为周期的周期函数．由 ℎ(2−x )=−ℎ(x )，ℎ(2−x )+ℎ(x )=0，x ∈R ，可知函数 ℎ(x ) 的图象关于点 (1,0) 成中心对称图形．又 −1≤x ≤1 时，ℎ(x )=1−x 2，所以 1<x ≤3 时，−1≤2−x <1，则 ℎ(x )=−ℎ(2−x )=(2−x )2−1．先画出函数 ℎ(x ) 在 [−1,3] 上的图象，再根据周期性，可得到函数 ℎ(x ) 的图象如图： 所以 ℎ(x )={1−(x −2k )2,k 为偶数,2k −1≤x <2k +1(x −2k )2−1,k 为奇数,2k −1≤x <2k +1，所以 ℎ(x )=1−(x −8)2，7≤x ≤9；ℎ(x )=1−(x −12)2，11≤x ≤13．由 {ℎ(x )=1−(x −8)2,y =mx (7≤x ≤9) 有且仅有一个交点，解得 m =16−6√7（m =16+6√7，舍去）．由 {ℎ(x )=1−(x −12)2,y =mx (11≤x ≤13) 有且仅有一个交点，解得 m =24−2√143（m =24+2√143，舍去）．所以函数 y =mx (m >0) 的图象与函数 ℎ(x ) 的图象在区间 [0,12] 上有且仅有 5 个交点时，实数 m 的取值范围是 24−2√143<m <16−6√7．【知识点】恒成立问题、函数的零点分布、反证法、函数的周期性20. 【答案】(1) 由函数图象知，A =2．因为图象过点 (0,1)，所以 f (0)=1，所以 sinφ=12． 又因为 ∣φ∣<π2，所以 φ=π6． 由函数图象知T 2=2π3−π6=π2，所以 T =π，得 ω=2．所以函数 f (x ) 的解析式为 f (x )=2sin (2x +π6)．(2) 由（1）知，函数 y =2sin (2x +π6)，若 π12<x <11π12，在原图中标出 (π12,√3) 和 (11π12,0)，如图所示： 当 −2<m <0 或 √3<m <2 时，直线 y =m 与曲线 y =2sin (2x +π6) 有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根． 所以 m 的取值范围为 (−2,0)∪(√3,2)． 由对称性可知，当 −2<m <0 时，两根和为 4π3；当 √3<m <2 时，两根和为 π3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】设矩形的一边长为 x ，广告牌面积为 S ，则 S =−(x −l 4)2+l 216，x ∈(0,l 2)． 当 x =l4 时，S 取得最大值，且 S max =l 216，所以当广告牌是边长为 l4 的正方形时，广告牌的面积最大．【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】 1−cos 4α−sin 4α1−cos 6α−sin 6α=(sin 2α+cos 2α)2−cos 4α−sin 4α(sin 2α+cos 2α)3−cos 6α−sin 6α=2sin 2αcos 2α3sin 4αcos 2α+3sin 2αcos 4α=2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α=23.【知识点】同角三角函数的基本关系。

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 f (x ) 是定义在 R 上的周期函数，周期 T =4，对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，且当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1，若在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (1,2)B ． (2,+∞)C ． (1,√43)D ． (√43,2)2. 已知 log x 3=3，log y 7=6，z =717，则实数 x ，y ，z 的大小关系是 ( ) A ． x <z <y B ． z <x <y C ． x <y <z D ． z <y <x3. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：①f (x )+f (2−x )=0；②f (x −2)=f (−x )；③ 当 x ∈[−1,1] 时，f (x )={√1−x 2,x ∈[−1,0]cos (π2x),x ∈(0,1]；则函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 ( ) A ． 5B ． 6C ． 7D ． 84. 在同一坐标系中函数 y =2−x 与 y =log 2x 的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．5. 设 a 是函数 f (x )=2x −log 12x 的零点，若 x 0>a ，则 f (x 0) 满足 ( )A ． f (x 0)=0B ． f (x 0)>0C ． f (x 0)<0D ．以上都有可能6. 在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线 y =f (x )，另一种是平均价格曲线 y =g (x )，如 f (2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元；g (2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元，下面给出了四个图象，实线表示 y =f (x )，虚线表示 y =g (x )，其中可能正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．7. 已知偶函数 f (x ) 的定义域为 R ，对 ∀x ∈R ，f (x +2)=f (x )+f (1)，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2(x −3)2，若函数 F (x )=log a (∣x∣+1)−f (x )(a >0,a ≠1) 在 R 上恰有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√55)B ． (√55,√33)C ． (√55,1)D ． (√33,1)8. 方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在区间 [−2,4] 上的根必定在 ( ) A ． [−2,1] 内 B ． [52,4] 内C ． [1,74] 内D ． [74,52] 内9. log 212 的值为 ( ) A ． √2B ． −√2C ． 1D ． −110. 若 log a b +3log b a =132，则用 a 表示 b 的式子为 ( )A ． b =a 6B ． b =√aC ． b =a 6 或 b =√aD ． b =a 6 且 b =√a二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={log 2x,x >04x ,x ≤0，若函数 g (x )=f (x )−k 存在两个零点，则实数 k 的取值范围是 ．12. 函数 f (x )=log a (x −2)+1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标是 ．13. 若正数 a ，b 满足 log 2a =log 5b =lg (a +b )，则 1a +1b 的值为 ．14. 对于实数 a 和 b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a (a −b )3,a ≤bb (b −a )3,a >b，设 f (x )=(2x–1)∗(x–1)，若函数 g (x )=f (x )−mx 2(m ∈R ) 恰有三个零点 x 1，x 2，x 3，则 m 的取值范围是 ；x 1x 2x 3 的取值范围是 ．15. 函数 f (x )=log a (x +2)+3（a >0，且 a ≠1）的图象恒过定点 ．16. 如果函数 y =lg (x 2−ax +1) 的值域为 R ，那么实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52，54，58，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 f (x )=ax 2+bx +c ，乙选择了模型 y =p ⋅q x +r ，其中 y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数，结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 66，82，115．(1) 你认为谁选择的模型较好？（需说明理由）(2) 至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过 2000 人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．18. 若存在常数 k (k >0)，使得对定义域 D 内的任意 x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立，则称函数 f (x ) 在其定义域 D 上是“k − 利普希兹条件函数”． (1) 若函数 f (x )=√x (1≤x ≤4) 是“k − 利普希兹条件函数”，求常数 k 的取值范围； (2) 判断函数 f (x )=log 2x 是否是“2− 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3) 若 y =f (x )(x ∈R ) 是周期为 2 的“1− 利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 x 1，x 2，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤1．19. 求下列函数的零点：(1) f (x )=−x 2−4x −4 (2) f (x )=(x−1)(x 2−4x+3)x−3(3) f (x )=2x +x −1 (4) f (x )=log 3(x +1)20. 零点存在定理一般地，如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a )⋅f (b )<0，那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ，使得 f (c )=0，即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点．如何理解零点存在性？21. 计算：(1) (−78)0+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5．(2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2．22. 已知 f (x )=log a (a x −1)（a >0 且 a ≠1）．(1) 求证：函数 y =f (x ) 的图象在 y 轴的一侧； (2) 求证：函数 y =f (x ) 在定义域上是增函数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，所以函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，因为在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实数解， 所以函数 y =f (x ) 与 y =log a (x +2) 在区间 (−2,6] 上有三个不同的交点， 因为当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1， 故函数图象如图所示， 又 f (−2)=f (2)=f (6)=3， 则有 log a 4<3，且 log a 8>3，解得 √43<a <2．故 a 的取值范围是 (√43,2)．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的零点分布2. 【答案】D【解析】因为 log x 3=3，所以 x =313，同理可得：y =716=(√7)13， 因为函数 y =7x为单调增函数，且 16>17，故 716>717，即 z >y ，因为函数 y =x 13为单调增函数，且 3>√7， 所以 313>(√7)13，即 x >y ， 所以综上，x >y >z ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】A【解析】由 ①f (x )+f (2−x )=0， 可得 f (x ) 的图象关于点 (1,0) 对称，由 ②f (x −2)=f (−x )，可得 f (x ) 的图象关于直线 x =−1 对称， 作出 f (x ) 在 [−1,1] 的图象，再由对称性，作出 f (x ) 在 [−3,3] 的图象， 作出函数 y =(12)∣x∣在 [−3,3] 的图象，由图象观察可得它们故有 5 个交点，即有函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 5．【知识点】函数的零点分布4. 【答案】A【解析】因为 y =2−x 为减函数，y =log 2x 在 (0,+∞) 上为增函数． 【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】B【解析】画出 y =2x 与 y =log 12x 的图象（图略），可知当 x 0>a 时，2x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0．【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】B【解析】令 x =−1，则 f (1)=f (−1)+f (1)=2f (1)，所以 f (1)=0， 所以 f (x +2)=f (x )，即函数的周期为 2．若 F (x )=f (x )−log a (∣x∣+1) 恰有 6 个零点，则 0<a <1， 则 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 有 6 个不同的交点，因为 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 均为偶函数且 f (0)=f (2)=−2≠0=log a (∣x∣+1)， 故 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上有三个不同的交点． 画出函数 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 的图象如下图所示，由图可知： f (2)=−2=log a 3，得 a =√33，f (4)=−2=log a 5，得 a =√55， a ∈(√55,√33)．（或 {f (2)<log a 3,f (4)>log a 5即 {−2<log a 3,−2>log a 5, 故 a ∈(√55,√33)）【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【解析】令 f (x )=x 3−2x 2+3x −6， 因为 f (−2)=−28<0，f (4)=38>0，且 f (−2+42)=f (1)=−4<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,4] 内． 又 f (1+42)=f (52)=378>0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,52] 内． 又 f (1+522)=f (74)=−9764<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [74,52] 内，即方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在 [−2,4] 上的根在 [74,52] 内． 【知识点】零点的存在性定理9. 【答案】D【解析】 log 212=log 22−1=−1．【知识点】对数的概念与运算10. 【答案】C【解析】由 log a b +3log b a =132 得 log a b +3logab=132，即 2(log a b )2−13log a b +6=0，解得 log a b =6 或 log a b =12，所以 b =a 6 或 b =√a ． 【知识点】对数的概念与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】0<k≤1【解析】由g(x)=f(x)−k=0，得f(x)=k，令y=k与y=f(x)，作出函数y=k与y=f(x)图象如图：当x≤0时，0<f(x)≤1；当x>0时，f(x)∈R．所以要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点，则k∈(0,1]．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】(3,1)【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】1【解析】设log2a=log5b=lg(a+b)=k，所以a=2k，b=5k，a+b=10k，所以ab=10k，所以a+b=ab，则1a +1b=1．【知识点】对数函数及其性质14. 【答案】{14}；{0}【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布、分段函数15. 【答案】(−1,3)【解析】本题考查对数函数的图象．当x+2=1时，x=−1，f(−1)=log a(−1+2)+3=3，所以函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(−1,3)．【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】由题意知x2−ax+1应能取到大于0的一切实数，因此g(x)=x2−ax+1应与x轴有交点，所以Δ=a2−4≥0．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由题意，把 x =1,2,3 代入 f (x ) 得：{a +b +c =52,4a +2b +c =54,9a +3b +c =58,解得 a =1，b =−1，c =52，所以 f (x )=x 2−x +52，所以 f (4)=42−4+52=64，f (5)=52−5+52=72，f (6)=62−6+52=82， 则 ∣f (4)−66∣=2，∣f (5)−82∣=10，∣f (6)−115∣=33； 把 x =1,2,3 代入 y =g (x )=p ⋅q x +r ，得：{pq +r =52,pq 2+r =54,pq 3+r =58,解得 p =1，q =2，r =50，所以 g (x )=2x +50，所以 g (4)=24+50=66，g (5)=25+50=82，g (6)=26+50=114， 则 ∣g (4)−66∣=0，∣g (5)−82∣=0，∣g (6)−115∣=1．因为 g (4)，g (5)，g (6) 更接近真实值，所以应将 y =2x +50 作为模拟函数．(2) 令 2x +50>2000，解得 x >log 21950≈10.9， 所以至少经过 11 个月患该传染病的人数将会超过 2000 人．【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 由题意得：对任意 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2，都有 ∣∣√x 1−√x 2∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立， 所以 k ≥√x +√x ．因为 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2， 所以√x +√x <12，所以常数 k 的取值范围是 [12,+∞)．(2) 取 x 1=18，x 2=1，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=3，而 2∣∣x 1−x 2∣=74， 所以 x 1=18，x 2=1 不满足 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2∣∣x 1−x 2∣， 所以函数 f (x )=log 2x 不是“2− 利普希兹条件函数”．(3) 若 x 1,x 2∈[0,2]，①当 ∣x 1−x 2∣≤1 时，∣f (x 1)−f (x 2)∣≤∣x 1−x 2∣≤1， ②当 ∣x 1−x 2∣>1 时，设 0≤x 1<1<x 2≤2，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣f (x 1)−f (0)+f (2)−f (x 2)∣≤∣f (x 1)−f (0)∣+∣f (2)−f (x 2)∣≤∣x 1∣+∣2−x 2∣=x 1+2−x 2<1.因此对任意x1,x2∈[0,2]，都有∣f(x1)−f(x2)∣≤1，因为y=f(x)(x∈R)周期为2，所以对任意x1,x2∈R，都存在p1,p2∈[0,2]，使f(x1)=f(p1)，f(x2)=f(p2)，所以∣f(x1)−f(x2)∣=∣f(p1)−f(p2)∣≤1．【知识点】对数函数及其性质、函数的周期性、幂函数及其性质19. 【答案】(1) 令−x2−4x−4=0，解得x=−2，所以函数f(x)的零点为−2．(2) 令(x−1)(x2−4x+3)x−3=0，解得x=1，所以函数f(x)的零点为1．(3) 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x，y=−x+1的图象，由图可知函数f(x)的零点为0．(4) 令log3(x+1)=0，解得x=0，所以函数f(x)的零点为0．【知识点】函数零点的概念与意义20. 【答案】（1）当函数y=f(x)同时满足：①函数的图象在[a,b]上是连续曲线；② f(a)⋅f(b)<0．则可判定函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有1个、2个、3个、4个、⋯⋯零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数y=f(x)的图象在[a,b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)⋅f(b)<0时，函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】(1)(−78)+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5=1+2+34×√49−(14)12=1+2+34×23−12=1+2+12−12.(2)lg25+lg2×lg50+(lg2)2 =2lg5+lg2×(lg50+lg2) =2lg5+lg2×lg(2×50) =2lg5+lg2×lg100=2lg5+2lg2=2×(lg5+lg2)= 2.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算22. 【答案】(1) 当0<a<1时，定义域为(−∞,0)，当a>1时，定义域为(0,+∞)，所以y=f(x)的图象总在y轴的一侧．(2) 当0<a<1时，y=a x−1在区间(−∞,0)上是严格减函数，又0<a<1，y=f(x)在区间(−∞,0)上是严格增函数．当a>1时，y=a x−1在区间(0,+∞)上是严格增函数，又a>1，y=f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性11。