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高二物理竞赛麦克斯韦速率分布课件

高二物理竞赛麦克斯韦速率分布课件

分子速率分布图
N Nv
ΔN－－在v－v＋Δv区间
内的分子数 N－－总分子数 Δv －－速率区间
O
矩形面积
v
S Ni v Ni
N v
N
表示在速率间隔v－v＋Δv内的分子数占总分子 数的百分率
f (v)
当速率区间 v 0 f (v)
小矩形面积的端点
连成一函数曲线
v
3、速率分布函数
v v v
式中：E
为粒子的势能，
p
n0 为势能为零处粒
子的数密度。
以上关系称为 玻尔兹曼分布律
三、麦克斯韦－玻尔兹曼分布
在 x x dx, y y dy, z z dz 体元中
的分子数：
Ep
dN ~ e kT
在 vx vx dvx,vy vy dvy ,vz vz dvz
的分子数：
Ek
mgh
mgh
n n0e kT
dN ndV n0e kT dxdydz
结论：1）大气分子数密度随重力势能的增加而
按指数减小；
2）分子质量越大，减小愈快。如氢气、
n / n0
氧气随高度的变化。 3）以上规律是分子运动与重力
的共同作用，也是一统计规律。
H2
4）因实际上大气并不是恒
O2
温，故大气并不严格遵 h(km) 守上式，
气体压强在重力场中的分布规律
p nkT
mgh
p p0e kT
mgh
n n0e kT
p0为水平面 h 0 处气体压强； p 为高h处气体的压强。
高度公式： h kT ln p0 RT ln p0
mg p g p
二）玻尔兹曼分布律
右边的规律中 mgh EP

2020高中物理竞赛辅导课件(基础热力学)5麦克斯韦速率分布(共18张PPT)

2020高中物理竞赛辅导课件(基础热力学)5麦克斯韦速率分布(共18张PPT)

v2
3kT m
3RT Mm
vp
v
O
v v2
例12．速率分布函数 f v的物理意义为：
v （Ａ）具有速率 的分子占总分子数的百分比． v （Ｂ）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子
数占总分子数的百分比．
v （Ｃ）具有速率 的分子数． v （Ｄ）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子
数．
（Ｂ）
例13．已知分子总数为 N，它们的速率分布函数
人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为 的规律性称为统计规律性
伽尔顿板演示实验
速率分布函数
一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某 区间 v~v+dv内的分子数，dN/N表示分布在此区间内 的分子数占总分子数的比率（或百分比）。
dN/N 是 v 的函数，在不同速率附近取相等的区间， 此比率一般不相等。
2020高中物理竞赛
基础热力学篇
麦克斯韦速率分布
统计规律性 速率分布函数 麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦率度分布曲线 分子速率的三个统计值
统计规律性
分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分 子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动 （在动力学支配下）是无规则的，存在着极大 的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律 性。（例：理想气体压强）
N
v1
麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 忽略时，分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子 数占总分子数的比率为
3
dN 4 m 2 emv 2 2kT v 2dv
N
2kT
麦克斯韦
3
f v 4 m 2 emv 2 2kT v 2
2kT
速率分布 函数

分子热运动的速度和速率统计分布规律

分子热运动的速度和速率统计分布规律

f (v )
C
o
vo
v
解：


0
f (v)dv Cdv Cvo 1
0
vo
1 C vo
v vf (v)dv
0

vo
0
vo 1 v vo 2 2
2 o
2 vo Cvdv C 2
v v f (v)dv
2 2 0

voΒιβλιοθήκη 01 2 Cv dv vo 3
S1
Ag
例：利用麦克斯韦速率分布求：V
m 3 2 ) e 解： f (V ) 4π( 2πkT m 2 V 2 kT
p
V2 V
V2
kT 1.41 m
1.60 kT m
df (V ) 0 dV
2kT 2 RT Vp m M
8kT 8RT V πm πM
V V 2 f (V )dV
5
P 1.013 10 25 -3 N n 2.7 10 m -23 kT 1.38 10 273.15
M 28 10 kg mol
-3
-3
-1
M 28 10 -26 m 4.65 10 kg 23 N A 6.022 10
2 m N N e 2πkT
2 y
) g (v
2 z
)
2
+ v
2 y
g (v ) e
2 -av x
F (V ,V ,V ) Ae -aV
x y z
2
常数的确定：

---
F(v ,v ,v )dvdv dv 1
x y z x y z

麦克斯韦速率分布函数

麦克斯韦速率分布函数

M
M
说明
(1) 一般三种速率用途各 不相同
f(v) T
·讨论速率分布一般用 v p ·讨论分子的碰撞次数用 v
·讨论分子的平均平动动 O
vp v
v
能用 v 2
v2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p
例 氦气的速率分布曲线如图所示.
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
1 f (v )dv

4π (

)3
/
§6-5 麦克斯韦速率分布律
一. 分布的概念
·问题的提出
气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变， 不可能逐个加以描述。
·分布的概念
例如学生人数按年龄的分布
年龄 人数按年龄的分布 人数比率按年龄的分布
15 ~16 2000 20%
17 ~18 3000 30%
19 ~20 4000 40%
1.381023 J/K
思考：
v 2 vf
v1
(v )dv
是否表示在v1
~v2 区间内的平均速率
？
2. 方均根速率
v 2

v
2
f
(v )dv

3kT
0
μ
3. 最概然速率
v2
3kT 1.73 RT
μ
M
df (v ) 0 dv v v p
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
2π kT
k = 1.38×10-23 J / K
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量

麦克斯韦分布PPT课件

麦克斯韦分布PPT课件
第23页/共30页
熵与信息的联系
概率表达信息量：设N 种可 能性每种出现的概率相等：
P 1 N
信息量I ：
I
log2 N
1 ln2
lnN
信息量也可表示为： I 1 lnN 1 ln 1 1 lnP
ln2
ln2 P ln2
S k lnP
k 1 ln2
Shannon把信息量 I 视为信息熵 S
热熵： S热 kBlnW
信息熵： S信
1 lnW
ln2
(J/K)
(bit)
温度为T时，每处理1bit信息量至少耗能:
处理1bit信息 的能耗下限
Q T S kBTln2 0.9571023 T(J)
Q kBT ln2 这个换算的物理含义是什么？
第28页/共30页
信息处理与能耗的关系
信息 熵
能耗
N
定义信息熵为： S K Pi ln Pi i 1
实例：天气预报
明天下雨概率为P1 =0.80, 不下雨概率为P2 =0.20
信息熵为：
S K ( p1 ln P1 P2 ln P2 )
1 (0.80 ln 0.80 0.20 ln 0.20) ln 2
0.722
第26页/共30页
信息熵与热熵的关系
• 温度表示分子热运动的激烈程度 • 温度只对系统而言，对一个分子无意义
第4页/共30页
麦克斯韦速度、速率分布——从抛硬币得出的规律
第5页/共30页
速度分布函数的定义：
vx
vx
v
内
x
分
子
数
:
N
F(vx )
F(vx )vx N F(vx )dvx dN

第三章气体分子速率及能量分布ppt课件

第三章气体分子速率及能量分布ppt课件

麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、 弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统 一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合 之一。
麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电 磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱 着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思想 以清晰准确的数学形式表示出来。他在前人成就的基础上，对整个电磁现象 作了系统、全面的研究，凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了 电磁场理论的三篇论文：《论法拉第的力线》（1855年12 月至1856年2 月）；《论物理的力线》（1861至1862年）；《电磁场的动力学理论》 （1864年12月8日）。对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场 理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典 电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存 在，电磁波只可能是横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出 结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。 1888年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的存在。。
(
m
2 kT
)3/
2
em
(
v
2 x
v 2y
vz2
)
/
2kT
dvx dv y dvz
引用速度空间的概念，可以对这个定律得到更直 观的理解。
速度空间：以vx， vy， vz为轴的直角坐标系（或 以v、θ、φ为坐标的球坐标系）所确定的空间。
速率分布公式：
dN 4 ( m )3/ 2 emv2 / 2kTv2dv

麦克斯韦速率分布律.pptx

第3页/共20页
麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(1)nf (v)dv
f (v) dN , n N
Ndv
V
nf (v)dv
dN V
表示单位体积内分布在速率区间 v 内v的 dv
分子数。
第4页/共20页
麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度， 说明下式的物理意义：
(2)Nf (v)dv
f (v) dN Ndv
Nf (v)dv dN
表示分布在速率区间 v v 内的dv分子数。
第5页/共20页
麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(3)n v2 f (v)dv
v1
f (v)
dN
,n
N
Ndv
V
n v2 f (v)dv N N N
把这些量值代入，即得
W v＝ 1 v p 50
N＝
N
4
99 100
2
e
99 100
2
1 50
1.66%
第19页/共20页
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
第15页/共20页
气体的三种统计速率
同一温度下不同种气体速率分布比较
f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速
率大的分子数越多
。
m3
O
v
第16页/共20页

普通物理PPT课件4.3 麦克斯韦速率分布律

速率在v1 的百分比为
v2 区间的分子数N 占分子总数
v2 N ＝ f (v )dv v1 N
它对应于曲线下阴影部分的面积
0

f (v )dv＝1
——速率分布函数的归一化
*由麦克斯韦速率分布函数表示一些平均值
v
v
2

vdN N
2
0



0
dN v N



vf (v )dv
0
在v = vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1）内 的分子数总数为
6.02 1023 105 0.2 0 0 1.2 1026 个
在v = 10vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1） 内的分子数总数为
6.02 1023 105 2.0 1042 0 0 1.2 10
速率在区间的分子数占分子总数的百分比为它对应于曲线下阴影部分的面积速率分布函数的归一化432最概然速率平均速率和方均根速率最概然速率定义速率分布曲线上速率分布函数f最大值对应的速率叫做最概然速率
4.3 麦克斯韦速率分布律
4.3.1 麦克斯韦速率分布律 4.3.2 最概然速率 平均速率和方均根速率 4.3.4 例题分析
v2
k 玻耳兹曼常数 m 分子的质量 T－热力学温度
以v为横坐标，f (v)为纵坐标画出的曲线叫 做气体分子的速率分布曲线．
f (v )
dN f ( v )dv N
o
vp
v v dv
v
麦克斯韦速率分布曲线
3.麦克斯韦速率分布曲线
面积：
f(v)
意义：分布在区间v~ v+v 内的分子数的百分率 面积：

大学物理课件---麦氏速率分布律-[福州大学...李培官]

不 同 气 体, 相 同 温 度: v 2 O2 610m / s
2 v1
3 2
m2

m2
v
2 2
1 m1 4
v p1 v p 2 2000 m / sv
同理 : v p1 500m / s
20
【例2】 有N个粒子，其速率分布函数为
c(常数） dN f (v ) Ndv 0
12
3）速率在v1 ~ v2区间内的分子数占总分子数的百分比 ：（v1→v2 区间内曲线下的面积） v2 N f (v ) d v f (v ) v1 N
N N
S
o
4）总面积：
归一化条件：
麦克斯韦速率分布曲线
v1 v 2
v

N
0
d Nv N


0
f v d v 1
13
讨 论
9
【科学家葛正权简介】
１９２１年毕业于南京高 等师范工科， １９２９ 年自费赴美留学， 在南加洲大学攻读物理， 1 9 3 0年获硕士学位后， 入旧金山柏克莱加洲大学 研究院攻读博士学位，研 究课题是： 用分子束方法证明 麦克斯韦－－波尔兹曼 分子速率分布定律实验”
10
。
１９３３年完成重要学术论文
Nf (v ) d v
—不对！ 上式分母上的N应为

v0 2 0
v
v0 2 v 0 v0 2 0
f (v ) d v f (v ) d v


a v0 4 ( ) 4 2 a v0 3 ( ) 3 2
3 v0 v 8
23
【例4】. 若某种气体在温度T1=300K时的方均根速 率等于温度为T2时的平均速率，求T2=？ 解：常温下气体可看作理想气体，而方均根速率和 平均速率分别为

7.4 麦克斯韦速率分布 玻尔兹曼分布.


相等的小区间，则分子速率在vp所在区间内的 几率最大。
由一级微商的特性可有:
f (v)
df v
dv
vv p

0
vp
2kT m
2RT M
v
O vp
信息学院 物理教研室
不同气体，在同一温度下的麦克斯韦速率 分布曲线。若气体分子的质量m1>m2 则:
f (v) O
m1 m2
2kT 2RT
m

3 2
e

mv 2 2 kT
v
2
Ndv 2kT
3、方均根速率
v 2 v 2 f (v)dv v 2 3kT 3RT
0
m
M
信息学院 物理教研室
最概然速率: v p 平均速率:
2kT m
2RT M
f (v)
v 8kT 8RT
m M
方均根速率:
0
1 2
mv
2
f
v
dv
表示:
分子平均平动动能 。
信息学院 物理教研室
例题:用总分子数N、气体分子速率v 和速率分
布函数f(v)表示下列各量:
(1)速率大于v0的分子数= (2)速率大于v0的那些分子的平均速率= (3)多次观察某一分子的速率，发现其速率
大于的v0几率
答案： Nf vdv、 v0

Hg
金属蒸汽 狭 缝

l

显 示
屏
信息学院 物理教研室
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
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v p 可由求极值条件 d f (v) 0 求得
dv
vp
2kT m0
2RT 1.41 RT
M
M
vp
2kT m0
2RT M
vp
T
1 2
,vp
m
1 2
0
讨论两种情况：
（1）m0 一定, T vp
曲线高峰右移, 同时高度下降。
（2）T 一定，v p
m
1 2
0
f(v) T1 T2 T1
v
vp v v2
v
v pv v2
附录: 三种统计速率的计算 速率分布函数中令 m0 b
2kT
f (v) 4 (
m0
)3
2
v2
m0 v2
e 2kT
2 kT
则 f (v) 4 ( b )3 2 v2 ebv2
df 4 ( b )3/ 2[2vebv2 v2 2bvebv2 ]
dv
8 ( b )3/ 2 vebv2 (1 bv2 ) 0
v
v2
表示速率处在 v1 — v2 区间内的分子数占总分子数的百分
率。
③曲线下的总面积
f (v)dv 1
归一化条件
0
3、三种统计速率
f(v)
1. 最可几速率 (最概然速
率)vp
分布曲线极大值对应的
速率叫最可几速率。
v
物理意义:
vp
把整个速率区间分成许多相等的小区间, 则速率大小与 v相p近
的气体分子数占总分子数的比率为最大。
v 8kT 8RT 1.60 RT
m0 M
M
平均速率（average speed）
分立： 平均速率
v Ni vi Ni
v
v2 v1
vdN
v2 v1
dN
连续：vi v， Ni dNv=N f (v)dv，
v
0N v d Nv 0N d Nv
N
0
v
d Nv N
0
v
f
(v )dv
对麦氏速率分布经计算得： v 8kT 8RT
f (v)
1）实验数据的图示化
6.2% 12.8%
6.2%
v 4.0%
0 90 140 190 240 290 340 390
f (v)
f (v)
f (v)
v
v v v
v
从图中可以看出:
1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比N/N
2)所有小面积的和恒等于一。
3）当速率区间 v 0 ，小矩形面积的端点
Ndv
f (v ) 称 速率分布函数 （function of distribution of speeds）
由定义式 f (v ) d Nv 可看出 f (v)的意义是： N dv
“ 在速率v 附近， 单位速率区间内的分子数 占总就是分子处于速
率v 附近单位速率区间的概率。
N
2 kT
速率分布曲线
以 v 为横坐标，f (v) dN 为纵坐标，画出的曲线称为
Ndv 速率分布曲线。
分布曲线的物理意义
f(v)
① 小矩形的面积
f (v)dv dN N
表示速率处在 v ~ v + dv
区间内的分子数占总分子
数的百分率。
v1
②曲边梯形的面积 v2 f (v)dv N
v1
N
πm πM
任意函数(v)对全体分子按
速率分布的平均值：
v (v ) f (v ) d v
0
3. 方均根速率
速率平方的平均值
方均根速率
v2
v2dN
0
v2 f (v)dv
N
0
v2 3kT 3RT 1.73 RT
m0
M
M
三种速率中， v2 最大，v 次之，v p 最小
f(v)
设总分子数为 N
N —— 表示速率在 v ~ v + v 区间内的分子数。
N 与 v 、 v 有关 。
N —— 表示速率处在 v ~ v + v 区间内的分子数占总
N
分子数的百分率。
N 也与 v 、 v 有关。 N
N
—— 分子速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总
Nv
分子数的比率。
下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子 数占总分子的百分比。
vp1 vp2
f(v)
m0大
m0小 v
2. 平均速率 v
大量分子速率的算术平均值叫平均速率v 。
v N1v1 N2v2 Nivi Nivi
N
N
若用dN表示速率在v－v+dv 区间内的分子数，v 连
续分布时，上式过渡到积分。
v
v dN
0
v Nf (v)dv
0
v f (v)dv
N
N
0
连成一函数曲线----分子速率分布函数。
2）分布函数 f (v) 的意义
要搞清函数的意义，先要
f (v)
弄清纵坐标的意义。
f (v)
在 v v v区间
作一小矩形，小矩
v v v
v
形的面积： s N
按函数的定义 s f (v)v
N
故 N f (v)v N
或：f (v) N Nv
当 v 0 f (v) dN
因为
d Nv N ，
即
v 0
v
0
d
N N
v
1
所以
f (v)dv 1
这称为速率分布函数
0
的归一化条件。
思考：
1、若 f (v) 表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义
（1） f (v)dv
（3）
v2 v1
f (v)dv
（5） vf (v)dv 0
（2） Nf (v)dv
（4） v2 Nf (v)dv v1
v(m / s)
90以下 90-----140 140----190 190----240 240----290 290----340 340----390 390以上
N
/
N
0 0
6.2
10.32
18.93 22.7
18.3 12.8
6.2
4.0
注意：以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次 重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看， 分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确 定的规律。
vp
2kT m0
v
vdN
0
vf(v)dv
N
0
4 ( b )3/ 2 v3e-bv2 dv 2 1
2、麦克斯韦速率分布函数（1860年从理论上导出）
f (v) 4 (
m0
)3
2
v2
e
m0 v2 2kT
2 kT
m0是分子的质量， k
R NA
1.381023
J K1
玻耳兹曼常数
由上式可得到一个分子在 v ~ v + dv 区间的概率为
dN 4 (
m0
)3 2
v2
m0 v2
e 2kT
dv
速率分布函数
§4.5 麦克斯韦速率分布律
（Maxwells law of distribution of speeds）
1、 速率分布函数 要深入研究气体的性质，
不能光是研究一些平均值，
麦克斯韦
如 t ，v 2 等；还应该进
一步弄清分子按速率和按 能量等的分布情况。
整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。