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《机械基础》教案（2009～ 2010学年第二学期）学院山西省工贸学校系（部）机电系教研室教师梁少宁山西省工贸学校③学生学案课题名称：平面力系的平衡方程及其应用班级：姓名：(一)、工作任务：物体在平面力系作用下，不但有在平面内发生移动的可能性，而且有在平面内发生转动变化的可能性。
要使物体在平面任意力系作用下仍保持平衡状态，应满足什么条件？(二)、学习目标：1、理解平面任意力系的概念；掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
2、能应用平面任意力系平衡方程解决工程上的平衡问题；(三)、回答问题1、要使物体在平面任意力系作用下仍保持平衡状态，应满足什么条件？2、物体在平面力系作用下，在平面内都会发生那些移动方式？(四)、分析该资料，完成项目任务：一：平面力系的概念平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。
空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。
汇交力系——作用线交于一点的力系。
平行力系——作用线相互平行的力系。
一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。
平面汇交力系的工程实例：二、力的分解按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
1 、力在坐标轴上的投影注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b(或由a1到b1)的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影F x（或F y）取正值；反之，取负值。
若已知力F在直角坐标轴上的投影F x、F y，则该力的大小和方向为力F可分解为F x、F y，可见利用力在直角坐标轴上的投影，可以同时表明力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。
2、合力投影定理若刚体在平面上的一点作用着n个力F1，F2，…，F n，按两个力合成的平行四边形法则（三角形）依次类推，从而得出力系的合力等于各分力的矢量和。
即一般地，则其合力的投影合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
第三章平面力系平衡方程的应用第1节物体系统的平衡问题一、外力、内力的概念(1)外力。
系统外任何物体作用于该系统的力称为这个系统的外力。
(2)内力。
所研究的系统内部各物体间相互作用的力称为内力，内力总是成对地作用于同一系统上。
因此，当取系统为研究对象时，不必考虑这些内力。
二、静定与静不定概念(1)静定系统。
系统中所有未知量的总数小于或等于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静定系统。
这类系统仅应用刚体的静力平衡条件，就可以求得全部未知量的解。
(2)静不定系统。
系统中所有未知量的总数大于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静不定系统或超静定系统。
这类问题仅应用刚体的静力平衡条件，不能求得全部未知量的解。
三、物体系统的平衡问题常见的物体系统的平衡问题有三类，即构架；多跨静定梁；三铰拱。
这三类问题都有其相应的求解特点，在求解过程中能总结归纳。
在求解这三类问题时通常要注意以下情况，如固定端约束、铰上受力、分布荷载计算、二力构件等。
例1图3-1-1-1所示结构由AB、CD、DE三个杆件铰结组成。
已知a＝2m，q＝500N/m，F ＝2000N。
求铰链B的约束反力。
图3-1-1-1解：取整体为研究对象，其受力如图3-1-1-2所示。
图3-1-1-2列平衡方程，有∑ F y =0, F Ay −F−qa=0得F Ay =300N∑ M C (F)=0,−3a F Ay −a F Ax +aF+1.5a×qa=0得F Ax =−5500N分析AEB杆，受力图如图3-1-1-3所示。
图3-1-1-3∑ F x =0, F Ax + F Bx =0故F Bx =− F Ax =5500N∑ M E ( F → )=0, F By a+ F Bx a+ F Bx a− F Ay a=0则得F By = F Ay − F Bx =−2500N例2求图3-1-1-4所示多跨静定梁的支座反力。
梁重及摩擦均不计。
图3-1-1-4解：研究EG梁，受力分析如图3-1-1-5。
图3-1-1-5∑ Fx =0 F Ex =0由对称关系得F Ey = F GN = 1 2 (2×4.5)=4.5kN(↑)研究CE梁，如图3-1-1-6图3-1-1-6有∑ Fx =0 F Cx − F CE =0, F Cx = F CE =0∑ M C ( F ⇀)=0 F DN ×4.5−10×2− F Ey ×6=0⇒F DN =10.44kN研究AC梁，如图3-1-1-7图3-1-1-7∑ Fx =0 F Ax − F Cx =0⇒F Ax = F Cx =0 ∑ M A ( F ⇀)=0 F BN ×6−20×3− F Cy ×7.5=0⇒F BN =15.08kN∑ Fy =0 F Ay −20+ F BN − F Cy =0⇒F Ay =8.98kN例3如图3-1-1-8所示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为q(kN/m)，拱重及摩擦均不计。
求铰链A、B处的反力。
图3-1-1-8解：研究整体，受力图如图3-1-1-9所示图3-1-1-9有∑ M B ( F ⇀)=0 − F Ay ⋅l+q⋅ l 2 ⋅ 3l 4 =0⇒F Ay = 3ql 8 (↑) ∑ M A ( F ⇀ )=0 F By ⋅l−q⋅ l 2 ⋅ l 4 =0⇒F By = ql 8 (↑)研究AC梁，受力图如图3-1-1-10所示图3-1-1-10有∑ M C ( F ⇀ )=0 F Ax ⋅h−q⋅ 3l 8 ⋅ l 2 + ql 2 ⋅ l 4 =0得F Ax = q l 2 16h (→) F Bx = q l 2 16h (←)第2节平面简单桁架的内力计算一、桁架的概念(1)桁架是由一些杆件彼此在两端用铰链连接几何形状不变的结构。
工程上很多结构采用桁架这种结构形式，如桁梁桥、大空间屋架结构、石油钻井平台等。
(2)特点：杆系结构、端部连接、受载后不变形。
(3)工程上把几根直杆连接的地方称为节点。
(4)桁架分析的目的：截面形状及尺寸设计、材料选取、强度校核。
(5)理想桁架的几个假设：桁架中各杆为刚性直杆；各杆在节点处系用光滑的铰链连接；所有外力作用在节点上。
(6)平面简单桁架的构成。
以基本三角形为基础，每增加一个节点，需要增加不在同一直线两根杆件，依次类推可得桁架称为平面简单桁架。
二、平面简单桁架的内力计算桁架的计算就是二力杆内力的计算。
平面简单桁架的计算有两种方法：节点法、截面法。
1. 节点法假想将某节点周围的杆件割断，取该节点为考察对象，建立其平衡方程，以求解杆件内力的一种方法。
例1如图3-2-1-1所示平面桁架，求AF、AC、FC、FE杆的内力。
已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。
图3-2-1-1 解：先取整体为研究对象，受力如图3-2-1-2所示。
图3-2-1-2 由平衡方程∑ F x =0, F Ax + F E =0∑ F y =0, F Ay + F B − F C =0∑ M A (F) =0,−a× F E +3a× F B −a× F C =0解得F Ax =−2kN, F Ay =2kN, F B =2kN取A节点为研究对象，如图3-2-1-3所示。
图3-2-1-3 有∑ F x =0, F Ax + F Ac + F AF cos45°=0∑ F y =0, F Ay + F AF sin45°=0解得F AF =−2.83kN, F AC =4kN取F节点为研究对象，受力图如图3-2-1-4所示。
图3-2-1-4∑ F x =0, F FE − F FA cos45° =0∑ F y =0,− F FC + F FA si n45° =0解得F FC =2kN, F FE =−2kN2. 截面法用适当的截面将桁架截开，取其中一部分为研究对象，建立平衡方程，求解被切断杆件内力的一种方法。
例2如图2-3-1-5所示平面桁架，求FE、CE、CD杆内力。
已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。
图3-2-1-5解：整体分析，作受力分析，如图2-3-1-6所示。
图3-2-1-6列平衡方程，有∑ F x =0, F x + F E =0 ∑ F y =0, F B + F Ay − F C =0 ∑ M A (F)=0,− F C a − F E a+ F B 3a=0联立求解得F Ax =−2kN F Ay =2kN F B =2kN作一截面m-m将三杆截断，取左部分为分离体，受力分析如图3-2-1-7。
图3-2-1-7由平衡方程∑ F x =0, F CD + F Ax + F FE + F CE cos45°=0∑ F y =0, F Ay − F C + F CE cos45° =0∑ M C (F)=0,− F FE ×a− F Ay ×a=0联立求解得∑ F CE =−2 2 kN, F CD =2kN, F FE =−2kN3. 零杆的判别BC、AC杆为零杆，如图3-2-1-8图3-2-1-8BA、BF、FC杆为零杆，如图3-2-1-9图3-2-1-9第3节摩擦与考虑摩擦时的平衡问题1、滑动摩擦与滚动摩阻一、滑动摩擦两个相互接触的物体，当它们发生沿接触面的相互滑动或有相对滑动趋势时，彼此间产生阻碍这个运动或运动趋势的力，称为滑动摩擦力。
1. 静滑动摩擦力(1)方向与两物体间相对滑动的趋势方向相反。
(2)大小由静力平衡方程确定，且有0≤ F s ≤ F max，其中F max为最大静滑动摩擦力。
2. 最大静滑动摩擦力当物块处于临界平衡状态时，静滑动摩擦力达到最大值。
最大静滑动摩擦力与物体对支承面的正压力F N 成正比，即 F max = F N ⋅ f s ，其中f s 称为静滑动摩擦因数，为无量纲常数，其值与相互接触表面的材料、粗糙度、湿度、温度等有关，一般由实验的方法测定。
3. 摩擦角与自锁现象(1)全反力支承面的反力包括了两个分量，即法向反力F N 与静滑动摩擦力F s ，这两个力的合力称为全反力，如图3-3-1-1所示。
即 F R = F N + F s图3-3-1-1(2)摩擦角在临界状态下，全反力达到极值，该状态下的全反力与支承面在接触点的法线间的夹角ϕ m 称为摩擦角，并且有tanϕ m = F max F N = f s此式说明，摩擦角的正切等于静摩擦因数。
(3)自锁现象如果作用于物体的主动力的合力作用线在摩擦角以内，则不论这个力多大，物体总能保持静止状态，这种现象称为自锁。
4. 动滑动摩擦当两物体接触表面有相对滑动时的摩擦力称为动滑动摩擦力 F ′ ，简称动摩擦力。
(1)动摩擦力的方向。
与相对滑动的速度方向相反。
(2)动摩擦力的大小。
与两物体接触间的正压力F N 成正比，即F ′ = F N ⋅f ′ ，其中f ′ 称为动滑动摩擦因数，简称动摩擦因数。
在一般情况下，动摩擦因数小于静摩擦因数，即f ′ < f s二、滚动摩阻当一物体沿另一物体表面滚动或具有滚动趋势时，除可能受到滑动摩擦力外，还要受到一个阻力偶的作用，这个阻力偶称为滚动摩阻。
如图3-3-1-2所示。
图3-3-1-21. 滚动摩阻(1)方向与相对滚动方向或相对滚动趋势方向相反。
(2)大小由平衡方程式确定，且滚阻力偶矩M f 满足0≤ M f ≤ M max，其中M max为滚阻力偶矩的最大值。
2. 滚阻力偶矩的最大值M max当物体处于滚动平衡的临界状态时，滚阻力偶矩将将达到最大值。
滚阻力偶矩的最大值与两物体间的法向正压力成正比，即M max=δ F N ，其中δ 称为滚阻系数，具有长度的量纲，其值可由实验的方法测定。
2、考虑摩擦时的平衡问题在具有摩擦的情况下，由静力平衡方程和摩擦的物理方程联合求解。
一般说来有以下三种类型：1. 判断物体所处的状态它是处于静止、临界或是滑动情况中的哪一种。
当它们处于静止或临界平衡状态时，还必须分析其运动趋势，滑动摩擦力和滚阻力偶必须与相对滑动或相对滚动的趋势方向相反。
(1)若物体处于静止状态，则由静力平衡方程来确定摩擦力。
(2)若物体处于临界平衡状态，则由静力平衡方程和库仑摩擦定律联立求解，但必须正确分析摩擦力（包括滚阻力偶）的方向。
(3)若物体处于运动状态，则当物体运动时，其滑动摩擦力为动滑动摩擦力。
2. 求具有摩擦时物体能保持静止的条件由于静滑动摩擦力的大小可以在一定范围内变化，所以物体有一平衡范围，这个平衡范围有时是用几何位置、几何尺寸来表示的，有时是用力来表示的。
