矢量的合成与分解

力学中的矢量合成与分解夏　青(承德护理职业学院,河北承德067000) [摘　要]文章讨论了力学矢量合成与分解的运算法则,介绍了力学矢量的特点和独立作用原理。

[关键词]平行四边形法则;三角形法则;多边形法则学生在学习力学中的矢量合成问题时,喜欢动脑筋的人或许会提出这样的问题:“作用于物体上的各个力会不会相互干涉彼此的作用效果,从而影响矢量和的数值或方向?”在回答这一问题时,我们可以设想有一个在空气中作斜抛运动的小球,同时受到重力G 和空气摩擦阻力f 的作用,它们各自产生重力加速度g 和摩擦阻力加速度a f 。

事实表明,重力G 产生的加速度g 与摩擦阻力f 的存在与否没有任何关系,g 的大小或方向也不会因为a f 的存在而产生丝毫变化,反之亦然。

用平行四边形法则可求出g 与a f 的合矢量a ,a 就是重力G 与摩擦阻力f 共同作用的总加速度。

我们把:“几个力同时作用于一个质点,质点产生的总加速度等于各个力分别作用于该质点所获得加速度的矢量和”这一结论称为“力的独立作用原理”。

它指出:作用于同一质点力系中的每个力都能独立地产生作用,其他力的作用与之无关,力系对质点总的作用效果是由各个力分别作用的叠加而成。

原理进一步阐明了力与加速度之间一一对应的关系,不论质点初始运动状态如何,也不论质点是否还受其他力的作用,一个力总是独立地产生一个加速度。

正因为如此,才能在牛顿第二运动定律的应用中使用矢量合成法则,并且按平行四边形法则将其推广为∑iF i =ma 。

因此从这一角度也可以认为,力的矢量合成法则建立在力的独立作用原理之上。

力学量常用的矢量合成方法有:(1)平行四边形法则。

(2)三角形法则。

(3)多边形法则。

它们用欧氏几何从图形上直观地描述了矢量合成的方法,是简单易用的矢量加法法则。

力学矢量加法必须遵循的运算规律为:(1)矢量加法遵从交换律,即A +B =B +A =C (2)矢量加法遵从结合律,即(A +B )+C =A +(B +C )(3)矢量加法的数乘遵从分配律,即λ(A +B )=λA +λB 上式中λ为一常数。

矢量的合成法则矢量是物理学中一个非常重要的概念，它可以用来描述物体的运动状态和力的作用方向。

在物理学中，矢量的合成法则是指两个或多个矢量相加或相减的规则。

通过矢量的合成法则，我们可以计算出合成矢量的大小和方向，从而更好地理解物体的运动和力的作用。

矢量的合成法则最基本的形式是几何法则，它可以用来计算两个矢量的合成。

假设有两个矢量a和b，它们的大小分别为|a|和|b|，方向分别为θ1和θ2。

那么它们的合成矢量可以用以下公式来表示：c = a + b。

其中c是合成矢量的大小，θ3是合成矢量的方向。

根据三角函数的性质，我们可以得到以下公式来计算合成矢量的大小和方向：c = √(a^2 + b^2 + 2abcos(θ2-θ1))。

θ3 = arctan((bsin(θ2) + asin(θ1))/(bcos(θ2) +acos(θ1)))。

通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的合成。

这对于理解物体的运动和力的作用是非常重要的，因为在实际的物理问题中，往往会涉及到多个力的作用，而这些力往往是以矢量的形式存在的。

除了几何法则之外，还有另一种常用的矢量合成法则，那就是分解法则。

分解法则是指将一个矢量分解为两个或多个分量矢量，然后再将这些分量矢量相加或相减来得到合成矢量。

这种方法在实际的物理问题中也是非常常用的，因为它可以简化计算过程，使得问题更容易解决。

分解法则的基本思想是将一个矢量分解为与坐标轴平行的分量矢量，然后再将这些分量矢量相加或相减来得到合成矢量。

假设有一个矢量a，它的大小为|a|，方向为θ。

我们可以将这个矢量分解为与x轴和y轴平行的两个分量矢量ax和ay，它们的大小分别为|ax|和|ay|，方向分别为θx和θy。

那么它们的合成矢量可以用以下公式来表示：c = ax + ay。

其中c是合成矢量的大小，θ3是合成矢量的方向。

根据三角函数的性质，我们可以得到以下公式来计算合成矢量的大小和方向：c = √(ax^2 + ay^2)。

矢量的分解原理及应用1. 矢量的概念矢量是描述物理量的有向量，具有大小和方向两个属性。

在坐标系中，矢量可以用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。

2. 矢量的分解原理矢量的分解是将一个矢量分解为两个或多个矢量的过程。

分解的目的是将一个复杂的矢量问题简化为若干个简单的矢量问题，从而更容易进行计算和分析。

矢量的分解原理可以总结为以下几个步骤： - 根据问题给出的条件和要求，确定需要分解的矢量和分解的方向。

- 将需要分解的矢量在坐标系中画出，并确定分解的方向。

- 根据几何图形的性质，根据需要分解的方向，确定分解的方法。

- 根据分解的方法，将矢量分解为两个或多个简单的矢量。

- 对分解后的简单矢量进行计算和分析。

3. 矢量的分解应用矢量的分解在物理学、工程学以及其他学科中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：3.1 速度分解在运动学中，速度可以用矢量表示，速度的分解可以将一个物体的速度分解为水平方向和垂直方向的速度。

这样可以简化问题的计算和分析，使得问题更加容易理解。

3.2 力的分解在力学中，力也可以用矢量表示，力的分解可以将一个复杂的力分解为若干个简单的力，从而便于问题的计算和分析。

例如，在斜面上滑动的物体受到的重力可以分解为垂直于斜面的力和平行于斜面的力，这样可以更好地理解物体在斜面上的行为。

3.3 矢量的合成与矢量的分解相反，矢量的合成是将两个或多个矢量合成为一个矢量的过程。

矢量的合成有两种常见的情况，即平行四边形法则和三角形法则。

矢量的合成在物理学、工程学中经常用于计算合力、合速度等问题。

3.4 其他应用矢量的分解还有很多其他的应用，例如在导航系统中，可以将速度矢量分解为东西向速度和南北向速度，以便更准确地确定位置；在力学中，可以将斜面上的力分解为法向力和切向力，以便更好地分析物体在斜面上的运动等。

4. 总结矢量的分解是将一个复杂的矢量分解为若干个简单的矢量的过程，具有重要的理论和应用价值。

F 1F 2 力的合成和分解一、标量和矢量1．将物理量区分为矢量和标量体现了用分类方法研究物理问题的思想。

2．矢量和标量的根本区别在于它们遵从不同的运算法则：标量用代数法；矢量用平行四边形定则或三角形定则。

矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）。

平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。

一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。

3．同一直线上矢量的合成可转为代数法，即规定某一方向为正方向。

与正方向相同的物理量用正号代入．相反的用负号代入，然后求代数和，最后结果的正、负体现了方向，但有些物理量虽也有正负之分，运算法则也一样．但不能认为是矢量，最后结果的正负也不表示方向如：功、重力势能、电势能、电势等。

二、力的合成与分解力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题。

合成与分解是为了研究问题的方便而引人的一种方法．用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱钩，即考虑合力则不能考虑分力，同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。

1．力的合成（1）力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。

力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。

（2）平行四边形定则可简化成三角形定则。

由三角形定则还可以得到一个有用的推论：如果n 个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n 个力的合力为零。

（3）共点的两个力合力的大小范围是|F 1－F 2| ≤ F 合≤ F 1＋F 2（课件演示）（4）共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。

【例1】物体受到互相垂直的两个力F 1、F 2的作用，若两力大小分别为53N 、５ N ，求这两个力的合力．解析：根据平行四边形定则作出平行四边形，如图所示，由于F 1、F 2相互垂直，所以作出的平行四边形为矩形，对角线分成的两个三角形为直角三角形，由勾股定理得：2222215)35(+=+=F F F N=10 N合力的方向与F 1的夹角θ为： 3335512===F F tg θ θ＝30° 点评：今后我们遇到的求合力的问题，多数都用计算法，即根据平行四边形定则作出平行四边形后，通过解其中的三角形求合力．在这种情况下作的是示意图，不需要很严格，但要规范，明确哪些该画实线，哪些该画虚线，箭头应标在什么位置等．【例2】如图甲所示，物体受到大小相等的两个拉力的作用，每个拉力均为200 N ，两力之间的夹角为60°，求这两个拉力的合力．解析：根据平行四边形定则，作出示意图乙，它是一个菱形，我们可以利用其对角线垂直平分，通过解其中的直角三角形求合力．320030cos 21==οF F N=346 N合力与F 1、F 2的夹角均为30°．点评：（1）求矢量时要注意不仅要求出其大小，还要求出其方向，其方向通常用它与已知矢量的夹角表示．（2）要学好物理，除掌握物理概念和规律外，还要注意提高自己应用数学知识解决物理问题的能力．2．力的分解（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。

力的合成与分解力的矢量运算力的合成与分解力的矢量运算是物理力学中的重要概念。

在物体运动和静止的研究中，力的合成与分解力的矢量运算可以帮助我们更好地理解力的作用和相互作用。

一、力的合成力的合成是指将多个力合成为一个力的过程。

在物体上受到多个力的作用时，可以将这些力按照一定的方法合成为一个力，这个力被称为合力，合力的大小和方向根据所合成力的矢量运算得到。

在矢量运算中，力被表示为一个有大小和方向的箭头，箭头的长度表示力的大小，箭头的指向表示力的方向。

为了方便计算，通常使用画图的方法来合成力。

假设有两个力F1和F2作用在物体上，力F1的大小为F1，方向为θ1；力F2的大小为F2，方向为θ2。

根据力的合成原理，可以在一张纸上画出力F1和力F2的矢量图，然后将它们的起点连接起来，连接线的终点就是力的合力的方向。

通过测量画出的图形，可以计算出合力的大小。

二、力的分解力的分解是指将一个力拆分为多个力的过程。

在某些情况下，我们需要研究一个力在某个方向上的作用效果，这时就需要将该力分解为在垂直方向和平行方向上的两个力，分别进行研究和计算。

假设有一个力F作用在物体上，力的大小为F，方向为θ。

为了方便计算，我们可以将力F分解为平行于某个方向的力F1和垂直于该方向的力F2。

通过测量力的大小和角度，可以计算出力F1和力F2的大小。

力的分解在实际问题中常常被使用，例如斜面上的物体受到重力和斜面对其作用的力，可以将斜面对其作用的力分解为平行于斜面和垂直于斜面的两个力，进而研究物体在斜面上的运动状态。

三、矢量运算的数学表达式在力的合成和分解中，力被看作是可以相互叠加的矢量量，而矢量量既有大小又有方向。

因此，可以通过数学方法进行矢量运算的表达。

1. 合成力的数学表达式设力F1的大小为F1，方向为θ1；力F2的大小为F2，方向为θ2。

合力F的大小和方向可以通过以下公式计算：F = √(F1^2 + F2^2 + 2F1F2cos(θ1 - θ2))θ = A tan [(F1sinθ1 + F2sinθ2) / (F1cosθ1 + F2cosθ2)]其中，√表示开方，^2表示乘方，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数，θ表示力的合力方向的角度。

ab2I 0I 0O·矢量的合成与分解的讨论湖北省恩施高中陈恩谱一、矢量的合成1、平行四边形定则【例1】小船渡河合速度：小船参与了两个分运动——随水运动和相对水的运动，因此，小船的实际对地速度，是水速和船相对水的速度（即所谓船在静水中的速度）的矢量和。

【例2】电场强度的叠加：（原创·单选）如图所示，真空中两个带电小球靠近放置，其中A 球带电量为+Q ，B 球带电量为－q ，且有Q ＞q ，则下列四幅图中，能正确表示A 、B 两球附近的电场线分布的是【解析】如图，在A 、B 两球附近选择C 、D 、F 三个点，其中D 在A 、B 连线中垂线上；由点电荷的场强决定式2QE kr=和电场强度的矢量叠加，可作出三个点的合电场强度方向如图所示。

由D 点电场强度方向可知选项A 、C 错误；C 点电场强度方向相对A 球径向线向右偏、F 点电场强度方向相对B 球径向线也是向右偏、可知选项D 错误。

故选B 。

【例3】磁感应强度的叠加：圆心为O 、半径为R 的半圆的直径线两端，各固定有一根垂直圆平面的长直导线a 、b ，两导线中通有大小分别为2I 0和I 0、方向相同的电流．已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度rIkB =，其中k 为常数、I 为导线中电流、r 为点到导线的距离．则下列关于该圆平面内电流的磁场的说法中，正确的是A ．圆心O 点处的磁感应强度的方向由a 指向bB ．在直径线上、到b 距离为R 32处的磁感应强度为0C ．在半圆上一定存在“磁感应强度平行于直径线”的位置D ．在半圆上一定存在“磁感应强度沿半圆切线方向”的位置【解析】如图（1）所示，在直径线上，导线a 中电流产生的磁场磁感应强度都向下，导线b 中电流产生的磁场磁感应强度都向上，其大小分布规律如图，可知，圆心O 点处的磁感应强度的方向向下，A 错；两导线中电流在直径线上、到b 距离为R 32处的磁感应强度大小分别为d I k B a 3202=、dIk B b 310=，其中d 为直径长度，即B a 、B b 大小相等、方向相反，所以该处的磁感应强度为零，B 正确；如图（2）所示，在圆周上任取一点，并将B a 、B b 分解到垂直直径线方向，得：A B＋－A B ＋－E 1E 2E 3CDFa b2I 0I 0O·B aB b ·图（1）a b2I 0I 0O ·B aB bB byB ay θ图（2）ab2I 0I 0O ·B a BbB b nB a nθ图（3）d I k d I kB B a ay 002sin sin 2sin =⋅==θθθ，dIk d I k B B b by 00cos cos cos =⋅==θθθ即有：by ay B B 2=，可见，B a 、B b 的矢量和不可能平行于直径线，C 错。

高中物理力的合成与分解公式高中物理力的合成与分解公式：1.同一直线上力的合成同向:F=F1+F2，反向：F=F1-F2 (F1F2)2.互成角度力的合成：F=(F12+F22+2F1F2cos)1/2(余弦定理) F1F2时:F=(F12+F22)1/23.合力大小范围：|F1-F2|F|F1+F2|4.力的正交分解：Fx=Fcos，Fy=Fsin(为合力与x轴之间的夹角tg=Fy/Fx)注：(1)力(矢量)的合成与分解遵循平行四边形定则;(2)合力与分力的关系是等效替代关系,可用合力替代分力的共同作用,反之也成立;(3)除公式法外，也可用作图法求解,此时要选择标度,严格作图;(4)F1与F2的值一定时,F1与F2的夹角(角)越大，合力越小;(5)同一直线上力的合成，可沿直线取正方向，用正负号表示力的方向，化简为代数运算。

拓展延伸：机械振动与机械振动的传播公式1.简谐振动F=-kx {F:回复力，k:比例系数，x:位移，负号表示F的方向与x始终反向}2.单摆周期T=2(l/g)1/2 {l:摆长(m)，g:当地重力加速度值，成立条件:摆角100;lr｝3.受迫振动频率特点：f=f驱动力4.声波的波速(在空气中)0℃：332m/s;20℃:344m/s;30℃:349m/s;(声波是纵波)5.波发生明显衍射(波绕过障碍物或孔继续传播)条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者相差不大6.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同)7.机械波、横波、纵波〔见第二册P2〕8.波速v=s/t=f=/T{波传播过程中，一个周期向前传播一个波长;波速大小由介质本身所决定}9.发生共振条件:f驱动力=f固，A=max，共振的防止和应用〔见第一册P175〕10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动，导致波源发射频率与接收频率不同{相互接近，接收频率增大，反之，减小〔见第二册P21〕｝注：(1)物体的固有频率与振幅、驱动力频率无关，取决于振动系统本身;(2)加强区是波峰与波峰或波谷与波谷相遇处，减弱区则是波峰与波谷相遇处;(3)波只是传播了振动，介质本身不随波发生迁移,是传递能量的一种方式;(4)干涉与衍射是波特有的;(5)振动图象与波动图象;(6)其它相关内容：超声波及其应用〔见第二册P22〕/振动中的能量转化〔见第一册P173〕。