§16.2波函数及其物理意义

波函数知识点波函数是量子力学中至关重要的概念之一。

它描述了一个量子系统的状态，并提供了有关该系统的各种物理量的概率分布信息。

本文将介绍波函数的定义、性质和意义，以及在量子力学研究和应用中的重要性。

一、波函数的定义与表示波函数可以用数学形式表示为Ψ(x)，其中x表示量子系统的位置，Ψ表示该位置上的波函数振幅。

通常，波函数是关于位置的复数函数。

在三维空间中，波函数则可表示为Ψ(x, y, z)。

二、波函数的性质1. 归一化性：波函数必须满足归一化性条件，即在整个空间范围内积分的结果为1。

这反映了量子系统处于某一状态的概率为1。

2. 可域性：波函数在空间的各点均有定义，且连续可微，除非遇到特殊情况（如量子力学势垒）。

3. 可观测量与算符：波函数通过算符与可观测量相联系。

常见的可观测量包括位置、动量、自旋等。

波函数经由展开，可以用基态、激发态等来表示这些可观测量。

4. 波函数的变化规律：根据薛定谔方程，波函数随时间的演化受到哈密顿算符的影响。

这意味着波函数可以随时间进行量子力学演化，从而揭示出量子系统的动力学特性。

三、波函数的意义波函数描述了量子系统的状态，通过对波函数的解析可以得到很多关于系统性质的信息。

具体包括：1. 粒子位置的概率分布：波函数的模的平方|Ψ(x)|^2表示了粒子在不同位置上出现的可能性。

这种概率分布的解析有助于对量子粒子的位置进行预测。

2. 波函数的叠加性：波函数可以通过线性组合实现叠加。

这就意味着不同状态的波函数可以相互叠加，并形成新的波函数。

这种叠加的结果反映了量子特性中的干涉和叠加效应。

3. 能量本征值与波函数：薛定谔方程的解析求解可以得到波函数的能量本征值和对应的态函数。

通过对能量本征值的研究，可以了解量子系统的能级结构以及能量转移和转换的规律。

4. 态函数和观测量：基于波函数和算符之间的关系，可以用态函数来求解观测量的期望值。

这些期望值与实验结果相比较，可以验证波函数模型的有效性。

波函数及其物理意义一、微粒的波函数描述自由粒子平面波 设一平面波沿速度υ 的方向传播，该方向的单位矢量为n ，即n υυ=，t 时刻，波面AB 上O 点的振动： ]2cos[σπνψ+=t a o时间后，波面传到A`B`，其上任一点P 的振动和时间前AB 上任一点O 的振动相同： ])(2cos[στπνψ+-=t a p υυθτn r r ⋅==cos OP r = ])t (2cos[σνλπ--⋅=n r a 欧拉公式：ϕϕϕsin cos i e i ±=± 取“＋”)t (2νλπψ-⋅=nr i p Ae――沿n 方向传播的、波长为、频率为的平面简谐波方程。

用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：νh E = n h p λ= )(p r Et i p Ae ⋅--=ψ――自由粒子的波函数，描写动量为p 、能量为E 的自由粒子。

经典力学 位置和速度 量子力学 波函数波函数体现了波粒二象性，其中的E 和p 是描写粒子性的物理量，却处在一个描写波的函数中。

二、波函数的物理意义1926年，德国物理学家玻恩：2),,,(t z y x ψ表示t 时刻、（x 、y 、z ）处、单位体积内发现粒子的几率。

如图为电子衍射的强度分布图。

用粒子的观点，极大值处意味着到达的电子多，极小值处意味着到达的电子少。

从波的观点来看，极大值处表示波的强度大，极小值处表示波的强度小。

如果用玻恩的观点就能将粒子和波的概念统一起来。

因为2),,,(t z y x ψ即波的强度表示t 时刻、（x 、y 、z ）处发现电子的几率密度。

如果2),,,(t z y x ψ大，则电子出现几率大，因而电子出现的数目也多，此处为衍射极大值处；反之，如果2),,,(t z y x ψ小，则电子出现几率小，电子出现的数目也少，此处为衍射极小值处。

ψψψ*),,,(2==t z y x W 表示t 时刻、（x 、y 、z ）处发现粒子的几率密度。

§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释（一）物质波的波函数ψ（r ，t ）在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下：()λ-νπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡电磁波的表式单频率平面 ()()λ-νπ=λ-νπ=x t 2cos H H x t 2cos E E 0z z 0y y利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来❶：〔欧拉公式：〕 （16.2.4）根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5）表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x （16.2.6）这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7）物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8）❶ 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.（16.2.2） （16.2.3）（16.2.12） （16.2.13）（二）物质波波函数的统计解释物质波波函数ψ（r ，t ）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：在t 时刻，粒子出现在（x,y,z ）处的体积元dV=dxdydz 内的几率∝|ψ(r ，t)|2dxdydz=|ψ(r ，t)|2dV ．在t 时刻，粒出现在（x,y,z ）处的几率密度∝|ψ(r ，t)|2． （16.2.9）虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A 〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下： 〔微观粒子的几率密度〕 （16.2.10）这就是1926年玻恩提出的波函数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．（三）物质波波函数ψ的条件（1）波函数的标准条件在某一时刻t ，在空间某一定点（x,y,z ），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．（2）波函数的归一化条件在时刻t ，粒子出现在（x,y,z ）处的几率为|ψ|2dV ．在整个运动空间V 内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：〔波函数的归一化条件〕 （16.2.11） （四）非相对论的波函数本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v <<c 的情况．对此情况，粒子的总能ε与能量E 和动量p 的关系，可用经典力学的关系式来表示．对于自由粒子，由于没受外力作用，其势能E p =0，其能量E 就等于其动能E k ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ε<<总能自由粒子的时,c v m 2/p mc 2/m mc E E m 2/p 2/m E E E E .m m ,0E 2222022k p k 0p+=+=+=ε===+===v v 如〔附录16B 〕所示，计算v <<c 的粒子的几率密度|ψ|2时，静能E 0=m 0c 2不起作用．因❶ 杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版.、 此，可用能量E 代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψ❶．⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<时的波函数子轴运动的自由粒沿c x v（16.2.14）此式亦可推广于（16.2.8）式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<波函数时的自由粒子c v （16.2.15）❶〔美〕E ·H ·威切曼著，复旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版.。

简述波函数的物理意义波函数是量子力学中一个重要的概念，描述了处于量子状态的粒子的行为。

它是由施密特（Schmidt）、波尔（Bohr）等人引入，并得到了海森堡（Heisenberg）、薛定谔（Schrödinger）等人的进一步发展。

波函数的物理意义可以通过以下几个方面来描述。

1.粒子位置的概率分布：波函数的模的平方，即，Ψ(x,t)，²，描述了粒子在时间t和位置x处的概率分布。

这意味着波函数在特定时间和位置的值越大，粒子出现在该处的概率越高。

由此可见，波函数的物理意义之一是描述了粒子位置的概率。

2.粒子的运动：波函数是随时间和位置变化的，通过薛定谔方程来描述。

这个变化过程反映了粒子的运动。

薛定谔方程表明，波函数的时间演化由哈密顿算符H控制。

波函数演化的速度由哈密顿算符中的能量项决定。

因此，波函数的物理意义之二是描述了粒子的运动。

3.粒子的角动量：波函数还可以描述粒子的角动量。

对于自旋½的粒子，波函数有两个分量，表示上下自旋。

自旋是粒子固有的性质，描述了粒子对旋转的响应。

波函数中的自旋分量决定了粒子在不同方向上的自旋测量结果。

因此，波函数的物理意义之三是描述了粒子的角动量性质。

4.粒子的态叠加和测量：波函数还可以描述粒子的量子态叠加和测量过程。

量子态叠加是指当一个粒子处于多个不同状态之一时，它可以同时处于所有这些态的叠加态。

波函数中的不同分量对应于不同的态叠加。

测量过程会导致波函数的坍缩，即从叠加态向单个确定态的转变。

波函数的物理意义之四是描述了量子态叠加和测量的过程。

5.波函数的归一化：波函数的平方的积分必须为1，即∫，Ψ(x, t)，²dx=1、这是由于概率密度的归一性要求，即粒子必须出现在整个空间中。

波函数的归一化要求决定了波函数的形式和物理意义。

总的来说，波函数的物理意义是描述了量子态的性质、粒子的位置和运动、角动量等多个方面。

通过波函数可以得到与粒子相关的物理量，比如能量、动量、角动量等的平均值和概率分布。

波函数的物理意义是什么？
量⼦⼒学中的波函数是对系统量⼦态的数学描述。

我们可以把波函数看成是⼀个复数形式的概率振幅。

根据玻恩的量⼦⼒学描述，波函数的模⽅代表了⼀个粒⼦在空间某处出现的概率。

我们想要得到⼀个确定的波函数，⾸先要获得⼀组完备的⾃由度的集合，也就是题主所说的4个量⼦数。

⼀旦这四个量⼦数确定了，描述粒⼦状态的波函数才能唯⼀确定。

但是对于⼀个给定的系统，选择哪些⾃由度构成完备⾃由度的集合并不是唯⼀的。

对应地，波函数的域也不是唯⼀的。

例如波函数可以在实空间中⽤位置坐标描述，也可以在动量空间中⽤动量去描述，⼆者可以通过傅⾥叶变换联系在⼀起。

有些时候，对于⼀些⽆法描述清楚的实验现象，通过引进⼀些新的⾃由度，便可以很容易地解释。

⼀个粒⼦，⽐如电⼦和光⼦，它们的⾃旋⾮零，在⾃由度的完备集合中就需要包含⾃旋这个离散变量。

对于⼀个亚原⼦粒⼦还有可能包括⼀些其它离散变量⽐如同位旋。

图1. 经典和量⼦谐振⼦的对⽐
上图是经典和量⼦谐振⼦概念对单个⽆旋粒⼦的⽐较（图⽚来⾃Wikipedia）。

这两个过程差别很⼤。

经典过程（A-B）表⽰为粒⼦沿轨迹的运动。

量⼦过程（C-H）没有这样的轨迹。

相反，它表现为⼀个波; 这⾥纵轴表⽰波函数的实部（蓝⾊）和虚部（红⾊）。

（C-F）显⽰了薛定谔⽅程的四种不同的驻波解。

（G-H）还显⽰了两个不同的波函数，它们是薛定谔⽅程的解，但不是驻波。

图2. 氢原⼦中不同能量电⼦的波函数。

每⼀点的亮度代表了在该点处观察到电⼦的概率：点的亮度越亮，观察到电⼦的概率越⼤。

量子力学中的波函数及其物理意义波函数是描述量子力学中粒子性质与行为的重要概念。

它可以用数学方式表示，并提供了有关粒子位置、动量和能量等信息。

本文将探讨波函数的定义、性质以及其在量子力学中的物理意义。

一、波函数的定义与性质量子力学中的波函数用Ψ表示，它是一个复数函数，并且必须满足归一化条件。

波函数的平方值|Ψ|²表示了在给定位置上找到粒子的概率密度。

1. 归一化条件波函数必须满足归一化条件，即积分后的平方和为1。

一般来说，波函数在一定区域内的平方和代表了该粒子在该区域出现的概率。

2. 波函数的复数性质波函数是一个复数函数，其中实部和虚部分别表示了粒子的实部和虚部。

这两部分的相对大小和相位关系对波函数的演化和测量结果均有影响。

3. 波函数的连续性波函数必须在整个空间内是连续的，包括可能出现的间断点。

这个条件保证了波函数的物理意义和可解性。

二、波函数的物理意义波函数不是物理量本身，而是通过运算符作用于波函数上得到物理量的期望值。

波函数提供了以下重要信息：1. 粒子的位置分布通过波函数的平方值|Ψ|²，我们可以得到粒子在空间中出现的概率分布。

这反映了粒子的位置不确定性以及可能出现的空间区域。

2. 粒子的动量与能量波函数的动量空间表示称为动量波函数，它提供了粒子动量的概率分布。

从动量空间的角度来看，波函数的形态表现了粒子的动量空间分布。

3. 量子力学的态叠加与变化波函数可以通过超定线性组合的方式表示多个不同态的叠加状态。

这种态的叠加在量子力学中被称为叠加态，可以描述一系列可能发生的物理过程。

4. 测量与波函数塌缩当我们对粒子进行测量时，波函数会发生塌缩。

塌缩后的波函数代表了测量结果所对应的状态。

波函数的塌缩是量子力学中一种重要的随机现象。

三、波函数演化与时间依赖性波函数对时间的依赖性是量子力学中一个重要的研究方向。

根据薛定谔方程，波函数会随着时间的推移而发生演化。

波函数的时间演化可以揭示粒子的运动规律和行为。