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应⽤数值分析（第四版）课后习题答案第9章第九章习题解答1.已知矩阵=???=4114114114,30103212321A A 试⽤格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。
解：,24)2(,33)1(≤-≤-λλ2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞，试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii aa 1λ.解：,x Ax λ=∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11j n j i i ij i ii x ax a ∑≠==-1)(λj n j i i ij j n j i i ij i ii x a x ax a ∑∑≠=≠=≤=-11λ∑∑≠=≠=≤≤-nj i i ij i j n j i i ijii a x x a a 11λ3.⽤幂法求矩阵=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。
解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1];for k=1:100y=A*z;[c,i]=max(abs(y));if y(i)<0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d)<0.0001,break; endd=cend11.0000=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)===========强特征值为11，特征向量为T 0.7500)1.0000 0.5000(。
第一章1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nn xn x x n x x x **1***%2%2)()()()(*⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()x ()x (*n *n*n x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
第二章习题解答1.（1） R n×n中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。
（2）R n×n中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。
设A 是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明A -1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明：(1),n nA B A B R⨯∈证明：为上三角阵，为上三角阵，10(),0(),0(),,()(()),()()ij ij nij ik kj ij k n n T T T T T T T T T T a i j b i j C AB c a b c i j A B A B R AA A A E BB B B EAB AB ABB A E AB AB B A AB E AB =⨯∴=>=>==∴=>∴∈========∴∑则上三角阵对矩阵乘法封闭。
以下证明：为正交矩阵，为正交矩阵，为正交矩阵,故正交矩阵对矩阵乘法封闭。
（2）A 是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A -1 =A -1A=E 故（A -1）-1=A∴A -1（A -1）-1=（A -1）-1A -1 =E 故A -1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
设A 是非奇异的对称阵，证A -1也是非奇异的对称阵。
A 非奇异 ∴A 可逆且A -1非奇异 又A T =A ∴（A -1）T =（A T ）-1=A-1故A -1也是非奇异的对称阵设A 是单位上（下）三角阵。
证A -1也是单位上（下）三角阵。
证明：A 是单位上三角阵，故|A|=1，∴A 可逆，即A -1存在，记为（b ij ）n×n由A A -1=E ，则∑==nj ik jkij ba 1δ （其中0=ij a j ＞i 时，1=ii a ）故b nn =1, b ni =0 (n≠j)类似可得，b ii =1 (j=1…n) b jk =0 (k ＞j)即A -1是单位上三角阵综上所述可得。
第三章习题解答1.试讨论a 取什么值时，下列线性方程组有解，并求出解 。
123123123123212312311(1)1(2)1ax x x ax x x x ax x x ax x a x x ax x x ax a⎧++=++=⎧⎪⎪++=++=⎨⎨⎪⎪++=++=⎩⎩ 解：(1)111111111a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 经初等行变换化为1001/(2)0101/(2)0011/(2)a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 当2a ≠-时，方程组有解，解为111(,,).222Tx a a a =+++ (2)21111111a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 经初等行变换化为2100(1)/(2)0101/(2)001(21)/(2)a a a a a a -++⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦当2a ≠-时，方程组有解，解为21121(,,).222Ta a a x a a a +++=-+++2.证明下列方程组Ax=b12341123421233234432432385x x x x b x x x x b x x x b x x x b+--=⎧⎪-+-=⎪⎨+-=⎪⎪-+-=⎩ 当（1）(10,4,16,3).T b =-时无解；（2）(2,3,1,3).T b =时有无穷多组解。
解：(1) r(A)=3≠r(A,b)=4 当(10,4,16,3).T b =-时无解；(2) r(A)=3,r(A,b)=3 当(2,3,1,3).T b =时有无穷多组解。
3.用列主元高斯消元法求解Ax=b2233(1)477,12457A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 1231(2)234,13462A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1)x=(2,-2,1)T (2)x=(0,-7,5)T4.证明上（下）三角方阵的逆矩阵任是上（下）三角方阵。
实用回归分析第四版第一章回归分析概述1.3回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.第二章一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1一元线性回归有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0 i=1,2, …,nVar (εi)=σ2i=1,2, …,nCov(εi,εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(X i, εi)=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0, σ2) i=1,2, …,n2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i=0 。
证明：∑∑+-=-=niiiniXYYYQ12121))ˆˆ(()ˆ(ββ其中：01ˆˆˆˆi i i i iY X e Y Yββ=+=-0100ˆˆQ Qββ∂∂==∂∂即： ∑e i =0 ，∑e i X i =02.5 证明0ˆβ是β0的无偏估计。
证明：)1[)ˆ()ˆ(1110∑∑==--=-=ni i xx i n i iY L X X X Y n E X Y E E ββ )] )(1([])1([1011i i xx i n i i xx i ni X L X X X n E Y L X X X n E εββ++--=--=∑∑==1010)()1(])1([βεβεβ=--+=--+=∑∑==i xx i ni i xx i ni E L X X X nL X X X n E 2.6 证明 证明：)] ()1([])1([)ˆ(102110i i xx i ni i xx i ni X Var L X X X nY L X X X n Var Var εβββ++--=--=∑∑== 222212]1[])(2)1[(σσxxxx i xx i ni L X n L X X X nL X X X n +=-+--=∑=2.7证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR证明：2.8 验证三种检验的关系，即验证： （1）21)2(r r n t --=；（2）2221ˆˆ)2/(1/t L n SSE SSR F xx ==-=σβ 证明：（1）())1()1()ˆ(222122xx ni iL X n X XX nVar +=-+=∑=σσβ()()∑∑==-+-=-=n i ii i n i i Y Y Y Y Y Y SST 1212]ˆ()ˆ[()()()∑∑∑===-+--+-=ni ii ni i i i ni iY Y Y Y Y Y Y Y 12112)ˆˆ)(ˆ2ˆ()()SSESSR )Y ˆY Y Y ˆn1i 2ii n1i 2i +=-+-=∑∑==ˆt======（2）2222201111 1111ˆˆˆˆˆˆ()()(())(()) n n n ni i i i xxi i i iSSR y y x y y x x y x x Lβββββ=====-=+-=+--=-=∑∑∑∑2212ˆ/1ˆ/(2)xxLSSRF tSSE nβσ∴===-2.9 验证（2.63）式：2211σ)L)xx(n()e(Varxxii---=证明：0112222222ˆˆˆvar()var()var()var()2cov(,)ˆˆˆvar()var()2cov(,())()()11[]2[]()1[1]i i i i i i ii i i ii ixx xxixxe y y y y y yy x y y x xx x x xn L n Lx xn Lβββσσσσ=-=+-=++-+---=++-+-=--其中：222221111))(1()(1))(,()()1,())(ˆ,(),())(ˆ,(σσσββxxixxiniixxiiiniiiiiiiiLxxnLxxnyLxxyCovxxynyCovxxyCovyyCovxxyyCov-+=-+=--+=-+=-+∑∑==2.10 用第9题证明2ˆ22-=∑neiσ是σ2的无偏估计量证明：2221122112211ˆˆ()()()22()111var()[1]221(2)2n ni ii in niii i xxE E y y E en nx xen n n Lnnσσσσ=====-=---==----=-=-∑∑∑∑第三章1.一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？ 答：不能断定这个回归方程理想。
第四版数值分析习题第一章绪论设x>O,x 的相对误差为S ，求In x 的误差. 设x 的相对误差为2%,求x n 的相对误差. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位 ，试指出它们是几位有效数字： x = 1.1021, x^ = 0.031, x^ = 385.6, x^ = 56.430, x^ = 7 1.0.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限：(i)x *+x ；+x 4,(ii)x *x ；x ；,(iii )x ；/x ；,其中 x ；,x ；,x 3,x ；均为第 3题所给的数.计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 ？设\)=28,按递推公式AY n =Y n d- _ .783100( n=1,2,…)计算到Y 00.若取7783衣27.982(五位有效数字)，试问计算^00将有多大误差？ 求方程X 2 -56X • 1 =0的两个根，使它至少具有四位有效数字 (■ 783沁27.982).\ ------ d x 当N 充分大时，怎样求N 1 x? 正方形的边长大约为 100 cm ,应怎样测量才能使其面积误差不超过 s *2设 2 假定g 是准确的，而对t 的测量有土 0.1秒的误差，证明当t 增加时s 的绝对 误差增加，而相对误差却减小. 序列｛yn｝满足递推关系y n _ 10y n _ 1(n=1,2,…)，若y0 _ X 2 1.41 (三位有效数字),计算到y 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？计算f = c- 2 一1)6,取' 2 : 1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？f (x) =1 n (x X -1)，求 f(30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大改用另一等价公式ln(x_ Jx 2 T) = -ln(x +Jx 2 +1)计算,求对数时误差有多大？1. 2. 3. 4.5. 6.7.8.9.10.11.12.13.21 cm1 (、2 1)61 (32 . 2)3,99 -70、2.?若根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令证明V n (x)是n 次多项式,它的根是X 0^L ，X nJ ,且当x= 1 , -1 , 2时，f(x)= 0 , -3,4 ,求f(x)的二次插值多项式.给出cos x,0 ° < x 90。
应用回归分析第四版答案【篇一：应用回归分析人大版前四章课后习题答案详解】应用回归分析（1-4章习题详解）（21世纪统计学系列教材，第二（三）版，何晓群，刘文卿编著中国人民大学出版社）目录1 回归分析概述 ....................................................................................................... (6)1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？ (6)1.2 回归分析与相关分析的区别与联系是什么？ (7)1.3回归模型中随机误差项?的意义是什么？ (7)1.4线性回归模型的基本假设是什么？ (7)1.5 回归模型的设置理论根据是什么？在回归变量设置中应该注意哪些问题？ (8)1.6收集,整理数据包括哪些内容？ (8)1.7构造回归理论模型的基本根据是什么？ (9)1.8为什么要对回归模型进行检验？ (9)1.9回归模型有哪几个方面的应用？ (10)1.10为什么强调运用回归分析研究经济问题要定性分析和定量分析相结合? (10)2 一元线性回归 ....................................................................................................... . (10)2.1一元线性回归模型有哪些基本假定？ (10)2.2考虑过原点的线性回归模型足基本假定，求ny??*x??i1ii,i?1,2,...n 误差?1,?2,...?n仍满?1的最小二乘估计。
.............................................................................. 11 n2.3证明?e?o,?xe?0. .................................................................................. . (11)i?1ii?1ii2.4回归方程e(y)????x的参数?,?o101的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价？给出理由？ (12)2.5证明??0是??0的无偏估计。
第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。
(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。
(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。
解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。
(2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表：于是可得插值多项式：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+-代入可得215135(.).N =。
(3)用事后误差估计的方法可得误差为1501511751350656304.(.)(..).R -=-=-◆ 2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()ni i l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nki i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。
证明：①由Lagrange 插值多项式的误差表达式101()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行插值，其误差为0，亦即0()()ni ii f x l x f==∑精确成立，亦即1()ni i l x ==∑。
②分别取被插值函数()k f x x =，当k n ≤时Lagrange 插值多项式的误差表达式1001()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-=+∏，即0()()n i i i f x l x f ==∑，亦即0()nk k i i i l x x x ==∑，对于0k =，由①可知结论成立；对于12,,,k n = 时，特别地取0x =，则有000()nk i i i l x ==∑；而当1k n =+时知其Lagrange 插值误差为1001()()()()()()!n nni i i i f R x x x x x n ξ+===-=-+∏∏，于是有0()()()ni ii f x l x fR x ==+∑，即11()()nnk k i ii i i xl x xx x ++===+-∑∏，特别取0x =可得1201010011()()()nk n ni i n n i l x x x x x x x ++==-=-∑ ，证毕。
◆ 3、试验证Newton 插值多项式满足22()()n N x f x =。
解：由Newton 插值多项式0010012()()[,]()[,,]n N x f x f x x x x f x x x =+-+101010()()[,,,]()n n i i x x x x f x x x x x -=--++-∏可知20012001220211021102110020*********()()[,]()[,,]()()()()()()()()()()()()()()n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x f x x x x x x x x x x x f x =+-+--------=+-+----=◆4、已知0101()()()()(,,,n i f x x x x x x x x i n =---= 互异,)，求函数()f x 的p 阶差商01[,,,],p f x x x p n ≤ 。
解：由差商和函数值的关系式0100,()[,,,]()pj p pj j i i i jf x f x x x x x ==≠=-∑∏可知，当p n ≤时总有010[,,,]p f x x x =◆5、若()()()f x u x v x =，试证明：01001011[,]()[,][,]()f x x u x v x x u x x v x =+证明：由差商定义10110001101011010100101010101010001011()()()()()()[,]()()()()()()()()()()()()()()()[,][,]()f x f x u x v x u x v x f x x x x x x u x v x u x v x u x v x u x v x x x u x u x v x v x v x u x x x x x u x v x x u x x v x --==---+-=---=+--=+◆6、若已知2n n y =，求4n y ∆和4n y δ。
解：由向前差分、中心差分和函数值的关系可得44440432143211464242624222()***k kn n k k n n n n n n n n n n ny C y y y y y y +-=++++++++∆=-=-+-+=-+-+=∑444202112211221464242624222()***k k n n k k n n n n n n n n n n n y C y y y y y y δ+-=++--++---=-=-+-+=-+-+=∑7、考虑构造一个函数01()([,])xf x e x =∈的等距节点函数表，要使分段线性插值的误差不大于41102-⨯，最大步长h 应取多大？ 解：由等距分段线性插值的误差表达式222401110882()()max ()x h h R x f x e -≤≤≤=≤⨯从而可得200121.h -≤≈8、考虑构造一个函数01()([,])x f x e x =∈的等距节点函数表，要使分段Hermite 插值的误差不大于41102-⨯，最大步长h 应取多大？ 解：由等距分段Hermite 插值的误差表达式4444401110423842()()max ()!x h h R x f x e -≤≤≤=≤⨯ 从而可得121002899.h -≤≈ 9、对函数()f x ，取节点012,,x x x ，且已知001122''(),(),()f x y f x y f x y ===；①试对()f x 构造二次插值多项式2001122'()()()()P x h x y h x y h x y =++确定上式中基函数012(),(),()h x h x h x 。
②若要使2()P x 存在且唯一，插值节点012,,x x x 应满足什么条件？ 解：①依题意，二次多项式基函数012(),(),()h x h x h x 应分别满足：000010200'(),(),()h x y h x h x === （1） 101111200''(),(),()h x h x y h x === （2） 202122200'(),(),()h x h x h x y ===（3）由（1）（2）（3）可得212000210222()()()()()x x x x x y h x x x x x x +--=+--，02111022'()()()()x x x x y h x x x x --=--，010022012022()()()()()x x x x x y h x x x x x x +--=+--②由（1）（2）（3）可知欲使2()P x 存在且唯一，只需且必须插值节点02,x x 互异且0212x x x +≠。
10、设301()[,],,[,]f x C a b x x a b ∈∈，证明：1010100210012012102'()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x f x R x x x ---+--=+---++-其中2010116'''()()()()()R x x x x x f x x ξξ=--≤≤。
证明：令二次多项式10101200210012012102'()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x P x f x f x x x x x x x f x x x ---+--=+---+-则易见2()P x 满足：200200211''()(),()(),()()P x f x P x f x P x f x === 于是2()()()R x f x P x =-满足：0010'()()()R x R x R x ===因而201()()()()R x K x x x x x =--，引入辅助函数201()()()()()g t R t K x t x t x =---，则()g t 共有01(,x x x 二重),四个零点，依广义Rolle 定理，存在01[,]x x ξ∈满足：26660'''''''''''''''()()()()()()()()g R K x f P K x f K x ξξξξξ=-=--=-=从而6'''()()f K x ξ=，20116'''()()()()R x x x x x f ξ=--。
证毕。
11、设(),()i i h x h x 为Hermite 插值基函数，012(,,,,)i n = ，试证明： ①01()ni i h x ==∑②(()())niii i h x xh x x =+=∑证明：由Hermite 插值0'()()()()n niiiii i f x h x y h x yR x ===++∑∑，其误差表达式222022()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-+∏，故对于次数不高于一次的多项式函数()f x 有0()R x =，从而0'()()()nni i i i i i f x h x y h x y ===+∑∑，特别地取1(),f x x =，分别可得 ①1()nii h x ==∑；②0(()())niii i h x xh x x =+=∑12、试构造一个Hermite 三次多项式3()H x 逼近函数()f x ，满足以下条件。
