一元二次方程根的判别式练习题

根的判别式练习题一．填空题（共9小题）1．方程x2﹣5x﹣1＝0的根的判别式的值为．2．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．4．若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是．5．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是．6．等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是．7．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为．8．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝9．已知双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，则b的取值范围是．二．解答题（共5小题）10．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等实数根；（2）如果此方程有一个根为0，求m的值．11．已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x＝2是方程的根，则m的值为．13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m＝0（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为3，当△ABC为等腰三角形时，求m的值及△ABC的周长．14．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？参考答案与试题解析一．填空题（共9小题）1．方程x2﹣5x﹣1＝0的根的判别式的值为29．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝29，此题得解．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式Δ＝b2﹣4ac是解题的关键．2．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为0或4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于m的方程，解之即可求出m的值．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×m＝0，解得：m1＝0，m2＝4，∴m的值为0或4．故答案为：0或4．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为2．【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，继而可求得k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×k＝8﹣4k＝0，解得：k＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得Δ＝0．4．若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是且k≠0．【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别列出不等式组求解即可．【解答】解：根据题意可知，．解得：且k≠0，故答案为：且k≠0．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据题意列出不等式组是解题的关键．5．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是10．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．6．等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是25或16．【分析】等腰△ABC中，BC可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨论．当BC是底边时，AB＝AC，则方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实根，即Δ＝0，即可得到关于m的方程，求得m的值；当BC是腰时，则方程一定有一个解是x＝8，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边，即底边与m的值．【解答】解：在方程x2﹣10x+m＝0中，x1+x2＝10，当这两边是等腰三角形的腰时，有x1＝x2＝5，∴x1x2＝25＝m，当这两边的长有一边为8时，有8+x2＝10，∴x2＝2，m＝x1x2＝2×8＝16，∴m＝25或16．故答案为：25或16．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及等腰三角形中有两边相等的性质，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．7．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为±3或﹣5．【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案．【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，则k2﹣9＝0，解得k＝±3，②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＝0，即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0解得：k＝﹣5．故答案为±3或﹣5．【点评】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题．8．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝﹣．【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．【解答】解：∵方程有实根，∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，所以＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力．9．已知双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，则b的取值范围是b＞．【分析】根据方程解析式，可以得到＝﹣x+1，即可转化为一个一元二次方程，利用判别式求出b的取值范围．【解答】解：因为双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，即方程＝﹣x+1无解，去分母，得x2﹣x+b＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×b＝1﹣4b＜0，解得b＞．【点评】考查一元二次方程根的判别式和双曲线与直线的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．二．解答题（共5小题）10．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等实数根；（2）如果此方程有一个根为0，求m的值．【分析】（1）求出Δ＝1，即可证明方程总有两个不相等实数根；（2）把x＝0代入可得关于m的一元二次方程，即可解得答案．【解答】（1）证明：对关于x的一元二次方程，Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×（m2﹣2m）＝m2﹣2m+1﹣m2+2m＝1，∴Δ＞0，∴对于任意实数m，一元二次方程总有两个不相等实数根；（2）解：如果此方程有一个根为0，则×02﹣（m﹣1）×0+（m2﹣2m）＝0，∴m2﹣2m＝0，解得m＝0或m＝2，答：m的值为0或2．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式△与根个数的关系以及解一元二次方程的方法步骤，此题难度不大．11．已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0列出关于k的不等式组，求解即可．（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的值，代入原方程，求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴，解得k≤3且k≠2．（2）由题意得，k＝3，当k＝3时，方程为x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，牢记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实根．12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x＝2是方程的根，则m的值为．【分析】（1）根据根的判别式求出Δ＝（m﹣4）2+8，再根据根的判别式得出答案即可；（2）把x＝2代入方程，得出关于m的一元二次方程，再求出方程的解即可．【解答】（1）证明：2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0，Δ＝（﹣3m）2﹣4×2×（m2+m﹣3）＝9m2﹣8m2﹣8m+24＝m2﹣8m+24＝（m﹣4）2+8，因为不论m为何值，（m﹣4）2≥0，即Δ＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：把x＝2代入方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0得：2×22﹣3m×2+m2+m﹣3＝0，整理得：m2﹣5m+5＝0，解得：m＝，故答案为：．【点评】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的解等知识点，能熟记根的判别式的内容和一元二次方程的解的定义是解此题的关键．13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m＝0（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为3，当△ABC为等腰三角形时，求m的值及△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（m+1）2≥0，由此可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）分3为底边及3为腰长两种情况考虑：①当3为底边时，根据等腰三角形的性质可得出m的值，结合根与系数的关系可求出两根之和，由该值为负值可得出该结论不符合题意；②当3为腰长时，代入x＝3可求出m值，再利用根与系数的关系结合三角形的三边关系可求出△ABC的周长．综上即可得出结论．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（3m+1），c＝2m2+m，∴Δ＝[﹣（3m+1）]2﹣4（2m2+m）＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）解：设方程的两根为x1，x2．①当3为底边时，则两腰的长是方程的两根，∴Δ＝（m+1）2＝0，∴m＝﹣1，∴x1+x2＝3m+1＝3×（﹣1）+1＝﹣2＜0，∴此种情况不合题意，舍去；②当3为腰时，把x＝3代入方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m＝0得：9﹣3（3m+1）+2m2+m＝0，解得m1＝1，m2＝3．当m＝1时，x1+x2＝3m+1＝4，△ABC的周长为7；当m＝3时，x1+x2＝3m+1＝10，此时腰长为3，底为7，∵3+3＜7，∴此种情况不合题意，舍去．综上所述：m的值为1，△ABC的周长为7．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）分3为底边及3为腰长两种情况考虑．14．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根；（2）解：分两种情况：①若b＝c，∵方程x2﹣（k+2）x+2k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周长为5；②若b≠c，则b＝a＝1或c＝a＝1，即方程有一根为1，∵把x＝1代入方程x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，∴此时方程为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴方程另一根为2，∵1、1、2不能构成三角形，∴所求△ABC的周长为5．综上所述，△ABC的周长为5．。

一元二次方程专项练习60题1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当时，求m的值．2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0，（1）若方程的一根为0，求实数a的值；（2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值．3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0．（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根；（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0．6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，求m 的值．8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0．（1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+12m+x22=10，求m的值．11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12=11﹣x22，求k的值．12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根（1）求m的取值范围；（2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣2=0．（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根之积等于m2+9m﹣11，求的值．14．一元二次方程x2+kx﹣（k﹣1）=0的两根分别为x1，x2．且x12﹣x22=0，求k值．15．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．16．关于x的方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．17．已知关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，且关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n有小于2的正实根，求n的整数值．18．关于的方程2x3+（2﹣m）x2﹣（m+2）x﹣2=0有三个实数根分别为α、β、x0，其中根x0与m无关．（1）如（α+β）x0=﹣3，求实数m的值．（2）如α＜a＜b＜β，试比较：与的大小，并说明你的理由．19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．20．已知关于x的方程x2+（2m﹣3）x+m2+6=0的两根x1，x2的积是两根和的两倍，①求m的值；②求作以为两根的一元二次方程．21．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．问：（1）当k为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，求k的值．22．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．23．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根，求m的值．24．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．26．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．27．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当（x1+x2）•（x1﹣x2）=0时，求m的值．（友情提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则：，）28．关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．29．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．30．已知关于x的方程k有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两实根为x1和x2（x1≠x2），那么是否存在实数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．31．已知：关于x的方程x2+kx+k﹣1=0（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且（x1+x2）（x1﹣x2）=0，求k的值．32．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．33．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，（1）求a的取值范围；（2）若5x1+2x1x2=2a﹣5x2；求a的值．34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．35．一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0，（1）m为何实数时，方程的两个根互为相反数？（2）m为何实数时，方程的一个根为零？（3）是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数？36．已知一元二次方程kx2+x+1=0（1）当它有两个实数根时，求k的取值范围；（2）问：k为何值时，原方程的两实数根的平方和为3？37．关于x的方程为x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）证明：方程有两个不相等的实数根．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．38．已知：关于的方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根为x1，x2，若2（x1+x2）＞x1x2，求k的取值范围．39．已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m为何值时，方程总有两个实数根？（2）设方程的两实根分别为x1、x2，当x12+x22﹣x1x2=78时，求m的值．40．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个实数根，且=1时求m的值．41．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程有一根为2，求m的值，并求出此时方程的另一根．42．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7．求（x1﹣x2）2的值．43．已知方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．44．若关于x的一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．45．已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是x=﹣2，求k的值以及方程的另一根．46．已知x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，且满足（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，求m的值．47．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根；（2）若两个实数根平方和等于5，求k的值．48．若关于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和是2，求m的值．49．m为何值时，方程2x2+（m2﹣2m﹣15）x+m=0两根互为相反数？50．已知△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，第三边长为10，问k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这个等腰三角形的周长．51．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0（1）当k取什么值时，原方程有实数根；（2）对k选取一个合适的数，使方程有两个实数根，并求出这两个实数根的平方和．52．已知x1，x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根，（1）当a取何值时，方程两根互为倒数？（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求a的值．53．已知关于x的方程（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．54．已知一元二次方程8x2﹣（2m+1）x+m﹣7=0，根据下列条件，分别求出m的值：（1）两根互为倒数；（2）两根互为相反数；（3）有一根为零；（4）有一根为1．55．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，且x12+x22=9，求a的值．56．已知一元二次方程8y2﹣（m+1）y+m﹣5=0．（1）m为何值时，方程的一个根为零？（2）m为何值时，方程的两个根互为相反数？（3）证明：是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数．57．已知一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，求m的值及方程的另一个根．58．若关于x的方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，求a的值．59．已知△ABC的一边为5，另外两边恰是方程x2﹣6x+m=0的两个根．（1）求实数m的取值范围．（2）当m取最大值时，求△ABC的面积．60．已知等腰三角形的一边长a=1，另两边b、c恰是方程x2﹣（k+2）x+2k=0的两根，求△ABC的周长．参考答案：1．解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m ≤；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m2，∵，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=7，∴（2m﹣1）2﹣2m2=7，整理得m2﹣2m﹣3=0，解得m1=3，m2=﹣1，∵m ≤，∴m=﹣12．解：（1）把x=0代入原方程得﹣a+1=0，解得a=1；（2）设方程两个为x1，x2，根据题意得x1+x2==0，解得a=±2，当a=﹣2时，原方程化为2x2+3=0，此方程无实数解，∴a=23．解：由根与系数的关系可得：x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，又知x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（k+1）2﹣2（k+2）=6 解得：k=±3．∵△=b2﹣4ac=（k+1）2﹣4（k+2）=k2﹣2k﹣7≥0，∴k=﹣34．解：（1）比如：取k=3，原方程化为3x2+8x﹣3=0．…（1分）即：（3x﹣1）（x+3）=0，解得：x1=﹣3，x2=；…（2分）（2）由16+k＞0，解得k ＞﹣．…（3分）∵当k=0时，原方程化为2x﹣3=0；解得：x=，∴当k=0时，方程有一个实数根…（4分）∵当k ＞﹣且k≠0时，方程kx2+2（k+1）x﹣3=0为一元二次方程，∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（﹣3）=4k2+8k+4+12k=4k2+20k+4=[（2k）2+2×2k×1+1]+（16k+3）=（2k+1）2+16k+3，…（5分）∵（2k+1）2≥0，16k+3＞0，∴△=（2k+1）2+16k+3＞0．…（6分）∴当k ＞﹣且k≠0时，一元二次方程kx2+2（k+1）x﹣3=0有两个不等的实数根5．解：（1）∵△=16m2﹣8（m+1）（3m﹣2）=﹣8m2﹣8m+16，而方程有两个相等的实数根，∴△=0，即﹣8m2﹣8m+16=0，求得m1=﹣2，m2=1；（2）因为方程有两个相等的实数根，所以两根之和为0且△≥0，则﹣=0，求得m=0；（3）∵方程有一根为0，∴3m﹣2=0，∴m=．6．解：根据条件知：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴+==﹣1，∴=﹣1，即：m2﹣2m﹣3=0，解得：m=3或﹣1，当m=3时，方程为x2+9x+9=0，此方程有两个不相等的实数根，当m=﹣1时，方程为x2+x+1=0，此方程无实根，不合题意，舍去，∴m=37．解：根据题意得△=（2m+3）2﹣4m2＞0，解得m ＞﹣；根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，则2m+3=m2，整理得m2﹣2m﹣3=0，即（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1，则m=38．（1）证明：方程根的判别式△=[2（2﹣m）]2﹣4×1×（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2）﹣4（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2﹣3+6m）=4（1+2m+m2）=4（m+1）2（4分）∵无论m为何实数，4（m+1）2≥0恒成立，即△≥0恒成立．（5分）∴无论m取何实数，方程总有实数根；（6分）（2）解：由根与系数关系得x1+x2=﹣2（2﹣m）（7分）由题知x1+x2=m，∴m=﹣2（2﹣m）（8分）解得m=4．9．解：（1）∵△=（8+k）2﹣4×8k=（k﹣8）2，∵（k﹣8）2，≥0，∴△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解方程x2﹣（8+k）x+8k=0得x1=k，x2=8，①当腰长为5时，则k=5，∴周长=5+5+8=18；②当底边为5时，∴x1=x2，∴k=8，∴周长=8+8+5=2110．解：（1）△=[2（1﹣m）]2﹣4m2=4﹣8m，∵方程有两根，∴△≥0，即4﹣8m≥0，∴m ≤．（2）∵x1+x2=2（1﹣m），x1•x2=m2，且x12+12m+x22=10，∴m2+2m﹣3=0，解得 m1=﹣3，m2=1，又∵m ≤，∴m=﹣311．解：（1）∵方程有两个实数根，∴k≠0且△=（2k+1）2﹣4k（k﹣2）≥0，解得：k ≥﹣且k≠0，∴k的取值范围：k ≥﹣且k≠0．（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵x12=11﹣x22，∴x12+x22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11，∴﹣2（）=11，解得：k=﹣或k=1，∵k ≥﹣且k≠0，∴k=112．解：（1）∵方程x2+5x﹣m=0有两个实数根，∴△=25+4m≥0，解得：m ≥﹣；（2）将x=﹣1代入方程得：1﹣5﹣m=0，即m=﹣4，∴方程为x2+5x+4=0，设另一根为a，∴﹣1+a=﹣5，即a=﹣4，则m的值为﹣4，方程另一根为﹣413．解：（1）由题意得：△=[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣2）=m2+12，∵无论m取何值时，m2≥0，∴m2+12≥12＞0即△＞0恒成立，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程两根为x1，x2，由韦达定理得：x1•x2=m﹣2，由题意得：m﹣2=m2+9m﹣11，解得：m1=﹣9，m2=1，∴14．解：∵x12﹣x22=0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）=0，∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，当x1+x2=0，则x1+x2=﹣k=0，解得k=0，原方程变形为x2+1=0，此方程没有实数根，当x1﹣x2=0，则△=k2﹣4（k﹣1）=0，解得k1=k2=2，∴k的值为215．解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k 的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣316．解：（1）由△=[4（k+2）]2﹣4×4k•k＞0，∴k＞﹣1又∵4k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k理由：设方程4kx2+4（k+2）x+k=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，又==﹣=0，∴k=﹣2，由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解，∴不存在符合条件的k的值17．解：∵关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x∴a2x2+2ax+3x+1=0，∵关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，∴=1，∴a=±1，∵12a+9≥0，∴a=1∴关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n可化简为：x2+2（1+n）x+（1+2n）=0∴x1=﹣1，x2=﹣1﹣2n，∵关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n有小于2的正实根，∴0＜﹣1﹣2n＜2，∴n的整数值为﹣118．解：（1）由2x3+（2﹣m）x2﹣（m+2）x﹣2=0得（x+1）（2x2﹣mx﹣2）=0，∴x0=﹣1，（2分）α、β是方程2x2﹣mx﹣2=0的根∴，∵（α+β）x0=﹣3，所以m=6（4分）（2）设T=﹣=（5分）∵a＜b，∴b﹣a＞0，又a2+1＞0，b2+1＞0，∴＞0（6分）设f（x）=2x2mx﹣2，所以α、β是f（x）=2x2mx﹣2与x轴的两个交点，∵α＜a＜b＜β∴，即∴ma+mb＞2a2+2b2﹣4（8分）∴4﹣4ab+ma+mb＞2（a﹣b）2＞0（9分）∴T＞0，即＞19．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a﹣1）2﹣4（2a2﹣1）=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…（3分）∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，即3（x12+x22）﹣10x1x2=﹣80，∴3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3（3a﹣1）2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴（5a+33）（a﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣20．解：（1）∵原方程有两实根∴△=（2m﹣3）2﹣4（m2+6）=﹣12m﹣15≥0得①…（3分）∵x1+x2=﹣（2m﹣3）x1x2=m2+6…（4分）又∵x1x2=2（x1+x2），∴m2+6=﹣2（2m﹣3）整理得m2+4m=0解得m=0或m=﹣4…（6分）由①知m=﹣4…（7分）（2）∵…（9分），…（11分）由韦达定理得所求方程为…21．解：（1）若方程有实数根，则△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）≥0，∴k ≤，∴当k ≤，时，此方程有实数根；（2）∵此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，∴（|x1|+|x2|）2=9，∴x12+x22+2|x1x2|=9，∴（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=9，而x1+x2=2k﹣3，x1x2=k2+1，∴（2k﹣3）2﹣2（k2+1）+2（k2+1）=9，∴2k﹣3=3或﹣3，∴k=0或3，k=3不合题意，舍去；∴k=022．解：方程整理为x2﹣2（m+1）x+m2=0，∵关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2，∴△=4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m ≥﹣；∵|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，当x1=x2，则△=0，所以m=﹣，当x1=﹣x2，即x1+x2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，而m≥﹣，所以m=﹣1舍去，∴m 的值为﹣23．解：∵a=1，b=﹣2（2m﹣3），c=4m2﹣14m+8，∴△=b2﹣4ac=4（2m﹣3）2﹣4（4m2﹣14m+8）=4（2m+1）．∵方程有两个整数根，∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数．∵4＜m＜40，∴9＜2m+1＜81，∴2m+1=16，25，36，49或64，∵m为整数，∴m=12或24．代入已知方程，得x=16，26或x=38，52．综上所述m为12，或2424．解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且△=﹣12k+13＞0，可解得且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2，∵x1+x2=0，∴，∴，又∵且k≠1∴k不存在25．解：设关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，则：x1+x2=m，x1•x2=2m﹣1，∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=m2﹣2（2m﹣1）=m2﹣4m+2=23，解得：m1=7，m2=﹣3，当m=7时，△=m2﹣4（2m﹣1）=﹣3＜0（舍去），当m=﹣3时，△=m2﹣4（2m﹣1）=37＞0，∴m=﹣326．解：设x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=2（2﹣m），x1x2=m2+4，∵这两根的平方和比两根的积大21，∴x12+x22﹣x1x2=21，即：（x1+x2）2﹣3x1x2=21，∴4（m﹣2）2﹣3（m2+4）=21，解得：m=17或m=﹣1，∵△=4（m﹣2）2﹣4（m2+4）≥0，解得：m≤0．故m=17舍去，∴m=﹣127．解：∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，∴△=（2m﹣1）2﹣4m2=1﹣4m≥0，解得：m ≤；（2）∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，∴x1+x2=1﹣2m，x1x2=m2，∴（x1+x2）•（x1﹣x2）=0，当1﹣2m=0时，1﹣2m=0，解得m=（不合题意）．当x1=x2时，（x1+x2）2﹣4x1x2=4m2﹣4m+1﹣4m2=0，解得：m=．故m 的值为：28．解：（1）依题意得△=（k+2）2﹣4k •＞0，解之得k＞﹣1，又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=6，即（k+1）2﹣2（k+2）=6，解得：k=±3，当k=3时，△=16﹣4×5＜0，∴k=3（舍去）；当k=﹣3时，△=4﹣4×（﹣1）＞0，∴k=﹣329．解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．△=（5﹣3m）2+96m2＞0则：x1x2≤0，又∵，∴，又∵，，∴，∴，解得：m1=1，m2=530．解：（1）由＞0，解得k＞﹣1，又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k，理由如下：∵，，又，∴，解得经检验k=﹣是方程的解．由（1）知，当时，△＜0，故原方程无实根∴不存在符合条件的k的值31．（1）证明：△=k2﹣4（k﹣1）=k2﹣4k+4=（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程一定有两个实数根；（2）根据题意得x1+x2=﹣k，x1•x2=k﹣1，∵（x1+x2）（x1﹣x2）=0，∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，当x1+x2=0，则﹣k=0，解得k=0，当x1﹣x2=0，则△=0，即（k﹣2）2=0，解得k=2，∴k的值为0或232．解：∵关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，∴①，②∵2x1x2=x1﹣3x2，∴2x1x2+（x1+x2）=2（x1﹣x2），平方得4（x1x2）2+4x1x2（x1+x2）=3（x1+x2）2﹣16x1x2，将式①、②代入后，解得a=3，a=﹣1，当a=3时，原方程可化为10x2﹣12x+2=0，△=122﹣4×10×2=64＞0，原方程成立；当a=﹣1时，原方程可化为2x2+4x+2=0，△=42﹣4×2×2=0，原方程成立．∴a=3或a=﹣133．解：（1）根据题意得a﹣1≠0且△=4﹣4（a﹣1）＞0，解得a＜2且a≠1；（2）根据题意得x1+x2=，x1•x2=，∵5x1+2x1x2=2a﹣5x2，∴5（x1+x2）+2x1x2=2a，∴+=2a，整理得a2﹣a﹣6=0，解得a1=3，a2=﹣2，∵a＜2且a≠1，∴a=﹣234．解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k ﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．35．解：（1）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为相反数，∴x1+x2==0，解得m=1；（2）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的一个根为零，∴x1•x2==0，解得m=7；（3）设存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为倒数，则x1•x2==1，解得m=15；则原方程为4x2﹣7x+4=0，△=49﹣4×4×4=﹣15＜0，所以原方程无解，这与存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有两个根相矛盾．故不存在这样的实数m36．解：（1）∵方程有两个实数根，∴△=1﹣4k≥0且k≠0．故k ≤且k≠0．（2）设方程的两根分别是x1和x2，则：x1+x2=﹣，x1x2=，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，=﹣=3，整理得：3k2+2k﹣1=0，（3k﹣1）（k+1）=0，∴k1=，k2=﹣1．∵k ≤且k≠0，∴k=（舍去）．故k=﹣137．（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数．由题知：x1+x2=﹣（m+2）=0，解得：m=﹣2，将m=﹣2代入x2+（m+2）x+2m﹣1=0，解得：x=，∴m的值为﹣2，方程的根为x=38．解：（1）证明：由方程x2﹣kx﹣2=0知a=1，b=﹣k，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）=k2+8＞0，∴无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程x2﹣kx﹣2=0．的两根为x1，x2，∴x1+x2=k，x1x2=﹣2，又∵2（x1+x2）＞x1x2，∴2k＞﹣2，即k＞﹣139．解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，△=[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）=8m+16≥0，m≥﹣2，所以m≥﹣2时，方程总有两个实数根．（2）∵x12+x22﹣x1x2=78，∴（x1+x2）2﹣3x1x2=78，∵x1+x2=﹣，x1•x2=，∴﹣[2（m+1）]2﹣3×1×（m2﹣3）=78，解得m=5或﹣13（舍去），故m的值是m=540．解：∵关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0有两个实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4m2≥0，解得：m ≥﹣，∵+=1，∴=1，∴2m+3=m2，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m1=3，m2=﹣1（舍去）．故可得m=341．（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：把x=2代入方程，得22+2（m+2）+2m﹣1=0 解得m=﹣，设方程的另一根为x1，则2x1=2×（﹣）﹣1，解得x1=﹣42．解：∵x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=m2﹣2（2m﹣1）=7；解可得m=﹣1或5；当m=5时，原方程即为x2﹣5x+9=0的△=﹣11＜0无实根，当m=﹣1时，原方程即为x2+x﹣3=0的△=1+12=13＞0，有两根，则有（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=13．答：（x1﹣x2）2的值为1343．解：∵方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，∴△=4（k﹣2）2﹣4（k2+4）≥0，∴k≤0，设方程的两根分别为x1、x2，∴x1+x2=﹣2（k﹣2）…①，x1•x2=k2+4…②，∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22=x1•x2+21，即（x1+x2）2﹣3x1•x2=21，把①、②代入得，4（k﹣2）2﹣3（k2+4）=21，∴k=17（舍去）或k=﹣1，∴k=﹣1，∴原方程可化为x2﹣6x+5=0，解得x1=1，x2=544．解：不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0．理由如下：设方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣∵一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，∴4k≠0且△=16（k+2）2﹣4×4k×k＞0，∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，当x1+x2=0，∴﹣=0，∴k=﹣2，而k＞﹣1且k≠0，∴不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0 45．解：把x=﹣2代入原方程得4﹣2（k+3）+k=0，解得k=﹣2，所以原方程为x2+x﹣2=0，设方程另一个根为t，则t+（﹣2）=﹣1，解得t=1，即k的值为﹣2，方程的另一根为146．解：∵x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，∴x1+x2=2m，x1x2=3m．又（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，∴x1x2+2（x1+x2）+4=22﹣m2，3m+4m+4=22﹣m2，m2+7m﹣18=0，（m﹣2）（m+9）=0，m=2或﹣9．当m=2时，原方程为x2﹣4x+6=0，此时方程无实数根，应舍去，取m=﹣947．（1）证明：△=（k+1）2﹣4（2k﹣2）=k2﹣6k+9=（k﹣3）2，∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论k为何值时，该方程总有实数根；（2）解：设方程两根为x1，x2，则x1+x2=k+1，x1•x2=2k﹣2，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴（k+1）2﹣2（2k﹣2）=5，∴k1=0，k2=248．解：设方程的两根为x1，x2，∴x1+x2=﹣（m+1），x1•x2=m+4，而x12+x22=2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=2，∴（m+1）2﹣2（m+4）=2，解得m1=3，m2=﹣3，当m=3时，方程变形为x2+4x+7=0∵△=16﹣4×7＜0，∴此方程无实数根；当m=﹣3时，方程变形为x2﹣2x+1=0∵△=4﹣4×1=0，∴此方程有实数根，∴m=﹣349．解：若两根互为相反数，则△＞0，x1+x2=0，于是（m2﹣2m﹣15）2﹣4×2m≥0，又∵x1+x2=0，∴﹣=0，即m2﹣2m﹣15=0，解得，m=3，或m=5．当m=3时，（32﹣2×3﹣15）2﹣4×2×3=120＞0，符合题意；当m=5时，（52﹣2×5﹣15）2﹣4×2×5=﹣40＜0，不符合题意．故答案为：350．解：∵△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，则AB+AC=2k+2，AC×AB=k2+2k，分为三种情况：①若AB=AC时，则2AB=2k+2，AB2=k2+2k，AB=k+1，代入得：（k+1）2=k2+2k，此方程无解，即AB≠AC；②若AB=BC=10，则10+AC=2k+2，10AC=k2+2k，即AC=2k+2﹣10，代入得：10（2k+2﹣10）=k2+2k，解得：k1=10，k2=8，∴AC=12或8，③若AC=BC=10时，与②同法求出k=10或8，∴当AC=12，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=12+10+10=32，∴当AC=8，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=10+10+8=28，∴当k=10或k=8时，△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为32或2851．解：（1）△=4（k﹣1）2﹣4k2=4（k2﹣2k+1）﹣4k2=﹣8k+4≥0，∴k ≤，故当k ≤时，原方程有实数根；（2）选k=0，则原方程化为：x2+2x=0，设两实数根为：x1，x2，由根与系数的关系：x1+x2=﹣2，x1x2=0，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，=4﹣0=452．解：（1）方程两根互为倒数，根据根与系数的关系x1•x2=1，即a2=1，a=±1，当a为1或﹣1时，方程两根互为倒数；（2）∵|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，当x1=x2时△=0，即（2a﹣1）2﹣4a2=0﹣4a+1=0，a=﹣，当x1=﹣x2时，2a﹣1=0，a=．∴方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，a 的值是﹣或53．解：：（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2方程有两个相等的实数根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2=﹣4m+4=0，∴m=1．原方程化为：x2+x+1=0 x2+4x+4=0，（x+2）2=0，∴x1=x2=﹣2．（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．∵x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去），又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．54．解：设原方程的两根为x1、x2（1）∵两根互为倒数，∴两根之积为1x1•x2==1，解得m=15，（2）∵两根互为相反数，∴x1+x2==0，∴m=﹣，（3）当有一根为零时，∴m﹣7=0，∴m=7，（4）当有一根为1时，∴8﹣2m﹣1+m﹣7=0，解得m=055．解：（1）当a﹣1=0即a=1时，方程不是一元二次方程；当a≠1时，由△=b2﹣4ac≥0，得（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）≥0，解得a ≤，∵a﹣1≠0，∴a≠1，则a的取值范围是a ≤且a≠1，（2）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，∴x1+x2=，x1x2=．又∵x12+x22=9，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=9．（）2﹣2×=9．整理，得7a2﹣8a=0，a（7a﹣8）=0．∴a1=0，a2=（舍去）．经检验0是方程的根．故a=056．解：（1）若方程的一个根为零，则m﹣5=0，解得m=5，（2）若方程的两个根互为相反数，则两根之和为0，故=0，解得m=﹣1，（3）若方程两根互为倒数，则=1，解得m=13，当m=13时，方程是8y2﹣14y+8=0，即4y2﹣7y+4=0，根的判别式△=﹣15＜0，故不存在实数m，使方程的两个根互为倒数57．解：设另一根为x，∵一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，∴m+1﹣1+m2﹣3m﹣3=0，解得m=3或﹣1（舍去），故m=3，∴x+1==，∴x=﹣，故另一根为﹣．58．解：设方程的两根为x1，x2，∵关于x的一元二次方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，∴a2﹣3≠0，x1•x2==1，∴a2=4，∴a=2或﹣2，当a=2时，原方程变形为x2+1=0，△=﹣4＜0，此方程无实数根，∴a=﹣2．即a的值是﹣259．解：（1）设另两边为x1，x2，且x1＞x2．∴由韦达定理，得x1+x2=6，x1•x2，=m；根据三边关系得：x1+x2=6＞5 ①；∴x1﹣x2==＜5；解得，m ＞；又∵△=36﹣4m≥0，解得，m≤9，∴m 的取值范围是：＜m≤9；（2）当m取最大值，即m=9时，由原方程得x2﹣6x+9=0，即（x﹣3）2=0，解得，x1=x2=3，过点A作AD⊥BC于点D．∴AD=∴S△ABC =．60．解：x2﹣（k+2）x+2k=0（x﹣2）（x﹣k）=0，∴x1=2，x2=k，∵当k=2时，b=c=2，周长为5，∴当k=1时，1+1=2，不能构成三角形，∴周长为5。

（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中 ，没有实数根，故本选项错误；

一元二次方程的根的鉴别式1、方程 2x 2+3x －k=0根的鉴别式是；当 k时，方程有实根。

2、对于 x 的方程 kx2+(2k+1)x － k+1=0的实根的状况是 。

3、方程 x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。

4、对于 x 的方程 (k2+1)x 2－ 2kx+(k 2+4)=0 的根的状况是。

5、当 m时，对于 x 的方程 3x 2－ 2(3m+1)x+3m 2－ 1=0有两个不相等的实数根。

6、假如对于 x 的一元二次方程 2x(ax － 4) － x 2+6=0没有实数根， 那么 a 的最小整数值是。

2+(2m － 1)x － 2=0的根的鉴别式的值等于 4，则 m=。

7、对于 x 的一元二次方程 mx8、设方程 (x －a)(x － b) －cx=0 的两根是 α 、β ，试求方程 (x －α )(x － β)+cx=0 的根。

9、不解方程，判断以下对于 x 的方程根的状况：(1)(a+1)x 2－2a 2 x+a 3=0(a>0)(2)(k 2+1)x 2－ 2kx+(k 2+4)=022210、m 、n 为何值时，方程 x+2(m+1)x+3m +4mn+4n +2=0有实根 ?2 2211、求证：对于 x 的方程 (m +1)x－ 2mx+(m+4)=0 没有实数根。

22+2(m+1)x+1=0 ，试问： m 为何实数值时，方程有实数根 ?12、已知对于 x 的方程 (m － 1)x 13、 已知对于 x的方程 x 2－ 2x － m=0无实根 (m 为实数 ) ，证明对于 x 的方程 x 2+2mx+1+2(m 2－ 1)(x2+1)=0 也无实根。

14、已知： a>0,b>a+c, 判断对于 x 的方程 ax 2+bx+c=0根的状况。

15、m为何值时，方程 2(m+1)x 2+4mx+2m － 1=0。

(1) 有两个不相等的实数根；(2) 有两个实数根； (3) 有两个相等的实数根；(4) 无实数根。