一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程根的判别式介绍在高中数学中，我们学习了一元二次方程及其解法。

一元二次方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，而x是未知数。

解一元二次方程的第一步是通过求解判别式来判断方程有几个实根。

判别式是一个用于判断方程有无实根的数值，它的值可以通过方程中的系数来计算。

判别式的计算公式判别式D的计算公式如下：D=b2−4ac其中，a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx+c=0的系数。

判别式的值决定了一元二次方程的解的性质：•当D>0时，方程有两个不相等的实根。

•当D=0时，方程有两个相等的实根。

•当D<0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。

数学实例让我们通过一个数学实例来理解一元二次方程根的判别式。

假设我们有一个一元二次方程2x2−5x+3=0。

根据判别式的计算公式，我们可以计算出判别式的值：$$D = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 25 - 24 = 1$$因为D>0，所以这个方程有两个不相等的实根。

接下来，我们可以通过求根公式来求解这个方程的根：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a}$$代入方程的系数和判别式的值，我们可以得到：$$x = \\frac{-(-5) \\pm \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 \\pm 1}{4}$$所以，这个方程的两个根分别是 $x_1 = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}$ 和 $x_2 = \\frac{4}{4} = 1$。

因此，一元二次方程2x2−5x+3=0的解是 $x = \\frac{3}{2}$ 和x=1。

结论判别式是一元二次方程根的重要工具，通过判别式可以判断方程的解的性质。

当判别式大于零时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实根；当判别式小于零时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。

一元二次方程的求根公式是啥求根公式分为两个部分：计算判别式和计算根的表达式。

首先，计算判别式，判别式是Δ = b^2 - 4ac。

判别式Δ 可以帮助我们判断方程有多少个实根，根的类型以及相应的解。

如果Δ>0，方程有两个实根（不相等），公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。

如果Δ=0，方程有一个实根（重根），公式为x=-b/(2a)。

如果Δ<0，方程没有实根，存在复数解，公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)，其中i是虚数单位。

接下来，我们将详细解释三种情况的求根公式。

1.当Δ>0时，方程有两个实根（不相等），根的公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。

在这种情况下，我们需要计算两个不同的实根。

例如，给定方程2x^2+5x-3=0，则有a=2，b=5，c=-3由判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 49，显然Δ > 0。

根据一元二次方程的求根公式，我们计算两个实根：x1=(-5+√49)/(2*2)=(-5+7)/4=2/4=0.5x2=(-5-√49)/(2*2)=(-5-7)/4=-12/4=-3因此，方程2x^2+5x-3=0的两个实根分别为0.5和-32.当Δ=0时，方程有一个实根（重根），根的公式为x=-b/(2a)。

在这种情况下，方程只有一个解，解是重根。

例如，给定方程x^2+6x+9=0，则有a=1，b=6，c=9根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(9) = 0，显然Δ = 0。

根据一元二次方程的求根公式，我们计算重根：x=-6/(2*1)=-6/2=-3因此，方程x^2+6x+9=0的一个实根是-33.当Δ<0时，方程没有实根，存在复数解，根的公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)。

在这种情况下，方程没有实数解，但可以使用复数单位i表示解。

例如，给定方程x^2+2x+5=0，则有a=1，b=2，c=5根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = -16，显然Δ < 0。

一元二次方程求根公式是数学中的一个重要知识点，下面总结了一元二次方程求根公式，供大家参考。

一元二次方程求根公式当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0）其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

一元二次方程的解法（一）开平方法形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

（二）配方法用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

（三）求根公式用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)。

第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。

二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。

2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。

3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。

4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。

（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。

主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。

如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。

一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。

如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。