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一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。
二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。
2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。
3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。
4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。
（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。
一元二次方程根的判别条件一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数且a≠0。
一元二次方程的根是指方程的两个解，即满足方程的x值。
根据判别式的值，可以将一元二次方程的根的情况分为以下三种：1.判别式大于0（b^2 - 4ac > 0）：方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式，方程的两个根分别为：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) 和 x2 = (-b -√(b^2 - 4ac)) / (2a)。
2.判别式等于0（b^2 - 4ac = 0）：方程有两个相等的实数根，即重根。
根据求根公式，方程的两个根相等，都为：x = -b / (2a)。
3.判别式小于0（b^2 - 4ac < 0）：方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。
根据求根公式，方程的两个根分别为：x1 = (-b + √(-Δ)i) / (2a) 和x2 = (-b - √(-Δ)i) / (2a)，其中i是虚数单位。
判别式Δ = b^2 - 4ac的值决定了方程根的情况。
通过判断Δ的值，我们可以确定一元二次方程的根是实数根还是复数根，以及是否有重根。
总结：一元二次方程根的判别条件是根据判别式Δ = b^2 - 4ac的值来判断方程的根的情况，包括有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根（重根）以及没有实数根（有两个共轭的复数根）。
这些判别条件可以帮助我们确定方程的根的性质。
习题及方法：1.习题：解方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
方法：根据求根公式，a = 1, b = -5, c = 6。
计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1。
因为Δ > 0，所以方程有两个不相等的实数根。
应用求根公式得到：x1 = (5 + 1) / 2 = 3x2 = (5 - 1) / 2 = 1答案：x1 = 3, x2 = 1。
第四课时
解一元二次方程（根的判别式）
学习目标：
1、熟练使用公式法解一元二次方程。
2、会用ac b 42
-的值来判断一元二次方程。
授课内容：
1、用公式法法解下列方程：
（1）0222=--x x （2）0122=+-x x （3）0222=+-x x .
2、观察上述方程的根，方程（1）两个实数根________，方程（2）两实数根________， 方程（3）_______________。
那么方程根出现不同情况是由什么来判断的呢？
3,结论：一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根的情况可由ac b 42-来判定： 当__________时，方程有两个不相等的实数根；
当__________时，方程有两个相等的实数根；
当__________时，，方程没有实数根。
我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根的判别式 说明：（1）可以不解方程求ac b 42
-的值来判别方程的根的情况。
（2）上述结论反过来也成立。
例题讲解
例1、不解方程，判别方程根的情况：
（1）0132=-+x x （2）0962
=+-x x
（3）04322=+-y y （4）x x 5252=+
变式：求证：不论x 取何值时，关于x 的一元二次方程012
=--kx x 总有两个不相等的实
数根。
例2、k 取什么值时，关于x 的方程022)2(22=-++-k x k x 有两个相等的实数根？有
两个不等的实数根？无实数根？
变式1：已知关于0232
=-+-k x x 有实数根，求k 的取值范围。
例3、已知关于x 的方程220kx +-=有两个不相等的实数根．．．．．．．．．，求k 的取值范围。
变式:关于x 的方程．．2
(2)2(1)10k x k x k ---++=有实数根，求k 的取值范围。
课堂练习:
1,已知关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=，K 取什么值时
○
1、方程有两个不相等的实数根； ○
2、方程有两个相等的实数根； ○
3、方程无实数根；
2,试说明关于x 的方程222(1)2(4)0m
x mx m +-++=无实数根。
随堂练习
1、下列方程中，没有实数根的是__________________。
(填序号)
①0252=+-x x ②013232
=+-x x ③0122=+--x x ④04322=+-x x 2、方程0122
=--mx x 根的情况是___________________________。
3、若关于x 的方程240x x a ++=有两个相等的实数根，则=a __________。
4、若关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有实数根，则k 的取值范围是____________。
5、若关于x 的方程22(1)(1)a x b x -=-有两个相等的实数根，则a 与b 的关系是_________。
6、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是____________。
7,不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）2260x x +-=； （2）242x x +=； （3）x x 3142
-=+
（4）3x 2－x ＋1 = 3x （5）5（x 2＋1）= 7x （6）3x 2－43x =－4 8、当m 为何值时，一元二次方程()()
033222=-+-+m x m x 。
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
9、求证：关于x 的一元二次方程2253(1)4302
x m x m m --+-+=没有实数根。
10、关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，求a 的取值范围。
