第三章 参数估计

第三章参数估计重点：1.总体参数与统计量2.样本均值与样本比例及其标准误差难点：1.区间估计2.样本量确实定知识点一：总体分布与总体参数统计分析数据的方法包括：描绘统计和推断统计〔第一章〕推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法，包括参数估计和假设检验两大类。

总体分布是总体中所有观测值所形成的分布。

总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。

通常有总体平均数〔μ〕总体方差〔σ2〕总体比例〔π〕知识点二：统计量和抽样分布总体参数是未知的，但可以利用样本信息来推断。

统计量是根据样本数据计算的用于推断总体的某些量，是对样本特征的某个概括性度量。

统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔 s2〕、样本比例〔p〕等。

构成统计量的函数中不能包括未知因素。

由于样本是从总体中随机抽取的，样本具有随机性，由样本数据计算出的统计量也就是随机的。

统计量的取值是根据样本而变化的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。

[例题·单项选择题]以下为总体参数的是( )a．样本均值b．样本方差c．样本比例d．总体均值答案：d解析：总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。

通常有总体平均数、总体方差、总体比例题·判断题：统计量是样本的函数。

答案：正确解析：统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔〕、样本比例〔p〕等。

构成统计量的函数中不能包括未知因素。

[例题·判断题]在抽样推断中，作为推断对象的总体和作为观察对象的样本都是确定的、唯一的。

答案：错误解析：作为推断对象的总体是唯一的，但作为观察对象的样本不是唯一的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。

〔一〕样本均值的抽样分布设总体共有n个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在重置抽样时，共有n n种抽法，即可以组成n n不同的样本，在不重复抽样时，共有个可能的样本。

每一个样本都可以计算出一个均值，这些所有可能的抽样均值形成的分布就是样本均值的分布。

参数估计的一般步骤引言：参数估计是统计学中一项重要的任务，它用于根据样本数据来推断总体参数的值。

参数估计的一般步骤包括确定估计方法、选择样本、计算估计值和进行推断。

本文将详细介绍参数估计的一般步骤，并以人类的视角进行描述，使读者更好地理解和应用这些步骤。

一、确定估计方法在参数估计中，首先需要确定合适的估计方法。

估计方法可以分为点估计和区间估计两种。

点估计方法通过单个数值来估计参数的值，例如最大似然估计和矩估计。

区间估计方法则通过一个区间来估计参数的范围，例如置信区间估计。

选择合适的估计方法是参数估计的第一步。

二、选择样本在确定了估计方法后，接下来需要选择合适的样本进行参数估计。

样本应当具有代表性，能够反映总体的特征。

为了保证样本的代表性，可以使用随机抽样方法来选择样本。

通过合理选择样本，可以减小估计误差，提高参数估计的准确性。

三、计算估计值在选择好样本后，需要计算参数的估计值。

对于点估计方法，可以使用最大似然估计或矩估计等方法来计算参数的估计值。

对于区间估计方法，可以使用置信区间估计来计算参数的范围。

计算估计值时，需要根据样本数据和估计方法进行相应的计算，确保估计结果的准确性。

四、进行推断在计算得到估计值后，需要进行推断，即根据估计值对总体参数进行推断。

对于点估计方法，可以直接使用估计值作为总体参数的估计值。

对于区间估计方法，可以使用置信区间来表示总体参数的范围。

通过推断可以了解总体参数的可能取值范围，帮助做出正确的决策和预测。

总结：参数估计的一般步骤包括确定估计方法、选择样本、计算估计值和进行推断。

在进行参数估计时，需要选择合适的估计方法和样本，计算出估计值，并进行相应的推断。

参数估计在统计学中扮演着重要的角色，它帮助我们根据样本数据来推断总体参数的值，从而更好地了解和应用统计学。

通过本文的介绍，希望读者能够更好地理解和应用参数估计的一般步骤。

第三章 假设检验例子例1：某糖厂用自动打包机装糖。

已知每袋糖的重量（单位：千克）服从正态分布()2~,X N μσ。

今随机抽查9袋，称出它们的重量并计算得到*48.5, 2.5x s ==。

取显著性水平0.05α=。

在下列两种情形下分别检验()01:50 :50H H μμ=≠22(1) 4 (2)σσ=未知解：()()2*01220.97512~,48.5, 2.5,9,0.05:50 :50(1) 4 (2)(1) 2.251.962.25 1.96X N x s n H H u uu αμσαμμσσ-=====≠======>糖的重量，现在已知显著性水平，在两种情形下检验：未知解：计算检验统计量的观测值 临界值，因为，所以拒绝原假设即不能认为糖的重量50的平均值是千克，即打包机工作不正常。

()()()()2*0120.97512~,48.5, 2.5,9,0.05:50 :50(2) 1.818 2.306 1.8 2.306X N x s n H H t t n t αμσαμμσ-=====≠===-==<糖的重量，现在已知显著性水平，在两种情形下检验：未知解：计算检验统计量的观测值 临界值，因为，所以不能拒绝原假设，即不能认为打包机工作不正常。

例2：在上题中，试在显著性水平0.1α=下检验()2201: 4 :4H H σσ=>()()()()*2201*22202210.948.5, 2.5,9,0.1: 4 :4112.51813.36212.513.362.x s n H H n s n αασσχσχχ-=====>-==-==<显著性水平，解：计算检验统计量的观测值 临界值，因为，所以不能拒绝原假设，即不能认为打包机工作不正常例3：监测站对某条河流每日的溶解氧（DO ）质量浓度记录了30个数据，并由此算得 2.52, 2.05x s ==。

已知这条河流的每日DO 质量浓度服从()2,N μσ，试在显著性水平0.05α=下检验()01: 2.7 : 2.7H H μμ=≠。

参数估计的基本原理参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指通过对已知的样本数据进行分析和计算，来估计总体参数的值。

在实际应用中，参数估计是非常常见的，比如在医学研究中，我们希望通过对一部分人群的数据进行分析，来估计整个人群的某种特征。

本文将介绍参数估计的基本原理，包括点估计和区间估计两种方法。

点估计是指通过样本数据来估计总体参数的值。

在点估计中，我们通常会选择一个统计量作为参数的估计值，比如样本均值、样本方差等。

以样本均值作为总体均值的估计值为例，我们可以通过对样本数据进行求和然后除以样本容量来得到样本均值，然后将样本均值作为总体均值的估计值。

值得注意的是，点估计得到的估计值通常是不准确的，因为样本数据只是总体数据的一部分，所以我们需要通过一定的方法来评估估计值的准确性。

区间估计是指通过样本数据来估计总体参数的范围。

在区间估计中，我们会计算出一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的概率。

以置信区间为例，我们可以通过对样本数据进行分析和计算，得到一个区间，这个区间有一定的概率包含了总体参数的真实值。

与点估计相比，区间估计能够提供更多的信息，因为它不仅给出了参数的估计值，还给出了估计值的准确程度。

参数估计的基本原理可以总结为，通过对样本数据进行分析和计算，来估计总体参数的值。

在实际应用中，我们通常会选择点估计或区间估计这两种方法来进行参数估计。

在进行参数估计时，我们需要注意样本数据的代表性和样本容量的大小，以及估计值的准确性和置信水平等因素。

通过合理的参数估计，我们可以更好地理解总体数据的特征，从而为实际问题的解决提供更有力的支持。

综上所述，参数估计是统计学中的重要概念，它通过对样本数据进行分析和计算，来估计总体参数的值。

点估计和区间估计是参数估计的两种基本方法，它们分别给出了参数的估计值和估计范围。

在进行参数估计时，我们需要考虑样本数据的代表性和样本容量的大小，以及估计值的准确性和置信水平等因素。

参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。

在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。

参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。

本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。

最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。

似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。

最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。

换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。

最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。

但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。

另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。

贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。

在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。

贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。

但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。

对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。

而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。

当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。

总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。

最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。

参数估计的一般步骤
参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的值。

它是一个重要的统计推断技术，可以帮助我们了解和描述总体的特征。

参数估计的一般步骤如下：
1. 确定研究对象和目标参数：首先，我们需要明确研究对象是什么，需要估计的是哪个参数。

例如，我们可能希望估计某个产品的平均寿命，那么研究对象是产品，目标参数是平均寿命。

2. 收集样本数据：为了进行参数估计，我们需要收集一定数量的样本数据。

样本应该能够代表总体，并且必须是随机选择的，以避免抽样偏差。

3. 选择合适的估计方法：根据研究对象和目标参数的不同，我们可以选择不同的估计方法。

常见的估计方法包括点估计和区间估计。

点估计给出一个单一的数值作为参数的估计值，而区间估计给出一个范围，以表明参数估计值的不确定性。

4. 计算估计值：根据选择的估计方法，我们可以使用样本数据计算出参数的估计值。

例如，对于平均寿命的估计，我们可以计算样本的平均值作为总体平均寿命的估计值。

5. 评估估计的准确性：估计值的准确性可以通过计算估计的标准误
差或置信区间来评估。

标准误差反映了估计值与真实参数值之间的差异，而置信区间提供了参数估计值的不确定性范围。

6. 解释和应用估计结果：最后，我们需要解释估计结果并应用于实际问题中。

根据估计结果，我们可以得出结论，做出决策或提出建议。

参数估计是一种重要的统计推断方法，可以帮助我们了解总体特征并做出准确的推断。

通过正确的步骤和方法，我们可以获得可靠的参数估计结果，并将其应用于实际问题中。

第三章多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计是指通过给定的数据样本，使用其中一种方法来计算出回归模型的参数值。

在多元线性回归模型中，我们有多个自变量与一个因变量之间的关系，因此需要估计出每个自变量的系数。

参数估计是回归模型的核心内容之一，它能够通过对样本数据的分析和处理，得到模型中的参数值，从而建立起模型与实际数据之间的映射关系。

常用的多元线性回归模型的参数估计方法有最小二乘法和最大似然估计法。

最小二乘法是一种最常用的参数估计方法。

它的基本思想是通过最小化因变量的观测值与模型预测值之间的平方误差，来确定模型参数的最佳估计值。

最小二乘法的优点是数学上简单且易于计算，但对于异常值的敏感性较强。

最大似然估计法是另一种常用的参数估计方法。

它的基本思想是找到最能使观测数据发生的概率最大的模型参数，从而得到最优的参数估计值。

最大似然估计法具有较好的统计性质，但它的计算复杂度较高，需要对似然函数进行极大化求解。

在实际应用中，我们需要根据实际情况选择合适的参数估计方法。

通常情况下，最小二乘法是首选的方法，因为它具有简单和直观的优点，适用于大多数情况。

但当样本数据存在异常值或者数据分布不符合正态分布假设时，最大似然估计法可能是更好的选择。

无论是最小二乘法还是最大似然估计法，其核心问题都是通过最优化方法找到使得模型和观测数据之间的误差最小的参数值。

这一过程需要使用数学工具和计算方法进行求解，可以使用迭代算法，如牛顿法或梯度下降法，来逐步逼近最优解。

参数估计的结果可以告诉我们每个自变量对因变量的贡献程度。

因此，一个良好的参数估计能够帮助我们更好地理解数据，预测因变量，以及识别自变量之间是否存在相互影响。

总而言之，多元线性回归模型的参数估计是通过最小化模型与观测数据之间的误差，找到最佳的模型参数值的过程。

合理选择参数估计方法，并进行有效的数学计算，能够为我们提供有关数据和模型之间的重要信息，并为进一步的分析和应用提供基础。

《生物统计学》习题二第三章 参数估计1．由某人工幼龄林中，随机抽取500株林木组成样本，得其胸径资料如下表（单位：127，118，121，113，145，125，87，94，118，111，102，72，113，76，101，134，107，118，114，128，118，114，117，120，128，94，124，87，88，105，115，134，89，141，114，119，150，107，126，95，137，108，129，136，98，121，91，111，134，123，138，104，107，121，94，126，108，114，103，129，103，127，93，86，113，97，122，86，94，118，109，84，117，112，125，94，79，93，112，94，102，108，158，89，127，115，112，94，118，114，88，111，111，104，101，129，144，128，131，142。

将样本资料分组整理，列出频率分布表，绘出样本频率分布图。

3．设总体ξ服从泊松（Poisson ）分布，其概率分布为),2,1,0(0,!);(x x e x p x现从总体ξ中抽取样本,,,,21n x x x 试求参数的最大似然估计量。

4．由某幼龄林中，用重复抽样方式随机抽取100株组成样本，观察样本各单元的胸径重复抽样方式随机抽取20株，求得平均苗高m x 3.2 。

若所给的置信概率为95%，试求苗高的均值μ的置信区间，误差限和精度。

6．对杨树进行插条育苗试验，经过一定阶段生长后，用重复抽样方式抽取20株，得到苗高的资料为（单位：cm ）：185，320，310，256，202，250，207，152，280，323，306，160，262，240，248，133，262，276，298，240，试以95％的可靠性对杨树苗木的平均高进行估计（苗高服从正态分布）。

第三章 估计理论1. 估计的分类矩估计：直接对观测样本的统计特征作出估计。

参数估计：对观测样本中的信号的未知参数作出估计。

待定参数可以是未知的确定量，也可以是随机量。

点估计：对待定参量只给出单个估计值。

区间估计：给出待定参数的可能取值范围及置信度。

(置信度、置信区间) 波形估计：根据观测样本对被噪声污染的信号波形进行估计。

预测、滤波、平滑三种基本方式。

✓ 已知分布的估计✓ 分布未知或不需要分布的估计。

✓ 估计方法取决于采用的估计准则。

2. 估计器的性能评价✧ 无偏性：估计的统计均值等于真值。

✧ 渐进无偏性：随着样本量的增大估计值收敛于真值。

✧ 有效性：最小方差与实际估计方差的比值。

✧ 有效估计：最小方差无偏估计。

达到方差下限。

✧ 渐进有效估计：样本量趋近于无穷大时方差趋近于最小方差的无偏估计。

✧ 一致性：随着样本量的增大依概率收敛于真值。

✧ Cramer-Rao 界： 其中为Fisher 信息量。

3. 最小均方误差准则模型：假定： 是观测样本，它包含了有用信号 及干扰信号 ，其中 是待估计的信号随机参数。

根据观测样本对待测参数作出估计。

最小均方误差准则：估计的误差平方在统计平均的意义上是最小的。

即使达到最小值。

此时 从而得到的最小均方误差估计为： 即最小均方误差准则应是观测样本Y 一定前提下的条件均值。

需借助于条)()(1αα-≥F V ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=2212122);,(ln );,(ln )(αααααm m y y y p E y y y p E F )(),()(t n t s t y +=θ)(t n T N ),,,(21θθθθ=),(θts {}{})ˆ()ˆ()ˆ,(2θθθθθθ--=T E e E {}0)ˆ,(ˆ2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=MSE e E d d θθθθθθθθθd Y f Y MSE )|()(ˆ⎰=件概率密度求解，是无偏估计。

参数估计名词解释参数估计又称最大似然估计、贝叶斯估计，它是在对样本观测值进行估计时，所采用的统计方法。

1。

定义：由于误差项总有正负号之分，因此当两个有偏的随机变量服从正态分布时，可利用它们之间的均值与方差相等这一性质来建立以均值为未知参数的二元随机变量的线性模型，而求出未知参数的估计值。

2。

统计特性：(1)期望为常数，(2)方差为2(3)均值与方差相等(4)具有正态分布的特征(5)服从正态分布(6)边际概率等于零。

2。

主要步骤：(1)列出所有有效数字和，并考虑分布是否有意义;(2)进行误差估计;(3)进行方差和协方差估计;(4)进行区间估计。

3。

参数估计方法的优点：(1)参数估计比较简单。

(2)易于掌握。

(3)易于得到统计量的精确解。

4。

参数估计的缺点：(1)当变量服从正态分布时，对它的参数进行估计是很困难的。

(2)应用上具有一定的局限性。

(3)难以适应复杂情况的需要。

5。

提高估计精度的途径：(1)合理选择假设检验的显著水平，尽可能减小误差。

(2)在取均值时，应注意使之不服从正态分布。

(3)取极大似然估计值时，要注意约束条件。

3。

参数估计在数学处理中有着广泛的应用。

最大似然估计方法主要用于样本容量小于N的情形。

在解决资料类型与解答类型有交互作用的问题时，应充分利用似然函数对解答类型的敏感程度，而使用最大似然估计。

在解决处理容易发生小偏差的问题时，经常要用到最大似然估计方法。

通过统计推断获得参数估计的方法叫做参数估计。

参数估计是从样本统计量的期望或方差入手，建立样本统计量的模型，然后根据样本统计量与样本参数之间的关系，即样本统计量的数学期望，来估计总体参数的一种统计方法。

参数估计的重要性在于能够用最少的计算次数达到准确的结果。

一般认为，估计的精确度越高，模型的精确度就越高。

参数估计要用到期望和方差，它在实际中起了十分重要的作用。

期望是对未知量X的估计，它表示对应于所考察的特定量X的随机变量y与总体参数之间的函数关系;方差是对总体参数估计的偏差，它表示随机变量Y与总体参数之间的函数关系。

参数估计的一般步骤
参数估计是通过从总体中抽取一个样本，利用样本数据对总体未知参数进行估计的过程。

参数估计的一般步骤如下：
1. 确定总体参数：首先需要明确要估计的总体参数，例如总体均值、总体比例、总体方差等。

2. 选择样本：从总体中抽取一个合适的样本。

样本的选择应该具有代表性，能够反映总体的特征。

3. 收集样本数据：对选择的样本进行观测或测量，收集样本数据。

4. 选择估计方法：根据所收集的样本数据和要估计的总体参数，选择合适的估计方法。

常见的估计方法包括点估计和区间估计。

5. 计算估计量：使用所选择的估计方法，根据样本数据计算出估计量。

估计量是用于估计总体参数的统计量。

6. 评估估计量的性质：评估所计算出的估计量的性质，如无偏性、有效性、一致性等。

这些性质可以帮助判断估计量的优劣。

7. 计算置信区间或置信水平：如果进行的是区间估计，根据估计量和置信水平，计算出总体参数的置信区间。

8. 解释估计结果：根据估计量或置信区间，对总体参数进行推断和解释。

同时，需要考虑估计结果的统计显著性和实际意义。

9. 分析误差和不确定性：考虑样本大小、抽样方法等因素对估计结果的影响，分析可能存在的误差和不确定性。

10. 结论和应用：根据参数估计的结果，得出结论并将其应用于实际问题中，例如进行决策、预测或进一步的研究。

需要注意的是，参数估计的具体步骤和方法会根据不同的统计问题和数据类型而有所差异。

在进行参数估计时，应根据实际情况选择合适的方法，并结合统计学原理和专业知识进行分析和解释。

2014中级统计师考试-统计方法知识考试重点归纳第一章统计和数据●统计是用来处理数据的，是关于数据的一门学问。

1、统计学：是用以收集数据、分析数据和由数据得出结论的一组概念、原则和方法。

2、统计分析数据的方法分为：（1）描述统计（2）推断统计3、描述统计：是研究数据搜集、处理和描述的统计学方法。

4、推断统计：是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法。

5、推断统计包括：（1）参数估计（2）假设检验6、定性变量的特点：只反映现象的属性特点，不能说明具体量的大小和差异。

●定性变量包括分类变量和顺序变量。

●只反映现象分类特征的变量称分类变量。

分类变量没有数值特征，所以不能对其数据进行数学运算。

●如果类别具有一定的顺序，这样的变量称为顺序变量。

顺序变量不仅能用来区分客观现象的不同类别，而且还可以表明现象之间的大小、高低、优劣关系。

7、定量变量的特点：可以用数值表示其观察结果，而且这些数值具有明确的数值含义，不仅能分类而且能测量出来具体大小和差异。

●数值型数据（定量数据）作为统计研究的主要资料，其特征在于它们都是以数值的形式出现的，有些数值型数据只可以计算数据之间的绝对差，而有些数值型数据不仅可以计算数据之间的绝对差，还可以计算数据之间的相对差。

其计量精度远远高于定性数据。

在统计学研究中，数值型数据有着最广泛的用途。

8、数据按获取的方法不同分为：（1）观测数据（2）实验数据9、观测数据：是对客观现象进行实地观测所取得的数据，在数据取得的过程中一般没有人为的控制和条件约束。

10、实验数据：一般是在科学实验环境下取得的数据。

11、统计数据资料的来源：（1）通过直接的调查或实验获得的原始数据，这是统计数据的直接来源；（2）别人调查的间接数据，并将这些数据进行加工和汇总后公布的数据，这是数据的间接来源。

12、数据的直接来源：（1）统计调查（2）实验法●通过统计调查得到的数据，一般称为观测数据。

●运用实验法时，实验组和对照组的产生应当是随机的。