内生性工具变量与GMM估计

三、工具变量法的统计性质
四、弱工具变量带来的估计偏误
一、矩估计
内生性的核心问题是 E(t|Xt) 0，而工具变量法 则是寻找一组工具变量Z，满足 E(t|Zt) = 0，并按矩 估计的思想来进行参数估计的。
1、矩估计(Method of Moment, MM)
矩估计是一种类比方法，该方法从总体具有的某 些固有的特征(总体矩)出发，认为如果样本是从某 总体中抽出的，则样本也应具有类似的特征（样本 矩），从而通过计算样本的相关特征，寻找总体参 数的估计。
t=t-1+vt
Xt*=[1, Xt , Yt-1]’，
0 E ( t ) * E Xt t E ( X t t ) 0 E (Y ) E (Y ) t 1 t t 1 t 1


E(Yt-1t-1) 0
对多元模型
Yt= Xt’+ t
或
Y= X +
小样本下：E(b|X)= +(X’X)-1X’E(|X)
+0=
在X内生的情况下：OLS估计量有偏且不一致
二、几种常见的同期相关/内生的情形
• 情形1: 随机扰动项自相关且模型含滞后被解释变量
假设模型为
其中
Yt=0+1Xt+2Yt-1+t=Xt*’+t
2、出现同期相关OLS估计的后果
Question: What will happen if E(t|Xt)=0 fails?
假设有一元模型 Yt=0+1Xt+t 出现Xt与t的同期相关性：Cov(Xt,t)=E(Xtt)0
将原模型Yt代入上式得:
Βιβλιοθήκη Baidu
于是：Plim(b1)= 1+ Cov(Xt,t)/Var(Xt)1 后果：OLS估计量不一致，（当然也是有偏的）。
线性回归模型中一个重要的假设是“严格外生性”：
如果X的严格外生性不满足，则需假设Xt与t的同期无关 性(contemporaneously uncorrelated)： E(t|Xt)=0 且 t~iid(0, 2)
XX= Plim(X’X/n) =E(XtXt’)
E(t|Xt)=0称为解释变量与随机扰动项同期无关。或称Xt为外 生的(exogenous)，否则，称为同期相关或内生的(endogenous)
总体矩M可以简单地定义为一随机变量X的某个连 续函数g 的数学期望： M=E[g(X)] 例：对于总体均值，=E(X)，这时g(X)=X 对于总体方差，2=E(X-)2，这时g(X)=(X-)2 总体均值称为总体的1阶原点矩，总体方差称为总体 的2阶中心矩。 根据类比法的原理，可以用样本矩(或样本矩函数) 来估计总体矩(或总体矩函数），而且，样本矩在大 样本下往往具有一致性。这一类比法也称为矩法。
矩法可用于估计总体的参数
例1. 设{Xi}是从某一服从指数分布的总体 f(X,)=exp(-X)， X>0 中抽出的。 由于指数分布的均值为：M1=()=E(X)=1/
2、OLS作为一个矩问题
线性模型的OLS估计可以看成是矩估计。 对模型 Y=X+ 假设模型的设定是正确的，则有E(X’)=0， 从而有矩条件：M()=E[X’(Y-X)]=0 根据矩法（类比法），相应的样本矩为： m()= (1/n)X’(Y-Xb) 问题归结为，寻找适当的b，使得 m(b)=0
§8.1 外生性与常见的内生性问题
一、外生性假设与内生性问题
二、常见的内生性
一、外生性假设与内生性问题
1、外生性与OLS估计量的统计性质
对模型 或 Yt=0+1Xt1+…+kXtk+t Yt= Xt’+ t E(|X)=0 严格外生性（strictly exogeneity)的含义是：各期的解释 变量Xt独立于所有期的随机扰动项t 。 在严格外生性与球型假设下，OLS估计量是BLUE。这两 大假设也称为Yt或t是独立同分布的（iid）。 或 Y= X +
注意： （1）如果t不存在自相关，则E(Xt*t)=0，但有 E(Xt+1*t) 0，即不存在同期相关，只存在异期相关。
问题：如果t只存在2阶自相关，情形会如何？
• 情形2：存在遗漏变量，且遗漏变量与解释变量相关
假设模型为 Yt=0+1Xt1+2Yt-1+t=Xt*’+t
但 t中包含了一个与Xt1同期相关另一变量X2t： t=Xt2+ut 这时，X1的严格外生性不满足，它与t的同期不相关性也 不满足。 如，当设定如下工资方程时： lnWaget=0+1educt+ut 一个重要的影响因素“能力”被遗漏了，而“能力”与“受教 育程度”往往有较强的相关性。
则： E(Ytt)=E[(Ct+It)t] =E(Ctt)+E(Itt)=E(Ctt)0 事实上，E(Ytt)=E[(0+1Yt+t)t]=1E(Ytt)+E(t2) 从而： Cov(Yt,t)= E(Ytt)=2/(1-1)0
§8.2 矩估计与工具变量法
一、矩估计 二、矩估计中的工具变量法
• 情形4. 联立方程偏误
设有如下简单的Keynsian模型 Ct=0+1Yt+t Yt=Ct+It 其中，Yt、Ct、It分别表示国民收入、消费与投资。Ct、Yt也 称为模型的内生变量(endogenous variables)，It称为外生变量 (exogenous variable)。
• 情形3：存在测量误差
假设模型 Yt=0+1Xt+t
假设收集不到Xt的精确观测值，收集到的Xt*包含了测量误 差vt： Xt*= Xt+vt 由于实际估计的是如下可观测变量的回归模型： Yt=0+1Xt*+ut 于是: ut=Yt- 0-1Xt*= [0+1Xt+t]-0-1(Xt+vt) = t - 1vt E(Xt*ut)=E(Xt+vt)ut]=E(Xtut)+E(vtut) =E(Xtt)- 1E(Xtvt)+E(tvt) -1E(vt2) =-1v20 问题：如果X可观测，而Y不可观测，情况如何？