Part1-第01章

把 ψ 投向基矢 i
Pi ψ = i i ψ = i ψ i
Pi 是线性算符和厄密算符，但不是幺正算符，
且投影算符没有逆算符。
Pi 2 = Pi
等幂性
∑ P = E,
i i
∑i
i
i = E,
完备性关系（条件） 在计算中非常有用
例题：证明
∑
l ,m
l Am
2
= 1 在幺正变换下，保持不变。
证： 设存在幺正变换U
第一部分 原理 量子态、物理量、时间演化
第一章 希尔伯特空间 1．1 希尔伯特空间 1．2 算符 1．3 矩阵表示 1．4 幺正变换 第二章 基本原理 2．1 态叠加原理 2．2 量子条件 2．3 运动方程及其绘景 2．4 混合系综与密度算符
第八章 路径积分 8．1 传播函数的路径积分表示 8．2 路径 ∑ l ′ A′ m′
l ′ , m′
l′ = l U +
2
A′ = UAU +
+ + 2
=∑
l ,m
l U UAU U m
+ 利用 U U = 1
⇒ ∑ l ′ A′ m′
l ′ , m′
2
=∑
l ,m
l Am
2
算符本征矢和本征值 U i = ui i ①厄密算符的本征值为实数。 ②幺正算符本征值的绝对值为1。 ③幺正的相似变换不改变算符的本征值。 简并和完备算符集 如果算符U的本征值u存在简并，那么对于u就不 能完全确定唯一的本征矢，必须再确定一个和U算符 对易的算符P的本征值，才能解除简并。完全确定本 征矢所需要的一组最少数目的算符为完备算符集。
ai* = a i
矩阵表示
⎡ a1 ⎤ ⎥ a=⎢ a ⎢ 2⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ... ⎥
* * a + = a1 , a2 , ...
[
]
本征值问题
U a =u a
a = ∑ ai i
i
∑ (U
i
j ,i
− uδ ij )ai = 0
有非零解的条件是其系数行列式为零
det(U j ,i − uδ ij ) = 0
2、完备基矢组
空间中的任一矢量都能表为这个完备集的线性组合：
r = ∑ ai ri
i =1 n
按基矢展开
3、内积空间
+ + * Dirac记号 ( u ) = u , (λ u ) = λ u
左矢和右矢间 没有相加运算
对无限维的H空间按基展开：
a = ∑ ai i ↔ a = ∑ ai* i
i =1 i =1 ∞ ∞
在自身表象中对角元为本征值，非对角元为零。
1．4 幺正变换
A表象基矢 B表象基矢
ai = ∑ b j b j ai
j
b j = ∑ ai ai b j
i
A表象到B表象的变换矩阵 U = [U j ,i ], U j ,i = b j ai 表象的变换完全通过幺正算符U完成
ψ B = Uψ A
Q B = UQ AU +
f ( A) i = f (ai ) i
这时算符函数有了定义。
用 i 右乘上式，再对i求和，有
i
∑ f ( A) i
i
i = ∑ f ( ai ) i i
得
f ( A) = ∑ f (ai ) Pi
i
此式可以作为算符函数 f ( A) 的定义。
例题：设厄密算符A满足本征值方程：A n = an n
1．1 希尔伯特（H）空间
从量子力学的数学表述看，希尔伯特空间具 有以下重要性质：
1）无限维的复矢量空间； 2）存在完备的基矢组； 3）可以定义标量积(内积)的空间。
三种运算：加法、数乘、内积，且存在完备集
1、矢量空间（两种运算）
(1)定义加法: 定义单位元 0 x+y=z∈L x + y = y + x ∈L (x+y)+z = x +(y + z) ∈ L x+0=x∈L
再来一点物理输入
• <a|a> 可以测量，故必为有限数。
数学上定义：
模有限的复线性矢量空间称为希尔伯特空间
最终结论： 微观系统的状态由希尔伯特空间中的矢量描述
这样就在实验事实 微观粒子有波性 的引导下得到量子力学：关于状态的原理
所得到的是无表象的抽象矢量空间 对于它只知道： 1）可叠加；2）系数复；3）模有限
内积运算
ab = b a ,
*
a a ≥0
a ( b + b′ ) = a b + a b′
( a + a′ ) b = a b + a′ b
a (α b ) = α a b
(α a ) b = α a b
正交、归一化及正交归一集
a b =0
a a =1
ai a j = δ ij
1．2 算符
力学量用希尔伯特空间中的厄米算符表示 量子力学中的算符可以代表对态矢量的运算或是对其 进行的某种操作等。设变换由U描述
以量子力学基本假设(公理)为出发点分析
• 基本假设之一(公理一)：物理体系的微观状态由 希尔伯特空间中的矢量表征。
它的物理背景是什么？ 是 波粒二象性，即：粒子有波动性，有叠加性。 用S表示教室中能存在的电磁波的集合 如果
ψ1 ∈ S ψ 2 ∈ S
湖北台 满足教室的边条件 能在教室中存在
则
ψ = α1ψ 1 + α 2ψ 2 ∈ S
l l
(U +U )i , j = ∑U i+ ,lU l , j = ∑ ai bl bl a j = ai a j = δ ij
l l
⇒ UU + = U +U = E
在抽象线性矢量空间中矢量无长度，矢量间无角度。
结论：微观系统的状态由一个线性矢量空间中的矢量 ψ 描述。
• 对态矢要进行测量，线性矢量空间中要定义度量， 成为 度量空间。 即要定义 矢量的标积。
结论：微观系统的状态由 定义了标积的线性矢量空间中的矢量描述。
还需要一点物理输入
• 微观粒子 有波动性但不是经典波。 本身不能测量，它的自标积可以测量。 描述量子态的是复线性矢量空间 线性叠加的系数是复数， 保证自标积是实数 这可以通过两个相互共轭的矢量的标积而实现。 用 |a> 表示态矢。共轭态矢是 |a>+ = <a| 标积定义为 <a|b>
第一章 希尔伯特空间
要点: 态矢、算符、幺正变换
○ 希尔伯特空间为量子力学的数学表述提供了方法 ○ 态矢量--希尔伯特空间中的矢量函数 ○ 力学量算符--希尔伯特空间中的算符
○ 描述物理系统中可能状态的所有态矢量构成完备集
整个量子力学就是建立在这一数学理论基础上的
严格地讲，量子力学数学基础的主要内容是泛函分析，而物理学家 通常采用实际可行的“物理做法”来讨论数学，这往往可以简单快捷地得 到正确结果。当然，这种做法也会在学习过程中出现某些困惑，但一味 追求数学的严格性，量子力学也许会寸步难行。
b =U a , a , b ∈H
则称算符U定义在H空间上。
特别注意
普遍性和一般性
以量子力学基本假设(公理)为出发点
力学量算符的给定
以动量为例
∂ p x = − ih ∂x
∧
要学好高量，一定要学会
• 不依赖表象无表象变量，只能给出 对易关系
• 在坐标表象中给出
忘 记
[ x, px ] = ih
动量算符 px 只是和坐标算符 x 之间满足以下对易关系的算符
它的物理背景是什么？ 是 波粒二象性，即：粒子有波动性，有叠加性。 不是原理而是实验事实 波粒二象性的直接表述 如果 a1 和 a2 都是一个微观系统可能存在的状态，则 b = α1 a1 + α2 a2 也是这一系统的一个可能的状态。
怎样提升为原理，需要一点数学知识。
数学怎么说？
• 有一集合S，满足如下条件： 设 a1 和 a2均属于S 则 b = α1a1 + α 2 a2 也属于 S， 即：如果集合 S 中两元素的线性叠加仍然属于 S， 则 S 为一个 线性矢量空间。
T (α a ) = α *T a , α ∈ C
a , b ∈H
对易子 [ P, Q] ≡ PQ − QP 逆算符 U a = b
a = U −1 b
UU −1 = U −1U = E
det U ≠ 0
( PQ) −1 = Q −1 P −1
−1 相似变换 P′ = QPQ
厄密共轭算符
(U a ) + = a U +
交换律 结合律 分配律
(2) 定义数乘:
α ( x + y ) = αx + αy ∈ L
(α + β ) x = αx + β x ∈ L
(αβ ) x = α ( β x) ∈ L
1⋅ x = x
0⋅ x = 0
上述条件成立，称元素x,y,z,…的集合L为矢量空间。 矢量空间的元素称为矢量。矢量空间的维数是空间中线 性无关矢量的最大个数。如普通的三维空间，最多可以 找到三个线性无关矢量。 例题1：在矢量空间中，零矢量是唯一的。 例题2：对任意矢量ψ ，有 ψ + ψ = 2ψ 。
对于微观系统只要 既有中央台 又有湖北台 满足教室的边条件 也能在教室中存在 将 改成 教室中的电磁波 描述系统的态
中央台
以量子力学基本假设(公理)为出发点分析
• 基本假设之一(公理一)：物理体系的微观状态由 希尔伯特空间中的矢量表征。
它的物理背景是什么？ 是 波粒二象性，即：粒子有波动性，有叠加性。 用S表示教室中能存在的电磁波的集合 如果