辽宁省五校高二数学上学期期末联考试题(扫描版)

辽宁2022年高二上学期数学期末考试带参考答案与解析选择题如果,那么下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则，所以，所以，故选D.选择题下列命题中，假命题是( )A. ，B. ，C. 的充要条件是D. ，是的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，根据指数函数的性质可得到结果正确；对于B可代入特殊值验证；对于C可举出反例推翻；对于D，，可以推出a>1,b>1,也可以是a>0，根据指数函数的性质得结果正确；对于B. ，，例如当时，满足题意，故正确；C. 的充要条件是，错误，比如a=0=b时，也满足，但是不满足；对于D. 可以是a>1,b>1,也可以是a，是的充分不必要条件.故答案为：C.选择题已知等差数列的前13项之和为39，则( )A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B【解析】根据等差数列和的性质得到，再由等差数列的性质得到，进而得到结果.等差数列的前13项之和为解得，根据等差数列的性质得到，故得到.故故答案为：B.选择题若，满足，则的最大值为（）A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】试题分析：由图可得在处取得最大值，由最大值，故选C.选择题设的内角的对边分别为，且，，，则( )A. 1B. 3C.D.【答案】B【解析】由3sinA＝2sinB即正弦定理可得3a＝2b，由a＝2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．∵3sinA＝2sinB，∴由正弦定理可得：3a＝2b，∵a＝2，∴可解得b＝3，又∵cosC＝，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝4+9﹣2×＝9，∴解得：c＝3．故答案为：B．选择题已知实数，，且，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，可得a＝＞0，解得b＞1．变形a+2b＝+2b＝，再变形，利用基本不等式的性质即可得出．∵a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，∴a＝＞0，解得b＞1．则a+2b＝+2b＝=≥，当且仅当b＝，a＝时取等号．其最小值为．故选：B．选择题若函数的图像上存在不同两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相平行，则称具有“同质点”.关于函数：①；②；③；④.以上四个函数中具有“同质点”的函数是( )A. ①④B. ②③C. ①②D. ③④【答案】A【解析】由题意得，具有“同质点”也就是存在两个不同的点使得，分别求出导函数即可得出结果.设函数的图像上存在不同两点且，由题意具有“同质点”，则，，具有“同质点”，，不存在，不具有“同质点”，，不存在，不具有“同质点”，，具有“同质点”故选：A.选择题在中，角的对边分别为，.则的最大值为( )A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】根据题干得到B=，原式，根据角A 的范围得到最值即可.角的对边分别为，，变形为：根据余弦定理，故角B=.,因为故最大值为：1.故答案为：A.选择题在中，，，若最短边长为，则最长边为( )A. B. C. D. 5【答案】D【解析】由已知及同角三角函数基本关系式可求cosA，sinA，sinB，利用两角和的余弦函数公式可求cosC＝﹣＜0，可得短边为b，由正弦定理即可求得最长边的值．由tanA＝＞0，得cosA＝，sinA＝，由cosB＝＞0，得sinB＝，于是cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝﹣＜0，即∠C为最大角，c为最长边，最短边为b，于是由正弦定理求得c ＝5．故选：D．选择题设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，并且满足条件：，，，下列结论中正确的是( )A. B.C. 是数列中的最大值D. 数列无最小值【答案】D【解析】根据题干条件可得到数列>1,0 进而得到B正确；由前n项积的性质得到是数列中的最大值；从开始后面的值越来越小，但是都是大于0的，故没有最小值.因为条件：，，，可知数列>1,0 ，故B不对；前项之积为，所有大于等于1的项乘到一起，能够取得最大值，故是数列中的最大值. 数列无最小值,因为从开始后面的值越来越小，但是都是大于0的，故没有最小值.故D正确.故答案为：D.选择题已知双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，点为双曲线右支上一点，延长交双曲线于点，，，则为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据双曲线的定义得到通过三角形的几何关系得到PM=，,在三角形中应用余弦定理，列式求参数a 即可.设,则因为,所以根据双曲线的定义得到在三角形中，顶角为，底角分别为，通过三角形的几何关系得到PM=，,在三角形中应用余弦定理得到化简得到：故答案为：B.选择题已知函数在上有极值点，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】通过求导数，有区间上有极值点转化为导数在区间上等于零有解，然后参变分离，形成新函数，转化成求函数最值可得结果.由题，因为ax作为分母，所以求得因为函数f(x)在区间在有极值点，即有解在区间即在有解，也就是在有解转化为在有解令当单调递减；当单调递增，的最小值为，当，经检验，不满足题意；又因为综上：a的范围是故选C.填空题已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点且点在第一象限，若，则点的坐标为__________．【答案】（3,2）【解析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y.设该点坐标为（x，y）根据抛物线定义可知x+2＝5，解得x＝3，代入抛物线方程求得y ＝±2，∵P在第一象限，∴P（3，2）．故答案为：（3，2）．填空题在中，已知三边成等比数列，且，则的值为__________．【答案】【解析】根据正弦定理化简原式得到角B的值，因为，根据正弦定理得到：，代入求值即可.在中,,由正弦定理得到sinA=sinBcosC+sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC 化简得到sinB=cosB,故角B为，因为，根据正弦定理得到：.故答案为：.填空题甲同学写出三个不等式：:，:，：，然后将的值告诉了乙、丙、丁三位同学，要求他们各用一句话来描述，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的描述：乙：为整数；丙：是成立的充分不必要条件；丁：是成立的必要不充分条件；甲：三位同学说得都对，则的值为__________．【答案】-1【解析】根据每个同学的描述得到相应的解集，进而推得参数值.根据条件知道，每个同学说的都是事实，:等价于x(x-1)；是成立的充分不必要条件,故：解集为：是成立的必要不充分条件，故q的解集是r的解集的子集，在的前提下，结合二次函数的性质得到，函数的对称轴为：二次函数和y轴的交点为：，二次函数图像大致如图：只需要在-3处的函数值大于0即可，即：综上：，又因为a是整数，故得到a=-1.故答案为：-1.填空题已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则椭圆的短轴长为__________．【答案】【解析】先据题意有公共焦点，找到a，b的关系，再根据题意设交点，建立等量关系，最后求得b的值.由题，双曲线N中，，又椭圆：与双曲线：有公共焦点，N的渐近线方程：，因为渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分设渐近线与椭圆相交于C、D两点，所以设即又因为C在M上，所以得故答案为：解答题已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是增函数.（1）若命题为真命题，求的取值范围；（2）若满足为假命题为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）[4,+∞) （2）[-3,2]【解析】（1）根据题干条件得到命题p下的m的范围，和命题q下m的范围，两者取交集即可；（2）由（1）可知，m的取值范围是（3,4）即A={m|31,m>3，取交集得到[4,+∞).综上，m的范围是[4,+∞)。

2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 对于常数m n 、，“0mn >”是“方程221mx ny -=的曲线是双曲线“的”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若0a b <<，则下列不等式中错误．．的是（ ） A ．11a b a >- B ．11a b> C.a b > D ．22a b > 3.下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．3log 4log 3x y x =+ B ．4x x y e e -=+C. ()4sin 0sin y x x x π=+<< D ．4y x x=+ 4.已知实数,x y 满足223y xy x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是（ ）A ．9-B ．15 C. 0 D ．10- 5.下列命题中，说法错误．．的是（ ） A.“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”B.“p q ∧是真命题”是“p q ∨是真命题”的充分不必要条件C.“22,20x x x ∀>-> ”的否定是“22,20x x x ∃≤-≤ ”D.“若0b =，则()2f x ax bx c =++是偶函数”的逆命题是真命题 6.设0,0a b >>3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C. 7 D ．87.已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，则这个椭圆的离心率是（ ） A1 B．28.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则 84S S =（ ） A ．1716 B ．12C. 2 D ．17 9.在等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，111a =-，1082108S S-=，则11S =（ ）A ．11B ．11- C. 10 D ．10-10.设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点，点(),M a b .若1230MF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．32B11.设{}n a 为等差数列，若11101aa <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时的n 值为（ ）A ．18B ．19 C. 20 D ．2112.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x <时，()f x 满足，()()()2f x xf x xf x '+<，则()f x 在R 上的零点个数为（ ）A ．5B ．3 C. 1或3 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()322332f x x x x =-+-的递增区间为 ．14.在数列{}n a 中，2337,23a a ==，且数列{}1n na +是等比数列，则n a = ．15.已知函数()()x e af x a R x -=∈，若函数()f x 在区间[]2,4上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ．16.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若数列{}n a 满足()*111,21,2n n a a a n N n -=-=-∈≥.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2log 1n n b a =-，若数列()*11n n n N b b +⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1n T <.18. 已知函数()()()2110f x ax a x a =-++≠.（1）若()2f x ≤在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <.19.已知过点()4,0A -的动直线l 与抛物线()2:20G x py p =>相交于,B C 两点.当直线l 的斜率是12时，4AC AB =. （1）求抛物线G 的方程；（2）设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围. 20.已知数列{}{},n n a b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214,22n n a b S a ==-，()()2*11n n nb n b n n n N +-+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（3）若数列{}n c 的通项公式为,2,4n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令212n n n p c c -=+.n T 为{}n p 的前n 项的和，求n T .21.已知椭圆22143x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,B C 两点.（1）求该椭圆的离心率；（2）设直线AB 和AC 分别与直线4x =交于点,M N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP NP ⊥？乳品存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22.已知函数()()()2ln ,f x b x g x ax x a R ==-∈（1）若曲线()f x 与()g x 在公共点()1,0A 处有相同的切线，求实数,a b 的值； （2）若0,1a b >=，且曲线()f x 与()g x 总存在公共的切线，求正数a 的最小值.试卷答案一、选择题1-5: CABAC 6-10: DAABC 11、12：CD 二、填空题13.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.21n n - 15.)2,e ⎡-+∞⎣三、解答题17. 解：（1)证明：∵121n n a a -=-∴()1121n n a a --=-，又∵11a =-，∴112a -=- ∴数列{}1n a -是首项为2-，公比为2的等比数列 ∴()11222n n n a --=-⋅=- ∴12n n a =-（2）由（1）知：∴()22log 1log 2n n n b a n =-== ∴()1111111n n b b n n n n +==-++，所以 111111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=< ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18.解：（1）∵()2f x ≤在R 上恒成立，即()2110ax a x -+-≤在R 上恒成立，所以()233140a a a a <⎧⎪⇒--≤-+⎨++≤⎪⎩ （2）()()20110f x ax a x <⇔-++<()()()110*ax x ⇔--< 当01a <<时，()*式等价于()11101x x x a a ⎛⎫--<⇔<< ⎪⎝⎭；当1a =时，()*式等价于()210x x -<⇒∈∅；当1a >时，()*式等价于()11101x x x a a ⎛⎫--<⇔<< ⎪⎝⎭；当0a <时，()*式等价于()1110x x x a a ⎛⎫-->⇔< ⎪⎝⎭或1x >综上，当01a <<时，()0f x <的解集为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当1a =时，()0f x <的解集为∅；当1a >时，()0f x <的解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭；当0a <时，()0f x <的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.19.解：（1）设()()1122,,,B x y C x y ，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为()142y x =+， 即24x y =-，由2224x pyx y ⎧=⎨=-⎩得：()22880y p y -++=∴()()2864160p p p ∆=+-=+>， 124y y =①，1282py y ++=②， 又∵4AC AB =，∴214y y =③，由①②③及0p >得：2p =，得抛物线G 的方程为24x y =. （2）设():4l y k x =+，BC 的中点坐标为()00,x y ，由()244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24160x kx k --=④ ∴()20002,4242C Bx x x k y k x k k +===+=+. ∴线段BC 的中垂线方程为()21242y k k x k k--=--， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：()2224221b k k k =++=+ 对于方程④，由216640k k ∆=+>得0k >或4k <-，∴()2,b ∈+∞. 20.解：（1）当1n >时，111222222n n n n n n n S a a a a S a ---=-⎧⇒=-⎨=-⎩12n n a a -⇒= 当1n =时，111222S a a =-⇒=，综上，{}n a 是公比为2,首项为2的等比数列，2n n a =. （2）∵214a b =，∴11b =，∵()211n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1，首项为1的等差数列.（3）由（2)知：211n n bn b n n=+-⇒=∴212n n n p c c -=+()()()()222122212122241241424n nn n n n n n ----⋅⋅=-+=-⋅=-⋅ ()01213474114414n n T n -=⨯+⨯+⨯++-∴()()123143474114454414n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-⋅两式相减得：()0121334444444414n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⋅--∴()()141433441414n n n T n ---=+⨯--⋅-∴7127499n n n T -=+⋅. 21.解：（1）由椭圆方程可得2,a b ==，从而椭圆的半焦距1c =. 所以椭圆的离心率为12c e a ==. （2）依题意，直,BC 的斜率不为0，设其方程为1x ty =+.将其代入22143x y +=，整理得()2243690t y ty ++-=设()()1122,,,B x y C x y ，则12122269,4343t y y y y t t --+==++. 易知直线AB 的方程是()1122yy x x =++，从而可得1164,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可得2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭.假设x 轴上存在定点(),0P p 使得MP NP ⊥，则有0PM PN ⋅=. 所以()()()21212364022y y p x x -+=++.将11221,1x ty x ty =+=+代入上式，整理得：()()21221212364039y y p t y y t y y -+=+++所以()()()()()22236940936943p tt t t⋅--+=-+-++，即()2490p --=，解得1p =或7p =.所以x 轴上存在定点()1,0P 或()7,0P ，使得MP NP ⊥.22.解：（1)依据题意:()()()()10110111f a g b f g =⎧=⎪⎧=⇒⎨⎨=⎩⎪''=⎩（2）当0,1a b >=时，()ln f x x =，()()1f x f x x'=⇒在点(),ln t t 处的切线方程为：()1ln y t x t t -=-，即1ln 1y x t t=+- 由21ln 1y x t ty ax x⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩得：2()11ln 10ax x t t -+-+=① ∵()(),f x g x 总存在公切线，∴①的()2114ln 10a t t ⎛⎫∆=+--+= ⎪⎝⎭，即关于t 的方程()()2114ln 10a t t t ⎛⎫+=-+> ⎪⎝⎭②总有解.∵左边0,0a >>，∴1ln 00t t e ->⇒<<，于是，②式()()()221401ln t a t e t t +⇔=<<-令()()()()22101ln t h t t e t t +=<<-，则()()()()()2312ln 101ln t t t h t t e t t ++-'=<<- 当()0,1t ∈时，()0h t '<；当()1,t e ∈时，()0h t '>，∴()h t 在()0,1递减，()1,e 递增. ∴()()min 14h t h ==，∴要使②有解，须44a ≥，即1a ≥， 故min 1a =.。

2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 对于常数m n 、，“0mn >”是“方程221mx ny -=的曲线是双曲线“的”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若0a b <<，则下列不等式中错误．．的是（ ） A ．11a b a >- B ．11a b> C.a b > D ．22a b > 3.下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．3log 4log 3x y x =+ B ．4x x y e e -=+C. ()4sin 0sin y x x x π=+<< D ．4y x x=+ 4.已知实数,x y 满足223y xy x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是（ ）A ．9-B ．15 C. 0 D ．10- 5.下列命题中，说法错误．．的是（ ） A.“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”B.“p q ∧是真命题”是“p q ∨是真命题”的充分不必要条件C.“22,20x x x ∀>-> ”的否定是“22,20x x x ∃≤-≤ ”D.“若0b =，则()2f x ax bx c =++是偶函数”的逆命题是真命题 6.设0,0a b >>3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C. 7 D ．87.已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，则这个椭圆的离心率是（ ） A1 B．2D8.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则 84S S =（ ） A ．1716 B ．12C. 2 D ．17 9.在等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，111a =-，1082108S S-=，则11S =（ ）A ．11B ．11- C. 10 D ．10-10.设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，点(),M a b .若1230MF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．32B11.设{}n a 为等差数列，若11101aa <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时的n 值为（ ）A ．18B ．19 C. 20 D ．2112.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x <时，()f x 满足，()()()2f x xf x xf x '+<，则()f x 在R 上的零点个数为（ ）A ．5B ．3 C. 1或3 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()322332f x x x x =-+-的递增区间为 ．14.在数列{}n a 中，2337,23a a ==，且数列{}1n na +是等比数列，则n a = ．15.已知函数()()x e af x a R x-=∈，若函数()f x 在区间[]2,4上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ．16.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若数列{}n a 满足()*111,21,2n n a a a n N n -=-=-∈≥.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2log 1n n b a =-，若数列()*11n n n N b b +⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1n T <.18. 已知函数()()()2110f x ax a x a =-++≠.（1）若()2f x ≤在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <.19.已知过点()4,0A -的动直线l 与抛物线()2:20G x py p =>相交于,B C 两点.当直线l 的斜率是12时，4AC AB =. （1）求抛物线G 的方程；（2）设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围. 20.已知数列{}{},n n a b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214,22n n a b S a ==-，()()2*11n n nb n b n n n N +-+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（3）若数列{}n c 的通项公式为,2,4n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令212n n n p c c -=+.n T 为{}n p 的前n 项的和，求n T .21.已知椭圆22143x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,B C 两点.（1）求该椭圆的离心率；（2）设直线AB 和AC 分别与直线4x =交于点,M N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP NP ⊥？乳品存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22.已知函数()()()2ln ,f x b x g x ax x a R ==-∈（1）若曲线()f x 与()g x 在公共点()1,0A 处有相同的切线，求实数,a b 的值； （2）若0,1a b >=，且曲线()f x 与()g x 总存在公共的切线，求正数a 的最小值.试卷答案一、选择题1-5: CABAC 6-10: DAABC 11、12：CD 二、填空题13.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.21n n - 15.)2,e ⎡-+∞⎣三、解答题17. 解：（1)证明：∵121n n a a -=-∴()1121n n a a --=-，又∵11a =-，∴112a -=- ∴数列{}1n a -是首项为2-，公比为2的等比数列 ∴()11222n n n a --=-⋅=- ∴12n n a =-（2）由（1）知：∴()22log 1log 2n n n b a n =-== ∴()1111111n n b b n n n n +==-++，所以 111111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=< ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18.解：（1）∵()2f x ≤在R 上恒成立，即()2110ax a x -+-≤在R 上恒成立，所以()2033140a a a a <⎧⎪⇒--≤-+⎨++≤⎪⎩（2）()()20110f x ax a x <⇔-++<()()()110*ax x ⇔--< 当01a <<时，()*式等价于()11101x x x a a ⎛⎫--<⇔<< ⎪⎝⎭；当1a =时，()*式等价于()210x x -<⇒∈∅；当1a >时，()*式等价于()11101x x x a a ⎛⎫--<⇔<< ⎪⎝⎭；当0a <时，()*式等价于()1110x x x a a ⎛⎫-->⇔< ⎪⎝⎭或1x >综上，当01a <<时，()0f x <的解集为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当1a =时，()0f x <的解集为∅；当1a >时，()0f x <的解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭；当0a <时，()0f x <的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.19.解：（1）设()()1122,,,B x y C x y ，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为()142y x =+， 即24x y =-，由2224x pyx y ⎧=⎨=-⎩得：()22880y p y -++=∴()()2864160p p p ∆=+-=+>， 124y y =①，1282py y ++=②， 又∵4AC AB =，∴214y y =③，由①②③及0p >得：2p =，得抛物线G 的方程为24x y =. （2）设():4l y k x =+，BC 的中点坐标为()00,x y ，由()244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24160x kx k --=④ ∴()20002,4242C Bx x x k y k x k k +===+=+. ∴线段BC 的中垂线方程为()21242y k k x k k--=--， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：()2224221b k k k =++=+ 对于方程④，由216640k k ∆=+>得0k >或4k <-，∴()2,b ∈+∞. 20.解：（1）当1n >时，111222222n n n n n n n S a a a a S a ---=-⎧⇒=-⎨=-⎩12n n a a -⇒= 当1n =时，111222S a a =-⇒=，综上，{}n a 是公比为2,首项为2的等比数列，2n n a =. （2）∵214a b =，∴11b =，∵()211n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1，首项为1的等差数列.（3）由（2)知：211n n bn b n n=+-⇒=∴212n n n p c c -=+()()()()222122212122241241424n nn n n n n n ----⋅⋅=-+=-⋅=-⋅()01213474114414n n T n -=⨯+⨯+⨯++-∴()()123143474114454414n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-⋅两式相减得：()0121334444444414n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⋅--∴()()141433441414n n n T n ---=+⨯--⋅-∴7127499n n n T -=+⋅. 21.解：（1）由椭圆方程可得2,a b ==，从而椭圆的半焦距1c ==. 所以椭圆的离心率为12c e a ==. （2）依题意，直,BC 的斜率不为0，设其方程为1x ty =+.将其代入22143x y +=，整理得()2243690t y ty ++-=设()()1122,,,B x y C x y ，则12122269,4343t y y y y t t --+==++. 易知直线AB 的方程是()1122yy x x =++，从而可得1164,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可得2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭.假设x 轴上存在定点(),0P p 使得MP NP ⊥，则有0PM PN ⋅=. 所以()()()21212364022y y p x x -+=++.将11221,1x ty x ty =+=+代入上式，整理得：()()21221212364039y y p t y y t y y -+=+++所以()()()()()22236940936943p t t t t⋅--+=-+-++，即()2490p --=，解得1p =或7p =.所以x 轴上存在定点()1,0P 或()7,0P ，使得MP NP ⊥.22.解：（1)依据题意:()()()()10110111f a g b f g =⎧=⎪⎧=⇒⎨⎨=⎩⎪''=⎩ （2）当0,1a b >=时，()ln f x x =，()()1f x f x x'=⇒在点(),ln t t 处的切线方程为：()1ln y t x t t -=-，即1ln 1y x t t=+- 由21ln 1y x t t y ax x⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩得：2()11ln 10ax x t t -+-+=①∵()(),f x g x 总存在公切线，∴①的()2114ln 10a t t ⎛⎫∆=+--+= ⎪⎝⎭，即关于t 的方程()()2114ln 10a t t t ⎛⎫+=-+> ⎪⎝⎭②总有解.∵左边0,0a >>，∴1ln 00t t e ->⇒<<，于是，②式()()()221401ln t a t e t t +⇔=<<- 令()()()()22101ln t h t t e t t +=<<-，则()()()()()2312ln 101ln t t t h t t e t t ++-'=<<- 当()0,1t ∈时，()0h t '<；当()1,t e ∈时，()0h t '>，∴()h t 在()0,1递减，()1,e 递增. ∴()()min 14h t h ==，∴要使②有解，须44a ≥，即1a ≥， 故min 1a =.。

2023-2024学年度(上)沈阳市五校协作体期末考试高二年级数学试卷答案考试时间：120分钟考试分数：150分1-5：B A B A C6-8：C D A 9.BCD 10.ACD 11.ACD 12.BD13.83（或者写成6561）14.[6-+15.22,0[16.33217.（1）k k kk k x C a T 2520101012)1(--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02520=-k ，解得k=8....................................................................................3’∴k=8时，常数项4452)1(810289=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C a T ，解得1=a .................................5’（2）Z m m k ∈=-，2520，则k=0,2,4,6,8,10∴有理项有6项，无理项有5项....................................................................7’135********=+C C C C ............................................................................................10’18.（1）11112344OP OM ON a c =+=++ （）..................................................6’（2）由题意可得：），，（211P ，），，（420N ∴)2,1,1(-=PN ..................................................................................................8’∴66==d .所以点N 到平面α的距离为6............................................................12’19.（1）249733299=-⨯⨯⨯-+=）（AB ∴圆心到直线的距离1=d ..................................................................................2’当直线斜率不存在时，直线方程为2=x ，符合题意......................................4’当直线斜率存在时设直线l 方程为)2(-=x k y ，则1122=++k k 解得43-=k ，∴直线l 方程为0634=-+x y 或2=x ..................................................................6’（法二）：当斜率为0时，圆心到直线的距离为2不符合题意；当斜率不为0时，设直线l 方程为2x my =+，∴1d ==解得：0m =或43m =-∴直线方程为2x =或3460x y +-=...........................................................................6’（2）设）（y x M ,，根据PM CM ⊥可得：()()0)2(23=++--y y x x 即062522=++-+y x y x .......................................................................................12’20.（1）取AD 的中点O ，连接,,,OP OB BD OE ，∵底面ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，又∵,O E 分别为,AD AB 的中点，则OE BD ，故AC OE ⊥，注意到AC PE ⊥，,,OE PE E OE PE =⊂I 平面POE ，则AC ⊥平面POE ，....................................................................................................3’∵OE ⊂平面POE ，则AC OE ⊥，又∵PA PD =，E 为棱AB 的中点，则AD OE ⊥，,,,AC AD A AC AD A AC AD ==⊂I I 平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ，故平面PAD ⊥平面ABCD...........................................................6’（2）若PA AD =，60BAD ∠=︒，则ABD △为等边三角形，且O 为AD 的中点，故OB AD ⊥，由（1）得，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，设2AD =，则1((1,0,0)2P E D -，可得(3,,2DP DE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uuu r ，设平面PDE 的法向量(,,)n x y z =，则0302n DP x n DE x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ==3y -，1z =-，所以3,1)n =-- ，取平面PDA 的法向量(0,1,0)m = ，则cos ,||||n m n m n m ⋅<>==--r u r r u r r u r ，......................................................................10’设二面角E PD A --为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 13θ=，可得sin θ==所以二面角E PD A --的正弦值为13.................................................................12’20.（1）设）（y x P ,：4122-=+⋅-x y x y ∴)2(1422±≠=+x y x .......................................................................4’（没扣点减1分）（2）设直线l 方程为1+=my x ，),(11y x M ，),(22y x N ，联立可得⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x my x 得032422=-++my y m ）（⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+4342221221m y y m m y y .............................................................................................6’.22)2(2:1111-=∴--=x y y x x y y AM E ，22)2(2:2222-=∴--=x y y x x y y AN G ，()()32242121-=--=x x y y y y G E ...................................................................................8’设定点）（0,t H ，则0=⋅HG HE ，即0)4)(4(=+--G E y y t t ...........................10’∴03)4(2=--t 解得：34±=t 所以定点为）（0,34+和）（0,34-......................................................................12’22.（1）设）（y x P ,，渐近线方程为x a b y ±=，则c bxay d -=1，c bxay d +=2..................................................................3’∴2222222221c b a c x b y a d d =-=⋅.......................................................................6’（2）由题，双曲线方程为1422=-y x ，设α=∠MON ，则212tan =α，∴34tan =α........................................................................................................8’由题可知：1143tan d d BM ==α，2243tan d d AN ==α）（22212183d d S S S S ANP BMP +=+=-∆∆................................................................10’由（1）知5422221==⋅c b a d d ∴5383222121≥+=-）（d d S S ，当且仅当12d d =时等号成立综上：⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈-，5321S S .....................................................................................12’。

2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知()1,0,1a = ，()0,1,0b =，()1,1,1c = ，下列选项中正确的是（）A ．3b c ⋅= B ．a b⊥ C ．()//b c a+ D ．π,4a b =【正确答案】B【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断ABD 选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断C 选项.【详解】对于A 选项，0101b c ⋅=++=，A 错；对于BD 选项，0000a b ⋅=++=，则a b ⊥ ，B 对D 错；对于C 选项，()1,2,1b c += ，则b c + 与a不共线，C 错.故选：B.2．双曲线22:14x C y -=的两条渐近线方程是（）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．210x y ±-=D ．210x y ±-=【正确答案】A【分析】根据双曲线的标准方程可求得双曲线C 的渐近线方程.【详解】在双曲线C 中，1a =，2b =，所以，双曲线C 的两条渐近线方程为12a y x xb =±=±，即20x y ±=.故选：A.3．已知123:1,:,:0l x ay l y x a l ax y -==+-=，在这三条直线中有两条平行，另外一条与它们垂直，则实数=a （）A ．0B ．1C ．1-D ．1±【正确答案】C【分析】根据直线平行与垂直的充要条件分情况列方程求解，即可得a 的值.【详解】对于直线123:1,:,:0l x ay l y x a l ax y -==+-=，整理得123:10,:0,:0l x ay l x y a l ax y --=-+=-=，若1213//,l l l l ⊥，则()()()()1110110a a a ⎧⨯---⨯=⎪⎨⨯+-⨯-=⎪⎩，无解；若1312//,l l l l ⊥，则()()()()1101110a a a ⎧⨯---⨯=⎪⎨⨯+-⨯-=⎪⎩，解得1a =-，经检验直线13,l l 不重合；若2312//,l l l l ⊥，则()()()()11101110a a ⎧⨯---⨯=⎪⎨⨯+-⨯-=⎪⎩，无解；综上，1a =-.故选：C.4．某数学小组有7名同学，组内规定：在每次的数学测试后，成绩在前三名的同学，给其余四名同学进行辅导（成绩互异），每人至少辅导一名同学，这四名同学每人只允许被一名同学进行辅导．某次数学测试后，这个数学小组的同学间有（）种辅导分配．A ．18B ．36C ．48D ．96【正确答案】B【分析】将其余4名同学分为3组，每组的人数分别为2、1、1，然后再将这三组同学分配给成绩前三名的同学，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】将其余4名同学分为3组，每组的人数分别为2、1、1，然后再将这三组同学分配给成绩前三名的同学，不同的辅导分配方案种数为2343C A 36=种.故选：B.5．已知圆221:0C x y a +-+=与圆()222:11C x y +-=有两个公共点A 、B ，且2AB =，则实数=a （）A ．6-B ．4-C ．2-D ．0【正确答案】C【分析】根据一般方程表示圆以及两圆相交可得出关于a 的不等式组，求出直线AB 的方程，分析可知直线AB 经过圆心2C ，将圆心2C 的坐标代入直线AB 的方程，可求得实数a 的值，再进行检验即可.【详解】对于圆1C ，有1240a ->，可得3a <，圆1C 的标准方程为()2233x y a -+=-，圆心为()13,0C ，半径为13r a =-，圆2C 的圆心为()20,1C ，半径为21r =，且122C C =，因为两圆有两个公共点A 、B ，则123131a C C a --<<-+，即31231a a --<<-+，将两圆方程作差可得2320x y a --=，因为22AB r =，则直线AB 过圆心2C ，所以，20a --=，解得2a =-，满足31231a a --<<-+.因此，2a =-.故选：C.6．已知P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，且0PA PC ⋅=，则P 的轨迹周长是（）A ．2πB ．2πC ．22πD ．4π【正确答案】D【分析】根据0PA PC ⋅=可得P 到AC 的中点为O 的距离为2，再根据正方体的几何性质可得P 在其中一个侧面上的轨迹长度，同理可确定其它侧面上的轨迹长度，从而可得P 的轨迹周长.【详解】因为0PA PC ⋅=，则90APC ∠=︒，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，取线段AC 的中点为O ，则1122222OP AC ==⨯=，由于P 在正方体的表面上运动，要满足2OP =，则点P 在正方体的四个侧面上运动，如图，当P 在侧面11CDD C 上运动时，取CD 中点为E ，连接,OE PE因为O ，E 分别为AC ，CD 中点，所以112OE AD ==，//OE AD ，又AD ⊥平面11CDD C ，所以OE ⊥平面11CDD C ，由于PE ⊂平面11CDD C ，所以OE PE ⊥，则1PE ==，则P 在侧面11CDD C 上得轨迹为以E 为圆心，1为半径的半圆，此时P 的轨迹长为121ππ2⨯⨯⨯=；同理，当P 在其它侧面上运动时轨迹长均为π；综上，P 的轨迹周长是4π.故选：D.7．三棱锥A BCD -的各面展开图如图所示，其中BCD △是边长为1的等边三角形，2AB AD AC '===．P 是棱BC 上的动点，记直线DP 与平面ABC 所成角为θ，则sin θ的取值范围是（）A ．1510⎣⎦B ．,1015⎣⎦C ．155⎥⎣⎦D ．1515⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】利用等体积法计算出点D 到平面ABC 的距离d ，计算出DP 的取值范围，可得出sin dDPθ=的取值范围.【详解】由题意作出三棱锥A BCD -的直观图如下图所示：由题意可知，三棱锥A BCD -为正三棱锥，设点A 在底面BCD 的射影为点O ，取BC 的中点M ，连接DM 、AM ，则O 为等边BCD △的中心，BCD 为等边三角形，M 为BC 的中点，则DM BC ⊥，且222213122DM BD BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22333323OD DM ∴==⨯，AO ⊥Q 平面BCD ，OD ⊂平面BCD ，AO OD ∴⊥，2222333233AO AD OD ⎛⎫∴=--=⎪ ⎪⎝⎭113312224BCDSBC DM ∴=⋅=⨯⨯=，1133311334312A BCD BCD V S AO -=⋅=⨯⨯△，2AB AC == ，M 为BC 的中点，AM BC ∴⊥，且2222115222AM AB BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11151512224ABCSBC AM ∴=⋅=⨯⨯，设点D 到平面ABC 的距离为d ，则D ABC A BCD V V --=，即1151131212ABC S d ⋅==△16515d 当点P 与点M 重合时，DP 取最小值，当点P 与点B 、C 重合时，DP 取最大值，312DP ≤≤，1651165255sin 151515d DP DP θ∴==∈⎣⎦.故选：D.8．已知椭圆22:143x y C +=的上顶点是M ，右焦点是F ，直线l 交C 于,A B 两点，F 恰是MAB △的重心，则l 的斜率是（）ABCD．【正确答案】B【分析】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆得交点坐标关系，结合重心坐标公式列方程即可求得直线l 的斜率k 的值.【详解】由题可得((),1,0M F ，若直线斜率存在，则直线l 的方程设为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，则22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=，()()()22284344120km km∆=-+->得2234k m +>，所以122212283441234km x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则21212228623434k m m y y kx m kx m m k k +=+++=-+=++因为F 恰是MAB △的重心，所以121233M F M F x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，则()2813340km k ⎧=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩4k =.故选：B.9．对于直线:20l x my m -+-=与圆()()22:514C x y -+-=的以下说法正确的有（）A ．l 过定点()2,1--B ．C 被l截得的弦长最长时，m =C ．l 与C 相切时，0m =或4528m =D ．l 与C 相切时，记两种情形下的两个切点分别为A 、B，则53AB =【正确答案】A【分析】将直线l 的方程变形，求出直线l 所过定点的坐标，可判断A 选项；分析可知，当C被l 截得的弦长最长时，直线l 过圆心，可求出m 的值，可判断B 选项；根据l 与C 相切求出m 的值，可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，将直线l 的方程变形为()210x m y +-+=，由2010x y +=⎧⎨+=⎩可得21x y =-⎧⎨=-⎩，所以，直线l 过定点()2,1--，A 对；对于B 选项，C 被l 截得的弦长最长时，直线l 过圆心()5,1C ，则720m -=，解得72m =，B 错；对于C 选项，圆C 的圆心为()5,1C ，半径为2r =，当直线l 与C 2=，解得4528m =，C 错；对于D 选项，由C 选项可知，直线l 与C 相切时只有一种情况，D 错.故选：A.二、多选题10．已知()()()()721250121221121212x x a a x a x a x -=+++++++ ，则下列计算正确的有（）A ．7122a =B ．1200i i a ==∑C ．67203i i a ==∑D ．1220ii i a ==∑【正确答案】BD【分析】令12x t +=，则12t x -=，()()()21201752122132a a a t t t t a t t f +++-+-== ，直接求出12a 的值，可判断A 选项；利用赋值法可判断BCD 选项.【详解】令12x t +=，则12t x -=，由()()()()721250121221121212x x a a x a x a x -=+++++++ 可得()()21201725122132a a t t a t a t t --++=++ ，令()()()21201752122132a a a t t t t a t t f +++-+-== 对于A 选项，()72t -的最高次项7t 的系数为1，()51t -的最高次项5t 的系数为1，故12132a =，A 错；对于B 选项，()12010i i a f ===∑，B 对；对于C 选项，()()012127012121013f a a a a f a a a a ⎧=++++=⎪⎨-=-+-+=⎪⎩，所以，()()762011322i i f f a =+-==∑，C 错；对于D 选项，()120220ii i a f ===∑，D 对.故选：BD.11．已知曲线:C y y x =，11,04F ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，P 是C 上的一个动点，则下列叙述正确的是（）A ．曲线C 关于y 轴对称B ．2PF PM +的最小值是54C ．若2PF 的中点在曲线C 上，则134PF =D ．过1F 的直线恰与C 有两个公共点A 、B，则1AB =【正确答案】BCD【分析】利用特例法可判断A 选项；利用抛物线的定义以及数形结合可判断B 选项；求出点P 的坐标，利用两点间的距离公式可判断C 选项；求出A 、B 的坐标，利用弦长公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，易知点()1,1在曲线C 上，但点()1,1-不在曲线C 上，所以，曲线C 不关于y 轴对称，A 错；对于B 选项，当0y ≥时，曲线C 的方程为2y x =，易知抛物线2y x =的焦点为点2F ，抛物线2y x =的准线为1:4l x =-，过点P 作PD l ⊥，垂足为点D ，由抛物线的定义可得2PF PD =，所以，2PF PM PD PM ++=，当且仅当M 、P 、D 三点共线时，2PF PM +的最小值为点M 到直线l 的距离54，B 对；对于C 选项，设点(),P m n ，则m n n =，线段2PF 的中点为41,82m n E +⎛⎫⎝⎭，由题意可得41844n n m m +==，解得12m =-，22n =-，故点12,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以，22111232424PF ⎛⎫⎛⎫=-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 对；对于D 选项，曲线C 的方程为22,0,0y y x y y ⎧-≤=⎨>⎩，如下图所示：若直线AB 恰与C 有两个公共点，则直线AB 与曲线C 相切于第一象限，且直线AB 的斜率为正数，设直线AB 的方程为14x my =-，其中0m >，联立214x my x y⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2104y my -+=，则210m ∆=-=，解得1m =，由2104y y -+=可得12y =，则1144x y =-=，即点11,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立214x y x y⎧=-⎪⎨⎪=-⎩可得2104y y +-=，由0y <可得122y =-，所以，点B 的纵坐标为12-，故11122AB ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，D 对.故选：BCD.12．如图，O 是正四棱台1111ABCD A B C D -的底面中心，上底面边长是1，下底面边长是2，侧棱长是2，P 是棱11B C 上的动点．下列选项中说法正确的是（）A ．将四棱锥1111O ABCD -翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥B ．平面11OA D 与平面11OB C 所成锐二面角的余弦值是1315C ．当PA PC ⋅ 取得最大值时，三棱锥11O A B P -的体积是12D ．当PA PC ⋅ 取得最小值时，二面角P AB C --【正确答案】ABD【分析】计算出四棱锥1111O A B C D -各侧棱的长，可判断A 选项；利用空间向量法可判断B 选项；分析可得22PA PC PO OA ⋅=- ，当PA PC ⋅取最小值时，确定点P 的位置，利用三棱锥的体积公式可判断C 选项；当PA PC ⋅取最大值时，确定点P 的位置，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可判断D 选项.【详解】对于A 选项，连接AC 、11A C ，则O 为AC 的中点，由正四棱台的几何性质可知四边形11AAC C 为等腰梯形，在等腰梯形11AAC C 中，AC =11AC =11//AC A C ，又因为O 为AC 的中点，则11//OA A C 且11OA A C =，所以，四边形11AAC O 为平行四边形，所以，112OC AA ==，同理可知，1112OA OB OD ===，所以，将四棱锥1111O A B C D -翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥，A 对；对于B 选项，设上底面1111D C B A 的中心为1O ，由正四棱台的几何性质可知1OO ⊥平面ABCD ，又因为四边形ABCD 为正方形，AC BD O = ，则AC BD ⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O、)A、()B、()C、()0,D、10,0,2O ⎛ ⎝⎭、1,0,22A ⎝⎭、10,22B ⎛ ⎝⎭、122C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、12140,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11OA D 的法向量为()1111,,m x y z =，1OA =⎝⎭，10,OD ⎛= ⎝⎭，则11111111022022m OA x m OD ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取1x)11m =- ，设平面11OB C 的法向量为()2222,,m x y z = ，121422OB ⎛= ⎝⎭ ，1214,0,22OD ⎛= ⎝⎭，则21112111022022m OB y z m OD x z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取1x =，可得)2m =，所以，()121221277113cos ,15m m m m m m ⋅+-<>===⋅，故平面11OA D 与平面11OB C 所成锐二面角的余弦值是1315，B 对；对于C 选项，()()()()2222PA PC PO OA PO OC PO OA PO OA PO OA PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，由A 选项可知，112OB OC ==，则11OB C V 为等腰三角形，故当点P 与点1B 或点1C 重合时，PO 取最大值，此时PA PC ⋅取最大值，当点P 与点1B 重合时，三棱锥11O A B P -不存在，C 错；对于D 选项，当点P 为线段11B C 的中点时，PO 取最小值，此时PA PC ⋅取最小值，此时点442P ⎛- ⎝⎭，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，442BP ⎛=-- ⎝⎭，()AB =，则00442n AB n BP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取x，则)2n = ，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1u =，所以，cos ,3n u n u n u ⋅<>=⋅，则sin ,n u <>===sin ,tan ,32cos ,n u n u n u <><>==<>，由图可知，二面角P AB C --为锐角，故二面角P AB C --，D 对.故选：ABD.方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.三、填空题13．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 与BD 交点．记1,,AB a AD b AA c ===，则1B O = ________（结果用,,a b c表达）．【正确答案】1122a b c-+- 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的一个基底{,,}a b c表示1B O 作答.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，则O 是BD 的中点，即1111()2222BO BD AD AB a b ==-=-+ ，所以1111122B O B B BO AA BO a b c =+=-+=-+- .故1122a b c-+- 14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的对称中心为O ，倾斜角是60 的直线过C 的右焦点F ，并且交C 的右支于A 、B 两点，A 在第一象限内，若OF AF =，则C 的离心率是________．【分析】求得设双曲线C 的左焦点为F '，则AF OF c ==，120AFF '∠= ，2FF c '=，利用余弦定理可求得AF '，由双曲线的定义可得出关于a 、c 的齐次等式，即可得出双曲线C 的离心率的值.【详解】设双曲线C 的左焦点为F '，则AF OF c ==，120AFF '∠= ，在AFF '中，2FF c '=，AF c =，120AFF '∠= ，由余弦定理可得AF '==，由双曲线的定义可得2AF AF c a '-=-=，所以，双曲线C 的离心率为c e a==故答案为.71315．将红、黄、蓝三种颜色的涂料都涂在下图的六个区域中，每个区域涂一种颜色，要求有三个区域涂同一颜色，且相邻的两个区域不同色，共有_________涂法（用数字作答）．【正确答案】60【分析】分析可知区域①③⑤或区域②④⑥或区域①③⑥或区域①④⑥涂同一种颜色，则剩余三个区域中有两个不相邻的区域涂一种颜色，最后一个区域涂第三种颜色，利用组合计数原理以及分步乘法、分类加法计数原理可求得结果.【详解】由题意可知，区域①③⑤或区域②④⑥或区域①③⑥或区域①④⑥涂同一种颜色，（1）若区域①③⑤或区域②④⑥涂一种颜色，则剩余三个区域中有两个区域涂一种颜色，最后一个区域涂第三种颜色，因此，不同的涂色种数为11212332C C C C 36=种；（2）若区域①③⑥涂同一种颜色，则区域④⑤涂剩余的两种颜色，区域②和区域①③所涂颜色不同，此时，不同的涂色种数为121322C A C 12=种；（3）若区域①④⑥涂同一种颜色则区域②③涂剩余的两种颜色，区域⑤和区域④⑥所涂颜色不同，此时，不同的涂色种数为121322C A C 12=种.综上所述，不同的涂色方法种数为36121260++=种.故答案为.60162=有且仅有两个不同实根，则实数t 的取值范围是______．【正确答案】(]0,5【分析】由2=y =2y =分析可知方程231640y y t -+=在(]0,2y ∈只有唯一的根，根据二次方程根的分布可得出关于t 的不等式组，解之即可.2=可得2=，所以，曲线y =2y =有两个公共点，它们关于y 轴对称，对于曲线2y =，20y =-，可得2y -=整理可得()2224x y +-=，由020y y ≥⎧⎨-≤⎩可得02y ≤≤，即曲线2y =为圆()2224x y +-=的下半圆，由y =224y x t +=，其中0t ≥，联立()2222424y x t x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩可得231640y y t -+=，若方程231640y y t -+=在0y =时有唯一根，则0=t ，2=只有唯一的实根0x =，不合乎题意，所以，方程231640y y t -+=在(]0,2y ∈只有唯一的根，因为二次函数()23164f y y y t =-+在(]0,2y ∈时单调递减，只需()()204023216240f t f t ⎧=>⎪⎨=⨯-⨯+≤⎪⎩，解得05t <≤.故答案为.(]0,5四、解答题17．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>经过点()2,3M ，它的左焦点为1F ，且1F 到其渐近线(1)求C 的方程；(2)过点M 的直线l 交C 左支于一点N ，且l 的斜率是12，求MN 长．【正确答案】(1)2213y x -=(2)MN =【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离可得b 的值，再将()2,3M 代入双曲线方程可得a 的值，即可求得双曲线方程；（2）由题意得直线l 的方程，代入双曲线方程可求得N 点横坐标，在根据弦长公式即可求得MN 长．【详解】（1）双曲线的左焦点为()1,0F c -，渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=则1Fbcb c===又将()2,3M 代入双曲线方程得：2222313a -=，所以21a =，故双曲线方程为2213y x -=；（2）由题意可得直线l 的方程为：()1322y x -=-，即122y x =+，则2212213y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2118280x x --=，解得2x =，1411x =-，即N 点横坐标为1411N x =-，所以1411M N MN x ⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭18．已知()nf x =，()6212g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)若()f x 的展开式中，二项式系数之和是128，求()f x 展开式中的第3项；(2)若()f x 的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，求()()⋅f x g x 展开式中的常数项【正确答案】(1)23384T x =(2)10240【分析】（1）利用二项式系数和求出n 的值，然后利用二项展开式通项可求得()f x 展开式中的第3项；（2）由二项式系数的基本性质可求得n 的值，然后写出()()⋅f x g x 展开式通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】（1）解：若()f x 的展开式中，二项式系数之和是128，则2128n =，可得7n =，所以，()7f x=的展开式中的第3项为2252337C 84T x ⎛=⋅⋅= ⎝.（2）解：若()f x 的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，则17n +=，可得6n =，所以，()()66212f x g x xx ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭，()f x 的展开式通项为()()5626166C 2C 0,1,2,,6kk kk k k k T x k--+⎛=⋅⋅=-⋅= ⎝，()g x 的展开式通项为()()6261231661C 22C 0,1,2,,6rrrr r r r S xx r x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅= ⎪⎝⎭，所以，()514366116622C C k r krk r k r T S x⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭++=-⋅⋅，其中r 、{}0,1,2,3,4,5,6k ∈，令514306k r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭可得53146k r +=，则36r k =⎧⎨=⎩，因此，()()⋅f x g x 展开式中的常数项为()63636622C C 10240-⋅=.19．如图①菱形ABCD ，60,1B BE EC ∠=︒==．沿着AE 将BAE 折起到B AE '，使得90DAB '∠=︒，如图②所示．(1)求异面直线AB '与CD 所成的角的余弦值；(2)求异面直线AB '与CD 之间的距离．【正确答案】(1)342217【分析】（1）根据折叠前后的几何性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得异面直线AB '与CD 所成的角的余弦值；（2）根据空间向量求直线AB '与CD 公垂线的方向向量，再结合空间向量坐标运算即可得异面直线AB '与CD 之间的距离．【详解】（1）图①菱形ABCD ，60,1B BE EC ∠=︒==，由余弦定理得2222cos 603AE AB BE AB BE =+-⋅⋅︒=，所以3AE =所以222BE AE AB +=，即AE BC ⊥，又//AD BC ，所以AE AD ⊥，在图②中，90DAB '∠=︒，即AD AB ⊥'，又,,AB AE A AB AE '⋂'=⊂平面AB E '所以AD ⊥平面AB E '，即EC ⊥平面AB E '，又B E '⊂平面AB E '，所以B E EC '⊥，如图，以E 为原点，,,EC EA EB '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,2,3,0,0,0,1,0,3,0E C D B A '，所以()()0,3,1,1,3,0AB CD ==' ，故0303cos ,224AB CD AB CD AB CD⋅-+==⋅'=-⨯''，则异面直线AB '与CD 所成的角的余弦值为34；（2）由（1）得()1,AC = ，设(),,m x y z =是异面直线AB '与CD 公垂线的方向向量，所以0000AB m z z CD m x x ⎧⎧⎧⋅=+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅===⎪⎪⎪⎩'⎩⎩，令1y =，则(m = 所以异面直线AB '与CD之间的距离为7AC mm ⋅==.20．已知平面上的动点P 到定点()1,0F 的距离比到直线:2l x =-的距离小1．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点()2,0的直线交E 于,A B 两点，在x 轴上是否存在定点M ，使得,A B 变化时，直线AM 与BM 的斜率之和是0，若存在，求出定点M 的坐标，若不存在，写出理由．【正确答案】(1)24y x =(2)存在，定点()2,0M -【分析】（1）由题意可得动点P 到定点(1,0)F 的距离与到直线=1x -的距离相等．可得动点P 的轨迹E 是抛物线；（2）设直线AB 方程为2x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，代入抛物线方程得交点坐标关系，假设存在定点(),0M m ，由斜率关系可得122112y x y x m y y +=+，利用坐标转化与坐标关系可求得m为定值，即可确定定点坐标.【详解】（1）由题意可得动点P 到定点()1,0F 的距离与到直线=1x -的距离相等．∴动点P 的轨迹E 是抛物线：点F 为焦点，直线=1x -为准线，可得方程为：24y x =．（2）由题意可设，直线AB 方程为2x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，则224x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2480y ty --=，0∆>恒成立，所以12124,8y y t y y +==-，假设存在点M ，则设(),0M m ，所以12120AM BM y y k k x m x m+=+=--，于是可得()()()122112121221121212222216824y ty y ty ty y y y y x y x t tm y y y y y y t++++++-+=====-+++，故存在定点()2,0M -.21．如图所示，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，EA 、FC 都垂直平面ABC ，且222FC EA AC ===．(1)证明：EF EB ⊥；(2)在平面EFB 内寻求一点M ，使得AM ⊥平面EFB ，求此时二面角M AB F --的平面角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）以C 为原点，,,CA CB CF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明；（2）根据四点共面、线面垂直等求出点M 的坐标，再利用空间向量坐标运算即可求得二面角M AB F --的平面角的正弦值.【详解】（1）因为90ACB ∠=︒，EA 、FC 都垂直平面ABC ，如图，以C 为原点，,,CA CB CF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，222FC EA AC ===，则()()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0,2C A B E F ，所以()()1,0,1,1,1,1EF EB =-=-- ，则()1010EF EB ⋅=++-= ，故EF EB ⊥；（2）设平面EFB 的法向量为(),,n x y z = ，则00020EF n x z x z x y z y z EB n ⎧⋅=-+==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+-==⋅=⎩⎩⎪⎩，令1z =，则()1,2,1n = 设(),,M m n l ，则()1,,AM m n l =- ，由于AM ⊥平面EFB ，所以//AM n ，则1121m n l -==，所以1,2m l n l =+=，即()1,2,M l l l +，又M ∈平面EFB ，故存在实数,,a b c ，且满足1a b c ++=，使得()()()(),0,0,0,20,,0,,2CM aCE bCF cCB a a b c a c a b=++=++=+ ，故1221l a l c l a ba b c +=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，解得16l =，所以711,,636M ⎛⎫ ⎪⎝⎭设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z = ，又()()1,0,2,1,1,0AF AB =-=- 则11111111202000x z x z AF m x y x y AB m ⎧-+==⋅=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎩⎪⎩ ，令11z =，则()2,2,1m = 设平面MAB 的法向量为()222,,t x y z = ，又()111,,,1,1,0636AM AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭则22222222211130063600z x AM t x y z x y AB t x y ⎧⎧=-⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎩⎪⎪⎩-+=⎩ ，令21x =，则()1,1,3t =- ，所以cos,33m tm tm t⋅=⋅，所以sin,m t==则二面角M AB F--的平面角的正弦值为33.22．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>，A为左顶点，B为上顶点，直线12,l l都平行直线AB，且分别相切椭圆C于M，N两点．(1)若以原点为圆心，焦距长为直径的圆与直线12,l l也相切，求22ba的值；(2)P为椭圆C上异于M，N的一点，求MNP△面积的最大值（结果用a、b表达）．【正确答案】1；(2)ab.【分析】（1）求出直线AB的方程，进而设出直线12,l l的方程，与椭圆方程联立，结合圆的切线性质列式计算作答.（2）由（1）求出点M，N的坐标及直线方程，再求出点P到直线MN的距离即可求解作答.【详解】（1）椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>左顶点(,0)A a-，上顶点(0,)B b，则直线AB方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab-+=，依题意，设直线12,l l的方程为0()bx ay m m ab-+=≠，由222222bx ay mb x a y a b-+=⎧⎨+=⎩消去y整理得：22222220b x bmx m a b++-=，则有22222248()0b m b m a b∆=--=，解得2222m a b=，令椭圆半焦距为c，因为直线12,l l与以原点为圆心，焦距长为直径的圆相切，c=，而c于是222442m a b a b==-，即22222()210b ba a+⋅-=，解得221ba=，所以221ba=.（2）由（1）知，点M，N的横坐标是方程2220x a±+=的根，由对称性不妨令(),(,)2222M a b N a--，则||MN=直线MN 的方程为：b y x a =-，即0bx ay +=，设椭圆2222:1x y C a b+=上点(cos ,sin )P a b θθ，(02π,tan 1)θθ≤<≠-，点P 到直线MN 的距离πsin()|4d θ=+，MNP △的面积1ππ|||sin()||sin()|244MNP SMN d ab ab θθ=⋅+=+≤，当且仅当π4θ=或5π4θ=时取等号，所以MNP △面积的最大值是ab .方法点睛：联立直线l 与椭圆C 的方程组，消元后的一元二次方程判别式为∆：（1）0∆>⇔直线l 与椭圆C 相交；（2）0∆=⇔直线l 与椭圆C 相切；（3）0∆<⇔直线l 与椭圆C 相离.。

辽宁省大连市部分学校2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
三、填空题 13．若空间向量()1,1,a x =r ，()2,,4b x =r ，向量a r 、b r 夹角为锐角，则x 的取值范围是
14．抛物线22y x =上一点M 到焦点F 的距离为2，则延长MF 交抛物线于点N ，则MN 的值为
15．大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A ，B ，C ，D ，E 五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A 不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有种．
16．在平面直角坐标系中，圆1C ：()()22
231x y -+-=与2C 关于直线24210x y +-=对称，直线l ：y kx =过坐标原点O ，当直线l 与1C ，2C 各有两个交点时，直线l 将1C ，2C 截成四段圆弧，若其中存在两端圆弧长度相等，则k 的所有可能值的乘积为
四、解答题
2
4
3
6
求证：四边形PBCQ的面积为定值．。

2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学（答案在最后）（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．椭圆22169x y +=的短轴长为（）A ．B ．C ．3D ．62．5(1)x -的展开式中含2x 的项是（）A ．25x-B ．25xC ．210x -D ．210x3．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,3,5,0,2,2,2,,1A B C t ----，若,,A B C 三点共线，则t 的值为（）A ．2-B ．7-C ．10D ．134．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画时，可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，则可配成的不同颜色种数为（）A ．3256种B ．27种C ．3255种D ．6种5．若双曲线221412x y -=上一点P 到其右焦点的距离是8，则点P 到其左焦点的距离是（）A ．4B ．10C ．2或10D ．4或126．已知(61a -=+,a b 均为有理数），则a 的值为（）A ．90B ．91C ．98D ．997．已知抛物线2:4E y x =，圆22:2C x y x +=，过圆心C 作斜率为k 的直线l 与抛物线E 和圆C 交于四点，自上而下依次为,,,A M N B ，若2AM NB MN +=，则k 的值为（）A ．B ．C ．2±D ．28．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A ．90种B ．120种C ．160种D ．190种二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知直线:2210l x y ++=，则（）A ．()1,1m =-是直线l 的法向量B ．直线l 的倾斜角为135︒C ．直线1:0l x y n --+=与直线l 平行的充要条件是12n ≠D ．直线l 在两坐标轴上的截距相等10．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,0,0,1,1,2,2,3,1A B C -，则（）A ．5AB BC ⋅=-B ．AC =C ．异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为1530D ．OB 在BC 上的投影的数量为1411．已知()62370123732(1)x x a a x a x a x a x -+=+++++ ，则下列结论正确的是（）A ．02a =-B ．385a =C ．2370123722222916a a a a a +++++= D ．135732a a a a +++=12．离心率为512-的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆22121222:1(0),,,,x y C a b A A B B a b+=>>为顶点，12,F F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．长轴长为4，短轴长为52-B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21PO A B ∥D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆221:(2)(1)4O x y +++=和圆222:(1)(3)9O x y -+-=的位置关系是______．14．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．15．如图，在正六边形ABCDEF 中，以,F C 为焦点，且经过点,,,A E B D 的双曲线的离心率e =______．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是过顶点11,,,B D D B 的圆上的一点，Q 为1CC 的中点．当直线PQ 与平面ABCD 所成的角最大时，点P 的坐标为______；直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）已知()3266C C 1m m m -=≠，计算：1236678C C C C m m m m ++++++；（2）解方程：72343C 5A x x x ---=．18．（12分）如图，,M N 分别是四面体O ABC -的棱,OA BC 的中点，,P Q 是MN 的三等分点（点P 靠近点N ），记,,AO a AB b AC c ===．（1）以{},,a b c为基底表示OQ ；（2）若1,2,,32a b c OAB OAC CAB ππ===∠=∠=∠= ，求OQ ．19．（12分）圆22:8O x y +=内有一点()01,2P ，过点0P 的直线交圆O 于,A B 两点．（1）当0P 为弦AB 的中点时，求直线AB 的一般式方程；（2）若圆O 与圆22:(1)(1)9C x y +++=相交于,E F 两点，求EF 的长度．20．（12分）已知2nx x ⎛+ ⎝的展开式的所有二项式系数之和为64．（1）求该二项式及其展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项．21．（12分）如图，AD BC ∥且2,,AD BC AD CD EG AD =⊥∥且,EG AD CD FG =∥且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；（2）求二面角E BC F --的平面角的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．22．（12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)6,0F，其渐近线与抛物线2C ：22y px =交于点(2．（1）求双曲线1C 及抛物线2C 的标准方程；（2）设A是双曲线1C与抛物线2C在第一象限的交点，作直线l与双曲线1C的两支分别交于点,M N，使得 ．求证：直线MN过定点．AM AN2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学参考答案及评分标准一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 【解析】在椭圆22169x y +=中，b =，所以短轴长为2b =．2．C【解析】5(1)x -的展开式的通项公式为515C (1)k kk k T x-+=⋅⋅-，所以含2x 的项是323245(1)10T C x x =⋅⋅-=-．3．B 【解析】因为()()2,5,3,4,3,6AB AC t =--=-- ，且,,A B C 三点共线，所以352t -=-⨯，解得7t =-．4．A【解析】分3步取色，第一、第二、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成3256256256256⨯⨯=（种）不同的颜色．5．D 【解析】由双曲线的方程可得224,12a b ==，所以22,41216a c ==+=，可得4c =．设右焦点为F ，左焦点为F '．当点P 在左支上时，则6PF a c ≥+=，所以28224PF PF a =-=-⨯='；当点P在右支上时，282212PF PF a =+=+⨯='．6．D【解析】因为(61-的展开式的通项公式为616C (,(1kk k T a +=⋅-=+，所以(((2462466666C C C C 99a =+⨯+⨯+⨯=．7．A 【解析】如图，圆22:(1)1C x y -+=的圆心为()1,0C ，半径1r=，且(1,0)C 为抛物线2:4E y x=的焦点，抛物线E的准线方程为1x =-．设()()1212,,,A y B x y x ，则1212112AB AC BC x x x x =+=+++=++．因为24AM NB MN +==，所以6AB =，则124x x +=．设直线l 的方程为()1y k x =-，显然0k ≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，所以2122244k x x k++==，解得k =．8．B 【解析】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球．将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中即可，不同的放法共有216C 120=（种）．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．BD 【解析】A ：直线:2210l x y ++=的一个法向量为()2,2，但()1,1m =-与向量()2,2不共线，A错误；B ：直线:2210l x y ++=的斜率为1-，故倾斜角为135︒，B 正确；C ：把直线1:0l x y n --+=的方程改写为2220x y n +-=，则直线1l ，l 平行的充要条件是21n -≠，即12n ≠-，C 错误；D ：直线:2210l x y ++=在,x y 轴上的截距分别是11,22--，D 正确．故选：BD ．10．AC 【解析】A ：()()1,1,2,1,2,3AB BC =--= ，所以1265AB BC ⋅=-+-=-，A 正确；B ：()0,3,1AC = ，所以09110AC =++=B 错误；C ：()1,1,2OB =- ，所以1146OB =++=，所以异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为03215cos ,30610OB AC OB AC OB AC⋅==⨯⋅，C 正确；D ：14914BC =++= ，所以OB 在BC 上的投影的数量为1263141414OB BC BC⋅==-，D 错误．故选：AC ．11．ACD【解析】A ：令0x =，得()0212a =-⨯=-，A 正确；B ：6(1)x +的展开式的通项为()16C 0,1,2,,6k kk T x k +== ，所以233415,20T x T x ==，所以()632(1)x x -+的展开式中3x 项的系数()33152205a =⨯+-⨯=，B 错误；C ：令2x =，得()2376012372222322(12)2916a a a a a +++++=⨯-⨯+= ，C 正确；D ：令1x =，得()60127312(11)64a a a a ++++=⨯-⨯+= ．令1x =-，得01270a a a a -+--= ．两式相减，得()1357264a a a a +++=，所以135732a a a a +++=，D 正确．故选：ACD ．12．BD【解析】A ：当长轴长为4，短轴长为2-时，512,12a b a b e a-==-⇒==≠，A 不符合题意；B：当11290F B A ∠=︒时，2111211121tan tan OB OFB A A F B O b ac OA OB ∠==∠=⇒=，即222510102a ac c e e e ---=⇒--=⇒=，B 符合题意；C：当1PF x⊥轴，且21PO A B ∥时，21b PF a ==，且11121121tan tan OB PF B A A FOP b c a OA OF ∠==∠=⇒=⇒=，则25122c e a -==≠，C 不符合题意；D ：当四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 时，点O 到直线22A B 的距离为c ，此时42221sin 310cB A A e e e a∠===⇒=⇒-+=，解得2352e =．又2310122e e e --<<⇒=⇒=，D 符合题意．故选：BD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．外切【解析】根据两圆的方程可知()()1212,1,1,3,2O O r --=，23r =，所以12125O O r r ===+，所以两圆外切．14．216【解析】最左端排甲，共有55120A =（种）；最左端排乙，最右端不能排甲，有1444C A 96=（种），所以不同的排法共有12096216+=（种）．151+【解析】设正六边形ABCDEF 的半径为r ，如图，连接,FC DF ，则,2DC r FC r ==．又90CDF ∠=︒，所以DF =．依题意，双曲线的实轴长)21a DF DC r =-=-，焦距22c FC r ==，所以该双曲线的离心率212c e a ===．16．1)+150,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】过点O 作11B D 的垂线并延长，交 11B D 于点E ，易得()()0,2,1,1,1,1OE Q E =，所以(1,QE =-．由图可知当点P 在点E 的位置时，直线PQ 与平面ABCD所成的角最大．易得平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．设直线QE 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin cos ,5QE nQE n QE nθ⋅===⋅，即直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为155．当PQ ∥平面ABCD 时，直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值最小，为0，所以直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是150,5⎡⎢⎣⎦．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）因为()3266C C 1m m m -=≠，所以326m m +-=，解得2m =，所以1231236678778C C C C C C C mm m m m m m +++++++++=++2388C C m m ++=+39C m +=59C =126=．（2）由72343C 5A x x x ---=，得()()()()33!54!7!4!6!x x x x --=--，即()()33654!x x --=，所以()()3640x x --=，解得1211,2x x ==-（舍去），所以原方程的解为11x =．18．解：（1）OQ OM MQ =+()1123AO MA AB BN=-+++()11112322a a b c b ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦211366a b c =-++ ．（2）2222411221936369918OQ a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅41121211112093699292=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+14=，所以12OQ = ．19．解：（1）直线AB 的斜率显然存在．因为0P 为弦AB 的中点，由垂径定理得0OP AB ⊥．又因为020210OP k -==-，所以12AB k =-，故直线AB 的方程为()1212y x -=--，整理，得直线AB 的一般式方程为250x y +-=．（2）228x y +=与22(1)(1)9x y +++=相减，得2210x y ++=，所以直线EF 的方程为2210x y ++=．圆心()0,0O 到直线EF的距离24d ==．由垂径定理得EF的长度为2==．20．解：（1）由题意，得264n =，解得6n =，所以该二项式为62x ⎛+ ⎝，则通项公式为：36662166C (2)C 2k k k k k k k T x x ---+==．令3602k -=，解得4k =，所以该二项式的展开式中的常数项为42416C 260T +==．（2）设第1k +项的系数最大，则6176661566C 2C 2,C 2C 2,k k k k k k k k ----+-⎧≥⎨≥⎩解得4733k ≤≤，则2k =，所以展开式中系数最大的项为2433216C 2240T x x +==．21．解：（1）法一：如图1，取DG 的中点为Q ，连接,NQ MQ ．又因为,M N 分别为,CF EG 的中点，所以,MQ CD NQ DE ∥∥．因为,CD DE ⊂平面,,CDE MQ NQ ⊄平面CDE ，所以MQ ∥平面,CDE NQ ∥平面CDE ．又因为,,MQ NQ Q MQ NQ =⊂ 平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面CDE ．因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面CDE．图1图2法二：以D 为坐标原点，建立如图2的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,2,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0,2D A B C E ，()()()30,1,2,0,0,2,1,0,2,0,,12F G N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．()()0,2,0,2,0,2DC DE == ．设平面CDE 的法向量为()0000,,n x y z = ，则0000020,220,n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令01z =-，得()01,0,1n =- ．31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则00MN n ⋅= ，即0MN n ⊥ ．又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（2）()()()1,0,0,1,2,2,0,1,2BC BE CF =-=-=- ．设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，则0,220,n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1z =，得()0,1,1n = ．设平面BCF 的法向量为(),,m a b c = ，则0,20,m BC a m CF b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1c =，得()0,2,1m = ．设二面角E BC F --的平面角为θ，显然θ为锐角，所以二面角E BC F --的平面角的余弦值为310cos 10m n m n θ⋅===，则二面角E BC F --的平面角的正弦值为sin 10θ==．（3）设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()1,2,BP t =-- ．平面ADGE 的一个法向量为()10,1,0n = ．因为直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，所以12cos ,2n BP ==，解得t =．则(DP = ．由（1）知平面CDE 的一个法向量为()01,0,1n =- ，所以点P 到平面CDE的距离002n DPd n ⋅== ．22．解：（1）双曲线1C 的渐近线方程为b y x a =±．因为)F ，双曲线1C的渐近线过点(，所以226,b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩则双曲线1C 的标准方程为22124x y -=．由抛物线2C过点(，得22p =，则抛物线2C 的标准方程为22y x =．（2）由题意知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+．联立221,24,x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()2222240k x kmx m ----=，则()()()222222Δ44248420k m k m m k =--+=+->，212122224,22km m x x x x k k --+==--，所以()12122422m y y k x x m k+=++=-，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++22222224222m k m k m k k --=⋅++--222242m k k-=-．联立2222,24,y x x y ⎧=⎨-=⎩解得2,2,x y =⎧⎨=±⎩所以()()()11222,2,2,2,2,2A AM x y AN x y =--=-- ．由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅= ，即()()()()12122222AM AN x x y y ⋅=--+-- ()()12121212228x x y y x x y y =+-+-++222222242448802222m m k km m k k k k---=+--+=----．整理，得221248120k km m m +-+-=，即()()22660k m k m +--+=．显然()2,2A 不在直线MN 上，即220k m +-≠，所以660k m -+=，满足Δ0>，所以直线MN 的方程为()6666y kx k k x =++=++，。

2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 对于常数m n 、，“0mn >”是“方程221mx ny -=的曲线是双曲线“的”（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若0a b <<，则下列不等式中错误．．的是（ ） A ．11a b a >- B ．11a b> C.a b > D ．22a b > 3.下列函数中，最小值为4的是（ ）A ．3log 4log 3x y x =+B ．4x x y e e -=+ C. ()4sin 0sin y x x x π=+<< D ．4y x x=+ 4.已知实数,x y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是（ ）A ．9-B ．15 C. 0 D ．10-5.下列命题中，说法错误．．的是（ ） A.“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”B.“p q ∧是真命题”是“p q ∨是真命题”的充分不必要条件C.“22,20x x x ∀>-> ”的否定是“22,20x x x ∃≤-≤ ”D.“若0b =，则()2f x ax bx c =++是偶函数”的逆命题是真命题6.设0,0a b >>3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C. 7 D ．8 7.已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，则这个椭圆的离心率是（ ）A1 B．2D8.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则84S S =（ ） A ．1716 B ．12C. 2 D ．17 9.在等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，111a =-，1082108S S -=，则11S =（ ） A ．11 B ．11- C. 10 D ．10-10.设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，点(),M a b .若1230MF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．32B11.设{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时的n 值为（ ）A ．18B ．19 C. 20 D ．2112.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x <时，()f x 满足，()()()2f x xf x xf x '+<，则()f x 在R 上的零点个数为（ ）A ．5B ．3 C. 1或3 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()322332f x x x x =-+-的递增区间为 ． 14.在数列{}n a 中，2337,23a a ==，且数列{}1n na +是等比数列，则n a = ． 15.已知函数()()x e a f x a R x-=∈，若函数()f x 在区间[]2,4上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ．16.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MNAB 的最大值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 若数列{}n a 满足()*111,21,2n n a a a n N n -=-=-∈≥.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2log 1n n b a =-，若数列()*11n n n N b b +⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1n T <. 18. 已知函数()()()2110f x ax a x a =-++≠.（1）若()2f x ≤在R 上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x <.19.已知过点()4,0A -的动直线l 与抛物线()2:20G x py p =>相交于,B C 两点.当直线l 的斜率是12时，4AC AB = . （1）求抛物线G 的方程；（2）设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围.20.已知数列{}{},n n a b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214,22n n a b S a ==-，()()2*11n n nb n b n n n N +-+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列. （3）若数列{}n c 的通项公式为,2,4n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令212n n n p c c -=+.n T 为{}n p 的前n 项的和，求n T .21.已知椭圆22143x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,B C 两点. （1）求该椭圆的离心率；（2）设直线AB 和AC 分别与直线4x =交于点,M N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP NP ⊥？乳品存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22.已知函数()()()2ln ,f x b x g x ax x a R ==-∈（1）若曲线()f x 与()g x 在公共点()1,0A 处有相同的切线，求实数,a b 的值；（2）若0,1a b >=，且曲线()f x 与()g x 总存在公共的切线，求正数a 的最小值.。

辽宁省大连五校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀＞0，﹣ln＞0，则￢p为（）A．∀＞0，﹣ln≤0 B．∀＞0，﹣ln＜0C．∃0＞0，0﹣ln0＞0 D．∃0＞0，0﹣ln0≤02．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．543．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A． B．C．D．5．（5分）直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A． B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）7．（5分）已知变量，y满足约束条件，若目标函数=+2y的最小值为2，则m=（）A．2 B．1 C．D．﹣28．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C． D．9．（5分）已知不等式y≤a2+2y2对任意∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）10．（5分）设椭圆与函数y=3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048 B．5050 C．10098 D．1010012．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4±y=0 B．±4y=0 C．2±y=0 D．±2y=0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：2+2﹣3＞0，命题q：＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．15．（5分）已知M是抛物线2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是．16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．（12分）已知过抛物线E：y2=2p（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）（1＜2）两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．22．（12分）如图，在平面直角坐标系oy中，已知圆C：（+1）2+y2=16，点A（1，0），点B （a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP于点Q．（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀＞0，﹣ln＞0，则￢p为（）A．∀＞0，﹣ln≤0 B．∀＞0，﹣ln＜0C．∃0＞0，0﹣ln0＞0 D．∃0＞0，0﹣ln0≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀＞0，﹣ln＞0”的否定是∃＞0，﹣ln≤0．故选：D．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a13=﹣9，∴3a1+12d=﹣9，∴a1+4d=﹣3，∴S9==9（a1+4d）=﹣27．故选：A．3．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∀a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．∴＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．∴“＜”是“＞0”的充要条件．故选：C．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A． B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，∴a=2b，∴c=b，∴双曲线的离心率是e==．故选：D．5．（5分）直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A． B．C．D．【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为，y，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；∴；∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=2，∴其前三项和S3=，当q＞0时，S3=≥2+2=6；当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．故选：D．7．（5分）已知变量，y满足约束条件，若目标函数=+2y的最小值为2，则m=（）A．2 B．1 C．D．﹣2【解答】解：由变量，y满足约束条件，作出可行域如图，化目标函数=+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为2．由，解得A（m，m），A代入=+2y，可得m+2m=2，解得m=．故选：C．8．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C． D．【解答】解：∵60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，∴=，∵AB=4，AC=6，BD=8，∴2=（）2=+2=36+16+64+2×6×8×cos120°=68．∴CD的长为||=2．故选：B．9．（5分）已知不等式y≤a2+2y2对任意∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）【解答】解：由题意可知：不等式y≤a2+2y2对于∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，即：a≥﹣2（）2，对于∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，令t=，则2≤t≤5，∴a≥t﹣2t2在[2，5]上恒成立，∵y=﹣2t2+t的对称轴为t=，且开口向下，∴y=﹣2t2+t在[2，5]单调递减，∴y ma=﹣2×22+2=﹣6，∴a≥﹣6，故选B．10．（5分）设椭圆与函数y=3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．【解答】解：∵椭圆C：与函数y=3的图象相交于A，B两点，∴A，B两点关于原点对称，设A（1，y1），（﹣1，﹣y1），则，即．设P（0，y0），则，可得：．∴．∵直线PA的斜率1的取值范围[﹣3，﹣1]，∴﹣3≤≤﹣1，得，∴直线PB的斜率取值范围是[]．故选：D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048 B．5050 C．10098 D．10100【解答】解：当n=1时，=0，则a1=0．当n≥2时，+++…++=4n﹣4，①+++…+=4n﹣8，②+++…++=4n，③由①﹣②得到：=4，∵a n≥0，∴a n=2n，由③﹣①得到：=4，=2n+2，∴a n+1﹣a n=2，∴a n+1∴数列{a n}是等差数列，公差是2，综上所述，a n=，∴S100=S1+S2+S3++…+S100=0+×（100﹣1）=10098．故选：C．12．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4±y=0 B．±4y=0 C．2±y=0 D．±2y=0【解答】解：由2+y2﹣y+=0，得2+（y﹣）2=，则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．设切点D（0，y0）（y0＞0），则由2+y2﹣y+=0与（0，y0﹣c）•（0，y0﹣）=0，解得：0=，y0=．∴D（，），由|MF|=3|DF|，得=3，得M（，﹣），代入双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：2+2﹣3＞0，命题q：＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由2+2﹣3＞0得＞1或＜﹣3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，∵q：＞a，∴a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为2，若，可得（a1•2m﹣1）（a1•2n﹣1）=4（2a1）2，即有m﹣1+n﹣1=4，则m+n=6，可得=（m+n）（）=（2+++）≥（+2）=×=．当且仅当m=2n=4，都不是取得等号，则的最小值为．故答案为：．15．（5分）已知M是抛物线2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是6．【解答】解：抛物线2=4y的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，如图所示：利用抛物线的定义知：|MP|=|MF|，当A，M，P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小．即CM⊥轴，此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|﹣1=7﹣1=6，故答案为：6．16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．【解答】解：以A为原点，AB为轴，AC为y轴，AA1为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（，0，0），D（0，y，0），=（﹣，y，﹣1），=（，﹣1，﹣），∵GD⊥EF，∴=﹣=0，即+2y﹣1=0∴DF===，∵0＜＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值=，当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1．∴线段DF的长度的取值范围是[，1）．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，所以2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2），所以（S3﹣S1）+（S3﹣S2）+2a3=a1+a2，所以4a3=a1，因为数列{a n}是等比数列，所以，又q＞0，所以，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，，所以，=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n，=．故．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC，在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC，又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E；（2）如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为，y，轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），，设平面ADE的法向量为，则，令=1，则，∴，所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为．19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为数列{a n}满足，所以，即，又a1=1，所以，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列．（2）由（1）可得，所以，因为b1=﹣λ符合，所以．＞b n，即（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，因为数列{b n}是单调递增数列，所以b n+1化为λ＜n+1，所以λ＜2．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD∥FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系O﹣y，令AB=a，则P（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，a，0）．由（Ⅰ）知=（）为平面PCE的法向量，令=（1，y，）为平面PAC的法向量，由于=（1，0，﹣），=（2，﹣a，0）均与垂直，∴，解得，则，由cos θ=||=，解得a=．故四棱锥P﹣ABCD的体积V=S ABCD•PO=•2••=2．21．（12分）已知过抛物线E：y2=2p（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）（1＜2）两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．【解答】解：（1）抛物线的焦点，∴直线AB的方程为：联立方程组，消元得：，∴∴，解得p=±2．∵p＞0，∴抛物线E的方程为：y2=4．（2）证明：设C，D两点坐标分别为（1，y1），（2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=（﹣1）（≠0）．由，得22﹣（22+4）+2=0．△=（22+4）﹣44=162+16＞0因为直线l1与曲线E于C，D两点，所以．所以点P的坐标为．由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为（1+22，﹣2）．当≠±1时，有，此时直线PQ的斜率．所以，直线PQ的方程为，整理得y2+（﹣3）﹣y=0．于是，直线PQ恒过定点（3，0）；当=±1时，直线PQ的方程为=3，也过点（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点（3，0）．22．（12分）如图，在平面直角坐标系oy中，已知圆C：（+1）2+y2=16，点A（1，0），点B （a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP于点Q．（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．【解答】解：（I）如图，∵BA=BP，BQ=BQ，∠PBQ=∠ABQ，∴△QAB≌△QPB，∴QA=QP，∵CP=CQ+QP=QC+QA，QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点，2a=4的椭圆，故点Q的轨迹方程为（II）由题可知，设直线l：=my﹣1，不妨设M（1，y1），N（2，y2）∵，，∵，∴（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，△=144m2+144＞0，∴，∵，即∈（﹣，0]，∈（﹣3，﹣），∴=﹣∈（，3）．。