飞行力学第1-2章非线性方程

飞行动力学第二章公式总结空气动力：X=C x qS阻力公式Y=C y qS升力公式Z=C z qS侧向力公式动压公式q=ρV22升力：C y=f(Ma,α,δ)升力系数函数C y=C y0+C yαα+C yδzδz升力系数在攻角和舵偏角不大的情况下的表达式C y=C yαα+C yδzδz轴对称时Y=Y0+Yαα+Yδzδ升力在攻角和舵偏角不大的情况下的表达式α攻角不大情况下攻角变化引起的升力Yα=C yαρV22Yδ=C yδzρV2δz舵偏角不大的情况下舵偏角变化引起的升力2侧向力：C z=C zββ+C zδzδz侧向力因数在侧滑角和舵偏角不大的情况下的表达式-C zβ=C yα轴对称下成立（不大）-C yδz=C zδz轴对称下成立（不大）阻力：X= X0+X i阻力的组成由零升阻力和诱导阻力构成C x=C x0+C x i阻力因数由零升阻力因数和诱导阻力因数构成气动力矩：M x1=m x1qSL滚转力矩M y1=m y1qSL偏航力矩M z1=m z1qSL俯仰力矩M z =f(M a ,H,α,δz ,,ωz ,α̇, δz ) 俯仰力矩的函数M z = M z 0+M z αα+M z δz δz+ M z ωz ωz+ M z αα̇+M z δz δz参数不大的情况下升力表达式 m z = m z 0+m z αα+m z δz δz+ m z ωz ̅̅̅̅ωz ̅̅̅̅+ m z α̅α̇̅+m z δz ̅̅̅̅δz̅ 无量纲力矩因数表达式 δz ̅=δzL/V 舵偏角角速度对应的无量纲参数 α̇̅=α̇L/V 攻角角速度对应的无量纲参数 ωz ̅̅̅̅=ωzL/V 俯仰角角速度对应的无量纲参数M z α=C z αSqα(x g −x F )=m z αSqαL 升力力矩和里表达式之间的关系m z α=C z α(X g ̅̅̅−X F ̅̅̅̅) 攻角升力系数和攻角升力力矩系数之间的关系 m z δz =C z δz (X g ̅̅̅−X r ̅̅̅) 舵偏角升力系数和舵偏角升力力矩系数之间的关系 m z =m z αα+m z δz δz 轴对称定常直线飞行下的升力力矩系数表达式m z ααb +m z δz δz=0 "瞬时平衡假设"下的升力力矩平衡状态方程C b y =C b ααb +C b δz δzb =（C b α−C b δz m z αm z δz ）αb “瞬时平衡”状态下平衡升力的表达式m z α|α=αb <0 纵向静稳定条件m z C y =ðm zðC y =(X g ̅̅̅−X F ̅̅̅̅) 稳定性的定量表示——静稳定度 ∆α=arctanrωz V 俯仰角角速度引起的下洗角度 M z ωz =M z ω̅z ω̅z qSL 俯仰阻尼力矩表达式t t t αεεαα•∆（）=（（）-）实际下洗角 偏航力矩：m y =m y ββ+m y δy δy +m y ω̅y ω̅y +m y ω̅x ω̅x +m y δ̅y δy +m y β̅β 偏航力矩系数表达式 ω̅y =ωy L/V偏航角速度对应的无纲量因数 δy=δy L/V 航向舵偏角速度对应的无纲量因数 β=βL/V 偏航角角速度对应的无量纲因数m x =m x0+m x ββ+m x δy δy +m x δx δx +m x ω̅x ω̅x +m x ω̅y ω̅y 滚转力矩因数的表达式 m x ββ<0 横向静稳定性的条件M ℎ=m ℎq t S t b t 铰链力矩模式表达式M ℎ=−Y t ℎcos(α+δz ) 铰链力矩实际表达式M ℎ≈M ℎαα+M ℎδz δz 铰链力矩的近似表达式 推力：P =m s μe +S a (P a −P ℎ) 推力的表达式 M p =R p ×P 推力力矩表达式重力：G=G 1+F e 重力表达式F e =mR e Ωe 2cosψe 离心惯性力的表达式 g =g 0R e 2(R e +H e )2 重力加速度随高度变化的表达式导弹建模基础：m dV dt =F质心移动的动力学公式 dH dt =M 绕质心转动的动力学公式导弹质心移动的动力学方程：m dV dt =m (ðV ðt +Ω×V)=F 用相对坐标系表示以绝对坐标系为基准的矢量变化率表示-力 ρ=V θ 曲率半径的计算公式a y2=Vθ 弹道法线加速度 导弹绕质心转动的动力学方程：dH dt =ðH ðt +ω×H =M用相对坐标系表示以绝对坐标系为基准的矢量变化率表示-力矩 H =J ∙ω动量矩M =J ∙α力矩 J ={J x1−J x1y1−J z1x1−J x1y1J y1−J y1z1−J z1x1−J y1z1J z1} 三维空间下转动惯量矩阵 dm dt =−m s (t)导弹质量流率方程 m =m 0−∫m s (t)dt tf t0 导弹质量方程角度几何关系：cosφ=cosα1cosα2+cosβ1cosβ2+cosγ1cosγ2 余弦定理α=ϑ−θ 无滚转无侧滑角度关系时β=ψ−ψv 无攻角无滚转时角度关系操纵关系方程：N =P +R 控制力为空气动力与推力的合力N =N n +N τ 控制力的切向与法向的分解N τ=P τ−X 切向控制力分解 N n =P n +Y +Z 法向控制力分解导弹飞行的运动方程组（轴对称型导弹，以地面为绝对坐标系）： 质心移动的动力学方程（弹体->弹道坐标系）：m dV dt =Pcosαcosβ−X −mgsinθ切向运动的动力学方程 mV dθdt =P (sinαcosγv +cosαsinβsinγv )+Ycosγv −Zsinγv −mgcosθ 竖直法向运动的动力学方程 −mVcosθdψv dt =P (sinαsinγv −cosαsinβcosγv )+Ysinγv +Zcosγv 水平法向运动的动力学方程 绕质心转动的动力学方程（弹体坐标系）：J xdωx dt +(J z −J y )ωy ωz =M x 弹体x 轴力矩表达式 J ydωy dt +(J x −J z )ωz ωx =M y 弹体y 轴力矩表达式 J z dωz dt +(J y −J x )ωx ωy =M z 弹体z 轴力矩表达式质心移动的运动学方程（弹道->地面坐标系）：dxdt=Vcosθcosψv地面坐标系x轴方向运动学方程dydt=Vsinθ地面坐标系y轴方向运动学方程dxdt=−Vcosθsinψv地面坐标系z轴方向运动学方程绕质心转动的运动学方程（弹体->地面坐标系）：dϑdt=ωy sinγ+ωz cosγ俯仰角角速度表达式dψdt =1cosϑ(ωy cosγ+ωz sinγ)偏航角角速度表达式dγdt=ωx−tanϑ(ωy cosγ+ωz sinγ)滚转角角速度表达式质量方程：dmdt=−m s角度转换：sinβ=cosθ[cosγsin(ψ−ψv)+sinϑsinγcos(ψ−ψv)]−sinθcosϑsinγ侧滑角用其他角的表达关系cosα=[cosϑcosθcos(ψ−ψv)+sinϑsinθ]/cosβ俯仰角用其他角进行表示cosγv=[cosγcos(ψ−ψv)−sinϑsinγsin(ψ−ψv)]/cosβ速度滚转角的表示控制方程：ε1=0 俯仰方向的控制方程ε2=0 滚转方向的控制方程ε3=0 偏航方向的控制方程ε4=0 速度大小的控制方程描述导弹纵向运动的方程组（忽略z、β、ψ、ψv、ωy、γ、γv、ωx）：质心移动的动力学方程：m dVdt=Pcosα−X−mgsinθ纵向平面内沿速度方向的动力学方程mV dθdt=Psinα+Y−mgcosθ纵向平面内速度纵法线方向的动力学方程绕质心转动的动力学方程：J z dωzdt=M z纵向平面内绕弹体z轴旋转的动力学方程质心移动的运动学方程：dxdt=Vcosθ纵向平面水平运动学方程dydt=Vsinθ纵向平面竖直运动学方程绕质心转动的运动学方程：dϑdt=ωz弹体绕z轴的转动质量方程：dmdt=−m s质量变化方程几何关系方程：α=ϑ−θ纵向平面俯仰角、弹道倾角、攻角之间的关系控制方程：ε1=0 俯仰方向的控制方程ε4=0 速度大小的控制方程侧向运动方程组（基于纵向运动方程组）：质心移动的动力学方程：−mVcosθdψvdt=P(sinα+Y)sinγv−(Pcosαsinβ−Z)cosγv速度侧法向方向动力学方程绕质心转动的动力学方程：J x dωxdt=M x−(J z−J y)ωzωy绕弹体x轴转动的力矩守恒J y dωydt=M y−(J x−J z)ωxωz绕弹体y轴转动的力矩守恒质心移动的运动学方程：dzdt=−Vcosθsinψv地面坐标系下z轴方向的运动绕质心转动的运动学方程：dψdt =1cosϑ(ωy cosγ−ωz sinγ)偏航方向转动方程dγ=ωx−tanϑ(ωy cosγ−ωz sinγ)滚转方向转动方程dt几何关系方程：sinβ=cosθ[cosγsin(ψ−ψv)+sinϑsinγcos(ψ−ψv)]−sinθcosϑsinγ侧滑角用其他角的表达关系cosγv=[cosγcos(ψ−ψv)−sinϑsinγsin(ψ−ψv)]/cosβ速度滚转角的表示控制方程：ε2=0 侧滑角的控制方程ε3=0 滚转角的控制方程有侧滑无倾斜的水平运动方程组：条件：θ=0弹道倾角为零γ=γv=0滚转角为零ωx=0滚转角速度为零质心移动的动力学方程（弹体->弹道坐标系）：=Pcosαcosβ−X切向运动的动力学方程m dVdtPsinα+Y=mg竖直法向运动的动力学方程−mVcosθdψv=−Pcosαsinβ+Z水平法向运动的动力学方程dt绕质心转动的动力学方程（弹体坐标系）：=M y弹体y轴力矩表达式J y dωydt=M z弹体z轴力矩表达式J z dωzdt质心移动的运动学方程（弹道->地面坐标系）：dx=Vcosψv地面坐标系x轴方向运动学方程dtdx=−Vsinψv地面坐标系z轴方向运动学方程dt绕质心转动的运动学方程（弹体->地面坐标系）：dϑdt=ωz俯仰角角速度表达式dψdt =ωycosϑ偏航角角速度表达式质量方程：dmdt=−m s角度转换：α=ϑ俯仰方向角度关系β=ψ−ψv偏航方向角度关系控制方程：ε2=0 偏航方向的控制方程ε4=0 速度大小的控制方程导弹的质心运动：条件：m zααb+m zδzδzb=0攻角方向的力矩守恒m yββb+m yδyδyb=0侧滑角方向的力矩守恒ε1=0 ε2=0 ε3=0 ε4=0 俯仰、侧滑、滚转、速度方向上实现理想控制质心移动的动力学方程（弹体->弹道坐标系）：m dVdt=Pcosαb cosβb−X b−mgsinθ切向运动的动力学方程mV dθdt=P(sinαb cosγv+cosαb sinβb sinγv)+Y b cosγv−Z b sinγv−mgcosθ竖直法向运动的动力学方程−mVcosθdψvdt=P(sinαb sinγv−cosαb sinβb cosγv)+Y b sinγv+Z b cosγv水平法向运动的动力学方程质心移动的运动学方程（弹道->地面坐标系）：dxdt=Vcosθcosψv地面坐标系x轴方向运动学方程dydt=Vsinθ地面坐标系y轴方向运动学方程dxdt=−Vcosθsinψv地面坐标系z轴方向运动学方程质量方程：dmdt=−m s描述导弹质心铅锤平面内运动方程组：质心移动的动力学方程：m dVdt=Pcosα−X−mgsinθ纵向平面内沿速度方向的动力学方程mV dθdt=Psinα+Y−mgcosθ纵向平面内速度纵法线方向的动力学方程质心移动的运动学方程：dxdt=Vcosθ纵向平面水平运动学方程dydt=Vsinθ纵向平面竖直运动学方程质量方程：dmdt=−m s质量变化方程几何关系方程：δzb=−m zαm zδzαb控制方程：ε1=0 俯仰方向的控制方程ε4=0 速度大小的控制方程导弹质心在水平面内的运动方程组：条件：θ=0弹道倾角为零γ=γv=0滚转角为零ωx=0滚转角速度为零α->0攻角很小β->0侧滑角很小质心移动的动力学方程（弹体->弹道坐标系）：=P−X b切向运动的动力学方程m dVdtPαb+Y=mg竖直法向运动的动力学方程−mVcosθdψv=−Pβb+Z b水平法向运动的动力学方程dt质心移动的运动学方程（弹道->地面坐标系）：dx=Vcosψv地面坐标系x轴方向运动学方程dtdz=−Vsinψv地面坐标系z轴方向运动学方程dt质量方程：dm=−m sdt角度转换：ψ=ψv+βb偏航角、速度滚转角、侧滑角水平飞行时的几何关系ϑ=α水平飞行时俯仰角和攻角之间的几何关系m zααb+m zδzδzb=0攻角方向的力矩守恒m yββb+m yδyδyb=0侧滑角方向的力矩守恒控制方程：ε2=0 滚转方向的控制方程ε4=0 速度大小的控制方程过载：过载矢量的定义n=NGF i=nG i通过过载来求导弹任意部分的外力大小过载的投影：(Pcosαcosβ−X)速度坐标系x轴方向过载的投影n x3=1Gn y3=1(Psinα+Y)速度坐标系y轴方向过载的投影Gn z3=1G(Pcosαcosβ+Z)速度坐标系z轴方向过载的投影n x2=1G(Pcosαcosβ−X)弹道坐标系x轴方向过载的投影n y2=1G(cos(γv) (sin(α) P + Y) − sin(γv) (−sin(β) cos(α) P + Z))弹道坐标系y轴方向过载的投影n z2=1G(sin(γv) (sin(α) P + Y) + cos(γv) (−sin(β) cos(α) P + Z))弹道坐标系z轴方向过载的投影过载表示动力学方程：m dVdt=N x2+G x2沿速度方向的动力学方程mV dθdt=N y2+G y2沿速度法向纵向对称面内的动力学方程−mVcosθdψvdt=N z2+G z2沿速度法向横向动力学方程用V、θ、ψv来表示过载：n x2=1gdVdt+sinθn y2=Vgdθdt+cosθn z2=−Vgdψvdtcosθ根据过载判断飞行状态：n x2=sinθ等速飞行n y2=cosθ不做上下拐弯n z2=0不做左右拐弯曲率半径与过载之间的关系：ρy2=V2g(n y2−cosθ)竖直转弯曲率半径与过载之间的关系ρz2=V2cosθg(n z2)水平转弯曲率半径与过载之间的关系n L=1G(PsinαL+qSC ymax)极限过载表达式n L>n P>n R(LIMIT>P ASSABLE>REQUIRE)ε1=α−α∗=0 给定攻角下的理想控制关系式ε1=n y2−n y2∗=0 给定法向过载下的理想控制关系式α=n y2−(n y2b )α=0n y2αb 给定过载下小攻角的表达式式ε1=θ−θ∗=0 给定弹道倾角下的理想控制关系式ε1=ϑ−ϑ∗=0 给俯仰角下的理想控制关系式δz =K ϑ(ϑ−ϑ∗) 给定俯仰角下升降舵的偏转控制律θ=arcsin (1VdH ∗dt ) 给定弹道倾角的方案飞行可按给定高度飞行的方案弹道 α=mg P+Y α←[Psinα+Y =mg] 等高飞行下小攻角的表达式δz =−m z0+mgm zαP+Y αm z δz 等高飞行小攻角瞬时平衡假设下舵偏角表达式δz =δz0+K H (H −H 0)+K H ΔH等高飞行下升降舵的偏转控制律（微分项消除震荡） 侧滑转弯飞行情况下的飞行方案：3303()=y y b y b n n n ααα=- 平衡状态下的攻角的法向过载表达式303()1=y b y b n n ααα=- 平衡状态下无倾斜的攻角的法向过载表达式3031/cos ()=y v b y b n n αααγ=- 平衡状态下无侧滑的攻角的法向过载表达式水平面内给定弹道偏角下侧滑转弯飞行情况下的飞行方案： 2*0v v 给定弹道偏角的理想控制关系式dV dt =P−X m 切向方程303()1=y b y b n n ααα=- 竖直法向方程 −V gdψv dt n z3 b β=β 水平法向方程 dx dt=Vcosψv x 轴方向方程*()V V t 给定弹道倾角水平面内给定侧滑角或偏航角下侧滑转弯飞行情况下的飞行方案： φ：2*0v v 给定弹道偏角的理想控制关系式β：2*0v v 给定侧滑角的理想关系式dV dt =P−X m 切向方程303()1=y b y b n n ααα=- 竖直法向方程 dψv dt=1mV (Pβ−Z) 水平法向方程 dx dt=Vcosψv x 轴方向方程 dz dt =−Vsinψv z 轴方向方程φ：*()t 给定偏航角v =-水平飞行下侧滑、偏航、弹道偏角之间的几何关系 β：（）*=t 给定侧滑角水平面内给定侧向过载下侧滑转弯飞行情况下的飞行方案：222*=n n ()0x x t 给定过载下的控制方程dV dt =P−X m 切向方程303()1=y b y b n n ααα=- 竖直法向方程 dψv dt=−g V n z2 水平法向方程dz dt =−Vsinψv z 轴方向方程 22b z z n n β角度和过载间关系 22*()z z n n t 给法向过载自动瞄准的相对运动方程组（极坐标系）： cos cos T T drV V dt导弹与目标之间的矢径方向关系式 sin sin T T dq rV V dt 导弹与目标之间的角度方向关系式 q 导弹自身角度关系式q T T 目标角度关系式=0 导引关系式遥控导引的运动学方程组：d cos RV dt基站与导弹之间矢径方向关系式 sindR V dt 速度垂直于目标线方向上的关系式 航天器的开普勒轨道推导：3r r r 万有引力下的动力学方程 const h r r单位质量的角动量守恒 r rv h L 拉普拉斯常量-守恒 22v E const r 能量守恒 222=+2L Eh 三个守恒量之间的关系。

飞机设计的基础：六自由度非线性运动方程的建立过程飞机飞行，涉及到力(力矩)平衡、静稳定和静操纵性等一系列的问题。

为了保证飞机的飞行安全和良好的飞行品质，还必须在静品质基础上研究飞机的动态特性。

可以说，飞机的各个系统设计都是围绕着飞机的飞行运动这一基本概念进行的，无论是总体设计、结构设计、气动设计、控制系统设计等等。

今天我们来简单介绍一下飞机运动方程建立的基本思路。

飞行中的歼-20从动力学观点来看，动态特性是研究飞机在外力或外力矩（外界扰动或飞行员操纵）作用下，各个运动参数随时间的变化规律，也就是求解飞机的运动方程，并在此基础上，对动态特性作进一步定量分析。

对于在三维空间运动的刚体飞机，具有6个自由度。

也就是说，如果要完整地描述飞机的运动，需要6个相互独立的微分方程组。

如果再加上空间位置和姿态，完整表征飞机的各个运动参数则需要15个微分方程。

对飞机运动进行受力分析可知，飞机运动要受到重力、发动机推力、空气动力以及三个轴向的滚转力矩作用。

这些力、力矩和运动参数的定义，不在同一坐标系下，因此求解时还需要经过坐标系转换变换到同一坐标系。

六自由度微分方程组加上复杂的坐标系变换，注定了飞机运动方程是复杂的。

飞行中的无人机不过，飞机运动方程能够真实地反映运动过程每一瞬间的情况，是对飞行性能、控制律设计以及运动仿真最基本的依据。

因此，有必要明白运动方程建立的基本方法和具体表现形式。

但是，现代控制理论主要是以传递函数和矩阵形式的状态方程作为分析对象进行研究和设计的。

因此，为了分析飞机稳定性、操纵性、控制律设计的方便，有必要研究建立飞机现行矩阵运动模型的方法。

垂直起降的F-35战机飞机的运动是一个复杂的动力学问题。

如果要全面考虑地球的曲率、燃油的消耗、武器的投射，飞机内部动力系统和操纵系统等机件的相对运动及飞机本身的弹性变形，外力使飞机外形、飞行姿态和运动参数变化等因素，会使飞机运动方程的推导变得极为复杂，并且很难进行解析处理。